《函数与导数》专题复习关于恒成立问题的求解策略

解法二：f (x) 0 ln x kx 1 0
k ln x 1 x
令g ( x)
ln
x 1 ,则g / (x) x
ln x2
x
,
由g / (x) 0得，x 1
由g / (x) 0得，0 x 1；由g / (x) 0得x 1
所以g ( x)在（0,1）上为增函数，
在（1， ）上为减函数
当k 0时，f ( x)的增区间是（0， ）
(2)解法一：由（1）可知，当k 0时， 函数f (x)在（0， ）上为增函数 而f (1) 1 k 0, f (x) 0不是恒成立， 所以k 0由(1)可知：f (x)max ln k, 又f (x) 0恒成立 f (x)max 0 所以ln k 0即k 1
4.数形结合法 当函数图像易于作出时，通过做出一个或两个函数的图 像，数形结合解决所要求解的恒成立问题
典型例题讲解
例1:（2008年宁夏卷理科第6题）已知
a1 a2 a3 0, 则使得（1- ai x)2 1(i 1,2,3) 都成立的 x
取值范围是（ B ）
A.
(0，1 a1
)
B.（0，a21 )
所以g(x)max g(1) 1, 所以f (x) 0 k 1
解法三 : 数形结合法 f (x) 0 ln x kx 1 令g (x) ln x, h(x) kx 1 又过点（0，-1）函数g (x) ln x的 切线斜率为1 由图可知：f (x) 0 k 1
例3：（2014年福建卷理科第20题）
《函数与导数》专题复习 关于恒成立问题的求解策略
一、知识背景
函数内容是高中数学的核心内容。函数类问题的解决最终
归结为对函数性质、函数思想的应用,而函数与导数中的恒成立 问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思 想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。 这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与 对数函数等函数的性质、图象，同时与数列、方程、几何有机结 合起来，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想 方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活 性、创造性等方面起到了积极的作用。因此，恒成立问题也成为 历年高考的一个热点.
二、基础自测
1.对任意实数x，不等式x 4 x 2 a恒成立，
则实数a的取值范围是（ B ）
A.(,6] B（. - ，6） C.(6， )
2.已知不等式 x2 - ax 1 0.
D.[6,)
（1）若不等式对任意x R恒成立，则实数a的取值范围是
[2,2]
-----（2）若不等式对任意x [2,2]恒成立，则实数a的取值范围是
C.（0，a13 )
2 D.(0, a3 )
例2: 已知函数 f (x) ln x kx 1
（1）求函数f (x) 的单调区间；
（2）若 f (x) 0 恒成立，试确定实数 k 的
取值范围.
解（1）函数的定义域为 (0， ),且f / (x) 1 k
当k 0时，由f / ( x) 0得0 x 1 ,
x
k
由f / (Байду номын сангаасx) 0得x 1 k
所以f ( x)的增区间是（0，1 ), 减区间是（ 1 , )
k
k
当k 0时，因为x 0, 所以f / ( x) 0恒成立
所以，f ( x)的增区间是（0， ）
综上可知：当k 0时，f ( x)的增区间是（0，1 ), k
减区间是（ 1 , ) k
3.分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不 等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求 出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更 清晰，操作性更强。一般地有：
（1）f (x) g(a)(a为参数）恒成立 g(a) f (x)max （2）f (x) g(a)(a为参数）恒成立 g(a) f (x)min
已知函数 f (x） ex ax(a为常数）的图像
与 y 轴交于点A，曲线在点A处的切线斜率为-1.
(1)求 a 的值及函数 f (x) 的极值； (2)证明：当x 0时，x2 e x .
（2）f ( x) a恒成立 a f ( x)max
4、对于 f (x) g(x) 型问题，利用数形结合
思想转化为函数图象的关系再处理,或者转
化为 f (x) g(x) 0 用最值法求解。
（二）恒成立问题的求解策略 1.判别式法
主要是使用于二次函数型或可转化为二次函数 型的恒成立问题的求解 2.最值法 主要是使用于可以通过直接求最值能解决的恒 成立问题，有些复杂一点的函数的恒成立问题 的求解要借助于导数来完成。
求实数a的取值范围. a 1
高中数学学习中常见的恒成立问题的类型及求解策略
（一）恒成立问题的类型 1.一次函数型；给定一次函数 y f (x) ax b(a 0), 若y f (x)
在区间[m, n]内恒有f (x) 0,则根据函数的图像（直 线）可得
上述结论等价于
（i)af
0 (m)
[2,2]
-----（3）若不等式对任意a [2,2]恒成立，则实x的取值范围是
(-,)
------
3.如果对任意实数x,不等式 x 1 kx恒成立，则实数
k的取值范围是 -0---k---1- y
yx
y x1
-1 O
x
4.若函数f (x) 1 x2 a ln x在区间[1, e]上单调递增， 2
（1）f
(
x)
0
对x
R恒成立
a
0 ; 0
(2)
f
(
x)
0
对x
R恒成立
a
0 0
若二次不等式中 x 的取值范围有限制时，则可利用一元
二次方程根的分布去解决问题。
3.最值制约型 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问
题的一种处理方法，其一般类型有：
(1) f (x） a恒成立 a
f
(
x)
m
；
in
0或(ii)af
0 (n)
0
f f
(m) 0 (n) 0
同理，在区间[m,
n]内恒有f
(
x)
0,
则有
f f
(m) 0 (n) 0
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主 元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降 次、简化。
2.二次函数型；
一般地，对于二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0, x R),有