协方差分析课件
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s t i 1 t j 1 2
SE
i 1
s
j 1
y
ij
b b x ij
i
2
其中 S R 的自由度为1， S E 的自由度为n-s-1. 接下来处理回归问题。 将样本数据作回归，即求 , 使
i 1
s
t
j 1
y
ij
x ij
表5.4.2
因素v 试验结果 因素m
v1
v2
m1
m2
X：15，4，7， 9，14，5 Y：98，60，77， 80，95，65 X：10，12，14， 13，2，3 Y：71，80，86， 82，46，35
X；4，5，8，7， 13，11 Y：55，60，75， 65，87，78 X：11，10，2，3， 7， 9 Y：76，68，43， 47，62，70
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 Hale Waihona Puke Baidu2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
y
ˆ x ij ˆ ij
2
它的自由度是n-2。
最后处理关于因素A的方差分析问题。 因为 ST 中含有因素A的效应，所以
S A ST S E
这就是因素A的效应， 其自由度为s-1。 关于因素A的方差分析可用方差分析表来 完成分析工作。
综上，我们得到单因素协变量方差分析表
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
方差来源
回归
平方和
自由度
均方和
F值
Fα
显著性
1
SR
因素A
SR
S R n s 1 SE
s-1
SA
误差
SA s 1 SE n s 1
S A n s 1 S E s 1
SE
总和
n-s-1
S
n-1
再令
SS 0 b
SS 0 bi
解得
b
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
bi y i b x i
所以 bi , b 的估计为
b
i
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
并且 ij 相互独立。 综合上述假设，得到数学模型： 令 i b0
yij bx ij i ij
i 1 ,2 ,3
2
j 1 ,2 , ,8
3 i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
例题5.4.2 某园艺家研究花的品种v和温 度m对鲜花产量y的影响. 由于试验的地块大小 不一样，他决定引用面积x为协变量，m与v各 取两个水平1和2，对4种组合各试验6次，数据 如表5.4.2。他打算分析x与y的关系，并分析因 素m与v对鲜花产量y的影响。
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
b yi b xi
再来处理平方和分解公式。 有上估计，可算出协方差模型中的回归平 方和及误差平方和
( y ij - y i )( x ij - x i ) i 1 j 1 SR s t 2 ( x ij - x i )
第五章
方差分析
§5.4
协方差分析
在方差分析中，因素是可以控制的，每个 水平都可以人为地达到。但是在一些实际问题 中，有些因素是不可能控制的或是难以控制的。 考虑这些因素的影响，并作方差分析的方法称 为协方差分析。
例题5.4.1 研究三种肥料对苹果的增重 效果（肥料因子A有3个水平），又要考虑苹果 树原来产量的影响。选24株同龄苹果树，以它 们第一年的产量x（kg）为协变量，每8株施一 种肥料，以第二年产量y（kg）为因变量，得到 数据如表5.4.1。问三种肥料对苹果树增重有无 显著差异？哪些肥料效果好？第一年产量与苹 果增重有无明显关系？
表5.4.1
样本
x ，y
肥料因素A（水平）
Ⅰ x
y
47 54 52 54 44 52
58 66 53 53 48 58
53 63 64 67 46 54
46 51 58 62 50 61
49 56 59 62 59 70
56 66 61 63 57 64
54 61 63 64 58 69
44 50 66 69 53 66
考虑面积对鲜花产量有线性影响，我们以x为 协变量建立数学模型：
yijk bx ijk i j ij ijk
i 1 ,2 j 1 ,2 k 1 ,2 , ,6
2
其中 i 是因素v的效应， i 是因素m的效应，
ij 是交互效应，x为协变量， εijk ~N( 0 , σ )
SE
i 1
s
j 1
y
ij
b b x ij
i
2
其中 S R 的自由度为1， S E 的自由度为n-s-1. 接下来处理回归问题。 将样本数据作回归，即求 , 使
i 1
s
t
j 1
y
ij
x ij
表5.4.2
因素v 试验结果 因素m
v1
v2
m1
m2
X：15，4，7， 9，14，5 Y：98，60，77， 80，95，65 X：10，12，14， 13，2，3 Y：71，80，86， 82，46，35
X；4，5，8，7， 13，11 Y：55，60，75， 65，87，78 X：11，10，2，3， 7， 9 Y：76，68，43， 47，62，70
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 Hale Waihona Puke Baidu2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
y
ˆ x ij ˆ ij
2
它的自由度是n-2。
最后处理关于因素A的方差分析问题。 因为 ST 中含有因素A的效应，所以
S A ST S E
这就是因素A的效应， 其自由度为s-1。 关于因素A的方差分析可用方差分析表来 完成分析工作。
综上，我们得到单因素协变量方差分析表
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
方差来源
回归
平方和
自由度
均方和
F值
Fα
显著性
1
SR
因素A
SR
S R n s 1 SE
s-1
SA
误差
SA s 1 SE n s 1
S A n s 1 S E s 1
SE
总和
n-s-1
S
n-1
再令
SS 0 b
SS 0 bi
解得
b
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
bi y i b x i
所以 bi , b 的估计为
b
i
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
并且 ij 相互独立。 综合上述假设，得到数学模型： 令 i b0
yij bx ij i ij
i 1 ,2 ,3
2
j 1 ,2 , ,8
3 i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
例题5.4.2 某园艺家研究花的品种v和温 度m对鲜花产量y的影响. 由于试验的地块大小 不一样，他决定引用面积x为协变量，m与v各 取两个水平1和2，对4种组合各试验6次，数据 如表5.4.2。他打算分析x与y的关系，并分析因 素m与v对鲜花产量y的影响。
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
b yi b xi
再来处理平方和分解公式。 有上估计，可算出协方差模型中的回归平 方和及误差平方和
( y ij - y i )( x ij - x i ) i 1 j 1 SR s t 2 ( x ij - x i )
第五章
方差分析
§5.4
协方差分析
在方差分析中，因素是可以控制的，每个 水平都可以人为地达到。但是在一些实际问题 中，有些因素是不可能控制的或是难以控制的。 考虑这些因素的影响，并作方差分析的方法称 为协方差分析。
例题5.4.1 研究三种肥料对苹果的增重 效果（肥料因子A有3个水平），又要考虑苹果 树原来产量的影响。选24株同龄苹果树，以它 们第一年的产量x（kg）为协变量，每8株施一 种肥料，以第二年产量y（kg）为因变量，得到 数据如表5.4.1。问三种肥料对苹果树增重有无 显著差异？哪些肥料效果好？第一年产量与苹 果增重有无明显关系？
表5.4.1
样本
x ，y
肥料因素A（水平）
Ⅰ x
y
47 54 52 54 44 52
58 66 53 53 48 58
53 63 64 67 46 54
46 51 58 62 50 61
49 56 59 62 59 70
56 66 61 63 57 64
54 61 63 64 58 69
44 50 66 69 53 66
考虑面积对鲜花产量有线性影响，我们以x为 协变量建立数学模型：
yijk bx ijk i j ij ijk
i 1 ,2 j 1 ,2 k 1 ,2 , ,6
2
其中 i 是因素v的效应， i 是因素m的效应，
ij 是交互效应，x为协变量， εijk ~N( 0 , σ )