刚体简单运动

388.9i 176.8 j
vA rA
k
z
a
n C
a r v
刚体的简单运动
课 堂 讨 论
下列说法是否正确：
1 平动刚体上的点的运动轨迹不可能是空间曲线。
× 平动只要求刚体上任一直线在空间的方位不变，点的运动轨
迹有可能是空间曲线。
2 定轴转动刚体的固定转轴不能在刚体的外轮廓之外。
a a an n
刚体的简单运动
定轴转动刚体上各点的运动
加速度方程：
a a an n
R R a v
an
2 2 n 2
v
2

4
R
2
a a a R
a arctg ( ) arctg ( 2 ) cont . an
又 ＝0t
摇杆的转动方程为：
r sin 0t arctan h r cos0t
刚体的简单运动
定轴转动刚体上各点的运动
运动方程： s R
速度：
v v
R vs R
刚体的简单运动
定轴转动刚体上各点的运动
加速度：
R R a v
正： 逆时针
刚体的瞬时角加速度
d ＝ dt
正：逆时针
例2 如图所示，曲柄CB以匀角速度0绕 C 轴转动，其转动 方程为＝0t，通过滑块B带动摇杆OA绕O转动，设OC＝h， CB＝r，求摇杆的转动方程。
r sin 解： tan h r cos r sin arctan h r cos
2 2
vM v A
aM a A
刚体的简单运动
2. 定轴转动刚体的运动
刚体的简单运动
2. 定轴转动刚体的运动
刚体在运动时，其上有且只有一条直线 始终固定不动。
该固定直线称为轴向或转轴。
刚体的简单运动
定轴转动刚体的运动 定轴转动刚体的运动方程
＝f t
逆时针为正
刚体的瞬时角速度
d ＝ dt
z f 3(t ) z (t )
d2s v2 a 2 τ n dt
ds τ dt
π 建立摇杆OC上点C的运动方程，并求此点B以匀速u向上运动，试 的速度大
小。假定初始瞬时＝0，摇杆长OC＝a，距离OD＝l。 定轴转动刚体点
R vs R
(240i 2504.8 j 192k )m / s
2
半径R=100mm的圆盘绕其圆心转动,图示瞬时A点的速 度为vA=200jmm/s,点B的切向加速度aBt=150imm/s2。 试求角速度和角加速,并进一步写出点C的加速度 的矢量表达式。 解： v rA 200 j k 100i 100 j
主动轮和从动轮角速度之比
vA R11
R1 1 R 2 2
vB R 2 2
齿数Z与半径R成正比
1 R 2 z 2 i12 2 R1 z1
图示机构中齿轮 1 紧固在杆 AC 上 ,AB=O1O2, 齿轮 1 和半径为r2的齿轮2啮合 ,齿轮 2可绕 O2轴转动且和曲 柄O2B没有联系。设 b sin t O1 A O2 B l . t 试确定 2 s 时,轮2的角速度和角加速度。
× 转轴在刚体外时，刚体也可作定轴转动。如汽车车身在十字路口
转弯时，就有可能绕岗亭中心线作定轴转动。
课 堂 讨 论
3 定轴转动刚体的角加速度为正值时，刚体一定越转越快。
× 刚体定轴转动是否越转越快，主要看角加速度和角速度的转向是
否相同，只有转向一致时才会越转越快。
刚体的简单运动
刚体的平动
刚体绕定轴的转动
转动刚体内各点的速度和加速度
以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
刚体的简单运动
1. 平（行移）动 Translation
任一直线总是平行于自己的初始位置
刚体的简单运动
刚体平动的运动分析
rA rB rBA
求导
v A vB a A aB
x al / l 2 u 2 t 2 C 动点C的运动方程： 2 2 2 y aut / l u t C π l 时， t 当 弧坐标 点C的运动方程：
ut S a a arctan l
VC
l u
t
ds dt
t
l u
u l a u 2t 2 1 2 l
t
S A 0l sin t 4

S A 0l sin t 4
o1
l

刚体的简单运动
解：
ds vA l 0 cos t dt 4 4
B
o2
aAn
A
vA
aAt
M
l
dv a l 0 sin t dt 16 4
2
v 2 2 an l 0 cos t l 16 4
1
d b cos t dt
2
2 a a lb sin t A D
vA
2 lb 当t 时： a D 2
vD
D
lb r2
2
d o 2 ？ dt
刚体的简单运动
例6 带式输送机如图。已知主动轮Ⅰ的转速 n1=1200 r/min，齿 数 z1=24，齿轮Ⅲ和Ⅳ用链条来传动，齿数各为 z3=15 和 z4=45，轮Ⅴ的直径 D=460 mm，如希望输送带的速度约为 2.4m/s，试求轮Ⅱ应有的齿数z2。
1. 刚体运动的角速度矢量与角加速度矢量：
k k
d 大小 dt 作用线 沿轴线 滑动矢量 右手螺旋规则 指向
k k k
滑移矢量
刚体的简单运动
2. 刚体上一点的速度：
dr v r v r sin R dt
3. 刚体上一点的加速度
dv d a ( r ) dt dt r v
坐标原点过转轴
刚体的简单运动-平动和定轴转动
刚体上固定矢量对时间的变化率：
b rA rB
db drA drB dt dt dt v A vB rA rB b
2rad / s 2k rad / s
a rB
i 150i k 100 j 100

1.5rad / s 2 1.5k rad / s 2
n aC aC aC rC ( rC )
B
aC
例6 带式输送机如图。已知主动轮Ⅰ的转速 n1=1200 r/min， 齿数 z1=24，齿轮Ⅲ和Ⅳ用链条来传动，齿数各为 z3=15 和 z4=45，轮Ⅴ的直径 D=460 mm，如希望输送带的速度约为 2.4m/s，试求轮Ⅱ应有的齿数 Z2。 解：由图示传动关系有：
n1 z 2 n2 z1
4
u
au / 2l
t l u
例4 电影胶片以恒速v从卷盘中拉出，从而带动卷盘和 尚未拉出的胶片一起作绕固定轴的转动。若胶片的厚 度为δ，正滚动着的胶片的半径为r，试求卷盘的角加 速度ε，设s与r相比很大。 s 解：
d dr 0 r dt dt d dr dt r dt
n3 z 4 n4 z 3
n1 z1 z3 z2 n4 z4
D D D 2n4 v 5 4 2 2 2 60 n1 z1 z3 D z2 96.3 96 z4 60
刚体的简单运动
本章习题
1 – 9 、 10
圆盘以恒定的角速度 40 rad/s 绕垂直于盘面的中心轴转 动,该轴y-z在面内,倾斜角 arctan 3 , 点 A 的矢径在图示瞬时 4 为r 150i 160j 120k mm .求点A的速度和加速度的矢量表达式， 并用 v R 和 an R 2 检验所得结果是否正确。 vA rA 解：将矢量在y-z面内分解 a r v
应用：
对于固结于定轴转动刚体上的动参考系，若其单位矢为 i 、 j 、 k，则单位矢对时间的变化率？
刚体的简单运动
单位矢对时间的变化率：（泊松公式）
di i dt dj j dt
dk k dt
刚体的简单运动
齿轮传动
特征一：接触点速度相同； 特征二：接触点切向加速度相同； 特征三：传动比i
3 4 40 ( j k ) 5 5
3 4 v A 40( j k ) (150 i 160 j 120 k ) 5 5
v A (8i 4.8 j 3.6k )m / s
aA 0 vA
3 4 40( j k ) (8i 4.8 j 3.6k ) 5 5
图示机构中齿轮1紧固在杆AC上,AB=O1O2,齿轮1和半径为r2 的齿轮2啮合,齿轮2可绕O2轴转动且和曲柄 O2B没有联系。 t s 时 ,轮 2的角速度和角 设， O1 A O2 B l b sin t .试确定 2 加速度。
vA vD lb cos t O A 解：由于ACB作平动： vD lb cost 当t 时： O2 0 O 2 r2 r2
在任意时刻t时的速度与角速度之间都存在：v r 对上两式求导： 2r dr av (1) dt dr d 0 r ( 2)
av 0 r 将(1)式代入(2)式： 2r 2 av 2r 3
dt dt
v
r

a
刚体的简单运动
定轴转动刚体及刚体上各点运动的矢量表示
R R a v