数列求和PPT课件
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高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
数列求和PPT课件
第26页/共61页
[方法引航] 错位相减法求和的具体步骤 步骤 1：写出 Sn＝c1＋c2＋…＋cn； 步骤 2：等式两边同乘以等比数列的公比 q，即 qSn＝qc1＋qc2＋… ＋qcn； 步骤 3：两式错位相减转化成等比数列求和； 步骤 4：两边同除以 1－q，求出 Sn.同时注意对 q 是否为 1 进行讨 论.
答案：B
第12页/共61页
(2)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为 ________．
第13页/共61页
解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1， a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝ 23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57 ＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×102＋234＝1 830.
第3页/共61页
(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
第4页/共61页
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于 同一个常数 ，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．答案Leabharlann 1 830第14页/共61页
[方法引航] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转 化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．
[方法引航] 错位相减法求和的具体步骤 步骤 1：写出 Sn＝c1＋c2＋…＋cn； 步骤 2：等式两边同乘以等比数列的公比 q，即 qSn＝qc1＋qc2＋… ＋qcn； 步骤 3：两式错位相减转化成等比数列求和； 步骤 4：两边同除以 1－q，求出 Sn.同时注意对 q 是否为 1 进行讨 论.
答案：B
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(2)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为 ________．
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解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1， a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝ 23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57 ＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×102＋234＝1 830.
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(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
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2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于 同一个常数 ，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．答案Leabharlann 1 830第14页/共61页
[方法引航] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转 化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．
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④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
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数学
数学
4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项 之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比 数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
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考点一 分组转化法求和 命 1.分组、拆、拼、转化为 题 常数列或等差数列求和 点 2.转化为等比数列求和
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数学
(2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合 求解，则称之为并项求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982 －972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
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数学
1．数列32，94，285，6156，…的前 n 项和 Sn 为________．
第17页
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解析：∵32＝1＋12，94＝2＋14，285＝3＋18，
6156＝4＋116，…
∴Sn＝32＋94＋285＋6156＋…＋n＋21n
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋212＋213＋…＋21n
a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝
23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57
＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234
＝nn＋ 2 1＋1211－－1212n＝nn＋ 2 1＋1－21n. 答案：nn＋ 2 1＋1－21n
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数学
数学
2．数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项
之和 S100 等于( )
A．200
B．－200
基础知识导航 考点典例领航 智能提升返航 课时规范训课时 数列求和
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1．公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和． ①等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na12＋an＝ na1＋nn－2 1d
第3页
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数学
[例 2] (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝ ________.
第22页
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数学
解析：∵an＝n×2n ∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n① ∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2×1－1－2 2n－n×2n＋ 1＝2n＋1－2－n×2n＋1 ∴Sn＝(n－1)×2n＋1＋2. 答案：(n－1)×2n＋1＋2
②等比数列的前 n 项和公式：
na1，q＝1，
Sn＝
a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
第4页
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(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
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2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于 同一个常数 ，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
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[例 1] (1)已知函数 f(n)＝n－2n当2n当为n奇为数偶时数时，， 且 an＝f(n)＋f(n
＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100 等于( )
A．0
B．100
C．－100
D．10 200
第12页
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数学
解析：由题意，得 a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100.故选 B. 答案：B
第7页
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数学
3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成 两项之差 ，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①nn1＋1＝1n－n＋1 1. ②nn1＋2＝121n－n＋1 2.
第8页
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③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
C．400
D．－400
第19页
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数学
解析：选 B.S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100 －3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
第20页
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数学
考点二 错位相减法求和 命 题 对于“an·bn” 型的数列求和 点
第23页
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(2)(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn} 是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. ①求数列{bn}的通项公式； ②令 cn＝abn＋n＋12n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
第13页
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(2)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为 ________．
第14页
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解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．
∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，
∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，
＝15×102＋234＝1 830. 答案：1 830
第15页
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[方法引航] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转 化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．