反比例函数、及其图像和性质教案

教学过程一、复习预习我们学习一次函数的时候就认识了函数：1、函数概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一次函数的解析式：y=kx (k,且k为常数)3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

二、知识讲解考点1：反比例函数的意义及解析式有了初二下对一次函数的学习的基础，我们学习反比例函数就容易多了思考：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？这些函数有什么共同特点？京路线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；用旧围栏建一个面积为24的矩形饲养场．设它的一边长为，另一边的长随x 的变化而变化。

某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽（单位：m）的变化而变化．上述问题的解析式分别为：1463vt=，24yx=，1000yx=，总结：上述函数都具有kyx=的形式，其中k是常数。

函数概念：一般地，形如kyx=（k为常数，k≠0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的范围是不等于0的一切实数。

当x去某个值时，y就有唯一的一个值与之对应。

考点2：反比例函数的图像和性质1、反比例函数的图像时双曲线型。

2、性质：①当时，双曲线的两支反别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x的增大而减小；②当k时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限呢，y值随x的增大而增大。

考点3：．反比例函数与一次函数交点的确定以及反比例函数解析式的确定①已知反比例函数和一次函数的解析式，求两函数交点的坐标，联立两解析式解二元一次方程组求解，此解即为交点坐标。

②已知某一个或两个点在反比例和一次函数的图像上，将已知点代入y=kx+b和kyx确定k、b的值，即可确定一次函数和反比例函数解析式。

考点4：反比例函数图像的画法及图像特征三、例题精析【例题1】【题干】已知反比例函数的图像经过点P（-1,2），则这个函数的图像位于第几象限？【答案】图像位于第二、四象限【解析】因为点P（-1,2）在此反比例函数图像上，所以点P符合该函数解析式，将P（-1,2）代入中，得k=-2，即反比例函数解析式为y=,所以图像在第二、四象限【例题2】【题干】已知点M (－2，3 )在双曲线上，则下列个点一定在该曲线上的是（ ）A.(3，-2 )B.(-2，-3 )C.(2，3 )D.(3，2)【答案】A【解析】将点M (－2，3 )代入中，得反比例函数解析式， 点A.(3，-2 ) 符合该反比例解析式，故选A 答案【例题3】【题干】反比例函数（x>0）的图像如图所示，随着x 的值得增大，y 值（）A 、增大B 、减小C 、不变D 、先减小后增大【解析】因为k=1，图像在第一象限。

【答案】B【例题4】【题干】已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线x ky的交点为B(－2，m)和C ，求k 、b 的值．【解析】点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3． 一次函数的解析式为：y ＝x －3．又因为点B(－2，m)也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数x ky =上，所以k ＝－2×(－5)＝10．【答案】y ＝x －3．10y x =【例题5】【题干】已知反比例函数x k y 1=的图象与一次函数y ＝k2x －1的图象交于A(2,1)．(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．【解析】因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解 (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．1＝2 k2－1，k2＝1．所以反比例函数的解析式为：x y 2=；一次函数解析式为：y ＝x －1．(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(－2,－1)．把A 点的横坐标代入反比例函数解析式得，112-=-=y ，所以点A 在反比例函数图象上．把A 点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝－2－1＝－3，所以点A 不在一次函数图象上．【答案】x y 2=y ＝x －1．四、课堂运用【基础】1、已知点A （a, b ）,B(c, d)是反比例函数（k>0）图像上的两点，若a<0<c, 则有（）A..b<0<dB. d<0<bC. b<d<0D. d<b<0解析： 由k>0可知反比例函数图像在第一、三象限，有因为自变量a<0<c ，所以可得函数值是b<0<d 。

故选A2、 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x my =的图象交于A 、B 两点．(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围．分析 (1)把A 、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式 ．(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．解 (1)观察图象可知，反比例函数x my =的图象过点A(－2,1)，m ＝－2×1＝－2．所以反比例函数的解析式为：x y 2-=．又点B(1,a)也在反比例函数图象上，212-=-=a ．即B(1,－2)．因为一次函数图象过点A 、B ．所以⎩⎨⎧+=-+-=.2,21b k b k 解得，⎩⎨⎧-=-=.1,1b k一次函数解析式为：y ＝－x －1．(2)观察图象可知，当x ＜－2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数值．【巩固】1、已知函数的图象如下，当时，的取值范围是（ ）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】画图可得2、如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点．（1）求出两点的坐标；（2）根据图象求使正比例函数值大于反比例函数值的的范围；【解析】解：（1）解方程组得，所以A、B两点的坐标分别为：A（1，1）、B（－1，－1）（2）根据图象知，当或时，正比例函数值大于反比例函数值。

【拔高】1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，或，则一次函数的解析式为 。

【解析】2、 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a ＜0，且点B 在反比例函数的x y 3-=的图象上．(1)求a 的值．(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y 的值在－1≤y ≤3范围内时，相应的x 的取值范围． (4)如果P(m,y1)、Q(m ＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．【解析】 (1)由于点A 、点B 在一次函数图象上，点B 在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k 、b 和a 的值．(2)由(1)求出的k 、b 、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象． (3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．解 (1)反比例函数的图象过点B(a,－3a)，a a 33-=-，a ＝±1，因为a ＜0， 所以a ＝－1． a＜0． B(－1,3)．又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(－1,3)．所以⎩⎨⎧+-==.3,1b k b 解得，⎩⎨⎧=-=12b k ． 即：一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1． (2)一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1范围内时，相应的x的值为：－1≤x≤1．(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2。

或解：当x1＝m时，y1＝－2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝－2×(m＋1)＋1＝－2m－1 所以y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即y1＞y2。

课后作业【基础】1、反比例函数y＝和正比例函数y＝mx的部分图象如图所示．由此可以得到方程＝mx的实数根为A．x＝1 B．x＝2C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－2【答案】C【解析】将点C（1, 2）代入反比例函数和一次函数中解得m=2，k=2.，即反比例函数和一次函数解析式分别为、y=2x，然后联立两个函数求解得。

2、一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象如图所示，下列结论正确的是A．它们的函数值y随着x的增大而增大B．它们的函数值y随着x的增大而减小C．k＜0D．它们的自变量x的取值为全体实数……【答案】C【解析】根据一次函数和反比例函数的图像性质（①当时，双曲线的两支反别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x的增大而减小；②当k时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限呢，y值随x的增大而增大）可得3、若正比例函数y=2x与反比例函数y=（k≠0）的图像相交，则当x＜0时，交点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】因为正比例函数k=2，故图像过第一、三象限，要想与反比例函数图像有交点，只能是反比例函数也过第一、三象限，所以当x 时，函数值在第三象限，交点也在第三象限。

【巩固】1. 若反比例函数y=的图像经过点A（1，m），则m的值是（）．A．B． C．－D．【答案】B【解析】将A点的横坐标1代入反比例函数解析式中得y=2，即m=22、如图所示，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于M，N 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的范围．【答案】【解析】分析：(1)利用点N的坐标可求出反比例函数的表达式，据此求点M的坐标．由两点M，N的坐标可求出一次函数的表达式；(2)反比例函数的值大于一次函数的值表现在图象上，就是双曲线在直线的上方，由此可求出x的范围．解：(1)把N(－1，－4)代入y＝中，得－4＝，所以k＝4.反比例函数的表达式为y＝.又点M(2，m)在双曲线上，所以m＝2，即点M(2,2)．把M(2,2)，N(－1，－4)代入y＝ax＋b中，得解得故一次函数的表达式为y＝2x－2.(2)由图象可知，当x＜－1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．3、已知如图中的曲线是反比例函数y＝(m为常数)图象的一支．(1)求常数m的取值范围；(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式．【答案】【解析】解：(1)∵这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，∴5－m＞0，解得m＜5.(2)∵点A(2，n)在正比例函数y＝2x的图象上，∴n＝2×2＝4，则A点的坐标为(2,4)．又∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴4＝，即5－m＝8.∴反比例函数的解析式为y＝.1.过反比例函数y＝(k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，C，如果△ABC的面积为3，则k的值为__________．【答案】6或－6【解析】根据反比例函数的几何意义可得出S△ABC＝|k|，所以|k|＝6，则k＝±6.2、双曲线y1、y2在第一象限的图象如图所示，y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是__________．【解析】y2＝y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，S△AOB＝1.∴△CBO面积为3，∴y2的解析式是y2＝.课程小结1、反比例函数的意义；2、反比例函数的图像及性质；3、反比例函数解析式的确定；4、一次函数与反比例函数交点以及其解析式的确定【基础】5、1. 如图是反比例函数y＝(k≠0)在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面积为2，则k＝__________.【答案】-2【解析】反比例函数k的意义就是横纵坐标的乘积就围城的四边形的面积。