求数列通项公式ppt
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求数列的通项公式
求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。
变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。
高中数学必修5优质课件：数列的通项公式与递推公式
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
数列通项公式的求法课件-高三数学一轮复习
(2)证明：∵cn＝a2nn(n∈N*)， ∴cn＋1－cn＝a2nn＋ ＋11－a2nn＝an＋21－n＋12an＝2bn＋n 1. 将 bn＝3·2n－1 代入，得 cn＋1－cn＝34(n∈N*)． ∴数列{cn}是公差为34的等差数列，c1＝a21＝12， 故 cn＝12＋34(n－1)＝34n－14.
探究 5 此类题可由 an＝SS1n（－nS＝n－11（）n，≥2）求出通项 an，但要注意 n＝1 与 n ≥2 两种情况能否统一．
思考题 5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，n∈
N*，求 an. 【解析】
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，
例 4 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2aan＋n 1(n∈N＋)．求数列{an}的通项公 式．
【解析】 易知 an＞0，依题意得an1＋1＝2ana＋n 1＝a1n＋2， ∴数列a1n是等差数列，公差为 2，首项为 1，∴a1n＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝2n1－1.
探究 4 已知数列递推公式的分母中含有通项公式的表达式，求解对应的通 项公式时，往往可以通过观察表达式的特点，通过倒数关系加以转化，利用等差 数列的性质分析相应的通项公式问题．
思考题 4 设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝ 0(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【解析】 ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.∴an1＋1－a1n＝1. 又a11＝1，∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n，∴an＝1n.
题型四 已知 Sn 求 an
题型二 累乘法
例 2 在数列{an} 中，已知 a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求 an. 【解析】 据题意有aan＋n 1＝n＋n 1⇒aan－n 1＝n－n 1(n≥2 且 n∈N*)． ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝3×12×23×34×…×n－n 1＝3n(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝3n(n∈N*)．
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列通项公式的求法第2课时-累加法累乘法ppt课件
.
四、总结并区分（灵丹妙药）
1、累加法的适用条件：已 a 1 且 知 a n-a n -1f(n )( 2 n) 2、累乘法的适用条件：已知 a1且aann-1 f(n)(n2) 3、倒数法的适用条件：已a知 1且 anpanan-1-11(n2)
.
五、过关斩将
1、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1.anan-1n n -1 1(n2)求其通项公
.
三、倒数法
1、倒数法适用题型：已a知 1且 anpanan-1-11(n2) 分式的形式
2、例题: 已知{a 数 n}满 列 a足 n3aa n-n1-11(n2)a ,11,求其通项公
解：将原式两边同时取倒数得：
1 1 (n -1) 3 3n - 2
1 3an-113 1
an
an
an-1
2、已知 {an}数 满列 a足 11,an1a2nan2,求其通项公式。 3、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1,anan-12（ n n2） ,求其通项
4、设{an数 }的列 n项 前和 sn,a1为 1｛ , snnna}为常数列， 求其通项公式。
.
五、过关斩将答案
1、 ann22n（提示：本 法题 的在 时用 候累 ， 算 乘 等 结式 果右 是边 保 前两项的分 项子 的与 分最 母后 ）两
有问题随时欢迎大家提问
.
.
.
.
2、an
2（提示：倒数同法时，取两倒边数） n1
3、 an2n1-（ 3 提示：累 右加 边法 是， 一等 个 前 n-1式 等 项比 的
4、 ann21n （提示：先 和 a1根 求{据 s出 nn常 na}的 数 通 列 项公 然后利 sn求 a用 n,最 由 后用累 . 乘法求得）
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
由递推公式求通项公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=1 ∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n 例2. 若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=______2_n ______ 解：n=m=1时，b2=b1·b1=4 , 即b1=2，b2=4， m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn·b1=2bn，
f
(n)
型,常用累乘法求通项公式。
3 例6.已知a1=3，f (x)=x2，且an+1=f(an)，则an=___2_n_1___
解:∵a1=3，an+1= an2 a2 a12 32 a3 a22 34 a4 a32 38 知 an 32n1
小结：an+1=f(an) 型, 直接迭代求通项公式。
作业
1.已知{an}中满足a1=1 ，nan1 (n 1)an , 求an
2.已知{an}中满足a1=1
， an1
1 2
an
1, 求an
3.已知{an}中满足a1=1 ，
an 1
2an an
2
,
求an
4.已知{an}中满足a1=1 ， an1 an +(2n-1)求an
5.已知二次方程 ，an x2 an1x 1 0(n 1, 2, 3, )
来∴进数行列证{a明n+,1注}是意公等比比为数2列旳旳等a比n≠数0,q列≠.0. 小结：an+1=pan+q(p≠1)型,常用累乘法求通项公式。
例1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,m∈N*), 则an=__n_____
解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2
f
(n)
型,常用累乘法求通项公式。
3 例6.已知a1=3，f (x)=x2，且an+1=f(an)，则an=___2_n_1___
解:∵a1=3，an+1= an2 a2 a12 32 a3 a22 34 a4 a32 38 知 an 32n1
小结：an+1=f(an) 型, 直接迭代求通项公式。
作业
1.已知{an}中满足a1=1 ，nan1 (n 1)an , 求an
2.已知{an}中满足a1=1
， an1
1 2
an
1, 求an
3.已知{an}中满足a1=1 ，
an 1
2an an
2
,
求an
4.已知{an}中满足a1=1 ， an1 an +(2n-1)求an
5.已知二次方程 ，an x2 an1x 1 0(n 1, 2, 3, )
来∴进数行列证{a明n+,1注}是意公等比比为数2列旳旳等a比n≠数0,q列≠.0. 小结：an+1=pan+q(p≠1)型,常用累乘法求通项公式。
例1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,m∈N*), 则an=__n_____
解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2
等比数列的概念及通项公式.ppt
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
①
1，1，1，1，1 ，...... 2 4 8 16
②
1,20,202,203,204,205,...... ③
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_12_;
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2_0_;
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式课件ppt
变式训练 3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
解 (1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2,
∴{an}不是等差数列.
(2)由(1)得,当n≥2时,an是等差数列,公差为2,
是首项为2,公差为2的等差数列,
1
1
(n-1)=2n,故
2
1
2
2
an= .
a1=2,
素养形成
构造等差数列解题
中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是
.
(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=
答案 (1)an=10-5n (2)4
解析 (1)易知首项a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
1 1 1 1
⑤1, , , , ,….
2 3 4 5
解 ①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
2
2
1
a=2,
所以这个等差数列的每一项均为 1.故选 B.
(2)因为 a,b,c 成等差数列, , , 也成等差数列,
2 = + ,
等差数列的概念及通项公式ppt课件
1+2+3+···+100=?
高斯，(1777— 1855） 德国著 名数学家。
预习：等差数列的前n项和
生物普遍存在变异 人们根据自己需要
选择合乎要求的变异个体，淘汰其他 数代选择 所需变异被保存
微小变异变成显著变异
培育出新品种
实例：在经常刮大风的海岛上，无
翅或残翅的昆虫特别多
达尔文的自然选择学说如何解释 长颈鹿脖子为什么会变长？
yyrr Yy Rr
Y y 基因座位
一个特定基
r
R 因在染色体
上的位置
一对相对性状：有3种基因型，2种表现型
两对相对性状： 有9种基因型，4种表现型
那么n 对相对性状？ 3n
2n
生物通过变异(基因突变)产生新的基因,通过 基因重组和染色体变异产生新的基因型。
种群中普遍存在的 可遗传变异 是自然 选择的前提，也是生物进化的前提。
解：设an=a1+(n-1)d，则有
a1+4d=10
(1)
a1+11d=31
(2)
解得 a1 = -2 ，d = 3 an=-2+(n-1).3
=3n-5
题后点评
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程， 由此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系， 列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
解： ∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2 =2n+1
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d 想一想
1、①1，8，15, 22, 29；
高中数学 第2章 数列 2.3.2 等比数列的通项公式课件
一
二
三
二、等比数列的性质
活动与探究
例2(1)在等比数列{an}中,若a2=2,a6=162,试求a10. (2)等比数列{an}中,an是正实数,a4·a5=8.求 log2a1+log2a2+…+log2a8的值. 思路分析:利用等比数列的性质来求简单,一般不通过求a1与q来 求.
解:(1)方法一:∵a6=a2q4,其中a2=2,a6=162, ∴q4=81.∴a10=a6q4=162×81=13 122. 方(∴2)法���∵���62a二=1aa:22∵aa231…0,6.∴,a180a=三1(0a=数1������·������622a成8=)等·(1a差6222·a2数=7)列1·…3,∴1·(2aa224,.·aa65,)a=10(成a4a等5)比4=数84=列2.12, ∴log2a1+log2a2+…+log2a8=log2(a1a2a3…a8)=log2212=12.
a4a5a6=
.
答案:5 2
解析:数列{an}为等比数列,由 a1a2a3=5 得������23=5, 由 a7a8a9=10 得������83=10, 所以������23������83=50,即(a2a8)3=50,即������56=50,
通项公式求解.
解:(1)方法一:由a4=a1·q3,
得27=a1·(-3)3,得a1=-1,
∴a7=a1·q6=(-1)×(-3)6=-729.
方法二:a7=a4·q3=27×(-3)3=-729.
(2)由已知得
������1������ = 18, ������1������3 = 8,
解得:
������1 = 27,
等差数列及其通项公式ppt课件
新课探索
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列， 这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．
数列①、②、③均为等差数列， 它们的公差分别为－0.5，2%，4．
显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为： an－an-1=d，n≥2 ； an+1－an = an－an-1，n≥2．
1.2.1 等差数列及其通项公式
温故知新
数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，
那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
数列的递推公式： 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可
用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作 数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
归纳小结
性质2 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q， （n，m，p，q∈N+）那么
an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d， 所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d， 又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
新课探索
当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立， 因此等差数列{an}通项公式为：
an=a1＋(n－1)d（n∈N+）
新课探索
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当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1 (n=1) 4n －2(n≥2,
n N* )
不要遗漏n=1的情形哦！
2,已知a 数 n中 列 a， n0,Sn是数列 n项 的的 前和，
且 ana1n 2Sn,求 an
解 :由an
1 an
2Sn , 得 an2
1
2Sn
• an,
又 an S n S n1 (n 2)
代入上式化简得 S n 2 S n12 1,由已知 S1 a1 1
数列 Sn2 是等差数列，公差为 1，首项为 1，
Sn 2 1 （ n 1）• n n, an 0, S n 0
S n n , n 2时， an S n S n1 n n 1
而 n 1时， a1 1也适合上式
转化为 an xqn 是公比p为 的等比数列（此法 用只 于p适 q,若
pq只能用方法一解决）
例7：已知数a列 n中，a1
5 6,an1
1 3an
(12)n1,求an
解法一：两边同 1） n除 1得以 an（ 1 2 an
2
(1)n1 3 (1)n
1,令bn
an (1)n
2
2
2
bn1
32bn
1,即bn1332（bn
2
六待定系数法（构造法） 形an 如 1pna q(p0,p1)的递推
求法 :待定系数 .令a法 n1p(an ), 其中 为待定系 ,化数为等比数列 {an }求通.项
例6：数 列 a n 满 足 a 1 1 , a n 1 2 a n 1 , 求 a n .
解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1
类型七、相除法形如 an1A anBAn1的递推式
例8：数 列 an 满 足 : a13,an13an3n1, 求 an通 项 公 式 .
解：Qan 3an13n
an 3n
a3nn11 1
a3nn是以a31为首项，以1为公差的等差数列
an 3n
a1 （n-1）1n 3
an n3n
【变式迁移】
1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
类型四、累乘法形如 an1f(n)an 的递推式
练习1：已 知 a n 中 ， a 1 2 , a n 1 3 n a n , 求 通 项 a n .
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
3） ，bn
4（2） n13 33
an (1)n
34（32） n13,an
2(1)n 3
3(1)n 2
2
方法二：令an1
x
•
( 1 )n1 2
1 3
(an
x
•
(1)n 2
)
an1
1 3
an
(
1)x 3
•
(
1 2
)
n1与an1
1 3
an
( 1 )n1比较得 2
(
1)x 3
1,
x
3, an1
3
( 1 )n1 2
（1）求数 {an列 }的通项公式；
an6n5.
二、公式法（利用an与Sn的关系an=
或利用等差、等比数列的通项公式）
S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2)
练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an
解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2
∴an=
2·3n n
（n≥2） 而n=1时,a1=9
9 (n=1)
∴an=
2·3n n
（n≥2,
n N）*
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项
解an:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*)
特点
逐项代换 例5.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an.
解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)
∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2
=3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3
= 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+ a1 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+1 = 3n －1
数列 a n 的通项公式是 an n n 1
3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an
解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）
两式相减得： nan=3n+1－3n=2·3n
解：Q an1 an 2an1an
11 2
an an1
1 an
是以 1 a1
为首项，以-
2为公差的等差数列
1 1 （n-1）(-2) -2n 5 4n5
an a1
22
2
an
4n 5
形如递推 an1式 p为 •anf(n)，（ f(n)为一次或二次函数 方法一a： n1如 p•ana•nb,令an1x(n1)yp(anxny)
解出 x,y转化a为 nxny以公比 p的为等比数f列 (n)， an2若 bnc
转化a为 nAn2BnC以公比 p的为等比数列
例；数 an列 满足 a14,an 3an12n1(n2),求an
解：令an xn 3(an1 x(n 1) y)(n 2), an 3an1 2xn3y 3x与an 3an1 2n 1
an3 3n4 an4
.......
a3 32 , a2 3
a2
a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n2 3n1
2 3123(n-1)
n( n-1)
23 2
n( n-1)
an 2 3 2
四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式
练习2
五、迭代法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
11
1
a na 1 (n 1 )2 2 n 1 a n2 n 1
练习 已 知{数 an}中 列 ,a11,Sn2SSn n111, 求 {an}的通项 . 公式
八取倒法 形如an1anpan1an的递推式
例10已 ： 知 a 1 2 , a n 0 , 且 a n 1 a n 2 a n 1 a n , 求 a n .
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分 别是下列各数。
1、 3 1 , 5 1 , 7 1 , 9 1 ,L ; 4 8 16 32
an2n12n11
2、 2,3,4, 5,6. 3 8 1524 35
an（-1） n（ n n1） 12-1
练习：
1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, ……
n- 1n n2n2
1
2
2
求法：累加法 an1anf(n)
练习： 在数{列 an}中,已知 a1 1,当n2时, 有an an12n1(n2),求数列 的通项公 . 式
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式
解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
∴ an1 n
∴
an an=
an an1
n1
an1 an2
(n≥1)
... a 2 a1
a1
n1n2n3..2 .11 n n1n2 32
练 : 已 知 a n 中 ， a 1 2 , a n 1 3 a n + 2 , 求 通 项 a n .
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即
令an+1+x=p(an+x) an+1=pan+px-x
an(1根据pq已1)知pnx1=pq1
所以数列{ a n
q p1
}是等比数列.
1 3
(an
3
(1)n 2
)
数列an
3
(1)n 2
是以
1 3
为公比，以a1
3
(
1) 2
2 3
为首项
的等比数列 an
3 ( 1 )n 2
2 3
（1）n1, 3
an
2 (1)n 3
3(1)n 2
反思 形 a n 1 p 如 n a f( n )p (0 ,p 1 ) 求法 :待定系数法 apnn11或 apnn化 fp(n为 n1)