微分方程在经济学中的应用
金融数学 微分方程
金融数学和微分方程是两个不同的学科领域，但它们之间存在一些联系。
在金融数学中，微分方程被广泛应用于描述和解决金融问题，例如资产价格的变化、投资组合优化、风险管理等方面。
金融数学是一个跨学科的领域，它结合了数学、统计学和计算机科学等学科的知识，以解决金融领域的问题。
微分方程是数学中的一个分支，它描述了事物随时间变化的规律。
在金融数学中，微分方程可以用来描述资产价格的变动规律，例如股票价格的变化。
通过微分方程，我们可以建立数学模型来描述金融市场的动态变化。
这些模型可以帮助我们预测未来的市场走势，优化投资组合，以及评估风险。
例如，Black-Scholes模型是一个经典的微分方程模型，用于计算欧式期权的价格。
总之，金融数学和微分方程虽然属于不同的学科领域，但它们在金融领域的应用中有着密切的联系。
通过将微分方程应用于金融问题，我们可以建立数学模型来描述市场动态，并使用这些模型进行预测、优化和评估风险。
8.7微分方程、差分方程在经济学中的简单应用
少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月
利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金. 分析 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年
每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在
20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元， 10内用完所有资金. 解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月 投资账户资金为In元， 每月存入资金 a 元. 同时 也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是， 20 年后，关于Sn的差分方程模型为
现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究
上述振荡现象.
s 设第 n 个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为 Q n , 价格为
Pn ,
产量与价格的关系为
Pn f ( Q n ),
s
d
本时期的价格又
决定下一时期的产量， 因此
Q n 1 g ( Pn ).
这种产销关系可用下述过程来描述：
Q1 P1 Q 2 P2 Q 3 P3
.
S n 1 1.005 S n 1000,
（9）
并且 S 120 0 , S 0 x . 解方程(9)，得通解
S n 1.005 C
n
1000 1 1.005
120
1.005 C 200000,
n
以及
S 120 1.005
C 200000 0,
x
所以原方程满足初始条件的特解为
a yt 2 r 12 x r 12 (1
r 12
) x
t
1
a 2
r 12
微分的基本概念及其应用
微分的基本概念及其应用微积分是数学中一门重要的分支，其中微分是其核心概念之一。
微分主要研究函数的变化率，以及在这种变化中的应用。
本文将介绍微分的基本概念以及其应用，帮助读者更好地理解和应用微分。
一、微分的基本概念在介绍微分之前，我们首先需要了解几个相关的基本概念。
1.1 函数函数是自变量和因变量之间的一种关系。
通常用字母表示自变量，用函数符号表示因变量。
例如，y = f(x)中，x为自变量，y为因变量，f 为函数符号。
1.2 极限极限是微积分中一个基础的概念。
它描述了当自变量趋近于某个值时，函数的值的趋势。
用极限符号表示为lim(x→a)f(x)，表示x在趋近于a的过程中，f(x)的取值趋势。
1.3 导数导数是函数的一种变化率。
它描述了函数在某一点上的瞬时变化速度。
用符号f'(x)表示，即函数f(x)的导数为f'(x)。
1.4 微分微分是导数的基本应用，是微积分的核心概念之一。
微分用Δx表示函数自变量的一个无穷小的增量，用Δy表示函数因变量的相应的增量。
微分的定义为dy = f'(x)dx，其中dy为函数因变量的微分，f'(x)为函数在点x处的导数，dx为函数自变量的微分。
二、微分的应用微分作为微积分的核心概念，在数学和其他领域具有广泛的应用。
以下列举了微分在几个重要领域中的应用。
2.1 曲线研究微分可以用于研究曲线的性质。
通过计算曲线上某一点处的导数，可以得到该点切线的斜率。
通过分析导数的正负性，可以确定函数在不同区间上的增减情况，进而描绘出曲线的形状。
2.2 最值问题微分可以用于求解最值问题。
最值问题是指在一定范围内，寻找函数取得最大或最小值的点或值。
通过求解函数的导数，将导数为零的点带入函数中，便可得到函数的最值点。
2.3 调和分析微分方程是微分学的重要组成部分。
微分方程描述了函数及其导数之间的关系。
通过对微分方程的求解，可以获得函数解析解，进而分析函数在不同条件下的特性。
“微积分”在经济中的一些应用举例
“微积分”在经济中的一些应用举例◎李萍【摘要】【摘要】现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中.下面列举微积分在经济中的一些应用：(1)导数在边际和弹性理论中的应用；(2)导数在利润最大化问题中的应用；(3)积分在利润最大化问题中的应用；(4)微分方程在经济中的应用.【期刊名称】数学学习与研究：教研版【年(卷),期】2016(000)017【总页数】2【关键词】【关键词】微积分；经济；应用数学是各个学科得以发展的基础，也是各个学科进行理性、抽象和科学分析问题的重要工具.由于数学高度的抽象性、严谨的逻辑性，造成学生学习的困难.久而久之，就产生了“学数学有什么用”的困惑，所以有必要经过训练和熏陶，使他们建立学习数学的兴趣，树立学习数学的信心[1].微积分是高等数学的一个重要分支，是进行数学分析的重要基础理论.现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中，微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.一、导数在边际和弹性理论中的应用1.函数变化率——边际函数设函数y=f(x)可导，则导函数f′(x)称为边际函数，它的含义是：当x=x0时，当自变量x产生一个单位的改变时，y近似改变f′(x0)个单位.在西方经济学中，有边际成本、边际收入、边际利润等.例1 设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成本，Q为产量)，其变化率C′=C′(Q)称为边际成本，C′(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当产量达到为Q0时，生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.例2 设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R(Q)，则R′=R′(Q)称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是：在销售量为Q单位时，再增加一单位产品销售总收入所增量.例3 设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L(Q)，则L′=L′(Q)称为销售量为Q单位时的边际利润.2.导数与弹性函数我们先来看一个例子：经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况,因此先引入下面定义：定义1[2] 设函数y=f(x)可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,称为函数f(x)从x到x+Δx两点间的弹性(或相对变化率).而极限称为函数f(x)在点x的弹性(或相对变化率),记为.注:函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小,即f(x)对x变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上,f(x)表示f(x)在点x处,当x产生1%的改变时,函数f(x)近似地改变f(x)%,在应用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”二字.定义2[2] 设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格，于是,可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下:.注:一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价格的提高而减少(当ΔP>0时,ΔQ<0),故需求弹性一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反映的强烈程度(灵敏度).用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即R=P·Q=P·Q(P),由=Q(p)(1+η)=Q(p)(1-|η|).知：(1)若|η|<1,需求变动的幅度小于价格变动的幅度.R′>0,R递增.即价格上涨,总收益增加;价格下跌,总收益减少.(2)若|η|>1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R′<0,R递减.即价格上涨,总收益减少;价格下跌,总收益增加.(3)若|η|=1,需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R′=0,R取得最大值.综上所述,总收益的变化受需求弹性的制约,随商品需求弹性的变化而变化.二、导数在利润最大化问题中的应用在微分学中，通过对已知的函数进行求导后，就可以得到原函数的导数，即边际函数.而在经济学之中，边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中，企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.例4 一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2，总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利润L.解利润函数为L=R-C=4000Q-33Q2-(2Q3-3Q2+400Q+500)=-2Q3-30Q2+3600Q-500.对L求一阶导数，并令其等于零，即L′=-6Q2-60Q+3600=-6(Q+30)(Q-20)=0.得驻点为Q1=20,Q2=-30(舍去).对L求二阶导数，L″=-12Q-60，L″(20)=-12×20-60=-300<0，所以当Q=20时，利润有最大值，其值为L(20)=-2×(20)3-30×(20)2+3600×20-500=43500.故当产量为20时，利润最大为43500.三、积分在利润最大化问题中的应用例5 设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′(x)=0.4x+2(元/单位)，求总成本函数C(x).如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x)，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.解因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在[0,x]上的定积分，又已知固定成本为20元，即C(0)=20，所以每天生产x多少单位时总成本函数为.设销售x单位商品得到的总收益为R(x)，根据题意有R(x)=18x,所以总利润函数L(x)=R(x)-C(x)=18x-(0.2x2+2x+20)=-0.2x2+16x-20.由L′(x)=-0.4x+16=0，得x=40，而L″(40)=-0.4<0，所以每天生产40单位时才能获最大利润，最大利润为L(40)=300(元).四、微分方程在经济中的应用例6 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200(即当P=0时，Q=1200)，求需求量Q对价格P的函数关系.解根据弹性公式得，，化简得，两边积分得.Q=e-Pln3+C1=eln3-P+C1=eC1eln3-P=eC13-P=C3-P.其中，C=eC1，由初始条件P=0时，Q=1200，得C=1200，所以，需求量Q对价格P的函数关系Q=1200×3-P.结语在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下，微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来，通过本文可以看出，利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.【参考文献】[1]张柳霞，朱志辉，方小萍.数学建模思想在高等数学教学改革中的作用[J].中华女子学院学报，2011(3)：124-128.[2]曾令武,刘晓燕.经济应用数学简明教程[M].广州：华南理工大学出版社，2012:67-74.。
数学在经济学中的应用
数学在经济学中的应用在现代经济学中，数学是一种重要的工具和方法，被广泛应用于经济学的理论构建、模型分析和政策制定等方面。
数学的运算和推导能力使经济学家能够更准确地描述和解释经济现象，提供了一种严谨和科学的分析框架。
本文将探讨数学在经济学中的应用，并介绍一些经济学中常见的数学方法和模型。
一、微积分在经济学中的应用微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于经济学中的优化问题和边际分析。
在经济学中，许多问题可以通过求解极值来得到最优解。
例如，企业生产决策中的利润最大化问题可以通过微积分中的最大值和最小值问题来求解。
此外，微积分中的边际分析也在经济学中发挥了重要作用，帮助经济学家理解和解释经济决策的效果和影响。
二、线性代数在经济学中的应用线性代数是数学的另一个重要分支，在经济学中被广泛应用于矩阵分析、经济模型的求解和经济关系的建模等方面。
例如，经济学家可以使用矩阵运算来描述和求解多个经济变量之间的关系，研究宏观经济模型的稳定性和动态性质。
此外，线性代数中的向量空间和线性变换等概念也为经济学家提供了一种抽象和简化经济问题的方法。
三、概率论和统计学在经济学中的应用概率论和统计学是经济学中不可或缺的数学工具，用于研究和分析经济数据的规律和特征。
经济学家可以使用概率论和统计学方法来描述和分析经济变量的概率分布、相关性和回归关系等。
通过对经济数据的统计分析，经济学家可以从中得出结论和推断，为经济政策的制定提供依据和参考。
四、优化理论在经济学中的应用优化理论是数学的一个重要分支，广泛应用于经济学中的决策问题和资源配置问题等方面。
经济学家可以使用优化理论来研究和解决经济中的最优决策问题，如企业的生产决策、消费者的消费决策和政府的资源配置决策等。
通过对经济决策的优化分析，经济学家可以得出最优解，并提供决策者制定有效决策的依据。
五、微分方程在经济学中的应用微分方程是数学的一个重要分支，被广泛应用于经济学中的动态模型和经济系统的稳定性分析等方面。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。
通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。
一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。
微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。
根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。
2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。
它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。
常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。
三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。
根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。
1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。
例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。
2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。
通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。
四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。
以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。
微分方程应用
微分方程应用微分方程是数学中的重要分支，它有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程在不同领域的应用，包括物理学、生物学和经济学等。
通过这些应用实例，我们将看到微分方程在解决实际问题中的重要性和价值。
一、物理学中的物理学是微分方程的一个主要应用领域。
许多自然现象可以通过微分方程来描述和解释。
例如，牛顿第二定律将物体的运动与其所受的力联系在一起，可以用微分方程表示为：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x)$$其中，$m$代表物体的质量，$x$代表物体的位置，$t$代表时间，$F(x)$代表作用在物体上的力。
通过解这个微分方程，我们可以预测物体随时间的变化和轨迹。
二、生物学中的微分方程在生物学中也有广泛的应用。
许多生物过程可以用微分方程建模，如人口增长、药物动力学和神经元的激活等。
以人口增长为例，我们可以用以下微分方程描述：$$\frac{{dN}}{{dt}} = rN(1-\frac{{N}}{{K}})$$其中，$N$代表人口数量，$t$代表时间，$r$代表人口的增长率，$K$代表环境的承载能力。
通过解这个微分方程，我们可以了解人口随时间的变化趋势，从而制定相应的政策措施。
三、经济学中的微分方程在经济学中也有重要的应用。
例如，经济增长模型可以用以下微分方程表示：$$\frac{{dY}}{{dt}} = sY - c$$其中，$Y$代表经济产出，$t$代表时间，$s$代表储蓄率，$c$代表消费。
通过解这个微分方程，我们可以预测经济增长的速度和趋势，为经济政策的制定提供依据。
总结：微分方程是数学中的重要工具，具有广泛的应用领域。
无论是在物理学、生物学还是经济学中，微分方程都能用来描述和解释自然现象，并从中得出有用的结论。
通过研究微分方程的应用，我们可以更好地理解和预测现实世界中的各种问题，为解决这些问题提供有效的方法和方案。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的微分方程模型，并结合相关领域的知识和数据进行求解和验证。
微分方程在经济学模型中的应用
微分方程在经济学模型中的应用在经济学领域中，微分方程是一种重要的数学工具，被广泛应用于各种经济学模型中。
微分方程的使用可以帮助经济学家对经济系统的变化进行建模和预测，从而帮助他们做出合理的决策。
本文将探讨微分方程在经济学模型中的应用，以及它对经济学研究的影响。
一、微分方程在宏观经济模型中的应用宏观经济模型用于描述国家或地区整体经济的运行状况和变化趋势。
这些模型通常包括多个变量，如国内生产总值（GDP）、通货膨胀率、失业率等。
微分方程提供了一种描述这些变量之间关系的数学方法。
以经济增长模型为例，我们可以用一个微分方程来描述GDP的增长速度。
假设GDP的增长率与人口增长率、资本投资率以及技术进步率相关，我们可以得到如下微分方程：\[ \frac{dGDP}{dt}=sGDP-kN \]其中，\( s \) 表示资本投资率，\( k \) 表示技术进步率，\( N \) 表示人口增长率。
通过解这个微分方程，我们可以得到GDP随时间的变化趋势，帮助决策者制定经济政策。
除了经济增长模型，微分方程还可以应用于宏观经济中的其他领域，如通货膨胀模型、货币政策模型等。
这些模型的建立离不开微分方程的支持，使经济学家能够更好地理解和解释经济现象。
二、微分方程在微观经济模型中的应用微观经济模型用于研究个体经济主体的决策与行为。
这些模型通常包括供给与需求、市场均衡以及消费者行为等变量。
微分方程在微观经济模型中同样发挥着重要的作用。
以供给与需求模型为例，我们可以通过微分方程描述市场价格随着时间的变化。
假设市场价格的变化率与供给量和需求量之间的差异有关，我们可以得到如下微分方程：\[ \frac{dp}{dt}=a(Q_s-Q_d) \]其中，\( p \)表示价格，\( Q_s \)表示供给量，\( Q_d \)表示需求量，\( a \)表示价格调整的速度。
通过解这个微分方程，我们可以推导出价格的变化轨迹，帮助市场参与者做出决策。
微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中的应用微积分理论是现代数学的重要组成部分，微分方程则是微积分的一个重要分支。
微分方程的研究一直是数学界和工程学界的热门话题。
但是，除了这些专业领域，微分方程在其他领域也有广泛的应用，其中包括经济学。
本文将会介绍微分方程在经济学中的应用。
经济学是研究人类分配与利用有限资源的学科，也是社会科学中的一门重要学科。
经济学家经常需要解决各种各样的问题，如货币政策的制定、预测经济趋势、生产率和投资等等。
这些问题都可以通过微分方程来描述和解决。
本文将会介绍微分方程在下列几个具体方面的应用。
1. 行为经济学中的微分方程模型行为经济学是一门相对比较新的学科，它主要关注个体决策及其行为的经济学解释。
为了研究个体决策，最简单的方法是建立微分方程模型。
以经济学家基恩斯的消费函数为例，它的数学形式可以表示为：C = a + bY – cY^2。
其中，C表示消费支出，Y表示收入，a,b,c是常数。
这个方程模型设置了一个基本的消费函数，可以用来研究收入对消费支出的影响。
除此之外，行为经济学中的各种决策模型都可以被它们的微分方程形式所描述。
因为微分方程可以帮助我们理解个体决策和行为如何变化，以及如何干预这些变化。
2. 宏观经济学中的微分方程模型宏观经济学研究的是整个经济体系的运动和变化，宏观经济学家需要通过建立数学模型来预测宏观变化。
根据动力学系统和微分方程的理论，宏观经济系统可以用一组差分方程的形式来描述。
这些微分方程描述了社会、政治和经济的相互作用，以及它们对经济体系的影响。
例如，经济增长可以用单方程或系统微分方程来描述，这些方程描述了一些重要的宏观经济变量的变化率。
3. 金融数学中的微分方程模型金融数学是数学和经济学的交叉学科，它主要研究证券市场、银行和金融机构等金融领域中的数学模型。
这些问题的数学建模通常涉及到微分方程。
例如，黒-舒尔茨方程是描述股票价格波动的最常见的模型之一，可以通过一个随机差分方程的形式描述。
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它的理论和方法在经济学中有着广泛的应用。
通过微积分的工具，经济学家们能够更好地分析经济现象，做出准确的判断和预测。
本文将探讨微积分在经济学中的具体应用，包括边际分析、优化问题以及经济增长等方面。
一、边际分析微积分在经济学中的第一个应用是边际分析。
边际分析是经济学中非常重要的一个概念，它指的是在某一变量增加（或减少）一个单位时，对应的效用、成本或产出的变化量。
对于经济学家来说，理解和运用边际分析是解决许多经济问题的基础。
在微积分的框架下，我们可以通过求导来计算边际效用、边际成本以及边际产出等。
例如，在消费者选择理论中，消费者的效用函数通常是连续可微的函数，通过对效用函数求导，我们可以得到消费者对不同商品的边际效用，这有助于我们理解消费者如何做出最优消费决策。
二、优化问题微积分在经济学中的另一个重要应用是解决优化问题。
在经济学中，我们经常遇到需要最大化或最小化某个变量的问题，而微积分正是解决这类问题的重要工具。
以生产函数为例，生产函数描述了输入因素与产出之间的关系。
当我们想要最大化产出时，可以使用微积分的方法来求解最优的输入组合。
通过对生产函数进行求导，我们可以得到产出对于各个输入因素的边际产出，然后将边际产出相等的条件与约束条件结合，进而得到最优解。
类似地，在消费者选择理论中，我们可以通过微积分来解决消费者的最优消费问题。
通过构建约束条件和效用函数，结合拉格朗日乘子法等微积分工具，我们可以求解出消费者在预算约束下获得最大满足的消费组合。
三、经济增长微积分在经济增长理论中也有着重要的应用。
经济增长理论研究经济体长期内产出的增长问题，而微积分则提供了分析经济增长模型的数学工具。
在经济增长模型中，我们常常需要研究产出、储蓄、投资等变量之间的关系。
通过构建微分方程组，我们可以描述经济体产出、资本积累以及人口增长等变量的变化规律。
利用微积分的方法，我们可以得到这些变量的稳定状态，分析经济体是否能够实现长期稳定增长。
微分方程数学模型应用举例
微分方程数学模型应用举例
1. 生物学模型：微分方程可以用于描述生物系统中的各种动态过程。
例如，Lotka-Volterra模型是一种描述捕食者和被捕食者之间相互作用的微分方程模型，可以用于研究食物链中物种的数量和相互关系。
2. 经济学模型：微分方程可以用于描述经济系统中的各种变化和趋势。
例如，Solow增长模型是一种描述经济增长和资本积累的微分方程模型，可以用于分析国家经济发展的长期趋势。
3. 物理学模型：微分方程可以用于描述物理系统中的各种动态过程。
例如，带有阻尼和驱动力的简谐振动可以用二阶线性常微分方程来描述，可以用于研究机械系统中的振动现象。
4. 化学反应动力学模型：微分方程可以用于描述化学反应中物质浓度随时间变化的关系。
例如，化学反应速率方程可以用一阶或二阶线性微分方程来描述，可以用于研究化学反应速率的变化规律。
5. 环境科学模型：微分方程可以用于描述环境系统中的各种变化和相互作用。
例如，Black-Scholes模型是一种描述金融市场中期权价格变化的微分方程模型，可以用于分析金融市场的波动和风险。
6. 工程科学模型：微分方程可以用于描述工程系统中的各种动态过程。
例如，控制系统中的传递函数可以用微分方程表示，可以用于研究系统的稳定性和响应特性。
这些只是微分方程在数学模型中的一些应用举例，实际上微分方程在各个学科领域中都有广泛的应用。
经济数学-微积分吴传生10-3
3 3 即成本时间函数为 y e 5t . 10 10
பைடு நூலகம்
t 3
４．公司的净资产分析
例6 某公司的净资产在运营过程中，像银行的存款 一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产增加， 同时，公司还必须以每年200百万元人民币的数额连续 地支付职工的工资。 (1) 列出描述公司净资产W的微分方程； (2) 假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)； (3) 描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.
dy1 率正比于过渡需求，为 0.3(C1 I1 y1 )， dt 已知 t=0 时，流动收入 y0 5(亿元) ，若流动收 入的均衡值 y 4 (亿元) ，试求流动收入函数 y ( t )，并求 t=2 时的流动收入。
10.设某牧场现有 1000 只羊，如果每瞬时羊的只 数变化率与当时羊的只数成正比，若 10 年内该 牧场羊群达到 2000 只，试确定该羊群只数 a t 与 时间 t 的函数关系。 11.某企业成本控制部门发现，随企业规模扩大 面向办公室提供的平均月费用 y 与办公室人员 x
解：(1) 净资产增长速率=利息盈取速率-工资支付速率
dW 0.05W 200 就是净资产所满足的微分方程. dt
即
W=4000为平衡解。
(1) 列出描述公司净资产W的微分方程； (2) 假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)； (3) 描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.
(a c )e ( b d )dt dt C ( b d ) t ( a c ) ( b d )t e e C (b d )
( b d )dt
随机微分方程在金融中的应用
随机微分方程在金融中的应用
随机微分方程是一种描述随机过程的数学工具，它在金融领域中有着广泛的应用。
随机微分方程可以用来描述金融市场中的价格变化、利率变化、风险等因素，为金融机构和投资者提供了重要的决策依据。
随机微分方程的应用可以追溯到20世纪50年代，当时经济学家布莱克-舒尔斯等人提出了著名的布莱克-舒尔斯期权定价模型。
该模型利用随机微分方程描述了股票价格的随机漂移和波动，从而计算出期权的价格。
这一模型的成功应用，标志着随机微分方程在金融领域中的应用开始走向成熟。
随后，随机微分方程在金融领域中的应用不断扩展。
例如，随机微分方程可以用来描述股票价格的随机漂移和波动，从而预测股票价格的走势。
此外，随机微分方程还可以用来描述利率的随机变化，从而预测债券价格的变化。
在金融风险管理中，随机微分方程也被广泛应用。
例如，随机微分方程可以用来描述金融市场中的风险因素，从而帮助金融机构和投资者制定风险管理策略。
随机微分方程在金融领域中的应用，不仅为金融机构和投资者提供了重要的决策依据，也为数学和统计学领域的研究提供了新的挑战。
例如，随机微分方程的求解和数值模拟等问题，一直是数学和统计学领域的研究热点。
随机微分方程在金融领域中的应用，为金融机构和投资者提供了重要的决策依据，也为数学和统计学领域的研究提供了新的挑战。
随着金融市场的不断发展和变化，随机微分方程的应用也将不断扩展和深化。
微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中的应用微分方程是数学中的一个重要分支，它在经济学中有着广泛的应用。
经济学家利用微分方程来描述和分析经济系统中的各种变化和因果关系，为经济决策提供理论依据和预测模型。
本文将从宏观经济、微观经济和金融市场三个方面探讨微分方程在经济学中的应用。
一、宏观经济在宏观经济领域，微分方程被广泛应用于描述经济系统中的总产出、消费、投资和物价等变量的变化规律。
其中最著名的例子是哈罗德-多马模型，该模型使用一阶线性微分方程来研究投资和储蓄的关系，揭示了投资对经济增长的影响。
此外，孤立理论、输入-输出模型等也运用了微分方程来描述经济系统的运行机制。
二、微观经济在微观经济领域，微分方程被用于描述个体经济主体的行为和决策。
对于企业来说，微分方程可以用来建立市场需求和供给的模型，分析价格变动对企业产量和利润的影响。
对于消费者来说，微分方程可以用来研究消费者的效用最大化问题，揭示消费决策与收入、价格变动的关系。
三、金融市场在金融市场中，微分方程被广泛运用于金融工程和风险管理领域。
例如，布拉克-斯科尔斯模型利用带有随机项的偏微分方程来描述期权的价格变动。
这个模型为期权定价提供了基础，并对金融市场的风险进行了有效的量化和管理。
总结起来，微分方程在经济学中的应用非常广泛，从宏观经济到微观经济、再到金融市场，不同领域中的经济问题都可以通过微分方程建模和求解来得到解决。
这些模型的建立和分析，为经济学家提供了理论框架和工具，帮助他们预测经济的走向、制定经济政策和进行风险管理。
通过对微分方程在经济学中的应用的探讨，我们可以深刻认识到微分方程在解决经济问题中的重要性和实用性。
今后，进一步研究和应用微分方程，将更好地促进经济学的发展和实践应用。
微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济 学中的应用
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中 图分 类 号 ： Ｏ１ ７ ２ ． １ 文 献标 识 码 ： Ａ
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２ ２ ３ ３ ０ ０ ）
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ８ ９ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ３ ４ — ０ ０ ４ ４ — ０ ２
（ 淮 阴师 范学院数 学科 学学 院 江 苏・ 淮安
摘 要 随着社会经济 的不断发展， 数学在经济活动 中的应 用越来越 多。 微 分方程作 为高等数 学的一个 重要分支， 对 经济学 的研 究有重要作用。本文将在三个方 面探讨微 分方 程对经济学研究 的作用 ： 主要包括价格 预期 的市场模型 、 常 微分 方程组在 经济 学中的应用 、 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 期权定价模
５ ＋ ６ｐ ＝６ ｔ ２
一
微分方程是数学一个重要而古老 的分支。经济学的研 究要建立在严格 的基础上 ，必须 引入数 学对 其进行定量和 定性分析 。微分方程 由于在数学建模上 的方 便以及 自身的 充分发展 ， 成为研究经济学的重要数学工具。 众所周 知 ， 为研究两个 或多个 经济变 量之间 的关 系和 经 济学 规律 ， 微分方程 是研究上述 问题 的一种机理分 析方 法 。常常要建 立某一经济 函数及其导数 （ 或偏导数 ） 所满足 的关 系式 ， 并根据 已知条件和相 关数学工 具来研究 上述关 系式 ， 获得 有价 值的结果 。 在应用微分方程解决经济 学中的问题时 ，一般分为两 个步骤 。第一步是建模 ， 即根据实际问题建立适当的微分方 程模型 。建立一个微分方程 的实质就是构建 函数 、 自变量及 自变量导数的一种关系。要正确地建模 ， 必须对实际问题有 正确认识 ， 以及对各种数学工具的合理使用 。做 出合理的假 设 及简化并将其抽象 为数 学问题。第二步是求方程 的解 和 结果分析 。对常系数和线性 方程 ， 往往能够得到解析解 或精 确解 ， 这对实际的经济问题的解决有很大帮助。但是对一些 非线性 和变系数 方程往往很难 给出解析解 ，但是我们 能够 根 据微分方 程的定性理论 给出解 的存 在性 和稳 定性条件 ，
数学物理中的微分方程和偏微分方程
数学物理中的微分方程和偏微分方程微分方程和偏微分方程是数学物理学中非常重要的一类方程。
它们被广泛应用于自然科学、工程学和社会学等各个领域。
本篇文章将简要介绍微分方程和偏微分方程的基本概念和应用，并强调它们在现代科学中的重要作用。
一、微分方程和偏微分方程的基本概念微分方程是描述一个未知函数及其导数（或微分）之间关系的方程，通常用一个变量表示时间或者空间。
比如：y''+y=sin(t)就是一个微分方程。
在这里，y是未知函数，y'和y''分别表示y的一阶和二阶导数。
偏微分方程是描述未知函数在不同变量（例如，时间、空间或两者）的偏导数之间关系的方程，比如 heat equation（热传导方程）和 wave equation（波动方程）等。
简单来说，在偏微分方程中，未知函数与某个自变量的导数是偏导数，而不是全导数。
二、微分方程和偏微分方程的应用微分方程和偏微分方程是数学和物理学中最常用的工具之一。
它们可以用来描述各种自然现象和工程过程中出现的变化，包括：1. 热传导：热传导方程是一个经典的偏微分方程。
它描述了热量如何在材料中传递。
热传导方程被广泛用于工程领域中的热传导问题，如汽车制造、航天工程等。
2. 电磁场问题：麦克斯韦方程是用偏微分方程描述电场和磁场如何随时间和空间变化的方程。
这些方程被广泛应用于电磁学、无线电通信、计算机工程等领域。
3. 经济学模型：微分方程和偏微分方程也被用于经济学中的模型开发。
比如，经济学家使用微分方程来描述价格和利润的变化，以及经济增长和衰退的模式。
4. 生命科学中的模型：微分方程和偏微分方程也可以用于生命科学研究中的模型开发。
比如，心脏的电信号可以被描述为偏微分方程，而蛋白质浓度的变化可以用微分方程描述。
总之，微分方程和偏微分方程在许多领域中都被广泛应用。
它们可以用来描述各种自然现象和工程过程中出现的变化，同时也是解决这些问题的重要工具。
微分方程在经济学中的应用.
(9.51)
已知C(t0)=C0(t0>0),求C(t). 解 方程(9.51)为成本C(t)的一阶线性方程,其对应
齐次方程为
dC b 1C dt t
其通解为 Cc=C1tb－1,C1为任意常数.
根据常数变易法,令方程(9.51)的解为 C(t)=u(t)tb－1
则 C'(t) u'(t)tb1 (b 1)u(t)tb2 将上述C(t),C' (t )代入方程(9.51),可得
而且价格p受供需状态的影响:供过于求(S>D)时,
价格下跌;供不应求(S<D)时,价格上涨.因此,商品
价格是随时间变化的,即价格是时间t的函数p=p(t),
由上述分析,可设价格p(t)满足如下调节方程:
dp k(D S) dt
(9.54)
其中D－S为需求量与供给量之差,称为超额需求
量;k为正的常数,用来反映价格的调整速度.
由式(9.56)消去S(t)和I(t),可得关于Y(t)的微分
方程
dY Y ,
dt 此方程的通解为
s 0
k
Y=Y(t)=Ceμt,C为任意常数. 设初始条件为Y(0)=Y0,则C=Y0.于是,得
Y=Y(t)=Y0eμt
由此式和式(9.56),得 I(t)=S(t)=sY0eμt
由μ>0可知,Y(t)、S(t)和I(t)均为t的单调增加函数, 即它们都是随时间不断增长的.
由μ>0可知
lim p(t)
t
pe.这表明,实际价格p(t)
最终将趋向于均衡价格pe,换言之,市场上这种商
品会达到供需均衡状态,这就是亚当·斯密提出的
著名的“看不见的手”调节市场的思想.
微积分中的微分方程与常微分方程
微积分中的微分方程与常微分方程微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化与极限，是应用广泛的数学工具。
微分方程是微积分的一个重要应用领域，它研究的是函数与其导数之间的关系。
在微积分中，我们常常会遇到微分方程与常微分方程的概念。
本文将介绍微积分中的微分方程与常微分方程的基本概念和应用。
一、微分方程的概念与基本形式微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。
常微分方程可以用一般形式表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$其中，$x$是自变量，$y$是未知函数，$y', y'', ..., y^{(n)}$是$y$的一阶、二阶、...、$n$阶导数。
常微分方程的解是指满足方程的函数。
常微分方程的解可以通过积分、分离变量、变量代换等方法求得。
二、微分方程的应用领域微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
它可以用于描述物理过程、生物现象、经济模型等各种实际问题。
1. 物理应用：微分方程在物理学中有着重要的应用。
例如，牛顿第二定律$F=ma$可以通过微分方程形式表示为$m\frac{d^2x}{dt^2}=F$，其中$x$是物体的位移，$t$是时间，$m$是物体的质量，$F$是作用在物体上的力。
2. 生物学应用：微分方程在生物学中的应用非常广泛。
例如，人口增长模型可以用微分方程来描述。
假设一个人口的增长率与当前人口数成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dP}{dt}=kP$，其中$P$是人口数，$t$是时间，$k$是增长率常数。
3. 经济学应用：微分方程在经济学中也有着重要的应用。
例如，经济增长模型可以用微分方程来描述。
假设一个国家的经济增长率与当前经济规模成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dE}{dt}=kE$，其中$E$是经济规模，$t$是时间，$k$是增长率常数。
微分方程的解法与应用
微分方程的解法与应用微分方程（Differential Equation）是描述自然界中各种变化与关联的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将介绍微分方程的解法和应用。
一、常微分方程的解法常微分方程（Ordinary Differential Equation）是只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程的解法主要有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法和常系数线性齐次方程法等。
1. 分离变量法对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离到两边分别积分来求解。
例如，对于方程dy/dx = f(x)g(y)，可以写成dy/g(y) = f(x)dx，再两边同时积分得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，进而得到方程的解y = φ(x)。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，可以通过变量代换和分离变量的方法来求解。
具体步骤为将y/x表示为新的函数v，并进行变量替换dy/dx = v + xv'，其中v'表示对x求导数。
通过将原方程转化为一阶线性微分方程求解，再进行反变换得到原方程的解。
3. 一阶线性方程法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性微分方程，可以通过积分因子的方法来求解。
通过选择适当的积分因子μ(x)，将原方程转化为（μ(x)y）' = μ(x)Q(x)，再对等式两边两次积分，并利用初值条件来确定常数，得到方程的特解。
4. 常系数线性齐次方程法对于形如d^n y/dx^n + a_1d^{n-1}y/dx^{n-1} + ··· + a_ny = 0的常系数线性齐次微分方程，可以通过特征根法来求解。
具体步骤为解特征方程λ^n +a_1λ^{n-1} + ··· + a_n = 0，将特征根代入通解的表达式C_1e^{λ_1x} + C_2e^{λ_2x} + ··· + C_ne^{λ_nx}中，其中C_1, C_2, ···, C_n为待定系数。
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第四节 微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．
一、 供需均衡的价格调整模型
在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为
S =a 1+b 1P , D =a -bP ,
其中a 1,b 1,a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0；P 为实际价格．
供需均衡的静态模型为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D
显然，静态模型的均衡价格为
P e =1
1b b a a +-． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D (P )-S (P )］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 t
P d d =k (D -S )，于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=-=)].()([),
(),(11P S P D k t P t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得
t
P d d =λ(P e -P ), 其中λ=k (b +b 1)＞0,这个方程的通解为
P (t )=P e +C e -λt ．
假设初始价格为P (0)=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ,于是动态价格调整模型的解为
P (t )=P e +(P 0-P e )·e -λt ，
由于λ＞0，故
lim ()t P t →+∞=P e ．
这表明，随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．
二、 索洛(Solow)新古典经济增长模型
设Y (t )表示时刻t 的国民收入，K (t )表示时刻t 的资本存量，L (t )表示时刻t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.
),(),1,(),(0t L L t sY t K r Lf L K f Y λe d d 其中s 为储蓄率(s ＞0)，λ为劳动力增长率(λ＞0)，L 0表示初始劳动力(L 0＞0)，r =
L
K 称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K =rL 两边对t 求导，并利用t L d d =λL ，有
rL t
r L t L r t r L t K λ+=+=d d d d d d d d ． 又由模型中的方程可得
t
K d d =sLf (r ,1), 于是有
t
r d d +λr =sf (r ,1)． (10-4-1) 取生产函数为柯布-道格拉斯(Cobb -Douglas)函数，即
f (K ,L )=A 0K αL 1-α＝A 0Lr α，
其中A 0＞0，0＜α＜1均为常数．
易知f (r ,1)=A 0r α，将其代入(10-4-1)式中得
t
r d d +λr =sA 0r α． (10-4-2) 方程两边同除以r α，便有
r -α
t r d d +λr 1-α=sA 0． 令r 1-α=z ,则t
z d d =(1-α)λ-α t r d d ,上述方程可变为 t
z d d +(1-α)λz =sA 0(1-α)． 这是关于z 的一阶非齐次线性方程，其通解为 z =C e -λ(1-α)t +0
sA λ
(C 为任意常数)． 以z =r 1-α代入后整理得 r (t )=ααλλ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+110)1(sA C t e
． 当t =0时，若r (0)=r 0,则有
C =r 01-α－
λ
s A 0．
于是有
r (t )= ααλαλλ----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(010(sA A s r t )e -
． 因此， αλ-∞→=11
0)()(lim A s t r t ．
事实上，我们在(10-4-2)式中，令t
r d d =0,可得其均衡值r e =αλ-110)(A s . 三、 新产品的推广模型
设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x (t ),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率
t x d d 与x (t )成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明
t
x d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N -x (t )也成正比，于是有 t
x d d =kx (N -x )， (10-4-3) 其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得
x (t )=kNt
C N -+e 1 (10-4-4) 方程(10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线．
由
t x d d =()
221kNt kNt
C k CN --+e e 以及
22t x d d =()
3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e e e ， 当x (t *)＜N 时，则有t x d d ＞0，即销量x (t )单调增加．当x (t *)=2N 时，22t x d d =0;当x (t *)＞2
N 时，22t x d d ＜0；当x (t *)＜2
N 时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．
国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．
习题10-4
1． 某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系：
C ′=C 2e -x -2C
且C (0)=1,求C (x )．
2． 设R =R (t )为小汽车的运行成本，S =S (t )为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：
R ′=S
a , S ′=-bS , 其中a ,
b 为正的已知常数，若R (0)=0,S (0)=S 0(购买成本)，求R (t )与S (t )．
3． 设D =D (t )为国民债务，Y =Y (t )为国民收入，它们满足如下的关系：
D ′=αY +β, Y ′=γY
其中α,β,γ为正已知常数．
(1) 若D (0)=D 0,Y (0)=Y 0,求D (t )和Y (t );
(2) 求极限)
()(lim t Y t D t +∞→． 4． 设C =C (t )为t 时刻的消费水平，I =I (t )为t 时刻的投资水平，Y =Y (t )为t 时刻的国民收入，它们满足下列方程
⎪⎩
⎪⎨⎧>'=><<+=+=.0,,,,0,10,,为常数均为常数k C k I b a b a b aY C I C Y
(1) 设Y (0)=Y 0，求Y (t ),C (t ),I (t );
(2) 求极限)
()(lim t I t Y t +∞→ 5． 某养殖场在一池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼5000条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y 是时间t 的函数y =y (t )，实验表明，其变化率与池内鱼数y 和池内还能容纳的鱼数(5000-y )的乘积成正比，若开始放养的鱼为400条，两个月后池塘内鱼的数量为550条，求放养半年 后池塘内鱼的条数．。