三角函数的两角及差与倍角公式练习题.doc

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(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。

如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。

1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练题型1给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。

两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0）（4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。

三角恒等变换化简练习题

三角恒等变换化简练习题两角和公式 sin= sin= cos= cos= tan=tan= 倍角公式 tan2α= cos2α= sin2α=半角公式 sin= cos=tan=和差化积sinAcosB= cosAsinB= cosAcosB= -2sinAsinB=积化和差公式 sinαsinβ= cosαcosβ=sinαcosβ=万能公式sin= )/) cos= )/) tαn= )/)角函数公式两角和公式sin=sinΑcosB+cosΑsinB sin=sinΑcosB-sinBcosΑ cos=cosΑcosB-sinΑsinB cos=cosΑcosB+sinΑsinB tαn=/ tαn=/倍角公式cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；。

sin2??2sin?cos?；2tan?tan2??1?tan2?半角公式sin=/ cos=/ tαn=/和差化积2sinΑcosB=sin+sin cosΑsinB=sin-sin ) cosΑcosB=cos+cos -2sinΑsinB=cos-cos积化和差公式sinsin=—1/2*[cos-cos] coscos=1/2*[cos+cos] sincos=1/2*[sin+sin]1.三角函数式的化简降幂公式sin?cos??11?cos2?1?cos2?2sin2?；sin2??；cos??。

22 辅助角公式asinx?bcosx?sin?x?，其中sin??cos??。

2．在三角函数化简时注意：①能求出的值应求出值；②尽量使三角函数种类最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数；⑥必要时将1与sin2??cos2?进行替换化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等《三角恒等变换练习题》一、选择题1. 已知x?，cosx?45，则tan2x?Α.4B. ?7242424C.D. ?72. 函数y?3sinx?4cosx?5的最小正周期是Α.5B.2C. ?D. ?3. 在△ΑBC中，cosAcosB?sinAsinB，则△ABC为Α. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定4. 设a?sin140?cos140，b?sin160?cos160，c?,则a,b,c大小关系Α. 周期为4的奇函数B. 周期为?4的偶函数C. 周期为?2的奇函数D. 周期为?2的偶函数6.已知cos2??sin4??cos4的值为Α.1318B. 11718C. D. ?1二、填空题1.求值：tan200tan400200tan400_____________.）2. 若1?tan?12008,则?tan2??.1?tan?cos2?3.已知sin4. ?ABC的三个内角为A、B、C，当A为时，cosA?2cos 值，且这个最大值为.三、解答题1. ① 已知sin??sin??sin??0,cos??cos??cos??0,求cos的值.②若sin??sin??2cos2那么sin?的值为,cos2?的值为.3B?C取得最大22,求cos??cos?的取值范围.21?cos2000?100sin10. 求值：02sin20三角恒等变换测试题第Ⅰ卷一．选择题 1.已知cos??1213,??，则cos?A.521 B.1771 C. D.2.若均?,?为锐角，sin??25,sin?35,则cos?? A. 5B. C.2255或D. ?5.?A. ?11 B. ? C. D.4.tan700tan500tan700tan500A.B.C. ?33D. ?5.2sin2?cos21?cos2cos2?A. tanB. tan2C. 1D.126.已知x为第三象限角，化简?cos2x?A.2sinx B. ?2sinx C.cosx D. ?2cosx 7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于45,则这个三角形底角的正弦值为A. ?6B.6C. ? D. ?5?6）9. 已知sin??cos??1，则sin2??1188A．? B．?C． D．229910.已知cos2??44cos??sin?的值为 A．11. 求cos4BC． D．192?3?4?5?coscoscos?111111111111A. B. C. 1 D. 022xx12.函数y?sin?的图像的一条对称轴方程是 22115?5??A．x?? B．x?C．x?? D．x??3333二．填空题cos13．已知?,?为锐角，cos??1,cos??15,则的值为14．在?ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x2?7x?2?0的两个实根，则tanC? 15.若sin3?4,cos，则角?的终边在象限．52516.代数式sin15ocos75o?cos15osin105o?三角恒等变换测试题2009-5-11一、选择题：；；三．解答题3517．△ABC中，已知cosA?,cosB?,求sinC的值．5133123,cos?,sin??,求sin2?．18．已知24135)19．已知α为第二象限角，且 sinα=的值． ,求4sin2??cos2??1sin,??,且tan?,tan，427求tan的值及角2．21．已知函数f?cos2xxcosx?1，x?R. 求证f的小正周期和最值；求这个函数的单调递增区间．《数学必修4》三角恒等变换测试题答案一、选择题二、填空题3?313、14、 ? 15、第四 16、42三、解答题3417.解:在?ABC中,cosA?,?sinA?555123又由sinB?,可得cosBsin2B??,?sinA??A?600若cosB??,?B?1200,这时A?B?1800不合题意舍去,故cosB?,13134123563sinCsinsinAcosBcosAsinB5135136519.解:?23?43?2454sin,cos135sin2sin[]sincoscossin3124556513513651?cos2x21?cos2x2sin2xcos2xsin4x?cos4x20.证明:左边222212cosxsinxsinxcosxsin2x41?cos4x222?2cos2x2右边1?cos4x1?cos4x1?cos4x23. 简单的三角恒等变换一、填空题1．若2．已知sinθ=－4．已知α为钝角、β为锐角且sinα=5．设5π＜θ＜6π，cos二、解答题6．化简7．求证：2sin²sin=cos2x．4Aa?cosB?b?a?b．．在△ABC中，已知cosA=，求证：a?ba?b?cosBtan22tan210．求sin15°，cos15°，tan15°的值．11．设－3π＜α＜－12．求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．cos5π，化简．213．求证：4sinθ²cos?=2sinθ+sin2θ．14．设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos15．已知sinα=124?，sin=，α与β均为锐角，求cos． 135?x的值．参考答案一、填空题1． ?11?a7．．－34．．－522二、解答题6．解：原式=1?sin2??cos2? 1?sin2??cos2?1?2sin??cos1?2sin2??= 1?2sin??cos2cos? 2sin??cossin2?=2sin??cos??2cos?2sincos??sin??=cos??=tanθ．7．证明：左边=2sin²sin4ππ－x）²cos4π－2x） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=1?2sin??cos? cos2??sin2?cos2??sin2??2sin??cos?= ?2===cos??sin? cos??sin?1?tan? 1?tan?=右边，原题得证．9．证明：∵cosA=∴1－cosA=1+cosA=∴a?cosB?b，a?b?cosB?，a?b?cosB?． a?b?cosB1?cosA?． ?1?cosA?2sin2A1?cosA?tan2A， ?而1?cosA2cos2B221?cosBB?tan2， 1?cosB2Atan2AB?a?b．∴tan22?²tan22，即Ba?btan2210．解：因为15°是第一象限的角，所以cos30213223842，2444sin15°=cos15°=1?cos30??21?32?2?3?8?4??6?2，2444tan15°=?cos30?=2－3． 1?cos30?11．解：∵－3π＜α＜－5π3π?5π?，∴－＜＜－，cos＜0．24??又由诱导公式得cos=－cosα，∴1?cos1?cos??=－cos． ?2??1?cos2?12．证明：左边=1+2cos2θ－cos2θ－cos2θ=2=右边．??2213．证明：左边=4sinθ²cos?=2sinθ²2cos?=2sinθ²=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin2x+sinx－24=0，所以sinx=24或sinx=－1．5247，cosx=－．525又因为x是第二象限角，所以sinx=又x是第一或第三象限角，?cosxx??221?7=±3．5从而cos15．解：∵0＜α＜又∵0＜α＜π5，∴cosα=?sin2??． 132ππ，0＜β＜，2π，∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜∵sin＜sinα，∴α+β＜α不可能．故π3＜α+β＜π．∴cos=－．23541233??，1351365∴cosβ=cos［－α］=coscosα+sinsinα=－∵0＜β＜∴0＜π，?π＜．41?cos?765． ?265故cos。

高考数学一轮复习 3.3两角和与差及二倍角三角函数公式练习理

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：原式＝cos 45°＝22.故选B. 答案：B2．设tan (α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( )A.318 B.322 C.1318 D.1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32 答案：D 4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．cos π9cos 2π9cos 4π9＝( )A.13B.14C.16D.18 解析：cosπ9cos 2π9cos 4π9＝12sinπ9·2sinπ9cos π9cos 2π9·cos 4π9＝12sinπ9·sin2π9cos 2π9cos 4π9＝14sin π9sin 4π9cos 4π9＝18sin π9sin 8π9＝18sinπ9sin π9＝18.故选D.答案：D6. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79 答案：C7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ等于( ) A ．－13 B.13C ．－79 D.79解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2×19＝79.又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝－cos[π－(π3－2θ)]＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝－79.故选C.答案：C8．函数y ＝sin 2x1＋cos 2x的最小正周期为________．解析：y ＝sin 2x 1＋cos 2x ＝2sin x cos x2cos 2x ＝tan x ，所以最小正周期T ＝π. 答案：π9．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan 2α 的值为______．解析：∵tan α＝－21＝－2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 答案：4310．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________．解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．若sin (π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于________．解析：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.∴sin 2α－cos 2α2＝2 sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.答案：42512．已知向量a ＝(cos 2x ，1)，b ＝(1，sin 2x)，x ∈R ，函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝325，求cos 2α的值．解析：(1)f (x )＝a·b ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝2cos α＝325 ，则cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.13．在△ABC 中，已知cos A ＝17，cos(A －B)＝1314，且B ＜A.(1)求角B 和sin C 的值；(2)若△ABC 的边AB ＝5，求边AC 的长．解析：(1)由cos A ＝17＞0，cos(A －B )＝1314＞0，得0＜A ＜π2且0＜A －B ＜π2.可得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，sin(A －B )＝1－cos 2（A －B ）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314， ∴cos B ＝cos[A －(A －B )]＝cos A cos (A －B )＋sin A ·sin (A －B ) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∵0＜B ＜π，且B <A ， ∴B ＝π3.∵在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝437×12＋17×32＝5314. (2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AC ＝AB ·sin Bsin C ＝5×325314＝7.。

高考数学总复习第三章第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题文(含解析)

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式题号 1 2 3 4 5 6 7答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴si n β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。

三角函数两角和与两角差倍角公式

三角函数训练-两角和与两角差1.若sin532=θ，542cos -=θ则θ在（） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限Ｄ.第四象限 2.cos2125π＋cos 212π＋cos 125πcos 12π的值等于 ( ) A.26 B.23 C.45 Ｄ.1+433.已知π＜α＜23π，且sin （23π＋α）＝54，则tan 2α等于 ( ) A.3 B.2 C.－2 Ｄ.－34.若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2ｍＤ.21m5.下列关系式中不正确．．．的是 ( ) A.sin α＋sin β＝2sin2βα+cos2βα-B.sin α－sin β＝2cos 2βα+cos 2βα-C.cos α＋cos β＝2cos 2βα+cos 2βα-Ｄ.cos α－cos β＝2sin 2βα+sin 2αβ-6.如果tan 312=α，那么cos α的值是 ( )A.53B.54C.－53 Ｄ.－547.化简)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的值是 ( ) A.tan 2xB.tan2xC.－tan x Ｄ.cot x8.若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α的值为 ( )A.5B.－5C.51 Ｄ.－51三角函数训练-两角和与两角差1.设5π＜θ＜6π，cos2θ＝a ，则sin 4θ等于 ( ) A.－21a + B.－21a- C.－21a + Ｄ.－21a - 2.若tannmA =2，则ｍcos A －ｎsin A 等于 ( ) A.ｎ B.－ｎ C.－ｍＤ.ｍ3.若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝ .4.tan5π＋tan 52π＋tan 53π＋tan 54π＝ .5.已知sin θ＝－53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ＝ .6.已知sin α＝31，2π＜α＜3π，那么sin 2α＋cos 2α＝ .7.cos 85πcos 8π＝ .8.sin （θ＋75°）＋cos （θ＋45°）－3cos （θ＋15°）＝ . 9.已知π＜θ＜23π，cos θ＝－54，则cos 2θ＝ . 10.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ . 11.若cos （α＋β）＝54，cos （α－β）＝－54，且2π＜α－β＜π，23π＜α＋β＜2π，则cos2α＝，cos2β＝ .12.求2sin160°－cos170°－tan160°sin170°的值.13.已知sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41，求cos4x 的值. 14.求证tan xx x x x 2cos cos sin 22tan 23+=- 15.若函数ｙ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)，及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）的值.三角函数训练- 两倍角公式1．如果,532cos =θ那么θθ44cos sin +的值是（） A ．251 B.1 C.2517 D.2517-2．若,135)4cos(=+A π求sin2A 的值. 3．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=.4．已知,31)sin()sin(=-+βαβα求证：αβα422cos sin 2sin 41++为定值.5．已知α、)2,0(πβ∈，且,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα求证：,22πβα=+并求αsin 、βsin 、αcos 、βcos 的值.6．若,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα则（）A ．a <b B.a >b C.ab <1 D.ab >27．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin 等于（） A ．322 B. 322- C. 32 D.32-三角函数训练(三)答案1、解：由sin532=θ＞22，cos 2θ＝－54＜－22 得2θ为第二象限角. 即2ｋπ＋43π＜2θ＜2ｋπ＋π （ｋ∈Ｚ）∴4ｋπ＋23π＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）∴θ在第四象限. 答案：Ｄ 2、解：原式＝sin 212π＋cos 212π＋sin 12πcos 12π＝1＋21sin 6π＝45 答案：C3、解：由sin （23π＋α）＝－cos α＝54，π＜α＜23π，得cos α＝－54，2π＜2α＜43π∵cos α＝1－2sin22α ∴sin 2α＝10103 cos2α＝－1010∴tan 2α＝－3答案：Ｄ4、解：∵tan θ＋cot θ＝tan θ＋θtan 1＝ｍ即：m =+θθtan 1tan 2 又∵sin2θ＝m2tan 1tan 22=+θθ答案：B5、解：因为sin α－sin β＝2cos 2βα+sin2βα-.答案：B6、解：cos α＝549119112tan 12tan 122=+-=+-αα.答案：B7、解：原式＝x x x x x x x x 2cos 12sin )22sin(1)22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=+++=++++-+ππππππ x x x tan cos 2cos sin 22-=-=α答案：C8、解：由sin α＝135，α在第二象限得cos α＝－1312. ∴tan2α＝5cos 1sin =+αα答案：A三角函数训练(四)答案1、解：∵cos 2θ＝1－2sin 24θ 5π＜θ＜6π 45π＜4θ＜23π ∴sin 24θ＝21a - 即sin4θ＝－21a -. 答案：Ｄ2、解：ｍcos A －ｎsin A ＝ｍ·.2tan 12tan22tan 12tan 1222m AAn A A -=+⋅-+- 答案：C3、解：由⎪⎩⎪⎨⎧-==+2cos sin 1cos sin 22αααα得cos α＝55.答案：55 4、解：原式＝tan 5π＋tan 52π＋tan （π－52π）＋tan （π－5π）＝tan 5π＋tan 52π－tan52π－tan 5π＝0. 答案：05、解：∵3π＜θ＜27π ∴23π＜2θ＜47π又∵sin θ＝532tan 12tan22-=+θθ∴tan2θ＝－3. 答案：－36、解：∵2π＜α＜3π ∴π＜2α＜23π（sin2α＋cos 2α）2＝1＋sin α＝34∴sin2α＋cos 2α＝－332. 答案：－332 7、解：cos85πcos 8π＝cos （2π＋8π）cos 8π＝－sin8πcos 8π＝－21sin 4π＝－42.答案：－428、解：设θ＋15°＝α原式＝sin （α＋60°）＋cos （α＋30°）－3cos α＝sin αcos60°＋cos αsin60°＋cos αcos30°－sin αsin30°－3cos α＝0. 答案：09、解：由π＜θ＜23π得2π＜2θ＜43π 又cos θ＝2cos 22θ－1＝－54∴cos2θ＝－1010. 答案：－101010、解：原式＝tan （19°＋26°）（1－tan19°tan26°）＋tan19°tan26°＝1. 答案：111、解：∵2α＝（α＋β）＋（α－β） ∴cos2α＝cos ［（α＋β）＋（α－β）］＝－257∵2β＝（α＋β）－（α－β） ∴cos2β＝cos ［（α＋β）－（α＋β）］＝－ 1. 答案：－257－112、解：原式＝2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin 20cos 10cos 40sin 20cos )10sin 20sin 20cos 10(cos 20cos 20sin 2=︒=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒︒+︒︒=13、解：由sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41 ⇒21［sin （2x －π）＋sin （－2π）］＝－41⇒sin2x ＝－21⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝21.14、证明：左边＝2cos23cos 2sin23cos 2cos 23sin 2cos 2sin 23cos 23sin x x x x x x x x x x -=- x x x x x x x 2cos cos sin 2)cos 2(cos 21)223sin(+=+-＝右边. 15、解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根. ∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan （α＋β）＝p p=--)3(14.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan （α＋β）sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin 2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2三角函数训练(五)答案1、分析：先化简θθ44cos sin +为（.cos sin 2)cos sin 22222θθθθ-+即为.)cos (sin 212θθ-然后用倍角公式：.22sin cos sin θθθ=⋅用532cos =θ可得2516)2(sin 2=θ ∴原式.251725421=⋅-= 答案：C2、分析：角2A 与A +4π不是倍角关系，但)4(222A A +=+ππ，故我们可以结合诱导公式与倍角公式来解决这个问题.解：169119)135(21]1)4(cos 2[)4(2cos )22cos(2sin 22=⨯-=-+-=+-=+-=A A A A πππ3、分析：因为α是2α的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得.证明：∵2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==⋅=+ 同理，2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 所以原式成立.4、分析：求证一个三角函数式为定值，就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式，所以我们得用如下公式：).cos()cos(sin sin 2βαβαβα+--=证明：∵)]()cos[()]()cos[(βαβαβαβα--+--++)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+=)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+-)sin()sin(2βαβα-⋅+-=∴32312)sin()sin(22cos 2cos -=⨯-=-+-=-βαβαβα ∵αβα422cos sin 2sin 41++)(324121)32(21414121)2cos 2(cos 21)2cos 2(sin 412cos 412cos 21412cos 21212sin 41)]2cos 1(21[)2cos 1(212sin 41222222常数=++-⨯+=++-++=+++-+=++-+=βαααααβααβα ∴原命题成立.5、分析：本题前半部分实际上是一个给值求角类型题，因此在确定βα2+范围的前提下，利用两个已知条件，求得βα2+的某一三角函数值.而要求βα2+的三角函数值必须用到和角公式，且应找到β2sin 、β2cos 与角α的三角函数值之间的关系.解：由已知得：ααββαcos sin 32sin sin 21sin 322=-=即αβ2sin 32cos = ① ααβcos sin 32sin = ② ∴βαβαβα2sin sin 2cos cos )2cos(-=+ 0cos sin 3sin sin 3cos 2=⋅-⋅=ααααα∵α、)2,0(πβ∈, ∴)23,0(2πβα∈+ 于是有22πβα=+，原式成立.由①2+②2得：22222)cos sin 3()sin 3(2sin 2cos αααββ+=+1sin 9 sin 9)cos (sin sin 922222==+=ααααα即得∵)2,0(πα∈， ∴322sin 1cos 31sin 2=-==ααα 将91sin 2=α代入1sin 2sin 322=+βα得：1sin 2)31(322=+⨯β 即31sin 2=β ∵)2,0(πβ∈ ∴33sin =β 36cos =β 6、分析：此题可用倍角公式化简后再比较.把a =+ααcos sin 的两边平方，则有ααsin 2sin 2+αα2cos cos +22sin 1a =+=α，同理.2sin 12b =+β因,40πβα<<<所以,2220πβα<<<则,,2sin 2sin 22b a <<βα而a ＞0,b ＞0,则有a ＜b .答案：A7、分析：此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式22244)cos (sin cos sin θθθθ+=+θθ22cos sin 2-,95)2(sin 2112=-=θ则,98)2(sin 2=θ因θ为第三象限角，则,0cos ,0sin <<θθ即.02sin cos sin 2>=⋅θθθ所以.3222sin =θ 答案：A。

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是； 8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x +=。

三、解答题：11、求的值。

·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。

cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。

答案：一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。

3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。

两角和与差及二倍角的三角函数公式必修四

2.1两角和与差及二倍角的三角函数公式一、选择题1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－ 32 D.322．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．23．(2011年辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 5．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 二、填空题6．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是______________．7．(2010年全国)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________. 8．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2 2sin 2x 的最小正周期是________． 9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 三、解答题10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，1)．(1)当a ⊥b 时，求tan2θ；(2)求|a ＋b |的最大值．11．(2010年天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.－2＋1 7.－128.π 9．－566510．解：(1)a ⊥b ⇔3cos θ＋sin θ＝0(cos θ≠0)⇔3＋tan θ＝0⇔tan θ＝－3，∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2 31－(－3)2＝ 3. (2)∵a ＋b ＝(cos θ，sin θ)＋(3，1)＝(cos θ＋3，sin θ＋1)， ∴|a ＋b |＝(cos θ＋3)2＋(sin θ＋1)2＝cos 2θ＋2 3cos θ＋3＋sin 2θ＋2sin θ＋1＝5＋2 3cos θ＋2sin θ ＝5＋4⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝5＋4sin (θ＋60°). 当sin(θ＋60°)＝1时，|a ＋b |max ＝5＋4＝3. 11．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B cos C，于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝13. 又0<2B <π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝2 23. 从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝4 29， cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝4 2－7 318.。

两角和、差及倍角公式-高考理科数学课时分层作业练习

两角和、差及倍角公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=( )A. B.- C.- D.【解析】选D.原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,则sin 2θ= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cos θ)=,两边平方得(1+sin 2θ)=,解得sin 2θ=-.3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sin αcos β=cos α(1+sin β),则( )A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=【解析】选B.因为sin αcos β=cos α(1+sin β),所以sin(α-β)=cos α=sin,所以α-β=-α,即2α-β=.4.已知sin α=,sin=-,α,β均为锐角,则cos 2β=( )A.-B.-1C.0D.1【解析】选C.由题意知:cos α==,cos(α-β)==.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=0.【变式备选】已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cos β的值为( )A.-B.C. D.-【解析】选 C.因为α∈,α+β∈,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,故cos β= cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.5.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= ( )A. B. C. D.【解析】选 A.tanβ=tan[(α+β)-α]===.6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+)的值为( )A. B.- C.-1 D.1【解题指南】先根据任意角三角函数的定义求出sin θ及cos θ的值,再用诱导公式及倍角公式求解.【解析】选B.由题意知sin θ=,cos θ=,故sin=cos2θ= cos2θ -sin2θ=-=-.7.(2018·郑州模拟)已知sin α+cos α=,则sin2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin α+cos α=,所以1+2sin αcos α=,即2sin αcos α=-,因此sin2==(1-2sin αcos α)=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·江苏高考)若tan=, 则tan α=__________ ____.【解析】tan α=tan===.答案:9.(2018·长沙模拟)已知P,Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P 点的纵坐标为,Q 点的横坐标为,则cos ∠POQ= __________.【解题指南】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin ∠xOP 和cos ∠xOQ 的值,利用同角三角函数的基本关系求得cos ∠xOP 和sin ∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )的值.【解析】由题意可得,sin ∠xOP=,cos ∠xOQ=,所以cos ∠xOP=,sin ∠xOQ=.所以cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos ∠xOP ·cos ∠xOQ-sin ∠xOP ·sin ∠xOQ=×-×=-.答案:-10.(2018·青岛模拟)在锐角△ABC中,B>,sin =,cos =,则sin(A+B)=__________.【解析】因为sin=,所以cos=±,因为cos=-<-=cosπ,所以A+>⇒A>(舍),所以cos=,由cos=⇒sin=,所以sin(A+B)=sin=sin cos+cos sin=×+×=.答案:1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )A.5B.-1C.6D.【解析】选A.因为sin(α+β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=.①因为sin(α-β)=,所以sin αcos β-cos αsin β=.②①+②得sin αcos β=.②-①得cos αsin β=.==5.2.(5分)化简:·=________.【解析】原式=tan(90°-2α)·=··=··=. 答案:3.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos=________.【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α= cos 2α=,又因为α∈,所以2α∈(0,π),故sin 2α==,所以原式=cos 2αcos -sin 2αsin =×-×=-.答案:-4.(12分)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值.(2)求cos β的值.【解题指南】(1)根据α,β的范围,利用同角三角函数的基本关系求得sin(α-β)的值.(2)由(1)可得cos(α-β)的值,根据已知求出cos α的值,再由cos β= cos[α-(α-β)],利用两角差的余弦公式求得结果.【解析】(1)因为α,β∈,从而-<α-β<.又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因为α为锐角,sin α=,所以cos α=.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM= ,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)由题意,OA=OM=1,因为S△OAM=和α为锐角,所以sin α=,cos α=.又点B的纵坐标是.所以sin β=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.(2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2××=,所以2α∈.因为β∈,所以2α-β∈.因为sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,所以2α-β=-.。

两角和与差练习题(供参考)

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则；12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)．则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（）Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知α,β是锐角，sin α=x,cos β=y,cos(α+β)=－53，则y 与x 的函数关系式为（） A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1)C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（）A ．1B ．2 C1 D2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（）A. 83-B . 83 C. 73D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于（）A ．23π- B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（）Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（）Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（）Ａ。

第四章《三角函数》两角和差和倍角公式

一、学习目标：（1）掌握两角和与差，二倍角的正弦、余弦和正切公式；（2）能正确运用公式，以角、名、次、形为切入点进行简单的三角函数式的化简、求值和证明. 二、知识回顾：1、两角和差的三角函数＝_____________________________()cos αβ±＝___________________________()tan αβ±＝_____________________________注：（1）sin cos αα±=_________________________1tan 1tan αα±=m _________________________tan tan αβ±=________________________________（2）辅助角公式：sin cos a x b x +＝___________（其中sin ________cos ________ϕϕ==） 2、二倍角的三角函数sin 2α＝__________________ cos2α＝____________＝_______________＝_______________tan 2α＝_____________________________,()242k k k Z ππαπαπ⎛⎫≠+≠+∈ ⎪⎝⎭注：降幂公式：2sin α＝__________________ 2cos α＝____________________三、例题精析：例1、（1）已知)23,(,135cos ),,2(,54sin ππββππαα∈-=∈=，则cos()αβ+=________；cos()αβ-=____________．（2）已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于．（3）若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为．例2、（1）︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为．（2）若m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(，且β为第三象限角，则βcos 的值为．（3）=︒+︒15cos 15sin ．（4）1tan151tan15+︒-︒=．（5）tan10tan 503tan 50︒+︒+︒︒=．例3、1、（1）=︒+︒+︒+︒+)28tan 1)(27tan 1)(18tan 1)(17tan 1(________．（2）已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值.（3）已知tan()2tan αββ+=，求证：3sin sin(2)ααβ=+.2、（1）求值：sin 40(tan103)︒︒.（2(1sin cos )(sincos )22)22cos θθθθθπθ++-<<+.（4）化简：22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-3、（1）若23177sin 22cos cos ,451241tan x x x x x πππ+⎛⎫+=<< ⎪-⎝⎭，求的值.（2）若1tan 31tan αα+=+-1sin 2cos 2αα-的值.（3）如果21)sin(=β+α，31)sin(=β-α，求tan tan αβ的值.（4）已知sin sin cos cos a b αβαβ+=+=，(0)ab ≠，求2-tan 2αβ.4、是否存在锐角βα,，使得 ①322πβα=+；②32tan 2tan -=βα同时成立？若存在，求出βα, 的值；若不存在，请说明理由. 四、反馈训练： 1、设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于． 2、求值：（1）sin15cos15︒︒=__________；（2）22cos112π-=__________；（3）2tan 22.51tan 22.5︒=-︒_________；（4=________；（5）cos36cos72︒︒= ____ ． 3、如果21)4tan(,43)tan(=-=+πββα，那么)4tan(πα+的值等于．4、已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为．5、如果θ+=θcos 1sin 2，则2tan θ=．6、求值：（1）()sin 501︒+︒ （2）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒7、化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+8、证明：x x x x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+五、课堂小结：附【高考要求】A 基础训练 1、若α是第四象限角，则πα-是第____象限角，学习好资料欢迎下载2πα-是第____象限角.2、（1）11tan tan ,73,,αβαβ==若为锐角，2αβ+=则．（2）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ,()54cos -=-x π，则=x 2tan ．（3）若54cos -=α，23παπ<<，则=2cos α．（4）△ABC 中，若，，135cos 54cos ==B A 则cosC 的值是__． 3、（1）︒︒+︒︒158sin 203sin 22cos 113sin 的值为．（2）12cos312sinππ-=y 的值是．（3）若2tan 1tan 1=+-A A，则)45tan(A -︒等于．（4）33tan1533tan15+︒-︒＝________.4、化简：（1）125sin 12sin ππ=．（2）212sin 75-︒=．（3）θsin 1+=___；（4）αcos 1+=_________.5、（1）若，且24xx <<π，则x x sin cos -=．（2）已知2sin cos 5θθ⋅=，2cos cos θθ=-，则sin cos θθ+的值是．（3）已知135)4sin(=-x π，40π<<x ，求)4cos(2cos x x +π．6、（1）已知βαβαα,,53)cos(,54sin -=+=都是第一象限的角，则βsin =__________（2）若21tan(),tan()544παββ+=-=,则tan()4πα+=____.（3）已知),2(,61)4sin()4sin(ππααπαπ∈=-+，求α4sin ．（4）已知,53)sin(,1312)cos(-=+=-βαβα且432παβπ<<<，求α2sin 的值.（5）2)tan(-=β+α，21)tan(=β-α，求βα2sin 2sin 之值.7、（1）8cos 16cos 32cos 32sin2ππππ=. （2）︒︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan 的值为.（3）tan10tan 203(tan10tan 20)︒⋅︒+︒+︒＝. （4）在△ABC 中，若角60B =︒，则2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++=. （5）若34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--的值是.8、求值（1）cos cos(120)cos(120)A A A +︒-+︒+（2）sin15cos15sin15cos15︒-︒︒+︒（3）31cos50cos 40+︒︒（4）︒-︒︒-︒+︒20cos 180cos 20cos )10tan 31(50sin（5）.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒（6）已知：tan ,514=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a π求a a a 2cos 1sin 2sin 2--的值.学习好资料欢迎下载9、求证：sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为552,102．（1）求)tan(βα+的值；（2）求βα2+的值．B 能力提高11、（1）设)14cos 45sin 14sin 45(cos 20000+⋅=a ，()000016cos 45cos 16sin 45sin 2+⋅=b ，26=c ，则a 、b 、c 的大小关系为.（2）如果532cos =x ，那么sin 4x ＋cos 4x =. 12、（1）若sin cos 1αβ=-，则sin()αβ+＝_____________.（2）sin cos 1,sin cos ()nnx x x x n +=+∈Z 若那么的值_______.13、（1）在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是____________三角形.（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是______三角形.14、（1）已知βαtan ,tan 为方程0522=-+x x 的两根，=++)cos()sin(βαβα.（2）若tan ,tan()4πθθ-是方程20x px q -+=的两个根，则,p q 的关系是__________.（3）若βαtan ,tan 是方程22360x x +-=的两个实根，则)cos()cos()sin(βαβαβα+--+的值为______.（4）设tan α，tan β是一元二次方程： x 2＋33x ＋4=0的两个实数根，并且－2π＜α＜2π，－2π＜β＜2π求β+α的值.（5）已知),,0(,πβα∈且βαtan ,tan 是方程0652=+-x x 的两根.（1）求βα+的值；（2）求)cos(βα-的值.15、（1）8cos(2)5cos 0αββ++=条件“”是13tan()tan 3αβα+⋅=“”的________________条件. （2）已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+＝____________.（3）已知()()44cos cos 55αβαβ+=-=-，，3222ππαβπαβπ<+<<-<且，，分别求βα2cos 2cos 和的值.16、（1）已知091sin sin sin =︒++βα，091cos cos cos =︒++βα，则）（βα-cos 等于________. （2）已知α、β是锐角且223sin 2sin 1,αβ+=3sin 22sin 2αβ=，求证：22π=β+α.。

高302班之三角函数两角和差及二倍角公式

高302班之三角函数两角和差及二倍角公式1．计算sin95cos50cos95sin50︒︒-︒︒的结果为（）A ．2-B ．12C ．2D ．22．式子22cos cos sin sin 3636ππππ-的值为( )A ．12-B ．0C ．1D ． 3．计算sin13cos17cos13sin17+的值为（）A ．2B ．12C ．1-2D ．4．00sin37522+的值为（）A ．2 B ．12 C ．2- D ．12- 5．cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+等于( )A ．12B C D ．16．cos165°的值为（）A B C ． D ． 7．若tan ,tan αβ是方程2240x x --=的两根，则()tan αβ+=（） A ．25B ．23-C ．25-D ．238．函数2530x x ++=的两根是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（） A ．53B ．52C ．52-D ．53-9．已知3tan 4α=-，则tan()4πα+=（）A ．17 B ．7C ．17-D ．-710．若3cos 5α=，α是第四象限角，则sin()4πα+=（）A ．10-B ．10C ．10-D ．1011．若,αβ均为第二象限角，满足3sin 5α=，5cos 13β=-，则c o s ()αβ+=（）A ．3365-B ．1665-C ．6365D ．336512．若tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A ．B ．C ．-D ．13．在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则s i n()4πα+=（）A ．10B ．10C D ．-1014．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-15．2sin15cos15︒︒的值等于（）A ．0B C ．1 D ．1216．已知sin α=，则cos2=α（）A ．35-B ．35C ．5-D 17．sin15cos15︒︒的值是( )A ．14B ．12C D 18．计算212sin 22.5-︒的结果等于( )A ．12B ．2C D 19．212cos 67.5-︒=（）A ．12B ．2-C ．2D ．20．下列各式中的值为的是（） A ． B ． C ．D ．21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2α=（）A B ．13C ．13-D ． 22．已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =（）A ．316-B ．8-C ．8±D 23．在平面直角坐标系中，角α的终边过()P 2,1-，则2cos αsin2α-的值为( ) A ．2425B ．85C ．65D ．4524．若α为第一象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（） A ．2425B ．1225-C ．1225D ．2425-25．若2sin()3απ-=，则cos2=α（） A ．59 B ．19C ．19-D ．59-26．已知3sin 4α=，则()cos 2απ-=( )A ．18 B ．18-C ．19D ．327．已知cos θ=13，θ∈（0，π），则cos （32π+2θ）=（）A ．9-B ．79-C ．9D ．7928．已知sin()25πα+=，(,0)2απ∈-，则sin 2α=（） A ．45-B ．45C ．25D ．25-29．己知，则（）A ．B ．C ．D ．30．已知，则（） A ． B ．C ．D ．31．计算sin 47cos17cos47sin17︒︒︒︒-的结果为________.32．若4tan 3α=，则3tan()4πα+= ________. 33．cos75︒=_____. 34．已知,αβ均为锐角，且满足11sin ,cos ,23αβ==则()cos αβ-=________.35．已知3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=________ 36．已知sin 2cos 0αα-=，则tan2α=________. 37．已知，则______．38．已知3sin α5=，πα,π.2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1求cos α和()tan απ+的值． ()2求πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭和πcos α.3⎛⎫- ⎪⎝⎭39．已知45cos α=-，且α为第二象限角．（Ⅰ）求22cos πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求24tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．参考答案1．C 【解析】【分析】由两角差的正弦公式计算可得答案. 【详解】sin95cos50cos95sin50sin(9550)sin 452︒︒-︒︒=︒-︒=︒=故选：C 【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属于简单题. 2．D 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式可得原式为cos （2ππ36+），再由特殊角的三角函数值可得结果. 【详解】2ππ2ππcoscos sin sin 3636-=cos （2ππ36+）＝cos 5π6=-cos π62=-，故选D ．【点睛】本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题. 3．B 【解析】【分析】根据式子的特点，逆用正弦两角和公式，即可计算出。

三角函数计算练习题及答案详解

三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。

两角和与差、二倍角的公式(三)

05-04 两角和与差、二倍角的公式（三）点一点——明确目标能综合使用两角和与差、二倍角的三角函数公式进行求值、化简、证明，具有在不同的解题方法、方案中，对优秀者的选择能力.做一做——热身适应1.已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=_______. 解析：（cos α－cos β）2=41，（sin α－sin β）2=91. 两式相加，得2－2cos （α－β）=3613. ∴cos （α－β）=7259. 答案：72592.f （x ）=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域为 .解析：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，则f （x ）=tt +-1212=21-t ∈［212--，－1］∪（－1，212-）.答案：［212--，－1］∪（－1，212-） 3.满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是 A.α=12π13，β=4π3 B.α=2π，β=3πC.α=2π，β=6π D.α=3π，β=6π解析：由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A. 答案：A4.已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 A.b =a +cB.2b =a +cC.c =b +aD.c =ab解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+，）（，）（a c ab αααα4πtan tan 4πtan tan∴tan 4π=aca b--1=1.∴－a b =1－ac . ∴－b =a －c .∴c =a +b . 答案：C理一理——疑难要点1.化简求值解题目标（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数. 2.化简求值常用方法（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）. （2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.化简求值常用技巧（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质. （3）注意利用角与角之间的隐含关系. （4）注意利用“1”的恒等变形.拨一拨——思路方法【例1】求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .剖析：先转换命题，只需证sin （2α+β）－2cos （α+β）·sin α=sin β，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】试证：θθθθθθsin sin 1tan sin sin 1tan -+++）（）（=θθθθsin tan sin tan +.证明：左边=θθθθθθθθsin sin 1cos sin sin sin 1cos sin -+++）（）（=θθθθcos sin cos sin 1-+1++=2sin 22cos 2sin 22cos 22cos2sin222θθθθθθ++=2sin2cosθθ=cot 2θ，右边=θθθθθθsin cos sin sin cos sin ⋅+=θθsin cos 1+=2cos2sin22cos 22θθθ=cot2θ，∴原等式成立. 【例3】已知α、β∈（0，4π），3sin β=sin （2α+β），4tan 2α=1－tan 22α.求α+β的值.解：∵4tan2α=1－tan 22α， ∴2·tan α=1，tan α=21.∵3sin β=sin （2α+β），∴3sin β=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴3sin （α+β）cos α－3cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴sin （α+β）cos α=2cos （α+β）sin α.∴tan （α+β）=2tan α=1.∴α+β=4π.评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等. 【例4】求cot10°－4cos10°的值.提示：cot10°－4cos10°=︒︒10sin 10cos －4cos10°=︒︒-︒10sin 20sin 210cos =︒︒-︒-︒10sin 20sin 22030cos ）（=︒︒-︒+︒10sin 20sin 220sin 2120cos 23 =︒︒-︒10sin 20sin 2320cos 23 =︒︒-︒10sin 2030sin 3）（=3.练一练——巩固提高1.（2003年高考新课程卷）已知x ∈（－2π，0），cos x =54，则tan2x 等于 .解析：∵cos x =54，x ∈（－2π，0）， ∴sin x =－53.∴tan x =－43. ∴tan2x =x x 2tan 1tan 2-=169123--=－23×716=－724. 答案：－724 2.函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______.解析：y =5sin x +cos2x =5sin x +1－2sin 2x =－2（sin x －45）2+833. ∴sin x =1时，y max =4.答案：43.（2004年春季北京）已知sin （θ+π）＜0，cos （θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是A.tan2θ＜cot 2θ B.tan2θ＞cot 2θ C.sin 2θ＜cos 2θD.sin 2θ＞cos 2θ解析：由已知得sin θ＞0，cos θ＜0，则tan 2θ－cot 2θ=2cos 2sinθθ－2sin2cosθθ=－θθsin cos 2＞0. ∴tan2θ＞cot 2θ. 答案：B4.下列四个命题中的假命题是A.存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC.对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β解析：由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得 sin αsin β=0.∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）. 答案：B5.求周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值.解法一：a +b +22b a +=L ≥2ab +ab 2. ∴ab ≤22+L.∴S =21ab ≤21（22+L ）2=21·［222L ）（-］2=4223-L 2.解法二：设a =c sin θ，b =c cos θ.abc∵a +b +c =L ，∴c （1+sin θ+cos θ）=L . ∴c =θθcos sin 1++L .∴S =21c 2sin θcos θ=22L 2cos sin 1cos sin ）（θθθθ++. 设sin θ+cos θ=t ∈（1，2］，则S =22L ·22121）（t t +-=42L ·11+-t t =42L （1－12+t ）≤42L （1－122+）=4223-L 2. 6.（2004年湖南，17）已知sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α+tan α－cot α－1的值.解：由sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=sin （4π+2α）·cos （4π+2α）=21sin （2π+4α）=21cos4α=41，得cos4α=21. 又α∈（4π，2π），所以α=12π5. 于是2sin 2α+tan α－cot α－1=－cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=－cos2α+αα2sin 2cos 2-=－（cos2α+2cot2α）=－（cos 6π5+2cot 6π5）=－（－23－23）=253.7.求证：2sin 2sin 12αα-1+=2tan12tan1αα-+.证明：左边=ααcos sin 1+=2sin 2cos 2cos 2sin 222αααα-+）（=2sin 2cos 2sin2cos αα-+，右边=2cos2sin 12cos2sin 1αααα-+=2sin2cos2sin 2cos αααα-+，∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22， ∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =22， ①∴（sin A +cos A ）2=21.∴2sin A cos A =－21. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0.∴90°＜A ＜180°.∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =26. ②①+②得sin A =462+. ①－②得cos A =462-.∴tan A =A Acos sin =462+·624-=－2－3.（以下同解法一）想一想——拓展发散锐角x 、y 满足sin y csc x =cos （x +y ）且x +y ≠2π，求tan y 的最大值. 解：∵sin y csc x =cos （x +y ），∴sin y csc x =cos x cos y －sin x sin y ， sin y （sin x +csc x ）=cos x cos y . ∴tan y =x x xcsc sin cos +=x x x sin 1cos sin +=x x x x 22cos sin 2cos sin +=x x 2tan 21tan +≤xx tan 22tan =42，当且仅当tan x =22时取等号. ∴tan y 的最大值为42.。

两角和与差的三角函数及二倍角公式

两角和与差的三角函数及二倍角公式填空题1 ．设为锐角,若,则的值为____.2 ．已知π2cos()23α-=,则cos α=________. 3 ．在锐角△ABC 中,A = t + 1,B = t - 1,则t 的取值范围是_______. 4 ．在△ABC 中,若sin 2cos(),tan sin B A B B A=+则的最大值为_____________. 5 ．已知113cos ,cos()714ααβ=-=,且02πβα<<<,则cos β=_________. 6 ．已知5,,36ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若455sin ,cos 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()sin αβ-的值为_________.7 ．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 8 ．已知,则________. 9 ．已知01cos(75)3α+=,则0cos(302)α-的值为__________. 10．已知为锐角,,则_________. 11．在ABC △中,已知4cos 5A =,1tan()2A B -=-,则tan C 的值是____. 12．设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=.则cos β的值为____. 13．已知,2)4tan(=+πx 则x x 2tan tan 的值为__________ 14．已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________. 15．已知,,则的值为________.16．已知θ是第二象限角,且4sin 5θ=,则tan()24θπ-的值为________. 17．已知,8173cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213cos ===ππππππ,根据这些结果,猜想出的一般结论是______________________________________________. α4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)122sin(π+a tan tan 32cos()23απ+=-cos 2α=10cos()410πθ+=(0,)2πθ∈sin(2)4πθ-18．已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为________. 19．如图,在直角坐标系xOy 中,锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴,AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ,记角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .(1)若,23222b c a ac k -+=求B C A 2sin 2cos 2++的值; (2)若,2=k 记),23(),20(πβπβπαα<<=∠<<=∠xOB xOA 求)sin(βα+的值.20．已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.21．已知α,β∈(0,π),且tan α=2,cos β=-.(1)求cos2α的值; (2)求2α-β的值.22．在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且.⑴求的值；⑵求的值。

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三角函数的两角和差及倍角公式练习题
一、选择题： 1、若 sin
3 ( 2
), tan
1
,则 tan( ) 的值是
5
2
A ．2
B ．－ 2
2
2
C ．
D ．
11
11
2、如果 sin x
3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是
1
1
2 3
A ．
B ．
C ．
D ．
6
5
9
10
3、如果 tan(
)
2
, tan( )
1
,那么 tan( )的值是
5
4 4
4
13
3
13
13
A ．
B ．
C ．
D ．
18
22
22
18
4、若 f (sin x)
cos2x, 则 f
3 等于
2
1
3
1 3 A ．
B ．
C ．
D ．
2
2
2
2
5、在 ABC 中， sin A · sin B
cosA · cosB, 则这个三角形的形状是
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
二、填空题：
6 、角终边过点 (4,3) ，角终边过点 ( 7, 1)，则 sin()
；
7 、若 tan 3，则 2 所在象限是
；
8 、已知 cot
4
3，则 2 sin
cos ；
cos
2 sin
9 、 tan 65
tan 70 tan65·tan 70
； 10、化简 3sin 2x 3 cos2x。

三、解答题：
11、求 sec100
tan 240·csc100 的值。

12、已知3
，求(1 tan )(1 tan )的值。

4
13、已知cos2 3 , 求 sin 4 cos4的值。

5
14、已知tan, tan 是方程x 2 3x 5 0的两个根，
求
sin 2 ( ) 2 sin( ) ·cos( ) 的值。

答案：
一、
1 、B
1
2 、D
提示 : tanx = 3, 所求 sin 2 x, 用万能公式。

2
3 、B
提示 :
4
4
4 、A
提示 : 把 x
代入
3
5 、B 提示 : ∵cos(A + B) > 0 ∴角 C 为钝角。

二、
2
6 、
2
7 、分别用万能公式算出 sin 2 及 cos 2 。

第二
8 、
1 10、
2
3 sin(2x)
9、－ 1
2
6
三、
17 3 11、－ 4
12、 2
13、
14、
25
5。