如何利用Maple求解偏微分方程

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微分方程的maple求解

微分⽅程的maple求解1、常⽤函数1)求解常微分⽅程的命令dsolve.dsolve(常微分⽅程)dsolve(常微分⽅程，待解函数，选项)dsolve({常微分⽅程，初值}，待解函数，选项)dsolve({常微分⽅程组，初值}，{待解函数}，选项)其中选项设置解得求解⽅法和解的表⽰⽅式。

求解⽅法有type=formal_series(形式幂级数解)、type=formal_solution(形式解)、type=numeric(数值解)、type=series(级数解)、method=fourier(通过Fourier变换求解)、method=laplace(通过Laplace变换求解)等。

解的表⽰⽅式有explicit(显式)、implicit(隐式)、parametric(参数式)。

当⽅程⽐较复杂时，要想得到显式解通常⼗分困难，结果也会相当复杂。

这时，⽅程的隐式解更为有⽤，⼀般也要简单得多。

dsolve为标准库函数。

2)求解⼀阶线性常微分⽅程的命令linearsol.在Maple中求解⼀阶线性⽅程既可以⽤dsolve函数求解，也可以⽤Detools函数包中的linearsol函数求解。

linearsol是专门求解线性微分⽅程的命令，使⽤格式为: linearsol(线性⽅程，待解函数)linearsol的返回值为集合形式的解。

3)偏微分⽅程求解命令pdsolve.pdsolve(偏微分⽅程，待解变量，选项)pdsolve(偏微分⽅程，初值或边界条件，选项)pdsolve为标准库函数，可直接使⽤。

如果求解成功，将得到⼏种可能结果：⽅程的通解；拟通解(包含有任意函数，但不⾜以构造通解)；⼀些常微分⽅程的集合；2、⽅法1)⼀阶常微分⽅程的解法a 分离变量法 I 直接分离变量法。

如()()dyf xg y dx=，⽅程右端是两个分别只含x 或y 的函数因式乘积，其通解为()()dyf x dx Cg y =+?。

maple 微分方程组

maple 微分方程组摘要：1. Maple简介2.微分方程组介绍3.Maple在解决微分方程组中的应用4.具体示例与操作步骤5.总结与展望正文：【1】Maple简介Maple是一款强大的数学软件，拥有丰富的函数和工具，可以用于解决各种数学问题。

其图形化界面和交互式环境使得用户可以轻松地进行数学计算、可视化和编程。

在本文中，我们将重点介绍如何利用Maple解决微分方程组问题。

【2】微分方程组介绍微分方程组是数学中的一种常见问题，它涉及多个变量的相互关系。

通常形式如下：dx/dt = f(x, t)dy/dt = g(x, t)其中x和y是未知函数，t是时间变量，f(x, t)和g(x, t)是关于x和t的函数。

解决微分方程组有助于了解系统在不同时间点的状态，从而应用于物理、生物、经济等领域的建模和预测。

【3】Maple在解决微分方程组中的应用Maple提供了丰富的函数和操作符，可以方便地处理微分方程组。

以下是一些基本步骤：1.定义方程组：首先，我们需要用Maple符号表示微分方程组。

例如，假设我们有一个两阶微分方程组：ds(x)/dt = x - 2yds(y)/dt = 3x - 4y我们可以用以下方式表示：ds(x) / dt = x - 2*yds(y) / dt = 3*x - 4*y2.初始条件：为了求解方程组，我们还需要指定初始条件。

例如，给定以下初始条件：s(x, 0) = 1，s(y, 0) = 0我们可以用以下方式表示：s(x, 0) = 1s(y, 0) = 03.求解方程组：接下来，我们可以使用Maple的ODE45或其他求解器函数来求解微分方程组。

例如，使用ODE45求解上述方程组，我们可以输入以下命令：ds(x) / dt = x - 2*yds(y) / dt = 3*x - 4*ys(x, 0) = 1s(y, 0) = 04.分析结果：Maple会输出解的数值表示、图形和有关解的更多信息。

maple解方程组命令

maple解方程组命令使用Maple解方程组的命令是一种快速且准确的方法，可以帮助我们解决复杂的数学问题。

Maple是一种强大的数学软件，它可以用来进行数值计算、符号计算、绘图等多种数学运算。

在这篇文章中，我们将探讨如何使用Maple解方程组，并给出一些实际应用的例子。

在Maple中，解方程组的命令是`fsolve`。

`fsolve`函数可以用来求解多个非线性方程组，它的语法如下：```fsolve({equations}, {variables})```其中，`equations`是一个包含多个方程的集合，`variables`是方程中的未知数。

通过这个命令，Maple可以找到方程组的解，并将解返回给用户。

下面我们来看一个简单的例子。

假设我们有一个方程组：```x + y = 5x - y = 1```我们可以使用Maple来解这个方程组。

首先，我们需要定义方程组的变量：```x, y := fsolve({x + y = 5, x - y = 1}, {x, y})```然后，我们可以通过打印变量的值来得到方程组的解：```print(x, y)```运行这段代码后，Maple会输出方程组的解，即x=3，y=2。

这样，我们就成功地用Maple解决了这个方程组。

除了这个简单的例子，我们还可以使用Maple来解决更复杂的方程组。

例如，假设我们有一个由三个方程组成的方程组：```x^2 + y^2 + z^2 = 1x + y + z = 2x - y + z = 0```我们可以使用`fsolve`命令来解这个方程组：```x, y, z := fsolve({x^2 + y^2 + z^2 = 1, x + y + z = 2, x - y + z = 0}, {x, y, z})```然后，我们可以打印变量的值来得到方程组的解：```print(x, y, z)```运行这段代码后，Maple会输出方程组的解，即x=1，y=0，z=1。

利用Maple计算数学的常见命令

面板介绍
Maple工作表左侧的20个面板含有1,000多个符号。用户也可以使用Maple面
板输入数据，面板含有用于常规操作的填充模版。
示例：使用微积分面板求表达式4t6+sin(t)的积分。
操作过程：
打开“微积分”面板，然后点击不定积分的模板。一个不定积分模版将出当前工作表中。在占位符处输入被积表达式，完成后，按下回车键计算。
区分大小写
Maple区分大小写，X，x表示不同的变量名。
示例：输入“x+x”。输入“y+Y”。对比一下输出结果。
隐式乘号
Maple能够理解隐式乘号，项之间的空格理解为乘号。
示例：</strong>键入“3x”隐含的意思为“化表达式，在不同的项之间加入了空格。
示例：使用表达式面板用于求解函数的极限。
操作过程：将光标移到要工作的位置，点击极限表达式，在占位符中填入表达式，完成后按回车键计算。
提示：可以将经常要用的面板项移到收藏夹中。操作方式是鼠标右击面板按钮，然后选
择添加到收藏夹面板中。
符号和命令补全
符号和命令补全机制帮助用户完成符号和命令的输入。键入符号名称开始的几个字符，按下“Esc”键，从弹出的下拉菜单中选择需要的符号。
示例：对表达式y=ex绘图，使用符号补全方式创建指数e。
操作过程：
1.利用面板输入ab模板，在a处输入“e”，再按下“[Esc]”键，然后从列表中选择“exponential‘e’”，在b处输入x，按下回车键。
2.使用右键菜单对表达式绘图，选择“Plots—2-D Plot”。
一些命令补全模板提供Maple命令的调用格式，方便我们快速输入正确的语法命令。
利用maple计算数学的常见命令在进行数学论文撰写时会根据具体的问题来对数学问题进行求解计算

怎样利用Maple对方程进行求解

怎样利用Maple对方程进行求解
Maple的运算功能非常强大，在运算时能够解决各种各样的数学问题，对于一般的函数而言能够解决，同样的，也能够对方程进行求解。

下面介绍Maple求解方程的一些命令。

Maple解方程时经常用到下面几个命令：
solve（方程，未知数）；fsolve（方程，未知数，选项）；解数值解
选项：plex复数域上求根，2.fulldigits保持精度，3.maxsols=n求n个解，4.范围。

一．一元方程（省略“=”号为=0）
二．方程组
三．数值解
四．多项式分解因式、函数展开、合并、化简、转换：
factor（多项式，k），expand（函数），combine（函数），simplify（表达式），convert（表达式，形式，选项），取分子numer（分式），取分母denom（分式）
以上内容向大家介绍了Maple求解方程的常见命令格式，Maple对于一般的函数和方程都能够进行求解，甚至是复杂的方程也能进行求解，Maple符号计算尤其突出，这方面是所有的计算软件都无法比拟的。

Maple中的微分代数方程求解

Part10：Maple中的微分代数方程求解西希安工程模拟软件（上海）有限公司，200810.0 Maple中的微分方程求解器介绍Maple中微分方程求解器使用领先的算法求解以下问题：常微分方程 (ODEs): dsolve 命令用于求解线性和非线性ODEs, 初始值问题 (IVP), 以及边界值问题 (BVP)，可以通过参数项选择求符号解 (解析解) 或数值解。

ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一个交互式用户界面方便用户求解 ODE 以及显示结果的图形。

了解更多信息，参考帮助系统中的 dsolve, dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer.偏微分方程 (PDEs): pdsolve 命令用于求 PDEs 和含边界值问题的 PDEs 的符号解或数值解。

使用Maple的PDE工具可以完成对PDE系统的结构分析和指数降阶处理。

了解更多信息，参考帮助系统中的 pdsolve and pdsolve/numeric.微分-代数方程 (DAEs): dsolve/numeric 命令是符号-数值混合求解器，使用符号预处理和降阶技术，让Maple能够求解高指数的DAE问题。

Maple内置三个求解器用于处理DAEs：1）修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法，2）Rosenbrock 方法，以及 3）修正的拓展后向差分隐式方法。

10.1 Maple中的微分代数方程(DAEs)更多亮点：大部分情况下，通过识别是否存在因变量的纯代数方程，dsolve命令可以判断给定的问题是否是微分代数方程，而不是常微分方程。

如果输入是一个不含有纯代数方程的微分代数方程，使用solve求解时需要用method参数指定对象是一个微分代数方程。

dsolve 有三种数值方法求解DAEs。

默认的 DAE IVP 方法是 modified Runge-Kutta Fehlberg method (rkf45_dae)，另两个方法是 rosenbrock_dae 和 Modified Extended Backward-Differentiation Implicit method (mebdfi)，可以通过 method 参数项指定。

Maple的一个非常实用的功能就是微积分计算它能求导数,作积分,作级数

第3章微积分Maple 的一个非常实用的功能就是微积分计算.它能求导数，作积分，作级数展开，作无穷求和，还有很多很多功能.在这一章，我们关注最基本的功能.极限极限思想是微积分学中最基本的思想，而Maple 知道怎么计算它们.例如，要求lim x →0sin 3x x 的极限值，可以使用Maple 的limit 命令，表达式如下所示：>limit(sin(3*x)/x,x=0);3当然你也可以使用Maple 函数来求解>y:=x->sin(3*x)/x;limit(y(x),x=0);y :=x →sin (3x )x3您可以输入?limit 来查看这条命令的详细说明，但这并不是命令的全部说明.问题3.1尝试着练习这个问题：lim x →0cos (x )−1x 2微分导数相对来说是容易的，所以这一节也一样.Maple 对初等函数和特殊函数的求导是同样容易的，所以这一节只是展示两条Maple 的微分命令，一条用于表达式，一条用于函数.首先，我们对表达式进行微分.我建议你使用下面说明正切函数用法的形式来求一阶导数，二阶导数和三阶导数.你也可以使用diﬀ命令，它直接求出导数，或者Diﬀ和value 命令，给出所求表达式的导数，并计算其值.Diﬀ命令的用途实际上超出你的想像，因为它给你一个机会查看你要Maple 求的导数是不是你所想要的.>diff(tan(x),x);1+tan (x )2>diff(tan(x),x\$2);2tan (x )(1+tan (x )2)>d:=Diff(tan(x),x\$3);>d:=value(d);d :=∂3∂x3tan (x )d :=2(1+tan (x )2)2+4tan (x )2(1+tan (x )2)>d:=simplify(d);d:=2+8tan(x)2+6tan(x)4下面让我们看一下如何对函数进行微分.>f:=x->tan(x)/x;f:=x→tan(x)xDiﬀ命令不能对函数进行微分，因此我们要使用Maple的D命令.这是一条体积小但功能非常强的命令.它能求复合函数的多阶导数（查看所有用法请输入?D），但我们只能对单一函数求一阶导数.求一阶导数是非常容易的fp:=D(f);f p:=x→1+tan(x)2x−tan(x)x2注意，指定D(f)对f p的结果产生函数f p(x).求高阶导数的方法有很多种，这是最通用的一种.>fpp:=D[1$2](f);f pp:=x→2tan(x)(1+tan(x)2x−2(1+tan(x)2)x2+2tan(x)x3方括号里的“1”表示关于参数列表里的第一个变量（这里只有一个）求微分，“$2”表示相当于执行diﬀ命令两次.好了，内容就这么多.这里有一些练习需要训练.问题3.2求下列函数的形式导数.大部分使用表达式形式，(a)和(d)使用函数形式.如果得到混乱的结果，尝试使用simplify命令化简它.你会发现simplify命令对函数无效，为了使结果更好看，用鼠标把你想要化简的混乱结果复制到剪贴板，把它赋给一个新的变量，删除无关的内容，然后再执行化简命令.然后再使用剪切和粘贴命令重建求导函数.Maple的这个组合及编辑是做无错误代数的好方法.(a)∂3∂x3√1+x3(b)∂∂xJ0(x)(c)∂∂xI1(x)(d)∂2∂x2e tan(x)(e)∂∂xΓ(x)(f)∂∂xerf(x)(g)∂∂kK(k)（(g)是第一种形式的完全椭圆积分，使用Maple的EllipticK命令.）问题3.3这是一个你在大学里也使用的求最大最小问题.考虑函数ln(x)J0(x)（我用词“函数”是数学意义的，而不是Maple意义的.如果你仅仅使用一个Maple表达式来定义上面的函数，这个问题是很简单的.）(a)首先画出函数在区间[0,10]上的图像.(b)观察图像，找出并估摸函数取得最大最小值时x的值.接着对函数求导，然后使用fsolve 命令求出x的精确值.假若求导后的表达式为f，如果你想求出1.1附近的零点，你可以这样做：fsolve(f,x=1.1);在量子力学中，你会遇到近似我们已经见过的勒让德函数P n (x ).这些新函数叫做联合勒让德函数P m n .对于每一个整数n ，在区间[0..n ]上，函数由m 的值定义，当m =0时，函数等价于P n (x ).这些函数由勒让德函数的导数的项定义：P m n =(−1)m (1−x 2)(m 2),diff (P n (x ),x $m )这个定义对于大多数的计算机语言来说是累赘的，但是Maple 操控它很容易，因为Maple 用符号化代替数值化.这里有个函数评价它>with(orthopoly);[G,H,L,P,T,U ]>Pnm:=(n,m,x)->(-1)^m*(1-x^2)^(m/2)*diff(P(n,x),x$m);P nm:=(n,m,x )→(−1)m (1−x 2)(12m ),diff (P (n,x ),x $m )在做任何花哨的事情之前我们测试它，因此让我们为n,m 和x 输入数字.>Pnm(3,1,.5);Error,(in Pnm)wrong number (or type)of parameters in function diff 好了，我们又遇到麻烦了.这个问题是P (n,x )返回了什么.如同我们在第2章一个节中看到的这个函数，它不返回数字，而是返回多项式.当我们把0.5赋给x 时，它进入到上面定义的函数Pnm ，并代替x ，然后diﬀ命令尝试关于0.5求导数，而这是没有意义的.观察当我们用一个变量而不是数字来代替x 时发生什么.>Pnm(3,1,t);−√1−t 2(152t 2−32)倘若你想要一个数值结果你可以这样做>a:=Pnm(3,1,t);t:=0.5;a;a :=−√1−t 2(152t 2−32)t :=.5−.3247595264这是很烦人的，另一方面，仅仅考虑它；总之，为什么在Maple 里需要一个数字呢？你要画函数图像，微分，求积，在微分方程里使用，等等.有什么事情比得到一个明确的表达式更好呢？Maple 认为这不是一个问题；而是一个特性.而且这个特性为你使用with(orthopoly)想要得到的所有正交函数所享有.这里还有另一个关于函数Pnm 更烦人的事情.观察当我们尝试用m =0执行时发生什么.>Pnm(5,0,x);Error,(in Pnm)wrong number (or type)of parameters in function diff 当m =0时它假想返回Pn(x)的结果，但事与愿违.不工作的原因是因为我们要求它求一个函数的0阶导数，而Maple 的diﬀ命令应付不了.稍后学习程序之后我们返回这个问题并修复它，使得当m =0时也工作.好了，我已经演示怎样做了.现在请你结合P (5,x )作5个联合勒让德函数的图像，例如，n =5及m =1,2,3,4,5.图像从x =−1画到x =1.用不同的颜色把5个图像画在同一轴上，当m 的范围从1变化到n =5时发生了什么.看过图片之后你可能想要重新缩放函数图像使得它们看起来大小相同.在下一节积分中，我们会重新绘制并用一种自然的方式让函数图像接近相同的尺寸.这是下一节积分中引过来的一个电学问题.电势函数z ，电荷球半径为R ，电荷面密度为σ，其中z 上升到半球的对称轴，表达式如下>V:=-1/2*sigma*R*(-sqrt(R^2+z^2)+sqrt((z-R)^2))/(z*e0);V :=−12σR (−√R 2+z 2+√(z −R )2)ze 0其中e 0表示电荷常数ε0.电场分量E z 可以通过电势V 微分得到：E z =−(∂∂zV ).使用Maple 对这个求导可以得到一个关于E z （繁杂）的表达式.化简它.你会看到一个叫csgn 的陌生函数，输入?csgn 查看函数说明以确保你知道它是做什么的.然后令σ=1,R =1及e 0=1，然后从z =−4到z =4同时画V 和E z 的图像.这是一个电磁定律关于跨表面电荷密度，电场区域通过σε0变化.（你可能注意到上面定义的V 我用e 0代替ε0.这是故意的.尽可能是避免变量下标，因为Maple 中的下标引用矩阵元素.）验证你的图像以获得正确的跳跃.在图像中，负z 在半球圆缘的下方，正z 从0到R 在半球内部，且正z 从R 到无穷在圆顶之上.想像你的图像并说服你自己使它有意义.问题3.6这是一类花俏的微分叫做隐式微分，且Maple 可能求解.假设你有一个方程涉及x 和y ，像这个x 2+y 2=3.你想要解出dy dx 而不求解y (x ).这种方式求隐式方程的微分得2x +3y 2(∂∂x y )=0，然后求解dy dx .Maple 知道如何求解，规定你告诉它y 依赖于x ，像这样.>restart;>eq:=x^2+y(x)^3=3;eq :=x 2+y (x )3=3>deq:=diff(eq,x);deq :=2x +3y (x )2(∂∂x y (x ))=0>dydx:=solve(deq,diff(y(x),x));dydx :=−23xy (x )2如果你任何时候都不想输入y (x )，你可以使用Maple 的alias 命令告诉它把y 变为y (x )（只适用Maple 的内部进程）当遇到的时候.>restart;允许我们使用y 代替y (x )>alias(y=y(x));y>eq:=x^2+y^3=3;eq :=x 2+y 3=3>deq:=diff(eq,x);deq :=2x +3y 2(∂∂x y )=0>dydx:=solve(deq,diff(y,x));dydx :=−23xy 2这是一个物理学中的例子.等离子体电磁波的分散关系是ω2=wp 2+k 2c 2，其中wp 是一个频率叫做等离子体频率.波的相对速度由ωk 给出，群速度由dωdk 给出.首先用Maple 求出相对和群速度的公式，在wp ,k 及c 的条件下求解ω(k )并微分.然后在k ,c 及ω的条件下用隐式微分得到群速度.最后，Maple 也知道怎样求解偏导数.考虑关于x 和y 的函数f (x,y )=cos (xy )y .这是关于x ,y ,以及x 和y 的导数，用表达式形式>restart;f:=cos(x*y)/y;f :=cos (xy )y>diff(f,x);diff(f,y);diff(f,x,y);−sin (xy )−sin (xy )x y −cos (xy )y 2−cos (xy )x也可以通过Maple 的符号函数来做相同的事情>restart;f:=(x,y)->cos(x*y)/y;f :=(x,y )→cos (xy )y>D[1](f);D[2](f);D[1,2](f);(x,y )→−sin (xy )(x,y )→−sin (xy )x y −cos (xy )y 2(x,y )→−cos (xy )x问题3.7求出下面这个函数的一阶导数及三个二阶导数（两个x ，两个y 以及xy ）K (√4xy (x +y )2)其中K 是完全椭圆积分EllipticK .使用符号表达式并用diﬀ命令求解.尝试使用expand 和simplify 命令清除杂乱的东西以得到结果.积分你使用Maple做得最多的简单事情就是积分.事实上，你没有更多的思想比较积分表和计算尺.大多数都是可以的，因为你很容易获得Maple并且它是不错的.但是它不会做任何事情（就如果你在这一节看到的一些例子一样），所以你需要知道当Maple 失败的时候该怎么做.最好的做法是看一本由Gradshteyn和Ryzhik编写的一本名为《A Table of Series and Integrals》的数学参考书.你可以从图书馆的数学参考书部分找到它，或者在我们系图书室，如果没有教员把它借走.初等积分Maple可以求解你在第一节积分课里遇到的所有积分问题.实现这个功能的命令叫做int，你可以像这样使用表达式>int(sin(x),x);−cos(x)或者>f:=sin(x)*x;int(f,x);f:=sin(x)xsin(x)−x cos(x)注释：不要使用f(x)作为参数如果f是一个表达式.倘若是函数，积分命令这样用：>g:=(x,y)->sin(x*y)*x;g:=(x,y)→sin(xy)x>int(g(x,y),x);sin(xy)−xy cos(xy)y2这有一个int的简化形式，叫做Int，用来显示积分.这个形式你可以用于记录表.尝试这个：>s1:=Int(exp(x),x);s1:=∫e x dx请注意：Int命令只显示，并不做数学运算.也许你会问，“但如果它不做任何事，我为什么要用它呢？”因为它能帮助查看你是否输入正确的积分，Int命令是很有价值的调试工具.当显示形式你看起来对之后，使用value(s1)得到结果.因此正确求解上面的简单积分并取得结果是这样的：>s1:=Int(exp(x),x);>s1:=value(s1);s1:=∫e2dxs1:=e2我建议你总是使用Int和value组合的方式求解积分.这是一个好习惯，可以减少你查看愚蠢错误的时间.当然，你也可以像这样求解定积分：>s2:=Int(tan(x),x=0..1);>s2:=value(s2);s 2:=∫10tan (x )dxs 2:=−ln (cos (1))如果想要求积分值，你可以这样做：>evalf(s2);.6156264703噢，如果你仅仅是想要数值结果而不通过evalf 命令，只需给int 命令浮点极限你就可马上得到结果.>s2:=Int(tan(x),x=0..1.);>value(s2);s 2:=∫10tan (x )dx当然你也知道Maple 可以对无穷极限求积分，但你需要通过assume 命令做一些引导.好了，你要了解的Maple 求解积分的东西就这么多.输入?int 获取更多Maple 提供的积分选项.下面让我们做些练习.问题3.8用Maple 求解下列积分，其中(a)-(d)用表达式符号，(e)-(g)用函数符号.求出(e)和(f)的积分值.求解(g)时你会遇到麻烦，你得到的结果看起来很繁杂，试着用simplify 命令化简.(a )∫ln (x )dx (b )∫√1−x 2dx (c )∫x 1+x 3dx (d )∫cos h (x )dx (e )∫10√1+x 1−x dx (f )∫120x x 3−1dx (尝试使用1/2和1./2.作为积分上限)(g )∫∞e −ax cos (x )dx (不知道如何输入∞，输入?使用联机帮助.)。

第4章 maple方程求解

eq := f( n ) f( n 1 ) 2 f( n 2 )
> rsolve({eq,f(0)=1,f(1)=1},f(n));
1 2 ( -1 ) n 2 n 3 3
当然, 并不是所有的递归形式的函数方程的解可以写成解析形式, 如果不能, Maple 将保留原来的调用形式. 此时, 可用 asympt 函数获得它的渐进表达式, 也就是 1/n 的级数解. 例如, 对于一个具有超越形式的递归函数方程, 仍然可以得到解的渐进形式：
可以看出, 方程解的形式是以集合的序列给出的, 序列中的每一个集合是方程的一组解, 这样就很利于我们用 subs 把解代入原方程组进行检验： > subs(sols[2],eqns);
{ 1 1 }
> sols2:=allvalues(sols[1]);
1 1 sols2 := { x 1 I 2 , y 1 I 2 } 2 2 > simplify(subs(sols2,eqns));
> solve(%);
1
- 101 -
但是, 大量实验表明, solve 的确是一个实用的方程求解工具, 但是也不可盲目相信它给出的一切结果, 特别是对于非线性方程而言, 对于给出的结果需要加以验证. 下面通过几个例子说明在 Maple 中非线性方程组的求解问题.
x 2 y 2 25 例：求解方程组： 2 x 9 y
也可用下面的语句一步求出： > solve({x^2+y^2=25,y=x^2-5},{x,y});
{ x 0, y -5 }, { x 0, y -5 }, { y 4, x 3 }, { y 4, x -3 }
这个问题非常简单 , 但通常遇到的非线性问题却不是这么简单 , 例如要求解方程组： x y 1, x y x y

maple 微分方程组

maple 微分方程组微分方程组是数学中的一个重要概念，是描述物理、生物、工程等领域中某些变量之间关系的方程组。

其中，maple是一种常用的数学软件，可以用于求解微分方程组。

本文将介绍微分方程组的基本概念以及如何利用maple求解微分方程组的方法。

微分方程组是包含多个未知函数及其导数的方程组。

一般地，微分方程组可以用以下形式表示：\[\begin{cases}F_1(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\F_2(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots \\F_n(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\\end{cases}\]其中，$y_1, y_2, \ldots, y_n$是未知函数，$y_1', y_2', \ldots, y_n'$是它们的导数，$F_i$是关于这些未知函数及其导数的函数。

在使用maple求解微分方程组时，首先需要定义微分方程组。

可以使用"DEtools"包中的"diffeq"命令来定义微分方程组，具体的语法格式如下：\[\text{{diffeq}}(\{F_1, F_2, \ldots, F_n\}, \{y_1, y_2, \ldots, y_n\}(x))\]其中，$\{F_1, F_2, \ldots, F_n\}$表示方程组的左侧，$\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}$表示未知函数，$x$表示自变量。

(仅供参考)Maple提高教程B3- Maple中的偏微分方程求解

B3: Maple中的偏微分方程求解西希安工程模拟软件（上海）有限公司，200811.0 Maple中的微分方程求解器介绍Maple中微分方程求解器使用领先的算法求解以下问题：常微分方程 (ODEs): dsolve 命令用于求解线性和非线性ODEs, 初始值问题 (IVP), 以及边界值问题 (BVP)，可以通过参数项选择求符号解 (解析解) 或数值解。

ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一个交互式用户界面方便用户求解 ODE 以及显示结果的图形。

了解更多信息，参考帮助系统中的 dsolve, dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer.偏微分方程 (PDEs): pdsolve 命令用于求 PDEs 和含边界值问题的 PDEs 的符号解或数值解。

使用Maple的PDE工具可以完成对PDE系统的结构分析和指数降阶处理。

Maple内置三个求解器用于处理DAEs：1）修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法，2）Rosenbrock 方法，以及 3）修正的拓展后向差分隐式方法。

11.1 求解偏微分方程PDE问题(BVP和IVP)Maple 求解经典力学难题的能力是非常著名的，它的数值和符号偏微分方程求解器是其中的重要工具。

例子：在不同的边界条件下，求波动方程的数值解、解析解、和图形解。

11.1.1 初始化下面的Maple代码定义了一个名为P X的程序，生成函数的周期展开。

PX := proc(h::{algebraic,procedure},g::{range,name=range})local L, D, var;if type(g,'range') then L := lhs(g); D := rhs(g) - L;(1)(2)if not type(h,'procedure') then var := indets(h,'name');if nops(var) <> 1 then error "need to specify a variable"; end if; var := op(var); end if;else L := lhs(rhs(g));D := rhs(rhs(g)) - L;var := lhs(g); end if;if type(h,'procedure') then proc(x::algebraic) h(x - floor((x-L)/D)*D); end; else proc(x::algebraic) eval(h, var = x - floor((x-L)/D)*D); end; end if;end:11.1.2 数值解和图形解一个空间变量的波动方程是：假设初始形状由下面的函数给出：对应的图形如下：(4)(3)Maple中的命令pdsolve 将求解单变量演化方程（双曲和抛物）的数值解（有限差分）。

maple 微分方程组

Maple在微分方程组中的应用一、引言微分方程组是描述动态系统变化的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

解决微分方程组的方法多种多样，其中符号计算软件如Maple提供了强大的工具，使得复杂的微分方程组求解变得相对简单。

本文旨在探讨Maple在微分方程组中的应用。

二、Maple的符号计算功能2.1 符号微分与积分Maple提供了符号微分和积分的功能，使得用户可以方便地对函数进行微分和积分，这在求解微分方程组时是基础的操作。

2.2 符号方程求解Maple能够解决各种符号方程，包括线性方程、二次方程、高次方程等，这对于解决微分方程组中的代数问题非常有用。

2.3 符号极限与连续性Maple可以计算函数的极限，检查函数的连续性等，这对于验证微分方程组的解的正确性非常重要。

三、Maple在微分方程组求解中的应用3.1 初始值问题对于初始值问题，Maple可以自动选择适当的方法进行求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。

用户只需输入初始条件和微分方程，Maple即可给出数值解。

3.2 边界值问题对于边界值问题，Maple提供了多种边界条件选项，如Dirichlet、Neumann和Robin条件等，使得这类问题的求解变得简单。

3.3 刚性问题对于刚性问题，Maple可以自动选择适当的方法进行求解，如隐式方法、显式方法等。

这使得在处理刚性问题时，Maple能够给出精确的数值解。

四、Maple的数值计算功能4.1 数值微分与积分除了符号计算外，Maple还提供了强大的数值计算功能。

用户可以使用Maple进行数值微分与积分，这在求解微分方程组时是很有用的。

4.2 数值方法与迭代法Maple内置了多种数值方法和迭代法，如牛顿法、二分法等。

这些方法可以用于求解非线性方程组和不等式组，而这在微分方程组求解中是常见的操作。

4.3 多重数值积分与微分对于多维问题，Maple提供了多重数值积分与微分的功能。

这使得在处理多维微分方程组时，Maple能够给出精确的数值解。

maple_chap7

这是一个不定方程组，我们用isolve来得到它的整数解：
整数解中以下滑线开始的变量可以取任意整数。然后，我们将结果在代入到我们所需要的无量纲量中去：
Maple对于幂的连乘积的化简规则是把相同底数的项合并起来，而在这里，为了得到相互无关的无量纲量，需要将相同指数的项合并起来（因为_N1，_N2，_N3是相互独立的整数）。可以编写一小段程序实现这个功能。我们知道，对连乘积求对数后，原来的指数都变成了对数项的系数，然后，我们就可以用函数collect将相同系数的项合并。最后，再用exp函数获得我们所需要的形式。
在这一章中，我们将学习在Maple中实现的各种求解方程和方程组的方法。再学习方程的精确解法的同时，也将介绍各种数值解法，并通过例子使读者能够快速的掌握它们的用法。对于许多常微分方程（组），Maple都可以显式或隐式地给出它的们解析解。而在Maple中，许多常用的近似解法也都予以了实现，例如级数方法，渐进解法等等。我们还将介绍利用Maple解决一部分偏微分方程问题的方法。
7.3
在数学中，常微分方程是这样定义的，它具有一般形式：F ( y, y', y", ..., y(n), x ) = 0，其中y, y', y", ..., y(n)是一元函数y (x)对其自变量x的各阶导数，F是定义在Rn+2上的实值函数。称该常微分方程为线性的，当且仅当F对其前n+1个变元而言是线性函数，亦即可以表示成为如下的形式：
函数realroot还有一个可选参数，它是用来限制区间的最大长度的，为了保证使用数值求解方法时收敛，我们可以用它限制区间的最大长度。
7.2.2
Maple的函数isolve是用来求解方程或方程组的整数解的，它常常被用来求解不定方程。作为它的一个简单应用，我们来看一个量纲分析的小例子。

Maple微分方程的求解

题目：微分方程的求解——基于Maple工具姓名:学号:专业:学科:老师:目录一、简介 (3)概况： (3)Maple 主要技术特征： (3)1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 (3)2. 技术文件环境：重新定义数学的使用性 (4)3. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识 (4)4. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中 (4)二、Maple在微分方程中的应用 (5)1、常用函数 (5)1)求解常微分方程的命令dsolve. (5)2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol. (5)3)偏微分方程求解命令pdsolve. (6)2、方法 (6)1)一阶常微分方程的解法 (6)2)二阶线性常微分方程的解法 (7)3、作图 (8)1)常微分方程数值解作图命令odeplot (8)2)偏微分方程作图命令PDEplot (8)三、各种方程的求解 (8)第一部分:一阶常微分方程 (8)1、可分离变量方程 (8)2、齐次方程 (9)3、线性方程 (10)4、Bernoulli方程 (10)第二部分:二阶线性常微分方程 (11)1、二阶常系数线性齐次方程 (11)2、二阶常系数线性非齐次方程 (12)3、Euler方程(变系数) (12)第三部分:偏微分方程 (13)1、波动方程 (13)2、热传导方程 (14)3、作图 (14)四、总结 (15)一、简介概况：Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。

Maple 在全球拥有数百万用户，被广泛地应用于科学、工程和教育等领域，用户渗透超过96％的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。

Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支，如微积分、微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计、动力系统等。

用Maple计算简单的微分操作

用Maple计算简单的微分操作
在利用Maple解决数学问题时，更多的是因为Maple符号计算的强大功能。

利用Maple可以完成符号和数值微分计算。

下面介绍常见的Maple微分命令。

更多Maple基本功能与常用操作命令介绍请访问Maple中文版网站。

对表达式求微分：
1)在左侧的表达式面板中，点击微分项，或者偏微分项。

2）定义表达式和自变量，然后求值。

例如，求xsin(ax)关于x的微分：
用户也可以使用右键菜单求微分。

想要计算高阶或偏微分，需要编辑插入的微分符号。

例如，计算xsin(ax)+x2关于x的二阶微分：
计算xsin(3x)+yx5的混合偏导数：
注意：想要插入偏导符号，用户可以通过拷贝和粘帖已有的符号，或者输入字母d然后按ESC符号补全。

diff命令：
Maple使用diff命令对表达式求微分。

通常的用法是diff(expr，var)，其中var是要求微分的变量。

例如：
用户可以通过定义一组微分变量计算高阶微分。

Maple递归地调用diff 命令。

想要计算偏微分，使用相同的语法。

Maple会假设为偏微分计算。

如果要对一个变量多次求导，可以使用diff(f，x$n)，它实际上是一种缩写的形式，n代表变量x重复的次数。

这个语法也可以用于计算符号nth阶微分。

以上内容向大家介绍了Maple符号计算中有关微分的一些使用，这些常见的Maple微分命令是大家经常使用的，熟记在心后会使处理问题快捷很多。

如果需要了解更多Maple基本操作，可以参考教程：怎样用Maple键盘命令解决数学问题。

如何利用Maple求解偏微分方程

如何利用Maple求解偏微分方程微分方程分有常微分和偏微分方程两种，利用Maple对微分方程求解是Maple的一个核心优势，下面介绍利用Maple求偏微分方程的命令。

求偏微分方程或偏微分方程系统的命令是“Pdsolve”。

调用格式是：pdsolve(PDE, f, HINT = hint, INTEGRATE, build)pdsolve(PDE_system, funcs, HINT, other_options)pdsolve(PDE_or_PDE_system, conds, type=numeric, other_options)其中：PDE：偏微分方程。

f：不定函数或名称；当有很多导函数时需要指定此项。

hint：（可选项）HINT = hint中的右边，其中hint 为“+，“*”之一，关键词strip 或TWS之一，结构TWS(math_function_name)，或关于不定函数的任意代数表达式。

INTEGRATE：（可选项）当使用变量分离法求解PDE时发现ODE集合，此选项表明进行自动积分。

Build：（可选项）尝试建立不定函数的显式表达式，不管所得解的一般性。

PDE_system：偏微分方程系统；可包含不等式。

Funcs：（可选项）由不定函数或名称构成的集合或列表。

other_options：当精确求解PDE系统时，casesplit命令接受的所有选项也被pdsolve 接受。

PDE_or_PDE_system：偏微分方程或偏微分方程系统；可包含不等式。

Conds：初始或边界条件。

type=numeric：等式；表明寻找数值解；可使用关键词numeric替代整个等式。

示例：求解热传导方程的数值解、解析解和图形解。

初始条件：为了得到数值解，我们需要定义a和h的值，以及提供第二个边界条件：这个命令创建了一个模块（module，使用方法类似于Maple的函数包），可以看到模块的输出函数是plot，plot3d，animate和value。

Maple 入门教程

练习：使用 Part 1：与Maple对话中的练习。请在多项式例子周围加入注释性文字。改变原多项式并更新计算结果。
evaluate at point
integrate w.r.t. y
2.2 求解方程
Maple 能够求方程和不等式中未知量的值。
操作步骤
结果
定义方程
在Maple中，使用 = （等于号）定义等式。
integrate w.r.t. x
例子：绘制积分结果的图形，在结果表达
式上鼠标右击，在弹出的右键菜单中选
300
择： Plots > 2-D Plot.
200
100
提示：你可以对创建的图形做修改。只需要点击图形，然后鼠标右击该图形，使用弹出的关联菜单，或者通过图形菜单和绘图工具条。
(2.3) (2.4)
at 5 digits
=
5 6
0.83333
(3.1)
例子：输入 "
"，然后按回车键。
对数值结果可以使用不同的格式。
例子：鼠标右击上面的结果，然后从关联菜单中选择 Numeric Formatting...，选择 Scientific，然后按下 Apply Formatting。
面板 Maple 的20个面板含有1000多个符号。你也可以使用Maple的表达式面板输入数据，表达式面板含有用于常规的操作的填充模版。
2.1 组合文字和数学
在Maple中，你可以在文件中任意组合文字和数学，创建专业的技术文件。
操作步骤
结果
使用[Ctrl][=]在同一行显示结果
在前面的例子中，我们通过按下回车键得到结果。
= 你也可以同时按下[Ctrl][=] 键，得到在同一行上显示的计算结果。（按住Ctrl键的同时按下＝键）。

Maple偏微分方程求解初步

(
(c t ) 1 c x) 1
_C2
=
e _C1 2 c 1 e
> lhs(%)-rhs(%);
(c t ) 1 ( c x) 1
e
+
_C1 c 1 e
(
(c t ) 1 c x) 1
_C2
e 0
- 101 -
> pdsolve(PDE3,u(x,t));
- 100 -
u( x , t ) = _F1 ( t e x ) + _F2 ( t e
( −x )
)
> restart: > heatPDE:=diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),[x$2]);
heatPDE :=
∂ ∂2 u( x, t ) = 2 u( x, t ) ∂t ∂x
> pdsolve(heatPDE,u(x,t));
2 ∂ ∂ ( u( x , t ) = _F1 ( x ) _F2 ( t ) ) &where { 2 _F1 ( x ) = _c 1 _F1 ( x ), _F2 ( t ) = _c 1 _F2 ( t ) } ∂ t ∂ x
(
+ _C2 e
(− c x ) 1
result := ( _C1 e
c x) 1
+ _C2 e
(− c x ) 1
) _C1 e
(c t ) 1
> subs(u(x,t)=result,heatPDE):expand(%);
_C1 2 c 1 e
(c t ) 1
(
e
c x) 1
+
_C1 c 1 e

数学软件Maple使用教程

数学软件Maple使⽤教程数学实验数学软件Maple使⽤教程序⾔⼀．什么是数学实验？我们都熟悉物理实验和化学实验，就是利⽤仪器设备，通过实验来了解物理现象、化学物质等的特性。

同样，数学实验也是要通过实验来了解数学问题的特性并解决对应的数学问题。

过去，因为实验设备和实验⼿段的问题，⽆法解决数学上的实验问题，所以，⼀直没有听说过数学实验这个词。

随着计算机的飞速发展，计算速度越来越快，软件功能也越来越强，许多数学问题都可以由计算机代替完成，也为我们⽤实验解决数学问题提供了可能。

数学实验就是以计算机为仪器，以软件为载体，通过实验解决实际中的数学问题。

⼆．常⽤的数学软件⽬前较流⾏的数学软件主要有四种：1．MathACD其优点是许多数学符号键盘化，通过键盘可以直接输⼊数学符号，在教学⽅⾯使⽤起来⾮常⽅便。

缺点是⽬前仅能作数值运算，符号运算功能较弱，输出界⾯不好。

2．Matlab优点是⼤型矩阵运算功能⾮常强，构造个⼈适⽤函数⽅便很⽅便，因此，⾮常适合⼤型⼯程技术中使⽤。

缺点是输出界⾯稍差，符号运算功能也显得弱⼀些。

不过，在这个公司购买了Maple公司的内核以后，符号运算功能已经得到了⼤⼤的加强。

再⼀个缺点就是这个软件太⼤，按现在流⾏的版本5.2，⾃⾝有400多兆，占硬盘空间近1个G，⼀般稍早些的计算机都安装部下。

我们这次没⽤它主要就是这个原因。

3．Mathematica其优点是结构严谨，输出界⾯好，计算功能强，是专业科学技术⼈员所喜爱的数学软件。

缺点是软件本⾝较⼤，⽬前流⾏的3.0版本有200兆；另⼀个缺点就是命令太长，每⼀个命令都要输⼊英⽂全名，因此，需要英语⽔平较⾼。

4．Maple优点是输出界⾯很好，与我们平常书写⼏乎⼀致；还有⼀个最⼤的优点就是它的符号运算功能特别强，这对于既要作数值运算，⼜要作符号运算时就显得⾮常⽅便了。

除此之外，其软件只有30兆，安装也很⽅便(直接拷贝就可以⽤)。

所以，我们把它放到学校⽹上直接调⽤。