高中数学培优—立体几何

数学培优专题讲座

专题之：立体几何

一、考点过关

1．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a∥b ，⇒a∥α．

(2)线面平行的性质定理：a∥α，⇒a∥b．

(3)面面平行的判定定理：a∥α，b∥α，⇒α∥β．

(4)面面平行的性质定理：α∥β，⇒a∥b．

2．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：l⊥m，m⊂α，⇒l⊥α．

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，⇒a∥b．

(3)面面垂直的判定定理：a⊥α，⇒α⊥β．

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，⇒a⊥β．

二、典型例题

【例1】(1) (2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：

①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．

其中真命题的个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()

(3)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

【例2】(1).在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.

(I) 求证：P A ⊥底面ABCD ；

(II) 若E 和F 分别是CD 和PC 的中点，

求证：（i ）BE ∥平面P AD ；（ii ）平面BEF ⊥平面PCD

(III) 若平面BEF ∥平面P AD ，F 为PC 的中点，求证：E 是CD 的中点

(2)(2019·成都诊断)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，

R 分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BR RH

．将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示．

(I)求证：GR ⊥平面PEF ；

(II)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径．

巩固练习 图1 图2

1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )

A ．m ∥l

B ．m ∥n

C ．n ⊥l

D ．m ⊥n

2．(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：

①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β．

②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ．

③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β．

④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．

其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)．

3．已知α，β为平面，a ，b ，c 为直线，下列命题正确的是( )

A ．a ⊂α，若b ∥a ，则b ∥α

B ．α⊥β，α∩β＝c ，b ⊥c ，则b ⊥β

C ．a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c

D ．a ∩b ＝A ，a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β

4. (2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )

A ．A 1E ⊥DC 1

B ．A 1E ⊥BD

C ．A 1E ⊥BC 1

D ．A 1

E ⊥AC

5．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC

＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：

(1)CD ⊥AE ；

(2)PD ⊥平面ABE .

6．如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===，

2AM MD =，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =.

(1)求BC 的长；

(2)求点C 到平面ADP 的距离

三、参考答案

考点过关1.（1）a ⊄α，b ⊂α，（2）a ⊂β，α∩β＝b （3）a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P （4）α∩γ＝a ，β∩γ=b

2.（1）l ⊥n ， n ⊂α，m ∩n ＝P ，（2）b ⊥α. （3）a ⊂β. （4）α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l.

典型例题【例1】(1)解析 ①若α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，不正确；

②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m ∥β，正确；

③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α与β不一定垂直，不正确；

④若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，l 与n 不一定相交，不能推出α⊥β，不正确．

答案 B

(2) 【解题思路】 在平面MNQ 中找是否有直线与直线AB 平行．

【答案】 法一 对于选项B ，如图(1)所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ．同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ ．因此A 项不正确．故选A ．

图(1) 图(2) 法二 对于选项A ，其中O 为BC 的中点(如图(2)所示)，连接OQ ，则OQ ∥AB ，因为OQ 与平面MNQ 有交点，所以AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行．A 项不正确．故选A ．

(3)图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；

图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉面GMN ， 因此GH 与MN 异面．所以在图②④中，GH 与MN 异面．

【例2】证明 (I)∵平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，P A ⊂平面P AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ．

(II)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，∴AB ∥DE ，且AB ＝DE ．∴四边形ABED 为平行四边形． ∴BE ∥AD ．又∵BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD ．

(3)∵AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形．∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知P A ⊥底面ABCD ．

∴P A ⊥CD ，且P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PD ． ∵E 和F 分别是CD 和PC 的中点，∴PD ∥EF ．∴CD ⊥EF ，又BE ⊥CD 且EF ∩BE ＝E ，

∴CD ⊥平面BEF ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．

(2)(I)证明 在正方形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 为直角．∴在三棱锥P －DEF 中，PE ，PF ，PD 两两垂直．

又PE ∩PF ＝P ，∴PD ⊥平面PEF ．∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PR RH

，∴在△PDH 中，RG ∥PD ．∴GR ⊥平面PEF ． (II)解 正方形ABCD 边长为4．由题意知，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝25．

∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4．S △DEF ＝12

×22×（25）2－（2）2＝6．