高中数学培优—立体几何

数学培优专题讲座专题之：立体几何一、考点过关1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a∥b ，⇒a∥α．(2)线面平行的性质定理：a∥α，⇒a∥b．(3)面面平行的判定定理：a∥α，b∥α，⇒α∥β．(4)面面平行的性质定理：α∥β，⇒a∥b．2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：l⊥m，m⊂α，⇒l⊥α．(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，⇒a∥b．(3)面面垂直的判定定理：a⊥α，⇒α⊥β．(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，⇒a⊥β．二、典型例题【例1】(1) (2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3(2)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()(3)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【例2】(1).在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.(I) 求证：P A ⊥底面ABCD ；(II) 若E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（i ）BE ∥平面P AD ；（ii ）平面BEF ⊥平面PCD(III) 若平面BEF ∥平面P AD ，F 为PC 的中点，求证：E 是CD 的中点(2)(2019·成都诊断)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BR RH．将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示．(I)求证：GR ⊥平面PEF ；(II)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径．巩固练习 图1 图21．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n2．(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β．②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ．③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β．④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)．3．已知α，β为平面，a ，b ，c 为直线，下列命题正确的是( )A ．a ⊂α，若b ∥a ，则b ∥αB ．α⊥β，α∩β＝c ，b ⊥c ，则b ⊥βC ．a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．a ∩b ＝A ，a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β4. (2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )A ．A 1E ⊥DC 1B ．A 1E ⊥BDC ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC5．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .6．如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===，2AM MD =，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =.(1)求BC 的长；(2)求点C 到平面ADP 的距离三、参考答案考点过关1.（1）a ⊄α，b ⊂α，（2）a ⊂β，α∩β＝b （3）a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P （4）α∩γ＝a ，β∩γ=b2.（1）l ⊥n ， n ⊂α，m ∩n ＝P ，（2）b ⊥α. （3）a ⊂β. （4）α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l.典型例题【例1】(1)解析 ①若α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m ∥β，正确；③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，l 与n 不一定相交，不能推出α⊥β，不正确．答案 B(2) 【解题思路】 在平面MNQ 中找是否有直线与直线AB 平行．【答案】 法一 对于选项B ，如图(1)所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ．同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ ．因此A 项不正确．故选A ．图(1) 图(2) 法二 对于选项A ，其中O 为BC 的中点(如图(2)所示)，连接OQ ，则OQ ∥AB ，因为OQ 与平面MNQ 有交点，所以AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行．A 项不正确．故选A ．(3)图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉面GMN ， 因此GH 与MN 异面．所以在图②④中，GH 与MN 异面．【例2】证明 (I)∵平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，P A ⊂平面P AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ．(II)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，∴AB ∥DE ，且AB ＝DE ．∴四边形ABED 为平行四边形． ∴BE ∥AD ．又∵BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD ．(3)∵AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形．∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知P A ⊥底面ABCD ．∴P A ⊥CD ，且P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PD ． ∵E 和F 分别是CD 和PC 的中点，∴PD ∥EF ．∴CD ⊥EF ，又BE ⊥CD 且EF ∩BE ＝E ，∴CD ⊥平面BEF ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．(2)(I)证明 在正方形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 为直角．∴在三棱锥P －DEF 中，PE ，PF ，PD 两两垂直．又PE ∩PF ＝P ，∴PD ⊥平面PEF ．∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PR RH，∴在△PDH 中，RG ∥PD ．∴GR ⊥平面PEF ． (II)解 正方形ABCD 边长为4．由题意知，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝25．∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4．S △DEF ＝12×22×（25）2－（2）2＝6．设三棱锥P －DEF 内切球的半径为r ，则三棱锥的体积为V P －DEF ＝13×PD ·S △PEF ＝13(S △PEF ＋2S △DPF ＋S △DEF )·r ，解得r ＝12．∴三棱锥P －DEF 的内切球的半径为12． 巩固练习1.【解题思路】 构建模型再进一步证明．【答案】 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确．故选C ．2.【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建）．【答案】 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④．故填②③④．3.解析 选项A 中，b ⊂α或b ∥α，不正确．B 中b 与β可能斜交，B 错误．C 中a ∥c ，a 与c 异面，或a 与c 相交，C 错误．利用面面平行的判定定理，易知D 正确．答案 D4.【解题思路】 画出其图形，一一验证选项．【答案】 如图，由题设知，A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，从而A 1B 1⊥BC 1．又B 1C ⊥BC 1，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1．故选C ．5.【证明】 (1)在四棱锥P -ABCD 中，因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥AB .又因为AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面P AD ，而PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .6【解题思路】 (1)取BP 中点，利用中位线；(2) N 点到底面的距离是P 点到底面的距离的一半．【答案】 (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2． 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2． 又AD ∥BC ，故TN =∥AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ．(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A ． 如图，取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝5．由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝25． 所以四面体NBCM 的体积V NBCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453．。