根轨迹的绘制法则

于实轴对称。
(3) 根轨迹渐近线与实轴的交点为:
a
p z
i 1 i j 1
n
m
jω ω j
j j 22
K* 6) 6) (( K
*
j
渐近线与实轴的夹角为:
nm (0 1 2) 1 30
-2 -2
d -1 d -1
σ 0 σ 0
(2k 1) (2k 1) 5 a , , nm 30 3 3
1
p3p1
σ
pi (2k 1) ( z
j 1
j pi

j 1 (i j )

p j pi
)
p2
同理可以确入射角。 k 0, 1, 2,
s1 p1 φ z1p1 θ p2 θ
p1
jω
θ p3 0
p2p1
D( s) 1 G ( s) H ( s)
则根据分离点必然是重根点的条件, 可以得 出分离点的确定公式:
1 1 j 1 d z j j 1 d pi
m
n
dK （ 0） ds
*
上述方程是求取分离点或会合点的必要条件， 是否确实为分离点或会合点，需要用相角条件进 行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一 点。(对于复杂的方程，多用试探法)
j 1 i
m
—相角条件
(k 0,1, 2 )
幅值条件为充分条件，用于确定K*的值； 相角条件为充要条件，用于绘制根轨迹。
4.2.1 常规根轨迹的绘制法则(180°根轨迹) 法则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零 点。一般在实际系统中，开环传函分子多 项式次数m与分母多项式次数n满足： m≤n，所以有n－m条根轨迹终止于无穷 n 远处。 s p
j i
j 1
j i
证明： 在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足 相角条件，有 ( s1 z1 ) [( s1 p1 ) ( s1 p2 ) ( s1 p3 )] (2k 1) jω s1
当S1无限趋近于P1点时， θ p1 p 1 即 ( s1 p1 ) 为P1点的 θ 出射角 p ，一般情况下， φ z1p1 p3 0 开环复数极点Pk的出射 z1 θ p2p1 角为： m m
4-2 根轨迹的绘制法则
烟台大学光电信息学院
绘制根轨迹的条件：
G(s)H(s)＝－1
即：
K
*
——根轨迹方程
—幅值条件
| (s z ) | | (s p ) |
i 1 i n j i 1 j 1 n j
m
Hale Waihona Puke Baidu1
(s z ) (s p ) (2k 1)
例2：系统的特征方程为：
*
求根轨迹分离点。
*
K 1 G( s) H ( s) 1 0 s ( s 1)( s 2)
jω
j 2 ( K * 6)
解：因为系统根轨迹方程为：
K 1 s ( s 1)( s 2)
K s ( s 1)( s 2)
*
法则3：根轨迹的渐近线。 如果开环零点的数目m小于开环极点数n, 即 n＞m, 则有(n-m)条根轨迹沿着某条渐近线终止 于无穷远处。 渐近线的可由下面的方程决定。 渐近线与实轴的交点坐标:
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
渐近线与实轴正方向的夹角:
(2k 1) a nm (k 0,1, 2 n m 1)
证明：由幅值条件
*
K*

i 1 m
i
当 K 0 时，只有 s pi 才能满足以上幅值条件， 故根轨迹必从开环极点 pi出发。
*

j 1
s zj
当 K 时，只有 s z j或 (n≥m时)才能满 s 足以上幅值条件，故根轨迹必终止于开环零点 或 无穷远处。
法则2：根轨迹的分支数等于max{m,n}，且根 轨迹连续，并关于实轴对称。
(4) 实轴上的根轨迹区间为：
j 2*
j 2
( K * 6)
( K 6)
(, 2];[1, 0]
法则5：根轨迹轨迹的分离点。 两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相 遇又立即分开的点，称根轨迹的分离点。 一般常见的分离点多位于实轴上 , 但有时 也产生于共轭复数对中。分离点必然是重根点, 系统的闭环特征方程写为
-2
-1
d
0 σ
由 dK (3s 2 6 s 2) 0
ds
*
s1 0.423; s2 1.577 (舍)
j 2 ( K * 6)
法则6：根轨迹的起始角与终止角。 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实 pi 表示。 轴的夹角，称起始角。用 根轨迹进入开环复数极点处的切线与正实 zi 表示。 轴的夹角，称终止角。用
法则4：实轴上的根轨迹。实轴上某一区域，若 其右边开环零、极点个数之和为奇数， 则该区域是根轨迹。(180°根轨迹)
证明： θ s1左边每个开环极点或零点提 供的相角为0， s1右边每个开环极 点或零点提供的相角为180º ， s1 每对共轭极点和零点提供的 相角之和为0或360º ，互相抵消。 p z 2 1 所以，只有其右边开环零点、 极点的总数为奇数的实轴线段才 满足相角条件。
pi (2k 1) ( z p p p ); k 0, 1, 2,
j 1
m
j i
m
n
j 1 (i j )
n
j i
zi (2k 1) ( z z p z ); k 0, 1, 2,
j 1 ( j i )
1
jω
θ
p1
2
0 σ
例1：已知系统的特征方程为 * K 1 G ( s) H ( s) 1 0 s( s 1)( s 2) 试大致绘制其根轨迹。
解:由题意，系统开环传递函数为：
K* Gk ( s) G ( s ) H ( s ) s ( s 1)( s 2)
(1) 系统无开环零点；开环极点为p1＝0，P2＝ －1，p3＝－2。根轨迹起始于开环极点，终止 于开环零点或无穷远处。 (2) m=0 ， n=3 ，所以根轨迹条数为 3 条，且关