西安电子科技大学电磁场大作业

电磁场与电磁波大作业学院：电子工程学院班级：021231指导老师：侯建强组长：组员：基于MATLAB的电磁场数值分析摘要使用计算机进行电磁场数值分析已成为电磁场的工程开发、科研和教学的重要手段。

本文介绍了电磁场数值分析的基本理论，并且基于MATLAB PDE工具箱实现了的静态场的边值型问题的求解。

实验结果表明，MATLAB使电磁场问题的求解迅速、简单、方便。

关键词：MATLAB 数值分析法边值型问题Electromagnetic Field Numerical Analysis Based onMATLABAbstract:Using computers to analyze electromagnetic field has been an important method of the development of projects, research and teaching. The essay introduces some basic theories of electromagnetic field numerical analysis. And basing on MATLAB PDE tool, the electromagnetic field boundary value problem has been solved. Furthermore, the results show that it is easier, more prompt and more convenient to figure it out with the software, MATALAB.Keywords: MATLAB, Electromagnetic Field Numerical Analysis, boundary value problem目录0 引言 (2)1 数值分析法基本原理 (2)1.1 泊松方程和拉普拉斯方程 (2)1.2 边值问题的分类 (3)1.3 直角坐标系中的分离变量法 (3)2 例题分析 (5)3 MATLAB实现 (6)4 结论 (7)5 结束语 (8)6 参考文献 (8)0 引 言MATLAB 是一种用于数值计算、可视化及编程的高级语言和交互式环境。

使用 MATLAB ，可以分析数据，开发算法，创建模型和应用程序。

借助其语言、工具和内置数学函数，您可以探求多种方法，比电子表格或传统编程语言（如 C/C++ 或 Java ™）更快地求取结果。

MATLAB 应用广泛，其中包括信号处理和通信、图像和视频处理、控制系统、测试和测量、计算金融学及计算生物学等众多应用领域。

在各行业和学术机构中，有一百多万工程师和科学家使用 MATLAB 这一技术计算语言。

MATLAB 偏微分方程工具箱(PDE toolbox)可以实现对二维问题高速、准确的求解过程，通过使用用户界面或者M 文件，画出所需要的任何区域，输入方程类型和有关系数，可以显示解的图形和数值解。

1 数值分析法基本原理当电荷或者电流分布已知时，可以通过积分来计算电场或磁场。

但实际上我们通常要处理两种类型的静电场问题。

一种是已知场源（电荷、电流分布）直接计算空间个点的场强或位函数，这类问题叫做分布型问题。

另一种是已知空间某给定区域内的长远分布和该区域边界上的位函数（或其法向导数），求区域内位函数的分布，这类问题叫作边值型问题。

求解这些边值型问题空间电场、磁场的分布可以化为求解给定边界条件下的位函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。

1.1 泊松方程和拉普拉斯方程拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，可以用解析法、数值分析法、实验模拟和图解法等求解。

电场的位函数是一个标量函数，简称为电位，电位ϕ的定义由下式确定ϕ-∇=E （式1.1.1）电位的单位是伏（V ），因此电场强度的单位是伏/米（V/m ）。

将式1.1.1带入高斯定理的微分形式0ερ=⋅∇E ，得 02ερϕϕ-=∇=∇⋅∇ （式1.1.2）（式1.1.2）称为泊松方程，若讨论的区域0=ρ，则电位微分方程为20ϕ∇= （式1.1.3）二阶微分方程（式1.1.3）称为拉普拉斯方程。

其中2∇在直角坐标中为 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ （式1.1.4）1.2 边值问题的分类静电场的计算通常是求场内任一点的电位，一旦电位确定，电场强度和其他的物理量都可由电位求得。

在无界空间，如果已知分布电荷的体密度，可以通过积分公式计算任意点的电位。

但计算有限区域的电位时，必须使用所讨论区域边界上电位的指定值（称为边值）来确定积分常数；此外，当场域中有不同介质时，还要用到电位在边界上的边界条件。

这些用来决定常数的条件，常统称为边界条件。

我们把通过微分方程及相关边界条件描述的问题，称为边值问题。

实际上，边界条件（即边值）除了给定电位在边界上的值以为，也可以是电位在边界上的方向导数。

根据不同形式的边界条件，边值问题通常分为三类；第一类边值问题（Dirichlet 问题）：给定整个边界上的位函数值，即0()r ϕϕ=； 第二类边值问题（Neumann 问题）：给定整个边界上每一点位函数的法向函数，即0nϕϕ∂=∂； 第三类边值问题（混合问题）：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向函数，即10r ϕϕ=，20r n ϕψ∂=∂。

1.3 直角坐标系中的分离变量法分离变量法是数学物理方法中应用最广的一种方法，它要求所给的边界面与一个适当的坐标系的坐标面相重合，或分段重合；其次在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。

这样通过分离变量法就可以把偏微分方程化为常微分方程求解。

在直角坐标系中，拉普拉斯方程为2222220x y z∂∂∂++=∂∂∂ （式1.3.1） 设ϕ可以表示为三个函数的乘积，即(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ= （式1.3.2）其中，X 只是x 的函数，同时Y 只是y 的函数，Z 只是z 的函数。

将（式1.3.2）带入（式1.3.1），得2222220d X d Y d Z YZ XZ XY dx dy dz++= （式1.3.3） 然后（式1.3.3）各项除以XYZ ，得0X Y Z X Y Z''''''++= （式1.3.4） 以上方程的第一项只是x 的函数，第二项只是y 的函数，第三项只是z 的函数，要这一方程对任一组（x,y,z ）成立，这三项必须分别为常数，即2X X α''= （式1.3.5a ）2Y Y β''= （式1.3.5b ）2Z Z γ''= （式1.3.5c ）这样，就将偏微分方程化为三个常微分方程，,,αβγ是分离常量，都是待定常数，与边界条件有关。

它们可以是实数，也可以是虚数，且由（式1.3.4）应有2220αβγ++= （式1.3.6）以上三个常微分方程（式1.3.5a ）、（式1.3.5b ）和（式1.3.5c ）解的形式，与边界条件有关（即与常数,,αβγ有关），以（式1.3.5a ）为例说明X 的形式与α的关系。

当20α=时，则 00()X x a x b =+当20α<时，另,(x x jk k α=为正实数），则12()sin cos x x X x a k x a k x =+或12()x x jk x jk x X x b e b e -=+当20α>时，另x k α=，则12()x x X x c shk x c chk x =+或12()x x k x k x X x d e d e -=+以上的a,b,c,d 称为积分常数，也由边界条件决定。

Y(y)和Z （z ）的解和X （x ）类似。

在用分离变量法求解静态场的边值问题时，常需要根据边界条件来确定分离常数是实数、虚数或是零。

若在某一个方向（如x 方向）的边界条件是周期的，则该坐标的分离常数x k 必是实数，其解要选三角函数；若在某一个方向的边界条件是非周期的，则该方向的解要选双曲函数或者指数函数，在有限区域选双曲函数，无限区域选取指数衰减函数；若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。

2 例题分析设一横截面为矩形的无限长区域的电位边值如下图2.1所示，求空间的电位分布。

图2.1 矩形截面导体槽解：本题的电位与z 无关，只是x,y 的函数，即(,)x y ϕϕ=。

在区域0<x<a ，0<y<b 内，20ϕ∇=边界条件为①0,0;x xϕ∂==∂ ②,(,)();x a a y V y ϕ==③0,(,0)0;y x ϕ==④,(,)0.y b x b ϕ==设方程的解为(,)()()x y X x Y y ϕ=由边界条件可得，Y （y ）的表达式为()sinn Y y y bπ= X （x ）的表达式为 ()n X x chx b π= 区域内部任意一点的电位表达式为1(,)()()sinn n n n n n y n x x y C X x Y y C ch b bππϕ∞==∑=∑ 以上的电位满足拉普拉斯方程及条件①③④，待定系数由条件②决定。

使用三角函数的正交归一性，即0,sin sin 20,aa n m n x a m x a dx n m ππ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩⎰ 用条件②可以得出02()sin bn n y C V y dy n a b bch bππ=⎰ 3 MATLAB 实现在上题中，令V （y ）=2y ，设定边界，x 坐标范围为[0, 16]，y 坐标范围为[0, 11]。

利用PDETOOL，画出图像。

图3.1 二维图像图3.2 三维图像4 结论静态场求解问题，也称为边值型问题，满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。

数值分析法的重要的方法为有限差分法和有限单元法，将求场域的空间离散化，把拉普拉斯方程化为各节点上的有限差分方程，并使用迭代法或者超松弛法求解方程，从而求解各节点上的位函数值。

精读越高，求解出的各节点的位函数值越精确。

5 结束语如今，计算机已经变成了计算各种数据的一种重要手段，而熟练掌握各种仿真软件更是必不可少的技能。

在本次实现数值分析法的过程中，MATLAB使得静态场的求解变得简单、迅速、迅速。

参考文献[1] 路宏敏, 赵永久, 朱满座.电磁场与电磁波[M], 科学出版社 2006年9月1日[2] 何红雨. 电磁场数值计算法及MATLAB实现[M], 华中科技大学出版社 2004年1月[3] 黄作英，阙沛文. 基于MATLAB的的电磁场数值分析[M], 2004年。