从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导

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两角和与差的余弦公式证明

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进一步体验了数学的博大精深.。

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

两⾓和与差的余弦公式的五种推导⽅法之对⽐两⾓和与差的余弦公式是三⾓函数恒等变换的基础，其他三⾓函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两⾓和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第⼀个公式，往往得到了⼴⼤教师的关注. 对于不同版本的教材采⽤的⽅法往往不同，认真体会各种不同的两⾓和与差的余弦公式的推导⽅法，对于提⾼学⽣的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能⼒有很⼤的作⽤.下⾯将两⾓和与差的余弦公式的五种常见推导⽅法归纳如下：⽅法⼀：应⽤三⾓函数线推导差⾓公式的⽅法设⾓α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂⾜为M，那么OM即为α－β⾓的余弦线，这⾥要⽤表⽰α，β的正弦、余弦的线段来表⽰OM．过点P作PA⊥OP1，垂⾜为A，过点A作AB⊥x轴，垂⾜为B，再过点P作PC⊥AB，垂⾜为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应⽤三⾓函数线推导差⾓公式这⼀⽅法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导⽅法对于如何能够得到解题思路，存在⼀定的困难. 此种证明⽅法的另⼀个问题是公式是在均为锐⾓的情况下进⾏的证明，因此还要考虑的⾓度从锐⾓向任意⾓的推⼴问题.⽅法⼆：应⽤三⾓形全等、两点间的距离公式推导差⾓公式的⽅法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直⾓坐标系内做单位圆，并做出任意⾓α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导⽅法巧妙的将三⾓形全等和两点间的距离结合在⼀起，利⽤单位圆上与⾓有关的四个点，建⽴起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和⾓与差⾓的三⾓公式. 在此种推导⽅法中，推导思路的产⽣是⼀个难点，另外对于三点在⼀条直线和三点在⼀条直线上时这⼀特殊情况，还需要加以解释、说明.⽅法三：应⽤余弦定理、两点间的距离公式推导差⾓公式的⽅法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两⾓和与差的三⾓函数，所以构造出和⾓和差⾓是必须实现的. 构造出的和⾓或差⾓的余弦函数⼜需要和这两个⾓的三⾓函数建⽴起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建⽴起等式关系容易出现，因此此种⽅法是推导两⾓和与差的余弦的⽐较容易理解的⼀种⽅法. 但此种⽅法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使⽤，因此此种⽅法在必修四中⼜⽆法使⽤. 另外也同样需要考虑三点在⼀条直线上的情况.⽅法四：应⽤三⾓形⾯积公式推导推导差⾓公式的⽅法设α、β是两个任意⾓，把α、β两个⾓的⼀条边拼在⼀起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另⼀边于A，交β另⼀边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三⾓形⾯积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和⾓公式及差⾓公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导⽅法通过三⾓形的⾯积的和巧妙的将两⾓和的三⾓函数与各个⾓的三⾓函数和联系在⼀起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个⾓为锐⾓的情况下进⾏的证明，因此同样需要将⾓的范围进⾏拓展.(五)应⽤数量积推导余弦的差⾓公式在平⾯直⾓坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作⾓α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表⽰，有.于是，有.说明：应⽤数量积推导余弦的差⾓公式⽆论是构造两个⾓的差，还是得到每个⾓的三⾓函数值都是容易实现的，⽽且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将⼆者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作⽤.综上所述，从五种不同的推导两⾓和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导⽅法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进⼀步体验了数学的博⼤精深.。

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比第一种推导方法是基于向量的几何推导。

这种方法通过将两个角度看作是向量之间的夹角，利用向量内积的性质导出余弦公式。

两角和的余弦公式为cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，两角差的余弦公式为cos(a-b)=cosacosb+sinasinb。

这种方法的优点是直观易懂，易于理解。

但缺点是需要较好的向量几何基础才能理解该推导过程。

第二种推导方法是基于欧拉公式的复数推导。

该方法利用欧拉公式将三角函数表示为复数形式，然后利用复数的乘法和指数形式来推导。

这种方法比较简洁，适用于求解复杂的三角函数表达式。

但需要一定的复数运算和欧拉公式的基础知识。

第三种推导方法是基于三倍角公式的代数推导。

这种方法通过将两角和或差的公式展开为三倍角公式，然后利用已知的三倍角公式反推出余弦公式。

这种方法的优点是推导过程相对简单，适用于初学者掌握。

但缺点是需要记忆和熟练掌握三倍角公式。

第四种推导方法是基于向量的三角推导。

这种方法利用向量的角度和模长来推导余弦公式。

通过构造一个合适的向量形式，然后利用向量的加法、取模和夹角余弦公式等来进行推导。

这种方法相对较为复杂，需要一定的向量运算和角度计算知识。

第五种推导方法是基于平面几何的三角形推导。

通过构造一个合适的平面几何图形，然后利用三角形的边长和角度关系来推导余弦公式。

这种方法较为直观，易于理解，适合初学者掌握。

但缺点是对几何图形的认识要求较高。

综上所述，这五种推导方法具有各自的优缺点。

对于需要快速求解问题的读者，推荐使用欧拉公式的复数推导方法或三倍角公式的代数推导方法；对于需要更深入理解的读者，推荐使用向量的几何推导方法或向量的三角推导方法；对于初学者，推荐使用平面几何的三角形推导方法。

最后，需要提醒读者的是，选择合适的推导方法需要根据自己的数学基础和学习需求来决定。

每种推导方法都有其适用的范围和难度，选择合适的方法将有助于更好地理解和应用余弦公式。

两角差的余弦公式的推导过程

两角差的余弦公式的推导过程角差的余弦公式是指两个角的差的余弦等于这两个角的余弦乘积的等式。

为了推导出这个公式，我们需要先了解一些三角函数的性质和一些三角恒等式。

首先，我们知道余弦函数的定义是：在单位圆上，任意一点P(x,y)到圆点(1,0)的距离除以1的长度，即x/1=x，而x就是点P在单位圆上的对应角的余弦值。

所以余弦函数的定义域是[0,2π]，值域是[-1,1]。

余弦函数的图像是一个周期函数，周期为2π。

接下来我们来推导角差的余弦公式。

假设A和B是两个角，那么它们的差角也可以表示为：A-B=C。

现在，我们假设P是单位圆上的一点，它与圆点O(1,0)、点A(x₁,y₁)和点B(x₂,y₂)在同一直线上。

我们可以得到PA和PB的长度分别是r₁和r₂，那么根据余弦函数的定义，我们可以得到：r₁ = x₁ = cosAr₂ = x₂ = cosB根据三角形恒等式cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB，我们可以将PA和PB分别表示为：PA = r₁ = cosAPB = r₂ = cosB现在，我们来计算P点到坐标轴上两个点的距离。

首先，我们可以得到点P到点O的距离OP，根据勾股定理，我们有：OP²=OA²+AP²= (1 - cosA)² + sin²A= 1 - 2cosA + cos²A + sin²A= 1 - 2cosA + 1= 2 - 2cosA同理，点P到点O的距离OP'为：OP'²=OA'²+AP'²= (1 - cosB)² + sin²B= 2 - 2cosB由于点P与坐标轴上两个点距离相等2 - 2cosA = 2 - 2cosB通过整理可得：cosA = cosB这就是角差的余弦公式。

也就是说，当两个角的差的余弦等于这两个角的余弦乘积时，这两个角就是相等角。

两角和与差的余弦公式的六种推导方法

两角和与差的余弦公式的六种推导方法沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.附方法六：等积法推导余弦的差角公式广东佛山袁锦前如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E,设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos（α-β）解：在△ABD中,BD=c·cosβ，AD=b·cosα在△ACD中,CD= b c·sinα，AD= c·sinβ11cos cos sin sin 22ABD ACDSSbc bc αβαβ∴+=+ ()1cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○1 又∵2BAD πβ∠=-()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=⋅-+⋅--⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()c cos αβ=⋅-()11cos 22ABCSAC BE bc αβ∴=⋅=- …………………………………………○2 由○1○2可得： ()cos =cos cos sin sin αβαβαβ-+。

知识讲解_两角差的余弦公式_基础

知识讲解_两角差的余弦公式_基础两角差的余弦公式是高中数学中的重要知识点，它是由余弦函数的性质推导出来的。

在解决数学问题中，有时候需要求解两个角之间的差，这就是两角差的概念。

两角差可以表示为角A与角B之差，记作A-B。

当然，这里的角度指的是以弧度制表示的角度。

两角差的余弦公式是指通过已知的角度和已知的三角函数值，来求解两角差的余弦值的公式。

设有两个角A和B，已知cos(A)和cos(B)，我们需要求解cos(A-B)。

首先，我们知道余弦函数的和差公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)利用这个和差公式，我们可以先求解cos(A + B)，然后再求解cos(A - B)。

我们设cos(A + B) = C，sin(A + B) = S。

根据和差公式，我们有：C = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)S = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)接下来，我们需要用到三角函数的平方和相等于1的性质。

即sin^2(x) + cos^2(x) = 1、利用这个性质，我们可以将C和S表示为关于cos(A)和cos(B)的表达式。

将上面两个等式相加，我们有：C + S = (cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)) + (sin(A)cos(B) +cos(A)sin(B))= cos(A)(cos(B) + sin(B)) + sin(A)(cos(B) - sin(B))= 2cos(A)cos(B)将上面等式右边的2cos(A)cos(B)代入cos(A + B) = C，我们得到：cos(A + B) = 2cos(A)cos(B)再利用和差公式cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)，我们可以得到：cos(A - B) = cos(A + (-B))= cos(A)cos(-B) - sin(A)sin(-B)= cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)所以，我们求得了cos(A - B)的表达式。

(完整版)两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。

两角差的余弦公式教学设计及点评

《两角差的余弦公式》教学设计教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简．在数学中通过恒等变换,可以把复杂的关系用简单的形式表示出来．三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系,因而需要推出一个公式作为基础。

由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系,因此现行的课改教材（人教A 版)安排学生学完三角函数后,先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-作为建立其它公式的基础,使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。

本节课的作用承前启后，非常重要。

二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。

但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式Ｃ(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流,体会向量法的作用,探索两角差的余弦公式。

由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心,这对教学是非常有利的。

根据学生的认知结构和心理特点,我制定了本课的学习目标如下： 1．知识与技能（１)通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。

（２)通过公式的灵活应用,使学生掌握两角差的余弦公式的作用。

２.过程与方法（１)利用两角差的余弦公式推导过程,使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。

(2)在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。

３．情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣,形成探究、证明、应用的获取知识的方式。

浅谈“两角差的余弦公式”之推导

浅谈“两角差的余弦公式”之推导作者：柯天扬来源：《知识文库》2017年第01期数学思想方法的渗透，有助于我们理性数学思维能力的提高，从而提高我们在对问题进行分析、解决的能力。

“两角差的余弦公式”在推导过程中具有重要的教育价值，蕴涵着换一个角度看问题的转换思想，是数学家创造发明的法宝，也是我们进行再发现、再创造活动的探索方式。

本文针对“两角差的余弦公式的推导”章节进行学习，分析并推导两角差的余弦公式，实践检验。

笔者在近年来的各省数学高考试卷中发现，经常会出现考查数学教材中相关公式或定理的证明试题，比如证明两角和的余弦公式及余弦定理等等。

因而在学习“两角差的余弦公式”这一章节时，较为注重对余弦公式生成及证明过程的学习。

“两角差的余弦公式”属于《三角恒等变换》中出现的第一个公式，因而是推证其它公式的基础，教材首先给出几何法的推导证明，然后采用向量法对公式进行推导及证明。

现对“两角差的余弦公式”的推导方式进行如下分析。

1 公式推导1.1动手实践推导在数学学习中强调动手与动脑并重的观点，因此在学习的过程中可以在动手操作的基础上推导两锐角差的余弦公式。

如图 1所示：用图1 中两块三角板拼出不同角度，是否利用两块三角板拼出如图2、图3的图形，并求出cos15°的值。

并思考将上面45°及30°角改成锐角α与β，能否求出cos（α-β）值。

1.2 三角起源弦图《数学汇编》中曾给出如下命题，如图4所示。

将设H是以AB为直径半圆上的一点，CE则是半圆在点H处的一条切线，其中CH=HE。

EF与CD是AB的垂线，其中D、F为垂足，则表明AB·DF=（CD+EF）·CE，从中我们可以出的两锐角差的余弦公式。

因而可以设∠HOF=α，∠COH=β，对∠EOF采用α及β来表示。

进而可以将OE=OC=1，然后表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β），根据此可以探究出cos（α-β）与sinα、cosα、sinβ、cosβ之间的关系。

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

令狐采学创作两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比令狐采学两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注•对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学主的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用•下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角0C的终边与单位圆的交点为Pl, /POPl = p,贝IJ ZPOx = a-p.过点P作PM丄x轴，垂足为M,那久()M即为a-p角的余弦线，这里要用表示a,卩的正弦、余弦的线段来表示OM.过点P作PA丄()P1,垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂足为B,再过点P作PC丄AB,垂足为C,那么cosp = ()A, sinp =AP,并且ZPAC=/Pl()x = a,于是()M = ()B + BM = ()B + CP=OAcosa + APsina = cospcosa + sinpsina ・cos (Ci- 0)= cos 必cos 播 + sin <Xsin 0综上所述说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难•此种证明方法的另一个问题是公式是在工©均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑工©的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设Pl(xl, yl), P2(x2, y2),则有|P1P2 | 二-审十(必在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角色oc+p和-0, 它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1,则P1(1,())、P2(cosa, since)、P3(cos(a+p), sin(a+p))> 片(GQS(-0),siil(-0)).• 今。

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比令狐采学两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。

两角差的余弦公式教学设计及点评

两⾓差的余弦公式教学设计及点评《两⾓差的余弦公式》教学设计板书设计：教学设计说明⼀、教材地位及其作⽤恒等变换在数学中扮演着重要的⾓⾊，它的主要作⽤是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系⽤简单的形式表⽰出来.三⾓恒等变换在后续学习中具有重要的作⽤.⽽以本节课为起始课的第三章内容需要学习三⾓函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和⾓、差⾓、倍⾓的三⾓函数之间必然存在紧密的内在联系，因⽽需要推出⼀个公式作为基础。

由于三⾓恒等变换的内容与三⾓函数没有直接的关系，因此现⾏的课改教材（⼈教A版）安排学⽣学完三⾓函数后，先学习了平⾯向量，因此选择了运⽤向量⽅法推导公式βαsinαββα=-作为建⽴其它公式的基础，使得公式的得出成为)cos(+sincoscos⼀个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。

本节课的作⽤承前启后,⾮常重要。

⼆、学情分析与教学⽬标学⽣在前两章已经学习了同⾓三⾓函数的基本关系、诱导公式及平⾯向量，为探究两⾓差的余弦公式建⽴了良好的基础。

但学⽣的逻辑推理能⼒有限，要发现并证明公式C(α-β)有⼀定的难度，教师可引导学⽣通过合作交流，体会向量法的作⽤，探索两⾓差的余弦公式。

由于学⽣初次使⽤恒等变换去推理解答问题，分析问题的能⼒和逻辑推理的能⼒都有所⽋缺，并且⾯对新问题如何运⽤已学知识和⽅法去解决存有困惑.但同时学⽣在学习新的⼀章知识时⼜都会充满好奇⼼，这对教学是⾮常有利的。

根据学⽣的认知结构和⼼理特点，我制定了本课的学习⽬标如下：1．知识与技能（1）通过对两⾓差的余弦公式的推导，使学⽣体会应⽤向量解决数学问题的技能。

（2）通过公式的灵活应⽤，使学⽣掌握两⾓差的余弦公式的作⽤。

2．过程与⽅法（1）利⽤两⾓差的余弦公式推导过程，使学⽣体会向量在代数⼏何⽅⾯运⽤的⽅式⽅法。

（2）在公式的灵活运⽤过程中进⼀步培养学⽣分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。

3．情感态度与价值观通过引导学⽣主动参与、⼤胆猜想独⽴探索、激发学⽣学习兴趣，形成探究、证明、应⽤的获取知识的⽅式。

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用。

下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴,垂足为M,那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B,再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP,并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解。

但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题。

方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1（x1,y1），P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= 。

在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点,单位圆与x轴交于P1，则P1(1，0)、P2(cosα,sinα)、P3（cos（α+β)，sin（α+β))、。

∵，且，∴,∴，∴,∴，∴,。

说明:该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点,建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点,另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况,还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设,则。

浅谈“两角差的余弦公式”之推导

浅谈“两角差的余弦公式”之推导柯天扬数学思想方法的渗透，有助于我们理性数学思维能力的提高，从而提高我们在对问题进行分析、解决的能力。

本文针对 “两角差的余弦公式的推导”章节进行学习，分析并推导两角差的余弦公式，实践检验。

笔者在近年来的各省数学高考试卷中发现，经常会出现考查数学教材中相关公式或定理的证明试题，比如证明两角和的余弦公式及余弦定理等等。

因而在学习“两角差的余弦公式”这一章节时，较为注重对余弦公式生成及证明过程的学习。

现对 “两角差的余弦公式”的推导方式进行如下分析。

1 公式推导1.1动手实践推导在数学学习中强调动手与动脑并重的观点，因此在学习的过程中可以在动手操作的基础上推导两锐角差的余弦公式。

如图 1所示：图1用图1 中两块三角板拼出不同角度，是否利用两块三角板拼出如图2、图3的图形，并求出cos15°的值。

并思考将上面45°及30°角改成锐角α与β，能否求出cos(α-β)值。

图2 图31.2 三角起源弦图《数学汇编》中曾给出如下命题，如图4所示。

将设H 是以AB为直径半圆上的一点，CE则是半圆在点H处的一条切线，其中CH=HE。

EF与CD是AB的垂线，其中D、F 为垂足，则表明AB·DF=（CD+EF）·CE，从中我们可以出的两锐角差的余弦公式。

图4因而可以设∠HOF=α，∠COH=β，对∠EOF采用α及β来表示。

进而可以将OE=OC=1，然后表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β），根据此可以探究出cos（α-β）与sinα、cosα、sinβ、cosβ之间的关系。

两角差的余弦公式

两角差的余弦公式1. 引言在数学和物理学中，余弦公式是关于三角形边与角之间关系的一种重要公式。

除了计算三角形的边长外，余弦公式还可以用来计算两个向量之间的夹角。

本文将介绍一种特殊情况下的余弦公式，即两角差的余弦公式，它在计算两个角度之间的夹角时非常有用。

2. 两角差的余弦公式余弦公式描述了三角形中某一边和与其相邻的两个角之间的关系。

对于某个三角形 ABC，设边长 BC 为 a，边长 AC 为 b，夹角 BAC 的度数为 A，夹角 ABC 的度数为 B，夹角 ACB 的度数为 C。

那么余弦公式可以表示为以下等式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c 表示边长 AB。

在计算两个角度之间的夹角时，我们可以利用上述公式进行推导得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)3. 两角差的余弦公式的推导为了推导两角差的余弦公式，我们首先回顾一下三角函数的定义。

对于某个角度θ，sin(θ) 表示该角度的正弦值，cos(θ) 表示该角度的余弦值。

根据欧拉公式的性质，我们有：e^(iθ) = cos(θ) + i * sin(θ)其中，e 表示自然对数的底，i 表示虚数单位。

利用欧拉公式，我们可以得到以下恒等式：cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)接下来，我们考虑两个角度 A 和 B 的差，即 A - B。

我们将 A 和 B 视为两个角度θ1 和θ2 的和，其中：θ1 = (A + B) / 2θ2 = (A - B) / 2根据欧拉公式，我们可以用e^iθ1 和e^iθ2来表示cos(θ1) 和cos(θ2)：cos(θ1) = (e^(iθ1) + e^(-iθ1)) / 2 = (e^(i(A+B)/2) + e^(-i(A+B)/2)) / 2cos(θ2) = (e^(iθ2) + e^(-iθ2)) / 2 = (e^(i(A-B)/2) + e^(-i(A-B)/2)) / 2将上述两个式子相乘并展开，我们得到：cos(θ1) * cos(θ2) = (e^(i(A+B)/2) + e^(-i(A+B)/2)) * (e^(i(A-B)/2) + e^(-i(A-B)/2)) / 4利用指数的乘法法则和欧拉公式的性质，上式可以简化为：(cos(A) + cos(B)) / 2类似地，我们可以用e^iθ1 和e^iθ2 来表示sin(θ1) 和sin(θ2)：sin(θ1) = (e^(i(A+B)/2) - e^(-i(A+B)/2)) / (2i)sin(θ2) = (e^(i(A-B)/2) - e^(-i(A-B)/2)) / (2i)将上述两个式子相乘并展开，我们得到：sin(θ1) * sin(θ2) = (e^(i(A+B)/2) - e^(-i(A+B)/2)) * (e^(i(A-B)/2) - e^(-i(A-B)/2)) / (4i^2)= -(cos(A) - cos(B)) / 2最后，我们将cos(θ1) * cos(θ2) 和sin(θ1) * sin(θ2) 代入两角差的余弦公式，可以得到：cos(A - B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)4. 总结两角差的余弦公式是在两个角度之间计算夹角时的重要工具。

对《两角差的余弦公式》推导的思索

对《两角差的余弦公式》推导的思索发表时间：2019-10-30T17:47:32.440Z 来源：《素质教育》2019年12月总第329期作者：王敏[导读] 数学概念、公式是自然的，不能强加于人。

知识背景、形成过程，应该是合情推理、水到渠成的。

学习贵于疑，而问题是数学学习的“心脏”。

江苏省南京市临江高级中学210000数学概念、公式是自然的，不能强加于人。

知识背景、形成过程，应该是合情推理、水到渠成的。

学习贵于疑，而问题是数学学习的“心脏”。

可通过创设问题情境，引入需要学习的内容，然后引导学生自己发现问题、提出问题、思考问题，经历实践动手、自主学习、主动探索，不断地从具体到抽象，从特殊到一般，形成批判性的理性思维和严谨的科学态度。

首先通过章头图实际问题的引入，又作恰当的数据改变，起点要低，要浅，让学生感受到研究两角差的余弦公式的必要性，通过求cos15°的特殊问题，引起学生学习兴趣。

学生能轻易地解决，然后作相应的推广，引发知识矛盾冲突，同时明确探究目标。

推导过程分四个层次：一是直觉精神，主要通过计算猜想两角差余弦公式，特殊验证，作出初步决策。

二要适当地点拨推广，在α、β、α-β为锐角的情形下，在初中平面几何知识内的探究。

要贴近学生实际知识水平，从头至尾要反思探索过程，让学生回忆高中数学知识中的三角函数定义及单位圆上的三角函数线来研究问题。

这样从多种途径对《两角差的余弦公式》的推导，有助于学生理解公式，加强数学内容之间的联系，增加学生利用已学过的知识来解决实际问题的机会。

只是上面的推导过程比较繁难，而且都在特殊情况下进行。

三是对一般情形的探究，主要是应用三角函数定义、向量的数量积的知识来推导，让学生体会运用向量工具进行探索，过程多么简洁，从而进一步深化向量的丰富知识背景。

认识它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，运用向量解决问题可以发展自身的推理能力和运算能力，然后让学生发现推导过程不严谨之处，请学生补充完善。