167;1概述和一般杆件的内力分析
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3
第一章 杆件在一般外力作用 下的内力分析
概述
1.构件分类：依据变形体几何特点
杆
板
壳
块
4
2. 简图
（1）杆的几何特性： 轴线，横截面，形 心，轴线过横截面 的形心，横截面与 轴线垂直，杆可用 其轴线表示。
形心
（2）载荷（外力） 包括：主动力，约束力
轴线 横截面
5
（3）载荷分类 静载——外力从零缓慢增加至终值后保持不变
动载——外力随 t 变化或构件运动 （4）载荷作用方式 分布载荷—— 线分布集度 q(x) , [力]/[长度]
面分布集度q(x,y) ，[力]/[长度]2
集中载荷——集中力，集中力偶
（5）约束条件——各种支座、铰链
6
§1.1 外力与杆件横截面上的内力
1.变形体产生变形的原因：
外力(
载荷、温度湿度 变化、尺寸误差
T=T(x) ， M=M(x) 若无特别说明，x轴原点在最左端截面，向右为正
将内力方程用函数图形表示出来——内力图
注意 （1）内力方程常分段用不同的函数表示
（2）分段点也称为控制面，通常，以集中 外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（3）根据分段点，分别对每一段杆件运用 截面法列出该段的内力方程
22
954.9N
m
40 Mt3 9549 300 1273.2N m
30
2228.1N•m
954.9N•m
1273.2N•m
x1
x2
2228.1N•m
T(x1)
T (x1) 2228 .1N m
2228.1N•m
(T)
1273.2N•m T(x2)
T (x2 ) 1273 .2N m
1273.2N•m
Mt (N
m)
9549
P(KW ) n(r / min)
(N m)
主动轮或输入功率处Mt与n 同向；
从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
29
若已知： n=300 r/min
30KW 40KW
70KW
1 Mt1
2
3
Mt2
Mt3
M t1
9549
P n
9549 70 300
2228.1N
m
30
Mt2
9549 300
x方向分量 ——扭矩T
y方向分量 z方向分量
合力矩为弯矩M
分 量
11
M
§1.2 杆件变形的基本形式
1、轴向拉伸或压缩(常称为杆）:
F1
F2
F3
12
拉伸（压缩）演示
13
拉伸（压缩）演示
14
2、剪切:
F
F
F
F
3、扭转（常称为轴） :
M1
M2
15
剪 切 演 示（单剪切）
16
剪 切 演 示 （双剪切）
BC段用m-m截面切开，去
掉左半段，用T (x2)代替
平衡方程： T(x2)=m0(a+b-x2)
n m0m
A n B mC
ab
n
T ( x1 )
n
m0
x1
T ( x2 )
x2
27
扭矩方程为：
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x1 a+b)
扭矩图如图
半为分离体，用内力FN2替代
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2
23
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（2）标出特征点内力的绝对值 （1）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
P3
（3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入
截面法的步骤：
（1）切开 （2）代替 （3）平衡
未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
24
例1 连杆由套管AC和
螺杆BG组成，螺杆
由螺纹段BD和阶梯 F1 段DEG组成，受力如
图所示，已知
AB
F2/2
F3
F2/2
C DE
G
F2=F3=F。试写出螺
杆BDEG的轴力方程 并绘出轴力图。
对一般杆件——非二力杆
9
横截面?
A
C
对截面C用截面法
B
A
FR
M FR
C
CM
B
10
A
y
FS FN
FTR
FR
x
M
C
z MC M
B
建立杆件横截面形心直角坐标系，向坐标轴投影
横截面分
布内力系 的主矢FR
x方向分量 ——轴力 FN
y方向分量 z方向分量
合力为剪力 FS
截 面 的 内
力
横截面分 布内力系 的主矩
)
引起内力
产生变形
载荷——包括主动力和约束力
内力——在外力的作用下构件一部分对另一部分的 作用力。
2. 变形体的分析思路：
找出外力
求出内力
求出变形
截面法 （对静定杆件）
7
3.一般杆件的内力分量及分类 对特殊的杆件——桁架中的二力杆： ——用截面法： 横截面上只有轴向拉力或压力 纵向面?
FN FN
8
m0
AB
C
ab
注意：对于工程中 的各种传 m0b
动轴,作用于轴上的外力偶常
常由轴的转速和传递的功率
(T ) A
B
C
决定的。
28
例如，传动轴，主动轮1，从动轮2，3
1
Mt1 已知：轴的转速—— n
2
3
Mt2
Mt3
(转/分，r/min)
该轮传递的功率（输入或输出）—— P (KW) 则该轮处的外力偶矩为：
31
32
C
E
G
25
例2. 一密度ρ的梯形吊杆长为l，上、下面积分别为 2A和A，试求自重作用下杆的轴力方程及轴力图。
x
轴力图(FN) 解: 受力分析:
3ρgAl/2 面积的变化:
FN(x)
+
dx
Biblioteka Baidu
A(x) A A x l
载荷集度为
o 轴力方程:
p(x) gA(x) gA(1 x)
l
FN
(x)
x 0
pdx
gAx(1
x) 2l
26
2.扭矩方程 扭矩图
扭矩的符号规定：扭矩矢量
方向与截面外法线方向一致
为正，反之为负 （1）求出固定端A的约束力偶： M A
M A m0b 方向如图
（2）分段：分为AB，BC两段
AB段用n-n截面切开，去 掉右半段，用T (x1)代替
MA
平衡方程： T(x1)=MA=m0b
a
2a
a 2a
m
n
q
解:外力分析 轴力方程
p F2 F3 F o 2a a B
p FN(x1) FFN(Nx(F3x)22) m Cn Eq
G
F3
x
BC段：FN CE段：FN
( x1 ) (x2 )
px1
F a
x1
2 pa 2F
0 x1 2a
2a x2 3a
2F +
FN F
EG段：FN (x3 ) F3 F3a x3 5a B
2.均匀性 固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性 固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同 注意区别均匀性和各向同性
2
4.小变形 一般要求：最大变形小于最小尺寸 ——变形后的平衡可按变形前的位置计算 ——计算变形量时可略去高阶小量
材料力学分析方法:实验的基础上作合理假设， 再运用力学原理和数学工具，得出工程实用 的理论计算公式。——实践性很强的工程技 术基础课。
绪论
材料力学:固体力学的分支,研究杆件在外力作用下
产生的内力、变形以及破坏的规律
对象 ——工程中的各种构件、结构 ——变形体
目的 ——构件与结构能正常安全地工作 强度：构件受外力不破坏
内容 刚度：构件具有抵抗变形的能力 稳定性：构件保持原有平衡状态的能力 安全 一对矛盾 经济
1
变形固体基本假设
1.连续性 各物理量均为空间坐标的连续函数 变形前，变形后，不开裂，不相入
17
扭转演示
18
矩形扭转
19
4、弯曲 （常称为梁）： q F M
20
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时， 称为组合变形。
变形体静力学主要研究杆件的拉（压）、扭、弯和 组合变形
21
§1.3 杆件的内力方程和内力图
以x坐标表示不同位置的横截面，则该 横截面上的内力分量可表示为： 内力方程 FN=FN(x) ， FS=FS(x)
1.轴力方程 轴力图 轴力的符号规定：拉为正
P1
n P2
A x1 B
m
P3 x
C
压为负
（1）分段：分为AB，BC两段 P1
nn
n FN1
m
（2）对各段用截面法:
n P2
AB段在n-n处切开，取左半或右
半为分离体，用内力FN1替代
FN1 n
P3
对左半段列平衡方程：FN1(x1) P1
BC段在m-m处切开，取左半或右
第一章 杆件在一般外力作用 下的内力分析
概述
1.构件分类：依据变形体几何特点
杆
板
壳
块
4
2. 简图
（1）杆的几何特性： 轴线，横截面，形 心，轴线过横截面 的形心，横截面与 轴线垂直，杆可用 其轴线表示。
形心
（2）载荷（外力） 包括：主动力，约束力
轴线 横截面
5
（3）载荷分类 静载——外力从零缓慢增加至终值后保持不变
动载——外力随 t 变化或构件运动 （4）载荷作用方式 分布载荷—— 线分布集度 q(x) , [力]/[长度]
面分布集度q(x,y) ，[力]/[长度]2
集中载荷——集中力，集中力偶
（5）约束条件——各种支座、铰链
6
§1.1 外力与杆件横截面上的内力
1.变形体产生变形的原因：
外力(
载荷、温度湿度 变化、尺寸误差
T=T(x) ， M=M(x) 若无特别说明，x轴原点在最左端截面，向右为正
将内力方程用函数图形表示出来——内力图
注意 （1）内力方程常分段用不同的函数表示
（2）分段点也称为控制面，通常，以集中 外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（3）根据分段点，分别对每一段杆件运用 截面法列出该段的内力方程
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954.9N
m
40 Mt3 9549 300 1273.2N m
30
2228.1N•m
954.9N•m
1273.2N•m
x1
x2
2228.1N•m
T(x1)
T (x1) 2228 .1N m
2228.1N•m
(T)
1273.2N•m T(x2)
T (x2 ) 1273 .2N m
1273.2N•m
Mt (N
m)
9549
P(KW ) n(r / min)
(N m)
主动轮或输入功率处Mt与n 同向；
从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
29
若已知： n=300 r/min
30KW 40KW
70KW
1 Mt1
2
3
Mt2
Mt3
M t1
9549
P n
9549 70 300
2228.1N
m
30
Mt2
9549 300
x方向分量 ——扭矩T
y方向分量 z方向分量
合力矩为弯矩M
分 量
11
M
§1.2 杆件变形的基本形式
1、轴向拉伸或压缩(常称为杆）:
F1
F2
F3
12
拉伸（压缩）演示
13
拉伸（压缩）演示
14
2、剪切:
F
F
F
F
3、扭转（常称为轴） :
M1
M2
15
剪 切 演 示（单剪切）
16
剪 切 演 示 （双剪切）
BC段用m-m截面切开，去
掉左半段，用T (x2)代替
平衡方程： T(x2)=m0(a+b-x2)
n m0m
A n B mC
ab
n
T ( x1 )
n
m0
x1
T ( x2 )
x2
27
扭矩方程为：
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x1 a+b)
扭矩图如图
半为分离体，用内力FN2替代
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2
23
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（2）标出特征点内力的绝对值 （1）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
P3
（3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入
截面法的步骤：
（1）切开 （2）代替 （3）平衡
未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
24
例1 连杆由套管AC和
螺杆BG组成，螺杆
由螺纹段BD和阶梯 F1 段DEG组成，受力如
图所示，已知
AB
F2/2
F3
F2/2
C DE
G
F2=F3=F。试写出螺
杆BDEG的轴力方程 并绘出轴力图。
对一般杆件——非二力杆
9
横截面?
A
C
对截面C用截面法
B
A
FR
M FR
C
CM
B
10
A
y
FS FN
FTR
FR
x
M
C
z MC M
B
建立杆件横截面形心直角坐标系，向坐标轴投影
横截面分
布内力系 的主矢FR
x方向分量 ——轴力 FN
y方向分量 z方向分量
合力为剪力 FS
截 面 的 内
力
横截面分 布内力系 的主矩
)
引起内力
产生变形
载荷——包括主动力和约束力
内力——在外力的作用下构件一部分对另一部分的 作用力。
2. 变形体的分析思路：
找出外力
求出内力
求出变形
截面法 （对静定杆件）
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3.一般杆件的内力分量及分类 对特殊的杆件——桁架中的二力杆： ——用截面法： 横截面上只有轴向拉力或压力 纵向面?
FN FN
8
m0
AB
C
ab
注意：对于工程中 的各种传 m0b
动轴,作用于轴上的外力偶常
常由轴的转速和传递的功率
(T ) A
B
C
决定的。
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例如，传动轴，主动轮1，从动轮2，3
1
Mt1 已知：轴的转速—— n
2
3
Mt2
Mt3
(转/分，r/min)
该轮传递的功率（输入或输出）—— P (KW) 则该轮处的外力偶矩为：
31
32
C
E
G
25
例2. 一密度ρ的梯形吊杆长为l，上、下面积分别为 2A和A，试求自重作用下杆的轴力方程及轴力图。
x
轴力图(FN) 解: 受力分析:
3ρgAl/2 面积的变化:
FN(x)
+
dx
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A(x) A A x l
载荷集度为
o 轴力方程:
p(x) gA(x) gA(1 x)
l
FN
(x)
x 0
pdx
gAx(1
x) 2l
26
2.扭矩方程 扭矩图
扭矩的符号规定：扭矩矢量
方向与截面外法线方向一致
为正，反之为负 （1）求出固定端A的约束力偶： M A
M A m0b 方向如图
（2）分段：分为AB，BC两段
AB段用n-n截面切开，去 掉右半段，用T (x1)代替
MA
平衡方程： T(x1)=MA=m0b
a
2a
a 2a
m
n
q
解:外力分析 轴力方程
p F2 F3 F o 2a a B
p FN(x1) FFN(Nx(F3x)22) m Cn Eq
G
F3
x
BC段：FN CE段：FN
( x1 ) (x2 )
px1
F a
x1
2 pa 2F
0 x1 2a
2a x2 3a
2F +
FN F
EG段：FN (x3 ) F3 F3a x3 5a B
2.均匀性 固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性 固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同 注意区别均匀性和各向同性
2
4.小变形 一般要求：最大变形小于最小尺寸 ——变形后的平衡可按变形前的位置计算 ——计算变形量时可略去高阶小量
材料力学分析方法:实验的基础上作合理假设， 再运用力学原理和数学工具，得出工程实用 的理论计算公式。——实践性很强的工程技 术基础课。
绪论
材料力学:固体力学的分支,研究杆件在外力作用下
产生的内力、变形以及破坏的规律
对象 ——工程中的各种构件、结构 ——变形体
目的 ——构件与结构能正常安全地工作 强度：构件受外力不破坏
内容 刚度：构件具有抵抗变形的能力 稳定性：构件保持原有平衡状态的能力 安全 一对矛盾 经济
1
变形固体基本假设
1.连续性 各物理量均为空间坐标的连续函数 变形前，变形后，不开裂，不相入
17
扭转演示
18
矩形扭转
19
4、弯曲 （常称为梁）： q F M
20
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时， 称为组合变形。
变形体静力学主要研究杆件的拉（压）、扭、弯和 组合变形
21
§1.3 杆件的内力方程和内力图
以x坐标表示不同位置的横截面，则该 横截面上的内力分量可表示为： 内力方程 FN=FN(x) ， FS=FS(x)
1.轴力方程 轴力图 轴力的符号规定：拉为正
P1
n P2
A x1 B
m
P3 x
C
压为负
（1）分段：分为AB，BC两段 P1
nn
n FN1
m
（2）对各段用截面法:
n P2
AB段在n-n处切开，取左半或右
半为分离体，用内力FN1替代
FN1 n
P3
对左半段列平衡方程：FN1(x1) P1
BC段在m-m处切开，取左半或右