167;1概述和一般杆件的内力分析
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
第三章_杆件的内力内力图
A
1 B 1 F2
2 C 2 F3
25 kN
3D
解：取基线平行于杆的中心线
F1
10 kN
3 F4 （1）从杆的左端开始作图 + （2）从杆的右端开始作图 （3）若要求1-1、2-2、3-3截面上
+ _
10 kN 2 FN1=10kN，FN2=-10kN，FN3=25kN
F N 2 F1 F 2 10 kN
F1
F3
+ _
10
FN3 CD段 F x 0 F N 3 F 1 F 2 F 3 0
25
F N 3 F1 F 2 F 3 2 5 k N
+
x
2、绘制轴力图。
目录
五、简易作图法
由上例可知，任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和。
M F
y
A
0 FBy 3a Fa 2F a 0
FAy
0 FAy FBy 2F 0 F 5F FBy FBy FAy 3 3 2. 用截面法研究内力
ME
Fy 0
2F FQE
A
E
FAy
FQE
FQ E F A y
5F 0 3 F 2F 3
取: 取m-m截面以左段或以右段
代: 将去掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出扭矩值
M 0
M
x
-M e 0
M
x
M
e
扭矩正负规定 右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之负(-).
目录
3、扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化规律的图形。 用矢量表示力偶,外力偶和轴向外力对应,扭矩和轴力对应,可用
杆件的内力分析
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
P n
（N·m）
如果功率P以马力为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
M
B
MC
M
＝
A
637
N
m
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
A B
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为P千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W P1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
e
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
N
单位：KN
F
N
正
20kN
10kN
30kN
10kN
30kN
20kN
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
杆件的内力
二、载荷的分类
1. 集中载荷
q(x)
2. 分布载荷
3. 集中力偶
三、支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况， 一般可以简化为三种基本形式：
1. 固定铰支座
2. 可动铰支座
3. 固定端支座
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
根据梁的支承情况，在工程实际中常将梁分为三种类型
简支梁
P
P
外伸梁
悬臂梁
2 梁的计算简图
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
2 梁的计算简图
火车轮轴简化
2 梁的计算简图
3 剪力和弯矩
a
b
P
１
A
B
１
x
l
a
1
A
1
x
b
P
1)求支反力
RA l P b
Pb
B
RA l
Pa
RB l
RA M
l
M
P RB
2）1-1面上的内力
Pb Q RA l
Q
x
Q
RA
外力偶矩 扭矩和扭矩图
5.4 弯曲内力
• 1 概述 • 2 梁的计算简图 • 3 剪力和弯矩 • 4 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图 • 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
0
1 概述
起重机大梁
1
镗刀杆
火车轮轴
弯曲变形
受力特征： 外力的作用线垂直于杆轴线(称为横向力) （有时还包括力偶）。
分别为A、C、B,求杆的轴力。
P1=2kN A
P1=2kN A
P2=3kN C
P3=1kN B
第3章 杆件的内力分析
50
基本概念：
外力、内力、内力分量、轴力、剪力、 弯矩、扭矩、内力函数、内力图、 轴力、 扭转、平面弯曲。
内力图的作法及特点：
(1)直杆受轴向拉伸或压缩时的内力图--轴力图
剪力 Fy 0 RA Q 0
Fb Q RA l
弯矩
对截面m-m上的形心O取矩，得：
Mo 0
M RA x 0
Fb M RA x x l
40
按照同样方法，在2-2处将梁截开为左右两部分， 仍取左段为分离体，就可求出2-2截面上的内力及 内力矩。
41
③ 剪力和弯矩的符号 截面上的剪力对梁上任意 一点的矩为顺时针转向时， 剪力为正；反之为负。
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24
(3)力偶矩的计算及横截面上的内力
1)外力偶矩
直接计算:
25
按输入功率和转速计算
P Fv
v R P F R T
2n 2n Tn P T T ＝T ＝ 60 60 9.55
2n n 60 30
30 P P T 9.55 n n
PC 15 TC 9.55 9.55 0.478 n 300
kN· m
PD 25 m TD 9.55 9.55 0.796 kN· n 300
(3)求出各段的扭矩 BC段：Tn1-TB=0， Tn1=TB=0.318 kN· m； CA段：Tn2-TB-TC=0，Tn2=TB+TC=0.796 kN· m； AD段：Tn3+TD=0， Tn3=-TD=-0.796 kN· m。
第3章 杆件的内力分析
外力与内力的平衡 内力分量 内力分析与内力图
杆件的内力分析--材料力学
取3-3截面右侧分析 列方程
M
x
0
M x 3 TD 0
M x 3 TD 2859 N m
由上述计算得到扭矩 值
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
力矩矢方向
力矩旋转方向
根据平衡，截面上有内力矩Mx—扭矩 由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与截 面外法线方向一致为 正，反之为负。
力矩矢方向
扭矩矢量 Mx n
力矩旋转方向
截面
截面外法线
1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）； 2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢； 3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正 方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小； 4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出 扭矩图。
将外力矩转换为力矩 矢量
取1-1截面左侧分析 将截面上的扭矩设为 正 列方程
M
x
0
TB M x1 0
M x1 TB 4300 N m
取2-2截面左侧分析 列方程
M
x
0
TB TC M x 2 0
M x 2 TB TC 6690 N m
• 2-2直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力 图
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
一些机器和结构中所 用的各种紧固螺栓，在紧 固时，要对螺栓施加预紧 力，螺栓承受轴向拉力， 将发生伸长变形。
这些杆件所受的外力特征可以描述为： 作用在杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合
工程力学杆件的内力分析和内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
2. 截面法旳基本环节：
例3： 截面法求内力
F
截开：
替代： 平衡：
F F
FS
F 0
上刀刃 n
n 下刀刃
F Fs 0 Fs F
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
2. 截面法旳基本环节总结：
① 截开：在所求内力旳截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②替代：任取一部分为研究对象，将弃去部分对留下部分旳作用， 作用在截开面上相应旳内力（力或力偶）替代。
写剪力方程和弯矩方程旳措施和前面简介旳求内力分量旳措施 和过程相同，所不同旳，目前旳指定横截面是坐标为x旳任意 横截面。x是变量，FS（x）、M(x)是函数。
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Fs Fs(x) 旳图线表达 例题5-4
弯矩图
M M (x) 旳图线表达 例题5-5
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
工程力学 5.2.2 扭矩和扭矩图
第五章 杆件的内力分析与内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
5.2.2 扭矩和扭矩图
扭转变形是指杆件受到大小相等，方向相反且作用平面垂直于
杆件轴线旳力偶作用，使杆件旳横截面绕轴线产生转动。
A
B O
一、传动轴旳外力偶矩
A
BO
m
m
1.由定义直接计算
外力偶矩： Me＝Fd
L CB段
Fs( x)
RA
P
a L
P(a
x
L)
x M (x) Pa b Px(a x L) L
③根据方程画内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
第五章-杆件的内力分析
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
例题：图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 P=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆 CB为15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆AB为1杆， 水平杆BC为2杆）用截面法取节点B为研究对象
A
Fx 0 Fy 0
依方程画出剪力图和弯矩图。
目录
42
3.
梁弯曲时的应力
概述 • 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称
为纯弯曲。
P a A
Q
P a B
x
x M
§7－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 一、 纯弯曲时梁横截面上的 正应力 中性轴 中性面 （一）变形几何规律：
1. 横截面上的正应力
2. 斜截面上的应力
（1）轴向拉压杆横截面上的正应力 研究方法：
实验观察 作出假设 理论分析 实验验证
N A
F
结论：横截面上应力为均匀分布，以表示。
F
F
即
正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
FN A
的适用条件:
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。
N 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 106 P a 89MP a
45° B
C
N1
N2
45°
y
B
P
P
x
§4-1
概述
起重机大梁
1
目录
20
§4-1
概述
镗刀杆
目录
21
第二章 杆件的内力分析
（3）集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值等于 P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。
（4）集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图 在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。
1.轴力图 §2-3 内力图 表示轴力沿杆轴线方向变化的图形,称为轴力图。 用x轴表示 杆轴线，其值代表截面位置， y轴表示对应截面的轴力。正值绘
FP1
y FR
My
M
FQ y
FQ z FQ x
x
Mz
(b)
FP2
z
为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用
一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分，将
弃去部分对保留部分的作用以内力的形式表示,然后
以保留部分为研究对象建立力学模型，再根据平衡
原理求出该截面上的内力 ，称为截面法。是确定构
件任意截面上内力值的基本方法 。
应用截面法不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控 制面剪力将发生突变，集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩 将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分
别按不同的函数规律变化。进一步，根据荷载集度、剪力和弯 矩之间的微分关系及其几何意义，可得出画内力图的一些规律
如下： （1）q(x)=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
§2-1内力与内力分量
1. 内力主矢与主矩
弹性体受力后产生变形，其内部各点均会发生相对位移，因 而产生附加的相互作用力，称为内力。无论杆件横截面上的内 力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得
到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。
理论力学中的杆件受力分析与应力计算
理论力学中的杆件受力分析与应力计算杆件在力学中是一种常见的结构元件，广泛应用于工程领域。
在使用杆件的过程中，对其受力分析与应力计算是十分重要的，这有助于了解杆件的工作状态和承受外部力的能力。
在理论力学中，杆件的受力分析和应力计算是相互关联的，通过分析杆件上的受力情况可以计算出其内部所受的应力。
一、杆件受力分析杆件在受力时一般会存在拉力、压力和剪力等力的作用，为了分析杆件上的受力情况，我们首先需要了解以下几个概念：1. 内力：杆件内部产生的相互作用力被称为内力，包括拉力、压力和剪力等。
内力可以分为轴向力、弯矩和剪力三种类型。
2. 外力：杆件受到的外部施加的力被称为外力，可以分为集中力和分布力。
集中力是沿杆件轴线方向的作用力，可以通过杆件两端的连接点传递；分布力是沿杆件长度方向分布的作用力。
3. 杆件端点的支座条件：杆件连接点的支座条件可以分为固定支座、铰接支座和滑动支座。
固定支座可以防止杆件端点的位移和旋转；铰接支座只能防止位移，而滑动支座只能防止垂直位移。
通过分析杆件上的受力情况，可以得出杆件内部所受的内力大小和方向。
具体的受力分析方法包括静力平衡方程和弹性力学原理等。
二、应力计算杆件在受力时会发生变形，产生应力。
应力是指杆件内力对杆件截面积的比值，常用符号表示为σ。
杆件所受的应力可以分为轴向应力、剪应力和弯曲应力。
1. 轴向应力：杆件受到拉力或压力时，在截面上会产生轴向应力。
轴向应力可以通过杆件所受的轴向力与截面面积的比值来计算，即σ= F/A，其中F为轴向力，A为截面面积。
2. 剪应力：杆件在受到剪力时会产生剪应力。
剪应力可以通过杆件所受的剪力与截面面积的比值来计算，即τ = V/A，其中V为剪力，A 为截面面积。
3. 弯曲应力：杆件在受到弯矩作用时会产生弯曲应力。
弯曲应力可以通过弯矩对截面矩型模量的比值来计算，即σ_b = M/W，其中M为弯矩，W为截面矩型模量。
根据杆件所受的外力和材料的性质，可以计算出杆件所受的内力和应力。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。
首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。
第一节内力与截面法杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。
这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。
为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。
取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。
由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。
由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。
把该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。
但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。
（1）轴力。
沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。
（2）剪力。
与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变形。
（3）扭矩。
绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
（4）弯矩。
绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。
为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。
这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。
其步骤可归纳为：(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。
02第2章杆件的内力与内力图
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
第2章 杆件的内力和内力图 扭转的概念
受力特征
◎ 扭矩与扭矩图
在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着大小相等、 方向相反的一对力偶。 变形特征
杆件的各横截面环 绕轴线发生相对的转动。
扭转角 任意两横截面间相 对转过的角度。
第2章 杆件的内力和内力图 工程中承受扭转的圆轴
◎ 轴力与轴力图
一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要 对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。
第2章 杆件的内力和内力图 工 程 实 例
◎ 轴力与轴力图
由汽缸、活塞、 连杆所组成的机构中， 不仅连接汽缸缸体和 汽缸盖的螺栓承受轴 向拉力，带动活塞运 动的连杆由于两端都 是铰链约束，因而也 是承受轴向载荷的杆 件。
FN
+
FN
－
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤
首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力； 其次，根据杆件上作用的载荷及约束力，轴力图的分段点： 在有集中力作用处即为轴力图的分段点； 第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开， 在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开 的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉 伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负； 最后，建立FN-x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系 中，画出轴力图。
2．求扭矩 应用截面法由平 衡方程确定
M
x
0
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
3．画扭矩图 建 立 Mx-x 坐 标
系。将所求得的各段
的扭矩值，标在Mxx坐标系中，得到相
《杆的内力》课件
确保桥梁安全运营的关键技术
详细描述
在桥梁工程中，杆件是重要的承载结构。分析杆的内力是 确保桥梁安全运营的关键技术，对于预防桥梁失稳、疲劳 破坏等具有重要意义。
总结词
优化桥梁设计的重要手段
详细描述
通过分析杆的内力，可以优化桥梁的设计，提高桥梁的承 载能力、减小应力集中和变形，从而提高桥梁的整体性能 和使用寿命。
杆的内力的分类
按作用方式
可以分为拉力和压力。
按作用效果
可以分为轴向拉伸和压缩、弯曲和扭转。
按作用范围
可以分为局部内力和整体内力。
杆的内力的作用
01
02
03
平衡作用
杆的内力与外力相互平衡 ，保持杆的静止或平衡状 态。
传递作用
杆的内力可以传递外力， 实现力的传递和转化。
变形作用
杆的内力会导致杆的变形 ，从而改变杆的形状和位 置。
杆的内力的方向
杆的内力方向与杆的变形方向相反。
当杆受到压力时，内力方向与杆的轴线垂直向下；当杆受到拉力时，内力方向与杆 的轴线垂直向上。
内力的方向可以通过杆的变形情况来判断。
杆的内力的变化规律
杆的内力大小随外力的增加而增 加，随外力的减小而减小。
在弹性极限范围内，内力与外力 成正比；超过弹性极限后，杆会
02 杆的内力的计算方法
截面法
截面法是通过在杆件上截取一小 段，分析其受力情况，从而计算
杆的内力的方法。
在截取的截面上，根据力的平衡 条件，可以求出该截面的内力。
截面法适用于各种类型的杆件， 包括实心杆和空心杆。
平衡法
平衡法是通过分析杆件的整体 平衡状态，来计算杆的内力的 方法。
平衡法适用于分析长杆件或细 长杆件，因为这些杆件在受力 时容易发生弯曲或扭曲。
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第一章 杆件在一般外力作用 下的内力分析
概述
1.构件分类：依据变形体几何特点
杆
板
壳
块
4
2. 简图
（1）杆的几何特性： 轴线，横截面，形 心，轴线过横截面 的形心，横截面与 轴线垂直，杆可用 其轴线表示。
形心
（2）载荷（外力） 包括：主动力，约束力
轴线 横截面
5
（3）载荷分类 静载——外力从零缓慢增加至终值后保持不变
C
E
G
25
例2. 一密度ρ的梯形吊杆长为l，上、下面积分别为 2A和A，试求自重作用下杆的轴力方程及轴力图。
x
轴力图(FN) 解: 受力分析:
3ρgAl/2 面积的变化:
FN(x)
+
dx
A(x) A A x l
载荷集度为
o 轴力方程:
p(x) gA(x) gA(1 x)
l
FN
(x)
x 0
m0
AB
C
ab
注意：对于工程中 的各种传 m0b
动轴,作用于轴上的外力偶常
常由轴的转速和传递的功率
(T ) A
B
C
决定的。
28
例如，传动轴，主动轮1，从动轮2，3
1
Mt1 已知：轴的转速—— n
2
3
Mt2
Mt3
(转/分，r/min)
该轮传递的功率（输入或输出）—— P (KW) 则该轮处的外力偶矩为：
17
扭转演示
18
矩形扭转
19
4、弯曲 （常称为梁）： q F M
20
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时， 称为组合变形。
变形体静力学主要研究杆件的拉（压）、扭、弯和 组合变形
21
§1.3 杆件的内力方程和内力图
以x坐标表示不同位置的横截面，则该 横截面上的内力分量可表示为： 内力方程 FN=FN(x) ， FS=FS(x)
对一般杆件——非二力杆
9
横截面?
A
C
对截面C用截面法
B
A
FR
M FR
C
CM
B
10
A
y
FS FN
FTR
FR
x
M
C
z MC M
B
建立杆件横截面形心直角坐标系，向坐标轴投影
横截面分
布内力系 的主矢FR
x方向分量 ——轴力 FN
y方向分量 z方向分量
合力为剪力 FS
截 面 的 内
力
横截面分 布内力系 的主矩
Mt (N
m)
9549
P(KW ) n(r / min)
(N m)
主动轮或输入功率处Mt与n 同向；
从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
29
若已知： n=300 r/min
30KW 40KW
70KW
1 Mt1
2
3
Mt2
Mt3
M t1
9549
P n
9549 70 300
2228.1N
m
30
Mt2
9549 300
954.9N
m
40 Mt3 9549 300 1273.2N m
30
2228.1N•m
954.9N•m
1273.2N•m
x1
x2
2228.1N•m
T(x1)
T (x1) 2228 .1N m
2228.1N•m
(T)
1273.2N•m T(x2)
T (x2 ) 1273 .2N m
1273.2N•m
2.均匀性 固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性 固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同 注意区别均匀性和各向同性
2
4.小变形 一般要求：最大变形小于最小尺寸 ——变形后的平衡可按变形前的位置计算 ——计算变形量时可略去高阶小量
材料力学分析方法:实验的基础上作合理假设， 再运用力学原理和数学工具，得出工程实用 的理论计算公式。——实践性很强的工程技 术基础课。
)
引起内力
产生变形
载荷——包括主动力和约束力
内力——在外力的作用下构件一部分对另一部分的 作用力。
2. 变形体的分析思路：
找出外力
求出内力
求出变形
截面法 （对静定杆件）
7
3.一般杆件的内力分量及分类 对特殊的杆件——桁架中的二力杆： ——用截面法： 横截面上只有轴向拉力或压力 纵向面?
FN FN
8
动载——外力随 t 变化或构件运动 （4）载荷作用方式 分布载荷—— 线分布集度 q(x) , [力]/[长度]
面分布集度q(x,y) ，[力]/[长度]2
集中载荷——集中力，集中力偶
（5）约束条件——各种支座、铰链
6
§1.1 外力与杆件横截面上的内力
1.变形体产生变形的原因：
外力(
载荷、温度湿度 变化、尺寸误差
半为分离体，用内力FN2替代
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2
23
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（2）标出特征点内力的绝对值 （1）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
绪论
材料力学:固体力学的分支,研究杆件在外力作用下
产生的内力、变形以及破坏的规律
对象 ——工程中的各种构件、结构 ——变形体
目的 ——构件与结构能正常安全地工作 强度：构件受外力不破坏
内容 刚度：构件具有抵抗变形的能力 稳定性：构件保持原有平衡状态的能力 安全 一对矛盾 经济
1
变形固体基本假设
1.连续性 各物理量均为空间坐标的连续函数 变形前，变形后，不开裂，不相入
x方向分量 ——扭矩T
y方向分量 z方向分量
合力矩为弯矩M
分 量
11
M
§1.2 杆件变形的基本形式
1、轴向拉伸或压缩(常称为杆）:
F1
F2
F3
12
拉伸（压缩）演示
13
拉伸（压缩）演示
14
2、剪切:
F
F
F
F
3、扭转（常称为轴） :M1M2 Nhomakorabea15
剪 切 演 示（单剪切）
16
剪 切 演 示 （双剪切）
a
2a
a 2a
m
n
q
解:外力分析 轴力方程
p F2 F3 F o 2a a B
p FN(x1) FFN(Nx(F3x)22) m Cn Eq
G
F3
x
BC段：FN CE段：FN
( x1 ) (x2 )
px1
F a
x1
2 pa 2F
0 x1 2a
2a x2 3a
2F +
FN F
EG段：FN (x3 ) F3 F3a x3 5a B
T=T(x) ， M=M(x) 若无特别说明，x轴原点在最左端截面，向右为正
将内力方程用函数图形表示出来——内力图
注意 （1）内力方程常分段用不同的函数表示
（2）分段点也称为控制面，通常，以集中 外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（3）根据分段点，分别对每一段杆件运用 截面法列出该段的内力方程
22
31
32
P3
（3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入
截面法的步骤：
（1）切开 （2）代替 （3）平衡
未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
24
例1 连杆由套管AC和
螺杆BG组成，螺杆
由螺纹段BD和阶梯 F1 段DEG组成，受力如
图所示，已知
AB
F2/2
F3
F2/2
C DE
G
F2=F3=F。试写出螺
杆BDEG的轴力方程 并绘出轴力图。
BC段用m-m截面切开，去
掉左半段，用T (x2)代替
平衡方程： T(x2)=m0(a+b-x2)
n m0m
A n B mC
ab
n
T ( x1 )
n
m0
x1
T ( x2 )
x2
27
扭矩方程为：
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x1 a+b)
扭矩图如图
1.轴力方程 轴力图 轴力的符号规定：拉为正
P1
n P2
A x1 B
m
P3 x
C
压为负
（1）分段：分为AB，BC两段 P1
nn
n FN1
m
（2）对各段用截面法:
n P2
AB段在n-n处切开，取左半或右
半为分离体，用内力FN1替代
FN1 n
P3
对左半段列平衡方程：FN1(x1) P1
BC段在m-m处切开，取左半或右
pdx
gAx(1
x) 2l
26
2.扭矩方程 扭矩图
扭矩的符号规定：扭矩矢量
方向与截面外法线方向一致
为正，反之为负 （1）求出固定端A的约束力偶： M A
M A m0b 方向如图
（2）分段：分为AB，BC两段
AB段用n-n截面切开，去 掉右半段，用T (x1)代替
MA
平衡方程： T(x1)=MA=m0b