第八章约束优化
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约束问题的最优化方法
§4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想： 内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚 因子 r(k) 的不断递减，生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可 行域内逐步迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域内部趋向 原目标函数的约束最优点 x* 。 内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
φ[ x * (r k ), r k ] − φ[ x * (r k −1 ), r k −1 ] ≤ ε1 * k −1 k −1 φ[ x (r ), r ]
x * (r k ) − x * (r k −1 ) ≤ ε 2
五.
方法评价：
用于目标函数比较复杂，或在可行域外无定义的场合下： 由于优化过程是在可行域内逐步改进设计方案，故在解决工程 问题时，只要满足工程要求，即使未达最优解，接近的过程解也 是可行的； 初始点和序列极值点均需严格满足所有约束条件； 不能解决等式约束问题。
新目标函数： Φ ( x, r1 , r2 ) =
(k ) M
(k ) p
G[ g u ( x)] + r2 ∑ H [hv ( x)] f ( x) + r1 ∑ u =1 v =1
m
p
H [hv ( x)] 其中r ∑ G[g u ( x)] 和 r ∑ 称为加权转化项，并根据它们在惩 v =1 u =1 罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。
最优化方法第八章约束非线性优化
( 3)
15
i gi ( x*) 0 , i 1 , 2 , , l i 0 , gi ( x*) 0 ; i 0, i 1 , 2 , , l i 0 , gi ( x*) 0 ;
定理4(K-T条件): 设 x* Q ，f ( x) 和 g i ( x) (i I ( x*) ) 在x * 处可微，
g1 ( x) 4 x1 x2
g1 ( x ) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x ) x1 , g2 ( x ) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x ) x2 , g3 ( x ) [ 0 , 1 ]T 。
18
由 K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
s.t. ф(x,y)=0
引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λ ф(x,y)
4
若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于等式约束的情况： min f(x) 分量形式： s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是其的最优解 , 则存在υ*∈ Rl 使
x1 d 1 d2
①可行方向与积极约束: 可行方向:
g2 ( x ) 0
设 x0 Q， d 为一个向量。如果存在 实数 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 使得对任意的 [ 0 , ] 有 x 0 d Q , 则称 d 为 x 0 处的 一个可行方向。
《约束优化问题》课件
借鉴物理退火过程的随机搜索 算法，通过概率接受劣解探索
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一，它通过线性不等式或等式约束来 限制决策变量的取值范围，使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题，其目标函数 和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论 和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性 和鲁棒性，以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中，模型的解释性和鲁棒性是非常重要的 。为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释 性和鲁棒性，例如通过建立模型的可解释性框架、设 计鲁棒性强的算法等，以提高模型的可靠性和稳定性 。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数，将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后利用无约束优化 方法求解。在每一步迭代中，根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
，直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完 成，因此时间限制也是一个重要 的约束条件。通过约束优化问题 ，可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中，质量是一个重要 的考量因素。通过约束优化问题 ，可以在保证质量的前提下，实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一，它通过线性不等式或等式约束来 限制决策变量的取值范围，使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题，其目标函数 和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论 和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性 和鲁棒性，以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中，模型的解释性和鲁棒性是非常重要的 。为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释 性和鲁棒性，例如通过建立模型的可解释性框架、设 计鲁棒性强的算法等，以提高模型的可靠性和稳定性 。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数，将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后利用无约束优化 方法求解。在每一步迭代中，根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
，直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完 成，因此时间限制也是一个重要 的约束条件。通过约束优化问题 ，可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中，质量是一个重要 的考量因素。通过约束优化问题 ，可以在保证质量的前提下，实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制
约束问题的最优化方法
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
约束优化条件
f ( x * )
* * h x j j jJ
若x *局部最优解,则 f ( x * )落在由向量h j ( x* ), j J 生成的空间中。
建模方法与应用
min f ( x ) 6、定理1的改进： 对于 s .t . gi ( x ) 0, i 1,, p h j ( x ) 0, j 1,,q
定理1改进后表明：若(x1,x2)T是局部最优解，则：
* * * f ( x * ) * g x h x 0 i i j j iI jJ * * g x 0,i I i i * i 0,i I
建模方法与应用
解：由于全部函数都是连续可微的，所以应用以下K-T条件
* * * f ( x * ) * g x h x 0 i i j j iI jJ * * g x 0,i I i i * i 0,i I
建模方法与应用
建模方法与应用
Kuhn-Tucker 条件
我们可以引入Lagrange函数
L x, λ , μ f x i g i x i h j x
i 1 j 1
p
q
λ 1 ,, p , μ 1 ,, q 称为Lagrange乘子向量。 其中，
Kuhn-Tucker 条件
4、定理1的特例1
min f ( x ) 对于 ,若x *是其局部最优解，则 s .t . gi ( x ) 0
* * * f ( x ) g x 0 i i * * * 实数i ,i I ( x )使得 i I x * 0,i I x * i
约束优化理论介绍
建立对偶理论的基本思路
◎ 希望解决的问题 ⊙ 定义新问题，以 为变量？且解是 !
⊙ 新问题的解可给原问题提供一个下界！
◎ Lagrange对偶(计算)与Fenche对偶(理论)！
◎ 建立对偶理论的基本思路 ⊙ 将约束极小化问题 ⊙ 定义对偶问题是
“min-max”问题 “max-min”问题
二人零和博弈(zero-sum game)
二阶条件
等式约束问题--二阶条件
设 x* 是问题的局部极小点，且满足 KKT 条件 二阶必要条件：对任一序列可行方向p，有 约束规范(CQ)： 二阶必要条件：如果x*是极小点，且CQ成立，则 二阶充分条件：如果事实
成立，则x*必是严格局部极小点.
二阶条件(续)
问题：讨论参数 取何值时， x*=0是局部极小点
.
是空集当且仅当存在
使得
Farkas引理.
给定 中的向量
.
集合
是空集当且仅当存在 使得
考虑可行序列
一阶必要条件
f 在x’的下降方向集 ，则
其中 称
且
，
是长度固定的向量.
的聚点 p 是序列可行方向，全体记为
引理 设 x* 是约束问题的局部极小点，则在 x* 处没有 可行 的 下降 方向，即
引理：
线性化可行方向集，记为LFD
一阶条件(续)
一阶条件(续)
Lagrange乘子法
当约束规范成立时，必要条件
引入Lagrange函数： 一阶必要条件即
凸规划(convex programming)
凸规划(convex programming)： 凸集K上极小化凸函数
定理. 凸规划的任一KKT点是全局极小点. 注1. 凸规划的所有局部解也是全局解。 注2. 线性规划是凸规划；二次规划中目标函数的海森矩阵
8约束优化-可行方向法
4、第二次迭代的线形搜 索： x ( 2) d ( 2) [5 / 6,5 / 6]T [1,1 / 5]T [5 / 6 ,5 / 6 / 5]T f ( x (1) d (1) ) 125/ 8 22 / 15 622 / 25 s.t. ０ 5 / 12 可得 55 / 186 ，x (3) [35 / 31,24 / 31]T ， f ( x (3) ) [32 / 31,160/ 31]T 5、第三次迭代，确定可 行方向d的LP问题为： min z 32d1 / 31 160d 2 / 31 s.t. d1 5d２ 0 1 d1 1 1 d2 1 可解得最优解 d (3) [1,1 / 5]T ，z ( 3) 0 最优解x x (3) [35 / 31,24 / 31]T ，f ( x) 7.16
第二种情况是 在约束面上的迭代 点xk处，产生一个 可行方向d，沿此方 向作一维最优化搜 索，所得到的新点x 在可行域外，则设 法将x点移到约束面 上，即取d与约束面 的交点。
第三种情况是沿约 束面搜索。 对于只具有线性约 束条件的非线性规划问 题，沿约束面移动，在 有限的几步内即可搜索 到约束最优点；
（一）可行方向法的搜索策略： 可行方向法的第一步迭代都是从可行的初始 点x0出发，沿负梯度方向将初始点移动到某一个 约束面(只有一个起作用的约束时)上或约束面的 交集(有几个起作用的约束时)上。然后根据约束 函数和目标函数的不同性状．分别采用以下几种 策略继续搜索。
第一种情况是在约束 面上的迭代点xk处， 产生一个可行方向d， 沿此方向作一维最优 化搜索，所得到的新 点x在可行域内，即 令xk+1 =x，再沿xk+1点 的负梯度方向继续搜 索。
8约束优化间接解法
n
但 dxl 1 , dxl 2 ,, dxn应是任意的量，则应有
h h h h f 1 1 2 2 3 3 l l 0 x j x j x j x j x j
j l 1, l 2,, n
i 1, 2,, n
n
在约束最优点x'附近的一切微小位移S [dx1 , dx2 , , dxn ]， f 如果不想使函数值增加，需要f ( x ) S dxi 0 i 1 xi
* T n
另外，x*需要满足约束条件，即S需要与hk x* 的梯度垂直， hk 即hk ( x ) S dxi 0 i 1 xi
对于复杂问题，例如多维多等式问题，需要用到前面 学习过的各种无约束寻优方法进行迭代计算。这时， 惩罚乘子可以对所有约束在同一次迭代中取同一值， 且在迭代开始时可以取小一点的值，随后逐渐增大，即 M ( 0 ) M (1) M ( 2 ) M ( k ) 0 第p次迭代时的惩罚函数为： ( x, M ( p ) ) f ( x) M ( p ) hk ( x) 2
k 1 F 0 1,2, , n) (i xi
F 0 1,2, , l ) (k k
条件是 hk x 0 k 1, 2,, l 的 l 个等式约束方程。 * * * * T 为了求出f x 的可能的极值点x x1 x2 xn ， 引入非零拉格朗日乘子 k k 1, 2,, l ，并构成一 个新的目标函数
l 2 k 1 k k
任何仅仅当约束条件得到满足时才等于零的 非负函数都可以当作惩罚项，可以根据具体情 况选择。
四、惩罚函数法
将约束最优化问题 min f x f x1 , x2 , , xn s.t. g j x g j x1 , x2 , , xn 0 hk x hk x1 , x2 , , xn 0 转化为形如： min x, r ( j 1,2, , m) (k 1,2, , l )
但 dxl 1 , dxl 2 ,, dxn应是任意的量，则应有
h h h h f 1 1 2 2 3 3 l l 0 x j x j x j x j x j
j l 1, l 2,, n
i 1, 2,, n
n
在约束最优点x'附近的一切微小位移S [dx1 , dx2 , , dxn ]， f 如果不想使函数值增加，需要f ( x ) S dxi 0 i 1 xi
* T n
另外，x*需要满足约束条件，即S需要与hk x* 的梯度垂直， hk 即hk ( x ) S dxi 0 i 1 xi
对于复杂问题，例如多维多等式问题，需要用到前面 学习过的各种无约束寻优方法进行迭代计算。这时， 惩罚乘子可以对所有约束在同一次迭代中取同一值， 且在迭代开始时可以取小一点的值，随后逐渐增大，即 M ( 0 ) M (1) M ( 2 ) M ( k ) 0 第p次迭代时的惩罚函数为： ( x, M ( p ) ) f ( x) M ( p ) hk ( x) 2
k 1 F 0 1,2, , n) (i xi
F 0 1,2, , l ) (k k
条件是 hk x 0 k 1, 2,, l 的 l 个等式约束方程。 * * * * T 为了求出f x 的可能的极值点x x1 x2 xn ， 引入非零拉格朗日乘子 k k 1, 2,, l ，并构成一 个新的目标函数
l 2 k 1 k k
任何仅仅当约束条件得到满足时才等于零的 非负函数都可以当作惩罚项，可以根据具体情 况选择。
四、惩罚函数法
将约束最优化问题 min f x f x1 , x2 , , xn s.t. g j x g j x1 , x2 , , xn 0 hk x hk x1 , x2 , , xn 0 转化为形如： min x, r ( j 1,2, , m) (k 1,2, , l )
《约束优化方法》课件
牛顿法
01 总结词
基本原理、优缺点
02
基本原理
牛顿法基于泰勒级数展开，通 过迭代更新参数，构造出目标 函数的二次近似模型，并利用 该模型求解最优解。在约束优 化问题中，牛顿法通常用于处 理等式约束或非线性不等式约 束。
03
优点
04
收敛速度快，通常只需要较少的 迭代次数就能找到最优解。
缺点
对初值选择敏感，如果初值选择 不当，可能无法收敛到最优解； 同时计算量较大，需要存储和计 算Hessian矩阵。
物流配送问题旨在在满足客户需求和运输能力等约束 条件下，合理安排货物的配送路线和运输方式，以最 小化运输成本或最大化运输效率。
详细描述
物流配送问题需要考虑客户分布、运输网络、运输能 力、时间限制等多个约束条件，通过优化配送路线和 运输方式，提高物流效率和客户满意度。
2023
REPORTING
THANKS
非线性规划的解法包括梯度法、牛顿 法、共轭梯度法等，这些方法可以用 于解决函数优化、机器学习、控制系 统等领域的问题。
整数规划
整数规划是约束优化方法中的一种特殊类型，它要求所有决策变量均为整数。
整数规划的解法包括分支定界法、割平面法等，这些方法可以用于解决车辆路径问题、背包问题、布局问题等具有整数约束 的问题。
REPORTING
线性规划
线性规划是最早的约束优化方法之一 ，它通过寻找一组变量的最优解来满 足一系列线性不等式约束和等式约束 ，并最大化或最小化某个线性目标函 数。
线性规划的解法包括单纯形法、分解 法、网络流算法等，这些方法可以用 于解决生产计划、资源分配、运输问 题等实际应用。
非线性规划
非线性规划是约束优化方法的一个重 要分支，它研究的是目标函数和约束 条件均为非线性的优化问题。
运筹学 第八章 约束最优化方法
第八章 约束最优化方法无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。
但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束最优化方法。
由于约束最优化问题的复杂性，无论是在理论方面的研究，还是实际中的应用都有很大的难度。
目前关于一般的约束最优化问题还没有一种普遍有效的算法。
本书重点介绍几种常用的算法，力求使读者对这类问题的求解思路有一个了解。
8.1 约束优化方法概述一、约束优化问题的类型根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下： 1）等式约束优化问题 考虑问题l1,2,...,j x h t s x f j ==0)(..)(min其中，l 1,2,...,j x h x f j =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fh 问题。
2）不等式约束优化问题 考虑问题m1,2,...,i x g t s x f i =≤0)(..)(min其中，m 1,2,...,i x g x f i =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fg 问题。
3）一般约束优化问题()()()⎩⎨⎧===≤l ,1,2,j x h m ,1,2,i x g t s x f j i L L 00..min其中，l 1,2,...,j m i x h x g x f j i ==;,2,1),(),(),(L 为R R n→上的函数。
记为)(fgh 问题。
二、约束优化方法的分类约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
1）直接法只能求解不等式约束优化问题的最优解。
其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。
如：约束坐标轮换法、复合形法等。
其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。
可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足m i x g i ,...,2,1,0)(=≤适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点的目标函数值是下降的，即满足)()()()1(k k x F x F <+2）间接法该方法可以求解不等式约束优化问题、等式约束优化问题和一般约束优化问题。
约束优化方法
条件,以用来作为约束极值的判断条件。
对于目标函数和约束函数都是凸函数的情 况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种
情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分 必要条件。
约束优化设计问题求解方式:
（1）直接法 直接法是在满足不等式约束的可行设计区域内直 接搜索问题的最优解x*和f(x*)。 （2）间接法 间接法是将优化问题转化为一系列无约束优化问 题来求解。
随机方向法基本原理
1 初始点的选择
1) 人为确定； 2) 随机选择：
(1)输入设计变量的下限值和上限值，即
ai≤xi≤bi (i=1,2,…,n) (2)产生n个随机数qi. （ 0≤ qi ≤ 1） xi=ai+qi(bi-ai) (3)计算随机点x的各分量：
(4)判别随机点x是否可行，若随机点x为可行点，则取初始
§5-1 约束最优解及其必要条件
min s.t. f ( x1 , x2 ) ( x1 2) 2 x22 g1 ( x1 , x2 ) x1 0 g 2 ( x1 , x2 ) x2 0 g 3 ( x1 , x2 ) 1 x12 x2 0
§5-1 约束最优解及其必要条件
3
4）判断k个随机点的可行性：
x1 x3
5）判断可行搜索方向：
f 1 (0.6 3) 2 0.8 2 13.6 f 3 (1 3) 2 02 4
f 3 f ( x ( 0) )
d x 3 x ( 0) [1
6）从可行点沿着可行方向前进：
0]T
1 1 2 x x 0 d x 3 d 0 0 0
§5-1 约束最优解及其必要条件
约束优化方法
2
机械优化设计
X
( k 1)
k 步长
X
(k )
k S
k
(k 0,1,2, )
S
k
可行搜索方向
可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时， 目标函数值将下降，且不会越出可行域。 （2）间接法（可解各类问题） ---通过变换,将约束优化问题转化为无 约束优化问题求解.
常用方法有: 罚函数法,拉格朗日乘子法等.
begin setlength(y,n); for i:=low(x)to high(x) do y[i]:=2*x[i]-1; end;
yi y 1 i S n ... 2 yi i 1 yn
矢量 S 模为？1
12
机械优化设计
3.迭代过程 ①在初始点处产生一随机方 向，若该方向适用、可行， 则以定步长前进；
X (1)
X (2)
X ( 4) X (k)
5
机械优化设计
2. 迭代步骤
X1(1) X (0) e1 F ( X 1(1) ) F ( X (0) )?
X1(1) D ?
X (0)
X (3)
X (1)
X (2)
若满足适用性和可行性
2 X 2(1) X (0) e1 ... 2 , Xi (1) X (0) e1
X ( 4) X (k)
Hale Waihona Puke X 不满足可行性条件X (1) X 2(1)
(1) 3
X
(2) …1
X
(1)
e2
迭代终止条件： X (k) 邻近4个点均不能同时满足适用性和可行性条件
X * X (k) , F * F ( X ( k ) )
机械优化设计
X
( k 1)
k 步长
X
(k )
k S
k
(k 0,1,2, )
S
k
可行搜索方向
可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时， 目标函数值将下降，且不会越出可行域。 （2）间接法（可解各类问题） ---通过变换,将约束优化问题转化为无 约束优化问题求解.
常用方法有: 罚函数法,拉格朗日乘子法等.
begin setlength(y,n); for i:=low(x)to high(x) do y[i]:=2*x[i]-1; end;
yi y 1 i S n ... 2 yi i 1 yn
矢量 S 模为？1
12
机械优化设计
3.迭代过程 ①在初始点处产生一随机方 向，若该方向适用、可行， 则以定步长前进；
X (1)
X (2)
X ( 4) X (k)
5
机械优化设计
2. 迭代步骤
X1(1) X (0) e1 F ( X 1(1) ) F ( X (0) )?
X1(1) D ?
X (0)
X (3)
X (1)
X (2)
若满足适用性和可行性
2 X 2(1) X (0) e1 ... 2 , Xi (1) X (0) e1
X ( 4) X (k)
Hale Waihona Puke X 不满足可行性条件X (1) X 2(1)
(1) 3
X
(2) …1
X
(1)
e2
迭代终止条件： X (k) 邻近4个点均不能同时满足适用性和可行性条件
X * X (k) , F * F ( X ( k ) )
北航最优化方法习题2015版(下)
y x
易见最优解 件为：
y∗
=0， 于是得原问题的解
x∗
=
1, y ∗
=0.
(b) 该问题的 Lagrange 函数 L(x, y, λ) = x2 + y 2 + λ((x − 1)3 − y 2 ) . KKT条 2x + 3λ(x − 1)2 = 0 2y − 2λy = 0 (x − 1)3 − y 2 = 0.
9 T ∗ 首先，因为 x∗ = ( 3 2 , 4 ) 满足约束条件，且有 I (x ) = {1} , 所以由互补条件有 ∗ ∗ λ∗ 2 = λ3 = λ4 = 0 . 再将
3 1 g ∗ = (− , )T , 2 2
T a∗ 1 = (3, −1) .
代入上边的梯度条件，即KKT条件的前两个方程，解得 λ∗ 1 = 足KKT条件.
由两个等式约束得 x1 = 2x2 , x3 =
750 , x2 2
从而原问题可既约为
16x2 2+
33000 x2
minimize √
subject to x2 > 0.
3 求稳定点， 得 x∗ 2 = 10
33 32 .
将 x∗ 代入 KKT 条件中的梯度条件(第一个和第三个方程)，解得 Lagrange
7.6 考虑找曲线 (x − 1)3 = y 2 上哪个点离原点最近(在Euclidean范数意义下)的问题.
可以将该问题表述为
minimize
x,y
f (x, y ) = x2 + y 2
subject to (x − 1)3 = y 2 . (a) 用图解法求解该问题. 消去 y 求解问题, 所得到的函数有极小点吗？给出结 果不一致的可能原因. 消去 x 求解问题, 得到怎样的结果? (b) 对于该问题, 找到所有的KKT点. LICQ 成立吗?请给出结果可能的解释.
易见最优解 件为：
y∗
=0， 于是得原问题的解
x∗
=
1, y ∗
=0.
(b) 该问题的 Lagrange 函数 L(x, y, λ) = x2 + y 2 + λ((x − 1)3 − y 2 ) . KKT条 2x + 3λ(x − 1)2 = 0 2y − 2λy = 0 (x − 1)3 − y 2 = 0.
9 T ∗ 首先，因为 x∗ = ( 3 2 , 4 ) 满足约束条件，且有 I (x ) = {1} , 所以由互补条件有 ∗ ∗ λ∗ 2 = λ3 = λ4 = 0 . 再将
3 1 g ∗ = (− , )T , 2 2
T a∗ 1 = (3, −1) .
代入上边的梯度条件，即KKT条件的前两个方程，解得 λ∗ 1 = 足KKT条件.
由两个等式约束得 x1 = 2x2 , x3 =
750 , x2 2
从而原问题可既约为
16x2 2+
33000 x2
minimize √
subject to x2 > 0.
3 求稳定点， 得 x∗ 2 = 10
33 32 .
将 x∗ 代入 KKT 条件中的梯度条件(第一个和第三个方程)，解得 Lagrange
7.6 考虑找曲线 (x − 1)3 = y 2 上哪个点离原点最近(在Euclidean范数意义下)的问题.
可以将该问题表述为
minimize
x,y
f (x, y ) = x2 + y 2
subject to (x − 1)3 = y 2 . (a) 用图解法求解该问题. 消去 y 求解问题, 所得到的函数有极小点吗？给出结 果不一致的可能原因. 消去 x 求解问题, 得到怎样的结果? (b) 对于该问题, 找到所有的KKT点. LICQ 成立吗?请给出结果可能的解释.
约束优化
4-6-23
约束优化问题的分类
•线性规划 (LP) 目标和约束均为线性函数 •非线性规划 (NLP) 目标或约束中存在非线性函数 •二次规划 (QP) 目标为二次函数、约束为线性 •整数规划 (IP) 决策变量为整数
求解线性规划的基本原理
max(or min) z = c T x, x ∈ R n s.t. Ax ≤ b, x ≥ 0 c∈ R , A∈R ,b∈ R
x=(6.4286,4.2857),z=102.8571 lag.ineqlin=(1.5714,0.0571,0) lag.lower= (0,0)
若投资0.8万元可增加原料 1公斤，问应否作投资？
lag.ineqlin(1)=1.5714
约束条件1(资源)右端改变1个单位时目标函 数(利润)的变化量，它度量了该资源的价值
影子 价格
max z = 10 x 1 + 9 x 2 s . t . 6 x 1 + 5 x 2 ≤ 60 10 x 1 + 20 x 2 ≤ 150 x1 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0
6
x
4 c↑
x1 z=c
2 4 6
2
x2
8
x1,x2为整数 x⇒x1=(6,4),z1=96 x2=(8,2),z2=98
−x1 + x2 + x3 = 2
x2 P O R Q
= [ p1 p2 p3 p4 p5 ]
xN = 0 ⇒ xB = B−1b
B = [ p 3 p 4 p5 ] ⇒ x = ( 0,0,2,2 ,14 )T O点
x1
B = [ p1 p3 p5 ] ⇒ x = (2,0,4,0,8)T Q点
B = [ p2 p3 p5 ] ⇒ x = (0,−1,3,0,16)T R点
约束优化问题的分类
•线性规划 (LP) 目标和约束均为线性函数 •非线性规划 (NLP) 目标或约束中存在非线性函数 •二次规划 (QP) 目标为二次函数、约束为线性 •整数规划 (IP) 决策变量为整数
求解线性规划的基本原理
max(or min) z = c T x, x ∈ R n s.t. Ax ≤ b, x ≥ 0 c∈ R , A∈R ,b∈ R
x=(6.4286,4.2857),z=102.8571 lag.ineqlin=(1.5714,0.0571,0) lag.lower= (0,0)
若投资0.8万元可增加原料 1公斤，问应否作投资？
lag.ineqlin(1)=1.5714
约束条件1(资源)右端改变1个单位时目标函 数(利润)的变化量，它度量了该资源的价值
影子 价格
max z = 10 x 1 + 9 x 2 s . t . 6 x 1 + 5 x 2 ≤ 60 10 x 1 + 20 x 2 ≤ 150 x1 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0
6
x
4 c↑
x1 z=c
2 4 6
2
x2
8
x1,x2为整数 x⇒x1=(6,4),z1=96 x2=(8,2),z2=98
−x1 + x2 + x3 = 2
x2 P O R Q
= [ p1 p2 p3 p4 p5 ]
xN = 0 ⇒ xB = B−1b
B = [ p 3 p 4 p5 ] ⇒ x = ( 0,0,2,2 ,14 )T O点
x1
B = [ p1 p3 p5 ] ⇒ x = (2,0,4,0,8)T Q点
B = [ p2 p3 p5 ] ⇒ x = (0,−1,3,0,16)T R点
约束优化最优性条件
(2) 如果 I ( x*)中有两个指标，不妨设( x )和 c2 ( x )为积极约束。 c1 并设c1 ( x*)和c2 ( x*)线性无关。
c2 ( x*) c1 ( x ) 0
c1 ( x*)
c2 ( x ) 0
x*
f ( x*)
存在1 ，2 0 , 使得 f ( x*) 1c1 ( x*) 2c2 ( x*)。
l l' i 1 i 1
假定不存在实数i (i 1,...,l )和非负实数 i (i 1,...,l ' ) 使得(2)成立.定义集合
S {a | a i ai i bi , i R, i 0}.
i 1 i 1
n
l
l'
S是R 中 的 一 个 闭 凸 锥 于a0 S , 根 据 凸 集 .由 分 离 定 理 ， 必d R 使 得d a0 d a ,
f ( x*) 1c1 ( x*) 2c2 ( x*) 0。
(3) 一般情况： {ci ( x*)| i I ( x*)}线性无关。 设 则存在非负实数i ( i I ( x*)), 使得
f ( x*)
iI ( x*)
c ( x*) 0
i i
有效约束），
ci ( x) (i A( x)) 是在 x 点的非积极约束（或
非有效约束）。
假定已知问题在解处的积极约束
A( x ),
*
我们只需求解如下的等式约束优化问题
min
x R n
f ( x ), c i ( x ) 0, i A( x * )
s.t.
2 2 2 例 设 c1 ( x ) 2 x1 x 2 x 2 0 , c2 ( x ) x1 x 2 1 0 ,
约束优化方法课件
s．4 当一次迭代的初始点与终点的函数值达到
和其步长达到
f( x ) f( x (0) )
f( x (0) )
ε 1
x x (0) ε 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时，即结束搜索过程。其最优解为： x*= x， f(x* ) ＝f(x )。否则转向第2步。
第22页/共24页
随机方向搜索法的特点 （1）随机方向搜索法的优点是对目标函数的性态无特殊要求，程序结构简单，使 用方便。另外，由于搜索方向是从许多方向中选择出目标函数值下降最好的方向， 再加上随机变更步长，所以收敛速度比较快。若能选取一个较好的初始点，则其迭 代次数可以减少。因此，它对于大型机械优化设计问题是一种较为有效的方法。
3.2.1 约束优化方法概述
一、约束优化问题的数学模型
minf(x) x D Rn
s.t. gi (x) 0 hj (x) 0
i 1, 2, m j 1, 2, p n
第2页/共24页
二、约束优化方法分类
（1). 直接法 直接法是在满足约束条件的可行域内直接求出问题的约束最优解，整个求解过 程在可行域内进行，因而所得的任一方案都是可行的。原理比较简单，方法比较适 用。
R=a+r(b-a)
第9页/共24页
二、初始点的选择 通常可以有两种确定方法： (1)决定性的方法 即在可行域内人为地确定一个可行的初始点。当约束条件比较简单时，这种
方法是可用的。但当约束条件比较复杂时，人为选择一个可行点就比较困难， 建议用下面的随机选择方法。
(2)随机选择方法 即利用计算机产生的伪随机数来选择一个可行的初始点x(0)。
第4页/共24页
3.2.2 约束随机方向法
基本原理
对于求解
约束最优化方法-43页PPT精选文档
s.t.
g1(x1, x2 ) x12 x22 5 0
g2 (x1, x2 ) x1 2x2 4 0
g3(x1, x2 ) x1 0
g4 (x1, x2 ) x2 0
g3=0
x2
▽g2(x*) -▽f(x*)
(3,2)T
2 1
x*
▽g1(x*)
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
f ( x)
m
uig i ( x) 0
i
u i 0, i 1,2, , m
ui g i (x) 0
2(x1 3) u1 2x1 u2 u3 0(1)
2(x2 2) u1 2x2 2u2 u4 0(2)
f T ( x ) B f T ( x ) B 1 N 为既约梯度
一、解线性约束问题的既约梯度法 （续）
寻找下降可行方向：
d
(1) d 为可行方向
Ad 0
d
j
0,当 x j
0时 .
proof . :" " d 为可行方向，即
0 , 当 （ 0， ）时，
i
g
i
(x
)
i1
l
v
j
h
j
(
x
)
0
j1
u
i
0
i 1,2 , , m
u
i
第8章约束优化准则及转换算法
第8章约束优化准则及转换算法在优化问题中，除了优化目标，通常还伴随着一些约束条件。
这些约束条件限制了优化问题的解空间，使得问题的求解变得更加复杂。
为了解决带有约束条件的优化问题，可以使用约束优化准则及转换算法。
约束优化准则将带有约束条件的优化问题转化为不带约束条件的优化问题，从而简化求解过程。
常见的约束优化准则有Lagrangian乘子法和KKT条件。
Lagrangian乘子法是一种将约束条件引入目标函数的方法。
通过引入Lagrange乘子，可以将约束条件转化为目标函数的约束项，从而得到一个不包含约束条件的优化问题。
当目标函数和约束条件都为光滑函数时，可以使用Lagrange乘子法求解优化问题。
KKT条件是由Karush-Kuhn-Tucker提出的一组用于判断一个解是否为最优解的必要条件。
KKT条件将约束优化问题转化为一个带有等式和不等式约束条件的优化问题。
通过判断满足KKT条件的解，可以判断其是否为最优解。
除了约束优化准则，还可以使用转换算法求解带有约束条件的优化问题。
转换算法通过将约束条件转化为等式约束和不等式约束，从而得到一个不带等式约束的优化问题。
常见的转换算法有罚函数法和互补松弛法。
罚函数法通过将约束条件引入目标函数，以惩罚的形式对不满足约束条件的解进行惩罚，从而将带有约束条件的优化问题转化为一个不带约束条件的优化问题。
罚函数法的关键在于选择合适的惩罚函数和惩罚参数，从而保证得到的解满足约束条件。
互补松弛法通过引入松弛变量，将不等式约束条件转化为等式约束条件，从而得到一个不带不等式约束的优化问题。
通过求解带有松弛变量的优化问题，可以得到满足原始约束条件的解。
互补松弛法的关键在于选择合适的松弛变量和约束条件，并通过迭代的方式逐渐调整松弛变量的取值，从而求解约束优化问题。
总结来说，约束优化准则及转换算法是求解带有约束条件的优化问题的有效方法。
通过将约束条件引入目标函数或转化为等式约束和不等式约束，可以简化优化问题的求解过程。
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• 聘用临时工人增加劳动时间，工资最多每小时几元？
• B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？
1桶 牛奶 或
12小时
3千克 A1
获利12元/千克
1千克 2小时,1.5元
0.8千克 B1
获利22元/千克
8小时 4千克 A2
获利8元/千克
1千克 2小时,1.5元
0.75千克 B2
获利16元/千克
投资风险（总收益的方差）为
Z2 D(x1S1x2S2x3S3)D(x1S1)D(x2S2)D(x3S3) 2covx1(S1,x2S2)2covx1(S1,x3S3)2covx2(S2,x3S3) x12D1Sx22DS2x32DS32x1x2covS1(,S2) 2x1x3covS1(,S3)2x2x3covS2(,S3) 4x1236x2210x0325x1x220x1x330x2x3
假设：料场和工地之间有直线道路
目 标 ： 制 定 每 天 的 供 应 计 划 ， 即 从 A , B 两 料 场 分 别
向 各 工 地 运 送 多 少 吨 水 泥 ， 使 总 的 吨 公 里 数 最 小 。
决策变量： min
ci j ~12维
(料场j到
s.t.
工地i运量）
26
cij [( x j ai ) 2 ( y j bi ) 2 ]1/ 2
实例2：投资组合问题
m Z 2 4 i x 1 2 n 3 x 2 2 1 6 x 3 2 0 5 x 1 x 2 0 2 x 1 x 3 0 3 x 2 x 3 0 s.t. 5x1 +8x2+10x3 1000
20x1+25x2+30x3 5000 x1，x2，x3 0
加权 模型
决策变量 x1 、x2和 x3 分别表示投资A、B、C的数
量（国内股票通常以“一手”（100股）为最小单位 出售，这里以100股为单位，期望收益以百元为单位）
总收益 量
S=x1S1+x2S2+x3S3
：是一个随机变
实例2：投资组合问题
总总量收期益望收S=益x为1S1+x2S2+x3S3 ：是一个随机变 x1ES1+xZ2E1S=2E+Sx=3ES3=5x1+8x2+10x3
•如期望今年得到至少20%的投资回报，应如何投资？ •投资回报率与风险的关系如何？
假设：1、基金不一定要用完（不用不计利息或贬值）
2、风险通常用收益的方差或标准差衡量
实例2：投资组合问题
A、B、C每手(百股)的收益分别记为S1,S2和S3(百元)： ES1=5, ES2=8, ES3=10， covS(1,S2) r12 DS1 DS2 25 DS1=4, DS2=36, DS3=100，covS(1,S3) r13 DS1 DS3 10 r12=5/24, r13=-0.5，r23=-0.c2o5vS(2,S3) r23 DS2 DS3 15
决策 变量
目标 函数
出售x1 千克 A1, x2 千克 A2，x3千克 B1, x4千克 B2
x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2
LP
利润 M z 1 x a 1 8 2 x 2 x 2 x 3 1 2 x 4 1 6 . 5 x 5 1 . 5 x 6
约束 条件
原料 供应
劳动
大学数学实验
Mathematical Experiments
实验8 约束优化
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
min f ( x)
s.t.
决策变量
hi ( x) 0, i 1,..., m g j ( x) 0, j 1,..., l x D n
目标函数
约 束 条 件
x1x5 x2x6 50 加工能力
3
4
附加约束
4(x1x5)2(x2 x6)
x1 x5 100 x3 0.8x5
x4 0.75x6
时间 2x52x6 480 非负约束 x1,x6 0
实例2：投资组合问题
50万元基金用于投资三种股票A、B、C： A每股年期望收益5元(标准差2元)，目前市价20元； B每股年期望收益8元(标准差6元)，目前市价25元； C每股年期望收益10元(标准差10元)，目前市价30元； 股票A、B收益的相关系数为5/24; 股票A、C收益的相关系数为–0.5; 股票B、C收益的相关系数为–0.25。
Min Z =βZ2 - Z1
s.t. 5000
20x1+25x2+30x3
x1，x2，x3 0
通过试探发现 β从0.0001~0.1以0.0001的步长
变化就可以得到很好的近似结果
二次规划（QP）模型
实例3：供应与选址
某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里), 水泥日用量di (单位：吨）
实例1: 奶制品生产销售计划
1桶 牛奶 或
12小时
3千克A1 获利12元/千克
1千克
2小时,1.5元
0.8千克B1
获利22元/千克
8小时 4千克A 480小 时至多100公斤
1千克
2小时,1.5元
0.75千克B2
获利16元/千克
制订生产计划，使每天净利润最大
• 1A51元可增加1桶牛奶，应否投资？
当最优解在可行域边界上取得时 不能用无约束优化方法求解
约束优化的分类 min f ( x)
s.t. hi ( x) 0, i 1,..., m
数学规划
g j ( x) 0, j 1,..., l
(Math. P连rog•.)线性规划(LP)
x D n
目标和约束均为线性函数
续 优
• 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数
化 ✓ 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性
• 整数规划(IP)
决策变量(部分)为整数
离 散
✓ 整数线性规划(ILP)
优 ✓ 整数非线性规划(INLP)
化 ✓ 0-1规划
整数决策变量只取０或１
本实验基本内容
LP QP NLP
连续优化
1. 问题与模型 2. 基本原理和算法 3. MATLAB实现
i １ ２ ３ ４５ ６
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75
d3
5
4
7 6 11
1 )现 有 2料 场 ， 位 于 A (5 ,1 ),B (2 ,7 ), 记 (x j,y j),j= 1 ,2 , 日 储 量 e j各 有 2 0吨 。