卡文迪许扭秤实验

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卡文迪许扭秤法测万有引力常数
下，通过多次测量，就能得到某几组比较好的数据，取该数据进行计算，就能得到比较 精确的结果，另外在求 S 时我们采用的处理数据的方法也是很有效地减小了相对误差。 实验结论：万有引力常数的实验测定值为
G 6.72 1011 m3 kg 1 s 2
相对误差为 0.7%。
2
其中 D 是光屏到扭秤的距离。 因此万有引力常数
S D
2
卡文迪许扭秤法测万有引力常数
G
万有引力常数 G 计算公式的修正：
2 d 2 lS
MT 2 D
。
由卡文迪许扭秤法原理图可知， 小球受到大球 M1 作用 F 的同时也受到斜后方另一 个大球 M2 的作用力 f,考虑 f 作用时， G 值应修正为
卡文迪ห้องสมุดไป่ตู้扭秤法测量万有引力常数
一 实验目的
1. 掌握在扭秤摆动中求平衡位置的方法。 2. 掌握如何通过卡文迪许扭秤法测量万有引力常数。
二 实验原理
根据牛顿万有引力定律，间距为 r, 质量为 m1 和 m2 的两球之间的万有引力 F 方 向沿着两球中心连线，大小为
F G
其中 G 为万有引力常数。
m1m2 r2
MT D
2
d3 453 0.0691 [d 2 (2l ) 2 ]3/2 (452 1002 )3/2
G (1 )1
(1 0.0691)1
2 (45 103 )2 50 103 25.8 103
1.5 300.39 3.046
图 1 卡文迪许扭秤法原理图
实验仪器如卡文迪许扭秤法原理图所示。卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器，非 常灵敏，为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝上，装 在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。 实验时，把两个大球贴近装有扭秤的盒子，扭秤两端的小球受到大球的万有引力 作用而移近大球，使悬挂扭秤的悬丝扭转。激光器发射的激光被固定在扭秤上的小镜 子反射到远处的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转 角度, 从而计算出万有引力常数 G。
2. 周期 T 的测量（单位： s）
i
1
2
3
4
Ti
T
3.
297.20
298.60
300.60
300.15
300.39
光点位移 S 的测量（单位：cm）
i
1 55.4
2 -53.8
3 47.6
4 -47.0
5 42.2
6 -42.6
ai
bi
ai'
56.0
-50.0
49.8
-44.0
43.4
-37.8
53.6
'
由 A, A , B 可求的
'
S1 A B , S2 B A'
1 S ( S1 S2 ) 2
7. 计算万有引力常数 G
四 实验数据及其处理
1. 小球间距 2l ，反射镜和光屏之间距离 D ，贴近盒子的大球中心到对应小球中心之 间距离 d 的测量（单位均为 mm） 实验测的，反光镜中心坐标 (0.0,0.0) ；
或者
' XC ( X c X1 X 3 ) / (2 X 2 X1 X 3 )
' 若 Xc XC ，那么扭秤就基本平衡了 . 否则需要调整扭角度调整旋钮，直到
' ：鼠标右键扭秤窗口弹出菜单，选择扭秤顶视图显示扭秤顶端。通 Xc XC
过单击鼠标右键或者左键旋转“扭角调整”旋钮到合适位置 5. 测扭秤的固有振动周期 T: 将大球放置在支撑架上，支撑架旋转臂垂直于扭秤，此 时扭秤受力平衡。 双击锁紧螺钉使得扭秤下落， 等待扭秤振动到最大幅度时小球不 和两边玻璃壁碰撞后， 用秒表记录光点连续摆动 4 个周期所需时间。 实验窗口鼠标 右键弹出菜单，选择“显示秒表”。 6. 测量万有引力作用下光点的位移 S 1) 在扭秤窗口选择“前视图”，通过在扭秤上大球位置单击鼠标右键或者左键转 动大球，使得大球按照卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置贴近盒子。 等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后， 记录光点连续摆动 3 个周期中光屏两端极值点的位置 a1, a2, a3, a4, a5, a6, 。则光点静止时位置坐标 A 可由下述平均法计算：
2)
4
卡文迪许扭秤法测万有引力常数
a1 a3 a2 a4 a2 a3 2 2 A1 A2 2 2 ； ； a3 a5 a 4 a6 a4 a5 2 2 A3 A4 2 2
A
3)
1 ( A1 A2 A3 A4 ) 4
转动大球到反向对称位置（卡文迪许扭秤法原理图中虚线大球的位置），等待 扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后， 记录光点连续摆动 3 个周 期中光屏两端极值点的位置 b1,b2,b3,b4,b5,b6, ，则静止光点 B 的坐标可以类似的 计算得：
XC
3)
1 ( X1 X 2 ) 2
确定实际平衡位置 C’：当扭秤振动衰减到不接触盒子两边玻璃板后, 按 下图 2 曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置 .
3
卡文迪许扭秤法测万有引力常数
图 2 测量扭秤的平衡点和周期
4)
' 平衡位置 X C 可以按照下面方法计算得到
' ' ' ' ( XC X 2 ) / ( X1 X C ) ( X3 XC ) / ( XC X2)
B
4)
1 ( B1 B2 B3 B4 ) 4
在把大球转到卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置， 等待扭秤振动到最大 幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后， 记录光点连续摆动 3 个周期中光屏两端极
' ' ' ' ' ' 值点的位置 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , ，求出 A 。
I T2
I 2ml 2
因此扭转角

GMT 2 2 2 d 2 l
当大球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是 ,因此平衡时的总扭转角为
2
GMT 2 2 d 2l
通过反射光点在光屏上的位移 S 可以得到悬丝扭转角度。 由于万有引力作用很弱， 使得扭秤平衡时扭转角很小，此时可以认为：
六 思考题
1. 假设 M = 1kg, l = 10 cm, d =5cm , m = 15 g, 0.1 。 1) 扭秤的周期 T ? 2) 悬丝的扭转常数 K ? 答：由 K
4
GMm GMm l 的可得 K 4 2 l 2 d d
K 2.88 107 （单位： N rad 1 ）
两小球坐标 (0.0,50.0);(0.0, 50.0)
5
卡文迪许扭秤法测万有引力常数
大球中心坐标 (45.0,50.0);(45.0, 50.0)
对应于反光镜的屏中心坐标 (3046.0,0.0) 故可得相关量值为：
D 3046.0 ； 2l 100.0 ； d 45.0 （单位：mm）
G (1 ) 1
其中
2 d 2 lS
MT 2 D
,
d3 。 2 (d 4l 2 ) 3 / 2
三 实验内容
1. 2. 选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验。 在开始实验显示的实验场景中， 在卡文迪许扭秤位置鼠标左键双击打开扭秤调节窗 口，激光器位置双击打开激光器窗口，光屏位置双击打开放大的光屏读数窗口，场 景中鼠标右键单击实验窗口弹出选择菜单。 3. 选择“实验场景测量”显示实验场景示意图，通过读取鼠标的位置测量两个小球间 距 2l ， 反射镜和光屏之间距离 D, 贴近盒子的大球中心到对应小球中心之间距离 d 。 4. 卡文迪许扭秤法原理图所示，按下列方法调整扭秤位于盒子的中央。 1) 打开激光器电源： 双击电源弹出放大的激光器电源面板。 鼠标单击开关打开电 源，可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。 2) 确定平衡位置 C，双击卡文迪许扭秤进行调节。 通过右键菜单可打开卡文迪许扭秤顶视图。 通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮， 可对扭秤初始转角进行粗调。 双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动（撞击玻璃板）。记 录此时光点在光屏两端最远点的位置 X 1 , X 2
2
6.72 1011
（单位： m kg
3
1
s 2 ）
相比于标准值 G0 6.67 1011 m3 kg 1 s 2 相对误差为 Er 0.7%
五 误差分析即实验结论
本实验是历史上很有意义也很精巧的一个实验， 就实验原理本身而言， 是具有相当 的精确度和高度的智慧的。 在仿真实验中， 由于描述该问题的算法不够精确造成的的误 差是数据的主要误差来源， 尤其在描述光点在屏幕上移动距离和位置时， 仿真实验本身 的模型就不够好，又经过计算机的相当多次的迭代，积累的误差比较大。实际上，在实 验过程中，常会有随时间的推移，屏幕上的光点振幅偶尔增大的情况出现。在这种情况
1
卡文迪许扭秤法测万有引力常数
假设开始时扭秤扭转角度 0 0 ，把大球移动贴近盒子放置，大小球之间的万有 引力为 F，小球受到力偶矩 N =2 Fl 而扭转，悬挂扭秤的金属丝因扭转产生与力偶矩 N 相平衡的反向转矩 N’= K( /2)，扭秤最终平衡在扭角 的位置：
F GMm / d 2 2Fl K ( / 2)
8
K 4
GMm l d2
其中 K 是金属悬丝的扭转常数，M 是大球的质量， m 是小球的质量，d 是大球小 球的中心的连线距离，l 是小球中心到扭秤中心的距离。 由转动方程可求得悬丝的扭转常数:通过转动惯量 I 和测量扭秤扭转周期 T 就可以 得到金属丝的扭转系数 K
K 4 2
假设小球相对大球是足够轻，那么转动惯量
带入相关量可以求
8 2 ml 2 I 2 又由 K 4 以及 I 2ml ，可得 T 的，求出 K T2
2
T 202.78 （单位：s）
2. 对测量结果进行分析，分析影响测量结果的主要因素。 见第五部分的误差分析。
七 实验体会
通过亲手去做一个如此经典的实验， 才对它的精巧有了亲身的体会。 这样的实验让 人充分感受到智慧的力量。计算机的模拟仿真固然由它的好处，比如它降低了成本，提 高了效率， 提高了实验的可重复性。 但是这样的仿真不能完全替代真正在实验室做的实 验，毕竟在实验室里去调试仪器，测量数据，与点点鼠标还是有很大的不同的，另一方 面， 仿真实验忽略了很多在真正的实验室里影响实验的其他一些因素， 比起实际还有一 定的差距。所以把仿真实验是不能完全替代真实实验的，尤其这种历史上很经典，很精 巧的实验，还是在实验室里去做，才更有意义。
-52.8
47.4
46.6
40.2
-39.6
6
卡文迪许扭秤法测万有引力常数
i
1
2
3
4
平均值
Ai Bi
Ai'
-1.1
-1.4
-1.2
-1.2-
-1.2
1.3
1.3
1.3
1.2
1.30
-1.4
-1.4
-1.3
-1.5
-1.4
S1 =2.7；
S 2 =2.5
S =26（mm）
4.
由以上数据可以求的

2 d 2lS