高数5习题课PPT课件
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高等数学2019.11.19-习题课 16页PPT文档
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二、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
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提示: 根据 f(x)的连续性及导函数
的正负作 f (x) 的示意图.
x1 o x2 x
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(2) 设函数 f(x)在( , )上可导，y
f (x)的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图 形在区间 (x 1 ,0 )(,x2, )上是凹弧;
在区间 (,x 1 )(,0 ,x 2)上是凸弧 ;
令t1 x
tl i0m arctatat2narcb ttan
lin m 2 (aa r c at ra c a) n t( a a 0 n )
n
n n 1
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谢谢！
x [l1 n x ) ( lx n ]
f( x ) ( 1 1 )x [l1 n x )( lx n 1]
x
1 x
令 F(t)lnt,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
l1 n x ) ( lx n 1 1 (0 x x 1 ) 1 x
f (x) x1 o x2 x
拐点为
( x 1 ,f ( x 1 ) ,( x ) 2 ,f ( x 2 ) ,( 0 ) ,f ( 0 ). ) f (x)
提示: 根据 f(x)的可导 f(性 x) 及x1 o x 2 x
二、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
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提示: 根据 f(x)的连续性及导函数
的正负作 f (x) 的示意图.
x1 o x2 x
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(2) 设函数 f(x)在( , )上可导，y
f (x)的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图 形在区间 (x 1 ,0 )(,x2, )上是凹弧;
在区间 (,x 1 )(,0 ,x 2)上是凸弧 ;
令t1 x
tl i0m arctatat2narcb ttan
lin m 2 (aa r c at ra c a) n t( a a 0 n )
n
n n 1
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x [l1 n x ) ( lx n ]
f( x ) ( 1 1 )x [l1 n x )( lx n 1]
x
1 x
令 F(t)lnt,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
l1 n x ) ( lx n 1 1 (0 x x 1 ) 1 x
f (x) x1 o x2 x
拐点为
( x 1 ,f ( x 1 ) ,( x ) 2 ,f ( x 2 ) ,( 0 ) ,f ( 0 ). ) f (x)
提示: 根据 f(x)的可导 f(性 x) 及x1 o x 2 x
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
5高等数学课件完整版详细
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 nf2 nfn n极限运算与对数运算换序得
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
高等数学课件--D5_习题课
3
0
f ( x) dx
0
3
3
1 2
3
4
x
f (3) 0 f (0) 2; f (3) 2
(7 (2) 2) 2 f ( x)
2012-10-12
0
16 2[ f (3) f (0)] 16 4 20
同济版高等数学课件
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n n n
2 2
).
解：原式 lim
1 n
2
n
1 n
n
i 1 1
i 2 (n)
2 n
0 1 x 2 d x 4
2
n n
1
π
2. 求极限
n
lim (
n 1
n
2
n
1 2
n
1 n
).
n
i n
提示： lim
2 n n 1
i 1
1
i n
存在一点
即
b a
g ( ) f ( x)dx f ( ) g ( x)dx 0
因在
上
连续且不为0 , 从而不变号,因此
故所证等式成立 .
2012-10-12 同济版高等数学课件
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思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 如果能, 怎样设辅助函数?
要证:
提示: 设辅助函数 F ( x) f (t )dt
例13. 若
试证 :
π
2 0
π
f (sin x ) dx
解: 令 t π x , 则
高数5pptppt课件
lim
?
x
3
sin(
x
3
)
[解] 作变换
x u,
则 x u
3
3
并且,当x 时, u 0
3Leabharlann 又 1 2cos x 1 2cos( u)
3
1 2(cos cos u sin sinu)
3
3
1 cos u 3 sinu
2024/3/30
13
1 cos x ( x) (高阶)
1 cos x 是x 的 2 阶无穷小量
2024/3/30
7
[例3]
tan x sin x
lim
x0
sin3 x
?
[解] lim tan x sin x x0 sin3 x
1 cos x
lim
x0
sin2 x
1 cos x
1 cos x
lim
x0
sin2 x
( x 2) 4
lim
x2 (2 x 1) 5
当x 2时,( x2 4)与(2x2 3x 2)是
同阶无穷小;( x2 4) ~ 4 (2x2 3x 2)
2024/3/30
5
5
[例2]
1 cos
lim
x0
x2
x
?
[解]
1 cos
lim
x0
x2
x
2 sin2
lim
x0
x2
x 2
一、无穷小量的比较
定义： 设 在 自 变 量 的 同 一 变 化过 程 中,
f ( x)与g( x)都 是 无 穷 小.
(1) 若 lim f ( x) A 0, 则 称 当x 时, x g( x)
5-习题课大一高数第五章经典课件
dt ( x a )2 , f (t )
作辅助函数
F ( x ) f ( t )dt
a x a
F ( x ) f ( x )
x
x
a
x 1 1 dt f ( t )dt 2( x a ) a f (t ) f ( x)
a
x f (t ) x f ( x) dt dt 2dt , a f ( x) a f (t )
例7 设 f ( x ) e
x 0
y2 2 y
dy, 求 ( x 1)2 f ( x )dx .
1 0
y2 2 y
解
原式 ( x 1) [ e
1 2 x 0 0
2
dy]dx
2
x 11 1 3 y 2 y 1 [ ( x 1) e dy]0 ( x 1)3 e x 0 0 3 3 1 1 ( x 1)2 e ( x 1) 1d [( x 1)2 ] 6 0
( x ) a f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导数 d x 是 ( x ) a f ( t )dt f ( x ) (a x b) dx
定理2（原函数存在定理）如 果 f ( x ) 在[a , b] 上
连续，则积分上限的函数 ( x )
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx
性质4
a 1 dx a
b
b
b
dx b a
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0
作辅助函数
F ( x ) f ( t )dt
a x a
F ( x ) f ( x )
x
x
a
x 1 1 dt f ( t )dt 2( x a ) a f (t ) f ( x)
a
x f (t ) x f ( x) dt dt 2dt , a f ( x) a f (t )
例7 设 f ( x ) e
x 0
y2 2 y
dy, 求 ( x 1)2 f ( x )dx .
1 0
y2 2 y
解
原式 ( x 1) [ e
1 2 x 0 0
2
dy]dx
2
x 11 1 3 y 2 y 1 [ ( x 1) e dy]0 ( x 1)3 e x 0 0 3 3 1 1 ( x 1)2 e ( x 1) 1d [( x 1)2 ] 6 0
( x ) a f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导数 d x 是 ( x ) a f ( t )dt f ( x ) (a x b) dx
定理2（原函数存在定理）如 果 f ( x ) 在[a , b] 上
连续，则积分上限的函数 ( x )
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx
性质4
a 1 dx a
b
b
b
dx b a
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0
(人教版)高中数学必修5课件：第2章 习题课1
第二章 数 列
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
∴①式可写成an＋3＝2(an－1＋3)的形式， 则aan－n＋1＋33＝2(n≥2)． 因而数列{an＋3}(n≥2)是以2为公比的等比数列． 设bn＝an＋3，b2＝a2＋3＝10， ∴bn＝5×2n－1(n≥2)， ∴an＝5×2n－1－3(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝2，符合上式， ∴an＝5×2n－1－3(n∈N*)．
数学 必修5
第二章 数 列
自主学习 新知突破
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(2)累积法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的商的 一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关 系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．
(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系 式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等 差或等比数列的通项公式求解．
数学 必修5
第二章 数 列
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第二章 数 列
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累加法
在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋2n－1(n≥2且 n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[思路点拨] 根据递推公式，写出n－1个等式an＝an－1＋ 2n－1(n依次取n，n－1，n－2，…，2)，将这n－1个等式左右
A．15
B．16
C．49
D．64
解析： a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案： A
数学 必修5
高等数学-电子课件05第十章 习题课
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
y2
D
x
围成．
解 X-型 D:1yx,1x2. x
x2
d y2
D
x 2
x2
1dx1 x
dy y2
D
2 1
(
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(x3 x)dx
1
9. 4
23
例2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
解 先去掉绝对值符号，如图
yx2d
ezdv2ezdv
上
1
20[dxd]eyzdz D(z)
21(1z2)ezdz2. 0
28
例7 计算三重积分 (y2 z2)dv其中是由 xoy 平面
上曲线 y2 2x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x 5
所围成的闭区域。 x x
提示：
利用柱坐标
y
cos
:
1 2
2
x5
0 10
z sin
yy(x,y,z)dxdyd, zz (x,y,z)dxdydz
z(x,y,z)dxdydz (x,y,z)dxdydz
当 (x,y,z) 常数 时, 则得形心坐标：
x
xdxd
yd ,
z
y ydxdyd,z
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
y2
D
x
围成．
解 X-型 D:1yx,1x2. x
x2
d y2
D
x 2
x2
1dx1 x
dy y2
D
2 1
(
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(x3 x)dx
1
9. 4
23
例2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
解 先去掉绝对值符号，如图
yx2d
ezdv2ezdv
上
1
20[dxd]eyzdz D(z)
21(1z2)ezdz2. 0
28
例7 计算三重积分 (y2 z2)dv其中是由 xoy 平面
上曲线 y2 2x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x 5
所围成的闭区域。 x x
提示：
利用柱坐标
y
cos
:
1 2
2
x5
0 10
z sin
yy(x,y,z)dxdyd, zz (x,y,z)dxdydz
z(x,y,z)dxdydz (x,y,z)dxdydz
当 (x,y,z) 常数 时, 则得形心坐标：
x
xdxd
yd ,
z
y ydxdyd,z
《大学高数》课件
不定积分的性质、不定积分的计算方法（换 元法、分部积分法等）。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
同济大学第五高数PPT课件
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx N 2 px
q
;
第20页/共45页
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x 6
x3 ( x 2)( x 3)
数或反三角函数为 u.
第6页/共45页
例5 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
第26页/共45页
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
f ( x)dx ex2 C ,
高数习题答案- 5(xtk)-PPT课件
9
y 2 x M ( 1 , 1 , 1 )且与两直线 L , 例4 求过点 0 1: z x 1 y 3 x 4 L 都相交的直线 L . 2: z 2 x 1 解 将两已知直线方程化为参数方程为 x t x t L L2 : y 3 t 4 · A L1 : y 2 t B z 2t 1 L 1 z t 1 L2
a i ， b j 2 k , c 2 i 2 j k , 例1 已知 0 0 0 求一单位向量 n ， 使 n c ， 且 n , a , b 共面 0 解 设 n x i y j z k , 由题设条件得 0 x2 y2 z2 1 n 1 0 2 x 2 y z 0 n c 2y z 0 0 n a b a b { 0 , 2 , 1 } 2 1 2 0 解得 n ( i j k ). 3 3 3
4
x 1 y z 1 : ( 1 ) 直 L 线 : 例2 求 1 1 1 在平面 : x y 2 z 1 0 的投影 L 的方 ; 0
(2 )直线 L 绕 y 轴旋转一周而成的曲面 方程 . 0 x 1y z 1 L L 由 线 对称 式 解 将直 1 1 1 x y 1 0 化为一 般 式 zy 1 0
y
2 0
2 M ( 0 , y , 0 ) 0
d
Q ( x ,y ,z )
P ( x ,y ,z ) 0 0
,y ,z )在直线L0上, 因为 (x 0 0 O x 1 2 2 2 2 z ( y 1 ) y, 0 所以 x 0 4 L0 z 4 因此 ,L 绕 y 轴旋转一周而成的曲面 方程为 0 2 2 2 1 2 x z 4 y( y 1 ) , 4 2 2 2 即 4 x 17 y 4 z 2 y 1 0
大一高数课件第五章 5-习题课-1
8、下列（ 、下列（
dx 10、 10、广义积分 ∫ 2 =（ ） 0 x − 4x + 3 1 2 （A）1 − ln 3 ； （B） ln ； （C）ln 3 ； 2 3 0 − kx 11、当（ 收敛。 、 ）时，广义积分 ∫− ∞e dx 收敛。
2
（D）发散. 发散.
(A) k > 0
(B) k ≥ 0
71 3 ； 4、 ； 4、 3
3 π π 5、 6、 7、 8、 5、1； 6、 ； 7、 − arcsin ； 8、π . 2 4 5
2、 3、 4、 5、 一、1、C； 2、A； 3、C； 4、D； 5、C； 6、 7、 8、 9、 10、 6、D； 7、B； 8、A； 9、C； 10、D. 三、1、
3x2 1 + x 12 − 2x 1 + x8
2、 ； 2、± 2e
− y2
sin x 2 .
4 π 4 2、 3、 四、1、 2 ln ； 2、 ； 3、 π − 3 4 3
x
1
.
14、 14、− a x[ f ( x ) + f ( − x )]dx = ∫
+a
.
15、 15、
∫
+∞ 2
dx 为常数， ，其中 k 为常数，当 k ≤ 1 时，这积分 k x (ln x )
，
当 k >1 其值为
时，这积分 .
x3
，当这积分收敛时， 当这积分收敛时，
16、 连续， 16、设 f ( x ) 连续，且∫0 f ( t )dt = x ，则 f (8) =
2 1
）
2 −1 1
（C） ∫ dx ；
−1
高中数学必修五全册复习ppt
1 2 S n 1 2 1 1 4 2 1 2 7 2 1 3 (3n5)21n1 ( 3 n 2 ) 2 1 n
两式相减：
1 2Sn132 1 132 1 2 321 n 1(3n2)2 1 n131 2(1 1 2 1 1 n 1)3n 2 n2 2
33 n 2 6 6 n 4
设这三个数为，a , a , aq 则 a a aq 8 即：a38 a2
q
q
（1）若2是 2 ,2q 的等差中项，则 2 2q 4 即：q22q10
q
q
q 1 与已知三数不等矛盾
（2）若2q为2, 2 的等差中项，则 1 1 2q 即：2q2q10
q
q
q 1 三个数为 4,1,2 或 2,1,4 2
S= 3 AB BC ，且存在实数λ使得
2
a＋c=λb，求λ的取值范围.
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(1,2]
15
作业： P20习题1.2A组：12，13，14.
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16
第一章 解三角形 单元复习
第三课时
2021/7/17
17
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例题分析
例1 如图，在高出地面30m的小山顶 上建有一座电视塔AB，在地面上取一点C， 测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB ＝45°，求该电视塔的高度.
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25
数学必修⑤《数列》 单元总结复习
2021/7/17
26
一、知识回顾
等差数列
等比数列
定义 通项 通项推广
an1an d ana1(n1)d
anam(nm)d
an1an q
an a1qn1 an amqnm
高等数学的幻灯片-5
k 1 ij3k.
1 1 0
故所求平面方程为
1（x1） 1(yo)3(z1)0 即 xy3z40
7
2019/10/9
天津商学院《高等数学课程组》
二.平面的一般方程
n={ A,B,C}
z
任意平面都可以用三元一次
方程Ax+By+Cz+D=0来表示；
任一三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的图形总是
由cos θ=|cos(n1,^n2)| 则两平面的夹角θ可由两个
向量夹角公式来确定.
四.两平面的夹角
co s |A A B B C C |
A B C A B C
θ n1
n2
Π2
θ
Π1
其中
平面Π1的法向量为 n1={A1,B1,C1} 平面Π2的法向量为 n2={A2,B2,C2}
天津商学院《高等数学课程组》
思考.练习.讨论
3.依条件求平面方程：
(1)平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；
(2)通过z轴和点(-3,1,-2)；
(3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和
（5,1,7) .
(1).y+ 5=0;
(2).x+ 3y=0;
(3).9y- z- 2=0.
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六.点到平面的距离
已知:平面Π1的法向量为 n1={A,B,C} 平面Π1外一点 P0={x0,y0,z0} 证明： P0到平面Π1的距离为
n1
P0
P1
N
Π1
证明思路：:平面Π1上取点 P1={x1,y1,z1}则所求距离等于向量 在法向量上n1的投影.即 P P
高等数学课件(第五版)---D9_习题课29页PPT
敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高等数学课件（第五版）---D9_习题课
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高等数学课件（第五版）---D9_习题课
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
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2、向量的向量积（结果是一个向量）
几何应用要点：
(1) 求与两个非共线向量同时垂直的向量： S a b 或 S b a .
(2) 求以向量 a,b为邻边的平行四边形的面积： S|ab|.
(3) 求以A, B,C为顶点的三角.形面积 (4)给定不共 A,B,线 C,求 的 A到三 直 B点 的 C 线距 .
两向量夹角余弦的坐标表示式
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
xx2yy2zz2,
m2
n2
p2
^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2
二、1、点到平面的距离
设 P0(x0,y0,z0)是 平 面 A xB yC zD0
外 一 点 ， 求 P0到 平 面 的 距 离 .
n
P 1 (x 1 ,y 1 ,z1 ) d |Pnr P 1P j0|
P0
d|A0 xB0 yC0 zD |. P1
N
A 2B 2C 2
点到平面的距离公式
sin | s n|
|A m B n C|p
| s || n | A 2B 2C 2 m 2n 2p2
直线与平面的夹角正弦公式
二、典型例题
例1 已 求a 知 一 i， b 单 n j0 ， 使 2k 位 n ,c 0 c ， 2且 i 向 n 2 0 j,a ,量 b k ,共面 解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
解之 t10 ,t2 得 0 , A ( 0 ,0 , 1 )B ,( 2 ,2 ,3 ) 点 M 0(1 ,1 ,1 )和 B (2 ,2 ,3 )同在 L 上 ,直线 故 L的方程为
x1y1z1. 112
例4 求直线 L:2xxyyzz1100在平面 : x2yz 0上的投影直线的. 方程
两直线的夹角公式
按照两向量夹角余弦公式有
cos|n1n2|
|n1||n2|
co s |A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2| A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2 两平面夹角余弦公式
sin|coss ,n ()| | s n|
| s || n | s (m ,n ,p ),n (A ,B ,C ),
第五章 习题课
一.主要内容 二.典型例题
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
混合积
向量积
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
一、向量的乘法及其应用：
1、向量的数量积（结果是一个数量）
(1几) 求何向应量用的要模点：：|a | a a .
(2当 ) 求a 两0 向,b 量 的0时 夹角： ， arc a b c .os
(3)
|a|b ||
求一个向量在另一个向量上的投影a b a b 0 a x b x a yb y a zb z 0
即 ( 1 ) x 5 y ( 1 ) z 4 0 ,
其法 n { 1 向 ,5 ,1 } 量 .
又已知平面 n 的 {1,4法 ,8}向 . 量
由题设知
cos
n
n1
4 nn1
(1 )1 5 ( 4 ) (1 )( 8 )
1 2 ( 4 )2 ( 8 )2(1 )2 5 2 (1 )2
n0 1 n0c n 0 a b
x2 y2 z2 1 2 x 2 y z 0 2 y z 0
解得 n 0(2i1j2k ). 333
例2 求过直 :xx线 5zy4z0,0且与平x面 4y
8z120组成 角的平面 . 方程 4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 y z ( x z 4 ) 0 ,
zt11
z2t21
设所求 L与 直 L1,L线 2的交点分别为
A ( t 1 , 2 t 1 , t 1 1 ) 和 B ( t 2 , 3 t 2 4 , 2 t 2 1 ). M 0(1,1,1)与 A,B三点,共线
故 M 0A M 0B (为实 ). 数
于是 M0A, M0B对应坐标,成 即有比例 t1 1 2 t1 1 (t1 1 ) 1, t2 1(3 t24 ) 1(2 t2 1 ) 1
2、点到直线的距离
设 L： x x0 y y0 z z0 ， M0 (x0 , y0 , z0 ) 是直线
m
n
p
外的一点，M 是直线上任意一点，求 M 0 到直线 L 的距离.
设 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 点 s ( m , n , p ) , 则 d
|
M0 M |s|
(5)a //b a b 0.
3、向量的混合积（结果是一个数量）
几何应用要点：
(1) 三个向量 a,b,c共面的充要条件是：[a ,b ,c ]0. (2) 以 a,b,c为相邻上棱的平行六面体的体积：
V[a ,b ,c ].
(3) 以不共面四点A, B, C, D为顶点的四面体的体积：
V1[ABACAD ] 6
即2 3 , 由此解得 3 .
2 2227
4
代回平面束方程为 x 2y 0 7 z 1 0 2 .
例3 求过M点 0(1,1,1)且与两L1直 : zy 线 x2x1, L2: zy23xx14都相交的 L. 直线
解 将两已知直线方程化为参数方程为
L1:yx t21t1 , L2:yx t32t24
s
|
3、 两直线异面间距离
两异面直线的距离是指两直线的点之间的最短距离 . 在直线L1与L2上各任取一点M1与M2 , 则 d|Ps 1 rs 2jM 1M 2|
三、各种夹角公式
a b |a |b ||co scos
ab
,
|a||b|
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2