论文浅谈反证法

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华中师范大学高等教育自学考试

本科毕业生论文评审表

论文题目：浅谈反证法

准考证号：

姓名：***

专业：数学教育

学生类型：独立本科段(助学班/独立本科段)

2011年12 月20日

华中师范大学高等教育自学考试办公室印制

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论文容摘要

目录

1引言 (3)

2反证法的定义及步骤 (4)

2.1反证法的定义 (4)

2.2反证法的步骤 (4)

3反证法的逻辑依据及分类 (5)

3.1反证法的逻辑依据 (5)

3.2反证法的分类 (5)

4反证法如何正确的作出反设 (6)

5反证法如何正确的导出矛盾 (8)

6何时宜用反证法 (9)

6.1基本命题，即学科中的起始性命题 (10)

6.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断 (11)

6.3有关唯一性的问题 (11)

6.4命题结论是“至多”“至少”形式 (12)

6.5命题结论涉及无限集或数目不确定的对象 (12)

6.6某些起始命题 (13)

6.7难证的逆命题 (13)

6.8命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时 (13)

7在中学数学中常用的反证法思想的题型分析 (14)

7.1结论本身以否定形式出现的一类命题例 (14)

7.2有关结论是以“至多...”或“至少...”的形式出现的一类命题例. (14)

7.3关于存在性、唯一性的命题例 (14)

7.4结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题例 (15)

7.5无穷性命题 (15)

8结论 (16)

参考文献 (17)

1引言

南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。［1］”

实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

2反证法的定义及步骤

2.1反证法的定义

先提出于结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了于结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法［2］。

2.2反证法的步骤

用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:

（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。

（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。

（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论[3]。

例2.1.1已知：∂∈∉∂∉∂⊂B a B A a ,,, 求证：直线AB 和a 是异面直

线。

证明：【提出假设】假设直线AB 和a 在同一

平面内，

那么这个平面一定经过点B 和直线。

【推出矛盾】因为a B ∉，经过点B 和直线 a 只能有一个平面∂

所以直线AB 与a 应在平面∂

所以 ∂∈A ,这与已知∂∉A 矛盾。

3反证法的逻辑依据及分类

3.1反证法的逻辑依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的[4]。

排中律常用公式排中律用公式表示为“A或者非A”，即“A∨⌝A”。意即∨真或⌝真。其中∨和⌝表示两个互相矛盾的概念或判断。

排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。

排中律是反证法的逻辑基础，当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。例如，要证明a不是有理数有困难时，只要证明a 是有理数为假就可以了。

3.2反证法的分类

按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。

（1）若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。

例3.2.1已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。

分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。

证明:假设m不是偶数,则m为奇数。设m=2k+1(k为整数),所以

于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。故m为偶数。

（2）若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。