论文浅谈反证法

.华中师范大学高等教育自学考试本科毕业生论文评审表论文题目：浅谈反证法准考证号：姓名：***专业：数学教育学生类型：独立本科段(助学班/独立本科段)2011年12 月20日华中师范大学高等教育自学考试办公室印制. kszl论文容摘要目录1引言 (3)2反证法的定义及步骤 (4)2.1反证法的定义 (4)2.2反证法的步骤 (4)3反证法的逻辑依据及分类 (5)3.1反证法的逻辑依据 (5)3.2反证法的分类 (5)4反证法如何正确的作出反设 (6)5反证法如何正确的导出矛盾 (8)6何时宜用反证法 (9)6.1基本命题，即学科中的起始性命题 (10)6.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断 (11)6.3有关唯一性的问题 (11)6.4命题结论是“至多”“至少”形式 (12)6.5命题结论涉及无限集或数目不确定的对象 (12)6.6某些起始命题 (13)6.7难证的逆命题 (13)6.8命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时 (13)7在中学数学中常用的反证法思想的题型分析 (14)7.1结论本身以否定形式出现的一类命题例 (14)7.2有关结论是以“至多...”或“至少...”的形式出现的一类命题例. (14)7.3关于存在性、唯一性的命题例 (14)7.4结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题例 (15)7.5无穷性命题 (15)8结论 (16)参考文献 (17)1引言南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。

乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。

”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。

［1］”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。

风水先生当然不会承认这个事实了。

那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

2反证法的定义及步骤2.1反证法的定义先提出于结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了于结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法［2］。

2.2反证法的步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。

（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。

（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论[3]。

例2.1.1已知：∂∈∉∂∉∂⊂B a B A a ,,, 求证：直线AB 和a 是异面直线。

证明：【提出假设】假设直线AB 和a 在同一平面内，那么这个平面一定经过点B 和直线。

【推出矛盾】因为a B ∉，经过点B 和直线 a 只能有一个平面∂所以直线AB 与a 应在平面∂所以 ∂∈A ,这与已知∂∉A 矛盾。

3反证法的逻辑依据及分类3.1反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的[4]。

排中律常用公式排中律用公式表示为“A或者非A”，即“A∨⌝A”。

意即∨真或⌝真。

其中∨和⌝表示两个互相矛盾的概念或判断。

排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。

它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。

排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。

它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。

排中律是反证法的逻辑基础，当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。

例如，要证明a不是有理数有困难时，只要证明a 是有理数为假就可以了。

3.2反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。

（1）若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。

例3.2.1已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。

分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。

证明:假设m不是偶数,则m为奇数。

设m=2k+1(k为整数),所以于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。

故m为偶数。

（2）若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。

4反证法如何正确的作出反设运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设,是使用反证法的一大关键否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。

要想正确的做出反设，必须注意以下几点：（1）分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。

例4.1.1试证合适xy+yz+zx=1的实数x 、y 、z 必不能满足x+y+z=xyz 。

分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很难用直接法对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们知道实数x 、y 、z 能满足方程xy+yz+zx=1但不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x 、y 、z 既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz 。

我们知道实数x 、y 、z 就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz 联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。

对于含有多个字母的给定式,在计算时尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。

（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。

例4.1.2已知： 233=+q p ，求证：2≤+q p 。

分析：此题的结论有两种情况，其否定只有一种情况q p +>2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情况，就能肯定2≤+q p 的这种情况了。

证明：假设q p +>2，则q >p -23q ∴>326128p p p -+-33q p +∴>26128p p +- =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-311262p p =()2162-+p = 由此可知：233≠+q p ，这与已知矛盾。

∴2≤+q p例4.1.3已知：平面∂∥平面β，直线A，求证：l与β也相交。

∂l=分析：此题结论的否定有两种情况：1βl；2l∥β.用反证法证明时，⊂只有把这两种情况都否定了，才能肯定l与β相交。

总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。

这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。

例如：1）结论：至少有一个S是P。

错误假设：至少有两个或两个以上S是P,正确假设：没有一个S是P。

例如；2）结论：最多有一个S是P。

错误假设：最少有一个S是P。

正确假设：至少有两个S是P。

例如：3）结论：全部S都是P。

错误假设：全部的S都不是P。

正确假设：存在一个S不是P。

现将一些常用词的否定形式列表如下：5反证法如何正确的导出矛盾归谬,是反证法的关键,也是困难所在。

初学者往往作出反设以后,就迈不开步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。

导出矛盾的过程,没有固定的模式可以套用。

要凭借解题者拥有的知识与具备的能力,要善于从反设与条件中,抓住蛛丝马迹,发现矛盾。

此外,有两点应该引起我们注意:1、导出矛盾,要从反设出发,否则,推导将成为无源之水,无本之木。

2、推理必须严谨。

有人以为反证法就可以不讲依据,那是诡辩,只能导致荒谬。

一般来说,归谬的情况大致有如下几种:（1）推出与公理相矛盾的结论;（2）推出与已知定理相矛盾的结论;（3）推出与已知定义相矛盾的结论;（4）推出两个相互矛盾的结论;（5）推出与原命题题设条件相矛盾的结论;（6）推出与逆否命题假设相矛盾的结论。

6何时宜用反证法曾有数学家赞扬反证法是“数学家最精良的武器之一”,它在数学证题中确有奇效。

应该指出的是,多数题目用直接法证明较为简捷。

究竟什么类型的数学题可用这精良的武器去解决呢？对于“若A 则 B”一类的数学命题,一般都可以用反证法来加以证明,当然没有绝对的标准,但是遇到以下几类问题时不妨试一试。

6.1基本命题，即学科中的起始性命题此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。

例6.1.1：直线PO 与平面α相交于O ，过点O 在平面α内引直线OA 、OB 、OC ，POC POB POA ∠=∠=∠，求证：α⊥PO 。

证明：假设PO 不垂直平面α。

作α⊥PH 并与平面α相交于H ，此时H 、O 不重合，连结OH 。

由P 作OA PE ⊥于E ，OB PF ⊥于F ，根据三垂线定理可知，OA HE ⊥，OB HF ⊥。

因为POB POA ∠=∠，PO 是公共边，所以POF Rt POE Rt ∆≅∆所以OF OE =又OH OH =所以OEH Rt OFH Rt ∆≅∆所以EOH FOH ∠=∠因此，OH 是AOB ∠的平分线。

同理可证，OH 是AOC ∠的平分线。

但是，OB 和OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时是AOB ∠和AOC ∠的平分线，产生矛盾。

a OP AB C E F H6.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断例6.2.1已知a 、b 、c 、d ∈R ，且ad-bc ＝1，求证：12222≠+++++cd ab d c b a 。

证明：假设12222=+++++cd ab d c b a ，把ad －bc ＝1代入前式得：02222=+-+++++cd ad bc ab d c b a 即（a+b ）2+（b+c ）2+（c+d ）2+（a-d ）2＝0 ∵a 、b 、c 、d ∈R ∴a+b ＝b+c ＝c+d ＝a-d ＝0 ∵a ＝b ＝c ＝d ，从而ad-bc ＝0与ad-bc ＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.例6.2.2证明2不是方程2x ＋1=0的根。