案例2 单自由度机械系统动力学共85页
机械振动运动学2单自由度系统振动2
【例2-11】如图2.29所示为一辆石油载重卡车在波形路面行走
的力学模型。路面的波形可以用公式
表示，其中幅
度d=25mm波长l=5m。卡车的质量为m=3000kg，弹簧刚度系数为
k=294kN/m。忽略阻尼，求卡车以速度v=45kM/h匀速前进时，车
体的垂直振幅为多少？卡车的临界速度为多少？
图2.29石油载重卡隔离
隔振分为：主动隔振，被动隔振两类。
（a）主动隔振
（b）被动隔振
图2.39单自由度隔振系统的动力学模型
两种模型比较
①主动隔振
防止振动传递开去的隔振称为主动隔振。如图2.39(a) 所示为主动隔振的简化模型。
弹簧传到支承上的最大载荷 支承上的最大载荷
最大合力
力
的作用。此时振动系统的响应就是（2.96）式
在
阶段
式中：
当常力 去除后，系统自由振动的振幅A随着矩 形脉冲作用时间和振动系统固有周期之比值 的改变 而改变。
当
时，系统自由振动的振幅
在 时是以振幅等于 作简谐运动
当
时，A=0
2.5单自由度系统振动应用专题
2.5.1等效粘性阻尼
实际的石油机械振动系统中存在的阻尼是非常复杂的，只 有在特定情况下，阻尼力才表现为与运动速度成线性关系。工
1cosnt
式中
图2.35 系统的位移响应与阻尼的关系
【例2-13】 如图2.36（a）所示，一无阻尼弹簧—质量系统受到
的矩形脉冲的作用。这一矩形脉冲可用
表
示，试求这一振动系统的响应。
图2.36 作用于弹簧-质量系统上的矩形脉和系统的响应
【解】在
阶段，相当于振动系统在t=0时受到突加常
自由度机械系统动力学分析
06
结论与展望
研究成果总结
01
02
03
04
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析
目
CONTENCT
录
• 引言 • 自由度机械系统基础 • 自由度机械系统动力学分析方法 • 自由度机械系统动态特性分析 • 自由度机械系统优化设计 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
机械系统在工业、航空航天、交通运输等领域广泛应用，其动力 学性能对系统的稳定性和性能至关重要。
结合人工智能、大数据等先进技术，开展自由度 机械系统动力学分析与优化设计，实现智能化、 自动化的动态性能预测和优化设计。
拓展自由度机械系统动力学分析的应用领域，特 别是在智能制造、新能源、生物医学工程等新兴 领域，发挥其在技术创新和产业升级中的作用。
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感谢聆听
稳定性分析
线性稳定性分析
通过判断系统的线性化方程的解的稳定性，确定系统的稳定性。常用的方法有 特征值法和Lyapunov直接法。
非线性稳定性分析
研究非线性系统的稳定性，需要考虑系统的非线性特性，常用的方法有分岔理 论和混沌理论。
振动特性分析
固有频率和模态分析
通过求解系统的运动微分方程，得到系统的固有频率和模态，即系统自由振动的频率和振型。
02
机械振动单自由度系统
习题2.3 重物ml悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置， 另一重物m2从高度为h处自由落到ml上而无弹跳，如图T— 2.3所示，求其后的运动。
图 T—2.3
习题2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动， 圆心受到一弹簧k约束，如图T—2.4所示，求系统的固有频率。
习题2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位 置，如图T—2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周 期。
习题2.10 如图T—2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴 的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体， 绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。 半径R与a均已知，求微振动的周期。
图T—2.10
图T—2.12
2.2.3 有效质量 • 离散系统模型约定：系统的质量集中在惯性元件上，弹性 元件无质量。
第2章 单自由度系统
• • • • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 引言 无阻尼自由振动 阻尼自由振动 单自由度系统的简谐强迫振动 简谐强迫振动理论的应用 周期强迫振动 非周期强迫振动
§2.1 引言
• 单自由度系统：只有一个自由度的振动系统称为 单自由度振动系统。 单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二 阶线性常微分方程描述它的振动规律。
上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助 于简化问题的求解。以下例说明。 例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元件 为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2—3(a)所示，忽 略阻尼。
图 2—3
在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望 方程的解中只包括动力响应。将描述系统振动的坐标系的原 点取在系统的静平衡位置可以做到这一点。
单自由度机械系统动力学
•位移和转角叫广义坐标， •速度和角速度叫广义速度。
vk
,
j
; vk v
, j v
称为传动速比。
12
Confucius said: “A gentleman neither worries nor fears.”
v
13
Confucius said: “A gentleman neither worries nor fears.”
for(i=0;i<37;i++)
{
phi1=i*h;
//Euler(double phi1);
Runge_Kutta(phi1);
printf("%3.0f %8.3f\n",phi1*180/pi,omega10);
omega10=omega1;
}
}
66
欧拉法：
void Euler(double phi1) {
❖ 研究方法： 等效力学模型
2
2.2 驱动力和工作阻力
2.2.1 系统受力 主要受力有：驱动力、惯性力、工作阻力、介质阻
力、重力和摩擦阻力等。 ❖驱动力：原动机产生的力，做正功。
驱动力的变化规律为：１）常数；２）是位移的函 数；３）是速度的函数。 ❖工作阻力：工作构件的阻力，做负功。
工作阻力的变化规律为：１）常数；２）是位移的 函数；３）是速度的函数；４）是时间的函数。
#define pi 3.1416
#define h 10*pi/180
30
double l1,l2,ls2,e,J01,J2,m2,m3;
double phi1,Je,dJe,omega1,Vc;
int i;
自由度机械系统动力学
1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。
第三章_单自由度机械系统动力学汇总案例
例题
某起吊重物用的电动葫芦的电动机，型号为Y90L-4，额定功率 PH=1.5kW，同步转速n0=1500r/min，额定转速nH=1410r/min，求 该电动机在额定转速附近的机械性能。
解：在加载过程中电动机角速度只在额定角速度附近波动，可采用 直线形式的机械特性
例题
电动机型号Y100L2-4，额定功率PH=3kW，同步转速n0=1500r/min， 额定转速nH=1420r/min，最大转矩与额定转速之比λ=MK/MH=2.2，推导出三 相异步电动机机械特性图中AC段的机械特性。
等效转化的原则 等效构件的等效质量或等效转动惯量具有的动能等于原机械系 统的总动能； 等效构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率等于原机械系 统所有外力产生的瞬时功率之和。 把这种具有等效质量或等效转动惯量，其上作用有等效力或等 效力矩的等效构件称为原机械系统的等效动力学模型。 对于单自由度机械系统，只要确定了一个构件的运动，其他构 件的运动就随之确定，因此，通过研究等效构件的运动规律，就能 确定原机械系统的运动。
基本概念
1、等效构件 具有与原机械系统等效的质量或等效转动惯量、其上 作用有等效力或等效力矩，而且其运动与原机械系统相应 构件的运动保持相同的构件。 2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。 3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
图a
图b
等效参数的确定
1．等效质量和等效转动惯量 等效质量和等效转动惯量可以根据等效原则—— 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能来确 定。
2、等效力和等效力矩 等效力和等效力矩可以根据等效原则——等效力 或等效力矩产生的瞬时功率等于机械系统所有外力和 外力矩在同一瞬时的功率总和来确定。
自由度机械系统动力学
采用轻质材料如碳纤维、钛合金 等，降低系统重量，提高动态性 能。
02
03
高强度材料
智能材料
利用高强度材料如超高强度钢、 陶瓷等，提高系统承载能力和耐 磨性。
集成传感器和执行器的智能材料， 能够实时感知和响应外部激励， 优化系统动态行为。
多学科交叉研究
机械工程
结合机械设计、制造和控制技 术，优化系统结构、性能和可
04 自由度机械系统的应用
机器人学
工业机器人
在制造业中，自由度机械系统动 力学用于设计和控制工业机器人， 实现高效、精确的生产线作业。
服务机器人
在服务行业中，自由度机械系统 动力学也广泛应用于服务机器人， 如家政机器人、医疗机器人等，
提高服务质量和生活便利性。
仿生机器人
通过模拟生物的运动机制，自由 度机械系统动力学有助于设计和 制造具有生物相似性的仿生机器 人，实现复杂环境的探索和作业。
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化的基本规律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动状态的改变与作用力成正比，加速度的大小与作用 力成正比，方向与作用力相同。
拉格朗日方程
总结词
描述系统运动状态的变分方程。
详细描述
拉格朗日方程基于拉格朗日函数，描述了系统运动状态的变分关系，是分析自由度机械系统动力学的重要工具。
航空航天工程
1 2
飞行器设计
自由度机械系统动力学在航空航天工程中用于优 化飞行器的设计和控制，提高飞行器的稳定性和 机动性。
航天器姿态控制
通过自由度机械系统动力学，实现对航天器姿态 的精确控制，确保航天任务的顺利完成。
3
航空发动机控制
在航空发动机控制中，自由度机械系统动力学有 助于提高发动机的效率和稳定性，降低故障率。
作业(二)答案单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩
作业（二）单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩 1．如题图1所示的六杆机构中，已知滑块５的质量为m 5=20kg ，l AB =l ED =100mm ，l BC =l CD =l EF =200mm ，φ1=φ2=φ3=90o ，作用在滑块５上的力Ｐ＝500N ．当取曲柄AB 为等效构件时，求机构在图示位置的等效转动惯量和力Ｐ的等效力矩．图1答案：解此题的思路是：①运动分析求出机构处在该位置时，质心点的速度及各构件的角速度．②根据等效转动惯量，等效力矩的公式求出． 做出机构的位置图，用图解法进行运动分析． V C =V B =ω1×l AB ω2=0 V D =V C =ω1×l AB 且ω3=V C /l CD =ω1 V F =V D =ω1×l AB (方向水平向右)ω4=0 由等效转动惯量的公式：e J =m 5(V F /ω1)2=20kg ×(ω1×l AB ／ω1)2=0．2kgm 2由等效力矩的定义： e M =500×ω1×l AB ×cos180o／ω1＝－50Nm （因为ＶF 的方向与Ｐ方向相反，所以α＝180o ）∑=+=ni i Si Sii e J v m J 12121])()([ωωω∑=±=ni ii ii i e M v F M 111)]()(cos [ωωωα2．题图2所示的轮系中，已知各轮齿数：z 1=z 2’=20，z 2=z 3=40，J 1=J 2’=0．01kg ·m 2，J 2=J 3=0．04kg ·m 2．作用在轴Ｏ3上的阻力矩Ｍ3＝40N ·m ．当取齿轮１为等效构件时，求机构的等效转动惯量和阻力矩Ｍ3的等效力矩．图2答案：该轮系为定轴轮系．i 12=ω1/ω2=(-1)1z 2/z 1∴ω－0．5×ω1 ω2’=ω2=－0．5×ω1i 2’3=ω2’/ω3=(-1)1z 3/z 2’∴ω1 根据等效转动惯量公式e J = J 1×(ω1/ω1)2＋J 2×(ω2/ω1)2＋J 2’×(ω2’/ω1)2＋J 3×(ω3/ω1)2＝J 1＋J 2／４＋J 2’／４＋J 3／16＝0．01＋0．04／4+0．01／4+0．04／16 ＝0．025 kg ·m 2根据等效力矩的公式： e M =M 3×ω3/ω1=40×0．25ω1/ω1=10N ·m3．在题图3所示减速器中，已知各轮的齿数：z 1=z 3=25，z 2=z 4=50，各轮的转动惯量J 1=J 3=0．04kg ·m 2，J 2=J 4=0．16kg ·m 2，（忽略各轴的转动惯量），作用在轴Ⅲ上的阻力矩M 3=100N ·m ．试求选取轴∑=+=ni i Si Sii e J v m J 12121])(([ωωω∑=±=ni ii ii i e M v F M 111)]()(cos [ωωωαⅠ为等效构件时，该机构的等效转动惯量J和M3的等效阻力矩M r．图3答案：i12=ω1／ω2=z2/z1ω2=ω1/2 ω3=ω2=ω1/2 =ω3/ω4=z4/z3ω4＝ω1/4i34等效转动惯量：J=J1(ω1/ω1)2+J2(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2+J4(ω4/ω1)2=0．042+0．16×(1/2)2+0．04×(1/2)2+0．16×(1/4)2=0．04+0．04+0．01+0．01=0．1kg·m2等效阻力矩：M r=M3×ω4/ω1=100/4=25(N·m)4．题图4所示为一简易机床的主传动系统，由一级带传动和两级齿轮传动组成．已知直流电动机的转速n0＝1500r/min，小带轮直径d=100mm，转动惯量J d=0．1kg·m2，大带轮直径D＝200mm，转动惯量J D=0．3kg·m2．各齿轮的齿数和转动惯量分别为：z1=32，J1=0．1kg·m2，z2=56，J2=0．2kg·m2，z2’=32，J2’=0．4kg·m2，z3=56，J3=0．25kg·m2．要求在切断电源后２秒，利用装在轴上的制动器将整个传动系统制动住．求所需的制动力矩M1．图4答案：电机的转速n0＝1500r/min其角速度ω0＝2π×1500/60=50π(rad/s)三根轴的转速分别为：ω1=d×ω0/D=25π(rad/s)ω2=z1×ω1/z2=32×25π/56=1429π(rad/s)ω3=z2’×ω2/z3=32×1429π/56=816π(rad/s)轴的等效转动惯量：J V=J d×(ω0/ω1)2+J D×(ω1/ω1)2+J1×(ω1/ω1)2+J2×(ω2/ω1)2+J2’×(ω/ω1)2+J3×(ω3/ω1)22∴J V=0．1×(50π/25π)2+0．3×12+0．1×12+(0．2+0．1)×(14．29π/25π)2+0．25×(8．16π/25π)2=0．4+0．4+0．098+0．027=0．925 (kg·m2)轴制动前的初始角速度ω1＝２５π，制动阶段做减速运动，即可求出制动时的角加速度∴ωt=ω0－εt即０＝25π－2εε=12．5π则在２秒内制动，其制动力矩Ｍ为：M=J V×ε=0．925×12．5=36．31 (kg·m)5．在题图5所示定轴轮系中，已知各轮齿数为：z1=z2’=20，z2=z3=40；各轮对其轮心的转动惯量分别为J1=J2’=0．01kg·m2，J2=J3=0．04kg·m2；作用在轮１上的驱动力矩M d=60N·m，作用在轮３上的阻力矩M r=120N·m．设该轮系原来静止，试求在M d和M r 作用下，运转到t=15s时，轮１的角速度ω1和角加速度α1．图5答案：i12=ω1/ω2=(-1)1×z2/z1 ω2=－ω1/2i13=ω1/ω3=(-1)2×z2×z3/z1×z2’ω3=20×20×ω1/40×40=ω1/4轮１的等效力矩Ｍ为：Ｍ＝M d×ω1/ω1+M r×ω3/ω1 =60×1－120/4=30 N·m轮１的等效转动惯量Ｊ为：Ｊ=J1(ω1/ω1)2+(J2’+J2)(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2=0．01×1+(0．01+0．04)/4+0．04/16=0．025 (kg·m2)∵M=J ×ε∴角加速度ε＝Ｍ／Ｊ＝1200 (rad/s2)初始角速度ω0=0 ∴ω1=ω0+ε×t=1200×1．5=1800(rad/s)ω。
第2章 刚性构件组成的单自由度机械系统动力学
第二章刚性构件组成的单自由度机械系统动力学§2.1 引言本章和第三章首先研究忽略构件弹性变形的理想机械系统的动力学问题。
即在研究时，近似认为组成这类理想机械系统的构件都是刚体，并忽略运动副中间隙的影响，运动副中的摩擦在通常情况也是被忽略的。
作出上述简化的目的是为了能够忽略一些次要因素，以突出问题的主要方面。
当机械中各构件的刚度较大且运转速度不是很高时，作出这些简化是合理的，所得到的结果有很好的实用价值。
本章将研究单自由度机械系统的动力学问题。
目前单自由度机械应用最为广泛，然而由于各种自动机和机器人的出现，刚性构件组成的多自由度机械系统动力学的研究也变得越来越重要，所以在下一章还要进一步研究二自由度机械系统动力学问题。
考虑构件弹性变形时的动力学问题将在后续章节中研究。
本章主要介绍用等效力学模型进行研究的方法，该方法适用于单自由度系统的研究，目前在工程上被广泛应用。
在研究时，首先把实际机械系统简化成等效的单构件力学模型，并根据该模型列出运动方程式，然后对运动微分方程式进行求解和讨论。
§2.2 驱动力和工作阻力除重力、摩擦力之外，作用在机械上的力主要还有工作阻力和驱动力，它们随着机械工作情况及使用的原动机的不同而多种多样。
为了研究在力作用下机械的运动，可将作用力按机械特性进行分类。
所谓机械特性是指力(或力矩)和运动学参数(位移、速度、时间等)之间的关系。
本书中，所有的外力都假设为是预先已知的，即假设发动机和工作机的机械特性是预先给定的。
在工作机械中，按机械特性来分，常见的工作阻力有以下几种：1)工作阻力是常数。
如起重机的有效工作负荷为起吊重量(为常数)，机床的制动力矩，通常也可简化为常数。
2)工作阻力随位移而变化。
如往复式压缩机中活塞上作用的阻力，曲柄压力机滑块上受到的阻力等。
3)工作阻力随速度而变化。
如鼓风机、离心泵的工作阻力。
4)工作阻力随时间而变化。
如揉面机的工作阻力。
在发动机中，按其机械特性进行分类，常见的驱动力有以下几种：1)驱动力是常数。
第四章 单自由度机械系统动力学
摩擦力:由运动副表面摩擦产生的有害阻力， 摩擦力 由运动副表面摩擦产生的有害阻力，作负功 ； 由运动副表面摩擦产生的有害阻力 一些效率较低的机构则应计入摩擦力的影响 在动力分析中主要涉及的力是驱动力和生产阻力
常见的生产阻力有： 常见的生产阻力有： 生产阻力为常数：如起重机的起吊重量； 生产阻力为常数：如起重机的起吊重量； 生产阻力随位移而变化： 生产阻力随位移而变化：如往复式压缩机中活塞上 作用的阻力； 作用的阻力； 生产阻力随速度而变化:如鼓风机 离心泵的生产阻力 生产阻力随速度而变化 如鼓风机,离心泵的生产阻力； 如鼓风机 离心泵的生产阻力； 生产阻力随时间而变化：如揉面机的生产阻力。 生产阻力随时间而变化：如揉面机的生产阻力。 驱动力与发动机的机械特性有关，有如下几种情况： 驱动力与发动机的机械特性有关，有如下几种情况： 驱动力是常数：如以重锤作为驱动装置的情况； 驱动力是常数：如以重锤作为驱动装置的情况； 驱动力是位移的函数：如用弹簧作驱动件时， 驱动力是位移的函数：如用弹簧作驱动件时，驱动力 与变形成正比； 驱动力是速度的函数：如一般电动机，机械特性均表 驱动力是速度的函数：如一般电动机， 示为输出力矩随角速度变化的曲线。 示为输出力矩随角速度变化的曲线。
??d2deeeeejjjmjt???引入变换dd???dd??ddddtt????21????d??2deee?mjj??令21????2??eee?mjfj??则d????df?可利用龙格库塔法求解求出各值下的3加平衡机构法用加齿轮机构的方法平衡惯性力时平衡效果好但采用平衡机构将使结构复杂机构尺寸加大这是此方法的缺点
4.2单自由度系统等效力学模型 单自由度系统等效力学模型 对单自由度系统，可以采用等效力学模型来研究， 对单自由度系统，可以采用等效力学模型来研究，将系统 的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题。 的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题。 过程如下： 取做直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统 过程如下： 取做直线运动的构件作为等效构件时， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的 （1）选取等效构件，通常选主动构件为等效构件； ）选取等效构件，通常选主动构件为等效构件； 全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量 （2）计算等效力，根据做功相等的原则进行； ）计算等效力，根据做功相等的原则进行； （3）计算等效质量，根据动能相等的原则，将各个 ）计算等效质量，根据动能相等的原则， 构件向等效构件进行等效； 构件向等效构件进行等效； 取做定轴转到的构件作为等效构件时， 取做定轴转到的构件作为等效构件时，作用于系统 （4）对等效构件列运动方程； ）对等效构件列运动方程； 上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统 5）解方程。 （的全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转 ）解方程。 动惯量
单自由度机械系统的动力学分析
§3 单自由度机械系统的动力学分析1e 21111111d d 21F qq J q J =+ 一、基于拉格朗日方程的动力学方程☐若 q 1 为位移，则 J 11 称为等效质量 ( m e )，F e1称为等效力 ( F e ) ；☐若 q 1 为角位移，则 J 11 称为等效转动惯量 ( J e )，F e1称为等效力矩 ( M e ) 。
∑∑==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n j j S S j n j jS S S jq J q v m q J q y q x m J j j j j j 12121121212111d d d d d d ωϕ∑∑∑∑====±+=±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l j m k k kj j j lj m k kk j jy j jx q M q v F q M q y F q x F F 1111111111e cos ωθω单自由度机械系统的动力学分析“±” 取决于 M k 与的方向是否相同，相同为“＋”， 相反则为“－” 。
k ω1. 等效动力学模型二、基于等效动力学模型的动力学方程单自由度机械系统的动力学分析☐单自由度机械系统仅有一个广义坐标，无论其组成如何复杂，均可将其简化为一个等效构件。
等效构件的角位移(位移)即为系统的广义坐标。
☐等效构件的等效质量(等效转动惯量)所具有的动能，应等于机械系统的总动能；等效构件上的等效力(等效力矩)所产生的功率，应等于机械系统的所有外力与外力矩所产生的总功率。
单自由度机械系统的动力学分析定轴转动构件 直线移动构件求出位移 S 或角位移的变化规律，即可获得系统中各构件的真实运动。
等效转动惯量等效质量等效力等效力矩☐等效量不仅与各运动构件的质量、转动惯量及作用于系统的外力、外力矩有关，而且与各运动构件与等效构件的速比有关，但与机械系统的真实运动无关；☐等效力（等效力矩）只是一个假想的力（力矩），并非作用于系统的所有外力的合力（外力矩的合力矩）；等效质量（等效转动惯量）也只是一个假想的质量（或转动惯量），它并不是系统中各构件的质量（或转动惯量）的总和。
机械振动运动学2单自由度系统振动1
• 假设质量块的质量为 m ，它所受的重力为 W ，弹 簧刚度为 k 。弹簧未受力时的原长为 l ，挂上质量块后，弹 簧的静伸长为 j 。此时系统处于静平衡状态，平衡位置为 O-O，由静平衡条件得：
k W j
（2.2）
当机械振动系统受到外界某种初始干扰后，机械振动系 统的静平衡状态受到破坏，在弹性恢复力作用下，使机械振动 系统产生自由振动。若取静平衡位置为坐标统的广义坐标，取 向下为正。则当质量块离开平衡位 。
• 能守恒定律出发的，对于计算较复杂系统的固有频率往往 更方便。
x x
P
图2.9单自由度振动系统
• 对图2.9所示，无阻尼自由振动系统，当系统作自由振动时， 物块的运动为简谐振动，它的运动规律可以写为
速度为
在瞬时t物块的动能为 而系统的势能V 为弹簧势能与重力势能的和， 若选平衡位 置为零势能点，有
n
j j1 j2 j3 ji i=1
机械振动系统的固有圆频率
机械振动系统中的弹性环节往往可由多个弹簧组成。其组 成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。为 了计算其固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定机械振动 系统总的弹簧刚度。总结一下得出以下规则：并联弹簧的总等 效弹簧刚度等于各分弹簧刚度之和；串联弹簧的总等效 弹簧刚度的倒数等于各分弹簧刚度倒数之和。
如图2.2(b)所示，动静法分析知，作用在振动体上的外
力与假想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系。这样可
得： (2.1)
kx
(a)
(b )
图2.2振动体受力情况
简化过程
• 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的 普遍式。它可以分为以下几种不同的情况：
单自由度机械系统动力学
为保证等效构件的运动与等效前的
M1
实际机构的运动完全一致，必须将作
用于原机构上的所有外力、所有的质
F3
量和转动惯量等效（转换）到等效构
件上，
等效的原理（功能原理）：即在某 一时间间隔内作用在原系统上所有外力 的功等于系统动能的改变量。
机械动力学
Chapter3单自由度机械系统动力学
§3-3等效力学模型
机械动力学
Chapter3单自由度机械系统动力学
§3-2作用在机械上的力
二、三相异步电机的机械特性
1、图示的特性：
▼AC段：运转稳定。当外载荷↑机 械减速时→输出力矩↑→并与外载 荷达到新的平衡 ▼AD段：运转不稳定。
当外载荷↑机械减速时→输出力矩 ↓→与外载荷不能达到新的平衡→ 转速进一步↓→停车。
其中：
MH
9550PH nH
,H
30
nH
,
0
30 n0
M K M H , M D 1M H ,K 0 (0 H )( 2 1)
机械动力学
Chapter3单自由度机械系统动力学
§3-2作用在机械上的力
二、三相异步电机的机械特性
2、三相异步电机相关数据
▼特性曲线上的四个特征点及坐标：
A: (MK ,K ),B : (MH ,H ), C : (0,0 ), D : (M D,0)
▼为计算方便，常取作定轴转动或直线运动的构件作为等效构件。 实际应用中，多取驱动构件作为等效构件。
▼确定等效构件位置的变量称为广义坐标。若能求出该广义坐标， 则机构中其他构件的真实运动即可求出。
▼当取直线运动的构件为等效构件时，作用在系统上的所有外力 折算到等效构件上为等效力；质量折算后为等效质量。
机械振动-第02课 单自由度系统：无阻尼自由振动
离散系统模型约定，系统的质量集中在惯性 元件，弹性元件无质量。实际上，没有无质 量的弹性元件。
• 当弹性元件的质量比系统总质量小得多时，略去 弹性元件的质量对系统的振动特性计算结果影响 不大。
• 弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去 它会使计算得到的固有频率值偏高。
第二章 单自由度系统 无阻尼自由振动
x
w2 n
x
0
求解方程(1)，可以得到
（1）
x A1 coswnt A2 sin wnt Acos(wnt )
由初始条件 x(0) x0, x(0) x0 ，可得
A1 x0
A2 x0
x0 Acos() x0 Aw sin()
A x02 (x0 / wn )2
通常称系统在动能意义下的质量为系统的等效质量， 它并不等于系统惯性元件的质量加上其它元件的质 量。
第二章 单自由度系统 无阻尼自由振动
等效质量的计算步骤
1. 假定系统的速度分布模型（模式），一般的 速度分布可以取为与变形分布模型一致；
2. 以某一特定点的速度为参量计算系统的动能； 3. 从系统动能表达式中提出该点速度平方的
列出系统运动微分方程进而求出系统固有频率是一 种常用的方法，这需要知道系统的刚度和质量。
还有其它地方法可用来求单自由度系统地固有频率：
• 静态位移法（单位加速度法） • 能量法
第二章 单自由度系统 无阻尼自由振动
静态位移法（单位加速度法）
静止时在重力的作用下弹簧被压缩，根据虎克定律有 k mg ，因而 w2 k m g
固有频率。
第二章 单自由度系统
无阻m尼x自 由kx振动0
单自由度刚性动力学
则力矩形式的运动方程为
将
引入积分变换
设
当给定初始值和后，即可进一步求出各值下的角速度。
01
02
03
04
采用计算精度较高的四阶龙格—库塔法，则可得迭代公式为
化为
令
若等效力矩可以表示为两个函数之和，其中一个为角速度的函数，另一个为转角的函数。此时采用能量形式的运动方程式求解比较简单。 设等效驱动力矩和等效阻力矩为
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效力学模型
实质：被研究系统的动力学问题转化为一个 等效构件的动力学问题。 内容：将力、力矩、质量等效地转化到同一 构件上。 原理：功能原理 方法：选定坐定轴转动或直线运动的主动构 件。
01
等效力学模型
02
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
03
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
由上式可得：
如果需要求出用时间函数表示的运动规律
把该式代入上式即可确定位置与时间的关系。
时，可由
积分得：
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 等效转动惯量是常数，等效力矩是角速度的函数 时运动方程的求解 在仅含定比传动机构的机械系统中，有两种求解方法：解析法和数值法。当等效力矩的函数式易于积分时用解析法求解；当其函数式过于复杂而不能积分或者等效力矩直接以一系列离散数值给出时，则用数值法。 运动方程的求解方法
由上式可得：
Ie0、ω0分别为初始位置 0时的等效转动惯量和角速度； 、 分别为角位移 时的等效转动惯量和角速度； 为转角 的函数的等效力矩。
是以表达式形式给出且可积分时，可得到
解析解；若不可积分时，只能用数值积分法来求 解。
等效质量与转动惯量
01-2 单自由度动力学实例
Jg1——减速箱输 入轴系转动惯量
RQ——曲柄装置 质心半径
Jg2——减速箱传动 Jg3——减速箱输出 mQ——曲柄装置 轴系转动惯量 轴系转动惯量 质量
τ——曲柄平衡装 置偏置角度
mL——连杆质量
LP——连杆质心距 曲柄销的长度
J量
my——游梁组件的 LB——游梁质心距 JB——游梁对回转 质量 回转中心距离 中心转动惯量
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School of Mechanical Engineering, Yanshan University
解: (1)系统简化 等效驱动力:
M e M d mgv M d mg R i
1 M e M d mg M d mgR i
等效转动惯量:
J L 3J M
JM
JL 1.03 102 kg .m 2 3
查手册取JM= 1.1×10-2kg.m的电机。 该电机最大扭矩Tmax=60Nm；最高转速nmax=4000r/min。 根据Tmax、nmax可以求得电机动态响应时间。
Tmax 2 nmax J J 60ta
P 2 L2 C 2 4 arccos( ) 2 PL
C 2 L2 P 2 x arccos( ) 2CL
x
mg
2 2e 3t
t↑ ω→2
实例2 风力发电机组的制动系统设计
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风力发电系统主要结构：叶片、增速器、制动盘和发电机
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