初三期末复习(一元二次方程、命题与证明、相似三角形)

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初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料习是一架保持平衡的天平，一边是付出，一边是收获，少付出少收获，多付出多收获，那么你们知道关于初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料大全，欢迎参阅。

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

相似三角形知识点九年级

相似三角形知识点九年级相似三角形是几何学中一个重要的知识点，它在解决实际问题和推导其他几何性质时起着关键作用。

相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在初中数学中，我们主要学习三个与相似三角形相关的知识点：相似三角形的判定条件、相似三角形的性质以及相似三角形的应用。

首先，我们来看相似三角形的判定条件。

两个三角形相似的必要条件是它们的对应角相等，即如果两个三角形的三个内角分别相等，那么它们就是相似的。

进一步地，我们还可以通过判断它们的对应边之间的比例关系来确定两个三角形是否相似。

如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们也是相似的。

这一判定条件是解决相似三角形问题时的重要思路。

接下来，我们来研究相似三角形的性质。

首先，相似三角形中的对应边比例相等。

也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例关系是恒定的。

其次，相似三角形的对应角相等。

这个性质与相似三角形的判定条件相呼应。

最后，如果两个三角形相似，那么它们的面积之间的比例关系等于对应边的平方比。

这个性质在解决计算相似三角形面积的问题时非常有用。

最后，让我们来看一下相似三角形的应用。

相似三角形广泛地应用于测量和计算问题中。

比如在测量高建筑物的高度时，我们可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影长度和太阳高度的关系来计算建筑物的高度。

此外，在地图制作中，我们也可以利用相似三角形来确定地图上各个地点的实际距离。

在几何推导中，相似三角形也是许多几何性质的基础，如正弦定理和余弦定理等。

相似三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它的判定条件、性质和应用广泛地应用于各种实际问题以及数学推导中。

通过学习相似三角形，我们不仅可以提高解决实际问题的能力，还能够在进一步学习几何知识时打下坚实的基础。

因此，在学习数学的过程中，我们应该重视相似三角形的学习和应用。

初三数学提高(内容：全等三角形相似三角形三个二次：二次根式一元二次方程二次函数)

内容：全等三角形相似三角形三个二次：二次根式一元二次方程二次函数考点一、全等三角形（3~8分） 1、全等三角形的概念能够的两个图形叫做全等形。

能够的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

就是三角形中相邻两角的公共边，就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定（1SAS ”）（2ASA ”）（3”）。

4（1（2（3基础1. ∴AB ＝DE （）2.如图, 已知AB=AC, BE ⊥AC 于E, CF ⊥AB 于F, BE 、CF 交于点D. 求证: (1)△ABE ≌△ACF; (2)点D 在∠BAC 的平分线上.3. 已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF求证：AC 与BD 互相平分A BEO F巩固如图∠ABC=900，AB=BC ，AE 是角平分线，CD ⊥AE 于D 。

求证：CD = 21AE 提高１.如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边①DFE △③DE A ．①②③２.３. （1）（2）FDECB AC４.如图甲，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．如果AB AC =，90BAC =∠，解答下列问题：①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF BD ，之间的位置关系为，数量关系为．②当点D 在线段BC 的延长线时，请画出图形，①中的结论是否仍然成立，为什么？1234512、计算： (1) 25341122÷⨯3．2(-C（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22(0)(0)a a a a =≥=≥与（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2a a （30,0)0,0)a b a b =≥≥≥≥（40,0)0,0)a b a b =≥>=≥>（5）(a 12、已知1（1（2A 4-≥x B 2>x C 24≠-≥x x 且 D 24≠->x x 且（3）下列各运算，正确的是（）A 565352=⋅B 532592519==⎪⎭⎫⎝⎛-⨯- C ()12551255-⨯-=-⨯- D y x y x y x +=+=+2222（40)y >是二次根式，化为最简二次根式是（）0)y >B0)y >0)y > D ．以上都不对（5）化简2723-的结果是（）33A B C D --2、计算．(1)453227+-(3)3、已知a 1（1）=a A a,b（2A35（3）把(A B CD-2、计算：（1）5426362+-- （2）（3）22(-3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：= = (1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想1544的变化结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n 为任意自然数，且n ≥2)表示的等式并进行验证．1.通常数项23 例如：不解方程，判断下列方程根的情况：(1) x(5x+21)=20 (2) x 2+9=6x (3)x 2—3x = —54．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2 则x 1 +x 2= ；x 1 ²x 2= ____________ 例如：方程2x 2+3x —2=0的两个根分别为x 1，x 2 则x 1+x 2= ；x 1 ²x 2= _________交流提高请形成本章的知识结构。

九年级数学相似三角知识点

九年级数学相似三角知识点数学是一门重要且有趣的学科，其中相似三角形是数学中一个重要的概念。

相似三角形的研究帮助我们理解和解决各种实际问题。

在九年级数学中，相似三角形是一个重要的知识点。

本文将详细介绍九年级数学中与相似三角形相关联的几个知识点，以加深对这个概念的理解。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

它们的对应角度相等，对应边的比例也相等。

相似三角形有很多有趣的性质。

例如，如果两个三角形相似，则它们的对应边长比相等。

根据这个性质，我们可以通过已知条件推导出未知条件。

此外，两个相似三角形的高度、中线、角平分线也是成比例的。

二、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，我们需要使用一些判定方法。

最常用的判定方法有AAA（角-角-角）相似判定法、SAS（边-角-边）相似判定法和SSS（边-边-边）相似判定法等。

这些方法非常重要，可以帮助我们准确地判定两个三角形是否相似，从而在解决问题时提供正确的切入点。

三、相似三角形的比例关系相似三角形具有重要的比例关系。

在相似三角形中，我们可以根据已知条件求解未知条件以及应用比例关系解决实际问题。

例如，我们可以利用两个相似三角形的对应边长比来计算未知长度。

在解决实际问题时，掌握比例关系是非常重要的一项技能。

四、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用。

例如，我们可以使用相似三角形的原理来计算高楼、高塔的高度。

此外，相似三角形还可以应用于已知影子长度和物体高度计算等问题。

掌握了相似三角形的知识，我们可以更好地理解和解决这些实际问题。

五、相似三角形的构造在九年级数学中，我们还需要学习相似三角形的构造。

构造相似三角形时，我们可以通过已知条件构造一个相似的三角形，从而解决问题。

构造相似三角形的方法有很多，如底角平分线、相似三角形的角平分线、相似三角形的中线等。

掌握这些构造方法可以为我们解题提供更多的思路和方法。

结语：相似三角形是九年级数学中一个重要的知识点，它有广泛的应用，并能够帮助我们解决各种实际问题。

九年级上册数学《一元二次方程期末复习资料》

一元二次方程复习资料一、一元二次方程的概念（一）知识点:一元二次方程的概念：一元二次方程的一般形式：一元二次方程的解: （二）典型例题与练习1. 若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为。

2. 一元二次方程（a+1）x 2﹣ax+a 2﹣1=0的一个根为0，则a= 。

3. 若1x =是关于x 的一元二次方程230x mx n ++=的解，则62m n += 。

4.若11x =-是关于x 的方程250x mx +-=的一个根，则此方程的另一个根2x = 。

5.已知关于x 的的一元二次方程20x x k -+=的一个根是2，则k 的值是。

6.已知x =3是方程260x x k -+=的一个根，则k = 。

7. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是。

二、一元二次方程的解法（一）知识点:直接开平方法配方法公式法因式分解法（二）典型例题与练习1. 方程()12x x -=的解是（）A.1x =-B. 2x =-C. 1212x x ==-，D.1212x x =-=， 2.方程()()565x x x --=-的解是（）A ．5x = B. 5x =或6x = Ｃ. 7x = Ｄ. 5x =或7x =3.已知三角形两边长是方程0652=+-x x 的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是．4. 若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一根是0，则m 的值等于 5.一元二次方程x 2＋x －2＝0的解是____________________．6.方程(1)(2)2(2)x x x -+=+的根是．7.一元二次方程2340x x +-=的解是。

8. 方程2560x x --=的两根为( )A ． 6和-1B ．-6和1C ．-2和-3D ．2和39. 解方程：（1）2210x x --= （2） x 2+x －1=0．（3）22760x x -+= （4）24)12(3+=+x x x（5）2)3(3)3(222--=-y y y y （6）4)2)(1(22=++-+t t t t10.已知关于x 的方程a a x a x a ,0)1()1(2)2(2=++---为何值时，（1）有一个实数根（2）有两个相等的实数根（3）有两个不等实数根11.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为。

九年级数学相似三角形知识点

九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。

也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。

例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。

3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。

- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。

- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。

4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。

- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。

- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。

5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。

- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。

即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。

- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。

6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。

- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。

7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。

2023年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

若两个图形形状与大小都相似，这时是相似图形旳一种特例——全等形．
3.相似多边形旳性质：假如两个多边形是相似形，那么这两个多边形旳对应角相等，对应边旳长度成比例。
注意：当两个相似旳多边形是全等形时，他们旳对应边旳长度旳比值是1.
知识点二：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b旳长度分别是m、n，那么就说这两条线段旳比是a：b＝m：n（或）
②两个位似图形旳位似中心只有一种。
③两个位似图形也许位于位似中心旳两侧，也也许位于位似中心旳一侧。
④位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，因此它具有相似图形旳一切性质。
②位似图形是一种特殊旳相似图形，它又具有特殊旳性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心旳距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不通过位似中心旳对应线段平行。
3.推论旳逆定理：假如一条直线截三角形旳两边(或两边旳延长线)所得旳对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形旳第三边. (即运用比例式证平行线)
4.定理:平行于三角形旳一边,并且和其他两边相交旳直线,所截旳三角形旳三边与原三角形三边对应成比例.
5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得旳线段相等，难么在另一条直线上截得旳线段也相等。
三角形相似旳鉴定定理：
鉴定定理1：假如一种三角形旳两个角与另一种三角形旳两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用旳最多)
鉴定定理2：假如一种三角形旳两条边和另一种三角形旳两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

数学九年级相似知识点

数学九年级相似知识点相似是数学中一个非常重要的概念，也是数学九年级的一个重要内容。

相似的概念和知识点在几何形体、比例关系、三角形以及杂项的题目中都有应用。

接下来，我将从这些方面逐一介绍数学九年级的相似知识点。

一、相似三角形的概念及性质相似三角形是指具有对应角相等、对应边成比例的两个三角形。

相似三角形的性质包括以下几点：1. 对应角相等性质：两个相似三角形的对应角相等。

2. 对应边成比例性质：两个相似三角形的对应边之比相等。

二、相似三角形的判定方法1. 直角三角形相似判定：两个直角三角形的斜边比相等时，它们是相似的。

2. 边角相等判定：如果两个三角形的一个角和两边分别与另一个三角形的一个角和两边对应相等，则它们是相似的。

3. 三角形三边成比例判定：如果两个三角形的三条边之比相等，则它们是相似的。

三、相似三角形的计算在相似三角形中，可以利用相似三角形的对应边成比例性质进行计算，常见的计算方法包括：1. 边长比计算：已知一个相似三角形的边长比，可以通过倍数关系计算另一个相似三角形的边长。

2. 面积比计算：已知一个相似三角形的面积和边长比，可以通过面积的倍数关系计算另一个相似三角形的面积。

四、相似三角形在几何形体中的应用相似三角形的概念和性质在几何形体中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 平行线分线段：两条平行线与一条直线相交时，可以利用相似三角形的边长比计算线段的长度。

2. 高度比计算：在平行四边形中，可以利用相似三角形的高度比计算高度。

3. 面积比计算：在平行四边形和三角形中，可以利用相似三角形的面积比计算面积。

五、相似三角形的应用案例以下是一个应用相似三角形的案例：题目：已知两棵高树之间的距离为30米，从两棵树的底部以及一定距离的地方观察这两棵树的顶部所得的视角分别为60度和45度，求这两棵树的高度差。

解析：根据题目描述，我们可以根据两个三角形的相似性质进行计算。

设较矮的树的高度为h，则较高的树的高度为h + Δh。

九年级数学相似三角形复习

A
D
B
E
C
（3 ）
做一做 4、如图（4），DE∥BC，则△ ABC ∽△ AED 若AE=6 ，AB=2，AC=1，则CD= 5、如图（5），P是△ ABC 中AB边上的一点，要使△ACP ∽△ABC需添加一个条件为 ∠ACP= ∠B或∠APC= 。 ∠ACB或AB/AC=AC/AP
A D
，
4
ห้องสมุดไป่ตู้
例2:直角三角形铁片ABC的两条直角边AB、BC的长分别是3和4，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计 )
C
图1
D E
图2
D
B
E
A B F A
G H
E
P
A B B （4） C (5)
C
牛刀小试Ｒt △ABC的斜边AB上有一动点Ｐ（不与点A、B重合），过Ｐ点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有多少条，请你画出来。
D
F E
渐入佳境例１．在直角坐标系中，AB=2，OA=7， OC=3， AB⊥X轴于点A，C在y轴上，如果点P在线段OA上运动（点P不与O、A点重合），使得以P、A、B为顶点的三角形与以 P、O、C为顶点的三角形相似，则点P的坐标是多少?
几种常见的相似图形:
A字型
△ABC∽△ADE
E A D C
DE∥BC
AD AE DE AB AC BC
X字型
B
△ABC∽△ADE
DE∥BC
AD AE DE AB AC BC

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。

当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。

需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。

当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。

相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。

比的前项为a，后项为b。

比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。

比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。

其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。

例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。

5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。

注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。

九年级相似三角形知识点总结

九年级相似三角形知识点总结在九年级的数学课堂上，我们学习了很多与几何形状有关的知识，其中一个重要的内容就是相似三角形。

相似三角形是指两个具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在本文中，我们将对九年级相似三角形的知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这些知识。

1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

如果两个三角形满足这两个条件，我们可以说它们是相似的。

2. 相似三角形的判定在判断两个三角形是否相似时，我们可以使用以下几种方法：（1）AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且有一个对应边的比例相等，则它们是相似的。

（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的三条边的比例都相等，则它们是相似的。

通过掌握这些判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

3. 相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质对于解决与相似三角形相关的问题非常有帮助。

（1）相似三角形的对应边比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有a/b=c/d=e/f。

（2）相似三角形的角度比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角度之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，那么有A/A'=B/B'=C/C'。

（3）相似三角形的高线比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应高线之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有h(a)/h(d)=h(b)/h(e)=h(c)/h(f)，其中h(x)表示与边x相对应的高线的长度。

【初中数学】一元二次方程期末知识点复习：九年级上册数学

【初中数学】一元二次方程期末知识点复习：九年级上册数学
一.一元二次方程的一般形式:a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研
究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解：一元二次方程的四个解需要灵活应用。

直接水准测量法虽然简单，但适用范围小；公式法应用范围广，但计算复杂，容易产生误差；因式分解法应用范
围广，计算简单，是首选方法；匹配方法使用较少
3.一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0(a≠0)时，δ=b2-4ac叫一元二次方程根
的判别式.请注意以下等价命题：
δ=有两个不相等的实根；δ=0有两个相等的实根；δ=无实根；
4.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x)：
（1）第一年是a，第二年是a（1+x），第三年是a（1+x）2
(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和。

以上是对《数学网络：九年级第一卷数学》中一元二次方程的最终知识点的回顾，你
还满意吗？希望能帮助你！。

中考数学相似知识点总结

中考数学相似知识点总结相似性是数学中一个重要的性质，它在几何学、代数学、物理学等多个领域都有着广泛的应用。

在中考数学中，相似性是一个重要的知识点，涉及到相似三角形、比例、相似比等内容。

本文将对中考数学中的相似知识点进行总结，希望对广大中学生的学习有所帮助。

1.相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

两个相似三角形的对应角相等，对应边的比值相等。

在中考数学中，相似三角形是一个重要的知识点，涉及到相似三角形的判定、性质和应用等内容。

（1）相似三角形的判定：两个三角形是相似三角形的条件有两种：a. 两个三角形的对应角相等。

即如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

b. 两个三角形的对应边的比值相等。

即如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

（2）相似三角形的性质：相似三角形的性质有很多，其中比较重要的有：a. 相似三角形的对应角相等。

即两个相似三角形的对应角是相等的。

b. 相似三角形的对应边的比值相等。

即两个相似三角形的对应边的比值是相等的。

c. 相似三角形的周长和面积的性质。

如果两个三角形是相似的，那么它们的周长和面积的比值等于它们边长和面积的比值。

（3）相似三角形的应用：相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。

例如地图的绘制、建筑物的设计、影视摄影等领域都涉及到相似三角形的知识。

2.比例比例是指两个或多个量之间的相等关系。

在中考数学中，比例是一个常见的知识点，涉及到比例的意义、性质、计算和应用等内容。

（1）比例的意义：比例表示了两个或多个量之间的相等关系，反映了事物之间的数量关系。

比例常用于描述事物之间的大小关系、速度关系、长度关系、面积关系等。

（2）比例的性质：比例具有以下几个性质：a. 交叉乘积相等。

即如果a:b=c:d，那么ad=bc。

b. 反比例的意义。

即如果a:b=c:d，那么b:a=d:c。

c. 等比例线段的性质。

即如果a:b=b:c，那么a:c是等比例线段。

九年级相似的知识点总结

九年级相似的知识点总结相似的知识点总结在九年级的学习中，我们涉及了许多相似的知识点，这些知识点之间存在着一定的联系和相似之处。

本文将从各个学科角度，总结九年级不同学科中相似的知识点。

一、数学知识点总结1. 线性方程组与二元一次方程：在解决问题中，我们经常会遇到多个未知数的线性方程组和只有两个未知数的二元一次方程。

在解决这两类问题时，我们通常使用的方法和步骤是相似的。

2. 几何中的相似三角形和全等三角形：相似三角形和全等三角形是几何中重要的概念。

相似三角形的对应角相等，对应边成比例；全等三角形的对应边和对应角完全相等。

在证明和应用这两个概念时，我们需要运用类似的思路和方法。

3. 概率与统计中的频率和概率：在概率与统计中，频率是指某一事件在重复实验中出现的次数与重复实验次数的比值，而概率是指某一事件发生的可能性大小。

虽然频率和概率的计算方法略有不同，但它们都是用来描述事件发生概率的重要指标。

二、物理知识点总结1. 动能与势能：在物理学中，动能和势能是两个重要的能量概念。

动能是物体由于运动而具有的能量，而势能是物体由于位置或形态而具有的能量。

在理解和计算这两种能量的变化和转化时，我们需要掌握相似的物理原理和计算方法。

2. 机械功与功率：机械功是指力对物体作用在位移方向上的作用，而功率则是指单位时间内所作的功。

在解决与机械功和功率相关的物理问题时，我们需要运用类似的公式和计算方式。

三、化学知识点总结1. 酸碱中的pH值：酸碱溶液中的pH值是用来表示溶液酸碱程度的指标，pH小于7表示酸性，大于7表示碱性，等于7表示中性。

在酸碱溶液的判定和计算中，我们需要运用相似的方法和计算方式。

2. 物质的熔点与沸点：物质的熔点是指物质从固体到液体的温度，而沸点是指物质从液体到气体的温度。

在实验和应用中，我们通常需要掌握物质的相变温度和相变条件。

四、生物知识点总结1. 昆虫和节肢动物的特征：昆虫和节肢动物都属于动物界中的无脊椎动物，它们具有一些共同的特征，如外骨骼、分节体、复眼等。

初三数学：《相似三角形》知识点归纳

初三数学：《相似三角形》知识点归纳
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)

九年级数学相似三角形知识点汇总参考一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l 1//l 2//l 3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC ，则或或或基本图形(3): 若AC//BD ，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC. 基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB.4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.二、黄金分割 1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC 2＝AB·BC)，C 点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C.分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC 2＝AB·CB，设AB ＝，AC ＝x ，那么 CB ＝－x ，由AC 2＝AB·CB，得：x 2＝·(－x)＝0，根据求根公式，得：x ＝整理后，得：x 2＋x －∴(不合题意，舍去)，即AC ＝AB≈0.618AB，则C 点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C. 作法：如图：(1)过B 点作BD ⊥AB ，使BD ＝AB.(2)连结AD ，在AD 上截取DE ＝DB.(3)在AB 上截取AC ＝AE. 则点C 就是所求的黄金分割点.证明：∵AC ＝AE ＝AD －AB ，而AD ＝∴AC ＝.5-1三、相似三角形 1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC 和△DEF 相似，可以写成△ABC ∽△DEF ，也可以写成△DEF ∽△ABC ，读作△ABC 相似于△DEF. （3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. （4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.四、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 诠释：设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.n a a nn a a n -n -m a m n a mnk a ka k 0,a 0且≠≠ka ||||||ka k a =ka 0k >ka a 0k <ka a k 0,a=0=或0ka =ka k a（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）（向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A 、B 、C 三点的共线若存在实数λ，使 .要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.ka m n 、()()m na mn a =()m n a ma na +=+m （+b）=m a a mb +a 0a 0a a a =01a a a=b a m b ma =b m a=m b a a 0≠a 0=b 0=m b ma =a m b ma =b a b a m b ma =⇔AB //BC ⇔AB BC λ=12,e e a 12,λλ1122a e e λλ=+（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系.12,e e 12,e e 1122a e e λλ=+12,e e。

数学九年级相似重点知识点

数学九年级相似重点知识点相似是数学中一个重要的概念，在数学九年级的学习中占据着重要的地位。

相似涉及到几何图形的形状和尺寸的比较，它们之间存在着一定的关系和性质。

本文将介绍数学九年级相似的重点知识点，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

一、相似三角形相似三角形是相似中最基本的概念，其定义是：在两个三角形中，如果对应角相等，则这两个三角形是相似的。

根据相似三角形的定义，可以得到以下重要结论：1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而这个角的两边与另一个三角形的两边成比例，则这两个三角形是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，则这两个三角形是相似的。

二、相似比例相似三角形中，对应边之间的比例关系也是需要注意的一个重点知识点。

假设有两个相似三角形，它们的三个顶点分别为ABC和A'B'C'，则可以得到以下比例关系：1. AB / A'B' = BC / B'C' = AC / A'C'：三角形对应边之间的比例关系。

2. AB / BC = A'B' / B'C' = AC / A'C'：三角形邻边和对角线之间的比例关系。

三、相似图形除了三角形，其他几何图形也可以是相似的。

在数学九年级中，常见的相似图形包括矩形、正方形和圆。

以下是关于这些相似图形的重点知识点：1. 矩形的相似性质：如果两个矩形的对应边长成比例，则这两个矩形是相似的。

2. 正方形的相似性质：所有正方形都相似，因为它们的边长相等。

3. 圆的相似性质：所有圆都相似，因为圆不仅可以通过缩放改变大小，也可以通过旋转改变方向。

四、相似的应用相似的概念在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的相似应用问题：1. 长度比例应用：根据两个相似图形的边长比例，计算缩放前后的尺寸。

九年级相似重点知识点

九年级相似重点知识点一、代数式的乘法和除法九年级的数学学习中，相似重点知识点之一是代数式的乘法和除法。

代数式是由字母和数字通过运算符号组成的表达式，其中字母表示数，数字表示常数。

在进行代数式的乘法和除法时，需要遵循一定的规则和步骤。

1. 代数式的乘法在进行代数式的乘法时，需要将各项按照乘法法则进行相乘。

乘法法则可以总结为：a) 相同底数的字母相乘，指数相加。

例如，a² * a³ = a^(2+3)= a^5。

b) 不同底数的字母相乘，直接相乘。

例如，a * b = ab。

c) 带有数字的字母相乘，可以将数字与字母分别相乘。

例如，3a * 2b = 6ab。

2. 代数式的除法在进行代数式的除法时，需要将被除式除以除数，并根据除法法则进行简化。

除法法则可以总结为：a) 相同底数的字母相除，指数相减。

例如，a^5 / a² = a^(5-2) = a³。

b) 不同底数的字母相除，直接相除。

例如，a / b = a/b。

c) 带有数字的字母相除，可以将数字与字母分别相除。

例如，6ab / 3a = 2b。

二、相似三角形的性质和判定另一个九年级数学中的相似重点知识点是相似三角形的性质和判定。

相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。

在学习相似三角形的性质和判定时，需要掌握以下内容：1. 相似三角形的性质a) 对应角相等：两个相似三角形的对应角相等，即三个内角两两相等，记作∠A≌∠D，∠B≌∠E，∠C≌∠F。

b) 对应边成比例：两个相似三角形的对应边成比例，即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。

c) 边长比例：两个相似三角形的任意两边之比相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

2. 相似三角形的判定a) AAA判定法：若两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形相似。

即若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC ∽△DEF。

b) AA判定法：若两个三角形有两对对应角相等，则这两个三角形相似。