中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文

题目: 中心极限定理与大数定理的关系

系别: 渤海大学

专业: 数学系

班级: 2002级1班

姓名：于丹

指导教师：金铁英

完成日期：2006年5月19日

中心极限定理与大数定理的关系

于丹

（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）

摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。

本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。

关键词：大数定理中心极限定理收敛性

The relation of the central limit theorem and large

numbers law

Yu Dan

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability.

This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem .

Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence.

引言

中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论随机变量序列的极限问题。它们是概率论中比较深入的理论结果。中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布，这一事实阐明了正态分布的重要性。中心极限定理也揭示了为什么实际应用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉。

本文讨论的主题是大数定理和中心极限定理，通过列举一些例子让我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清楚了大数定理和中心极限定理之间的关系。

一 随机变量的收敛性

随机变量收敛性的定义：设有一列随机变量12

,,ηηη，如果对于任意的0ε>，

有lim ()1n x P ηεη→∞-<=则称随机变量序列{}n

η依概率收敛于η，并记作lim P

n x ηη→∞

−−→或()P n n ηη−−→→∞。

下面给出随机变量收敛的几个性质： 1.设12(),(),()

F x x x F F 是一列分布函数，如果对于()F x 的每个连续点x ,都有

lim ()()n x x F x F →∞

=成立，则称分布函数列{}()n x F 弱收敛于分布函数()F x ，并记作()()n x F x F ω

−−→。

2.若随机变量序列12

,ηη以概率收敛于随机变量η，即()P

n n ηη−−

→→∞则相应的分布函数列12(),()

F x F x 弱收敛于分布函数()F x ，即()()()n x F x n F ω

−−

→→∞ 3.随机变量序列C P

n ηη−−

→≡（C 为常数）的充要条件是 ()()n F x F x ω

−−→基数 4. 设{}{}{}12,n n kn ξξξ是k 个随机变量序列，并且,(1,2,,)P

in i a n i k ξ−−

→→∞=又12(,,)k R x x x 是k 元变量的有理函数，并且12(,,

)k k a a a ≠±∞，则有

12(,,

)P

n n kn R ξξξ−−→

12(,,

),k R a a a n →∞成立。

二 大数定理

大数定理主要说明大数次重复试下所呈现的客观规律，若12,,

ξξξ∞是随机变量

序列，如果存在常数列12,,n

b b b ，使得对任意的0ε>，有1

l

i m {}1n

i

i n x P

b n

ξ

ε=→∞

-<=

∑成立，则称随机变量序列{}1ξ服从大数定理。 （一）大数定理的引入

在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时，也看到在进行大量独立重复试验时“平均值”也具有稳定性，大数定理正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性。同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”再依据概率收敛的意义下逼近某一常数。

此外我们所说的靠近并不是高等数学中的收敛，在高等数学中序列{}n x 收敛于a （即n n lim x a →+∞

=）指对任意给定的0ε>，可找到N 0>

，使得对所有的n N >，恒有n x a ε-<。而且不会有例外。

而在概率论中，序列{}n x 是非确定性变量（随机变量），{}n x 以概率收敛于a ，是指对任意给定的0ε>，当n 充分大时，事件{}n x a ε-<发生的概率很大，接近于1（即

{}n n lim x a 1ε→∞

-<=），但并不排除事件{}n x a ε-≥的发生可能性。

（二）常见的几种大数定理

在介绍大数定理之前，先介绍契贝晓夫不等式：

契贝晓夫不等式：设x 为随机变量，且有有限方差，则对任意0ε>，有

2

D(x )

P (X E(x))

εε-≥≤或者D(x)

P(X E(x))12

εε-<≤-

1、贝努里大数定理：设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次试验中出现的概率为P (0P 1)<<，则对任意的0ε>有n n lim P P 1n με→∞

⎧⎫

-<=⎨

⎬⎩⎭

或者