共轭复数的多项式性质

共轭复数的多项式性质

时贞军张祖华

平阴县职业教育中心山东平阴250400

曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826

摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。

关键词：复数共轭复数多项式。

据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate).

根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.

共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）；

加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i

乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac －bd)+(bc+ad)i.

除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。即：开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy 即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对

3运算特征（1）(z1+z2)′=z1′+z2′（2） (z1-z2)′=z1′-z2′（3） (z1·z2)′=z1′·z2′（4） (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0) 总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）。

4模的运算性质编辑① | z1·z2| = |z1|·|z2| ②③┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|

由3运算特征的总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）本文推断乘方的共轭等于共轭的乘方。

从而，有如下定理：

多项式（实系数或复系数）的共轭等于共轭的多项式。

【参考文献】

百度搜索。