共轭复数的多项式性质
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
复数的四则运算
1.复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则 (1)运算法则:设复数z (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 运算法则 那么： 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i. =(a-c)+(b即: 两个复数相加( 两个复数相加(减)就是实部与实部， 就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减). 虚部与虚部分别相加(
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
四、例题应用： 例题应用：
例1.计算 (5 − 6i) + (−2 −i) − (3+ 4i) 1.计算
解: (5 − 6i) + (−2 − i) − (3 + 4i)
= (5 − 2 − 3) + (−6 −1− 4) i = −11i
复数的四则运算
一、复习回顾： 复习回顾： 1.虚数单位 的引入； 虚数单位i的引入 1.虚数单位 的引入； 2.复数有关概念 复数有关概念： 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的代数形式: z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R)
复数的实部 a ，虚部 实数： 实数： b = 0(a ∈R); 虚数： 虚数： b ≠ 0(a ∈R);
2
+ i +LL+ i
3
2 3 4
2009
解：原式 = i + i + i + i + i ） ... + +
5 6 7 8
（i
共轭复数的零点和极点传递函数标准形式
共轭复数的零点和极点传递函数标准形式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!而且本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!共轭复数的零点和极点传递函数标准形式。
复数的四则运算修改后
1. z1 z2 z2 z1 (交换率 ); 2. ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )(结合率 )
一.复数的加法与减法
2、复数减法的运算法则 复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )－(c+di) = x+yi ， ∴(c+di )+(x+yi) = a+bi ， 由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－c ， y=b－d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
求证：
(1) 2 ; (3)1 2 0;
3
( 2) 1(1 0) ( 4) 3 1
在复数集中 , 方程x 1的三个解为: 1, , .
复数的除法
复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足
（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)
2
t 1， tan 1， 45 .
o
x1 1，x2 2 i.
例题选讲
1. 若复数z满足方程 zi i 1 ，则z ?
2. 求8＋6i的平方根 .
3、在复平面内，若复数 z 满足 z 1 z 1 4
，则 z 在复平面内对应点的轨迹方程为
.
交换率 结合率
分配率
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
实数集R中正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立，即
完整版)复数的定义
完整版)复数的定义第十四章复数一、复数的概念1.虚数单位：i规定：（1）i²= -1；（2）虚数单位i，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。
2.复数：形如a+bi，a∈R，b∈R的数叫做复数，a叫实部，b叫虚部。
3.复数集：所有复数构成的集合，复数集C={x|x=a+bi。
a∈R。
b∈R}。
4.分类：b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0,b≠0时为纯虚数，且R∪C。
5.两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例1：下面五个命题①3+4i比2+4i大；②复数3-2i的实部为3，虚部为-2i；③Z1，Z2为复数，Z1-Z2>0，那么Z1>Z2；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数；⑤两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例2：已知：Z=(m+1)+(m-1)i，m∈R，求Z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m的值。
例3：已知x²+y²-2i=6+(y-x)i，求实数x,y的值。
二、复数的几何意义Z=a+bi，a∈R，b∈R，与点(a,b)一一对应。
1.复平面：x轴叫实轴；y轴叫虚轴。
x轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。
2.Z=a+bi；连接点(a,b)与原点，得到向量OZ，点Z(a,b)，向量OZ，Z=a+bi之间一一对应。
3.模：Z=a+bi=OZ=√(a²+b²)。
注：Z的几何意义：令Z=x+yi(x,y∈R)，则Z=√(x²+y²)，由此可知表示复数Z的点到原点的距离就是Z的几何意义；Z1-Z2的几何意义是复平面内表示复数Z1，Z2的两点之间的距离。
三、复数的四则运算Z1=a+bi，Z2=c+di，a,b,c,d∈R。
1.加减法：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i即实部与实部，虚部与虚部分别相加减。
留数法求共轭复根-概述说明以及解释
留数法求共轭复根-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分将对本文的内容进行简要的介绍，主要包括留数法求解共轭复根的背景和意义。
在复数域中，共轭复数具有重要的性质和应用。
共轭复根是一个方程在复数域中的重要解之一，它由一个复数解和其共轭复数解组成。
共轭复根在数学、物理学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在电路分析、信号处理和控制系统中。
留数法是一种常用的数学分析方法，它被广泛应用于复变函数和复分析领域。
留数法可以用来计算复变函数在有奇点的点上的留数，而留数则可用于求解函数的积分、级数和合成函数等问题。
在求解共轭复根的问题中，留数法可以通过将方程转化为复变函数的形式，进而利用留数方法求解共轭复根。
文章的主要目的是介绍留数法求解共轭复根的基本原理和具体步骤，并通过示例来说明应用留数法求解共轭复根的具体过程。
通过本文的阐述，读者将能够了解留数法在求解共轭复根问题中的优势和局限性，并对留数法在实际问题中的应用前景进行展望。
接下来，本文将首先介绍留数法的基本原理，包括定义、性质和计算方法。
然后，将详细介绍留数法求解共轭复根的步骤，并通过示例来说明其具体操作过程。
最后，将对留数法求解共轭复根的优势和局限性进行总结，并展望其在实际问题中的应用前景。
通过本文的阅读，读者将能够获得对留数法求解共轭复根的深入理解，并为将来相关问题的研究提供基础和参考。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述留数法求解共轭复根的原理、步骤和示例，并对其优势和局限性进行总结，同时展望留数法在实际问题中的应用前景。
第二章将介绍留数法的基本原理。
我们将阐述留数的概念和定义，以及留数法在复变函数中的应用。
通过对留数法的基本原理的介绍，读者将对留数法求解共轭复根的过程有一个初步的了解。
第三章将详细讲解留数法求解共轭复根的步骤。
我们将按照一定的流程，介绍如何运用留数法来求解共轭复根。
通过具体的步骤分析和说明，读者将能够清楚地掌握留数法求解共轭复根的方法。
谈复数乘法几何意义的教学
谈复数乘法几何意义的教学这是复数乘法的几何意义，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
谈复数乘法几何意义的教学 1一、复数的三角形式：(z = r(cos theta + isin theta ))（(r>0)），(z)对应点(Z(rcos theta ,rsin theta ))，对应向量(overrightarrow {OZ} = (rcos theta ,rsin theta ))，(|z| =|overrightarrow {OZ} | = r)若({z_1} = {r_1}(cos {theta _1} + isin {theta _1}))，({z_2} = {r_2}(cos {theta _2} + isin {theta _2}))，则({z_1}{z_2} = {r_1}{r_2}[cos {theta _1}cos {theta _2} – sin {theta _1}sin {theta _2} + i(sin {theta _1}cos {theta _2} + cos {theta _1}sin {theta _2})])( = {r_1}{r_2}[cos ({theta _1} + {theta _2}) + isin ({theta _1} + {theta _2})])其几何意义是：({z_1}{z_2})表示把复数({z_1})对应的向量(overrightarrow {O{Z_1}} )，绕(O)旋转({theta _2})（({theta _2}>0)：逆时针，({theta _2}<0)：顺时针），然后再伸长或缩短为原来({r_2})倍得到的向量所对应的复数．可以用来处理旋转、伸缩变换有关问题。
如((1 + 2i) cdot i = (1 + 2i) cdot (cos 90^circ + isin 90^circ ))表示把向量(overrightarrow a = (1,2))沿逆时针旋转(90^circ )，长度不变．同理可得到：(dfrac{{{r_1}(cos {theta _1} + isin {theta _1})}}{{{r_2}(cos {theta _2} + isin {theta _2})}} = dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}[cos ({theta _1} – {theta _2}) + isin ({theta _1} – {theta _2})])二、在解析几何中的应用【例题】在平面直角坐标系(xOy)中，点(P)、(Q)分别为直线(l:2x + y – 3 = 0)与圆(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2})（(r>0)）上的动点，若存在点(P)、(Q)，使得(Delta OPQ)是以(O)为直角顶点的等腰直角三角形，则(r)的取值范围为_____________.复数三角形式乘法的几何意义及其应用复数三角形式乘法的几何意义及其应用【解析】设(Q(x,y))，其对应复数为(x + yi)，((x + yi) cdot (cos{90^circ}+isin{90^circ}))(=(x + yi) cdot i = – y + xi)，故(P( – y,x))代入(2x + y – 3 = 0)得(Q)的轨迹方程为(x – 2y – 3 = 0)由于(Q)点在圆(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2})上故(d = dfrac{{|2 – 0 – 3|}}{{sqrt 5 }} leqslant r)，解得(r geqslant dfrac{{sqrt 5 }}{5})谈复数乘法几何意义的教学 2复数的几何意义是什么1、复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。
复数与多项式---讲义
复数与多项式 讲义一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
I ．复数的四种表示形式 代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ）几何形式：复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量OZ . 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θi re z =.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实. II ．复数的运算法则加、减法：;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+乘法：;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++)];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r 除法：).0(2222≠++-+++=++di c i d c adbc d c bd ac bi c bi a)].sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r乘方（棣莫弗定理）：∈+=+n n i n r i r nn)(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）；开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k nk i nk r n Λπθπθ单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=ni n ππ2sin2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z Λ.单位根的基本性质有（这里记kk Z Z 1=，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k ，若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1，有Z nq+r =Z r ；（2）对任意整数m ，当n ≥2时，有mn m m Z Z Z 1211-++++Λ=⎩⎨⎧,|,,|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ).复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）. 代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
复数的加减乘除
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的,
但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实 部合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2) 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对 加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有： z1z2=z2z1;
3 4i 6i 8i
2
2 i
2
22 11 i 4i 2i 20 15i
(11 2i)(2 i)
例3.计算
解:
(1 2i) (3 4i)
五：巩固提升：
2 2 z （ D） 1、设：z=1+i, 求 z A(-1-i) B（-1+i） C（1-i） D （1+i）
a bi (a bi ) (c di ) c di
分母实 数化
公式背诵
复数四则运算： 设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2= (a+c)+(b+d)i z1-z2=.(a-c) +(b-d)i
z1z2 = (ac-bd)+(bc+ad)i
( ac bd ) ( bc ad ) i z1÷z2= c2 d 2
作业探讨：
1 3 1探究若： i, 2 2
课本：P112 A组 1（3）（4） 4（2）（4） 5（1）（4） 6
求：1
第四节 复数的概念及其运算(知识梳理)
第四节复数的概念及其运算复习目标学法指导1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 理解复数的有关概念是基础,解决复数问题的基本思路是把复数问题实数化.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化,因此要用类比的思想学习复数的运算问题.一、复数的有关概念1.复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位).2.复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)()()()()=0=0baba⎧⎪⎪⎧⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3.复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).5.复数的模向量OZ u u u r的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=22a b+(r≥0,r,a,b∈R).二、复数的几何意义1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数的几何表示复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ u u u r.三、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:12z z =i i a b c d ++=()()()()i i i i a b c d c d c d +-+-=22ac bd c d +++ 22bc adc d-+i(c+di ≠0). 2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). 四、与复数运算有关的结论 1.(1±i)2=±2i.2.1i 1i +-=i,1i 1i-+=-i. 3.(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2. 4.(a ±bi)2=a 2-b 2±2abi. 5.i i a b +=b-ai.概念理解(1)复数的代数形式z=a+bi(a,b ∈R),虚部是b 而不是bi,即实部和虚部都是实数.(2)一个复数若为纯虚数,则既要满足实数a=0,又要满足虚部b ≠0,两个条件缺一不可.(3)两个复数一般不能比较大小,只能说相等或不相等. (4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等. (5)虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.(6)复平面内表示复数z=a+bi 的点Z 的坐标为(a,b),而不是(a,bi). 五、复数的模 1.复数的模的相关结论设z 1,z 2是任意两个复数, (1)|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|,|12z z |=12z z (|z 2|≠0).(2)|1n z |=|z 1|n (n ∈N *).(3)||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线;②当||z 1|-|z 2||=|z 1+z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线.(4)||z 1|-|z 2||≤|z 1-z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1-z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线;②||z 1|-|z 2||=|z 1-z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线. 2.复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi,则|z|表示在复平面所对应的点Z(a,b)到原点的 距离.(2)若复数z=a+bi,z 0=a 0+b 0i,则|z-z 0|表示复平面内两点(a,b)与(a 0,b 0)间的距离,即两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.六、与复数概念有关的结论1.实数集R 与虚数集都是复数集的真子集且互为补集,即R ∪{虚数}=C,R ∩{虚数}= .2.z=a+bi=0⇔a=b=0.3.复数能比较大小的充要条件是复数为实数.4.i 2=-1.5.i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0.6.共轭复数的性质设z=a+bi,z=a-bi(a,b∈R),则(1)z+z=2a,z-z=2bi;(2)z=z;(3)|z|=|z|=22+,z·z=a2+b2=|z|2=|z|2;a b(4)z∈R⇔z=z;(5)z与z在复平面内所对应的点关于实轴对称.1.(2019·全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则z等于( D )(A)1+2i (B)-1+2i(C)1-2i (D)-1-2i解析:z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-1-2i,故选D.2.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为( C )(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)±2或0解析:21a+41+,则a=±2.故选C.3.(2018·杭州高级中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数为( B )(A)2-2i (B)2+2i(C)-2+2i (D)-2-2i解析:方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)可化为x2+4x+4+i(x+a)=0,由复数相等的意义得2440,0,x x x a ⎧++=⎨+=⎩解得x=-2,a=2,方程x 2+(4+i)x+4+ai=0(a ∈R)有实根b,故b=-2, 所以复数z=2-2i,所以复数z 的共轭复数为2+2i. 故选B.4.(2019·杭州市第二学期高三教学质量检测)已知复数z=1+i(i 是虚数单位),则211z z -+等于( A )(A)i (B)-i (C)1+i(D)1-i解析:211z z -+= 12i 2i -++=(12i)(2i)5-+-=5i5=i.故选A.考点一 复数的概念及分类 [例1] 复数z=(m 2+m-6)i+27123mm m -++为纯虚数,则实数m 的值为( )(A)2 (B)-3 (C)4 (D)3或4解析:由227120,30,60,m m m m m ⎧-+=⎪+≠⎨⎪+-≠⎩得m=3或m=4.故选D.处理有关复数的基本概念问题,关键找准复数的实部和虚部,把复数问题转化为实数问题来解决.1.若复数m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则实数m 的值为( C ) (A)0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2 解析:因为m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则()220,320,m m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩解得m=0.故选C. 2.复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( C )(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析:因为z=(3-2i)i=2+3i, 所以z =2-3i.故选C. 考点二 复数的几何意义[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设z=-3+2i,则在复平面内z 对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若复数z 满足z=()2i2i -- (i 是虚数单位),则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )(A)(425,325) (B)(-425,325) (C)(425,-325) (D)(-425,-325)解析:(1)由z=-3+2i,得z =-3-2i,对应点(-3,-2)位于第三象限.故 选C. 解析: (2)z=()2i2i --=i 44i 1+-=i 34i +=()i 34i 25-=425+325i, 所以在复平面内,z 对应的点的坐标是(425,325).故选A.判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b ∈R)的形式,其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限及坐标.1.在复平面中,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB 的中点C 对应的复数为( D )(A)-4+2i (B)4-2i (C)-2+i (D)2-i解析:(1+i)(2-i)=3+i,所以A,B 的坐标分别为(1,-3)和(3,1),所以线段AB 的中点C 的坐标为(2,-1),所以线段AB 的中点C 对应的复数为2-i,故选D.2.(2019·宁波高三上期末考试题)设i 为虚数单位,给定复数z=2(1i)1i-+,则z 的虚部为 ,模为 .解析:z=2(1i)1i-+=2i 1i -+=2i(1i)2--=-1-i, 故z 的虚部为-1,模为2.答案:-123.若复数z 满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.解:由复数模的几何意义可知,|z-3i|=5表示以(0,3)为圆心,以5为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离,由图可知,|z+2|的最大值为5+13,最小值为5-13.考点三 复数代数形式的运算[例3] (1)i 是虚数单位,复数7i34i ++等于( )(A)1-i (B)-1+i(C)1725+3125i (D)-177+257i (2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( )(A)-4 (B)-45 (C)4 (D)45解析:(1)复数7i 34i ++=()()()()7i 34i 34i 34i +-+-=2525i 25-=1-i.故选A.解析:(2)z=43i 34i +-=534i- =()()()534i 34i 34i +-+=()534i 25++=35+45i,所以复数z 的虚部是45,故选D.(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算,注意要把i 的幂化成最简形式.(2)将所求复数z 分离出来,利用复数运算法则求解.1.已知z=1i 1i+-,其中i 是虚数单位,则z+z 2+z 3+…+z 2 017的值为( C ) (A)1+i (B)1-i (C)i (D)-i解析:由于z=1i 1i+-=i, 所以z+z 2+z 3+…+z 2 017=504(i+i 2+i 3+i 4)+i=i, 故选C.2.已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,z 1·z 2是实数,求z 2.解:由(z 1-2)(1+i)=1-i ⇒z 1=2-i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1·z 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, 因为z 1·z 2是实数,所以a=4⇒z 2=4+2i.。
拉氏反变换共轭复根的求法
拉氏反变换共轭复根的求法拉氏反变换是信号处理中常用的一种方法，用于将频域中的信号恢复到时域。
当频域中的信号具有共轭复根时，求取其拉氏反变换需要采用特殊的求法。
本文将详细介绍拉氏反变换共轭复根的求法。
1. 拉氏变换和拉氏反变换简介在信号处理领域，拉氏变换和拉氏反变换是两个重要的概念。
拉氏变换可以将一个时域函数转换为一个复频率函数，而拉氏反变换则可以将一个复频率函数恢复为原始时域函数。
对于一个连续时间信号x(t)，其拉氏变换X(s)定义如下：X(s)=∫x∞(t)e−st dt其中，s是复数频率参数。
而对于一个连续时间信号X(s)，其拉氏反变换x(t)定义如下：x(t)=12πj∫Xγ+j∞γ−j∞(s)e st ds其中，γ是一个足够大的实数。
2. 共轭复根的定义和性质在信号处理中，共轭复根是指一个多项式的根中，成对出现的共轭复数根。
对于一个具有实系数的多项式，其共轭复根一定是成对出现的。
设多项式P(s)是一个具有实系数的多项式，其根为s1,s2,...,s n。
如果s i是s j的共轭复根，则有以下性质：•共轭复根成对出现：如果s i是s j的共轭复根，则s j也是s i的共轭复根。
•共轭复根在拉氏变换中表现为频域函数：如果x(t)的拉氏变换为X(s)，则x(t)中任意一个共轭复根在频域表示为a+bi和a−bi两个点。
3. 拉氏反变换共轭复根的求法当频域函数具有共轭复根时，求取其拉氏反变换需要采用特殊的求法。
下面将介绍一种常用的方法来求取拉氏反变换中的共轭复根。
假设频域函数为X(s)，其中包含了两个共轭复数r=a+bi和r∗=a−bi。
那么我们可以将频域函数表示为以下形式：X(s)=F(s)(s−r)(s−r∗)其中，F(s)是一个包含了其他根的多项式。
为了求取拉氏反变换，我们需要将X(s)分解成两个部分：X(s)=As−r+Bs−r∗其中，A和B是待求系数。
为了求取A和B的值，我们可以采用以下方法：步骤1：将s=r代入方程得到：X(r)=A r−r∗步骤2：将s=r∗代入方程得到：X(r∗)=B r∗−r步骤3：根据共轭复根的性质，我们可以得到r−r∗=2bi和r∗−r=−2bi。
高中数学的复数运算的公式分析
高中数学的复数运算的公式分析数学的学习中也有些的知识点是需要学生记忆的，下面是店铺给大家带来的有关于高中数学的复数运算的公式的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学的复数运算的公式1.知识网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于-1，即.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a + bi的数(其中);②实数—当b = 0时的复数a + bi，即a;③虚数—当时的复数a + bi; ④纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.⑤复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.(×)[为复数，而不是实数]若，则.(√) ②若，则是的必要不充分条件.(当，时，上式成立) 5. ⑴复平面内的两点间距离公式：. 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离. 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程. ②表示线段的垂直平分线的方程. ③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若，此方程表示线段). ④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若，此方程表示两条射线).⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. ②. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. 注：.6. 共轭复数的性质：，(a + bi)()注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零，此时两个复数是相等的]7⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论. ②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则 . 8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①. ②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 9. ⑴复数的三角形式：. 辐角主值：适合于0≤<的值，记作. 注：①为零时，可取内任意值. ②辐角是多值的，都相差2 的整数倍. ③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：10. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若>0，则有二不等实数根;若=0，则有二相等实数根;若<0，则有二相等复数根(为共轭复数). ②当不全为实数时，不能用方程根的情况. ③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.11. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：高中数学的知识点的口诀高中数学口诀一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
6.7 复数域和实数域上的多项式讲解
mr
其中， a0 为 f x 的首项系数，且 m1 m2 mr 0 f x
3
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
6.7.2 实数域上的多项式
定理 6.23 设 f x 为实系数多项式， 为 f x 的虚根，则 也是 f x 的根，且 与 的重数相同.
4
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
从而， x - , x - 都是 f x 的因式.
令 g( x) x x x2 x R x 因 g ( x) f ( x) (?) ，则可令 f ( x) g ( x)h( x), h( x) R x .
5
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
证 因 p x 不可约，则 0 ( p x )> 0 ，故 p x 在 C 内必有一个根
.若 为实数，则因 x - p x ，令 p x x q x ，但 p x 不可
约，则 q x c c 0 ，可见， p x c x ；若 为虚数，则 也 是 p x 的根， 从而 g x x x x 2 x 为 p x 的因 式，但 p x 不可约，则 p x b[ x 2 x ] (b 0) ，即 p x 是 含共轭虚根的二次多项式.
证 1 n 0 时， f x 有零个根，结论成立；
2 设 n 0 ，且当 n 1 时结论成立，而由定理 6.21 知： f x
必有一个根 .于是， x - f ( x ) .设
共轭变换及其性质的研究
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊数学与应用数学本科生毕业论文共轭变换及其性质的研究指导老师：谷勤勤学生姓名：黄越所在学院：数理学院专业名称：数学与应用数学班级： 091班学号： 099084083日期： 2013年 6 月┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工业大学毕业设计(论文)任务书课题名称共轭变换及其性质的研究学院数理学院专业班级数学与应用数学091班姓名黄越学号099084083毕业论文的主要内容及要求：1.在查阅相关文献的基础上，评述本课题相关背景及其研究意义。
2.本课题要求熟练掌握共轭变换的概念和共轭变换的性质，并且熟练的使用矩阵工具来解决共轭变换相关定理，要求掌握共轭变换同对称变换和正交变换之间的联系。
3.完成在此课题上已有的一些研究的整理，分析。
并且做出自己独立思考的成果，解决有关共轭变换的问题。
4. 写作过程要注重数学理论的构成；5. 论点要突出，论据要充分，要有自己的特色；6. 论文要注明参考文献不少于8篇，书写要规范，并为论文答辩做好准备。
指导教师签字：┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊共轭变换及其性质的研究黄越数理学院数学与应用数学摘要共轭变换在高等代数学中占有着重要的地位，共轭变换及其性质的研究把对称变换、反对称变换统一起来.并借助矩阵这个工具，利用对称矩阵，反对称的性质来研究欧氏空间中的共轭变换.本文首先给出变换的定义，并给出共轭变换的重要性质，结合共轭变换定义和性质并借助于矩阵，得到共轭变换相关的定理.最后，利用共轭变换与对称变换、正交变换之间的关系，通过共轭变换的性质来解决对称变换、正交变换的一些性质和定理的证明.关键词欧氏空间；线性变换；共轭变换┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊Study on conjugate transformation and its propertiesHuang YueSchool of Mathematics and Physics,Department of Mathematics and Applied MathematicsAbstractConjugate transformation plays an important role in Higher Algebra, Studying on the conjugate transformation and its properties unify symmetry transformation and antisymmetric transform.With the tool of matrix, using the properties of symmetric matrix and antisymmetric matrices to study the conjugate transformation of Euclidean space. In this paper, firstly, the definition of the and the important properties of conjugate transformation are given. Secondly, combining the definition of conjugate transformation and the properties of the conjugate transform and the tool of matrix we get some important theorems of conjugate transformation. At Last, according to the relationship between conjugate transformation and symmetry transformation, orthogonal transformation, we use the properties of conjugate transformation to solve some problem of properties and theorems of symmetric transformation and orthogonal transformation.Key words:Euclidean space;Linear transformation;Conjugate transformation┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊目录摘要 (III)Abstract (IV)目录 (V)1 绪论................................................ 错误!未定义书签。
27知识讲解_复数的四则运算
i n 4k 3
【答案】（1） in
1
i
n 4k 2 n 4k 1
1 n 4k
其中k N * ；
（2） i4k i4k1 i4k2 i4k3 i4k (1 i2 i3 i) 0 ，
【学习目标】 1.ห้องสมุดไป่ตู้会进行复数的加、减运算； 2. 会进行复数乘法和除法运算；
复数的四则运算
3. 掌握共轭复数的简单性质，理解 z 、 z 的含义，并能灵活运用。
【要点梳理】 要点一、复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设 z1 a bi ， z2 c di （ a, b, c, d R ），我们规定：
z 2 2i
5
当 a 2 ， b 2 时， z 2 2i i . z 2 2i
故 z i. z
6
通常记复数 z 的共轭复数为 z 。
2．乘法运算法则：
设 z1 a bi ， z2 c di （ a, b, c, d R ），我们规定：
z1 z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i z1 a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad i z2 c di (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2
2
2i)·4i＝8，而不是－8. 举一反三：
【变式 1】在复平面内，复数 z=i(1+2i)对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数 z 所对应的点为（－2，1），故选 B． 【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题 1】
1.8 C,R上多项式的因式分解
实系数多项式的标准分解式：
f ( x) a( x c1 )l1 ( x c2 )l2 ( x 2 p1 x q1 ) k1 ( x 2 pr x qr ) kr
c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr R； l1 , , ls , k1 , , kr N . pi2 4qi < 0, i 1, 2, , r.
评论： 代数基本定理是本节讨论的理论基础，在此 基础上肯定了n次方程有n个复根. 但这里并没有给出 求根的具体方法，高次方程求根问题还远远没有解决， 其内容构成数学的其它分支，已不是高等代数所要讨 论的问题.
作业： P48 补充题9.10.11.
一 复数域上多项式的因式分解
1. (代数基本定理) 对任意的f(x)(∈C[x],∂f≥1)在C 上至少有一个根（或：至少有一个一次因式）. 由该定理可以推出： C上次数大于1的多项式全是可约多项式 事实上，据该定理, 当∂f ＞1时, 应有根α 1, 使得 f(x) = (x－ α 1) f1(x), 若∂f1 ＞1 , 又据该定理有根 α 1,使 f(x) = (x－ α 1) (x－ α 2) f2(x), ·· ·，如此讨论下 去, 至多 ∂fn = 1,即fn(x) = x－ α n, 故重根按重数计, 有 下 式成立: f(x) = a(x－ α 1) (x－ α 2) … (x－ α n )
二 实数域上多项式的因式分解
1 复习共轭复数性质： 设 a bi, a bi ，则
1) ； 3) R ； 5) R. 2) ； 4) R；
2
也是 f ( x) 的根 R 上 f ( x) 有一非实复根 与 有相同重数
共轭复数的多项式性质
共轭复数的多项式性质时贞军张祖华平阴县职业教育中心山东平阴250400曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。
关键词：复数共轭复数多项式。
据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。
当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。
（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。
同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate).根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。
共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。
两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）；加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。
两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
两个复数的和依然是复数。
即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。
复数的共轭与乘法公式
复数的共轭与乘法公式复数是数学中的一种扩展概念，由实数和虚数组成。
在复数运算中，共轭和乘法公式是两个重要的概念。
本文将详细介绍复数的共轭和乘法公式，以及它们的性质和应用。
一、复数的共轭复数的共轭指的是改变复数的虚部的符号。
对于一个复数z=a+bi（其中a为实部，b为虚部），它的共轭是z的虚部取相反数，即z的共轭为z'=a-bi。
共轭的性质：1. 复数z与它的共轭z'的和为实数，即z+z'=2a；2. 复数z与它的共轭z'的差为实数，即z-z'=2bi；3. 复数z与它的共轭z'的乘积为实数，即zz'=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2。
共轭的应用：共轭在复数的运算中具有重要的应用。
例如，在对复数进行除法运算时，可以通过将分子与分母同时乘以除以的复数的共轭来简化计算。
这是因为复数的共轭具有分配律的性质，可以使得分子和分母同时变成实数。
二、复数的乘法公式复数的乘法公式指的是计算两个复数的乘积的方法。
对于两个复数z=a+bi和w=c+di，它们的乘积可以通过以下公式计算得到：zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i其中，(ac-bd)为乘积的实部，(ad+bc)为乘积的虚部。
乘法公式的性质：1. 乘法满足交换律，即zw=wz；2. 乘法满足结合律，即z(wu)=(zw)u；3. 对于任意的复数z，存在单位复数1，使得1z=z。
乘法公式的应用：乘法公式在复数的计算中经常被使用。
例如，可以通过乘法公式将复数的乘法转化为多项式的乘法，从而简化计算。
此外，在电路分析和信号处理等领域，乘法公式也有着广泛的应用。
总结：本文介绍了复数的共轭和乘法公式的概念、性质和应用。
复数的共轭是指将复数的虚部取相反数，其具有一些特定的性质和应用。
复数的乘法公式是计算两个复数的乘积的方法，它具有交换律和结合律等重要性质，可以在计算和应用中起到简化和优化的作用。
在复数范围内分解因式
在复数范围内分解因式
在代数学中，分解因式是将一个多项式表示为乘积的过程。
当多项式为复数时，我们也可以进行分解因式。
给定一个复数多项式，我们可以使用以下步骤来分解因式。
第一步是将多项式进行因式分解。
这可以通过使用因式分解定理、配方法、或者其他方法来完成。
第二步是将复数因子分组。
为了完成这一步，我们需要注意到复数有一个非常重要的性质，即共轭复数具有相同的实部但虚部符号相反。
因此，如果我们有一个复数因子，我们可以将它拆分成实部和虚部相等的两个因子。
例如，如果我们有一个因子为(2+3i)，我们可以将它拆分成(1+i)(2+i)。
第三步是将分组后的复数因子合并。
这可以通过使用加法或乘法来完成，具体取决于所给定的多项式。
最后一步是检查结果是否正确。
我们可以通过将分解后的结果乘起来，看看是否与原始多项式相同来验证我们的结果。
总之，在进行复数范围内的因式分解时，需要注意实部和虚部的相等性，并且在分组复数因子时要格外小心。
sinz的共轭复数在复平面不解析
sinz的共轭复数在复平面不解析
在数学中，sinz的共轭复数是一种复数，它的共轭复数的格式为z-sinz。
它的定义，即在复平面上的曲线图上，在每个点z上的法向量指向除sinz外的另一个复数z-sinz。
由于它被定义在复平面上，它没有实部，也没有虚部，这使它在复平面上不可解析，也就不可能有任何与它有关的多项式方程。
对于sinz的共轭复数，它表示为z-sinz，这是一种可以用来描述在复平面上任何给定点的几何图形的工具。
由于它不可解析，它也不受任何多项式方程的控制，这意味着它在复平面上任意的点都可以标注出来，而之后的连线就可以用来描述出任意一个几何图形，这样就可以帮助我们更好地描述这个几何图形。
此外，sinz的共轭复数也可以用来描述几何图形中包含许多细节的情况，因为它表示的是一条连线，而不是任意给定的点，这样就可以帮助我们更好地描述复杂的几何图形。
最后，sinz的共轭复数可以用来求解一些复平面上的有关几何图形的问题，它可以帮助我们更好地求解在复平面上的几何图形的位置，大小，角度等，从而让我们更好地理解几何图形的结构和特点。
综上所述，sinz的共轭复数可以用来描述复平面上的特定点，同时也可以用来描述复杂几何图形。
它不可解析，也不受任何多项式方程的控制，这使它在复平面上不可解析。
此外，它也可以用来求解复平面上一些有关几何图形的问题，从而帮助我们更好地理解它们。
因此，sinz的共轭复数在复平面上不可解析，但仍然是一种有用的
工具，可以帮助我们更好地理解复杂的几何图形的结构。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
共轭复数的多项式性质
时贞军张祖华
平阴县职业教育中心山东平阴250400
曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826
摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。
关键词：复数共轭复数多项式。
据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。
当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。
（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。
同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate).
根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。
共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。
两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.
共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）；
加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。
两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
两个复数的和依然是复数。
即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i
乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac －bd)+(bc+ad)i.
除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。
即：开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy 即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。
z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对
3运算特征（1）(z1+z2)′=z1′+z2′（2） (z1-z2)′=z1′-z2′（3） (z1·z2)′=z1′·z2′（4） (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0) 总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）。
4模的运算性质编辑① | z1·z2| = |z1|·|z2| ②③┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
由3运算特征的总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）本文推断乘方的共轭等于共轭的乘方。
从而，有如下定理：
多项式（实系数或复系数）的共轭等于共轭的多项式。
【参考文献】
百度搜索。