最新函数的奇偶性的经典总结
奇函数和偶函数相关知识点总结
奇函数和偶函数相关知识点总结
奇函数和偶函数就属于函数中的重要函数，也是考试中的重要知识点。
下面是由编辑为大家整理的“奇函数和偶函数的相关知识点”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
奇函数和偶函数的定义
奇函数：如果函数f(x)的定义域中任意x有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)称为奇函数。
偶数函数：如果函数f(x)的定义域中任意x有f(-x)=f(x)，则函数f(x)称为偶数函数。
性质
奇函数性质：
1、图象关于原点对称
2、满足f(-x) = - f(x)
3、关于原点对称的区间上单调性一致
4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0
5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)
偶函数性质：
1、图象关于y轴对称
2、满足f(-x) = f(x)
3、关于原点对称的区间上单调性相反
4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0
5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)
常用运算方法
奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
证明方法
设f(x)，g(x)为奇函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+(-g(x))=-t(x)，所以奇函数加奇函数还是奇函数;
若f(x)，g(x)为偶函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=t(x)，所以偶函数加偶函数还是偶函数。
最经典总结-函数的奇偶性与周期性
最经典总结-函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性是数学中的重要概念，也是高考中常考的知识点。
了解函数的奇偶性和周期性可以帮助我们更好地理解和研究函数。
函数的奇偶性是指函数在定义域内是否满足奇偶性质。
对于一个函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)为奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数。
常见题型多以选择、填空题形式出现，且奇偶性多与抽象函数相结合。
函数的周期性是指函数的图像在平移一定距离后与原图像重合。
如果对于函数y=f(x)，存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
应用简单函数的周期性占4~5分，中档题为主。
在研究函数的奇偶性和周期性时，需要注意以下三个易误点：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内；判断函数的奇偶性，需要注意函数定义域是否关于原点对称；判断奇函数和偶函数时，需要对定义域内的每一个x，均有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，而不能说存在x使f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)。
在实际运用中，可以活用周期性的三个常用结论：对于f(x)定义域内任一自变量的值x，如果函数f(x)为奇函数，则关于原点对称；如果函数f(x)为偶函数，则关于y轴对称。
此外，还可以利用奇、偶函数的三个性质：在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之也成立；在函数的加、减、乘运算中，奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。
综上所述，了解函数的奇偶性和周期性对于研究和应用函数具有重要意义。
函数奇偶性的知识点及例题解析
函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
函数的奇偶性的经典总结归纳
函数的奇偶性的经典总结归纳1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
奇函数具有以下性质：-奇函数关于坐标原点对称；-在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0；-若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。
常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。
2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
偶函数具有以下性质：-偶函数关于y轴对称；-在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数；-若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。
常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。
3.奇偶性的判断：-对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。
若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）；-对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。
4.常见函数的奇偶性：-指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数；-幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数；-三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数；-反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；-双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。
通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。
在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。
注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。
在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。
总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。
函数奇偶知识点高中总结
函数奇偶知识点高中总结一、奇偶数的定义1.1 奇数的定义奇数是指一个自然数除以2余1的数，即如果一个数能被2整除余1，则它是奇数。
例如：1、3、5、7、9等都是奇数。
1.2 偶数的定义偶数是指一个自然数除以2余0的数，即如果一个数能被2整除余0，则它是偶数。
例如：2、4、6、8、10等都是偶数。
二、奇偶数的性质2.1 奇数的性质（1）奇数加奇数等于偶数；（2）奇数加偶数等于奇数；（3）奇数乘奇数等于奇数；（4）奇数乘偶数等于偶数；（5）奇数的立方是奇数；（6）奇数的倍数仍然是奇数。
2.2 偶数的性质（1）偶数加偶数等于偶数；（2）偶数加奇数等于奇数；（3）偶数乘偶数等于偶数；（4）偶数乘奇数等于偶数；（5）偶数的立方是偶数；（6）偶数的倍数仍然是偶数。
三、奇偶数的运算规律3.1 加法运算（1）奇数加奇数等于偶数；（2）奇数加偶数等于奇数；（3）偶数加偶数等于偶数。
3.2 减法运算奇数减奇数或偶数减偶数结果往往是奇数，而奇数减偶数结果则往往是偶数。
3.3 乘法运算（1）奇数乘奇数等于奇数；（2）奇数乘偶数等于偶数；（3）偶数乘偶数等于偶数。
3.4 除法运算奇数除以奇数或偶数除以偶数结果往往是奇数，而奇数除以偶数结果则往往是偶数。
四、奇偶数的解题技巧4.1 求和求积在解题中，经常会涉及到奇偶数的求和与求积。
根据奇偶数的性质，我们可以灵活运用奇偶数的特点，帮助我们更快地解题。
4.2 奇偶数判断在解析数学问题中，经常需要判断某个数是奇数还是偶数。
我们可以通过取余、观察末位数字等方法，进行奇偶数的判断。
4.3 奇偶数运算在解析数学问题中，有时需要进行奇偶数的运算，例如奇数加偶数、奇数乘偶数等，需要根据奇偶数的运算规律进行灵活运用。
4.4 奇偶数的应用奇偶数在生活和数学中都有很多的实际应用，例如在统计学中奇偶数的应用、在概率统计中奇偶数的应用等，都需要我们掌握奇偶数的基本知识和运用技巧。
五、奇偶数的实际应用奇偶数在实际生活和数学中有着丰富的应用。
高中数学奇函数、偶函数、函数奇偶性知识点总结大全
高中数学：奇函数、偶函数和函数奇偶性知识点总结大全一、奇函数、偶函数的概念1、奇函数：假如一个函数()f x 的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x 都有()()f x f x -=-,则称函数()f x 为奇函数。
2、偶函数：假如一个函数()g x 的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x 都有()()g x g x -=,则称函数()g x 为偶函数。
【注意】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。
如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
二、奇函数、偶函数的图像特点1、奇函数图象关于原点对称。
奇函数的图象，是个以原点为对称中心的中心对称图象。
2、偶函数图象关于y 轴对称。
偶函数的图象，是个以y 轴为对称轴的轴对称图象。
3、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
4、如果奇函数()f x 的定义域中有“0”，则一定有()00f =。
因此，如果一个奇函数的定义域中有“0”，则这个奇函数的函数图象一定过原点。
5、如果偶函数()g x 的定义域中有“0”，则()0g 不一定为0。
因此，如果一个偶函数的定义域中有“0”，则这个偶函数的函数图象不一定过原点。
6、偶函数在对称区间上的值域相同，奇函数在对称区间上的值域关于原点对称。
三、判定奇函数、偶函数的几个充要条件假设函数()f x 、()g x 的定义域都关于原点对称。
则1、()f x 是奇函数的几个充要条件为：（1）对定义域中的任意x 都有：()()f x f x -=-;（2）对定义域中的任意x 都有：()()0f x f x +-=;（3）对定义域中的任意x 都有：()()/1f x f x -=-;【注】分母不为0.（4）对定义域中的任意x 都有：()()/1f x f x -=-;【注】分母不为0.（5）()f x 的函数图象关于原点对称。
2、()g x 是偶函数的几个充要条件为：（1）对定义域中的任意x 都有：()()g x g x -=;（2）对定义域中的任意x 都有：()()0g x g x --=;（3）对定义域中的任意x 都有：()()/1g x g x -=;【注】分母不为0.（4）对定义域中的任意x 都有：()()/1g x g x -=;【注】分母不为0.（5）()g x 的函数图象关于y 轴对称。
高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） 偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
函数奇偶性的归纳总结
函数奇偶性的归纳总结称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。
，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论： ①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
判断函数奇偶性知识点总结
判断函数奇偶性知识点总结函数奇偶性是高中数学中的一类重要的概念和方法，对于理解函数的性质和解题有着重要的指导作用。
掌握函数奇偶性的判断方法，可以帮助我们更好地分析和解决数学问题。
本文将总结判断函数奇偶性的相关知识点，包括奇偶函数的定义、判断方法及常见函数的奇偶性。
一、奇偶函数的定义1. 定义函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。
具体而言，对于定义域中的任意实数x，若函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
2. 奇函数的性质（1）奇函数在原点对称，即函数图像关于原点对称；（2）如果函数是奇函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。
3. 偶函数的性质（1）偶函数在y轴对称，即函数图像关于y轴对称；（2）如果函数是偶函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。
二、判断函数奇偶性的方法1. 使用定义判断要判断函数奇偶性，可以使用定义进行判断。
即对于定义域中的任意实数x，如果满足f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；如果无法满足以上两个条件，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
2. 使用图像判断利用函数图像的对称性质，我们可以判断函数的奇偶性。
具体而言，对于函数的图像图形，如果它关于y轴对称，则函数为偶函数；如果它关于原点对称，则函数为奇函数；如果既不关于y轴对称也不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 使用性质判断对于一些特定的函数，可以利用其性质来判断其奇偶性。
（1）多项式函数：多项式函数中的偶次幂项为偶函数，奇次幂项为奇函数。
（2）三角函数：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
（3）指数函数和对数函数：指数函数和对数函数既可以是奇函数，也可以是偶函数，具体与函数的定义和参数相关。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
奇偶性知识点总结
函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数()0)(2≠=a ax x f 和()0)(2≠+=a c ax x f 都是偶函数;（2）正比例函数()0)(≠=k kx x f 和反比例函数()0)(≠=k xkx f 都是奇函数. 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的x 的任意性,如果函数)(x f 的定义域中存在0x ,有)()(00x f x f ≠-,或)()(00x f x f -≠-,则函数)(x f 不是偶函数或奇函数.（2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与)(x f 的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数)(x f 是偶函数,则0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(=-x f x f ;如果函数)(x f 是奇函数,则0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(-=-x f x f . （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即0)(=x f ,∈x D ,且D 关于原点对称. （6）偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,图象关于y 轴对称的函数是偶函数;奇函数的图象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数)(x f 是偶函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a -也在函数)(x f 的图象上,点())(,a f a 与点())(,a f a -关于y 轴对称;若函数)(x f 是奇函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a --也在函数)(x f 的图象上.点())(,a f a 与点())(,a f a --关于原点对称.★（8）如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.（9）特别说明,若函数)(x f 是偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数.下面分别是函数4x y =和函数1+=x y 的图象,它们都是偶函数.奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数xy 2=和对勾函数x x y 4+=的图象,它们都是奇函数.知识点二 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出)(x f -,然后根据)(x f -与)(x f 的关系,确定函数的奇偶性;①若)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是偶函数;②若)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是奇函数;③若)()(x f x f ±≠-,则函数)(x f 是非奇非偶函数.说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数a ,有)()(a f a f ≠-（或)()(a f a f -≠-）即可.(见后面的相关例题)图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于y 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇+奇=奇; 偶+偶=偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） 奇⨯奇=偶; 偶⨯偶=偶; 奇⨯偶=奇. 知识点三 奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数)(x f 是奇函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果函数)(x f 是偶函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为“奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数())(x g f ,若)(x g 为偶函数,则())(x g f 为偶函数;若)(x g 为奇函数,则())(x g f 的奇偶性与)(x f 的奇偶性相同.其中())(x g f 的定义域关于原点对称.题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）1)(23--=x x x x f ; （2）xx x f 1)(-=; （3）22)(+--=x x x f .分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数1)(23--=x x x x f 的定义域为()()+∞∞-,11, ,不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数; （2）函数xx x f 1)(-=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. ∵)(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=- ∴该函数是奇函数;（3）函数22)(+--=x x x f 的定义域为R ,关于原点对称.∵()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=- ∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数xax x f +=2)(（∈a R ）的奇偶性. 分析:该函数的解析式里面含有参数a ,当参数影响到判断)(x f -与)(x f 的关系时,要对参数进行分类讨论.解:函数xax x f +=2)(的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴)(x f 为偶函数; 当0≠a 时,())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-,且xa x x f x f --=-≠-2)()(. ∴函数)(x f 是非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,函数)(x f 是非奇非偶函数. 例3. 已知函数1)(2+-+=a x x x f ,∈x R ,a 为实数,判断)(x f 的奇偶性. 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到)(x f -与)(x f 的关系,必要时要对参数进行分类讨论.在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个a ,使)()(a f a f ≠-或)()(a f a f -≠-,则函数)(x f 就不是偶函数或减函数.解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 当0=a 时,11)(22++=+-+=x x a x x x f . ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,∵1)(2+=a a f ,12)(2++=-a a a f ∴)()(a f a f ≠-,且1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数)(x f 为非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时, 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数.例4. 已知函数xax x f 1)(2+=,其中a 为实数,判断函数)(x f 的奇偶性. 解:函数xax x f 1)(2+=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,xx f 1)(=,函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,∵()xax x x a x f 11)(22-=-+-=- ∴)()(x f x f ≠-,且)()(x f x f -≠- ∴函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数.综上所述,当0=a 时, 函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数. 例5. 判断函数1111)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性.分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究)(x f -与)(x f 的关系时会比较困难,我们可以研究)(x f -与)(x f 的和、差、商,来进行奇偶性的判断.解:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.解法二:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 当0=x 时,0)(=x f ;当0≠x 时,0)(≠x f∵()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数)(x f 为奇函数.注意:1)()(-=-x f x f 的前提是0)(≠x f . 题型二 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有)()(x f x f =-或)(-)(x f x f =-成立,而不能只验证一段解析式. 在判断时,要特别注意x 与x -的范围,然后选择合适的解析式代入.总结 若[]b a x ,∈,则[]a b x --∈-,,把x -代入[]a b --,上的解析式即可得到)(x f -.例6. 判断函数()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 的奇偶性.解:由题意可知,函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(1)(x f x x x f -=+-=-; 当0<x 时,0>-x∴())(1)(x f x x x f -=--=-. 综上所述,函数)(x f 为奇函数.例7. 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ,则)(x f 【 】（A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断 解:由题意可知函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-; 当0<x 时,0>-x ∴())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-. 综上所述,函数)(x f 是奇函数.选择【 A 】.方法二:（图象法）,函数)(x f 的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.例8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0>x 时,0<-x∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数)(x f 是奇函数,∴)()(x f x f -=- ∴()x x x x mx x 22222-=+--=- ∴2=m .题型三 抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+. 求证:)(x f 为奇函数.分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断)(x f -与)(x f 的关系即可.考虑到0=+-x x ,所以我们可以先求出)0(f 的值.证明:由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0==b a∵对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+ ∴)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f令x b x a =-=,,则0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例10. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数21,x x ,都有:()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++.求证:)(x f 为偶函数.证明: 由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0,21==x x x ,则有)0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+①令x x x ==21,0,则有:)()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+②由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴)()(x f x f =- ∴函数)(x f 为偶函数.例11. 已知)(x f 是定义在()2,2-上的函数,且满足对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=.（1）求)0(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性并证明. （1）解:令0==y x∵对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴()0)0(0)0(=-=f f f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知,函数)(x f 的定义域()2,2-关于原点对称. 令x y -=,则有)(0)()0()(x f x f f x f --=--= ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例12. 已知)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++对一切y x ,都成立,且0)0(≠f ,试判断)(x f 的奇偶性.解:由题意可知函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 令0==y x ,则有)0()0(2)0()0(f f f f =+ ∴)0(2)0(22f f =,()01)0()0(=-f f ∵0)0(≠f ,∴1)0(=f令0=x ,则有)()0(2)()(y f f y f y f =-+ ∴)(2)()(y f y f y f =-+ ∴)()(y f y f =- ∴函数)(x f 为偶函数.注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意b a ,∈R ,都满足)()()(a bf b af ab f +=.（1）求)0(f ,)1(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性,并证明你的结论.（1）解:令0==b a ,则0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f . 令1==b a ,则)1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=,∴0)1(=f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1-==b a ,则有0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f令1,-==b x a ,则有)()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=- ∴函数)(x f 为奇函数.例14. 若函数)(x f 的定义域是R ,且对任意∈y x ,R 都有)()()(y f x f y x f +=+成立.（1）试判断)(x f 的奇偶性;（2）若4)8(=f ,求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值.解:（1）∵函数)(x f 的定义域是R ∴其定义域关于原点对称.令0==y x ,则有)0(2)0()0()0(f f f f =+= ∴0)0(=f令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数;（2）令y x =,则有)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴2)2()(x f x f =∵4)8(=f ∴2242)8()4(===f f ,1222)4()2(===f f ,212)2()1(==f f ,412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数)(x f 为奇函数∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f例15. 已知函数)(x f ,∈x R 对任意实数b a ,都有)()()(b f a f ab f +=,且当1>x 时,0)(>x f .（1）试判断函数)(x f 的奇偶性;（2）求证:函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.（1）解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1==b a ,则)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f .令1-==b a ,则0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f ,∴0)1(=-f . 令1,-==b x a ,则)()1()()(x f f x f x f =-+=- ∴函数)(x f 为偶函数;（2）任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,0)(>x f ,∴012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式; （3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知)(x f 为奇函数,9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ,则=)2(f _________; （2）设函数()11)(22++=x x x f 的最大值为M ,最小值为m ,则=+m M _________.解:（1）∵)(x f 为奇函数,∴)()(x f x f -=- ∵9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ∴6939)2()2(-=-=--=-g f ∴6)2()2(=--=f f .（2）()12112111)(22222++=+++=++=x x x x x x x x f 设12)(2+=x xx g ,其定义域为R ,关于原点对称. ∵)(12)(2x g x xx g -=+-=-∴)(x g 为奇函数∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g∴2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M .重要结论（1） 若函数)(x f 为奇函数,则)(x f 在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即0)()(min max =+x f x f .（2）若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.例17. 已知8)(35-++=bx ax x x f ,且10)2(=-f ,则=)2(f 【 】 （A ）26- （B ）18- （C ）10- （D ）10 解法一:设bx ax x x g ++=35)(,易知函数)(x g 为奇函数. ∴)()(x g x g -=-,8)()(-=x g x f∵10)2(=-f ,∴108)2(=--g ,18)2(=-g . ∴18)2()2(-=--=g g∴268188)2()2(-=--=-=g f .选择【 A 】. 解法二:8222)2(35-++=b a f ①()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ②①+②得:16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f∴261016)2(16)2(-=--=---=f f .例18. 已知1)()(--=x x f x g ,其中)(x g 是偶函数,且1)2(=f ,则=-)2(f 【 】 （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3 解:∵)(x g 是偶函数,∴)()(x g x g =-. ∵1)()(--=x x f x g ,∴1)()(++=x x g x f∵13)2(12)2()2(=+=++=g g f ,∴2)2()2(-=-=g g ∴312212)2()2(-=+--=+--=-g f .选择【 C 】.例19. 已知)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数,且2)()()(++=x bg x af x F 在()+∞,0上的最大值为5,则)(x F 在()0,∞-上的最小值为_________. 解:设)()()(x bg x af x G +=,则2)()(+=x G x F ∵)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数∴)()()(x bg x af x G +=也是R 上的奇函数∵当∈x ()+∞,0时,52)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G∴根据奇函数图象的对称性,)(x G 在()0,∞-的最小值为3)()(max min -=-=x G x G ∴1232)()(min min -=+-=+=x G x F .注意:本题利用结论: 若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.可以快速得出结果.例20. 已知⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f 是奇函数,则()=-)3(g f _________.分析:先求出当0<x 时,函数)(x g 的解析式,然后代入求值. 解:当0<x 时,0>-x∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f ,∴3)(2+-=x x g∴()633)3(2-=+--=-g∴()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f .应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设x 在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到)(x f -的解析式;（3）利用函数)(x f 的奇偶性写出)(x f -或)(x f ,即可得到函数)(x f 的解析式. 注意:若)(x f 是R 上的奇函数时,不要遗漏0=x 的情形.例21. 已知)(x f 是R 上的奇函数,当0>x 时,132)(2++-=x x x f . （1）求)0(f 的值; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵)(x f 是R 上的奇函数 ∴)0()0()0(f f f -==-,0)0(2=f ∴0)0(=f ;（2）当0<x 时,则0>-x∴())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=- ∴132)(2-+=x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f .例22. 若函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数,且11)()(-=+x x g x f ,求函数)(x f 的解析式.解:∵函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数 ∴)()(x f x f =-,)()(x g x g -=-∵11)()(-=+x x g x f ∴11)()(--=-+-x x g x f ,11)()(+-=-x x g x f解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 得:11)(2-=x x f .∴函数)(x f 的解析式为11)(2-=x x f . 例23. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且x ≤0时,1)(+-=x x f . （1）求)0(f ,)2(f ; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵当x ≤0时,1)(+-=x x f ,∴1)0(=f .∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,∴31)2()2()2(=+--=-=f f ;（2）当0>x 时,则0<-x ∴()11)(+=+--=-x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f .例24. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,x x x f 2)(2-=,则函数)(x f 在R 上的解析式为____________.结论 若奇函数在原点处有定义,则0)0(=f .解:∵函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数∴0)0(=f . ∵当0>x 时,x x x f 2)(2-=∴当0<x 时,0>-x ,())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=- ∴x x x f 2)(2--=.∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x .例25. 函数1)(2++=x b ax x f 为R 上的奇函数,且5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .（1）求函数)(x f 的解析式;（2）若)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立,求m 的取值范围.解:（1）∵函数1)(2++=x bax x f 为R 上的奇函数∴0)0(==b f ,∴1)(2+=x axx f∵5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴5252121212==+⎪⎭⎫⎝⎛a a,解之得:1=a . ∴函数)(x f 的解析式为1)(2+=x xx f ; （2）∵)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立∴12+x x ≤532-m 恒成立 设1)(2+=x x x g ,只需max )(x g ≤532-m 即可.任取[]4,2,21∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵[]4,2,21∈x x ,且21x x <∴()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴0)()(21>-x g x g ,∴()()21x g x g > ∴函数)(x g 在[]4,2上为减函数 ∴52122)2()(2max =+==g x g ∴52≤532-m ,解之得:m ≥1或m ≤1-. ∴实数m 的取值范围是(][)+∞-∞-,11, .例26. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,32)(x x x f +=,求)(x f . 解:∵函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,∴0)0(=f . ∵当0>x 时,32)(x x x f +=∴当0<x 时,,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-，∴32)(x x x f +-=.∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f .应用3 求参数的值例27. 已知函数()b a x b ax x f ++-+=31)(2为偶函数,其定义域为[]a a 2,1-,则b a +的值为_________.结论 如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴021=+-a a ,解之得:31=a . ∴()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122 ∴()11-=--b b ,解之得:1=b ∴34131=+=+b a . 例28. 若函数()()a x x xx f -+=12)(为奇函数,则=a _________.解:∵函数)(x f 为奇函数 ∴)()(x f x f -=-,()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴()()()()a x x a x x -+=--+-1212 展开并整理得:()()x a x a 2112-=- ∴a a 2112-=-,解之得:21=a . 例29. 若函数()()a x x x f -+=1)(为偶函数,则=a _________. 解:∵函数)(x f 为偶函数,∴)()(x f x f =- ∴()()()()a x x a x x -+=--+-11 ∴()()x a x a -=-11 ∴a a -=-11,解之得:1=a .例30. 若函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,则函数)(x f 在区间()3,5--上【 】（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减 （D ）单调递增分析: 结论 对于函数c bx ax y ++=2：（1）当0=b 时,它是偶函数; （2）当0==c a 时,它是奇函数.对于本题,因为函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,所以不难得到0=m . 解:∵函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数∴)()(x f x f =-,()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴m m 22=-,解之得:0=m∴3)(2+-=x x f ,其图象开口向下,对称轴为y 轴. ∵函数)(x f 在区间()3,5--单调递增.选择【 D 】.例31. 设a 为常数,函数34)(2+-=x x x f .若()a x f +为偶函数,则=a _________. 分析:将函数)(x f 的图象向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,即可得到函数()a x f +的图象.偶函数的图象关于y 轴对称.结论 若函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+,则函数)(x f 的图象关于直线a x =对称.解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f∴()()122--+=+a x a x f∵()a x f +为偶函数∴其图象的对称轴为y 轴,∴02=-a ,解之得:2=a .解法二:()1234)(22--=+-=x x x x f ,其图象的对称轴为直线2=x .∵()a x f +为偶函数∴)()(a x f a x f +=+-,即)()(x a f x a f +=- ∴函数)(x f 的图象关于直线a x =对称. ∴2=a .例32. 已知()231)(bx x a x f +-=是定义在[]b b +2,上的偶函数,则=+b a _______. 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴02=++b b ,解之得:1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵)()(x f x f =-,∴()()232311x x a x x a --=--- ∴()11-=--a a ,解之得:1=a . ∴=+b a 0.例33. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0<x 时,0>-x ,∴x x x f 2)(2--=- ∵函数)(x f 是奇函数 ∴)(2)(2x f x x x f -=--=- ∴mx x x x x f +=+=222)(（0<x ） ∴2=m .例34. 已知函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数.（1）求实数t 的值;（2）是否存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22?若存在,请求出b a ,的值;若不存在,请说明理由. 分析:()()21)(x t x x x f -+=,设()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2,因为)(x f 与)(x g 均为偶函数,所以()t x t x x h --+=1)(2也是偶函数,故01=-t ,得到1=t . 解:∵函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴()()()()t x x t x x -+=--+-11∴t t -=-11,解之得:1=t . ∴()()222211111)(x x x x x x x f -=-=-+=; （2）∵0>>a b ∴函数211)(x x f -=在区间[]b a ,上为增函数 ∴2min11)()(a a f x f -==,2max 11)()(bb f x f -==∵函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-bb a a 2211221122,解之得:⎩⎨⎧==11b a∵0>>a b∴不存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22.例35. 已知函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值;（2）判断并用定义法证明函数)(x f y =在()0,∞-上的单调性.解:（1）∵函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数 ∴)()(x f x f =-,221111x mx x mx ++=++- ∴11+=+-mx mx ,m m =-,解之得:0=m ; （2）由（1）知:211)(x x f +=. 函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数,理由如下: 任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=- ∵()0,,21∞-∈x x ,且21x x <∴()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.例36. 已知函数nmx x x f ++=2)(2是奇函数,且3)1(=f ,其中∈n m ,R .（1）求n m ,的值;（2）判断)(x f 在(]2,-∞-上的单调性,并加以证明. 解:（1）∵3)1(=f ,∴33=+nm ,∴1=+n m . ∵函数)(x f 为奇函数∴)()(x f x f -=-,nmx x n mx x --+=+-+2222∴n n -=,解之得:0=n解方程组⎩⎨⎧==+01n n m 得:⎩⎨⎧==01n m ;（2）由（1）可知:xx x x x f 22)(2+=+=（可见函数)(x f 为对勾函数） 函数)(x f 在(]2,-∞-上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x (]2,-∞-,且21x x <,则有()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=- ∵∈21,x x (]2,-∞-,且21x x < ∴02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数,又是减函数,若()()0112<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围. 解:∵()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数 ∴()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a ,解之得:0≤1<a .∴实数a 的取值范围是[)1,0.例38. 定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在[]2,0上单调递减,若()()m f m f <-1,求实数m 的取值范围.结论:若函数)(x f 为偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.解:∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的偶函数∴()()m f m f -=-11,()()m f m f =,[]2,0,1∈-m m . ∵)(x f 在[]2,0上单调递减,()()m f m f <-1 ∴()()m f m f <-1,m m >-1.由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 122212,解之得:1-≤m 21<.∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.注意:m m >-1的同解不等式为()221m m >-.例39. 定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f ,且在()+∞,0上单调递减,求不等式0)(>x xf 的解集.分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减 ∴函数)(x f 在()0,∞-上单调递增 ∴当210<<x 时,0)(>x f ;当021<<-x 时,0)(<x f ∴不等式0)(>x xf 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 .注意:对于奇函数)(x f 的理解,可结合下面的图象.图中0)0(=f .例40. 已知奇函数)(x f y =,∈x ()1,1-是减函数,解不等式0)31()1(<-+-x f x f . 解:∵0)31()1(<-+-x f x f ∴)31()1(x f x f --<- ∵)(x f y =是奇函数∴()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x ,解之得:210<<x .∴不等式0)31()1(<-+-x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x . 例41. 已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减,()02=f ,若()01>-x f ,则x 的取值范围是__________.解:由题意可得0)(>x f 的解集为()2,2- ∵()01>-x f∴212<-<-x ,解之得:31<<-x ∴x 的取值范围是()3,1-.例42. 已知函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数,且当x ≥0时,)(x f 单调递增,则关于x 的不等式()()a f x f >-1的解集为【 】（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34 （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 （D ）随a 的值的变化而变化解:∵函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数 ∴021=+-a a ,解之得:31=a ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵()()a f x f >-1,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ,∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f∵当x ≥0时,)(x f 单调递增,1-x ≥0∴311>-x . 由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x ,解之得:31≤32<x 或x <34≤35.∴不等式()()a f x f >-1的解集为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 .选择【 B 】.例43. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增.若实数a 满足()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ,则a 的取值范围是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321,（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增∴)(x f 在区间[)+∞,0上单调递减,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121f f . ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f ,∴211<-a ,解之得:2321<<a .∴a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛23,21.选择【 C 】.☆例44. 已知函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g 是奇函数.（1）求)(x f 的表达式;（2）若)(x f 在[]b a ,上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1,求值:b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.解:当0>x 时,0<-x∴()x x x g 22-=- ∵)(x g 是奇函数∴()()()x g x x x g -=+--=-22 ∴x x x g 2)(2+-=（0>x ） ∴x x x f 2)(2+-=（0>x ）; （2）证明:由题意可知:0>>a b ∵()112)(22+--=+-=x x x x f ≤1∴a1≤1,∴a ≥1 ∴)(x f 在[]b a ,上单调递减∴()a a f 1=,()bb f 1= ∴b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.例45. 设函数)(x f 对任意∈y x ,R 都有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,0)(<x f ,2)1(-=f . （1）证明:)(x f 为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是减函数;（3）若()()47652>-++x f x f ,求x 的取值范围; （4）求)(x f 在[]3,3-上的最大值与最小值.（1）证明:令0==y x ,则)0(2)0()0()0(f f f f =+=,∴0)0(=f 令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称 ∴函数)(x f 为奇函数;（2）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ∵当0>x 时,0)(<x f ,∴()012<-x x f∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-()012<-=x x f .∴()()012<-x f x f ,∴()()21x f x f >. ∴)(x f 在R 上是减函数;（3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f令1-==y x ,则4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f∴())2(7652->-++f x x f ,())2(511->-f x f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴2511-<-x ,解之得:513>x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,513;（4）令1,2-=-=y x ,则624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最大值为6∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最小值为6-.例46. 函数)(x f 对任意∈b a ,R 都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,1)(>x f .（1）判断函数)(x f 是否为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是增函数;（3）解不等式()1232<--m m f .（1）解:令0==b a ,则1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f∴函数)(x f 不是奇函数;（2）任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x∵当0>x 时,1)(>x f ,∴()112>-x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f∴()()12x f x f >∴)(x f 在R 上是增函数;（3）由（1）可知:1)0(=f∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵)(x f 在R 上是增函数∴0232<--m m ,解之得:132<<-m ∴不等式()1232<--m m f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32. 例47. 设)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数,且满足())()(y f x f xy f +=, 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . （1）求)1(f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛91f ,)9(f 的值; （2）若2)2()(<--x f x f ,求x 的取值范围.解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ;令31==y x ,则有212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ; ∵01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f∴()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f ;（2）∵2)2()(<--x f x f ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)( ∵)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数 ∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51. ☆例48. 设)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数,且满足()()()y f x f xy f +=,当1>x 时,()0<x f .（1）求)1(f 的值,并证明)(x f 是偶函数;（2）证明函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）若1)3(-=f ,)8()(-+x f x f ≥2-,求x 的取值范围. 解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ; ∵)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数∴其定义域关于原点对称.令1-==y x ,则有()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ,∴()01=-f . 令1-=y ,则有()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴)(x f 是偶函数;（2）证明:任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,()0<x f ,∴012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >.∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）解:∵1)3(-=f∴令3==y x ,则有2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴)8()(-+x f x f ≥)9(f∴())8(-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 是偶函数∴()()8-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减; ∴()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x ,解之得:1-≤x ≤74-或74+≤x ≤9,且0≠x ,8≠x . ∴x 的取值范围是[)(][)(]9,88,7474,00,1 +--. 例49. 若函数1)(++-=bx a x x f 为区间[]1,1-上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为_________.解:∵函数)(x f 为区间[]1,1-上的奇函数∴0)0(=f ,∴0=a ∴1)(+-=bx x x f ∵())1(1f f --,∴1111+=+---b b ,解之得:0=b ∴x x f -=)(,在区间[]1,1-上为减函数 ∴()11)(max =-=f x f .例50. 已知函数32)(2-+-=x x x f .（1）求)(x f 在区间[]2,12-a 上的最小值()a g ;（2）求)(a g 的最大值. 解:（1）由题意可知:212<-a ,解之得:23<a . ()2132)(22---=-+-=x x x x f ,其图象的开口向下,对称轴为直线1=x . 当12212<+-a ,即21<a 时,684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴()6842-+-=a a a g ; 当2212+-a ≥1,即21≤23<a 时,()()32min -==f x f ∴3)(-=a g .综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g ; （2）由（1）可知:3)(max -=a g .。
函数中的奇偶性知识点总结
函数中的奇偶性知识点总结一、基本概念1.1 奇数和偶数在整数集中，可以将整数分为奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数则是可以被2整除的整数。
奇数和偶数在日常生活中经常出现，例如我们说1、3、5、7、9等数都是奇数，而2、4、6、8、10等数则是偶数。
1.2 奇偶性的判定判断一个整数的奇偶性，最简单的方法就是看这个数能不能被2整除。
如果能被2整除，那么这个数就是偶数，否则就是奇数。
1.3 奇偶性的性质奇数与奇数相加或相乘得到的结果仍然是奇数；偶数与偶数相加或相乘得到的结果仍然是偶数；奇数与偶数相加得到的结果是奇数，相乘得到的结果是偶数。
1.4 奇偶性的表示方法对于一个整数n，可以用数学符号来表示其奇偶性。
一般用e表示偶数，用o表示奇数，偶数可以表示成2k（k为整数），奇数可以表示成2k+1（k为整数）。
二、奇偶性的应用2.1 奇偶性在数论中的应用在数论中，奇偶性是一个非常重要的概念。
很多数论中的问题都可以通过奇偶性的分析来解决。
比如，确定一个数的因数个数，判断一个数的平方是否是完全平方数等等。
2.2 奇偶性在代数中的应用在代数中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，解不定方程时可以通过奇偶性来得到一些重要结论；计算多项式的值可以通过奇偶性来简化计算等等。
2.3 奇偶性在组合数学中的应用在组合数学中，奇偶性也有着广泛的应用。
比如，在排列组合中，奇偶性可以用来证明一些组合恒等式；在排列组合问题中，奇偶性也可以用来简化问题的求解等等。
2.4 奇偶性在概率论中的应用在概率论中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，在求事件概率时可以通过奇偶性来约简问题；在独立事件的概率计算中也可以用奇偶性来简化问题等等。
三、常见问题与定理3.1 奇数的性质奇数与奇数相加的结果是偶数；奇数与偶数相加的结果是奇数；奇数的平方是奇数。
3.2 偶数的性质偶数与偶数相加的结果是偶数；偶数与偶数相乘的结果是偶数；偶数的平方是偶数。
3.3 整数的奇偶性定理整数的奇偶性有许多重要的性质和定理。
函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。
函数奇偶性知识点与经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.∴2bx=0. ∴b ＝0.【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)f x x x =+；（2）1()f x x=； （3）()|1||1|f x x x =+--；（4）()f x =（5）()f x =（6）22,0 (),0x x xf xx x x⎧+<⎪=⎨->⎪⎩解：（1）2()||(1)f x x x=+的定义域为R，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()f x x x x x f x-=--+=+=∴()()f x f x-=，即()f x是偶函数．（2）1()f xx=的定义域为{|0}x x>由于定义域关于原点不对称故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|f x x x=+--的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f (x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．（4）()f x={2}，由于定义域关于原点不对称，故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（5）()f x=的定义域为{1，－1}，由(1)0f=且(1)0f-=，所以()0f x=所以()f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称故()f x既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即22(),0 ()(),0x x xf xx x x⎧-+<⎪-=⎨-->⎪⎩即()()f x f x-=-∴()f x为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.【例5】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g (1).解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得()()f x f x-=-，()()g x g x-=所以－f(1)＋g(1)＝2 ①f (1)＋g (1)＝4 ②由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求f(x)的解析式.解：当0x >时，有0x -<所以3232()()()f x x x x x -=---=--又因为()f x 在 R 上为偶函数所以32()()f x f x x x =-=--所以当0x >时，32()f x x x =--.【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x . 解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ②由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=. 课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 函数()11f x x x =-- ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ） A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2 D.f (x )∈R4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数 6. 定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(－3)B ．f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ．f(－3)<f(5)8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x^3B ．y ＝－x^2＋1C ．y ＝|x|＋1D ．y ＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．0D ．不存在11.偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.13. 已知函数()(0)p f x x m p x=++≠是奇函数，求m14. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x15.定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋ 16.函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式 17.判断函数()(1f x x =+.。
函数奇偶性的归纳总结(同名1076)
函数的奇偶性的归纳总结教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
第14讲 函数的奇偶性总结
第14讲函数的奇偶性十大题型归类总结【知识点梳理】1.关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；2.函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数；④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3.函数奇偶性的几个重要结轮(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论:()f x ()g x ()()f xg x +()()f xg x -()()f xg x (())f g x 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数(3)若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．(4)若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x f x -==．(7)定义在()-∞+∞，上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．(8)若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇，()()f x f x ⋅-为偶函数．4.函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；【题型目录】题型一：判断函数的奇偶性题型二：抽象函数的奇偶性判断题型三：奇偶函数的图像特征题型四：已知函数奇偶性求参数题型五：利用奇偶性求函数值题型六：利用奇偶性求函数解析式题型七：给出函数性质，写函数解析式题型八：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题）题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【典型例题】题型一：判断函数的奇偶性【例1】判断下列各函数是否具有奇偶性（1）xx x f 2)(3+=（2）2432)(x x x f +=（3）1)(23--=x x x x f （4）2)(xx f =[]2,1-∈x （5）xx x f -+-=22)(（6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-=（8）xx x x f -+-=11)1()(【例2】判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xx x f 1)(+=1)(2+=x x x f xx f 1)(=函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。
注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。
（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及)()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。
题型一 判断下列函数的奇偶性。
⑴xx x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) xx x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(=（4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。
当()x g ≠0时，)()(x g x f 为偶函数。
（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ⋅是偶函数，当()x g ≠0时，)()(x g x f 是偶函数。
（6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。
（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为偶函数；若()x g 为奇函数，()x f 为奇函数,则()x F 为奇函数;若()x g 为奇函数，()x f 为偶函数,则()x F 为偶函数.题型二 三次函数奇偶性的判断已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，证明：（1）当0==c a 时，)(x f 是偶函数 （2）当0==d b 时，)(x f 是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如c bx ax x f ++=2)(，当0=b ，)(x f 是偶函数；当0==c a ，)(x f 是奇函数。
题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1 2a a -，，则a b += 31． 2设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 []10,2- ． 3 已知))(1(sin )(a x x xx f +-=是奇函数，则a 的值为 14已知)ln(sin )(2a x x x x f ++=是偶函数，则a 的值为 1提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。
（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(f f f f =--=-。
（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。
题型四 利用函数奇偶性的对称1下列函数中为偶函数的是（ B ）A ．2sin y x x = x y =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 3下列函数中，为偶函数的是（ C ） A ．1y x =+ B ．1y x= C ．4y x = D ．y x = 4函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称5已知函数)1(+x f 是R 上的奇函数，且4)1(=-f ，则)3(f =-4 6已知函数)2(+x f 是R 上的偶函数，则3)3(-=-f ，则)7(f =-3提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。
(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。
(3)在原点有定义的奇函数必有0)0(=f 。
（4）已知函数)(t x f +是R 上的奇函数，则)(x f 关于点)0,(t 对称。
(5)已知)(t x f +是偶函数，则)(x f 关于直线t x =对称。
题型五 奇偶函数中的分段问题1设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f -=-3 2已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-，求0x <时，()f x 的表达式。
2)(+=x x x f3已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，232)(x x x f -=，则)3(-f =-45 4已知()f x 是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，求)4(-f 245设偶函数()f x 满足)0(42)(≥-=x x f x，则(){}20x f x ->={|04}x x x <>或提示：（1）已知奇函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0<x 时，)()(x g x f --=。
（2）已知偶函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0<x 时，)()(x g x f -=。
类型六 奇函数的特殊和性质1已知函数2)(3+=ax x f ，求)2()2(f f +-的和为4 2已知753()6f x x bx cx dx =-+++，且(3)12f -=，则(3)f =0 3已知8)(35-++=bx ax x x f ，10)2(=-f ，)2(f =_-26__4已知函数()f x ＝2211x x x +++，若32)(=a f ，则=-)(a f ( 43 ) 提示：已知)(x f 满足，t x g x f +=)()(，其中)(x g 是奇函数，则有t a f a f 2)()(=-+。
题型七 函数奇偶性的结合性质1设()f x 、()g x 是R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数2设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．)()(x g x f +是偶函 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +|是偶函数 D ．)()(x g x f -|是奇函数3设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式, 21()1f x x =-，2()1x g x x =-。
提示：（1）已知)(x f 是奇函数，则)(x f 是偶函数。
（2）已知)(x h 是R 上的函数，且)(x f 也是R 上的偶函数和()g x 也是R 上的奇函数，满足)()()(x g x f x h +=，则有2)()()(x h x h x g +-=，2)()()(x h x h x f --=。
题型八 函数的奇偶性与单调性1下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+ D ．lg y x = 2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为 （A ）cos 2y x =，x ∈R （B ）x y 2log =，x ∈R 且x ≠0（C ）2x x e e y --=，x ∈R （D ）31y x =+，x ∈R3设()sin f x x x =-，则()f x =（ B ）A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 有零点的减函数D 没有零点的奇函数 4设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ (10)(01)-，， ）5已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是)3,1(-. 6已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是)32,31( 提示：（1）已知)(x f 是奇函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是增（减）函数。
（2）已知)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是减（增）函数。
（3）已知)(x f 是偶函数，必有)()()(x f x f x f ==-。
题型九 函数的奇偶性的综合问题1已知函数()f x ,当,x y R ∈时，恒)()()(y f x f y x f +=+，且()0,0x f x ><时，又()112f =-（1）求证：()f x 是奇函数；（2）求证：)(x f 在R 上是减函数；（3）求)(x f 在区间[]2,6-上的最值。
最大值1，最小值-3。
2设()上递增，上是偶函数，在区间在0R )(∞-x f ，且有()()3221222+-<++a a f a a f ，求a的取值范围。