2018年高考数学总复习 9.7 抛物线

抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴
的交点,则∠MKO=( C )
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析:由题意,得点 M 的坐标为
������ 2
,������
.
∵K
-
������ 2
,0
,∴kKM=1.∴∠MKO=45°,故选 C.
知识梳理 考点自测
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知识梳理 考点自测
3.抛物线的几何性质
标准方程
y2=2px
y2=-2px x2=2py x2=-2py
(p>0)
(p>0) (p>0) (p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点 对称轴 焦点 离心率
O (0,0)
y=0
F
p 2
,0
e= 1
F
-
p 2
,0
x=0
F
0,
p 2
离心率).
2016 全国Ⅲ,文 20
2.理解数形结 2017 全国Ⅰ,文 20
合的思想. 2017 全国Ⅱ,文 12
3.了解抛物线 2017 全国Ⅲ,文 20
的简单应用.
线的定义、几何图形和标准方
程及其简单的几何性质; 2.高考考查的热点内容:圆锥 曲线中对抛物线的考查仅次
于椭圆,出现频率高,各种题型 都有,主要有求抛物线的方程 或已知方程求参数,求抛物线 中的弦长、面积,以及直线与抛 物线综合问题等,也经常结合 椭圆或双曲线进行综合考查; 3.题目的难度:抛物线的客观 题难度中等偏低,抛物线与直 线、其他圆锥曲线及导数结合
(1)x1x2=p42,y1y2=-p2. (2)弦长|AB|=x1+x2+p=������������2������p2������(α 为弦 AB 所在直线的倾斜角). (3)S△AOB=2���p������������2���α(α 为弦 AB 所在直线的倾斜角). (4)以 AB 为直径的圆与准线相切.
2
+
���2���=3⇒p=32,
所以抛物线的方程为 y2=3x,故选 D.
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
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思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么? 解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物 线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要 时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0). 2.抛物线几何性质的确定,由抛物线的方程可以确定抛物线的开 口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的 焦点坐标及准线方程.
������ = 2������-6
∴x1+x2=9.∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15,
故选 D.
(2)∵������������=4������������,∴|������������|=4|������������|.∴||������������������������|| = 34.
过 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',设 l 与 x 轴的交点为 A(图略),
则|AF|=4,
∴|������������|
|������������|
=
|������������'| |������������|
=
34,
∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选 C.
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出题难度偏高.
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知识梳理 考点自测
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线 的 准线 . 2.抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程 为 y2=2px(p>0) ; (2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程 为 y2=-2px(p>0) ; (3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程 为 x2=2py(p>0) ; (4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程 为 x2=-2py(p>0) .
代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP 的面积为 S=12·|OF|·|yP|=12×1×2=1.
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
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思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题? 解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距 离相互转化. 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离 |PF|=|x|+���2���或|PF|=|y|+���2���.
5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交抛物
线C于A,B两点,则|AB|=
12 .
解析:由已知得焦点 F 为
3 4
,0
,p=32.
设 α 为弦 AB 所在直线的倾斜角,则 α=30°,
由弦长公式|AB|=x1+x2+p=si2n���2���������,得|AB|=si2n���2���������
考点五
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又解抛析物: (1线)双y2曲=2线px���4���(2p-x>20=)1的的准两线条方渐程近是线x方=-程���2���, 是 y=±2x. 故 A,B 两点的纵坐标分别是 y=±p.
∵△AOB 的面积为 1,
∴1
2
·���2���·2p=1.
∵p>0,∴p=√2.
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考点一
F 的距离为 2,O 为坐标原点,则△OFP 的面积为( B )
A.12
B.1
C.32
D.2
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
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解析: (1)焦点 F(1,0),设 A,B 分别在第一、第四象限,则点 A 到准
线 l:x=-1 的距离为 3,得点 A 的横坐标为 2,纵坐标为 2√2,直线 AB 的
方程为 y=2√2(x-1),与抛物线方程联立可得 2x2-5x+2=0,所以点 B 的 横坐标为12,纵坐标为-√2,S△AOB=12×1×(2√2 + √2)=3√22.
(2)设 P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. 又点 P 到焦点 F 的距离为 2,
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2. ∴xP+1=2,∴xP=1.
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考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
对点训练2(1)(2017宁夏银川模拟)直线l过抛物线x2=2py(p>0)的
焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴
的距离是1,则此抛物线方程是( B )
向右
向左
向上
向下
焦半径(其 |PF|= 中 P(x0,y0)) x0+���2���
|PF|= -x0+���2���
|PF|= y0+���2���
|PF|= -y0+���2���
知识梳理 考点自测
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1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图 所示,则
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4.(2017福建龙岩一模,文14)过抛物线C:x2=4y的焦点F作直3 线l交
抛物线C于A,B两点,若|AB|=5,则线段AB中点的纵坐标为 2
.
解析:抛物线 C:x2=4y,则 p=2.设经过点 F 的直线与抛物线相交
于 A,B 两点,其纵坐标分别为 y1,y2,利用抛物线定义, |AB|=y1+y2+p=5,AB 中点纵坐标为 y0=12(y1+y2)=12(|AB|-p)=32.
A.-14或-112
B.14
或
1 12
C.-4 或-12 D.4 或 12
解析:抛物线的准线方程为 x=-���4���,则点 A(2,1)到抛物线 y2=ax 准
线的距离为
2
+
������ 4
=1,解得
a=-4
或
a=-12.故选
C.
3.(2017安徽蚌埠一模,文7)M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是
(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( × )
(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦
点坐标是
������ 4 ,0
.( ×
)
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知识梳理 考点自测
2.(2017 湖南邵阳一模,文 5)点 A(2,1)到抛物线 y2=ax 准线的距
离为 1,则 a 的值为( C )
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
抛物线的方程及几何性质
例 2(1)(2017 安徽合肥一模,文 6)已知双曲线���4���2-x2=1 的两条渐近 线分别与抛物线 y2=2px(p>0)的准线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,
若△OAB 的面积为 1,则 p 的值为( B )
A.1
B.√2
C.2√2 D.4
(2)(2017 宁夏石嘴第三中学模拟,文 11)如图,过抛物线
y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A,B,C,若
|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为( D ) A.y2=32x B.y2=9x C.y2=92x D.y2=3x
考点一
考点二
考点三
考点四
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一
定是抛物线. ( × )
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.
(× )
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).
(× )
考点二
考点三
考点四
考点五
(2)由题意,过点 A,B 分别作准线的垂线,垂足为 A',B',如图所示,
根据抛物线定义得|BB'|=|BF|.
又|BC|=2|BF|=2|BB'|,
则∠BCB'=30°,即∠AFx=60°,
所以直线 AB 的斜率为 k=tan∠AFx=√3.
又点 F
������ 2
,0
,所以直线 AB 的方程为 y=√3
=
3
1
=12.
4
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
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抛物线的定义及其应用
例 1(1)(2017 安徽模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛
物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( C )
A.√22
B.√2
C.3√2 2
D.2√2
(2)(2017 辽宁大连双基测试)若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
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对点训练1(1)(2017河南濮阳一模,文9)抛物线y2=2px(p>0)的焦点
为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于
M,N两点,则|MN|=( D )
A.30 B.25 C.20 D.15
(2)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是
������-
������ 2
.
������2 = 2������������,
联立直线与抛物线的方程 ������ = √3
������-
������ 2
解得 ,
x1=32������,x2=���6���.
结合图形知,点 A 的横坐标为32������,
又|AA'|=|AF|=3,
则3������
直线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若������������=4������������,则|QF|=( C )
A.72
B.52
C.3
D.2
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考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
解析: (1)圆 x2+y2-6x=0 的圆心(3,0),焦点 F(3,0),抛物线 y2=12x,
设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l 的方程为 y=2x-6, 联立 ������2 = 12������,得 x2-9x+9=0,
(5)∠CFD=90°.
2.设 P(x0,y0)为圆锥曲线 C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 上的任意一
点,则过点
P
的切线方程为
Ax0x+Bx
0
y +y 0 2
x
+Cy0y+Dx
0 +x+Ey 0 +y +F=0.
2
2
3.抛物线 y2=2px(p>0)的通径长为 2p.
知识梳理 考点自测
F
0,-
p 2
知识梳理 考点自测
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标准方程
准线方程 范围 开口方向
y2=2px
yຫໍສະໝຸດ Baidu=-2px x2=2py x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
9.7 抛物线
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考纲要求
五年考题统计 命题规律及趋势
1.高考考查的重点内容:抛物
1.掌握抛物线
的定义、几何 2013 全国Ⅰ,文 8
图形和标准 2014 全国Ⅰ,文 10
方程,掌握其 2014 全国Ⅱ,文 10
简单的几何 2015 全国Ⅰ,文 5
性质(范围、对 2016 全国Ⅱ,文 5
称性、顶点、 2016 全国Ⅰ,文 20