第章矩阵特征值的计算

它们之间有如下的关系：
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))
a(k 1) pp
a(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
n n n 2
即
1
2
[1, , n ] [1, , n ]
( 2 , 1 ) 2 2
( 3 , 1 ) ( n , 1 )
( 3 , 2 ) ( n , 2 )
3 2
( n , 3 )
n
2
QR
Q为正交阵，R 为上三角阵
将n个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为
本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一 类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似 变换的方法（变换法）.
8.2.2 乘幂法
定理6 设A Rnn有完全特征向量系，若1, 2,…, n为A的n个特征值且满足
1 2 n
对任取初始向量x(0) Rn，对乘幂公式
x(k ) Ax (k 1)
确定的迭代序列{xk}，有下述结论：
2
S sin sin 2
2C
（4）
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
8.2.4 QR方法基础
斯密特（Schmidt）正交化过程：
设1，2，3 为R3上的三个线性无关的向量， 令 1 ，1 则11为2 单位长度的向量，再令
2 2 ( 2 , 1 )1 , 2 2 2 2
可以验证（1, 2）= 0，即1与2正交。若令
3 3 ( 3 , 1 )1 ( 3 , 2 ) 2
斯密特正交化方法。
斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。
5.4 对称矩阵的雅克比 (Jacobi) 旋转法 1．预备知识
1）若B是上（或下）三角阵或对角阵， 则B的主对角元素即是B的特征值。
2）若矩阵P满足PTP = I，则称P为正交矩阵。 显然PT = P-1，且P1, P2,…, 是正交阵时， 其乘积P = P1P2…Pk仍为正交矩阵。
j 1
0 0
2
vj
为加快收敛速度，适当选择参数0，使
(0
)
max
2 jn
j 1
0 0
k
达到最小值。
当i (i = 1, 2, …, n)为实数，且1>2 ≥…≥n时，取
*0
1 2
(2
n )
则为 (0) 的极小值点。这时
2 *0 1 *0
2
1 2
2
1 2
n
1
1 2
2
1 2
n
2 n 21 2 n
n
n
tr( A) aii i
i 1
i 1
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
det( A) 12 n
定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则
（1）对任意AR n，x≠0，
n
( Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
（3）
1
max x0
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0
max
1 i n
xi
则
max (x) = xi
对任取初始向量x(0)，记
y(0) x(0) max( x(0) )
则
x(1) Ay(0)
一般地，若已知x(k)，称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
b）若1 = -2，对i = 1, 2, …, n
lim
k
x ( k 1) i xi(k )
12
收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。向量 x(k1) 1x(k )
、
x (k1) 1 x (k ) 分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。
c）若 1 2 ，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，
y
当 时 ，有下面三角恒等式：
4
2 cos2 1 cos 2
1
1 tg2 2
y x2 y2
于是 2 cos2 1 y
x2 y2
采用下面公式计算 sin
sin 2 2 sin cos tg2 cos 2 x
x2 y2
特征向量的计算
记 P0 = I
则 Pk Pk1PkT
则
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 0
即与1, 2正交，将其单位化为
3 3 3 2
于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且
1
2
[1, 2 , 3 ] [1, 2 , 3 ]
(2 , 1) 2 2
(3, 1)
(3, 2 )
3 2
QR
其中Q = [1, 2, 3]为正交矩阵，R是上三角阵。
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我
们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根. 但当n较 大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系 数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求
矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特 征值及特征向量的数值解法.
( Ax, x) (x, x)
定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设AR nn，则
（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，
n
z aii aij j 1 ji
, i 1, 2, , n
n
表示以aii为中心，以 aij 半径为的复平面上的n个圆盘。 j 1 ji
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
第8章 矩阵特征问题的计算
南京中医药大学信息技术学院 制作:张季
引言
• 工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定 性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特 征值与特征向量的问题.
第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 • 8.2 • 8.3 • 8.4 • 8.5 • 8.6
对n维向量空间，设1, …, n为Rn上n个线性无关的向量，
类似有
1 1
2 2 ( 2 , 1 )1
3 3 ( 3 , 1 )1 ( 3 , 2 ) 2
………
1 1 1 2
2 2 2 2
3 3 3 2 …
n1
n n ( n , j ) j j 1
2 1
8.2.3 反幂法
设ARnn可逆，则无零特征值，由
Ax x
( x 0) 有
A1 x 1 x
若
A
有| 1
|
|
2 |
…
>
| n |，则
A1 有
1
n
1
n1
…
1
1
对应同样一组特征向量。
A1 的主特征根
A的绝对值最小的特征根
如何计算 解线性方程组
x(k1) A1 x(k )
Ax(k 1) x(k )
应有关系式：
i i 0
(i = 1, 2, …, n)
Bvi ( A 0 I )vi Avi 0vi (i 0 )vi
关于矩阵B的乘幂公式为
x(k ) Bk x(0) ( A 0 I )k x(0)
1k
1v1
n j
j2
j 1
k
v
j
(1
0 )k
1v1
n
j2
j
特征值与特征向量的基础知识 特征值求取 函数eig()计算特征值 舒尔分解和奇异值分解 矩阵指数计算 计算范数和矩阵谱半径的函数
8.1特征值与特征向量的基础知识
定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使 B P 1 AP
则称A与B相似。
定理1 若矩阵A, BR nn且相似，则
（1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。
x
(
k
1)
Ay(k )
(k 0, 1, )
定理7 设ARnn具有完全特征向量系，1, 2, …, n为A的n个
特征值，且满足
1 2 n
则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列
y(k)，x(k)满足
(1)
lim
k
max(
x
(k
)
)
1
（2）y(k)为相应于主特征值1的特征向量近似值
若
a (kFra Baidu bibliotek) pq
（1）令
y
a (k 1) pp
a (k 1) qq
x
2a
(k 1) pq
sign
a (k 1) pp
a (k 1) qq
（2） cos 2 y
x2 y2
当 y = 0时，
4
sin 2 x
x2 y2
sin cos 1
2
（3） C cos 1 1 cos 2
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后，由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i
q
p
2
2
解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。
向量 x (k 1) 2 x (k ) 、 x (k1) 1 x (k ) 分别为相应于1，2
y(k ) v1 , ( Av1 1v1 )
5.2.2 原点位移法
x(k ) Ax (k 1) 1k
n
j 1
j
j 1
k
v
j
希望 | 2 / 1 | 越小越好。
不妨设 1 > 2 … n ，且 | 2 | > | n |。
取0（常数），用矩阵B = A - 0I 来代替A进行乘幂迭代。 设i (i = 1, 2, …, n)为矩阵B 的特征值，则B与A特征值之间
3）称矩阵 1
1
cos sin
1
Pij
1
sin cos
1
1
i
j
为旋转矩阵
2．雅克比方法
设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0 = A，对A作一系列
旋转相似变换
Ak Pk Ak1 PkT
(k 1, 2, )
其中Ak (k = 1, 2,…)仍是对称矩阵，Pk的形式
1
定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关
的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为 对角阵，即有可逆阵P，使
1
P 1 AP D
2
n
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
定理3 ：AR nn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即
规范化反幂法公式为
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
Ax
(
k
1)
y(k)
(k 0, 1, )
如果考虑到利用原点移位加速的反幂法，则记B = A - 0I，
对任取初始向量x(0)Rn，
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
Bx
(
k
1)
y(k)
(k 0, 1, )
(k 1) pq
sin
cos
a(k qq
1)
sin
2
a(k qq
1)
cos
2
a
(k) pq
a a (k1) pp
(k 1) qq
sin
cos
a
(k 1) pq
(cos
2
sin2
)
我们选取Pk，使得
a(k) pq
0
，因此需使 满足
tg2
2a
(k 1) pq
a a (k1) pp
(k 1) qq
Pk 的元素为：
P(k ip
)
P (k 1) ip
cos
P (k 1) iq
sin
P(k iq
)
P(k ip
1)
sin
P(k iq
1)
cos
Pij(
k
)
P (k 1) ij
j p, q
算法：
1．从A(k-1)中找出绝对值最大元素
a
(k 1) p,q
,
pq
2．若
a (k 1) pq
，则为对角阵，停
（1）当 1 2 时，对i = 1, 2, …, n
lim
k
x(k 1) i xi( k )
1
收敛速度取决于 r 2 1 的程度，r << 1收敛快，r 1收敛慢，
1
且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。
（2）当 1 2 3 时
a）若1 = 2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；
1
cos sin
1
Pk
1
sin cos
1
1
i
j
p(k ) ii
p(k ) jj
p(k ) ij
p(k ) ij
p(k ) pp
p(k ) qq
cos
p(k ) pq
p(k ) qp
sin
p(k ) ii
1
p(k ) ij
0
i, j p,q
Pk是一个正交阵，我们称它是（i, j）平面上的旋转矩阵 PkAk-1Pk只改变A的第i行、j行、i列、j列的元素； Ak和Ak-1的元素仅在第P行（列）和第q行（列）不同，
将 限制在下列范围内
4
4
如果
a ( k 1) pp
a(k qq
1)
0
a ( k 1) pq
0
4
a ( k 1) pq
0
4
直接从三角函数关系式计算sin 和cos，记
y
a (k 1) ii
a (k 1) ji
x
sin
a (k 1) ii
a (k 1) jj
2ai(jk 1)
则
tg2 x