第章矩阵特征值的计算
矩阵特征值与特征向量计算
向量的∞-范数
,
向量的规范化
, k 1, 2, (3.9)
当 |k -k-1| /k ≤ 时，迭代结束，以当前的 k 作为 1 的近似 值，以 yk-1作为属于 1 的特征向量。
例1 求下矩阵的最大特征值及所属特征向量.
误差为0.0001.
6 A 21 12 12 3 12 6 24 51
注:
(1)有些实际问题只需要求出按模最大的特征值和 相应的特征向量，有的要求出全部的特征值和相应的 特征向量。 对于不同的问题有不同的解法。 (2)关于计算A的特征值问题，当n=2，3时，可按 行列式展开的方法求出φ()=0的根，但当n较大时，如 果再按行列式方法求，首先求出φ()的系数，再求φ() 的根，工作量就非常大，用这种方法求φ()的根是不 切实际的，因此需要研究A的特征值及特征向量的数值 解法。 (3)本章将介绍计算机上常用的两类方法，一类是 幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的 方法（变换法）。
2
(b xT 1 1 b1 x1T
2 T
) A (b x )
1 1 2
b1 x1
T
2
b1 x1 x1 b1 x1
2 2
1
1 .
第一种幂法迭代格式:
任取非零向量u0 ,
T uk 1uk 1 k 1 yk 1 uk 1 / k 1 uk Ayk 1 T k yk 1uk
k 0,1, 2,
任取初始值 u 0
y0 u0 u0 ,
0,
u 1 Ay 0
Au 01
Au 0 Au 0
2 2
,
u 2 Ay 1
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
第8章 矩阵特征值计算
第八章 矩阵特征值计算1 特征值性质和估计工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。
另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1.1 特征值问题及性质设矩阵n n ⨯∈A R （或n n ⨯C ），特征值问题是：求C λ∈和非零向量n R ∈x ，使λ=Ax x (1.1)其中x 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。
A 的全体特征值组成的集合记为sp()A 。
求A 的特征值问题(1.1)等价于求A 的特征方程()det()0p I λλ=-=A (1.2)的根。
因为一般不能通过有限次运算准确求解()0p λ=的根，所以特征值问题的数值方法只能是迭代法。
反之，有时为了求多项式111()n n n n q a a a λλλλ--=++++的零点，可以把()q λ看成矩阵123101010n a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征多项式（除(1)n -因子不计）。
这是一个Hessenberg 矩阵，可用QR 方法求特征值，从而求出代数方程()0q λ=的根。
矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵A 的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。
本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given 方法和Householder 方法；求任意矩阵全部特征值的QR 算法。
在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。
定理1 设n n R ⨯∈A ，则(1) 设λ为A 的特征值，则λμ-为μ-A I 的特征值；(2) 设12,,,n λλλ是A 的特征值，()p x 是一多项式，则矩阵()p A 的特征值是12(),(),,()n p p p λλλ。
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
上页 下页
定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
矩阵的相似变换(第一章)
10，A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
11，如果n阶方阵A有那个不同的特征向量，则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。
Jordan
1，Jordan块：Ji=
2，Jordan阵：J=
3，A的Jordan标准形，设 ，则A与一个Jordan标准形J相似即存在P ，有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形。
（3）A为正规阵，λ是A的特征值，x是对应特征向量，则 为AH的特征值，对应特征向量为xH。
（4）A为正规阵，不同的特征值对应的特征向量正交。
6,Hermite正定矩阵、半正定矩阵：
设A 是Hermite矩阵，若任意0≠x n都有xHAx＞0（或xHAx≥0），则称A是Hermite正定（半正定）矩阵。
（3）行列式因子法：设A（λ）的秩为r，m×n阶，1≤k≤n，则A（λ）的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk（λ）称为A的k阶行列式因子。Dk（λ）=d1（λ）d2（λ）…dk（λ）。
第一步：求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk（λ）。
第二步：求dk（λ）（k=1，2，…，n）并并求出A的不变因子。
7，设A 是Hermite矩阵，则，下列条件等价：
（1）A是Hermite正定矩阵（2）A的特征值全为正实数（3）存在P ，使得A=PHP
（1）A是Hermite半正定矩阵（2）A的特征值全为非负实数（3）存在P ，使得A=PHP。
第一步：将A写成A（λ），即λI-A
第二步：用初等变换法将矩阵化为如下形式：（smith标准型）
其中di（λ）/di+1（λ）可整除
矩阵特征值与特征向量的计算方法
矩阵特征值与特征向量的计算方法矩阵是一个广泛应用于线性代数、微积分和物理学等领域的数学对象。
在许多问题中，矩阵和线性变换起着重要作用，并且特征值与特征向量是矩阵理论中的两个核心概念。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得A与x的线性组合仍然是x的倍数，即有Ax = λx其中λ为常数，称λ为A的特征值，x为对应于λ的特征向量。
从几何意义上理解，特征向量是不被矩阵变换影响方向，只被影响长度的向量。
特征值则是描述了矩阵变换对于特定方向上的伸缩倍数。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量构成的向量空间没有零向量。
证明：设x为A的特征向量，有Ax=λx，则A(cx) =cAx=cλx=λ(cx),即A的任意常数倍(cx)仍是x的倍数，因此cx也是A的特征向量。
特别地，对于λ≠0时，x/λ也是A的特征向量。
2. A的特征值的个数不超过n个。
证明：考虑特征值λ1, λ2,…,λt，对应于各自的特征向量x1,x2,…,xt。
利用向量线性无关性可得，至少存在一个向量y不属于x1,x2,…,xt的张成空间内，此时Ay不能被表示成λ1x1,λ2x2,…,λtxt的线性组合，因此Ay与y方向没有重合部分，由此可得λ1, λ2,…,λt最多就是n个。
3. 如果特征向量x1,x2,…,xt彼此不共线，则它们就可以作为Rn空间的一组基。
证明：设x1,x2,…,xt是不共线的特征向量，考虑它们张成的向量空间V，在此空间中，A的作用就是对向量做伸缩变换，且Λ(xj) = λj。
对于每个向量y ∈ V，y可以表示成如下形式：y = c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt由于x1,x2,…,xt构成V的基，因此c1,c2,…,ct唯一确定了向量y。
因此，对于任意的向量y，可以得到:Ay = A(c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt)= c1Ax1 + c2Ax2 + ··· + ctAxt= λ1c1x1 + λ2c2x2 + ··· + λtctxt由于{x1,x2,…,xt}是V的一组基，c1,c2,…,ct是唯一确定的，因此Ay也被唯一确定了。
第四章矩阵的特征值和特征向量
即，0不是A的特征值，或者，A的任一特征值不等于零
充分性：设A的任一特征值不等于零，假设A不可逆 则 det A 0, 于是det(0E-A)=det(-A)=(-1)n det A 0 所以＝0是A的一个特征值，矛盾
m 是A的m个不同 的特征值，1， m分别是A的属于1，2 m的特征向量， 则1， m线性无关
T
特征值1的全部特征向量为c11 (c1 0, 常数)
对于3＝2，解对应的齐次线性方程组(2E A) X 0,
1 1 －1 x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 x 0 3
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵，含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵，其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1：设A (aij )为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是 A的属于0的特征向量的充要条件是，0为特征方程 det( E A) 0的根， 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
（2）由（4.1)式知：向量 是齐次线性方程组(0 E A) 0 ( 0)的非零解。而该方程组有非零解的充分必要条件是 其系数行列式 0 E A 0.
(3) 矩阵A的特征值0，即以为变量的一元n次方程
E A 0的根。
(4) 如果已经求出方程 E A 0的根，则齐次线 性方程组(0 E A) X 0的任意非零解，都是A的 属于0的特征向量。
对于1 2, 解齐次线性方程组(2 E A) X＝0，即解 －5 －4 x1 0 x －5 －4 2 0
第章矩阵特征值的计算
第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。
本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。
一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。
从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。
二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。
给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。
假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。
最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。
3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。
首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。
最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。
三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。
例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。
例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。
3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。
矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值，就是求特征多项式方程：
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后，再求相应的齐次线性方程组：
(13)
为了防止溢出，计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n
⎨
≈
1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ，为了节省工作量，可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此，计算矩阵 A 的按模
最小的特征值，就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想：把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ，由矩阵 A−1 构造向量序列：
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值，且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此，当给
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
第七章—矩阵特征值计算
定义4 设A是n阶实对称阵, 对于任一非零向量x R n , 称 ( Ax, x ) R( x ) ( x, x ) 为关于向量x的瑞雷( Rayleigh)商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则 （ 1 ） （2） ( Ax, x ) 1 n , 对于任何非零向量x R n , ( x, x ) ( Ax, x ) 1 max , xR n ( x, x )
为了避免“溢出”下面做改进. 记 max(v )为向量v的绝对 v 值最大的分量，规范化得 u (v 0). 就有 max(v ) 定理13 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 (a1 0)， 计算 u0 v0 , v Au , k k 1 (k 1,2, ) k max(vk ), uk vk / k . x1 lim uk , lim k 1. k max(x1 ) k
定理2 若i (i 1,, n)是矩阵A的特征值, 则 n n (1) i aii tr ( A), i 1 i 1 (2) det( A) 1 n .
定理3 设A R nn , 则
( A ) ( A).
T
定理4 设A为分块上三角阵, A11 A A12 A22 A1m A2 m Amm
对任何非零初始向量u0 v0，计算 vk ( A pI ) 1 uk 1, (k 1,2, ). u vk , k max(vk ) 如果p是A的特征值 j的近似，并且满足 (2.12)
0 j p i p , ( j i )
矩阵特征值计算
第五章矩阵特征值计算与线性方程组的求解问题一样，矩阵特征值与特征向量的计算也是数值线性代数的重要内容. 在理论上，矩阵的特征值是特征多项式方程的根，因此特征值的计算可转化为单个多项式方程的求解. 然而对于高阶矩阵，这种转化并不能使问题得到简化，而且在实际应用中还会引入严重的数值误差. 因此，正如第二章指出的，我们一般将多项式方程求解转化为矩阵特征值计算问题，而不是反过来.本章介绍有关矩阵特征值计算问题的基本理论和算法. 与非线性方程求根问题类似，计算矩阵特征值的算法也是迭代方法①.5.1基本概念与特征值分布本节先介绍矩阵特征值、特征向量的基本概念和性质，然后讨论对特征值分布范围的简单估计方法.5.1.1基本概念与性质定义5.1：矩阵A=(a kj)∈ℂn×n，(1) 称φ(λ)=det(λI−A)=λn+c1λn−1+⋯+c n−1λ+c n为A的特征多项式(characteristic polynomial)；n次代数方程φ(λ)=0为A的特征方程(characteristic equation)，它的n个根：λ1,⋯,λn，被称为A的特征值（eigenvalue）. 此外，常用λ(A)表示A的全体特征值的集合，也称为特征值谱(spectrum of eigenvalue).(2) 对于矩阵A的一个给定特征值λ，相应的齐次线性方程组(λI−A)x=0 , (5.1)有非零解（因为系数矩阵奇异），其解向量x称为矩阵A对应于λ的特征向量（eigenvector）.根据方程(5.1)，我们得出矩阵特征值与特征向量的关系，即Ax=λx .(5.2)第三章的定义3.5就利用公式(5.2)对矩阵特征值和特征向量进行了定义，它与定义5.1是等价的. 另外，同一个特征值对应的特征向量一定不唯一，它们构成线性子空间，称为特征子空间(eigenspace).我们一般讨论实矩阵的特征值问题. 应注意，实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数和实向量，但实特征值一定对应于实特征向量（方程(5.1)的解），而一般的复特征值对应的特征向量一定不是实向量. 此外，若特征值不是实数, 则其复共轭也一定是特征值（由于特征方程为实系数方程）. 定理3.3表明，实对称矩阵A∈ℝn×n的特征值均为实数，存在n个线性无关、且正交的实特征向量，即存在由特征值组成的对角阵Λ和特征向量组成的正交阵Q，使得:A=QΛQ T.(5.3)例5.1（弹簧－质点系统）：考虑图5-1的弹簧－质点系统，其中包括三个质量分别为m1、m2、m3的物体，由三个弹性系数分别为k1,k2,k3的弹簧相连，三个物体的位置均为时间的函数，①如果用有限次运算能求得一般矩阵的特征值，则多项式方程求根问题也可用有限次运算解决，这与阿贝尔证明的“高于4次的多项式并不都有用初等运算表示的求根公式”的理论矛盾.这里考查三个物体偏离平衡位置的位移，分别记为y 1(t), y 2(t), y 3(t). 因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡，所以物体的加速度只和偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关. 根据牛顿第二定律以及胡克定律（即弹簧的弹力与拉伸长度成正比）可列出如下微分方程组②： My ′′(t)+Ky(t)=0 ,其中y (t )=[y 1(t)y 2(t)y 3(t)]T ,M =[m 1000m 2000m 3],K =[k 1+k 2−k 20−k 2k 2+k 3−k 30−k 3k 3] . 在一般情况下，这个系统会以自然频率ω做谐波振动，而y 的通解包含如下的分量： y j (t )=x j e iωt ,(j =1,2,3)其中i =√−1，根据它可求解出振动的频率ω及振幅x j . 由这个式子可得出：y j ′′(t )=−ω2x j e iωt ,(j =1,2,3)代入微分方程，可得代数方程:−ω2Mx +Kx =0,或Ax =λx ,其中A =M −1K ，λ=ω2. 通过求解矩阵A 的特征值便可求出这个弹簧－质点系统的自然频率（有多个）. 再结合初始条件可确定这三个位移函数，它们可能按某个自然频率振动（简正振动），也可能是若干个简正振动的线性叠加.例5.2（根据定义计算特征值、特征向量）：求矩阵A =[5−1−131−14−21]的特征值和特征向量.[解]: 矩阵A 的特征方程为：det (λI −A )=|λ−511−3λ−11−42λ−1|=(λ−3)(λ−2)2=0故A 的特征值为λ1=3，λ2=2（二重特征值）.当λ=λ1=3时，由(λI −A)x =0，得到方程[−211−321−422][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,1]T ，记为x 1，则x 1是λ1对应的一个特征向量.当λ=λ2=2时，由(λI −A)x =0，得到方程[−311−311−421][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,2]T ，记为x 2，则x 2是λ2对应的一个特② 本书第八章将介绍这种常微分方程组的数值求解方法.图5-1 弹簧－质点系统.征向量.下面概括地介绍有关矩阵特征值、特征向量的一些性质，它们可根据定义5.1，以及公式(5.2)加以证明.定理5.1：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) ∑λj n j=1=∑a jj n j=1=tr(A) ;(2) ∏λj n j=1=det(A) .这里tr(A)表示矩阵对角线上元素之和，称为矩阵的迹（trace ）.从上述结论(2)也可以看出，非奇异矩阵特征值均不为0, 而0一定是奇异矩阵的特征值. 定理5.2：矩阵转置不改变特征值，即λ(A )=λ(A T ).定理5.3：若矩阵A 为对角阵或上(下)三角阵，则其对角线元素即为矩阵的特征值.定理5.4：若矩阵A 为分块对角阵，或分块上(下)三角阵，例如A =[A 11A 12⋯A 1m A 22⋯A 2m ⋱⋮A mm] , 其中每个对角块A jj 均为方阵，则矩阵A 的特征值为各对角块矩阵特征值的合并，即λ(A )=⋃λ(A jj )m j=1.定理5.5：矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵A 和B 为相似矩阵，即存在非奇异矩阵X 使得B =X −1AX ，则(1) 矩阵A 和B 的特征值相等，即 λ(A )=λ(B ) ;(2) 若y 为B 的特征向量，则相应地，Xy 为A 的特征向量.通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵A 并不总是可对角化的(diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定理..定义5.2: 设矩阵A ∈ℝn×n 有m 个（m n ）不同的特征值λ̃1,⋯,λ̃m ，若λ̃j 是特征方程的n j 重根，则称n j 为λ̃j 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称λ̃j 的特征子空间(ℂn 的子空间)的维数为λ̃j 的几何重数(geometric multiplicity). 定理5.6：设矩阵A ∈ℝn×n 的m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则(1) ∑n j m j=1=n ，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀j ，n j ≥k j .(2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑k j m j=1个基(特征向量)放在一起，它们构成一组线性无关向量.(3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得n 个线性无关的特征向量，它们是全空间ℂn 的基.定义5.3：若矩阵A ∈ℝn×n 的某个代数重数为k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于k （即几何重数小于代数重数），则称A 为亏损阵（defective matrix ），否则称其为非亏损阵（nondefective matrix ）.定理5.7：设矩阵A ∈ℝn×n 可对角化，即存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得X −1AX =Λ,其中Λ∈ℂn×n 为对角阵, 的充要条件是A 为非亏损矩阵. 此时，Λ的对角线元素为矩阵A 的特征值，而矩阵X 的列向量为n 个线性无关的特征向量.定理5.7中方程的等价形式为A =XΛX −1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是A 为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏损矩阵，例如例5.2中的矩阵，它的特征值2的代数重数为2，而几何重数仅为1. 这种矩阵不能相似变换为对角阵，但存在下面的若当分解(Jordan decomposition).定理5.8：设矩阵A ∈ℝn×n , 存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得A =XJX −1,矩阵J 为形如[J 1⋱J p ]的分块对角阵（称为若当标准型），其中J k =[ λk 1λk ⋱⋱1λk ] 称为若当块，其对角线元素为矩阵A 的特征值. 设矩阵A 有m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则p =∑k j m j=1, λ̃j 对应于k j 个若当块, 其阶数之和等于n j .在若当分解中，如果所有若当块都是1阶的，则J 为对角阵，这种分解就是特征值分解，相应的矩阵为非亏损阵. 若当分解是很有用的理论工具，利用它还可证明下面关于矩阵运算结果的特征值的定理.定理5.9：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) 矩阵cA, c 为常数, 的特征值为cλ1,cλ2,⋯,cλn .(2) 矩阵A +pI, p 为常数, 的特征值为λ1+p,λ2+p,⋯,λn +p.(3) 矩阵A k , k 为正整数, 的特征值为λ1k ,λ2k ,⋯,λn k .(4) 设p (t )为一多项式函数，则矩阵p (A )的特征值为p (λ1),p (λ2),⋯ ,p (λn ) .(5) 若A 为非奇异矩阵，则λj ≠0,(j =1,2,…,n), 且矩阵A −1的特征值为λ1−1,λ2−1,⋯,λn −1.5.1.2特征值分布范围的估计估计特征值的分布范围或它们的界，无论在理论上或实际应用上，都有重要意义. 比如，本书前面的内容曾涉及两个问题：(1). 计算矩阵的2-条件数：cond (A )2=√λmax (A T A)λmin (A T A) ;(2). 考察一阶定常迭代法x (k+1)=Bx (k)+f 的收敛性、收敛速度：收敛的判据是谱半径ρ(B)=max 1≤j≤n |λj (B)|<1 ; 收敛速度为R =−log 10ρ(B) .其中都需要对矩阵特征值分布范围的了解.上一章的定理4.4说明谱半径的大小不超过任何一种算子范数，即ρ(A )≤‖A ‖ ,这是关于特征值的上界的一个重要结论.下面先给出定义5.4，再介绍有关特征值的界的另一个重要结论.定义5.4：设A =(a kj )∈ℂn×n ，记r k =∑|a kj |n j=1j≠k ,(k =1,⋯,n)，则集合D k ={z||z −a kk |≤r k ,z ∈ℂ},(k =1,⋯,n)在复平面为以a kk 为圆心、r k 为半径的圆盘，称为A 的Gerschgorin （格什戈林）圆盘.图5-2显示了一个3⨯3复矩阵的格什戈林圆盘.定理5.10 (圆盘定理)：设A =(a kj )∈ℂn×n ，则：(1) A 的每一个特征值必属于A 的格什戈林圆盘之中，即对任一特征值λ必定存在k,1≤k ≤n ，使得：|λ−a kk |≤∑|a kj |nj=1j≠k .(5.4)图5-2 复坐标平面，以及3⨯3矩阵A 的格什戈林圆盘.用集合的关系来说明，这意味着λ(A)⊆⋃D k n k=1.(2) 若A 的格什戈林圆盘中有m 个组成一连通并集S ，且S 与余下的n −m 个圆盘分离，则S内恰好包含A 的m 个特征值（重特征值按重数计）.对图5-2所示的例子，定理5.10的第(2)个结论的含义是：D 1中只包含一个特征值，而另外两个特征值在D 2,D 3的并集中. 下面对定理5.10的结论(1)进行证明，结论(2)的证明超出了本书的范围.[证明]: 设λ为A 的任一特征值，则有Ax =λx ，x 为非零向量. 设x 中第k 个分量最大，即|x k |=max 1≤j≤n|x j |>0 , 考虑方程(5.2)中第k 个方程：∑a kj x j nj=1=λx k , 将其中与x k 有关的项移到等号左边，其余到右边，再两边取模得：|λ−a kk ||x k |=|∑a kj x j n j=1j≠k |≤∑|a kj ||x j |n j=1j≠k ≤|x k |∑|a kj |nj=1j≠k .(5.5)最后一个不等式的推导利用了“x 中第k 个分量最大”的假设. 将不等式(5.5)除以|x k |，即得到(5.4)式，因此证明了定理 5.10的结论(1). 上述证明过程还说明，若某个特征向量的第k 个分量的模最大，则相应的特征值必定属于第k 个圆盘中.根据定理5.2，还可以按照矩阵的每一列元素定义n 个圆盘，对于它们定理5.10仍然成立. 下面的定理是圆盘定理的重要推论，其证明留给感兴趣的读者.定理5.11：设A ∈ℝn×n ，且A 的对角元均大于0，则(1) 若A 严格对角占优，则A 的特征值的实部都大于0.(2) 若A 为对角占优的对称矩阵，则A 一定是对称半正定矩阵，若同时A 非奇异，则A 为对称正定矩阵.例5.3 (圆盘定理的应用)：试估计矩阵A =[41010−111−4]的特征值范围.[解]: 直接应用圆盘定理，该矩阵的三个圆盘如下:D 1: |λ−4|≤1, D 2: |λ|≤2, D 3: |λ+4|≤2.D 1与其他圆盘分离，则它仅含一个特征值，且必定为实数（若为虚数则其共轭也是特征值，这与D 1仅含一个特征值矛盾）. 所以对矩阵特征值的范围的估计是：3≤λ1≤5,λ2,λ3∈D 2∪D 3 .再对矩阵A T 应用圆盘定理，则可以进一步优化上述结果. 矩阵A T 对应的三个圆盘为： D ’1: |λ−4|≤2, D ’2: |λ|≤2, D ’3: |λ+4|≤1.这说明D ’3中存在一个特征值，且为实数，它属于区间[-5, -3]，经过综合分析可知三个特征值均为实数，它们的范围是：λ1∈[3,5],λ2∈[−2,2],λ3∈[−5,−3].事实上，使用Matlab 的eig 命令可求出矩阵A 的特征值为：4.2030, -0.4429, -3.7601.根据定理5.5，还可以对矩阵A 做简单的相似变换，例如取X 为对角阵，然后再应用圆盘定理估计特征值的范围.例5.4 (特征值范围的估计)：选取适当的矩阵X ，应用定理5.5和5.10估计例5.3中矩阵的特征值范围.[解]: 取X−1=[100010000.9] , 则A 1=X −1AX =[41010−109⁄0.90.9−4]的特征值与A 的相同. 对A 1应用圆盘定理，得到三个分离的圆盘，它们分别包含一个实特征值，由此得到特征值的范围估计：λ1∈[3,5],λ2∈[−199,199],λ3∈[−5.8,−2.2]. 此外，还可进一步估计ρ(A)的范围，即3≤ρ(A)≤5.8 .上述例子表明，综合运用圆盘定理和矩阵特征值的性质（如定理5.2, 定理5.5），可对特征值的范围进行一定的估计. 对具体例子，可适当设置相似变换矩阵，尽可能让圆盘相互分离，从而提高估计的有效性.5.2幂法与反幂法幂法是一种计算矩阵最大的特征值及其对应特征向量的方法. 本节介绍幂法、反幂法以及加快幂法迭代收敛的技术.5.2.1幂法定义5.5：在矩阵A 的特征值中，模最大的特征值称为主特征值，也叫“第一特征值”，它对应的特征向量称为主特征向量.应注意的是，主特征值有可能不唯一，因为模相同的复数可以有很多. 例如模为5的特征值可能是5,−5,3+4i,3−4i , 等等. 另外，请注意谱半径和主特征值的区别.如果矩阵A 有唯一的主特征值，则一般通过幂法能方便地计算出主特征值及其对应的特征向量. 对于实矩阵，这个唯一的主特征值显然是实数，但不排除它是重特征值的情况. 幂法(power iteration)的计算过程是，首先任取一非零向量v 0∈ℝn ，再进行迭代计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯)得到向量序列{v k }，根据它即可求出主特征与特征向量. 下面用定理来说明.定理5.12: 设A ∈ℝn×n ，其主特征值唯一，记为λ1，且λ1的几何重数等于代数重数，则对于非零向量v 0∈ℝn ，v 0不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式进行计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯),存在如下极限等式：lim k→∞v k λ1k =x 1 , (5.6) lim k→∞(v k+1)j (v k )j =λ1 , (5.7)其中x 1为主特征向量，(v k )j 表示向量v k 的第j 个分量(k =1,2,⋯).[证明]: 为了推导简便，不妨设主特征值λ1不是重特征值，并且假设矩阵A 为非亏损矩阵. 设A 的n 个特征值按模从大到小排列为: |λ1|>|λ2|≥⋯≥|λn |，它们对应于一组线性无关的单位特征向量x ̂1,⋯,x ̂n . 向量v 0可写成这些特征向量的线性组合：v 0=α1x̂1+⋯+αn x ̂n 根据已知条件，α1≠0，则v k =Av k−1=A k v 0=α1λ1k x ̂1+α2λ2k x̂2+⋯+αn λn k x ̂n =λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)kx ̂j n j=2] =λ1k (α1x̂1+εk ) 其中εk =∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2. 由于|λj λ1|<1,(j =2,…,n), 则 lim k→∞εk =0 ⟹lim k→∞v kλ1k =α1x̂1 . 由于特征向量放大、缩小任意倍数后仍是特征向量，设x 1=α1x̂1，则它是主特征对应的一个特征向量. 上式说明，随k 的增大， v k 越来越趋近于主特征值的对应的特征向量.设j 为1到n 之间的整数，且(v k )j ≠0，则(v k+1)j (v k )j =λ1(α1x ̂1+εk+1)j (α1x̂1+εk )j 由于lim k→∞εk =0，随k 的增大上式等号右边趋于一个常数: λ1. 这就证明了定理的结论.若矩阵A 为亏损矩阵，可利用矩阵的若当分解证明这个定理，这里略去. 在这种情况下，“主特征值的几何重数等于代数重数”这一条件很重要，例如，若A =[310030001] ,它的主特征值为3，但其几何重数为1，不满足条件. 对这个矩阵A 进行实验显示无法用幂法求出主特征值.关于定理5.12，再说明几点：● 当主特征值λ1为重特征值时，应要求其几何重数等于代数重数，此时特征子空间维数大于1，向量序列{v k λ1k ⁄}的收敛值是其特征子空间中的某一个基向量.● 公式(5.7)式的含义是相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 因此在实际计算时，可任意取j 的值，只需保证比值的分母不为零.● 证明中假设了α1≠0，在实际应用中往往随机选取v 0，由于存在舍入误差，它一般都能满足. 感兴趣的读者也可思考一下，若初始向量v 0恰好与主特征向量都正交，那么幂法中的迭代向量序列会有什么结果？直接使用幂法，还存在如下两方面问题：(1) 溢出：由于v k ≈λ1k x 1，则|λ1|>1时，实际计算v k 会出现上溢出（当k 很大时）；|λ1|<1时，实际计算v k 会出现下溢出（当k 很大时）.(2) 可能收敛速度很慢. 由于εk =∑αj (λj λ1)kx j n j=2， εk →0的速度取决于求和式中衰减最慢的因子|λ2λ1|，当|λ2λ1|≈1时，收敛很慢. 由此导致v k →λ1k α1x 1, (v k+1)j (v k )j →λ1的收敛速度都将很慢，严重影响计算的效率.下面采用规格化向量的技术防止溢出，导出实用的幂法. 关于加速收敛技术的讨论，见下一小节.定义 5.6：记max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v ∈ℝn 的绝对值最大的分量， max ̅̅̅̅̅̅(v )=v j ，其中j 满足|v j |=max 1≤k≤n |v k |, 若j 的值不唯一，则取最小的那个. 并且，称u =v/max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v 的规格化向量(normalized vector).例5.5（规格化向量）：设v =[3,−5,0]T ，max ̅̅̅̅̅̅(v )=−5，对应的规格化向量为u =[−35,1,0]T .根据定义5.6，容易得出规格化向量的两条性质.定理5.13: 定义5.6中的规格化向量满足如下两条性质：(1) 若u 为规格化向量，则‖u ‖ =1，并且max ̅̅̅̅̅̅(u )=1.(2) 设向量v 1和v 2的规格化向量分别为u 1和u 2，若v 1=αv 2, 实数α≠0，则u 1= u 2.在幂法的每一步增加向量规格化的操作可解决溢出问题. 先看第一步，v 1=Av 0，此时计算v 1的规格化向量u 1=v 1max ̅̅̅̅̅̅(v 1)=Av 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0). 然后使用规格化向量计算v 2:v 2=Au 1=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0), (5.8) 再进行向量规划化操作，u 2=v 2max ̅̅̅̅̅̅(v 2)=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(A 2v 0). (5.9) 公式(5.9)的推导，利用了(5.8)式和定理5.13的结论(2). 依次类推，我们得到： { v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0) u k =v k max ̅̅̅̅̅̅(v k )=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0) , k =1,2,⋯. (5.10) 根据定理5.12的证明过程， A k v 0=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2] ⟹u k =A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0)=α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2)k→∞→ x 1max ̅̅̅̅̅̅(x 1) , 即u k 逐渐逼近规格化的主特征向量. 同理，v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0)=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2]max ̅̅̅̅̅̅(λ1k−1[α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x̂j n j=2]) =λ1α1x ̂1+∑αj(λj λ1)kx ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x ̂j n j=2) 因此，根据定理5.13的结论(1)有：lim k→∞v k=λ1x1max̅̅̅̅̅̅(x1)⟹limk→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1.基于上述推导，我们得到如下定理，以及如算法5.1描述的实用幂法.定理5.14: 设A∈ℝn×n，其主特征值唯一（且几何重数等于代数重数），记为λ1，取任意非零初始向量v0=u0，它不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式(5.10)进行计算，则lim k→∞u k=x1max̅̅̅̅̅̅(x1),(5.11)lim k→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1 ,(5.12)其中x1为主特征向量.算法5.1：计算主特征值λ1和主特征向量x1的实用幂法输入：v,A; 输出：x1,λ1.u:=v;While不满足判停准则dov:=Au;λ1:=max̅̅̅̅̅̅(v); {主特征值近似值}u:=v/λ1; {规格化}Endx1:=u. {规格化的主特征向量}在算法5.1中，可根据相邻两步迭代得到的主特征值近似值之差来判断是否停止迭代. 每个迭代步的主要计算是算一次矩阵与向量乘法，若A为稀疏矩阵则可利用它的稀疏性提高计算效率. 实用的幂法保证了向量序列{v k},{u k}不溢出，并且向量v k的最大分量的极限就是主特征值.最后，针对幂法的适用范围再说明两点：(1). 若实矩阵A对称半正定或对称半负定，则其主特征值必唯一（而且是非亏损阵）. 有时也可以估计特征值的分布范围，从而说明主特征值的唯一性. 只有满足此条件，才能保证幂法的收敛性.(2). 对一般的矩阵，幂法的迭代过程有可能不收敛，此时序列{u k}有可能包括多个收敛于不同向量的子序列，它趋向于成为多个特征向量的线性组合. 但是，一旦幂法的迭代过程收敛，向量序列的收敛值就一定是特征向量，并可求出相应的特征值.例5.6 (实用的幂法)：用实用的幂法求如下矩阵的主特征值：A=[3113] ,[解]: 取初始向量为v0=u0=[01]T . 按算法5.1的迭代过程，计算结果列于表5-1中.表5-1 实用幂法的迭代计算过程从结果可以看出，在每次迭代步中做的规格化操作避免了分量的指数增大或缩小. 经过9步迭代，特征值max ̅̅̅̅̅̅(v k )已非常接近主特征值的准确值4，特征向量也非常接近[1 1]T .5.2.2加速收敛的方法 加速幂法迭代收敛过程的方法主要有两种：原点位移技术和瑞利商（Rayleigh quotient ）加速. 下面做些简略的介绍.一. 原点位移技术原点位移技术，也叫原点平移技术，它利用定理5.9的结论(2)，即矩阵A −pI 的特征值为A 的特征值减去p 的结果. 对矩阵B =A −pI 应用幂法有可能得到矩阵A 的某个特征值λj 和相应的特征向量. 要使原点位移达到理想的效果，首先要求λj −p 是B 的主特征值，其次还要使幂法尽快收敛，即比例|λ2(B)λj −p |要尽量小，这里的λ2(B)表示矩阵B 的（按模）第二大的特征值. 在某种情况下设置合适的p 值，矩阵A,B 可同时取到主特征值. 图5-3显示了这样一个例子，矩阵A 的特征值分布在阴影区域覆盖的实数轴上，λ1为其主特征值. 按图中所示选取的p 值，将使得λ1−p 是矩阵B =A −pI 的主特征值，并且显然有|λ2(B)λ1−p |<|λ2(A)λ1| . 此时用幂法计算B 的主特征值能更快地收敛，进而得到矩阵的A 的主特征值. 图5-3也解释了原点位移法名字的由来，即将原点（或虚数坐标轴）移到p 的位置上，原始矩阵A 的特征值分布变成了矩阵B 的特征值分布.采用原点位移技术后，执行幂法仅带来很少的额外运算，而且仍然能利用矩阵A 的稀疏性. 它的关键问题是，如何选择合适的参数p 以达到较好的效果？这依赖于具体矩阵的情况，以及对其特征值分布的了解. 在后面，我们还会看到原点位移技术的其他用途.二. 瑞利商加速首先给出瑞利商的定义，以及它与特征值的关系，然后介绍瑞利商加速技术.定义5.7：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，对任一非零向量x ≠0，称R (x )=〈Ax,x 〉〈x,x 〉为对应于向量x 的瑞利商（Rayleigh quotient ）. 这里符号〈,〉代表向量内积.定理5.15：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，其n 个特征值依次为：λ1≥λ2≥⋯≥ λn ，则矩阵A 有关的瑞利商的上下确界分别为λ1和λn . 即∀x ≠0,λn ≤R (x )≤λ1,且当x 为λ1对应的特征向量时R (x )=λ1，当x 为λn 对应的特征向量时R (x )=λn .[证明]: 根据实对称矩阵的特点，即可正交对角化（定理3.3），设特征值λ1,λ2,⋯,λn 对应的单位特征向量为x 1,x 2,⋯,x n ，设x =∑αj x j n j=1，则〈x,x 〉=〈∑αj x j n j=1,∑αj x j n j=1〉=∑αj 2n j=1，而图5-3 原点位移技术示意图.。
矩阵特征值计算范文
矩阵特征值计算范文一、矩阵的特征值与特征向量在线性代数中，我们将一个n阶方阵A所满足的以下等式称为特征方程：det(A-λI) = 0其中，det(·)表示矩阵的行列式，λ是一个标量，I是n阶单位矩阵。
特征方程的解称为矩阵的特征值，而使得特征方程成立的非零向量称为矩阵的特征向量。
特征值和特征向量之间存在一定的关系。
设λ是A的特征值，对应的非零向量x称为特征向量，那么满足以下等式：Ax=λx即，矩阵A左乘一个特征向量等于特征值乘以该特征向量。
二、矩阵特征值计算的方法1.特征多项式法特征多项式法是求解特征值的基本方法，也是最常用的方法之一、其步骤如下：（1）给定一个n阶方阵A；（2）根据特征方程det(A-λI) = 0，计算特征多项式F(λ) =det(A-λI)；（3）求特征多项式F(λ)的根（也称为特征值），即使得F(λ)=0的λ值。
2.幂法幂法是一种迭代法，用于求解矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。
其基本思路是从一个随机的非零向量x开始，通过迭代方法逐渐使向量x趋近于矩阵的特征向量。
具体步骤如下：（1）给定一个n阶方阵A；（2）初始化一个非零向量x0；（3）迭代计算：若x为第k次迭代的向量，则：y=Ax；x=y/，y；（4）重复步骤（3）直到收敛，即x的变化趋于稳定；（5）计算特征值：λ=(Ax)/x；（6）计算特征向量：v=x/，x。
3.QR迭代法QR迭代法是一种迭代法，用于求解矩阵的全部特征值。
其基本思路是将矩阵A通过QR分解得到上三角矩阵R，并迭代计算，使得A逐渐趋近于一个上三角矩阵。
具体步骤如下：（1）给定一个n阶方阵A；（2）进行QR分解，将A分解为A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵；（3）计算矩阵的下一个近似值：A_next = RQ；（4）重复步骤（2）和（3），直到矩阵A的对角线元素足够接近特征值；（5）取出对角线上的元素，即为矩阵A的特征值。
除了上述方法外，还有许多其他的特征值计算方法，如反幂法、Jacobi方法、Hessenberg矩阵法等。
数值计算方法第04章矩阵特征值与特征向量的计算
• 计算出k=2时的x和y。 • (保留四位有效数字)
22
二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖 于比值 2 ／1 ，当比值接近于1时，幂法收敛 很慢。幂法加速有多种，介绍两种。
23
幂法的加速—原点移位法 应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
26
4 14 0 , 2.9, 用原点移位法求矩 例：A 5 13 0 0 1 0 2.8 -4 阵A的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。 解：取x (0) (1,1,1)T , 按x ( k 1) ( A pI )x (k )进行计算 0 6.9 14 A 0 I 5 10.1 0 0 0.1 1 (3.1000568, 2.214326, 0.9687661) 4 3.1000568
在一定条件下, 当k充分大时: 相应的特征向量为:
x 1 x
x
( k 1)
( k 1 ) i (k ) i
10
幂法的理论依据 对任意向量x(0), 有 x ( 0 ) i ui , 设1不为零.
i 1 n
x
( k 1 )
Ax
n i 1
(k )
A
k 1
x
(0) n
1 Ak 1 i ui i k i ui i 1
k 1 1
2 k 1 n k 1 1u1 ( ) 2 u2 ( ) n un 1 1
k 1 1 1u1
故 1 xi( k 1) xi( k ) x(k+1)为1的特征向量的近似向量(除一个因子外).
矩阵特征值问题的计算方法
det( I A) 0
称之为矩阵A的特征方程，所以特征值也称为特征根。 注2 特征向量不唯一，若x是特征向量，则对任意非零 实数k, kx也是特征向量。但特征值是唯一的。 注3 若为A的一个特征值，相应的特征向量为x，则1/ 为A-1的对应于特征向量x的特征值。
§5.3 幂迭代法和反幂迭代法
| i / 1 | < 1
Av
(k )
作迭代
显然, v Av
(k ) k 1 ( k 1 )
v ( k ) Av ( k 1) , k 1,2
Av
2 1 2 ( k 2 )
A v
k k 2
Ax
k 1 1 (k ) 1
1
(0)
λ λ λ [α x α ( ) x α ( ) x ] λ λ
1
数值分析
1 > 1 … n n 1 1
A的模最小的特征根
(0) 反幂法的迭代格式： v 0 作迭代 k 1,2, z A v , Az ( k ) v ( k 1) , m max( z ), 避免求逆 m ( k ) max( z ( k ) ), z z(k ) v , v(k ) (k ) , m
数值分析
一、 幂法--计算按模最大的特征值及其对应的特征向量
条件：A 有特征根 |1| > |2| … |n| 0， 对应n个线性无关的特征向量 x1 , x2 ,... , xn 思路：从 v ( 0 ) 0 出发，v ( 0) i xi ,
i 1 n
1 0.
xi v ( k ) i 对应的特征向量 。 max( xi )
第4章矩阵的特征值
12
例4.求三阶方阵
a A a a
的特征值及特征向量.
解
(1)先求特征根
a a a
( a )3 0
A
得A的特征根
1 2 3 a.
13
山财大数学与数量经济学院杨素香
1 2 3 a.
21
山财大数学与数量经济学院杨素香
推论： 设1 , 2 ,
i 1 , i 2 ,
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , 线性无关.
结论： 1） k 为 kA 的特征值. 2）
k
为
A k的特征值
3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
4) tr ( A) a11 a22
ann 1 2
n
5)
1
A ＝12
n
, n为其特征值，则
6) 若A可逆，1 , 2 ,
1 1 ， ， ， 1 2 n
为 A 1 的特征值，
A
1 ， 2 ， ， n
A
A
为
A
的特征值。
22
山财大数学与数量经济学院杨素香 第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
( n ) ( 1)n 12
n ) n 1
n
所以有tr ( A) a11 a22
令＝0，即有 A ＝(1)n 12
ann 1 2
n，即 A ＝12
n
n
24
山财大数学与数量经济学院杨素香
例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
1 1 1 1 1 A1 1 , 4 1 2 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0
max
1 i n
xi
则
max (x) = xi
对任取初始向量x(0)，记
y(0) x(0) max( x(0) )
则
x(1) Ay(0)
一般地，若已知x(k)，称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
2
S sin sin 2
2C
（4）
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
它们之间有如下的关系：
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))源自a(k 1) ppa(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后，由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i
q
p
2
2
解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。
向量 x (k 1) 2 x (k ) 、 x (k1) 1 x (k ) 分别为相应于1，2
将 限制在下列范围内
4
4
如果
a ( k 1) pp
a(k qq
1)
0
a ( k 1) pq
0
4
a ( k 1) pq
0
4
直接从三角函数关系式计算sin 和cos，记
y
a (k 1) ii
a (k 1) ji
x
sin
a (k 1) ii
a (k 1) jj
2ai(jk 1)
则
tg2 x
若
a (k1) pq
（1）令
y
a (k 1) pp
a (k 1) qq
x
2a
(k 1) pq
sign
a (k 1) pp
a (k 1) qq
（2） cos 2 y
x2 y2
当 y = 0时，
4
sin 2 x
x2 y2
sin cos 1
2
（3） C cos 1 1 cos 2
特征值与特征向量的基础知识 特征值求取 函数eig()计算特征值 舒尔分解和奇异值分解 矩阵指数计算 计算范数和矩阵谱半径的函数
8.1特征值与特征向量的基础知识
定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使 B P 1 AP
则称A与B相似。
定理1 若矩阵A, BR nn且相似，则
（1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。
b）若1 = -2，对i = 1, 2, …, n
lim
k
x ( k 1) i xi(k )
12
收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。向量 x(k1) 1x(k )
、
x (k1) 1 x (k ) 分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。
c）若 1 2 ，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，
( Ax, x) (x, x)
定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设AR nn，则
（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，
n
z aii aij j 1 ji
, i 1, 2, , n
n
表示以aii为中心，以 aij 半径为的复平面上的n个圆盘。 j 1 ji
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
(k 1) pq
sin
cos
a(k qq
1)
sin
2
a(k qq
1)
cos
2
a
(k) pq
a a (k1) pp
(k 1) qq
sin
cos
a
(k 1) pq
(cos
2
sin2
)
我们选取Pk，使得
a(k) pq
0
，因此需使 满足
tg2
2a
(k 1) pq
a a (k1) pp
(k 1) qq
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我
们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根. 但当n较 大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系 数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求
矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特 征值及特征向量的数值解法.
定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关
的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为 对角阵，即有可逆阵P，使
1
P 1 AP D
2
n
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
定理3 ：AR nn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即
斯密特正交化方法。
斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。
5.4 对称矩阵的雅克比 (Jacobi) 旋转法 1．预备知识
1）若B是上（或下）三角阵或对角阵， 则B的主对角元素即是B的特征值。
2）若矩阵P满足PTP = I，则称P为正交矩阵。 显然PT = P-1，且P1, P2,…, 是正交阵时， 其乘积P = P1P2…Pk仍为正交矩阵。
则
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 0
即与1, 2正交，将其单位化为
3 3 3 2
于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且
1
2
[1, 2 , 3 ] [1, 2 , 3 ]
(2 , 1) 2 2
(3, 1)
(3, 2 )
3 2
QR
其中Q = [1, 2, 3]为正交矩阵，R是上三角阵。
3）称矩阵 1
1
cos sin
1
Pij
1
sin cos
1
1
i
j
为旋转矩阵
2．雅克比方法
设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0 = A，对A作一系列
旋转相似变换
Ak Pk Ak1 PkT
(k 1, 2, )
其中Ak (k = 1, 2,…)仍是对称矩阵，Pk的形式
1
8.2.4 QR方法基础
斯密特（Schmidt）正交化过程：
设1，2，3 为R3上的三个线性无关的向量， 令 1 ，1 则11为2 单位长度的向量，再令
2 2 ( 2 , 1 )1 , 2 2 2 2
可以验证（1, 2）= 0，即1与2正交。若令
3 3 ( 3 , 1 )1 ( 3 , 2 ) 2
2 1
8.2.3 反幂法
设ARnn可逆，则无零特征值，由
Ax x
( x 0) 有
A1 x 1 x
若
A
有| 1
|
|
2 |
…
>
| n |，则
A1 有
1
n
1
n1
…
1
1
对应同样一组特征向量。
A1 的主特征根
A的绝对值最小的特征根
如何计算 解线性方程组
x(k1) A1 x(k )
Ax(k 1) x(k )
对n维向量空间，设1, …, n为Rn上n个线性无关的向量，
类似有
1 1
2 2 ( 2 , 1 )1
3 3 ( 3 , 1 )1 ( 3 , 2 ) 2
………
1 1 1 2
2 2 2 2
3 3 3 2 …
n1
n n ( n , j ) j j 1
n
n
tr( A) aii i
i 1
i 1
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
det( A) 12 n
定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则
（1）对任意AR n，x≠0，
n
( Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
（3）
1
max x0
应有关系式：
i i 0
(i = 1, 2, …, n)
Bvi ( A 0 I )vi Avi 0vi (i 0 )vi
关于矩阵B的乘幂公式为
x(k ) Bk x(0) ( A 0 I )k x(0)
1k
1v1
n j
j2
j 1
k
v
j
(1
0 )k
1v1
n
j2
j
x
(
k
1)
Ay(k )
(k 0, 1, )
定理7 设ARnn具有完全特征向量系，1, 2, …, n为A的n个
特征值，且满足
1 2 n
则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列