最大公因数与最小公倍数(二)
第二讲—最大公因数和最小公倍数(教案)
练习2：把53块水果糖和49块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩3块，巧克力剩4块，这个组最多有几位同学？
重难点五：易混淆题型
例题1、把若干个长12厘米、宽9厘米的长方形拼成一个正方形，正方形边长至少是多少？至少需要多少个这样的长方形？
例题4从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆加上两端的两根一共是55根电线杆现在改成每隔60米安装一根电线杆除两端的两根不用移动外中途还有多少根不必移动
学生姓名：
科目：
年级
授课时间：2015年月日至
讲次：第讲
授课教师：老师
【教学目标】
1、认识和掌握公因数和公倍数的概念。
2、能准确求出几个数的最大公因数和最小公倍数。
重难点3：和公因数相关的应用题
例1、把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？
例题2、用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？
【巩固拓展】
1、把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？
例题4、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？
练习：学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？
例题5、每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？
12和30 52和12 35和25 24和36 51和17 91和26
最大公约数与最小公倍数(二)
最大公约数与最小公倍数（二）这一讲我们主要介绍最大公约数、最小公倍数的性质以及两者之间的关系。
1． 最大公约数的性质：（1） 两个数的公约数一定是两个数的最大公约数的因数。
（2） 两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。
2． 最小公倍数的性质：（1） 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
（2） 如果一个数c 能同时被两个自然数a 、b 整除，那么c 一定能被这两个数的最小公倍数整除。
或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
3． 最小公倍数和最大公约数之间的关系：)(b a ab ， ×］，［b a 或］，［b a =)(b a ab ， 学习例题：例1. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？例2. 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77，求这两个数。
例3. 两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。
例4.两个数的最大公约数为21，最小公倍数为126，求这两个数。
例5.两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个自然数。
例6.已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和为84，求这两个数。
例7.三个三位数，它们的最大公约数是26，最小公倍数是10010，满足条件的三位数有几组？思考与练习：1.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。
已知其中一个数为24，求另一个自然数。
2.两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。
3.两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数是多少？4.两个自然数的最小公倍数是144，它们的最大公约数是24，求这两个数。
5.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，其中一个数是42，那么另一个数是多少？6.两个整数的最小公倍数是140，最大公约数是4，这两个数的和为48，这两个数分别是多少？7.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，这两个数的和是多少？8.两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
求最大公因数和最小公倍数的方法(简单实用)-求最小公因数列举法
求最大公因数和最小公倍数的方法：一、 特殊情况：1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。
）2、互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：1求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27 1、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9③短除法：3 18 273 6 9 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘2 3 3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
÷9就是18和27的最大公因数2、求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数、最小公倍数（二）姓名1、180的因数有（）个。
2、算式：（121＋122＋…＋170）－（41＋42＋…＋98）的结果是（）（填奇数或偶数）。
3、在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有（）个零。
4、一个最简分数，如果分母除了（）和（）以外，不含有其它质因数的分数就一定能化成有限小数。
5、A、B是两个连续的非零的自然数，它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
6、在a÷b＝5……3中，把a、b同时扩大3倍，商是（），余数是（）。
7、数一堆贝壳的个数，若4个4个地数，则剩1个；若5个5个地数，则剩2个；若6个6个地数，则剩3个。
由以上情况可推知，这堆贝壳至少有（）个。
8、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是（），如果按了50下灯是（）。
9、、如果M、N的最小公倍数是210，最大公约数是10，M、N的差是40，M、N 分别是多少？10、有一个三位纯循环小数化成最简分数时，分子与分母的和是149，这个循环小数是多少？11、有30多本作业本，如果分给4个同学，正好分完；如果分给6个同学也正好分完，有多少本作业本？12、如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？13 有三根铁丝分别长15、18、27米，要把它们锯成同样长的小段，不许有剩余，每段最长多少米？一共得多少段？14、．一个长方体的玻璃容器，从里面量长8分米，宽5分米，高4分米，现在量得水深2.5分米。
如果投入一块棱长2分米的正方体铁块后，水的深度是多少？15、一个正方体的棱长总和是24 厘米，它的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？16、要做一种管口周长40厘米的通气管子10根，管子长2米，至少需要铁皮多少平方米？。
第九讲 最大公因数和最小公倍数(二)(学生)
最大公因数和最小公倍数（二）例1、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
至少能剪块。
【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。
所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）解：（１）求90和42的最大公约数2 90 423 45 2115 7（90，42）＝60（2）求至少剪多少块正方形铁板90÷6＝1545÷6 ＝715×7＝105（块）答：至少可以剪105块正方形铁板。
练习1、把一块长90厘米宽35厘米的长方形铁板加工成边长是整厘米数。
并面积相等的最大正方形铁片。
并且无剩余，至少可以加工成多少块？2、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？3、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。
问：评出的优秀学生最多有几人？例2、求437和551的最大公约数。
分析：用较大的数除以较小的数，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数。
∴437和551的最大公约数为19。
练习：1、437与323的最大公约数是多少？2、24871和3468的最小公倍数是多少？3、254216933的最简分数是多少？例3、求289，3512，5615的最大公约数。
例4、求289，3512，5615的最小公倍数。
1、求2518、3527、509的最大公约数。
2、求2518、3527、509的最小公倍数。
3、苹果每个重283千克，梨每个重245千克，橘子每个重212千克。
如果苹果、梨、橘子的总重量都相等，苹果、梨、橘子最少各有多少个？思考题：1、动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数（ 8 ） 4和8的最大公因数（ 4 ）9和3的最大公因数（ 3 ） 28和7的最大公因数（ 7 ）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（ 1 ） 8和9的最大公因数是（ 1 ） 99和98的最大公因数是（ 1 ）两个不同的质数5和7的最大公因数是（ 1 ） 17和29的最大公因数是（ 1 ） 11和19的最大公因数是（ 1 ）两个互质的合数4和9的最大公因数是（ 1 ） 20和49的最大公因数（ 1 ） 25和69的最大公因数是（ 1 ）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
最大公因数与最小公倍数(2)
最大公因数与最小公倍数（2）知识要点两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。
用字母表示为：（a,b ）×[a,b]＝ab复习1、一个六位数586□□□——————————能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个。
2、在□内填上合适的数字，使□679□————————能同时被8、9整除。
3、六位数15AB C6———————能被36整除，而且所得商最小，问A 、B 、C 的值各是多少？4、在□内填上适当的数字，使六位数1999□□￣￣￣￣￣￣￣￣能被66整除。
5、已知整数1x2x3x4x5￣￣￣￣￣￣￣￣￣能被11整除。
求所有满足这个条件的整数。
6、已知六位数□8919□￣￣￣￣￣￣￣￣能被33整除，那么这个六位数是多少？例题1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？2、已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？3、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是多少？4、两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？5、已知两个自然数的乘积是5766，它的最大公因数是31，这两个自然数分别是多少？6、用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？7、被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？8、一个人有1角，1元，拾元的钞票共18张，其中1角与拾元的钞票的张数之和与1元的钞票的张数相等，此人用这些钱买7角钱一袋的花生米，正好用完，他共有多少钱？9、一个学校有五年级的学生在200至300之间，在排成队列时，若3人一排余1人，5人一排余2人，7人一排余3人，该校共有五年级学生多少人？10、一支队伍不超过1000人，列队时按2人，3人，4人，5人和6人排一排，最后一排都缺1人，改为7人一排正好，这支队伍有多少人？11、爷爷对小明说：我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，在过若干年就是你的5倍，4倍，3倍，2倍。
找最大公因数和最小公倍数
找三个数的最大公因数和最小公倍数五年级数学下册，我们学习了因数和倍数，而且在人教版的第四单元，我们知道了怎么找两个数的因数和倍数，不过，自第六单元分数的加减及混合运算中，经常会遇到三个及以上异分母分数的加减运算，所以我们在运用列举法，分解质因数法和短除法找三个数的最大公因数（简称大因）和最小公倍数（简称小倍）就有些困难了。
以下是我整理的找三个数的大因和小倍的小技巧，希望能够帮助你。
一、三个数，任意两个数是互质数。
互为互质数的数，他们的大因是1；小倍是他们的乘积。
例如：找3.4.5的大因和小倍，他们三个数任意两个数都是互质数，所以他们的大因是1，小倍是3×4×5=60.二、三个数中，有两组数是互质数。
它们的大因是：1；它们的小倍：先找出不是互质数的那两个数的最小公倍数，然后用找出来的最小公倍数与第三个数相乘，得到的积就是这三个数的最小公倍数。
例如：找5.8.12的大因和小倍，同第一种，互为互质数的数，大因是1；而这三个数中只有12和14不是互质数，所以先找12和14的小倍，是24；然后5×24=120。
所以5.8.12的最小公倍数是120。
三、三个数中，有一组数是倍数关系。
它们的大因：倍数关系中较小的数与第三个数的大因就是这三个数的大因；它们的小倍：倍数关系中较大的数与第三个数的小倍就是这三个数的小倍。
例如：找5.8.10的大因和小倍。
它们的大因就是5和8的大因：1；他们的小倍就是8和12的小倍：24。
四、三个数中，有两组倍数关系。
它们的大因：最小的那个数就是三个数的大因；它们的小倍：那两个大数的最小公倍数就是三个数的小倍。
例如：找5.10.15的大因和小倍。
它们的大因就是最小的数：5；它们的小倍就是10和15这两个大数的小倍：30 。
五、三个数中，既没有互质数，有没有倍数关系。
它们的大因：先找出两个数的大因，再用找出来大因与第三个数组合，找出它俩的大因，最后的大因就是这三个数的大因。
最小公倍数和最大公因数的关系例1,例2、例3、例4
解：设一个数是A，得短除式如下： 4
28 7 A a
那么252=4×7×a
a=9
A=4×9=36 定理：两个数的最大公因数和最小公倍数之积，等于这两个数之积。 [a,b] ×(a,c)=a×b 所以上题可以这样做：
4×252=28×A
A=4×252÷28=9
例二.两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这
两个数的差。
解： 5
A a
B b
则 A=5a B=5b 5a+5b=50 5(a+b)=50 a+b=10
a=3 b=7
A=5×3=15 B=5×7=35 A=5×1=5 B=5×9=45
差：35-15=20
或：
a=1 b=9
差：45-5=40
例三.两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这 两个数的和。
解： 21
A a
B b
21×a×b=126 a×b=126÷21=6 6=1×6 6=2×3 A +B=21+126=147
a=1 b=6
A=1×21=21 B =6×21=126 A=2×21=42 B =3×21=63
（114,54）=6 因为6的因数有1,2,3,6，所以，m可能是1,2,3,6.
பைடு நூலகம்
只有m=6满足条件，a+b=9 a×b=20
20=4×5,且4+5+9 所以，m=6. 那么A=6×4=24
B =6×5=30
a=2 b=3
A +B=42+63=105
例4.两个数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差 是114，求这两个自然数。
第五讲最大公因数与最小公倍数(二)解答【五竞】
第九讲最大公因数与最小公倍数(二) 知识导航因数和倍数在小学数学竞赛中占有重要的地位。
这一讲我们来继续学习有关因数与倍数更深入的知识，研究最大公因数、最小公倍数与原数的关系。
定理1:两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
即如果((a} b)=d，那(a÷d,b÷d)=1.定理2:两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。
(a，b)×[a,b」=ab.定理3:两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
定理4:一个数的因数个数等于该数的相同质因数的个数加1的和的乘积。
如48=24×3,48的因数有(4+1)×(1+1)=10个。
典型例题例1:两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18,最小公倍数是216。
这两个数是多少?【分析】设这两个数为A和B，且A=18a,B=18b，a、b互质。
得18ab=216,ab=12.因为a与b互质且不成倍数关系，12=3×4.A=18×3=54; B=18×4=72;答：这两个数是54和72.例2:两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。
【分析】设这两个数为A和B，且A=13a,B=13b，a、b互质。
得13a×13b=2028,169ab=2028.ab=12,因为a与b互质且两个数小于150，12=3×4.A=13×3=39; B=13×4=52;答：这两个数是39和52.例3:两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少?【分析】设这两个数为A和B，且A=6a,B=6b，a、b互质。
根据最小公倍数是420，得6ab=420,ab=70.因为a与b互质，70=1×70=2×35=5×14=7×10.根据两数差是18得：6a-6b=18，a-b=3, a=10,b=7A=6×10=60; B=6×7=42;答：这两个数是60和42.例4:甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126。
§2最大公因数与最小公倍数——数论入门知识讲解系列
2
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学）
二试：初等数论入门
编者：周钢
例题答案：
21n 4
例 1、试证
是既约分数.
14n 3
解：利用性质1 可得 21n 4,14n 3 7n 1,14n 3 7n 1,1 1，
所以分式分子分母互素， 21n 4 是既约分数。 14n 3
例 2、若17 | 2a 3b，试证17 | 9a 5b .
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学）
二试：初等数论入门
编者：周钢
§1.2 最大公因数与最小公倍数
基础知识
若 a ， b 是两个不全为零的整数，且 d | a ， d | b ，则称 d 是 a ， b 的公因数.公因数中的最大者，
称为 a ， b 的最大公因数，记为 a,b.若 a,b 1，则称 a ， b 互素.
利用倒序相加法推导， 2S 1k 9k 2k 8k 9k 1k ， 由于 k 是正奇数，故10 | 1k 9k ，10 | 2k 8k ，···，所以10 | 2S ； 同时 2S 0k 9k 1k 8k 9k 0k ， 由于 k 是正奇数，故 9 | 0k 9k ， 9 | 1k 8k ，···，所以 9 | 2S ；
y 1 b x 1 d 因为 a c ad bc 为整数， b | bc ，所以 b | ad ，
b d bd
结合 a, b 1 和性质 7 ，可得 b | d ；同理可得 d | b ，故 d b ；
因为 a c x4 1 y 4 1 x2 1 x 1 y 2 1 y 1 Z ，所以 bd | ac ； b d y 1 x 1
性质10
a, b
ab
a, b
，特别地，若 a,b
最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)
最大公因数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。
例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。
例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11，求这两个自然数。
”例3 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。
再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。
[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。
例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
习题四1．已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。
数论笔记2-最大公因数理论
数论笔记2-最⼤公因数理论上⼀篇实在是太简单了. 接下来我们将要进⼊最⼤公因数理论.1. 最⼤公因数和最⼩公倍数⾸先我们需要明确公因数的定义.设有a1,⋯,a n, 若d|a1,⋯,d|a n, 称d为a1,⋯,a n的公因数.我们记这些公因数组成的集合为(a1,⋯,a n).⾃然地, 我们定义这些数的公因数中最⼤的⼀个为最⼤公因数, 记作 (a1,⋯,a n).特别地, 若 (a1,⋯,a n)=1, 称这些数互素.根据定义,有 (a1,⋯,a n)=max.下⾯我们给出⼀些简单的性质.1. (a_1,a_2)=(a_2,a_1)=(-a_1,a_2)=(|a_1|,|a_2|)2. a_1|a_j(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=|a_1|3. (a_1,a_2)=(a_1,a_2,a_1x)4. (a_1,a_2)=(a_1,a_2+a_1x)5. (p,a_1)=\begin{cases}p,&p|a_1\\1,&p\nmid a_1\end{cases}6. \mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\mathcal{D}(a:a=a_1x_1+\cdots+a_nx_n)其中性质1,3,4,5⼀般情况下同样成⽴.这些性质就不予全部证明了. ⼤体来说, 证明的思路就是证明左右两边的公因数集合相等, 从⽽⾃然有最⼤公因数相等.以性质4为例. 根据整除性质有d|a_1,d|a_2\Leftrightarrow d|a_1,d|a_2+a_1x,则\mathcal{D}(a_1,a_2)=\mathcal{D}(a_1,a_2+a_1x), 从⽽根据上⾯的分析得出结论.另外性质6可以认为是性质4的⾃然推论. 这条性质⽐较本质, ⾮常重要. ⽐如下⾯这条不那么显然的定理:7. a_1x_1+\cdots+a_nx_n=1\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=1证明其实⾮常简单: 根据上述性质6有\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\{1,-1\}, 于是就得出了结论.接下来我们再给出⼀条最⼤公因数的性质并给予证明.8. m|(a_1,\cdots,a_n)\Rightarrow m(a_1/m,\cdots,a_n/m)=(a_1,\cdots,a_n)证明的思路是两次运⽤性质1.1.6 (即第1篇笔记标题1性质6, 之后都会这样编号), 即⽤整除得到左边⼩于等于右边, 右边⼩于等于左边, 于是就证明了结论. (这时初等数论中⼀种很常见的证明⽅法)证明: 记D=(a_1,\cdots,a_n), d=(a_1/m,\cdots,a_n/m).根据条件有m|D, ⼜根据D的定义知D|a_j, 则m|a_j(1\leqslant j\leqslant n).运⽤整除性质有(D/m)|(a_j/m), 则根据d的最⼤性有D/m\leqslant d, 即D\leqslant md.另⼀⽅⾯, 有d|(a_j/m), 则根据整除性质有md|a_j, 根据D的最⼤性有md\leqslant D.综上所述有md=D, 证毕.简单讨论完了最⼤公因数, 接下来我们来讨论最⼩公倍数.设有a_1\cdots a_n\neq0, 若有a_1|l,\cdots,a_n|l,称l是a_1,\cdots,a_n的公倍数.我们记这些公倍数组成的集合为\mathcal{L}(a_1,\cdots,a_n).我们定义这些数的正公倍数中最⼩的⼀个为最⼩公倍数, 记作[a_1,\cdots,a_n].相对来说, 最⼩公倍数的性质没有最⼤公因数那么好. 但是我们仍然有下⾯的结论:9. [a_1,a_2]=[a_2,a_1]=[-a_1,a_2]=[|a_1|,|a_2|]10. a_j|a_1(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow [a_1,\cdots,a_n]=|a_1|11. d|a_1\Rightarrow [a_1,a_2]=[a_1,a_2,d]12. [ma_1,\cdots,ma_n]=m[a_1,\cdots,a_n]性质9和11在⼀般情况下同样成⽴. 这些性质的证明和最⼤公因数对应性质类似, 我们这⾥只对性质12进⾏证明.证明: 记L=[ma_1,\cdots,ma_n], l=[a_1,\cdots,a_n].⼀⽅⾯有ma_j|L\Rightarrow a_j|(L/m)\Rightarrow l\leqslant(L/m)\Rightarrow ml\leqslant L,另⼀⽅⾯有a_j|l\Rightarrow ma_j|ml\Rightarrow L\leqslant ml.则L=ml, 证毕.2. 辗转相除法在对最⼤公因数进⾏进⼀步讨论之前, 我们先介绍⼀下辗转相除法这⼀⼯具.设有u_0,u_1，u_1\neq0. 我们重复应⽤带余除法:\begin{aligned}u_0&=q_0u_1+u_2, &0<u_2<|u_1|\\u_1&=q_1u_2+u_3, &0<u_3<u_2\\&\vdots\\u_{k-1}&=q_{k-1}u_k+u_{k+1}, &0<u_k<u_{k-1}\\u_k&=q_ku_{k+1}, &0<u_{k+1}<u_k\end{aligned}注意到|u_1|>u_2>\cdots>u_k>u_{k+1}>0, 则该过程必会停⽌, 不会⽆限重复下去.有了辗转相除法, 我们可以推知以下结论:1. (u_0,u_1)=(u_1,u_2)=\cdots=(u_k,u_{k+1})=u_{k+1}2. d|u_0,d|u_1\Leftrightarrow d|(u_0,u_1)3. \exist x_0,x_1使u_0x_0+u_1x_1=(u_0,u_1)性质1实际推导的时候需要倒过来. 根据性质1.1和1.4, 我们有(u_{k-1},u_k)=(u_k,q_{k-1}u_k+u_{k+1})=(u_k,u_{k+1}). 然后剩下的就显然了.性质2利⽤性质1和整除的性质是显然的. 注意, 这个性质说明了两个数的公因数⼀定是最⼤公因数的因数, 这是我们在第3节最⼤公因数理论中将要讨论的⼀个定理的特殊情况.性质3可以从线性组合的⾓度来理解. u_{k+1}可表⽰为u_k和u_{k-1}的线性组合, u_k可表⽰为u_{k-1}和u_{k-2}的线性组合, 以此类推, 知u_{k+1}可表⽰为u_0和u_1的线性组合. 证毕.性质3可以应⽤于解不定⽅程. 这个之后再讨论.3. 最⼤公因数理论在这⼀章, 我们对最⼤公因数理论进⾏收尾. 我们会给出8个最⼤公因数的重要性质, 并证明之.根据⼆潘初等数论的介绍, 我们实际上有3种⽅法来建⽴这套理论. 我们这⾥只选取最简单的⼀种 (只⽤到整除, 带余除法和之前介绍过的⼀些最⼤公因数的性质),其他的⽅法可以到原书进⾏了解.⾸先给出定理内容: (注: 为了⽅便, 我们⽤a_j来表⽰每⼀个a, 就不写范围了)1. a_j|c\Leftrightarrow [a_1,\cdots,a_k]|c2. D=(a_1,\cdots,a_k)\Leftrightarrow D|a_j;d|a_j\Rightarrow d|D3. m(b_1,\cdots, b_k)=(mb_1,\cdots,mb_k)4. (a_1,\cdots,a_k)=((a_1,a_2),a_3,\cdots,a_k)推论: (a_1,\cdots,a_k)=((a_1,\cdots,a_l),(a_{l+1},\cdots,a_k))5. (m,a)=1\Rightarrow (m,ab)=(m,b)6. (m,a)=1, m|ab\Rightarrow m|b推论: (m_1,m_2)=1,m_1|n,m_2|n\Rightarrow m_1m_2|n7. [a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|8. (a_1,\cdots,a_k)=min(s:s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k,s>0)推论: \exist x_0,\cdots,x_k使a_1x_1+\cdots+a_kx_k=(a_1,\cdots,a_k)我们⾸先证明性质1, 然后性质2⾄性质7都可以通过此推出. 性质8需要进⾏额外的证明.性质1: 设L=[a_1,\cdots,a_k].必要性: L|c,a_j|L\Rightarrow a_j|c, 证毕.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js充分性: 设c=ql+r,0\leqslant r<L. 则a_j|c,a_j|L\Rightarrow a_j|r, 即r为⼀个公倍数. 但⼜有r<L, 则只能有r=0. 故L|c, 证毕.实际上性质1就是说公倍数是最⼩公倍数的倍数.性质2:必要性: 由D|a_j知D是公因数; 由d|D知|d|\leqslant D, ⽽d是任⼀公因数, D⽐任⼀公因数的绝对值都⼤, 则D=(a_1,\cdots,a_k). 证毕.充分性: 设全体公因数为d_1,\cdots,d_s. 令L=[d_1,\cdots,d_s]. 由性质1知L|a_j, ⼜有d_j|L, 则根据必要性的证明有L=(a_1,\cdots,a_k), 也即最⼤公因数满⾜右边的性质. 证毕. (这个证明⽅法可能有点抽象)性质2告诉我们公因数是最⼤公因数的因数.性质3:考虑运⽤上⾯的性质1.8. 令a_j=mb_j. 有m(b_1,\cdots,b_k)=m(a_1/m,\cdots,a_k/m).但是为了能利⽤上⾯的性质, 我们还要满⾜m|(a_1,\cdots,a_n)这个前提. 注意到m|a_j, 则运⽤性质2有m|(a_1,\cdots,a_k). 这样条件满⾜了.则m(a_1/m,\cdots,a_k/m)=(a_1,\cdots,a_k)=(mb_1,\cdots,mb_k). 证毕.实际上性质1.8与性质3就差在了性质2上.性质4:采⽤经典证法.⼀⽅⾯, 设有d|a_j, 由性质2有d|(a_1,a_2), 即左边的公因数⼀定是右边的公因数.另⼀⽅⾯, 设有d|(a_1,a_2), ⼜因为(a_1,a_2)|a_1, (a_1,a_2)|a_2, 则d|a_1, d|a_2, 即右边的公因数⼀定是左边的公因数.公因数集相等知最⼤公因数相等. 证毕.推论⾃然成⽴.性质5:若m=0, 则a=\pm1, 显然成⽴. 否则, 有(m,b)=(m,b(m,a))=(m,mb,ab)=(m,ab). 证毕. (这⾥主要运⽤了性质3和1.3)性质6:|m|=(m,ab)=(m,b)\Rightarrow m|b. 证毕. (这⾥主要运⽤了性质5)更常⽤的是推论. 证明如下:m_1|n\Rightarrow n=km_1\Rightarrow m_2|km_1\Rightarrow m_2|k\Rightarrow m_1m_2|m_1k\Rightarrow m_1m_2|n. 证毕.性质7:⾸先考虑(a_1,a_2)=1的情况. 此时令L=[a_1,a_2], 根据性质1有L|a_1a_2. ⼜有a_1|L,a_2|L, 根据性质6推论有a_1a_2|L. 则L=|a_1a_2|. 该情况证毕.当(a_1,a_2)\neq1时, 有(a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2))=1, 则[a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2)]=|a_1a_2|/(a_1,a_2)^2. 将平⽅项移到左边并运⽤性质1.12, 有[a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|. 证毕.注意这是⼀个专⽤于两个数情况的定理. 多个数就不⼀定了.性质8:我们利⽤性质1.6. 记S=\{s|s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k\}. 显见0<a_1^2+\cdots+a_k^2\in S, 则S中有正整数. 令其中最⼩的正整数为s_0.取任⼀公因数d|a_j, 根据整除性质有d|s_0, 则|d|\leqslant s_0.设a_j=q_js_0+r_j, 0\leqslant r_j<s_0. 显然r_j=a_j-q_js_0\in S, 则因为s_0是最⼩正整数, 只能有r_j=0. 故s_0|a_j, 即s_0是公因数.根据上⾯的|d|\leqslant s_0, 知s_0=(a_1,\cdots,a_k). 证毕.这样我们就完成了对最⼤公因数理论的介绍.。
最大公因数与最小公倍数02-03最大公因数与最小公倍数
選擇1.題號：9302789 難易度：中能力指標：N-3-20 （）設L為180和126之最小公倍數，且L之標準分解式為2a×3b×5c×7d，則a＋b＋c＋d＝？(A) 5 (B) 6(C) 7 (D) 8《答案》B2.題號：9302790 難易度：難能力指標：N-3-20 （）設a、b為整數，a＝3×52×73，且(a , b)＝35，則b可以是下列哪一個數？(A) 65 (B) 70(C) 105 (D) 175《答案》B3.題號：9302791 難易度：易能力指標：N-3-20 （）若a＝23×5×7、b＝22×3×7，則(a , b)＝？(A) 22×3×5(B) 22×7(C) 23×3×5(D) 23×3×52×7《答案》B4.題號：9302792 難易度：易能力指標：N-3-20 （）設a＝23×32×5×13，則下列哪一個不是a的因數？(A) 23×3(B) 3×5×13(C) 23×3×52(D) 2×3×5×13《答案》C5.題號：9302793 難易度：易能力指標：N-3-20 （）21×32×53與22×32×5之最小公倍數等於多少？(A) 2×3×5(B) 2×32×5(C) 22×32×53(D) 34×54《答案》C6.題號：9302794 難易度：難能力指標：N-3-20 （）從10到50的整數中，以4除之餘2，以6除之餘2的有幾個？(A) 1個(B) 2個(C) 3個(D) 4個《答案》D7.題號：9302795 難易度：難能力指標：N-3-20 （）設a、b為整數，a＝15且[a，b]＝135，則b可以是下列哪一個數？(A) 33(B) 32×5(C) 3×52(D) 53《答案》A8.題號：9302796 難易度：難能力指標：N-3-20 （）已知P＝32×50×121、Q＝25×53×133，則下列何者正確？(A) 26×52為P與Q之公因數(B) 25×53為P與Q之最大公因數(C) (2×5×11×13)6為P與Q之公倍數(D)25×52×112×133為P與Q之最小公倍數《答案》C29. 題號：9302797 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）兩數289和357的公因數共有多少個？(A) 1個 (B) 2個(C) 3個 (D) 4個 《答案》B10. 題號：9302798 難易度：難 能力指標：N-3-20（ ）已知P ＝24×33×53×11，P 的因數有160個，今將P 的因數由小到大依序排列為a 1＜a 2＜a 3＜……＜a 160，則下列敘述何者正確？甲：23×33×54為P 的因數 乙：a 1＝2 丙：a 3＝3丁：a 160＝24×33×53×11 (A) 甲、乙 (B) 僅有甲 (C) 丙、丁 (D) 乙、丙《答案》C11. 題號：9302799 難易度：易 能力指標：N-3-20（ ）52×7與22×52×73的最大公因數是下列哪一個？ (A) 1 (B) 52×7(C) 2×5×7 (D) 22×52×73 《答案》B12. 題號：9302800 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）525和34300的最小公倍數為何？(A) 52×7 (B) 52×73 (C) 2×3×52×7(D) 22×3×52×73《答案》D13. 題號：9302801 難易度：易 能力指標：N-3-20（ ）已知22×3與2×32的最大公因數為a ，最小公倍數為b ，則a ＋b 之值為何？ (A) 42 (B) 84(C) 48 (D) 222《答案》A14. 題號：9302802 難易度：難 能力指標：N-3-20（ ）設二整數之公因數中有一為12，公倍數中有一為360，現已知其中一數為60，則另一數不可能為何？ (A) 24 (B) 36 (C) 63 (D) 72《答案》C15. 題號：9302803 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）某工廠因機器運轉之因素，必須天天有人投入生產，於是採輪休制，康康每上班4天休息1天，軒軒每上班3天休息1天，若兩人8月1日同一天休息，則下列哪一日子也會同一天休息？ (A) 8月12日 (B) 8月13日 (C) 8月20日 (D) 8月21日《答案》D16. 題號：9302804 難易度：難 能力指標：N-3-20（ ）525與34300的最大公因數是下列哪一個？(A) 1 (B) 175 (C) 210 (D) 102900《答案》B17. 題號：9302805 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）已知23×3與2×33的最大公因數為a ，最小公倍數為b，則[a , b]＝？(A) 42 (B) 84(C) 108 (D) 216《答案》D18.題號：9302806 難易度：中能力指標：N-3-20 （）125和3430的最小公倍數為何？(A) 52×7(B) 52×73(C) 2×53×73(D) 22×3×53×73《答案》C19.題號：9302807 難易度：難能力指標：N-3-20 （）840、720、1200的公因數個數共有多少個？(A) 12個(B) 20個(C) 16個(D) 18個《答案》C20.題號：9302808 難易度：中能力指標：N-3-20 （）已知a＝2n×3×5，若40為a的因數，但48不是a的因數，則n＝？(A) 2 (B) 3(C) 4 (D) 5《答案》B21.題號：9302809 難易度：難能力指標：N-3-20 （）下列哪一組數的最大公因數不是174?(A) (2262 , 522)(B) (522 , 1914)(C) (2088 , 3654)(D) (1218 , 2088)《答案》C22.題號：9302810 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列哪一個分數是最簡分數？(A)11977(B)3926(C)1625(D)1421《答案》C23.題號：9302811 難易度：中能力指標：N-3-20 （）若a＝6×10×15，b＝8×12×15，則[a , b]＝？(A) 22×32×52(B) 25×32×52(C) 24×33×52(D) 28×34×53《答案》B24.題號：9302812 難易度：難能力指標：N-3-20 （）設a為2184與1764的最大公因數，則a的質因數個數為何？(A) 3個(B) 4個(C) 5個(D) 6個《答案》A25.題號：9302813 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列何者為最簡分數？(A)11934(B)143121(C)5738(D)5126《答案》D26.題號：9302814 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列敘述何者正確？(A) 任意兩個質數一定互質(B) 兩個連續整數的和一定是質數(C) 所有的整數不是質數就是合數4(D) 每個質數加上1一定是合數《答案》A27. 題號：9302815 難易度：易 能力指標：N-3-20（ ）72與108的公因數共有多少個？(A) 7個 (B) 8個 (C) 9個 (D) 10個《答案》C28. 題號：9302816 難易度：易 能力指標：N-3-20（ ）下列何者為32×7與3×52的公因數？(A) 3×5 (B) 3×7 (C) 5×7 (D) 3《答案》D29. 題號：9302817 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）觀察下邊的短除法，判斷下列敘述何者正確？(A) c 是a 、b 的公因數 (B) g 是a 、b 的公因數 (C) h 是a 、b 的公因數(D) a×b ＝c×f×g×h《答案》A30. 題號：9302818 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）有一個農場，原本預計在其周圍每隔8公尺立一根木樁來圍鐵絲網，後來發現木樁數目不夠，所以改成每12公尺立一根木樁，那麼每隔幾公尺就有一根木樁不必移動？(A) 8公尺 (B) 12公尺(C) 4公尺 (D) 24公尺《答案》D31. 題號：9302819 難易度：易 能力指標：N-3-20（ ）李老師將一年十班的作業，按每6本一疊或每7本一疊，都會剛好疊完而沒有剩餘，則下列何者可能是該班的學生人數？(A) 36人 (B) 38人(C) 40人 (D) 42人《答案》D32. 題號：9302820 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）已知甲、乙、丙三人分別每10天、20天、15天到圖書館一次，若某星期日三人同一天到圖書館，則下一次三人同一天到圖書館是星期幾？ (A) 星期一 (B) 星期二 (C) 星期三 (D) 星期四《答案》D33. 題號：9302821 難易度：中 能力指標：N-3-20（ ）天文觀測中，某生發現甲恆星於3月3日出現後每隔4天會出現一次，乙恆星於3月10日出現後每隔9天會出現一次，已知3月19日甲、乙兩恆星會在何日同時出現？ (A) 4月1日 (B) 4月6日 (C) 4月24日 (D) 5月29日《答案》C34. 題號：9302822 難易度：易 能力指標：N-3-20（ ）下列哪一組的兩個數互質？(A) 22×33×7、52×11×13 (B) 3×112×13、5×7×132 (C) 5×72×11、52×7×11 (D) 22×3×72、22×3×72《答案》A35.題號：9302823 難易度：易能力指標：N-3-20 （）在「25、26、27、28」四個數中，哪一個數與24互質？(A) 25 (B) 26(C) 27 (D) 28《答案》A36.題號：9302824 難易度：中能力指標：N-3-20 （）下列何者與600的最大公因數是20？(A) 225 (B) 340(C) 780 (D) 850《答案》B37.題號：9302825 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列何者為23×32×5、22×33×7與22×32×52的最大公因數？(A) 22×33(B) 22×32(C) 23×32(D) 23×33×5《答案》B38.題號：9302826 難易度：易能力指標：N-3-20 （）已知h＝24×32×72、k＝924，則[h，k]＝？(A) 22×3×7(B) 24×32×72×11(C) 24×32×11(D) 24×32×72×112《答案》B39.題號：9302828 難易度：中能力指標：N-3-20 （）有一個三角形公園，各邊的距離分別是150公尺、120公尺、90公尺，今小逸想在其周圍種樹，且希望相鄰的兩棵樹之間的距離相等。
第四讲____因数与倍数（二）（PDF）
6946943471735d 第四讲 因数与倍数（二）因数与倍数现在对我们来说已经很熟悉了，因为现在学校课堂上已经讲解了很多，再加上去年秋季班我们也学习了因数与倍数（一）。
那么今天，我们要在现有的基础上，再次提高一个程度，了解并掌握一些新的因数倍数题型及其解决办法。
本讲知识重难点 、因数个数定理的反应用 重点 例 、、短除模型的应用 重点 例 、 、因倍的综合运用 难点 例 、一、基本知识复习1、最大公因数与最小公倍数的求法（1）短除法：求72和126的最大公因数？则72与126的最大公因数为短除式中左边的数相乘； =最小公倍数为边上与底下的数都乘。
（2）分解质因数法：72= ；则： =2（3）辗转相除法：此方法主要用于求两个较大数的最大公因数。
如：求2429和1735的最大公因数？我们假设2429和1735分别是长方形的两个边长，若此长方形的长和宽都可以 分解出若干个边长一样且最大的小正方形，则此正方形的边长即为长2429和宽1735的最大公因数，由图可知： ‥‥‥‥也就是说2429和1735都可以分解成边长最大为347的正方形。
即最后，我们在回顾一下求347的过程，始终都是用除数除以余数，除数除以余数，直到余数为0时的那个除数即为最大公因数，若除到最后余数为0时的除数为1，则说明两数互质，即最大公因数为1。
2、因数个数定理：先将此数分解质因数，再把每个质因数的指数（次数）加1相乘。
如：360有多少个因数？360= ；则因数个数为（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个3、短除模型：由图可知当a 与b 互质时，（A,B ）=d;[A,B]=d ×a ×b,则可得到：（1）A=d ×a; B=d ×b ；A ×B=（A,B ）×[A,B] （2）A+B, (A,B),[A,B]三个量知道任意两个都可以推出其他的量。
复习最大公因数,最小公倍数
3 3 7 21
3 7 21
71 7 7
111
三个商没有公因数为止
最后的商两两互质
6、14和42的最大公因数是2。
6、14和42的最小公倍数是2×3x7x1x1x1＝42
短除法求三个数的最大公因数和最小公倍数。
试一试
5 25 35 45
1. 25 35 45
579
25、35和45的最大公因数数是5 25、35和45的最小公倍数是5×5x7x9＝180
解决此类问题：题目读几遍，从中找关键；先看求什么，再 去找条件。
2
8=2×2×2
试一试
60=2×2×3×5 150=2×3×5×5 60和150的最小公倍数是 （ 2×3×5×2×5=24 ） 公因数
6和8的最小公倍数是2×3×2×2=24
公因数
12 24 42的最小公倍数是 （ 2×3×2×2 =168 ）
12=2×2×3 24=2×2×2×3 42=2×3×7
求最大公因数、最小公倍数 及运用
因数与倍数
6÷3=2 6是3的倍数 3是6的因数
最大公因数与最小公倍数
公因数
2 6 10
35
独有因数
没有除了1 以外的公因数
互质
6和10的最大公因数是2 6和10的最小公倍数是2×3×5=30ຫໍສະໝຸດ ①大因乘左边 ②小倍乘半圈
分解质因数法求最小公倍数
26 3
6=2×3
28 24
练一练：
思考：爸爸每工作3天休息1天，也即是4天休一次。妈 妈每工作4天休息1天，也就是5天休一次。也就是求4 和5的公倍数，最快就是要求最小公倍数。 4和5的最小公倍数是20，就是要经过20天可以一起去。 7月1日+20=7月21日
最大公因数-最小公倍数-练习题2
最大公因数和最小公倍数一、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数(1) 4和6的最大公因数是；最大公倍数是；(2) 9和3的最大公因数是；最大公倍数是；(3) 9和18的最大公因数是；最大公倍数是；(4) 11和44的最大公因数是；最大公倍数是；(5) 8和11的最大公因数是；最大公倍数是；(6) 1和9的最大公因数是；最大公倍数是；(7) 已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×7，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是；(8)已知A＝2×3×5×5，B＝3×5×5×11，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是。
1.在17、18、15、20和30五个数中，能被2整除的数是（）；能被3整除的数是（）；能被5整除的数是（）；能同时被2、3整除的数是（）；能同时被3、5整除的数是（）；能同时被2、5整除的数是（）；能同时被2、3、5整除的数是（）。
2.在20以内的质数中，（）加上2还是质数。
3.如果有两个质数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。
4.把330分解质因数是（）。
5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，百位上的数比十位上的数大9，这个数是（）。
6.在50以内的自然数中，最大的质数是（），最小的合数是（）。
7.既是质数又是奇数的最小的一位数是（）。
二、判断题1.两个质数相乘的积还是质数。
（）2.成为互质数的两个数，必须都是质数。
（）3.任何一个自然数，它的最大约数和最小倍数都是它本身。
（）4.一个合数至少得有三个约数。
（）5.在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。
（）6.12是36与48的最大公约数。
（）三、选择题1.15的最大约数是（），最小倍数是（）。
①1 ②3 ③5 ④152.在14＝2×7中，2和7都是14的（）。
①质数②因数③质因数3.有一个数，它既是12的倍数，又是12的约数，这个数是（）。
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人的数量是：（5+1）×6=36（人）
2．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这 盒钢笔最少有多少枝？
分析：求最小公倍数
解：[2,3,4,5,6]=60
答：这盒钢笔最少有60支。
拓展演练
例1、用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠 成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？
答案：6块
例3、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为： “两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两 个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
例5、公路上一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距 离原来是45米，现在要改成60米，可以有多少根不需要 移动？
分析与解：根据题意可知：不需要移动的电线杆数， 必须是处于45米与60米最小公倍数位置上的电线杆数， 才能不需要移动；那就要先求出两种间距米数的最小 公倍数，再求出公路总长，最后算一算公路总长里有 几个最小公倍数，又因为起点的一根肯定是不动的， 最后再加上起点的那根即可解决。
分析与解：由两个数的最小公倍数与最大公约数的乘 积等于这两个数的乘积。
可知另一个自然数是（6×72）÷18=24。
归纳总结
性质1：如果a、b两数的最大公约数为d， 则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数 的乘积等于这两个数的乘积。
பைடு நூலகம்
当堂演练
1.用长6厘米、宽4厘米的长 方形瓷砖拼成一个最小的正 方形，要用这样的瓷砖多少 块？
分析与解：正方体的棱长应该是长方体的长、 宽、高的公倍数，要求至少要用多少块，也 就是要使正方体的棱长正好是长方体的长宽 高的最小公倍数。因为[9,6,4]=36,所以正 方体的棱长最小是36厘米。
（36÷9）×（36÷6）×（36÷4） =216（块）
例2、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。 已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
最大公约数和最小公倍数（二）
（1）一个自然数，去除134余2，去除66余6，去除 40余4。这个自然数最大是多少？
12
（2）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1， 这个自然数最小是几？
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课前预练
1.五年级一班去划船，他们算了一下，如果增加一条 船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9 人，这个班有多少人？
30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。 因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是 7×5=35和7×6=42。
例4、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a， b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的 公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a， b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
也就是说：45=3×3×5，60=2×2×3×5，45和60的 最小公倍数为：3×5×2×2×3=180， 所以不需要移动的电线杆数共有：45×（25-1） ÷180+1=7（棵）
当堂检测
一排电线杆，每相邻两根间的距离原来是45米,现 改成60米,如果起点的一根不动,至少再隔多远又有 一根不移动?
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或 120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”
当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷60=24；
当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12
所以a，b，c为60，24，15或120，12， 15。
解：[45,60]=180 答：至少隔180米又有一根不移动。