最大公因数与最小公倍数(二)
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30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。 因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是 7×5=35和7×6=42。
例4、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a， b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的 公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a， b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
分析与解：正方体的棱长应该是长方体的长、 宽、高的公倍数，要求至少要用多少块，也 就是要使正方体的棱长正好是长方体的长宽 高的最小公倍数。因为[9,6,4]=36,所以正 方体的棱长最小是36厘米。
（36÷9）×（36÷6）×（36÷4） =216（块）
例2、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。 已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或 120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”
当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷60=24；
当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12
所以a，b，c为60，24，15或120，12， 15。
最大公约数和最小公倍数（来自百度文库）
（1）一个自然数，去除134余2，去除66余6，去除 40余4。这个自然数最大是多少？
12
（2）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1， 这个自然数最小是几？
61
课前预练
1.五年级一班去划船，他们算了一下，如果增加一条 船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9 人，这个班有多少人？
分析：船的数量是：（9+6）÷（9-6）=5（条）
人的数量是：（5+1）×6=36（人）
2．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这 盒钢笔最少有多少枝？
分析：求最小公倍数
解：[2,3,4,5,6]=60
答：这盒钢笔最少有60支。
拓展演练
例1、用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠 成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？
例5、公路上一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距 离原来是45米，现在要改成60米，可以有多少根不需要 移动？
分析与解：根据题意可知：不需要移动的电线杆数， 必须是处于45米与60米最小公倍数位置上的电线杆数， 才能不需要移动；那就要先求出两种间距米数的最小 公倍数，再求出公路总长，最后算一算公路总长里有 几个最小公倍数，又因为起点的一根肯定是不动的， 最后再加上起点的那根即可解决。
也就是说：45=3×3×5，60=2×2×3×5，45和60的 最小公倍数为：3×5×2×2×3=180， 所以不需要移动的电线杆数共有：45×（25-1） ÷180+1=7（棵）
当堂检测
一排电线杆，每相邻两根间的距离原来是45米,现 改成60米,如果起点的一根不动,至少再隔多远又有 一根不移动?
解：[45,60]=180 答：至少隔180米又有一根不移动。
分析与解：由两个数的最小公倍数与最大公约数的乘 积等于这两个数的乘积。
可知另一个自然数是（6×72）÷18=24。
归纳总结
性质1：如果a、b两数的最大公约数为d， 则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数 的乘积等于这两个数的乘积。
当堂演练
1.用长6厘米、宽4厘米的长 方形瓷砖拼成一个最小的正 方形，要用这样的瓷砖多少 块？
答案：6块
例3、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为： “两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两 个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。 因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是 7×5=35和7×6=42。
例4、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a， b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的 公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a， b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
分析与解：正方体的棱长应该是长方体的长、 宽、高的公倍数，要求至少要用多少块，也 就是要使正方体的棱长正好是长方体的长宽 高的最小公倍数。因为[9,6,4]=36,所以正 方体的棱长最小是36厘米。
（36÷9）×（36÷6）×（36÷4） =216（块）
例2、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。 已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或 120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”
当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷60=24；
当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12
所以a，b，c为60，24，15或120，12， 15。
最大公约数和最小公倍数（来自百度文库）
（1）一个自然数，去除134余2，去除66余6，去除 40余4。这个自然数最大是多少？
12
（2）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1， 这个自然数最小是几？
61
课前预练
1.五年级一班去划船，他们算了一下，如果增加一条 船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9 人，这个班有多少人？
分析：船的数量是：（9+6）÷（9-6）=5（条）
人的数量是：（5+1）×6=36（人）
2．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这 盒钢笔最少有多少枝？
分析：求最小公倍数
解：[2,3,4,5,6]=60
答：这盒钢笔最少有60支。
拓展演练
例1、用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠 成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？
例5、公路上一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距 离原来是45米，现在要改成60米，可以有多少根不需要 移动？
分析与解：根据题意可知：不需要移动的电线杆数， 必须是处于45米与60米最小公倍数位置上的电线杆数， 才能不需要移动；那就要先求出两种间距米数的最小 公倍数，再求出公路总长，最后算一算公路总长里有 几个最小公倍数，又因为起点的一根肯定是不动的， 最后再加上起点的那根即可解决。
也就是说：45=3×3×5，60=2×2×3×5，45和60的 最小公倍数为：3×5×2×2×3=180， 所以不需要移动的电线杆数共有：45×（25-1） ÷180+1=7（棵）
当堂检测
一排电线杆，每相邻两根间的距离原来是45米,现 改成60米,如果起点的一根不动,至少再隔多远又有 一根不移动?
解：[45,60]=180 答：至少隔180米又有一根不移动。
分析与解：由两个数的最小公倍数与最大公约数的乘 积等于这两个数的乘积。
可知另一个自然数是（6×72）÷18=24。
归纳总结
性质1：如果a、b两数的最大公约数为d， 则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数 的乘积等于这两个数的乘积。
当堂演练
1.用长6厘米、宽4厘米的长 方形瓷砖拼成一个最小的正 方形，要用这样的瓷砖多少 块？
答案：6块
例3、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为： “两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两 个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。