南昌大学概率论与数理统计第一学期
南昌大学概率论随机变量函数的分布
概率论在统计学中用于检验假设的正确性，通过 比较样本数据与假设的概率分布，判断假设是否 成立。
回归分析
概率论在统计学中用于进行回归分析，通过建立 因变量与自变量之间的概率模型，预测因变量的 取值。
概率论在计算机科学中的应用
机器学习
01
概率论在计算机科学中用于支持机器学习算法，通过概率模型
对数据进行分类、聚类和预测。
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布可以用概率质量函数（PMF）或概率生成函数（PGF）来表示，描述了随机变量取各个可 能值的概率。
连续型随机变量及其分布
连续型随机变量
连续型随机变量是在一定区间内取连续值的 随机变量，例如人的身高或体重。
连续型随机变量的分布
连续型随机变量的分布可以用概率密度函数 （PDF）或累积分布函数（CDF）来表示， 描述了随机变量取某个区间的概率。
多个随机变量的函数联合分布
如果有n个随机变量X1, X2, ..., Xn，那么它们的函数h(X1, X2, ..., Xn)的联合分布可以通 过联合概率密度函数或联合概率质量函数来描述。
06
应用实例
概率论在金融领域的应用
风险评估
概率论在金融领域中用于评估投资风险，通过计算不同结果的概率 分布，帮助投资者制定合理的投资策略。
计算方法
协方差等于所有可能取值的概率加权 和，再减去两个随机变量各自期望值 的乘积。
随机变量的矩
一阶矩
即随机变量的期望值。
二阶矩
即随机变量的方差。
高阶矩
包括偏度和峰度，用于描述随机变量的形状和分 布特性。
04
随机变量的联合分布
联合概率分布
定义
联合概率分布描述了两个或多个 随机变量同时发生的概率。
36学时B卷2012-2013-1南昌大学考试试卷
2 ，且该两数之和不大于 1 9
四、 得分 评阅人
设随机变量 X 在（0，1）内服从均匀分布，求 Y 2 ln X 的概率密度.
第 3 人
设二维随机变量 X 与 Y 的联合概率密度函数为
x y, f x, y 0
求E X2 .
0 x 1, 0 y 1, 其他,
第 4 页 共 4 页
—南 昌 大 学 考 试 试 卷—
【适用时间：2012～2013 学年第一学期 课程编号： 课程名称： 概率论与数理统计 试卷类型：[B]卷】 教 49
试卷编号：
教 师 填 写 栏
试卷说明：
1、本试卷共 4 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
开课学院： 适用班级：
理学院 理工类 36 学时
考 生 填 写 栏
所属学院： 所属专业： 考 生 须 知 考 生 承 诺
得 分 一、 设连续型随机变量 的概率密度为
评阅人
A , f ( x) 1 x 2 0,
试求：(1)系数 A；
1 1 (2) 落在 ( , ) 内的概率. 2 2
| x | 1 | x | 1
二、
得 分
评阅人
有三个形状相同的罐，在第一个罐中有 2 个白球和 1 个黑球，在第二个罐中有 3 个白球和 1 个黑球，在第三个罐中有 2 个白球和 2 个黑球.现任取一罐，从中任取一球，试求取得白球的 概率.
第 2 页 共 4 页
得 分 三、
评阅人
在区间（0，1）中随机地取两个数，试求取得的两数之积不大于 的概率.
考试形式： 考试时间：
闭卷 120 分钟
题号 题分 得分
南昌大学概率论期末试卷2011-2013答案.
—南昌大学考试试卷答案—【适用时间：20 13 ～20 14 学年第一学期课程编号：课程名称： J5510N0008 试卷类型：[ A ]卷】试卷编号：概率论与数理统计（II）教 30 教师填写栏试卷说明： 1、本试卷共 6 页。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
开课学院：适用班级：理学院48 学时考试形式：考试时间：闭卷 120 分钟题号题分得分一 24 二 24 三 40 四12 五六七八九十总分累分人 100 签名考生姓名：考生学号：所属班级：考试日期： 1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。
如有立即举手报告以便更换。
2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试），违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。
本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名：第 1 页共 4 页考生填写栏所属学院：所属专业：考生须知考生承诺得分一、填空题：（每空 4 分，共 24 分）评阅人 1. 0.375 2. 2/3 3. 18 4. k Cn（ n 6. 0.967 得分二、单项选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 得分三、计算题：（每题 10 分，共 40 分） 1. 解：设事件 A={取到的数能被 2 整除}，事件 B={取到的数能被 3 整除}，则有 P 评阅人评阅人所求概率为解：2 2 有 f(x,y=fX(xfY(y，故 X 与 Y 独立第 2 页共 4 页3. 解：设表示第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k (k的分布律为 Xk Pk 0 0.05 1 0.8 2 0.15 易知而，根据同分布中心极限定理随机变量近似服从标准正态分布， 400 0.19 因此解：似然函数令的极大似然第 3 页共 4 页得分四、证明题：（每题 6 分，共 12 分） 1、证明：因为，所以 P ( X 评阅人，因为 X 与 Y 相互独立所以即得证。
南昌大学概率论2010-2011学年第一学期期中考试试卷
南昌大学 2010～2011学年第一学期期中考试试卷
考试科目：概率论与数理统计
姓名：学号：班级：
计算题（每题20分，共100分）
1、对一个三人学习小组考虑生日问题：
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。
2、r个人互相传球，每传一次时，传球者等可能地传给其余1
r个人中之一，
试求第n次传球时，此球由最初发球者传出的概率
p（发球那一次算作第0次）。
n
3、两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05 ，第二台出现废品的概率为0.02 ，加工的零件混放在一起 ，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5 : 4，求
( 1 ) 任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率 ；
( 2 ) 若已知取出的一个零件为合格品 ，那么，它是由哪台机床生产的可能性较大？
.)3()2
1,21()2()1(,01,1)(42的分布函数内的概率；落在区间；系数求：其他
的密度函数为连续型随机变量、X X A x x A x f X -⎪⎩⎪⎨⎧<-=)(e ,0,
00e )(5y f Y x x x f X Y X x X 的概率密度求随机变量，概率密度为、设随机变量=⎩⎨⎧<≥=-。
南昌大学～学年概率论与数理统计期末试题.
3．设随机变量 的概率密度为
求（1）常数 ；（2）
4．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
问X、Y是否相关，是否独立？为什么？
5.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
一、填空题(每题4分，共20分)
得分
评阅人
1.设事件 仅发生一个的概率为0.3，且 ，则 至少有一个不发生的概率为__________.
2.设 服从泊松分布，若 ，则 ___________.
3.设随机变量 的概率密度为 现对 进行四次独立重复观察，用 表示观察值不大于0.5的次数，则 ___________.
南昌大学2008～2009学年复习题
试卷编号：( )卷
课程编号：课程名称：概率论考试形式：
适用班级：姓名：学号：班级：
学科部：专业：考试日期：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
累分人签名
题分
20
20
60
100
得分
考生注意事项：1、本试卷共4页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
则有（）
（A） （B）
（C） （D）
5．设随机变量 的分布函数为 ，则 的分布函数为
（）
（A） .（B） .
（C） .（D） .
概率论与数理统计教学日历
教学日历
2016—2017学年度第一学期
课程概率论与数理统计
理学院电子信息工程技术专业2017级专科1、2班
任课教师职称副教授
辅导教师职称
周数16周学时3
讲课48课时实习课时
实验0课时复习考试课时
其他课时总时数课时
采用教材《概率论与数理统计》，盛骤,谢式千等
考核方法考试
制定时间：2016年8月27日
第十七周
第十七周
第十八周
本 日 历 完 成
情 况
（7）
承 担 的 教 学
工 作 量 总 计
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
从 事 的 科 研 、
编 写 教 材 、实
验 室 建 设 工 作
（9）
其他（进修、外出
兼课、讲学、病修
等情况）
（10）
教研室检查
鉴定意见
（11）
系（院）检查
鉴 定 意 见
（12）
备注
附注：1、本日历一式两份，一份存系（院）办公室，一份由讲授者保存。
6.2 直方图和箱线图
6.3 抽样分布
重点：总体，统计量，卡方分布、t分布和F分布，正态分布的常用抽样定理
难点：卡方分布、t分布和F分布
第十二周
第七章 参数估计
7.1 点估计
重点：点估计的概念，矩估计法和最大似然估计法
难点：最大似然估计法
第十三周
7.2 基于截尾样本的最大似然估计
7.3 估计量的评选标准
重点：两个随机变量和的分布,
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布，数学期望定义和计算公式
难点：两个连续型随机变量和的分布，M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
南邮-概率与数理统计-第01章 - 概率论的基本概念
第二节
样本空间、随机事件
一、样本空间
一个随机试验E 的所有可能结果所组成 的集合
称为随机试验 E 的 样本空间 ,记为 S .
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 , 称为 样本点 .
S
.
样本点e
例：写出下面随机试验的样本空间
E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面 T 出现的情况 .
互为对立事件 .事件 A 的对立事件记为 A .
B
S
A
对立事件与互斥事件的关系 : 对立一定互斥, 但互斥不一定对立.
两事件A、B互斥： AB 即A与B不可能同时发生.
两事件A、B互逆或互为对立事件 除要求A、B互斥( AB )外，还要求
A B S
6. 差事件 : 称事件 A 发生而事件 B 不发生所构 成的事件为事件 A 与事件 B 的差事件 , 记作 A B .
E6 : 记录某地一昼夜的最高 温度和最低温度 .
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
上述试验的共同特点
•
•
试验可以在相同的条件下重复进行
每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明 确试验的所有可能的结果
•
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
在概率论中将具有上述特点的试 验称为随机试验，用 E 表示。
S1 H , T
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
S2 HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT
E3 : 抛一颗骰子 , 观察出现的点数 .
S3 1, 2,3, 4,5,6
E 4 : 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 .
南昌大学大二公共课专业概率论与数理统计试卷及答案 (2)
南昌大学2021 学年概率论与数理统计第一学期期末试卷一、单项选择题〔每题3分，总分值24分〕1、设随机变量X 的概率密度为1||,22()40,x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 ,则 =≤<-}11{X P ( )。
(A) 0.75 , (B) 0.5 , (C) 0.25 , (D) 0 。
2、随机变量X 的分布函数为x b a x F arctan )(+=,+∞<<∞-x , 假设实数c 满足1{}6P X c >=，则c =〔 〕。
〔A3； 〔B〔C 〕1； 〔D 〕3π。
3、设随机变量),(~2σμN X ,则4(||)E X μ-=〔 〕。
(A) 43σ； (B) 44σ； (C) 45σ； (D) 46σ。
4、设B A ,为任意两事件,则以下关系成立的是( ).(A) A B B A =+-)(； (B) ()A B A B A +-= ;(C) A B B A =-+)(; (D) ()()A B A B B A A B -++-=+ 。
5、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球, 则第5次取球时得到的是红球的概率是〔 〕。
〔A 〕15； 〔B 〕14； 〔C 〕13；〔D 〕12。
6、设每次试验成功的概率为p )10(<<p ,则在5次重复试验中至少失败 一次的概率为〔 〕。
(A) 51p -, (B) 4(1)p p -, (C) 5(1)p -, (D) 145(1)C p p -。
7、设二维随机变量221(,)~(1,2;2,3;)2X Y N -,则=+-)12(Y X D ( )。
(A) 13, (B) 14 , (C) 19 , (D) 37 .8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现目标被命中,则它是甲射中的概率为〔 〕。
(A)0.6, (B)116, (C)0.75 , (D)115 。
南昌大学概率论期末试卷2011-2013答案
三、求下列概率密度（每题 10 分，共 20 分）
X 的概率密度为
1 x2 f X ( x) e ， x . 2
当 y≤0 时，显然
2
FY ( y) P( Y y) P (2 X
当 y＞0 时有
y )；0
FY ( y ) P(Y y ) P( X 2 y ) P ( y X
2分
则
ln L n ln xi / ，令
i 1
n
xi d ln L n i 1 2 0， d
解之得
n
1 n xi x ，因此 极大似然估计量为 n i 1 1 n X i X （样本均值） n i 1
—南 昌 大 学 考 试 试 卷 答 案 —
【适用时间：2011～2012 学年第二学期 课程编号： 课程名称： 概率论与数理统计 试卷类型：[A]卷】
试卷编号：
教 师 填 写 栏
试卷说明：
1、本试卷共 6 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
开课学院： 适用班级：
理学院 理工类 48 学时
1 2
X 2 Y 2 的概率
2 x2 2 y2 e ,0 x , e ,0 y , fX x fX x 0, 0, 其它； 其它.
4 x 2 y 2 ， 0 x ,0 y e , f x, y f X x fY y 其它 0,
1 b 1
).
3 、 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1 , 12 , Y 服 从 正 态 分 布 N 2 , 2 2 , 且
大学概率论与数理统计第一章(2)-56页PPT资料
练习
等可能概型
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
42
4222
P(A) 62 0.444 P(B) 62 0.556
22 P(C)1P(C)1620.889
例(会面问题) 两人约定在早上8点至9点在某地会
面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任 何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
0 x 6,0 0 y 60
两人能会面的充要条件是
xy 15
如图，问题转化为平面区域：
{x ( ,y)0x 6,0 0 y 6}0
n! n 1 !.... n m !
4 随机取数问题
例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，即可将 P(A)作为事件A的概率
四. 概率的公理化定义（数学定义）
练习
等可能概型
例 2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球。从 袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式：
概率论与数理统计人大版本
概率论与数理统计人大版本
一、概率论与数理统计的概述
概率论是研究随机现象的理论体系，它通过对随机现象的规律性进行研究，为我们预测和决策提供依据。
数理统计则是一种基于数据的研究方法，它通过对数据的分析和处理，提取出数据背后的信息，为实际问题的解决提供支持。
二、概率论与数理统计的基本概念
在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则包含了所有可能的结果。
概率分布描述了随机变量取值的概率规律，而概率密度函数则用于描述连续型随机变量的概率分布。
三、常见概率分布及其应用
常见的概率分布有二项分布、泊松分布和正态分布等。
二项分布用于描述一系列伯努利试验的结果，泊松分布用于描述单位时间内随机事件的次数，正态分布则广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术领域。
四、数理统计的基本方法
数理统计的基本方法包括描述性统计、推断性统计等。
描述性统计用于概括和描述数据的集中趋势、离散程度等信息，而推断性统计则通过抽样数据对总体参数进行估计和检验。
五、参数估计与假设检验
参数估计是通过对样本数据的研究，估计总体参数的值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等，区间估计则通过构建置信区间来估计参数。
假
设检验则是通过检验统计量与临界值之间的关系，对总体参数进行推断。
六、应用领域与发展趋势
概率论与数理统计在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
随着大数据时代的到来，概率论与数理统计的研究方法和技术也在不断发展，包括机器学习、数据挖掘等领域。
在我国，概率论与数理统计的研究和应用也取得了显著成果，为各个领域的创新发展提供了有力支持。
南昌大学概率论09-10第一学期(36学时)期末考试试卷
概率论09-10第一学期（36课时）一、填空题(每题4分, 共20分)1.设事件A , B 是互不相容的, P (A )=0.5, P (B )=0.3,则)(B A P =_____2.已知P (A )=P (B )=P (C )=2/5, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=1/6,则事件A , B , C 至少有一个发生的概率为_____3.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=π121+arctan x ,则P {0≤X ≤3}=_____ 4.设随机变量ξ服从(-1/2, 1/2)上的均匀分布,则η=tan2ξ的数学期望为_____5.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且E [(X -1)(X -2)]=1, 则D (X )=_____二、选择题(每题3分, 共15分)1.设A , B , C 为三事件,则A , B , C 恰有一个发生的是_____(A)A ∪B ∪C (B)ABC (C)C B A C B A C B A (D) C B A C B A C B A2.P {X =k }=kc )32( (k =1,2,3,⋅⋅⋅)是某随机变量的分布律,则C =_____(A)2 (B)1/2 (C)1 (D)3/23.设随机变量X 服从正态分布N (μ, σ2),则随着σ 的增大,概率P {|X -μ|<σ}_____(A)单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定 2.设随机变量ξ1,ξ2,...,ξ 10独立,且E (ξi )=a ,D (ξi )=b ,i =1,2,...,10,记η=∑=101101i i ξ,则_____ (A) E (η)=a , D (η)=b (B) E (η)=a , D (η)=0.1b (C) E (η)=0.1a , D (η)=b (D) E (η)=0.1a , D (η)=0.1b5.设随机变量X 1,X 2独立同分布,均服从正态分布X ~N (1,2),下列随机变量中方差最小的是_____ (A))(2121X X + (B)214341X X + (C) X 2 (D) 213132X X + 三、求下列概率密度1.设连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧>-其他,00 ,x e x ,试求Y =X 2的概率密度. (12分) 2. 设随机变量X ,Y 独立同分布,且X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤>-0,00 ,x x e x ,试求Z =2Y X +的概率密度. (11分)四、计算题1.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧<<+其他 ,020 ,1x kx ,求(1)k 值; (2)P {1<X <2}. (10分) 2.设随机变量X 和Y 相互独立同分布, X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤其他 ,010 ,32x x ,求P {X +Y ≤1}. (10分)五、解答题及应用题1.设X 的概率密度为f (x ,θ)=⎩⎨⎧<≥--θθθx x e x ,0 ,)(,求X 的数学期望. (11分)2.随机地向半圆0≤y ≤24x -内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,求该点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3的概率. (11分)一、1.0.3 2.13/15 3.1/3 4.0 5.1 二、1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 三、1.当y ≤0时, F Y (y )=0当y >0时, F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y }=P {0<X ≤y }=dx e yx ⎰-0 ⇒f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00 ,2y y y e y2.F Z (z )=2(Y X P +≤z )=P {X +Y ≤2z }=dxdy y x f z y x ⎰⎰≤+2),(当z <0⇒F Z (z )=0当z ≥0⇒F Z (z )=dy e dx e dxdy e e x z y z x D y x ⎰⎰⎰⎰-----=⋅2020=dx e e zx x z ⎰-+--202)1( =1-e -2z -2ze -2z则 f Z (z )=⎩⎨⎧<≥-0,00 ,42z z ze z 四、1.(1)dx kx ⎰+20)1( =2k +2=1⇒k =21- (2)P {1<X <2}=dx x ⎰+-21)121( =41 2.P {X +Y ≤1}=dxdy y x f y x ⎰⎰≤+1),(=dy y x dx x ⎰⎰-1022109=1/20五、1. E (X )=dx xe x ⎰+∞--θθ)( =1+θ2.令Ω={(x ,y ): 0≤y ≤24x -}A ={点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3}∩ΩP (A )=ΩS S A =ππ234=32。
南昌大学概率论期末-2012第一学期36学时及答案
一、填空题(每题4分, 共20分)1.设P (A )=0.5,P (B )=0.6,)|(A B P =0.8, 则A , B 至少发生一个的概率为__2.设X 服从泊松分布，若EX 2=6，则P (X =1)=_____3.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=π121+arctan x ,则(1)P {-1≤X ≤1}=_____ (2)X 的概率密度函数f (x )=______4.设X 服从二项分布,其分布律为P (X =k )=k k k C -100100)8.0()2.0( (k =0,1,2,⋅⋅⋅,100)，则E (X )=_____，D (X )=______5.设随机变量X 的概率密度为ψ(x )=)1(12x +π，则2X 的概率密度为____ 二、计算题(每题10分, 共30分)1.设A 与B 独立，且P (A )=p ，P (B )=q ，求下列事件的概率：P (A ∪B )，P (A B )，P (B A )2.设某工厂有A , B , C 三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%, 35%, 40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%, 4%, 2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它是车间A 生产的概率3.设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+其他 ,00 ,)100(200003x x ，求：(1) X 的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率四、计算题（每题10分，共20分）1.某商店经销商品的利润率X 的密度函数为f (x )=⎩⎨⎧<<-其他 ,010 ),1(2x x ，求EX ，DX2.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P (|X +Y |≥6)的值一、1. 0.9 2. 2e -2 3.21 )1(12x +π 4. 20 16 5. )4(22x +π 二、1. P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (A )P (B )=p +q -pqP (A B )=P (A )+P (B )-P (A )P (B )=p +1-q -p (1-q )=1-q +pqP (B A )=P (AB )=1-P (A )P (B )=1-pq2.令事件A , B , C 为A , B , C 车间生产的产品，事件D ={次品}P (D )=P (A )P (D |A )+P (B )P (D |B )+P (C )P (D |C )=0.25⨯0.05+0.35⨯0.04+0.4⨯0.02=0.0345P (A |D )=)()|()(D P A D P A P =0345.005.025.0⨯=0.362 3.(1) F (x )=⎰∞-x dt t f )(=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<⎰0 ,)100(200000 ,003x dt t x x =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<0 ,)100(1000010 ,02x x x (2)P (X >200)=1-P {X ≤200}=1-F (200)=1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2)100200(100001=91 三、1. X 可能的取值为1, 2, 3，Y 可能的取值为1, 2, 3，相应的，其概率为：P (X =1,Y =1)=0，P (X =1,Y =2)=3421⨯⨯=61，P (X =1,Y =3)=3411⨯⨯=121，P (X =2,Y =1)=3412⨯⨯=61，P (X =2,Y =2)=3412⨯⨯=61，P (X =2,Y =3)=3412⨯⨯=61，P (X =3,Y =1)=121，P (X =3,Y =2)=3421⨯⨯=61，P (X =3,Y =3)=0 P (X =Y )=P (X =1,Y =1)+P (X =2,Y =2)+P (X =3,Y =3)=61 2. f X (x )=⎩⎨⎧>-其他,00 ,x e xy =e x 的反函数h (y )=ln y ，h '(y )=y1，故所求的Y 的密度函数为：f Y (y )=f X (h (y ))⋅|h '(y )|=⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-其他 ,00ln ,1ln y y e y =⎪⎩⎪⎨⎧>其他 ,01 ,12y y四、1.(1) E (X )=⎰-⋅10)1(2dx x x =31(2) E (X 2)=⎰-⋅102)1(2dx x x =61⇒D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=23161⎪⎭⎫ ⎝⎛-=181 2. E (X +Y )=E (X )+E (Y )= -2+2=0D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2ρXY )()(Y D X D =1+4+2⨯(-0.5)41⋅=3故P (|X +Y |≥6)=P (|X +Y -0|≥6)=P (|X +Y -E (X +Y )|≥6)≤26)(Y X D +=121。
南昌大学概率论07-08第一学期期末考试试卷
南昌大学概率论07-08第一学期期末考试试卷概率论07-08第一学期一、填空题（每空3分，共15分）1.如果每次试验成功的概率均为p (02.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X +2Y 的方差为______3.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为_________4.设随机变量X ~B (10, 0.4)，则X 2的数学期望为_________5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=)1(12x +π，则2X 的概率密度为_________二、求下列概率（20分）1.箱中有m 件正品，n 件次品，现把产品随机地一件件取出来，求第2次取出的一件产品是正品的概率.（10分）2.在区间(0, 1)中随机地取两个数，试求取得的两数之积小于1/4的概率.（10分）三、计算题（25分）1．已知随机变量X 的概率密度为f (x )=<<+其它 ,010 ,x b ax ，且85}21{=>X P .(1)求a ，b ；(2)计算}2141{≤<="" p="">2.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为?(x ,y )=?>>+-其它 ,000 ,2)2(,y x e y x .求随机变量Z =X +2Y 的分布函数.（10分）四、解答题（30分）1.设随机变量(X ,Y )的联合密度函数为f (x ,y )=>>+-其它,000 ,)43(,y x Ae y x ，求(1)系数A ；(2)X的数学期望.（15分）2.设随机变量X 与Y 相互独立同分布，X 的概率密度为f (x )=??≤≤其它,010 ,32x x ，求}21{≤+Y XP .（15分）五、应用题（10分）一学生金工实习时，用同一台机器连续独立地制造2个同样的零件，第i 个零件时合格品的概率p i =1+i i (i =1,2)，以X 表示2个零件中合格品数，求X 得数学期望.一、1. 1/3 2. 44 3. 3/8 4. 18.4 5.)4(22x +π二、1.)!()!1(n m n m m +-+=m m +2. Ω={(x ,y ): 0<x <1, 0<y <1}, A ={(x ,y ): xy <1/4}∩Ω p =</p> AS S Ω=+1414141dx x=)4ln 1(41+三、1.dx x f ?+∞∞-)(=dx b ax ?+1)(=b a +2=1 }21{>X P =dx b ax ?+121)(=283b a +=85 解得a =1, b =1/2}21{<<="" p="" x="">2141)21(=3272.当z ≤0时, F Z (z )=0当z >0时, F Z (z )=P {Z ≤z }=P {X +2Y ≤z }= dxdyy x zy x ??≤+2),(?=dy edx x z y x z-+-20)2(02=1-e -z-ze -z四、1.dxdy y x f ?+∞∞-+∞∞-),(=1?dy Aedx y x ?+∞+-+∞)43(0=1?A =12 E (X )=dy ex dx y x ?+∞+-+∞)43(012= dx xex+∞-033=1/32.(X ,Y )的联合密度函数为f (x ,y )=≤≤≤≤其它,010,10 ,922y x y x}21{≤+Y X P =dxdy y x f y x ??≤+21),(=dy y x dx x-210222109=12801五、令X i =??个零件部合格第个零件合格第i i ,0 ,1,则X 1~B (1, 1/2), X 2~B (1, 2/3)X = X 1+ X 2 E (X 1)=1/2 E (X 2)=2/3 E (X )= E (X 1)+ E (X 2)=1/2+2/3=7/6 或X =0,1,2 P (X =0)=(1-p 1)(1-p 2)=1/6 P (X =1)=p 1(1-p 2)+(1-p 1)p 2=1/2 P (X =2)=p 1p 2=1/3 E (X )=0?1/6+1?1/2+2?1/3=7/6。
1南昌大学2012-2013学年第一学期期末集中考试安排表(前湖校区)
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（11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级） （11级）
2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50 2013-1-9 上午07:50-09:50
（11级） （11级） （11级） （11级）
监考 教师1 黄兴元 京玉海 刘晓阳 陈姮 叶寒 陆远 *胡海金 吴斌 *蒋鹏 *廖川荣 董增文 梁发云 肖勇 *陈涛
樊树平A1班序号1-76 杨玉桃A1班序号1-50
杨玉桃A1班序号51-100 50 胡海金A1班序号1-51
51
胡海金A1班序号52-102 51 蒋鹏A1班 蒋鹏A1班 序号1-51
张雪红 * 35 信工楼E114 熊根良 34 信工楼E214 戴莉莉 34 信工楼E214 曾洁* 34 信工楼E316 李克 32 信工楼E536 顾嘉 52 51 55 54 53 53 46 44 机电D127 *高文明 机电D127 熊智文 机电D202 付东明 机电D302 胡志
概率论与数理统计 南京大学 1 第一章概率论的基本概念 (1.1.1) 初识概率论
频率的稳定性可以用来解释概率，但不能作为 概率的严格定义。
频率的性质
(1) 非负性 0≤fn(A)≤1
(2) 正规性 fn(Ω )=1
(3) 有限可加性.即设事件A1, A2, …, Am互斥， 则 fn (A1 ∪ A2 ∪…∪ Am)= fn (A1)+ fn (A2)+…+ fn
频率的稳定性
实验者
试验次数 正面朝上
次数μn
De Morgan 2048 1061
Buffon
4040
2048
Pearson 12000 6019
Pearson 24000 12012
频率 fn(A)=µn/n 0.518 0.5069 0.5016 0.5005
投掷次数越多，频率越接近于0.5，也就是说， 频率的稳定值为0.5。据此，我们自然可以用 这个稳定值0.5来作为事件{出现正面朝上}的概 率.即P(A)=0.5。
（1） 非负性 P(A)0，A
（2）正规性 P(Ω)=1
（3）可列可加性 若事件An，n=1,2,…， 两两互斥，则
P( An ) P An n源自1n1则称P为概率。
谢谢！
概率论与数理统计
(Am)
概率应具备以下性质：
(1) 非负性 0≤P(A)≤1
(2) 正规性 P(Ω )=1
(3) 可列可加性 即设事件A1, A2, …,Am , …,互斥，则 P(A1∪A2∪…∪Am∪…)= P(A1)+ P(A2)+…+
P(Am)+…
二．概率的公理化定义
概率论与数理统计 南京大学 1 第一章概率论的基本概念 (1.4.1) 全概率公式与贝叶斯公式
例1. 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的不合格品 率依次为0.05，0.04，0.03和0.02.现在从出 厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的 概率是多少？
解：
4
P(B) P(Ai )P(B | Ai ) i1
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
证明：
n
n
n
P(B) P( AiB) P(AiB) P(Ai )P(B | Ai )
i1
i1
i1Biblioteka 全概率公式的直观解释：如果把事件B作为考察对象，
那么事件A1, A2, …, An便是导致“结果”的“原因”。
全概公式的主导思想是由因导果。
解：
P(A4 | B)
P( A4 )P(B | A4 )
4
P(Ai )P(B | Ai )
i1
0.35 0.02
2
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 9
0.15 0.05 0.200.04 0.300.03 0.350.02 0.0315
贝叶斯公式
定理（贝叶斯公式）： 设A1, A2, …, An 是样本空间Ω 的一个划分，P(Ai)>0,i= 1,2, …,n ,B是任一事件，则有
则i 1, 2, ，n,
证明：
P( Ai | B)
P( Ai )P(B | Ai )
n
。
P(Ak )P(B | Ak )
k 1
P( Ai
|
B)
概率论与数理统计-jxhd4-1
证但明对：任(只意证的连随续机型变）量设XX2的（概不率知密其度分为布f (）x) ，，则若
EX ，DX 2 ，那么事
P{ X 概率
又 如何来} 估x计 f呢(x？)dx
件“
x
(Xx
2
)2
3 ” 的 f (x)dx
1
2
( x
证明：由性质（1 ），若 P{X C} 1 ，则 DX 0 。
对于每一个 n 1,2,3,, 根据切比雪夫不等式，
令 C EX ，有 P{ X C 1} n2 DX 0
n
而事件
{X
C}
{ X
C
1}
n1
n
所以
P{ X
C}
P{ X
C
1} 0
§4.2 中心极限定理 Central limit theorem
定理 4-4（林德伯格—列维定理或 i.i.d 的
中心极限定理)设 X1，X2，，Xn为独立同
分布的随机变量序列且期望 EXi ,方差
DXi 2 0 (i 1,2,,n)，则x R 有
n
Xi n
例如：设 X 的分布未知，
记 EX ， DX 2 ，取 3 ，则
P{ X
3} 1
2 9 2
1
1 9
0.8889
例如：设 X 的分布未知，
记 EX ， DX 2 ，取 3 ，则
P{ X
3} 1
2 9 2
1
)2
f
( x)dx
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—南昌大学考试试卷答案—
【适用时间：20 14 ～20 15 学年第一学期试卷类型：[ A ]卷】
二、填空题：（每题4分，共20分）
得 分
评阅人
1、 已知()0.4P A =，()0.3P B =，()0.6P A B =U ，则()P AB =_0.3_.
2、设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}1max ,1.9
P X Y ≤=
3、 设两个相互独立的随机变量X 与Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是
44.
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()()121E X X ⎡--⎤=⎣⎦,则λ=_1__.
5、设,ζη是两个相互独立且均服从正态分布10,2N ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的随机变量，则随机变量ζη-的数 学期望E ζη-=
2
π
.
三、计算题：（每题12分，共60分）
得 分
评阅人
1、在区间(0,1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于
1
2
的概率. 解 在单位正方形中六边形OAGBCDE 的面积为 1113
12,2224
-⨯⨯⨯
= 9分
故所求概率为34。
12分
2、某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品， 各个车间的产量分别占全厂总产量的25％、35％和40％，各车间产品的次品率分别是5％、4％和2％. 如果从全厂产品中抽取一种产品，恰好是次品，问这件次品是甲车间生产的概率是多少？
解： Ω：“全厂的产品”；A 、B 、C 分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S ：“次品”，则 由全概率公式得 P (S )=P (A )P (S |A )+P (B )P (S |B )+P (C )P (S |C )
=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45% 6分
由贝叶斯公式，得
%23.3669
25
345125%45.3%5%25)()|()()|(≈==⨯==
S P A S P A P S A P 12分
3、设随机变量X 在[,
22ππ
-
]上服从均匀分布，求随机变量cos Y X =的概率密度.
解：X 的概率密度为⎩
⎨⎧-∈=其它 ,0]
2/ ,2/[ ,/1)(πππx x f X
易知Y 的取值区间为[0，1]；以下分三段求Y 的分布函数)()(y Y P y F Y ≤= （1）当y ＜0时，0)()(=Φ=P y F Y ； （2）当0y ≤＜1，如图所示，
()()(cos )Y F y P Y y P X y =≤=≤
=(arccos arccos )2
2
P X y y X π
π
-
≤≤-≤≤
或
=arccos 2
arccos 2
1
1
y
y
dx dx π
ππ
π
--
+⎰
⎰
=2arccos 1y
π
-
； 9分
（3）当1y ≥时，()()()1Y F y P Y y P =≤=Ω= 对()Y F y 分段求导得Y 的概率密度为
2
2,0 1()10,Y y f y y π⎧
≤⎪=-⎨⎪⎩
p 其它 12分。