南昌大学概率论与数理统计第一学期

—南昌大学考试试卷答案—

【适用时间：20 14 ～20 15 学年第一学期试卷类型：[ A ]卷】

二、填空题：（每题4分，共20分）

得 分

评阅人

1、 已知()0.4P A =，()0.3P B =，()0.6P A B =U ，则()P AB =_0.3_.

2、设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则

{}{}1max ,1.9

P X Y ≤=

3、 设两个相互独立的随机变量X 与Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是

44.

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()()121E X X ⎡--⎤=⎣⎦,则λ=_1__.

5、设,ζη是两个相互独立且均服从正态分布10,2N ⎛

⎫

⎪⎝

⎭

的随机变量，则随机变量ζη-的数 学期望E ζη-=

2

π

.

三、计算题：（每题12分，共60分）

得 分

评阅人

1、在区间(0,1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于

1

2

的概率. 解 在单位正方形中六边形OAGBCDE 的面积为 1113

12,2224

-⨯⨯⨯

= 9分

故所求概率为34

。 12分

2、某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品， 各个车间的产量分别占全厂总产量的25％、35％和40％，各车间产品的次品率分别是5％、4％和2％. 如果从全厂产品中抽取一种产品，恰好是次品，问这件次品是甲车间生产的概率是多少？

解： Ω：“全厂的产品”；A 、B 、C 分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S ：“次品”，则 由全概率公式得 P (S )=P (A )P (S |A )+P (B )P (S |B )+P (C )P (S |C )

=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45% 6分

由贝叶斯公式，得

%23.3669

25

345125%45.3%5%25)()|()()|(≈==⨯==

S P A S P A P S A P 12分

3、设随机变量X 在[,

22ππ

-

]上服从均匀分布，求随机变量cos Y X =的概率密度.

解：X 的概率密度为⎩

⎨⎧-∈=其它 ,0]

2/ ,2/[ ,/1)(πππx x f X

易知Y 的取值区间为[0，1]；以下分三段求Y 的分布函数)()(y Y P y F Y ≤= （1）当y ＜0时，0)()(=Φ=P y F Y ； （2）当0y ≤＜1，如图所示，

()()(cos )Y F y P Y y P X y =≤=≤

=(arccos arccos )2

2

P X y y X π

π

-

≤≤-≤≤

或

=arccos 2

arccos 2

1

1

y

y

dx dx π

ππ

π

--

+⎰

⎰

=2arccos 1y

π

-

； 9分

（3）当1y ≥时，()()()1Y F y P Y y P =≤=Ω= 对()Y F y 分段求导得Y 的概率密度为

2

2,0 1()10,Y y f y y π⎧

≤⎪=-⎨⎪⎩

p 其它 12分