立体几何 最有应得(浙江高三文科)
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例 3 如图 6，已知正方形 ABCD, ABEF 所在平面互相垂直， AB = 2 ， M 为线段 AC 上一动点，
当 M 在什么位置时， M 到直线 BF 的距离最短，并求出最短距离. 分析：设 AM = x ，作出 M 到直线 BF 的距离，进而把这个距离表示成 x 的函数，然后用函数知识求
最值及最值条件.
值为
.
D1
分析：在正方体中直求 AP + D1P 的最小值比较困难，因此考A虑1
C1 D1 B1
把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，然后利用两点之间线段
最短求解.
A
D P
B
C A1
解：把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，如图 4，易发现
图3
C
PB
A 图4
AP + D1P 的最小值即为 AD1 ，在 DA1 AD 中， A1D1 = A1 A = 1, ÐAA1D1 = 135° ，
- 5 £ xy £ 1 ，所以 xy £ 1 ， 所以纸盒的容积V = 2xy £ 2 ，当且仅当 x = y = 1 时，等号成立. 答：这个纸盒容积的最大值为 2 m3 . 点睛：运用基本不等式求解的立体几何最值问题，以求表面积或体积的最值问题最为常见.
2
由余弦定理，可得 AD1 = 12 + 12 - 2 ´1´1´ cos135° = 2 + 2 ，即 AP + D1P 的最小值为 2 + 2 . 点睛：把立体图形展成平面图形，然后利用平面几何最值结论求最值，也是求空间最值的一种常用方 法.特别是求一个几何体表面上两点间距离的最小值时，大都运用此法.本题因要在三角形中求最值，所以 还用到了解三角形知识. 3、用函数知识求解
点 M ，使 AM + ME 最小，其最小值为
.
分析：根据图形的对称性，把 AM + ME 转化为 CM + ME ，然后利用两
D1
C1
点之间线段最短求最小值. 解：由对称性可知 AM = CM ，所以 AM + ME = CM + ME ，观察图形，
可知当 E, M , C 三点共线时， CM + ME 即 AM + ME 取得最小值，最小值为
A1
M
·
E
D
B1 C
CE = ( 2a)2 + ( a )2 = 3 a . 22
A
B
图1
点睛：平面几何中的最值结论，如：两点之间线段最短、点和直线上的点的连线段中垂线段最短，可
应用于立体几何问题中.
2、用展开法求解
例 2 如图 3，边长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上一点 P ，则 AP + D1P 的最小
.
分析：设出纸盒的底面边长，根据纸盒的表面积，运用基本不等式求出纸盒底面积的最大值，这个最 大值乘以 2 即为纸盒容积的最大值.
解：设纸盒的底面边长分别为 x, y ，则纸盒的表面积 2xy + 2(2x + 2 y) = 10 ，整理得 xy + 2(x + y) = 5 .
因为 x > 0, y > 0 ，所以 xy + 2(x + y) ³ xy + 4 xy ，所以 xy + 4 xy £ 5 ，即 xy + 4 xy - 5 £ 0 ，解得
设 AM = x ，则 MH = 2 x ， BH = 2 - 2 x ，所以 NH = 2 NH = 1 - 1 x .
2
2
2
2
D M
B HN A
图6
所以 MN = MH 2 + NH 2 = ( 2 x)2 + (1 - 1 x) 2 = 3 x 2 - x + 1 = 3 (x - 2) 2 + 2 .
立体几何“最”有应得（浙江高三文科）
山东省汶上县圣泽中学
马继峰
该文发表于《考试报》 最值问题是立体几何中的一类难点问题，为之奈何？其实你只要掌握了以下四种解法，基本就能使 “最”有应得. 一、求法展示 1、用几何最值结论求解
例 1 如图 1，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中棱长为 a ，点 E 为 AA1 的中点，在对角面 BB1DD1 上取一
1
C
解：作 MH ^ AB 于 H ，作 NH ^ BF 于 N . 因为平面 ABCD ^ 平面ABEF ，所以 MH ^ 平面ABEF ，所以 BF ^ MH . 又 NH I MH = H ，所以 BF ^ 平面 MNH ，所以 MN ^ BF . 所以 MN 即为 M 到直线 BF 的距离.
2
2
4
4 33
E F
又 0 £ x £ 2 ，所以当 x = 2 ，即当点 M 距离 A 点 2 时， MN 取得最小值 6 .
3Hale Waihona Puke Baidu
3
3
点睛：求某些几何最值，可把待求量表示为某一个量的函数，然后利用函数知识解答，这是函数思想
的体现.
4、用基本不等式求解
例 4 用一张面积为10m2 的纸，围成一个高为 2m 长方体纸盒，这个纸盒容积的最大值是
当 M 在什么位置时， M 到直线 BF 的距离最短，并求出最短距离. 分析：设 AM = x ，作出 M 到直线 BF 的距离，进而把这个距离表示成 x 的函数，然后用函数知识求
最值及最值条件.
值为
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D1
分析：在正方体中直求 AP + D1P 的最小值比较困难，因此考A虑1
C1 D1 B1
把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，然后利用两点之间线段
最短求解.
A
D P
B
C A1
解：把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，如图 4，易发现
图3
C
PB
A 图4
AP + D1P 的最小值即为 AD1 ，在 DA1 AD 中， A1D1 = A1 A = 1, ÐAA1D1 = 135° ，
- 5 £ xy £ 1 ，所以 xy £ 1 ， 所以纸盒的容积V = 2xy £ 2 ，当且仅当 x = y = 1 时，等号成立. 答：这个纸盒容积的最大值为 2 m3 . 点睛：运用基本不等式求解的立体几何最值问题，以求表面积或体积的最值问题最为常见.
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由余弦定理，可得 AD1 = 12 + 12 - 2 ´1´1´ cos135° = 2 + 2 ，即 AP + D1P 的最小值为 2 + 2 . 点睛：把立体图形展成平面图形，然后利用平面几何最值结论求最值，也是求空间最值的一种常用方 法.特别是求一个几何体表面上两点间距离的最小值时，大都运用此法.本题因要在三角形中求最值，所以 还用到了解三角形知识. 3、用函数知识求解
点 M ，使 AM + ME 最小，其最小值为
.
分析：根据图形的对称性，把 AM + ME 转化为 CM + ME ，然后利用两
D1
C1
点之间线段最短求最小值. 解：由对称性可知 AM = CM ，所以 AM + ME = CM + ME ，观察图形，
可知当 E, M , C 三点共线时， CM + ME 即 AM + ME 取得最小值，最小值为
A1
M
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B1 C
CE = ( 2a)2 + ( a )2 = 3 a . 22
A
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图1
点睛：平面几何中的最值结论，如：两点之间线段最短、点和直线上的点的连线段中垂线段最短，可
应用于立体几何问题中.
2、用展开法求解
例 2 如图 3，边长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上一点 P ，则 AP + D1P 的最小
.
分析：设出纸盒的底面边长，根据纸盒的表面积，运用基本不等式求出纸盒底面积的最大值，这个最 大值乘以 2 即为纸盒容积的最大值.
解：设纸盒的底面边长分别为 x, y ，则纸盒的表面积 2xy + 2(2x + 2 y) = 10 ，整理得 xy + 2(x + y) = 5 .
因为 x > 0, y > 0 ，所以 xy + 2(x + y) ³ xy + 4 xy ，所以 xy + 4 xy £ 5 ，即 xy + 4 xy - 5 £ 0 ，解得
设 AM = x ，则 MH = 2 x ， BH = 2 - 2 x ，所以 NH = 2 NH = 1 - 1 x .
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D M
B HN A
图6
所以 MN = MH 2 + NH 2 = ( 2 x)2 + (1 - 1 x) 2 = 3 x 2 - x + 1 = 3 (x - 2) 2 + 2 .
立体几何“最”有应得（浙江高三文科）
山东省汶上县圣泽中学
马继峰
该文发表于《考试报》 最值问题是立体几何中的一类难点问题，为之奈何？其实你只要掌握了以下四种解法，基本就能使 “最”有应得. 一、求法展示 1、用几何最值结论求解
例 1 如图 1，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中棱长为 a ，点 E 为 AA1 的中点，在对角面 BB1DD1 上取一
1
C
解：作 MH ^ AB 于 H ，作 NH ^ BF 于 N . 因为平面 ABCD ^ 平面ABEF ，所以 MH ^ 平面ABEF ，所以 BF ^ MH . 又 NH I MH = H ，所以 BF ^ 平面 MNH ，所以 MN ^ BF . 所以 MN 即为 M 到直线 BF 的距离.
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E F
又 0 £ x £ 2 ，所以当 x = 2 ，即当点 M 距离 A 点 2 时， MN 取得最小值 6 .
3Hale Waihona Puke Baidu
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点睛：求某些几何最值，可把待求量表示为某一个量的函数，然后利用函数知识解答，这是函数思想
的体现.
4、用基本不等式求解
例 4 用一张面积为10m2 的纸，围成一个高为 2m 长方体纸盒，这个纸盒容积的最大值是