二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积

例1 如图所示，等边△ABC 中，BC=10cm ，点1P ,2P 分别从B,A 同时出发，以1cm/s 的速度沿线

段BA,AC 移动，当移动时间t 为何值时，△21P AP 的面积最大并求出最大面积。 A

1P 2P

B C

练习

1如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm,点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动，如果P,Q 同时出发，分别到达B 、C 两点就停止移动。

（1）设运动开始后第t 秒，五边形APQCD 的面积是2

Scm ，写出S 与t 函数关系式，并指出t 的取值范围。

（2）t 为何值时，S 最小并求出这个最小值。

D C

Q

A P B

2 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/S 的速度移动，点Q 从点B 开始沿着BC 边向点C 以1cm/S 的速度移动，P,Q 分别从A,B 同时出发。

求四边形APQC 的面积y （2

cm ）与PQ 移动时间x （s ）的函数关系式， A 以及自变量x 的取值范围。

P

B Q C

3 如图 正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与B,C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q,设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm 。 （1）求点P 在BC 上的运动的过程中y 的最大值。 （2）当y=

4

1

cm 时，求x 的值。 A D

B P C

4如图所示，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，动点D 在线段BC 上移动（不与B,C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD,交AB 的

长为t 。 y （1） 当t=

3

1

时 ，求线段DE 所在直线的函数表达式。（2） 如果梯形CDEB 的面积为S ，那么S 是否存在最大值若存在，请求出最大值，以及此时 t 的值；若不存在，请说明理由。

（3） 当2

2

DE OD 的算术平方根取最小值时，

（4） 求点E 的坐标。

二次函数最大面积

能力提高

例题如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4CM,在等腰△PQR中，∠

QPR=120°,底边QR=6CM,点B,C,Q，R在同一直线l上，且C,Q两点重合，如果等腰△PQR以

1cm/s的速度沿直线l向左匀速移动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为Scm2（1）当t=4时，求S的值。

（2）当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。

A D P

l

B C(Q) R

巩固提高

如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=RP=5CM,QR=8CM,点B,C,Q,R在同一直线l上，当C,Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左匀速移动，t s后正方

Scm，解答下列问题

形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为2

（1）当t=3s时，求S的值。

（2）当t=5s时，求S的值

（3）当5≤t≤8时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。

A D

P

l

B C(Q) R