2020年暑假数学课外辅导(必修4)第一章 三角函数人教版必修四

2020年暑假数学课外辅导(必修4)

第一章 三角函数

一、基本内容串讲

本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()ϕω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。

1．任意角和弧度制

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600

（k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900+k ·18000，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 2

1R 2

1S 2α==λ，其中α为

弧所对圆心角的弧度数。 2．任意角的三角函数

利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r

y sin =

α，r x cos =α，

x

y

tan =

α。 3．同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos α

αα

= 4．三角函数的诱导公式

利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2

k

+与α之间函数值的关系（k ∈Z ），

其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。 5．三角函数的图象与性质 函数 y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义

R R

},2

|{Z k k x x ∈+

≠π

π

6．函数()ϕω+=x A y sin 的图象

作函数y A x =+sin()ωϕ的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图

用“五点法”作y A x =+sin()ωϕ的简图，主要是通过变量代换，设ϕω+=x z ，由z 取0，2

π，π，23π，2π

来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图

象。

（2）用“图象变换法”作图

由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ωϕ的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一：先平移后伸缩

y x y x =−→−−−−−−−=+>

()()

||向左或向右平移个单位

ϕϕϕϕ00，

1

sin y x ωωϕ−−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍

纵坐标不变

（）

法二：先伸缩后平移

y x =−→−−−−−−−sin 横坐标变为原来的倍

纵坐标不变

1

ω

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变

A y A x −→−−−−−−−=+sin()

ωϕ

可以看出，前者平移||ϕ个单位，后者平移

ω

ϕ

个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则会出现错误。

当函数y A x =+sin()ωϕ（A>0，ω>0，x ∈+∞[)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间ω

π

2=

T ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数ω

π

21=

=

T f ，它叫做振动的频率；ωϕx +叫做相位，ϕ叫做初相（即当x ＝0时的相位）。

7．三角函数模型的简单应用

通过对三角函数模型的简单应用的学习，学会由图象求解

析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 二、考点阐述

考点1 任意角的概念和弧度制

1、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

2、在0到2π范围内，与角43

π

-终边相同的角是（ ）

A.6π

B.3

π

C.23π

D.43π

3、若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 4、sin150o 的值等于（ ）

A.

12 B.1

2

-

考点2 弧度与角度的互化 5、求下列三角函数的值：（1）9cos

4

π

＝ ； y x y x =−→−−−−−−−=+>

()()||ωωϕϕϕϕ

ω向左或向右平移个单位

00纵坐标变为原来的倍

横坐标不变

A y A x −→−−−−−−−=+sin()

ωϕ