高三数学 2.2.1综合法与分析法学案 人教A版选修2-2

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2.2 直接证明与间接证明

2.2.1 综合法与分析法

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.

2.理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题.

基础梳理

1.分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式. 2.综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后得到待证结论.

3.分析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件,或已被证明的事实.

想一想:(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理?

(2)分析法就是从结论推向已知,这句话对吗?

(3)已知x ∈R,a =x 2

+1,b =x ,则a ,b 的大小关系是________.

(4)要证明A >B ,若用作差比较法,只要证明________.

(1)解析:综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推理,得到的结论是正确的.

(2)解析:不对.分析法又叫逆推证法,但不是从结论推向已知,而是寻找使结论成立的充分条件的过程. (3)解析:因为a -b =x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122

+34≥34>0,所以a >b . 答案:a >b

(4)解析:要证A >B ,只要证A -B >0.

答案:A -B >0

自测自评

1.用分析法证明问题是从所证命题的结论出发,寻求使这个结论成立的(A)

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分条件又非必要条件

2.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.

其中正确命题的个数是(B)

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析:若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,m⊂β,l ⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;若l⊥α,m⊂β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.

3.要证3

a-

3

b<

3

a-b成立,a,b应满足的条件是(D)

A.ab<0且a>b

B.ab>0且a>b

C.ab<0且a

D.ab>0且a>b或ab<0且a

解析:要证3

a-

3

b<

3

a-b,只需证(

3

a-

3

b)3<(

3

a-b)3,即a-b-3

3

a2b+3

3

ab2

即证3

ab2<

3

a2b,

只需证ab2

即ab(b-a)<0.

只需ab>0且b-a<0或ab<0,b-a>0.

基础巩固

1.下列表述:

①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.

其中正确的语句有(C)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac <3a”索的因应是(C)

A.a-b>0 B.a-c>0

C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0

解析:要证明b2-ac<3a,

只需证b2-ac<3a2,

只需证(a+c)2-ac<3a2,

只需证-2a2+ac+c2<0,

即证2a2-ac-c2>0,

即证(a-c)(2a+c)>0,

即证(a-c)(a-b)>0.

3.对于不重合的直线m,l和平面α,β,要证明α⊥β,需要具备的条件是(D) A.m⊥l,m∥α,l∥β B.m⊥l,α∩β=m,l⊂α

C.m∥l,m⊥α,l⊥β D.m∥l,l⊥β,m⊂α

解析:A,与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定;B,平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直,这两个平面的位置关系不能确定;C,这两个平面有可能平行或重合;D,是成立的,故选D.

4.已知关于x的方程x2+(k-3)x+k2=0的一根小于1,另一根大于1,则k的取值范围是________.

解析:令f(x)=x2+(k-3)x+k2,则由题意知f(1)<0,即12+(k-3)×1+k2<0,解得-2<k<1.

答案:(-2,1)

能力提升

5.(·重庆卷)若a

A .(a ,b )和(b ,c )内

B .(-∞,a )和(a ,b )内

C .(b ,c )和(c ,+∞)内

D .(-∞,a )和(c ,+∞)内

解析:因为a 0,f (b )=(b -c )(b -a )<0,f (c )=(c -a )(c -b )>0,由零点存在性定理知,选A.

6.下面的四个不等式:

①a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ;②a (1-a )≤14;③b a +a b

≥2;④(a 2+b 2)·(c 2+d 2)≥(ac +bd )2.

其中恒成立的有(C )

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

解析:∵(a 2+b 2+c 2)-(ab +bc +ac )=12

[(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2]≥0,a (1-a )-14=-a 2+a -14=-⎝ ⎛⎭

⎪⎫a -122≤0,(a 2+b 2)·(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2≥a 2c 2+2abcd +b 2d 2=(ac +bd )2,

∴①②④正确.故选C.

7.命题“若sin α+sin β+sin γ=0,cos α+ cos β+cos γ=0”,则cos(α-β)=________.

解析:条件变为sin α+sin β=-sin γ,cos α+ cos β=-cos γ,两式平方

相加可推得结论cos(α-β)=-12

. 答案:-12

8.若P =a +a +7,Q =a +3+a +4,a ≥0,则P 、Q 的大小关系是________________________________________________________________________.

解析:用分析法,要证P

答案:P

9.已知a 、b 、c ∈R +,求证:

a 2+

b 2+

c 23≥a +b +c 3. 证明:要证a 2+b 2+c 23

≥a +b +c

3,