高三数学 2.2.1综合法与分析法学案 人教A版选修2-2
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
一、教学目标
1.理解综合法和分析法的概念。
2.掌握综合法和分析法的基本原理。
3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。
4.培养学生系统思维的能力。
二、教学内容
1.综合法的概念和基本原理。
2.分析法的概念和基本原理。
3.综合法和分析法的应用。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过提问和讲解，引导学生了解问题解决的两种方法：综合法和分析法，并介绍本节课的教学目标和重点。
2. 讲解（25分钟）
2.1 综合法的概念和基本原理
1.综合法是从整体综合出发，从多个方面考虑，综合分析问题的方法。
2.综合法的基本原理是整体观念、多元观念和系统观念。
2.2 分析法的概念和基本原理
1.分析法是从局部出发，从单个方面考虑，分析问题的方法。
2.分析法的基本原理是简化化、抽象化和精确化。
3. 练习（25分钟）
1.给学生提供综合法和分析法的例子，让学生分别应用综合法和分析法解决问题。
2.针对不同的问题，让学生思考采用哪种方法更适合。
4. 总结（5分钟）
让学生回顾本节课的重点内容，并讲解综合法和分析法的区别和联系。
四、教学反思
本节课通过提供练习例子的方式，让学生更深入地理解了综合法和分析法的概念和应用方法。
同时，通过问题讨论的方式，培养了学生系统思维的能力。
人教版选修2-2 2.2.1 综合法和分析法导学案
2.2.1《综合法和分析法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-03-30【学习目标】1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；2、了解综合法、分析法的思考过程、特点；3、能运用综合法与分析法解决有关数学问题．【学习重点】利用综合法与分析法证明问题的思路与方法【学习难点】运用综合法与分析法证明有关数学问题【预习导航】1. 若实数a，b 满足 a＋b＝4，证明：2a＋2b≥8.2. 求证：72223+<+.【问题探究】探究活动一：何谓综合法?例1 已知0,>ba，且1=+ba，求证：411≥+ba.探究活动二：什么是分析法？例2 已知非零向量⊥，求证：2≤.探究活动三：如何运用综合法和分析法证明有关数学问题？【课堂巩固练习】1、用分析法证明：欲使①A＞B，只需② C<D，这里②是①的( ) A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、下面叙述正确的是( )A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的3、已知Rdcba∈，，，，求证：)()()(22222dcbabdac++≤+．【总结概括】本节课的收获：【课后作业】必做题：教材第91页习题2.2第2,3题选做题：同步练习册课后作业提升习题。
高中数学选修2-2学案7：2.2.1 综合法和分析法
2.2.1 综合法和分析法学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 学习过程：教材新知：知识点一：综合法提出问题：阅读下列证明过程，回答问题．求证：π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期． 证明：因为f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝f (x )，所以由周期函数的定义可知，π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期． 问题1：本题的条件和结论各是什么？问题2：本题的证明顺序是什么？导入新知1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示 P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)化解疑难综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.知识点二：分析法提出问题阅读下列证明过程，回答问题．求证：6＋7≥22＋ 5.证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开始？问题2：证明思路是什么？导入新知1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件化解疑难分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.例题讲解：题型一：综合法的应用例1：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.类题通法综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．活学活用：已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：4a ＋1b≥9.题型二：分析法的应用例2：设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．类题通法分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．活学活用：在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1.题型三：综合法和分析法的综合应用例3：已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.类题通法综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． 活学活用：设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.课堂检测：1．“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中，至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( )A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)23．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立． 5．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋b a≥ a ＋b .(要求用两种方法证明)——★ 参 考 答 案 ★——教材新知：知识点一：综合法问题1：条件：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；结论：π是f (x )的一个周期． 问题2：从已知利用诱导公式到待证结论．知识点二：分析法问题1：从结论开始．问题2：寻求每一步成立的充分条件．例题讲解：例1：证明：∵a ，b ，c 是正数，∴b 2＋c 2≥2bc ，∴a (b 2＋c 2)≥2abc .①同理，b (c 2＋a 2)≥2abc ，②c (a 2＋b 2)≥2abc .③∵a ，b ，c 不全相等，∴b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，a 2＋b 2≥2ab 三式中不能同时取到“＝”，∴①②③式相加得a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc .活学活用：证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝4(a ＋b )a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a b ＋1＝5＋4b a ＋a b≥5＋2 4b a ×a b＝5＋4＝9. 当且仅当4b a ＝a b，即a ＝2b 时“＝”成立. 例2：证明：当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．活学活用：证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B cos A cos B ＞1. ∵A ，B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0.即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1.例3：证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立，∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2.两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.活学活用：证明：法一：(分析法)要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因a ＋b ＞0，故只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8.因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 所以2a ＋1·2b ＋1≤(2a ＋1)＋(2b ＋1)2＝2(a ＋b ＋1)2＝2， 即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．课堂检测：1．[解析]由于a ，b ，c 不全相等中含有a ≠b ≠c 这种情况，所以③错误，①②都正确．[答案]C2．[解析]要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立， 只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案]C3．[解析]本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．[答案]综合法4．[解析]用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案]a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥05．证明：法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0， 所以a b ＋b a －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b－1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b . 法二：(分析法)要证a b ＋b a ≥a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。
高中数学 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A版选修2-2
§2.2.1 综合法和分析法学习目标：1、了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；2、理解综合法和分析的思考过程、特点，会用这两种方法证明数学问题。
一、主要知识：1、综合法： 。
2、分析法： 。
二、典例分析：〖例1〗：（1）设,,a b c 为不全相等的正数，且1abc =。
求证：111a b c++>。
（2）已知a b c >>，求证：114a b b c a c +≥---。
〖例2〗：设,,,a b x y R ∈，且22221,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤。
〖例3〗：已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++。
三、课后作业：1、函数()()ln 12x x f x e =+-（ ） A 、是偶函数 B 、是奇函数 C 、既是偶函数又是奇函数 D 、既不是奇函数也不是偶函数2、在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A ∠为钝角的结论，对三边,,a b c 应满足的条件，判断正确的是（ ）A 、222a b c <+B 、222a b c =+C 、222a b c >+D 、222a b c ≤+ 3、设,a b R ∈，且,2a b a b ≠+=，则必有（ ） A 、2212a b ab +<< B 、2212a b ab +<< C 、2212a b ab +<< D 、2212a b +< 4、已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ） A 、最大值54 B 、最小值54C 、最大值1D 、最小值15、设01x <<，则11,1a b x c x==+=-中最大的一个是（ ） A 、a B 、b C 、c D 、不能确定6、若,,a b c R ∈，且1ab bc ca ++=，则下列不等式成立的是（ ）A 、2222a b c ++≥B 、()22a b c ++≥C 、111a b c++≥ D 、()13abc a b c ++≤7、a b c ==的大小关系是 。
2.2.1综合法和分析法-人教A版高中数学选修2-2课件
练一练：
练习、求证： 2 7 3 6
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般情势为：
本题条件
已知定义 已知公理
… 本题结论
已知定理
二、综合法定义：
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
2 14 2 18 9 2 14 9 2 18 ( 2 7)2 ( 3 6)2 2 7 3 6
请结合上述例子和自己感受，说说综合法 和分析法的各自特点和它们的适用情况。
（1）综合法：已知条件 结论
由因导果，当条件明确，思路清楚时适用；
（2）分析法： 结论 已知条件
执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
Pn-1 Qm-1
Pn … Q1
Qm
Q2 Q Q1
练一练：
已知 1 tan a 1,求证：3sin 2a 4cos2a 2 tan a
五、小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
高中数学选修2-2优质学案：2.2.1 综合法和分析法
2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.[知识链接]1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2.必修5中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.[预习导引]1.综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.要点一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形. 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ). 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式得证. 规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC ).由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ). 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立. ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立. 规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1.已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A.x <x ＋y 2<y <2xy B.2xy <x <x ＋y 2<y C.x <x ＋y 2<2xy <y D.x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38， ∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A.(2－3)2<(6－7)2 B.(2－6)2<(3－7)2 C.(2＋7)2<(3＋6)2 D.(2－3－6)2<(－7)2[答案] C[解析] 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α). 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立， ∴结论得证.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。
2.2.1 综合法和分析法(人教版选修2-2)
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 1:已知a>0,b>0,求证a(b 已知a>0,b>0,求证
证明:因为b 证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 所以a(b 又因为c 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2
sinθ cosθ = sin β
2 2
1 - tan α 1 - tan β 求 证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
11
练习. P89 EX1，EX2，EX3
12
则综合
Q2 ⇒Q3
…
Qn ⇒Q
5
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ ＡＢＣ中 三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ 对应的边分别为a Ａ、Ｂ、Ｃ成 对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成 等差数列， 成等比数列，求证△ 等差数列，a、b、c成等比数列，求证△Ａ ＢＣ为等边三角形 为等边三角形． ＢＣ为等边三角形．
所以 a + b − 2 ab ≥ 0 所以 a + b ≥ 2 ab
a+b ≥ ab 成立 所以 2
只需证;a + b − 2 ab ≥ 0 只需证;
( a − b )2 ≥ 0 只需证; 只需证;
因为; 因为;( a − b )2 ≥ 0 成立
a+b 所以 ≥ 2
a b成立
8
高中数学选修2-2精品学案：2.2.1 综合法和分析法
2．2.1 综合法和分析法学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示________、已有的________、________、________等，Q 表示所要________________)知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(__________、________、________、________等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. (2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列． 求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.命题角度2用综合法证明等式例2求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2在△ABC中，ACAB＝cos Bcos C，证明：B＝C.类型二分析法例3(1)已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2；(2)已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角．反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x (x<0)，则a与b的大小关系为() A．a>b B．a＝bC．a<b D．无法确定2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是()A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．[答案]精析问题导学 知识点一思考 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)定义 公理 定理 推理论证 结论(2)已知条件 定义 公理 定理 证明的结论 知识点二思考 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 题型探究例1 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2 ＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .跟踪训练1 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.例2 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β， 所以原等式成立．跟踪训练2 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 例3 证明 (1)要证 a 2＋1a2－ 2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a)＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(2)要证B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即证a 2＋c 2－b 2>0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2， 要证a 2＋c 2－b 2>0， 只需证2ac －b 2>0.∵a ，b ，c 的倒数成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )． 要证2ac －b 2>0， 只需证b (a ＋c )－b 2>0， 即b (a ＋c －b )>0，上述不等式显然成立，∴B 为锐角． 跟踪训练3 证明 (1)方法一 要证 a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2 <(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a<2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1 >a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.(2)要证tan A tan B >1，只需证sin A sin B cos A cos B>1， ∵A 、B 均为锐角，∴cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B <0，只需证cos(A ＋B )<0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°<A ＋B <180°，∴cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1. 当堂训练1．A 2.A 3.C 4.<5．证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y) ＝(2＋y x )(2＋x y) ＝4＋2(y x ＋x y)＋1≥5＋4＝9＝右边， 原不等式得证．方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立， ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，只需证明(1＋1x)(1＋11－x)≥9，即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，即证2＋x－x2≥9x－9x2，即证4x2－4x＋1≥0，即证(2x－1)2≥0，此式显然成立．∴原不等式成立．。
高中数学 2.2.1综合法与分析法教学案 新人教a版选修2-2
第二章第2节直接证明与间接证明一、综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。
3．综合法是从推导到的方法。
而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。
综合法是由导，分析法是执索。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b∈R+，求证：例3.已知a,b,c ∈R ，求证（I ）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,22．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ） A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
高中数学 2.2.1综合法和分析法教案 新人教A版选修2-2
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
只需证-=0.只需证a=-b.
∵函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,
即x=--1与x=-关于y轴对称,
∴--1=-.∴a=-b.
∴f为偶函数.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
高中数学理科人教A版选修222.2.1综合法与分析法word学案1
湖南省邵阳市隆回二当选修2-2学案推理与证明 2.2.1综合法与分析法（1）【学习目标】1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2. 掌握演绎推理的大体方式，并能运用它们进行一些简单的推理.【自主学习】（阅读教材P85—P86，独立完成下列问题）一、两类大体的证明方式: 和 .二、直接证明的两中方式: 和 .3.探讨任务：综合法的应用问题：已知,0a b>,求证:2222()()4a b c b c a abc+++≥.新知：一般地,利用 ,通过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方式叫综合法.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.【合作探讨】例1 已知,,a b c R+∈，1a b c++=，求证：1119 a b c++≥例2 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边别离为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.【目标检测】1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件2. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=3. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥.【作业布置】任课教师自定学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。
2020秋高中数学人教A版选修2-2学案：2.2.1综合法与分析法
2.2.1综合法与分析法自主预习·探新知情景引入夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间是下午4时左右．警方经过三天的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩．直至下午4时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？新知导学1. 综合法的定义利用__已知条件__和某些数学__定义__、__公理__、__定理__等，经过一系列的__推理论证__，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．2．综合法的特点从“已知”看“__可知__”，逐步推向“__未知__”，其逐步推理，是由__因__导__果__，实际上是寻找“已知”的__必要__条件．3．综合法的基本思路用__P__表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，__Q__表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q其逻辑依据是三段论式演绎推理．4．分析法定义从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的__充分__条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．5．分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“__需知__”，执果索因，逐步靠拢“__已知__”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的__充分__条件．分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理． 6．分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用__P __表示要证明的结论，则分析法的推理形式为P ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件预习自测1．(2020·烟台期中)分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( A ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] ∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件． 故选A ．2．(2020·桃城区校级期中)下列表述： ①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句是( C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个[解析] 根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确． 根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故③⑤正确，④不正确．故选C ．3．设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为__9__.[解析] ∵a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．4．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. [证明] 因为a ≥b >0， 所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0， 所以3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a ) ＝(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶ 用综合法证明不等式典例1 (1)若a >b >0，则下列不等式中，总成立的是( A )A ．a ＋1b >b ＋1aB ．b a >b ＋1a ＋1C ．a ＋1a >b ＋1bD ．2a ＋b a ＋2b >a b(2)在不等式“a 2＋b 2≥2ab ”的证明中：因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0.所以a 2＋b 2≥2ab .该证明用的方法是__综合法__.(3)已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[解析] (1)因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a.(2)由题设知：本题中证明是从已知的不等式(a ＋b )2≥0出发，经过推理得出结论，是综合法．(3)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .于是(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2) ＝3(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2＝13，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，原式得证．『规律总结』 综合法证明不等式的主要依据综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：①a 2≥0(a ∈R )；②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b 2)2≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22；③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab≥2；④a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac (a ，b ，c ∈R )，由不等式a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，易得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的使用频率很高；⑤(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )，体现了a ＋b ＋c ，a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ac 这三个式子之间的关系．┃┃跟踪练习1__■在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .求证：B －C ＝π2.[证明] 由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22. 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1. 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <3π4，从而B －C ＝π2.命题方向❷ 分析法的应用典例2 设a 、b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [证明] 当a ＋b ≤0时， ∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b ＞0时， 用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥[22(a ＋b )]2. 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．『规律总结』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．┃┃跟踪练习2__■已知a >5，求证：a －5－a －3<a －2－a . [解析] 要证a －5－a －3<a －2－a ， 只需证a －5＋a <a －2＋a －3， 只需证(a －5＋a )2<(a －2＋a －3)2， 即2a ＋2a 2－5a －5<2a －5＋2a 2－5a ＋6， 即只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，即证0<6，此不等式恒成立，所以原不等式成立． 命题方向❸ 分析法证明不等式典例3 (1)要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( D )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C ．(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0(2)(2020·郑州高二检测)已知非零向量a ⊥b ，证明：|a |＋|b ||a －b |≤ 2.[解析] (1)∵a 2＋b 2－1－a 2b 2 ＝(a 2－a 2b 2)＋(b 2－1) ＝a 2(1－b 2)＋(b 2－1)＝(a 2－1)(1－b 2)＝－(a 2－1)(b 2－1)． ∴要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证－(a 2－1)(b 2－1)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0. (2)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 要证|a |＋|b ||a －b |≤ 2.只需证：|a |＋|b |≤2|a －b |平方得|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |≤2(|a |2＋|b |2) 只需证：|a |2＋|b |2－2|a |·|b |≥0成立． 即只需证：(|a |－|b |)2≥0，它显然成立． 故原不等式得证．『规律总结』 分析法证明不等式的方法与技巧范围：对于一些条件复杂，结论简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法方法：分析法证明不等式的思路是从要证明的不等式出发，逐步寻求它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式应用：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．特别提醒：逆向思考是分析法证明的立体思路，通过反推，逐步探寻使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题得以解决．切记“逆向”“反推”，否则会出现错误．┃┃跟踪练习3__■已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，若m >n >1，求证：f (m )＋f (n )>2f (m ＋n 2)．[解析] 要证明f (m )＋f (n )>2f (m ＋n2)，即证(m 2－2m ＋2)＋(n 2－2n ＋2)>2[(m ＋n 2)2－2·m ＋n2＋2]，即证2m 2＋2n 2>m 2＋2mn ＋n 2， 只需证m 2＋n 2>2mn ，即证(m －n )2>0，因为m >n >1，所以(m －n )2>0显然成立，故原不等式成立．学科核心素养 利用分析法、综合法证明问题综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．典例4 已知三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[思路分析] 本题条件较为简单，但结论中的等式较为复杂，故可首先用分析法，将欲证等式进行转化，转化为一个较为简单的式子，然后再从已知条件入手，结合余弦定理，推导出这个式子即可得证．[解析] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简得c a ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证明c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，只需证明c 2＋a 2＝b 2＋ac . 因为三个内角A ，B ，C 构成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，即B ＝60°， 由余弦定理可得cos60°＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以c 2＋a 2－b 2＝ac ，即c 2＋a 2＝b 2＋ac 成立，因此原等式成立．『规律总结』 1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程 .┃┃跟踪练习4__■在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．[证明] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，则x ＝b 2c ，y ＝c 2b ，即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 即证a ＋1≥(b ＋1)＋(c ＋1)2，也就是证2a ≥b ＋c ，因为2a ＝b 2c ＋c 2b ，则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可，即b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )·bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0成立． 上式显然成立，故(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．易混易错警示 注意隐含条件的挖掘典例5 设a ＋b ＞0，n 为偶数，求证：b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b.[错解] b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n.∵n 为偶数，∴(ab )n ＞0.又∵a n －b n 和a n －1－bn －1同号，∴b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＞0，∴b n －1an ＋a n －1b n ＞1a ＋1b. [辨析] 这里题目中的条件为a ＋b >0，而不是a >0，b >0，因此，应分a ＞0且b ＞0和a ，b 有一个为负值两种情况加以讨论．[正解] b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n .①当a ＞0，b ＞0时，(a n －b n )(a n －1－bn －1)≥0，(ab )n＞0，∴(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n≥0，∴b n －1a n＋a n －1b n ≥1a ＋1b. ②当a 、b 中有一个为负值时，不妨设a ＞0，b <0，且a ＋b ＞0，∴a ＞|b |. ∴(ab )n ＞0，a n ＞b n ＞0，a n －1＞0，b n －1＜0，故a n －b n ＞0，a n －1－b n －1＞0， ∴(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n≥0，∴b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b ，∴由①②知结论成立．[点评] 审题过程中注意将条件等价转化翻译，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高中数学2.2.1综合法和分析法教案(新人教A版选修2-2)
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +） ② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c +≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.1综合法和分析法
2.2.1 综合法和剖析法【学习目标】1.认识直接证明的两种基本方法：剖析法和综合法；2.认识剖析法和综合法的思虑过程、特色．【新知自学】新知梳理：1.综合法：（ 1）一般地 ,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论建立 ,这类证明方法叫综合法.（ 2）框图表示：（ 3）重点：顺推证法，由____导 _____.2.剖析法（ 1）一般地，从要证明的出发，逐渐追求使它建立的，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个显然建立的条件(已知条件、定理、定义、公义等)为止，这类证明方法叫做剖析法．（ 2）框图表示（ 3）重点：逆推证法；执____索 _____.对点练习：1.以下表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③剖析法是执果索因法；④剖析法是逆推法．此中正确的有()A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个2.设 a＝ lg 2 ＋ lg 5 ，b＝ e x(x＜ 0)，则 a 与 b 大小关系为 ()A． a＞ b B ． a＜ bC． a＝ b D． a≤ b3.求证：关于随意角θ ，cos4sin4cos2.4.求证: 3526【合作研究】典例精析：例 1. 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、 c 成等比数列 . 求证：为△ ABC 等边三角形 .变式练习：设在四周体 P ABC 中 , ABC900, PA=PB=PC,D 是 AC 的中点 .求证 :PD 垂直于ABC 所在的平面 .例 2. 在四周体S垂线 ,垂足为 F,求证ABC 中, SAAF SC .面ABC, AB BC ,过 A 作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC 的变式练习：|a|＋ |b|已知非零向量a， b，且 a⊥ b，求证：|a＋b|≤2.规律总结：(1)综合法证题的一般规律用综合法证明命题时，一定第一找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的办理方法是宽泛地联想已知条件所具备的各样性质，逐层推动，进而由已知逐渐推出结论．(2)剖析法证题的一般规律剖析法的思路是逆向思想，用剖析法证题一定从结论出发，倒着剖析，找寻结论建立的充足条件．应用剖析法证明问题时要严格按剖析法的语言表达，下一步是上一步的充足条件．【讲堂小结】【当堂达标】1.在不等边三角形中，a为最大边，要想获得∠ A 为钝角的结论，三边 a ， b ， c 应知足________ ．2. 设P1111）log 2 11log 3 11log 4 11，则（log 5 11A ． 0P1B．1P2C． 2P3D．3 P4 3.求证 :37254.已知 a， b， c 是全不相等的正实数，求证: b c a a c b a b c 3 .a b c【课时作业】1. 假如a1 , a2 ,a8为各项都大于零的等差数列，公差 d 0 ，则（）A ．a1a8a4a5B ．a1a8a4 a5C．a1a8a4 a5D．a1a8a4 a52. 若关于x的不等式 (k23)x(k22k31 x1) ，则k的范围是2k)的解集为( ,____.222 33223.设a,b R ,且a b ,求证:aba b a b4.假如 a, ba b lg a lg b0 ，则 lg.2222a＋ mb 2 a ＋ mb6.设函数 f(x)的定义域是R，关于随意实数m， n，恒有 f(m＋ n)＝ f(m) ·f(n)，且当 x＞ 0 时， 0＜ f(x)＜1.求证： f(0) ＝ 1，且当 x＜ 0 时，有 f(x)＞ 1.。
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2．2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法与分析法
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
基础梳理
1．分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后得到待证结论．
3．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实．
想一想：(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
(2)分析法就是从结论推向已知，这句话对吗？
(3)已知x ∈R，a ＝x 2
＋1，b ＝x ，则a ，b 的大小关系是________．
(4)要证明A >B ，若用作差比较法，只要证明________．
(1)解析：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
(2)解析：不对．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程． (3)解析：因为a －b ＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34≥34>0，所以a >b . 答案：a >b
(4)解析：要证A >B ，只要证A －B >0.
答案：A －B >0
自测自评
1．用分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(A)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分条件又非必要条件
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l ⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
3．要证3
a－
3
b<
3
a－b成立，a，b应满足的条件是(D)
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且a<b
D．ab>0且a>b或ab<0且a<b
解析：要证3
a－
3
b<
3
a－b，只需证(
3
a－
3
b)3<(
3
a－b)3，即a－b－3
3
a2b＋3
3
ab2
<a－b，
即证3
ab2<
3
a2b，
只需证ab2<a2b，
即ab(b－a)<0.
只需ab>0且b－a<0或ab<0，b－a>0.
基础巩固
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有(C)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是(C)
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证明b2－ac＜3a，
只需证b2－ac＜3a2，
只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
只需证－2a2＋ac＋c2＜0，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(a－c)(2a＋c)＞0，
即证(a－c)(a－b)＞0.
3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是(D) A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m⊂α
解析：A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C，这两个平面有可能平行或重合；D，是成立的，故选D.
4．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知f(1)＜0，即12＋(k－3)×1＋k2＜0，解得－2＜k＜1.
答案：(－2，1)
能力提升
5．(·重庆卷)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间(A )
A ．(a ，b )和(b ，c )内
B ．(－∞，a )和(a ，b )内
C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
解析：因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.
6．下面的四个不等式：
①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b
≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.
其中恒成立的有(C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12
[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，
∴①②④正确．故选C.
7．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋ cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)＝________．
解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋ cos β＝－cos γ，两式平方
相加可推得结论cos(α－β)＝－12
. 答案：－12
8．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P 、Q 的大小关系是________________________________________________________________________．
解析：用分析法，要证P <Q ，需证P 2<Q 2即可．
答案：P <Q
9．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：
a 2＋
b 2＋
c 23≥a ＋b ＋c 3. 证明：要证a 2＋b 2＋c 23
≥a ＋b ＋c
3，
只需证：a 2＋b 2＋c 23
≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32
， 只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，
只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，
只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c
3成立．
10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3
，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac . 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝
a ＋c 2，代入上式得（a ＋c ）4
2＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C .
而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3
， 从而△ABC 为等边三角形．。