高三数学 2.2.1综合法与分析法学案 人教A版选修2-2
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题.
基础梳理
1.分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式. 2.综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后得到待证结论.
3.分析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件,或已被证明的事实.
想一想:(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理?
(2)分析法就是从结论推向已知,这句话对吗?
(3)已知x ∈R,a =x 2
+1,b =x ,则a ,b 的大小关系是________.
(4)要证明A >B ,若用作差比较法,只要证明________.
(1)解析:综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推理,得到的结论是正确的.
(2)解析:不对.分析法又叫逆推证法,但不是从结论推向已知,而是寻找使结论成立的充分条件的过程. (3)解析:因为a -b =x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122
+34≥34>0,所以a >b . 答案:a >b
(4)解析:要证A >B ,只要证A -B >0.
答案:A -B >0
自测自评
1.用分析法证明问题是从所证命题的结论出发,寻求使这个结论成立的(A)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分条件又非必要条件
2.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.
其中正确命题的个数是(B)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,m⊂β,l ⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;若l⊥α,m⊂β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.
3.要证3
a-
3
b<
3
a-b成立,a,b应满足的条件是(D)
A.ab<0且a>b
B.ab>0且a>b
C.ab<0且a
D.ab>0且a>b或ab<0且a
解析:要证3
a-
3
b<
3
a-b,只需证(
3
a-
3
b)3<(
3
a-b)3,即a-b-3
3
a2b+3
3
ab2