高中数学必修2第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系
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直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
直线和平面的三种位置关系的画法
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l与
桌面所在的平面具有怎样的位置关系?
l
直线和平面平行
思考
如图,设直线b在平面α内,直线a在平面α外,猜想在什么条件下 直线a与平面α平行.
l
b
a b A
作用:
判定直线与平面垂直.
思想:
直线与平面垂直
l
b
Aa
直线与直线垂直
探究
底面四如边图形,直四棱满柱足什么条件时A,(B侧C棱D与底?面A垂B直CD的棱柱称为直棱柱)中,
ABCD
AC BD
A
D
答:底面四边形ABCD对角线相互垂直.
B A
平面是可无限延展的
平面的表示
平面的画法
一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如 图一, 在画立体图时,为了增强立体感, 常常把平 面画成平行四边形,如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.
图一
图二
平面的表示
平面的符号表示 D C
A B
1. 希腊字母: 平面, 平面,平面
2. 一个或几个拉丁字母: 平面M, 平面AC, 平面ABCD等
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.1
直线与平面平行的 判定
复习
直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:
(1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点.
线面角相关概念
平面的斜线
平面的垂线
P
斜足A
l
αA B
斜线PA在平面内的射影
斜线PA与平面所成的角为PAB
垂足B
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的
射影所成的角
(0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的 00角
一条直线与平面所成的角的取值范围是
a
A
记为:a=A
直线与平面
(3)直线与平面平行
a
没有公共点
记为:a//
直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
记为:a
a//
a
a=A
a
或
A
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
2.1.4
平面与平面之间的 位置关系
两个平面的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?
b
C
a
1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?
2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
共面直线
相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点;
平行直线: 同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b,b//c,那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
D
另一条直线是否也与这条直线 A
垂直?
垂直
C B
C B
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否Hale Waihona Puke Baidu行?
不一定,如上图的立方体中
直线AB与BC相交, AB BB, BC BB,
本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系. (2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.
平行直线
问题
已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面?
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // AC, •AB // AB
C
C
A
B
A
B
C
A
第二章
点、直线、平面之 间的位置关系
2.1 点、直线、平面 之间的位置关系
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
点
直线 可无限延伸的 平面
平面的表示
两个相交平面的画法和表示
平面和平面相交于一条直线a
a
a
平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”P l, A
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”P l , A
• 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.
• 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个 平面的合理性.
• 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.
小结
1.平面的表示:概念、图形、符号等 2.平面的基本性质
公理1 公理2 公理3 3.判断共面的方法
2.1.2
空间中直线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法
最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线; E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系:
B
C
B
A
等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.
异面直线所成的角
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角,常
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢?
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
这个定理判定两直线平行的依据之一
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用
2. 思想方法
面面平行
线面平行或线线平行
2.3
直线、平面垂直的 判定及其性质
主要内容
2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.1
面 互相垂直.
记为l
垂足
平面内任意一 条直线
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
思考4
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?
l
α
线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直.
la
l b a
B
C D
C
小结
直线与平面垂直的判定定理可简述为
“线线垂直,则线面垂直”
思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂直,即将直线与平面的垂
直关系(空间问题)转化为直线间的垂直关系(平面问题).
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?
第2课时
直线与平面所成的角
a
a//b
α
b
直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直
线和这个平面平行.
b
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行,则线面平行”
思想方法
通过直线间的平行,推证直线与平面平 行,即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关 系(平面问题).
a
//
b
b
小结
直线与平面平行的性质定理可简述为
“线面平行,则线线平行”
思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法,
也提供了作平行线的一种方法.
2.2.4
平面与平面平行的性质
复习1:
两个平面的位置关系是
平. 行或相交
复习2:
两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
问:其逆定理是否成立?
直线与平面平行
性质定理及证明
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行.
已知:a //, , b 求证:a // b .
证 明:
b
b .
a //
a b
又a
2.2.2
平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
1. 知识小结
2. 思想方法
线线平行
小结
线面平行
面面平行
2.2.3
直线与平面平行的 性质
复习
直线与平面平行的判定定理是什么?
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此平面平行.
直线与平面垂直的 判定
复习1
直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直
思考3 一条直线与一平面垂直的特征是什么?
特征:直线垂直于平面内的任意一条直线.
A
C C
B B
直线和平面垂直
定义 如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平
两个平面平行的性质
结论1
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平 面.
// , a a //
a
两个平面平行的性质定理 定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 平行.
// 即: a a // b
b
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直
线 a // a, •b // b ,把 a 与b 所成的锐角(或直角)叫
做异面直线a与b所成的角.
b
a
b
b
O
a
O
a a
异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b
0,
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种
(1)直线在平面内
有无数个公共点
a
记为:a
直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点
[0,90 0 ]
思考1
如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角,AC 为平面α内的一条直线,那么∠BAD与∠BAC的大小 关系如何?
B
解:作BOAD于O,BEAC于E,
直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
平面的基本性质
思考1:如何让一条直线在一个平面内?
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A.
B.
α
Al, B l,且A, B l
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据
平面的基本性质
思考2:经过两点可以确定一条直线, 那么经过几个点可以确定一个平面呢?
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个
平面.
“不共线的三点确定一个平面”
集合符号表示
B.
.A .C
已知A、B、C三点不共线,则存在惟一平 面,使得A、B、C
作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线.
分类的依据是什么?
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
两个平面平行或相交的画法及表示
m
//
=m
2.2
直线、平面平行的 判定及其性质
主要内容
平面的基本性质
思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗?如果有这些
公共点有什么特征?
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ,且P I l,且P l
作用:判断两个平面位
置关系的基本依据
Pl
探究问题
2
a
如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直.
记直线a垂直于b为:ab
异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ABCD中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线?
如:AD与BB, AD与BB等.
D
(2)如果两条平行直线中的 A
一条与某一条直线垂直,那么,
直线和平面的三种位置关系的画法
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l与
桌面所在的平面具有怎样的位置关系?
l
直线和平面平行
思考
如图,设直线b在平面α内,直线a在平面α外,猜想在什么条件下 直线a与平面α平行.
l
b
a b A
作用:
判定直线与平面垂直.
思想:
直线与平面垂直
l
b
Aa
直线与直线垂直
探究
底面四如边图形,直四棱满柱足什么条件时A,(B侧C棱D与底?面A垂B直CD的棱柱称为直棱柱)中,
ABCD
AC BD
A
D
答:底面四边形ABCD对角线相互垂直.
B A
平面是可无限延展的
平面的表示
平面的画法
一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如 图一, 在画立体图时,为了增强立体感, 常常把平 面画成平行四边形,如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.
图一
图二
平面的表示
平面的符号表示 D C
A B
1. 希腊字母: 平面, 平面,平面
2. 一个或几个拉丁字母: 平面M, 平面AC, 平面ABCD等
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.1
直线与平面平行的 判定
复习
直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:
(1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点.
线面角相关概念
平面的斜线
平面的垂线
P
斜足A
l
αA B
斜线PA在平面内的射影
斜线PA与平面所成的角为PAB
垂足B
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的
射影所成的角
(0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的 00角
一条直线与平面所成的角的取值范围是
a
A
记为:a=A
直线与平面
(3)直线与平面平行
a
没有公共点
记为:a//
直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
记为:a
a//
a
a=A
a
或
A
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
2.1.4
平面与平面之间的 位置关系
两个平面的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?
b
C
a
1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?
2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
共面直线
相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点;
平行直线: 同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b,b//c,那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
D
另一条直线是否也与这条直线 A
垂直?
垂直
C B
C B
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否Hale Waihona Puke Baidu行?
不一定,如上图的立方体中
直线AB与BC相交, AB BB, BC BB,
本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系. (2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.
平行直线
问题
已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面?
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // AC, •AB // AB
C
C
A
B
A
B
C
A
第二章
点、直线、平面之 间的位置关系
2.1 点、直线、平面 之间的位置关系
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
点
直线 可无限延伸的 平面
平面的表示
两个相交平面的画法和表示
平面和平面相交于一条直线a
a
a
平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”P l, A
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”P l , A
• 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.
• 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个 平面的合理性.
• 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.
小结
1.平面的表示:概念、图形、符号等 2.平面的基本性质
公理1 公理2 公理3 3.判断共面的方法
2.1.2
空间中直线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法
最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线; E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系:
B
C
B
A
等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.
异面直线所成的角
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角,常
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢?
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
这个定理判定两直线平行的依据之一
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用
2. 思想方法
面面平行
线面平行或线线平行
2.3
直线、平面垂直的 判定及其性质
主要内容
2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.1
面 互相垂直.
记为l
垂足
平面内任意一 条直线
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
思考4
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?
l
α
线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直.
la
l b a
B
C D
C
小结
直线与平面垂直的判定定理可简述为
“线线垂直,则线面垂直”
思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂直,即将直线与平面的垂
直关系(空间问题)转化为直线间的垂直关系(平面问题).
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?
第2课时
直线与平面所成的角
a
a//b
α
b
直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直
线和这个平面平行.
b
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行,则线面平行”
思想方法
通过直线间的平行,推证直线与平面平 行,即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关 系(平面问题).
a
//
b
b
小结
直线与平面平行的性质定理可简述为
“线面平行,则线线平行”
思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法,
也提供了作平行线的一种方法.
2.2.4
平面与平面平行的性质
复习1:
两个平面的位置关系是
平. 行或相交
复习2:
两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
问:其逆定理是否成立?
直线与平面平行
性质定理及证明
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行.
已知:a //, , b 求证:a // b .
证 明:
b
b .
a //
a b
又a
2.2.2
平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
1. 知识小结
2. 思想方法
线线平行
小结
线面平行
面面平行
2.2.3
直线与平面平行的 性质
复习
直线与平面平行的判定定理是什么?
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此平面平行.
直线与平面垂直的 判定
复习1
直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直
思考3 一条直线与一平面垂直的特征是什么?
特征:直线垂直于平面内的任意一条直线.
A
C C
B B
直线和平面垂直
定义 如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平
两个平面平行的性质
结论1
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平 面.
// , a a //
a
两个平面平行的性质定理 定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 平行.
// 即: a a // b
b
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直
线 a // a, •b // b ,把 a 与b 所成的锐角(或直角)叫
做异面直线a与b所成的角.
b
a
b
b
O
a
O
a a
异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b
0,
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种
(1)直线在平面内
有无数个公共点
a
记为:a
直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点
[0,90 0 ]
思考1
如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角,AC 为平面α内的一条直线,那么∠BAD与∠BAC的大小 关系如何?
B
解:作BOAD于O,BEAC于E,
直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
平面的基本性质
思考1:如何让一条直线在一个平面内?
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A.
B.
α
Al, B l,且A, B l
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据
平面的基本性质
思考2:经过两点可以确定一条直线, 那么经过几个点可以确定一个平面呢?
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个
平面.
“不共线的三点确定一个平面”
集合符号表示
B.
.A .C
已知A、B、C三点不共线,则存在惟一平 面,使得A、B、C
作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线.
分类的依据是什么?
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
两个平面平行或相交的画法及表示
m
//
=m
2.2
直线、平面平行的 判定及其性质
主要内容
平面的基本性质
思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗?如果有这些
公共点有什么特征?
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ,且P I l,且P l
作用:判断两个平面位
置关系的基本依据
Pl
探究问题
2
a
如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直.
记直线a垂直于b为:ab
异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ABCD中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线?
如:AD与BB, AD与BB等.
D
(2)如果两条平行直线中的 A
一条与某一条直线垂直,那么,