白国仲《高等代数》§10.3 双线性函数

(1, 2 , , n )Y (1,2 , ,n )Y1

X CX1,Y CY1
f ( , ) X ' AY (CX1)' A(CY1)' X1 'C ' ACY1 '
§10.3 双线性函数
f ( , ) X1 ' BY1. B C ' AC.
即 A与B 合同.
注：
若矩阵 A与B合同，则存在一个双线性函数
f ( , ) 及V上两组基，使 f ( , )在这两组基
下的度量矩阵为 A, B.
§10.3 双线性函数
三、非退化双线性函数
定义
设 f ( , ) 是线性空间V上的一个双线性函数， 如果从 f ( , ) 0, V 可推出 0. 则称 f ( , ) 是非退化的.
k1 f (1, ) k2 f2(2 , )
§10.3 双线性函数
例3.设 Pn是数域 P上的 n 维线性空间，A Pnn .
令 f : V V P ( X ,Y ) X ' AY .
x1 y1
X


x2

,Y


y2

V
,
xn
(1) f ( , k11 k22 ) k1 f ( , 1 ) k2 f ( , 2 )
(2) f (k11 k22 , ) k1 f (1, ) k2 f (2 , ) 其中 ,1,2 , , 1, 2 V , k1, k2 P 则 f ( , ) 称为 V上的一个双线性函数.
g( , ) B g(i , j ) .
则 f ( , ) x1 x2
x1 x2
为单射.
§10.3 双线性函数
y1
xn

A
y2


g( ,
)
yn
y1
xn

B

y2

.
yn
令 ( f g)( , ) f ( , ) g( , ) (kf )( , ) k[ f (, )]
命题3 双线性函数 f ( , ) 是非退化的 f ( , ) 的度量矩阵为非退化的.
§10.3 双线性函数
证：设双线性函数 f ( , )在基 1, 2 , , n 下
度量矩阵为 A,
(1 2
x1

n
)

x2


(
1
2
xn
§10.3 双线性函数
注
对于线性空间V上的一个双线性函数 f ( , ) 当固定一个向量 (或 )不变时，可以得出一
个双线性函数. 例1.线性空间 V 上的内积即为一个双线性函数.
f :V V P, f (, ) (, ),, V
§10.3 双线性函数
第十章 双线性函数
§10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数 二、度量矩阵 三、非退化双线性函数
§10.3 双线性函数
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一、双线性函数
定义 设V 是数域 P上的n 维线性空间，映射 f :V V P 为 V上的二元函数. 即对 , V , 根据 f 唯一地对应于P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质:
而 A' X 0只有零解 A' 0. 即 A 0, 即 A 非退化.
推论： V , 由 f ( , ) 0 可推出 0,
则 f 非退化.
§10.3 双线性函数
例、设 A P mm , 定义 Pmn 上的一个二元函数 f ( X ,Y ) Tr( X ' AY )nn, X ,Y P mn (1) 证明 f 是 Pmn上得双线性函数； (2) 求 f ( X ,Y ) 在基 E11, , E1n , E21, , E2n , , Em1, , Emn 下的度量矩阵.
A
f ( n ,1 )
f (1, n )
.
f ( n , n )
§10.3 双线性函数
二、度量矩阵
定义 设 f ( , )是数域 P 上任意上的 n 维线性 空间V上一个双线性函数，1, 2 , , n 为V的
一组基，则矩阵
f (1,1 ) f (1, 2 )
§10.3 双线性函数
f ( , ) f ( xi i , yi i ) f ( i , j )xi x j
g( , ) g( xi i , yi i ) g( i , j )xi x j
f g. 矛盾.
反之，任取
a11 A
易证 f g, kf 仍为V上双线性函数.
并且 ( f g)(i , j ) f (i , j ) g(i , j )
f g A B f (i , j ) g(i , j ) kf kA k f (i , j )
§10.3 双线性函数
yn ①
则 f ( X ,Y ) 为Pn上的一个双线性函数.
若 A (aij )nn , 则
f ( X ,Y ) X ' AY x1 x2
n
aij xi x j
i , j1
§10.3 双线性函数
a11
xn
an1
a1n ann


例2. V上两个线性函数 f1, f2 :V P, 定义 f :V V P, f ( , ) f1( ) f2( ) 证明: f 是V上的一个双线性函数. 证： f ( , k11 k22 ) f1( ) f2(k11 k22 )
k1 f ( , 1 ) k2 f ( , 2 ), f (k11 k22 , ) f1(k11 k22 ) f2( )
i 1
i 1
则 g( , ) x1 x2
y1
xn

B

y2

,
yn
是V上的一个双线性函数. 为满射.
§10.3 双线性函数
若双线性函数 f ( , ) g( , ), 但 ( f ) ( g).
设 f ( , ) A f (i , j ) ,
§10.3 双线性函数
(1) 证 f ( X , k1Y1 k2Y2 ) Tr( X ' A(k1Y1 k2Y2 )) Tr( X ' Ak1Y1 X ' Ak2Y2 )
Tr(k1 X ' AY1 k2 X ' AY2 ) Tr(k1X ' AY1) Tr(k2 X ' AY2 ) k1Tr( X ' AY1 ) k2Tr( X ' AY2 ) k1 f ( X ,Y1) k2 f ( X ,Y2 ) f (k1 X1 k2 X 2 ,Y ) k1 f ( X1,Y ) k2 f ( X 2 ,Y )
§10.3 双线性函数
命题1′ 线性空间V上双线性函数空间 V与* Pn同n 构.
证：取定V 的一组基 1, 2, , n , 作映射
:V * P nn , f ( , ) A f ( i , j )
则 为 V *到P nn 的1─1对应.
n
n
事实上，任取 B Pnn , xii , yii V ,
x1 x2 xn

②
事实上，①或②是数域 P上任意上的 n 维线性
空间 V 上双线性函数 f ( , ) 的一般形式.
设 1, 2 , , n 为数域 P上线性空间V的一组基，
设 x11 x2 2 xn n (1 2 (1 2 n ) X
x1

n
)

x2

xn
y11 y2 2 yn n (1 2 (1 2 n )Y
y1
n
)

y2

yn
§10.3 双线性函数
nn
则 f ( , ) f ( xii , yii )
f ( i , j )xi x j ,
i1 j1
a11
a1n
令 aij f (i , j ),i, j 1,2,
, n,
A an1
ann
则 f ( , ) x1 x2
y1
xn

A
y2

,
yn
其中
f (1,1 )
命题2 n 维线性空间V上同一双线性函数，f ( , )
在V 的不同基下的矩阵是合同的.
证：设 f ( , ) 在V 的基 1, 2 , , n 与 1,2 , ,n
下的度量矩阵分别为 A, B.
(1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )C (1, 2 , , n ) X (1,2, ,n ) X1
§10.3 双线性函数
（2）解：
f (Eij , Ekt ) Tr(Eij ' AEkt )
aik 0
jt jt
所以度量矩阵为
a11En a12 En

a21 En
a22 En
am1En am2 En
a1n En
a2n En

.
amn En
§10.3 双线性函数
an1
n
对V中任意向量 xii ,
i 1
a1n


P
nn
,
ann
n
yii ,
i 1
定义函数 f ( , ) X ' AY
aij xi y j ,
则 f 为V上的一个双线性函数.
f ( , ) 在 1, 2 , , n 下的度量矩阵即为 A.
f ( n , n )
则 f 与 A f (i , j ) 对应.
即 f 与 f 在1, 2 , , n下的度量矩阵对应.
§10.3 双线性函数
且不同双线性函数对应的在 1, 2 , , n下的
度量矩阵不同.
事实上，若 f , g在 1, 2 ,
,
下的度量矩阵分别为
A


f
( 2 ,1 )
f ( 2 , 2 )
f ( n ,1 ) f ( n , 2 )
f (1, n )
f
(
2
,
n
)

.
f ( n , n )
称为 f ( , ) 在 1, 2 , , n下的度量矩阵.
§10.3 双线性函数
命题1 在给定基下, V上全体双线性函数与 P上全体
n
A f (i , j ) , B g(i , j )
且 f g 时 A B. 即
f (i , j ) g(i , j ), i, j 1,2, , n.
则对任意 x11 x2 2 xn n , y11 y2 2 yn n V . 有
n 级矩阵之间存在1─1对应.
证：取定 V 的一组基 1, 2, , n , 双线性函数
nn
f ( , ) f ( xii , yii )
f ( i , j )xi x j ,
i1 j1
f (1,1 )
f (1, n )
令 A
.
f ( n ,1 )
n)X,
(1 2
y1
n
)

y2


( 1
2
yn
n )Y .
f ( , ) X ' AY .
§10.3 双线性函数
若 f ( , ) X ' AY 0 对任意 V 均成立.
即对任意 Y 均有 X ' AY 0. 必有 X ' A 0, A' X 0.