白国仲《高等代数》§10.3 双线性函数

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高等代数白皮书

高等代数白皮书1. 前言高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是向量空间、线性变换和矩阵等代数结构。

作为数学的基础学科，高等代数在各个领域都有广泛的应用，尤其在物理学、经济学、计算机科学等领域发挥着重要的作用。

本文将全面、详细、完整地探讨高等代数的基本概念、理论和应用，并给出一些实例进行说明。

2. 高等代数基本概念2.1 向量空间向量空间是高等代数中的核心概念之一。

它是由一些元素组成的集合，这些元素可以进行加法和数乘运算，并满足一些特定的性质，比如闭性、结合律和分配律等。

向量空间具有很多重要的性质和定理，如向量空间的基、维数、秩等。

2.2 线性变换线性变换是高等代数中另一个核心概念，它描述了向量空间之间的关系。

线性变换是一种保持加法和数乘运算的映射，它保持向量空间的结构不变。

线性变换具有很多重要的性质和定理，如线性变换的表示、特征值和特征向量等。

2.3 矩阵矩阵是高等代数中常用的工具，它能够用于表示线性变换和解线性方程组。

矩阵具有很多重要的性质和定理，如矩阵的行列式、逆矩阵和特征值分解等。

矩阵在各个领域中都有广泛的应用，如图像处理、数据分析和系统控制等。

2.4 线性方程组线性方程组是高等代数中研究的重点之一。

它是由一些线性方程组成的方程组，其中未知数的系数是常数。

线性方程组的求解是高等代数中的一项重要任务，它涉及到矩阵运算和高斯消元法等技巧。

3. 高等代数理论3.1 线性无关和生成子空间线性无关和生成子空间是高等代数中重要的概念。

线性无关指的是一组向量中不存在非平凡线性关系，生成子空间指的是一组向量所有线性组合构成的空间。

线性无关和生成子空间在向量空间的研究中发挥着重要的作用。

3.2 线性映射和线性变换线性映射是高等代数中研究的重点之一。

它是一种保持加法和数乘运算的映射，可以看作是一种特殊的线性变换。

线性映射在向量空间之间建立了一种关系，它具有很多重要的性质和定理。

3.3 特征值与特征向量特征值与特征向量是高等代数中重要的概念。

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

高等代数第11章双线性函数与辛空间

高等代数第11章双线性函数与辛空间大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

对于大学更好地学习数学很有帮助,对于考研复习数学也很有帮助。

大学学习主要针对非数学专业同学;考研复习针对数一的学生。

§1 线性函数定义设V是数域上的线性空间f是V到是数域P上的线性空间是数域上的线性空间, 是到P的映射如果α,β∈V, k∈P, f满足的映射, 满足: 的映射如果∈ 满足(1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α), 则称f为线性函数. 则称为f (0) = 0, f (-α) = - f(α), 若β =k1α1+k2α2+…+ksαs … 则f(β )=k1f(α1)+k2f(α2)+…,+ksf(αs)大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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第11章双线性函数与辛空间章§1 线性函数§2 对偶空间§3 双线性函数*§4 辛空间§大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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例 1 设a1,a2,…,an是P中任意数中任意数, … 中任意数X=(x1,x2,…, xn)是Pn中的向量函数… 是中的向量. f(X)=f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn … … 是Pn上的一个线性函数上的一个线性函数.零函数0: 当a1=a2=…=an=0时, f(X)=0. … 时一般地Pn上的任一个线性函数都可表成一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证明如下：证明如下：大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

高等代数(第三版)10.3双线性函数

ｉ＝１ｉ＝１ｎｎ
f ( , ) x1 y1
xr yr (0 r n)
第十章双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间， f ( , )Ｖ上的一个对称双线性函数，则存在V的一组基1， 2，， n，对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
结论2 Ｖ上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， -1 ， r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
式中1 , 2 ,1 ,2是Ｖ中任意向量， k1 ,k2是Ｐ中任意数，则称f ( , ) 为Ｖ上的一个双线性函数．
第十章双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函数例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数，则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
ｉ＝１ｉ＝１ｎｎ
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义７设V为数域Ｐ上线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数，当＝时，Ｖ上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数．
第十章双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )＝f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的当且仅当f ( , )＝-f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.

高等代数第11章双线性函数与辛空间PPT优秀课件

量, ,根据f 都唯一对应P中一个数f(,)
满足:
(1) f(, k1 +k2 )= k1f(, 1)+k2f(, 2); (2) f(k11+k22, )= k1f(1, )+k2f(2, )
则称f(,)是V上一个双线性函数.
18
• 例1 欧氏空间V的内积是V上的双线性函数.
• 例2 设f1(,), f2(,) 都是线性空间V上的线性函
f(n,2) f(n,n)
• 为f(,)在基1,2,,n下的度量矩阵.
20
• 取V的一组基1,2,,n,设
•则
x1
(
1
,
2
,
,
n
)
x2
( 1, 2 , , n ) X
x
n
y1
(
1
,
2
,
,
n
)
y2
( 1 , 2 , , n )Y
y
n
f(, )f i n 1x i i,jn 1yj j i n 1jn 1f(i, j)x ix j
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n

an1
an2
ann
• 则A的迹 Tr(A)= a11+a22++ann
• 是Pnn上的一个线性函数.
• 例3 设V=P[x], t是P中一个取定的数,定义 P[x]上的函数Lt为:
•
Lt(p(x))=p(t), p(x)P[x]
• 即 P[xL]t(上p(x的))线为性p(x函)在数t.点的值, 则Lt(p(x))是
定义设v是数域p上的线性空间义了一个非退化双线性函数则v称为一当f是非退化对称双线性函数时v称为p当v是n维实线性空间f是非退化对称双线性函数时v称为p上的当f是非退化反对称双线性函数时v称为有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记作v2任一2n阶是非退化反对称矩阵k可把一个数域p上2n维空间v化成一个辛空间故k合同于j

高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数，所以有f(ε1)＋ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f(ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f(ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).＝X1f(ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)＝4 X1－7 X2－3 X32、设V与ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使f(ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f(ε1)＋ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f(ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f(ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时，就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f(ε1)＋X 2 f (ε2)＋X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。

证：设〔α1，α2，α3〕＝〔ε1，ε2，ε3〕A由已知，得A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。

设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则〔g1,g2,g3〕＝〔f1,f2,f3〕〔A ˊ〕1-＝〔f1,f2,f3〕011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s)证：对s 采用数学归纳法。

高等代数【北大版】10-4

f (α , β ) = f ( β ,α )
对称双线性函数. 则称 f (α , β ) 为对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数命题上上双线性函数是对称的(反对称的) 是对称的(反对称的) f (α , β ) 在V的任意的任意一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的) 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的). 证:任取V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 任取的一组基
" " f (α + β ,α + β )
α ∈ V
= f (α , β ) + f ( β ,α ) + f (α ,α ) + f ( β , β )
f (α , β ) + f ( β ,α ) = 0
f (α , β ) = f ( β ,α )
§10.4 对称双线性函数
二, 反对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数的有关性质定理6 维线性空间V上反对称定理设 f (α , β ) 为 n 维线性空间上反对称双线性函数( 双线性函数(即 α , β ∈ V , f (α , β ) = f ( β ,α ) ) 则存在V的一组基则存在的一组基 ε 1 , ε 1 , , ε r , ε r ,η1 , ,η s 使
α = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) X , β = (ε 1 , ε 2 , , ε n )Y .
f (ε i , ε j ) = aij ,
则
A = (aij )
f (α , β ) = X ' AY .

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(课后习题双线性函数与辛空间)

第10章　双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。

双线性函数

第九章双线性函数与辛空间1 本章的教学目标及基本要求（1）理解线性函数及双线性函数，并会验证之（2）理解和掌握对偶空间的定义，并能求对偶空间的对偶基（3）掌握度量矩阵的定义、性质及求法*（4）了解辛空间的定义及性质2 本章教学内容及学时安排§1 线性函数2学时§2 对偶空间4学时§3 双线性函数4学时本章1次习题课，本章共计12学时3 本章教学内容的重点及难点本章的重点是线性函数和双线性函数的定义及证明。

在理解方面比较困难的是对偶空间及对偶基的求法。

4 本章的主要参考书目：[1]张禾瑞，郝鈵新编，高等代数（第四版），高等教育出版社，2001[2]叶明训等编，线性空间引论（第二版），武汉大学出版社，2002[3]蓝以中编，高等代数简明教程，北京大学出版社，1994[4]姚慕生编，高等代数，复旦大学出版社，2002第十章双线性函数与辛空间在线性空间上定义线性函数，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上线性空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的辛空间的定义及性质。

§1 线性函数一、线性函数的定义设V 是数域P 上的一个向量空间．def1 设f ∈Hom(V ，P)，即∀α，β∈V ，∀k ∈P ，都有f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)，则称f 为V 上的一个线性函数．从定义不能推出以下简单性质：1）设f 为V 上的一个线性函数，则(0)0,()().f f f αα=-=-2）线性性；如果1122s s c c c βααα=+++，那么1122()()()().s s f c f c f c f βααα=+++线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数⎰ba dx x f )(,并且满足⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a ba b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，．所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域P 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )n n 对应P 中的一个元素∑=ni ii a 1,并且有Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ．所以矩阵的迹是M n (P)上的一个线性函数．例3 在数域F 上的一元多项式环P [x ]中，字母x 用P 中的一个c 代入，它把每一个多项式f (x )对应P 中的数()f c ．由于未定元x 用c 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用c 代入是向量空间F[x]上的一个线性函数．见P400，例3例4 设12,,,n a a a 是P 中任意数，12(,,,)n n X x x x P ∀=∈，函数121122()(,,,)n n n f X f x x x a x a x ax ==+++， (1) 就是P 上的一个线性函数．注：1）当0,1,2,,i a i n ==时，()0f X =，称为零函数；2）在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n b x a n n +的n 元函数g 称做线性函数．当b ≠0时， g 不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，因此g 不是定义1意义上的线性函数．故而“线性函数”这一术语在分析和代数里是有不同的含义，此时高等代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．二、存在及唯一性我们现在来讨论有限维线性空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域P 上的n 维线性空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一组基n ααα,,,21 ．由于f 可以看成是线性空间V 到线性空间P 上的一个线性映射，因此f 完全被它在V 上一组基n ααα,,,21 上基像所决定．即只要知道)(,),(),(21n f f f ααα ，就可知道V 中任一向量∑==ni i i x 1αβ在f 作用下的象∑==ni i i f x f 1)()(αβ． (2)(2)就是线性函数f 在基α1，…，αn 下的表达式．它表明：f 在β上的函数值()f β是β在基下的坐标12(,,,)n x x x 的一次齐次多项式．进而考虑数域P 上n 维线性空间V 上的线性函数的构造。

(完整版)第十章双线性函数

第十章双线性函数一内容概述 1 线性函数ⅰ）线性函数设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。

并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。

3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01，则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。

称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。

定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。

如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。

双线性函数2

欧氏空间与双线性函数基本概念1. 欧几里得空间设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：（1）（βα，）=（αβ，）；（2）（βα,k ）= k(βα，);（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。

2. 酉空间设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：（1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数；（2）（βα,k ）= k(βα，);（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。

3. 向量的长度非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。

4. 向量的夹角非零向量βα，的夹角βα，规定为βα，=arccosβαβα），（, 0≤ βα，≤π5. 向量正交如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。

6. 基的度量矩阵，，21εε.n ε，⋅⋅⋅是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，，⋅⋅⋅=2,1,,称()nn ij A α=为基n εεε，，，⋅⋅⋅21的度量矩阵。

7. 正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

8. 正交基、标准正交基在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

9. 正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T=。

n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果EA A T=。

10. 欧氏空间同构实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足（1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k =（3 ）；，（））（），（（βαβσασ=这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。

第十章双线性函数

第十章双线性函数§10.1 线性函数1．设V 是数域F 上的一个线性空间, f 是V 到F 的一个映射, 若f 满足:(1)()()();(2)()(),f f f f k kf αβαβαα+=+=式中,αβ是V 中任意元素, k 是F 中任意数, 则称f 为V 上的一个线性函数.2．简单性质:设f 是V 上的线性函数（1） (0)0,()().f f f αα=−=−（2）11221122()()()()t t t t f k k k k f k f k f αααααα+++=++L L例1 对数域F 上的任意方阵()ijn nA a ×=, 我们已定义1122()nn tr A a a a =+++L为A 的对角元之和, 称为A 的迹. 容易验证映射 :,()n n tr A tr A ×→→F F满足条件:(1)()()(),,;(2)()(),,.n n n ntr A B tr A tr B A B tr kA k tr A A k ××+=+∀∈=∀∈∈ F F F因此tr 是n n×F的线性函数.例2 设[]V F x =, a 是F 中一个取定的数. 定义[]F x 上的函数a L 为: (())(),()[],a L f x f a f x F x =∈即(())a L f x 为()f x 在a 点的值, (())a L f x 是[]F x 上的线性函数.如果V 是数域F 上的一个n 维线性空间，取定V 的一组基12,,,n εεεL . 对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α:1122n n x x x αεεε=+++L都有1122()()()()n n f x f x f x f αεεε=+++L因此, ()f α由12(),(),,()n f f f εεεL 的值唯一确定. 反之, 任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 用下式定义V 上一个函数f :11()n ni ii ii i f x a x ε===∑∑这是一个线性函数, 而且(),1,2,,i i f a i n ε==L我们有:3. 设V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一组基12,,,n εεεL , 对于任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 存在唯一的V 上线性函数f 使(),1,2,,i i f a i n ε==L .§10.2 对偶空间1．对偶空间定义设V 是数域F 上的n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记为*V .*V 上定义加法与数乘：()()()(),f g f g V αααα+=+∈.()()(()),.kf k f V ααα=∈则,f g kf +都是线性函数, 故*V 成为F 上的线性空间. *V 称为V 的对偶空间3．对偶基取定V 的一组基12,,,n εεεL ，定义V 上的n 个线性函数(1,2,,)i f i n =L 如下: ()i j ij f εδ= 则12,,,n f f f L 是*V 中线性无关的向量组, 构成*V 的一组基. 我们称之为12,,,n εεεL 的对偶基.4．对偶空间的维数*dim dim V V n ==.5．对偶基之间的关系设12,,,n εεεL 及12,,,n ηηηL 是线性空间V 的两组基, 它们的对偶基分别是12,,,n f f f L 及12,,,n g g g L . 再设由12,,,n εεεL 到12,,,n ηηηL 的过渡矩阵为A , 那么由12,,,n f f f L 到12,,,n g g g L 的过渡矩阵为1()T A −.6．V 到**V 的同构（1）取定V 中一个向量x , 定义*V 的一个函数**x 如下: ***()(),x f f x f V =∈.（2）函数**x 具有下列性质 z****x V ∈z 若**()0x f =对一切x V ∈成立, 则0f =;z 若**()0x f =对一切*f V ∈成立的充分必要条件是0x =. （3）同构V 是一个线性空间, **V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射 **x x → 是一个同构映射.如果把V 与**V 在这个同构下等同起来, 则V 可以看成*V 的对偶空间. 这样V 与**V 具有同等的地位, 它们互为对偶.§10．3 双线性函数一、双线性函数的定义与矩阵1．定义设V 是数域F 上一个线性空间, (,)f αβ是V 上一个二元函数, 即将V 中任意两个向量,αβ对应于F 中一个数(,)f αβ, 并且满足如下条件:1122112211221122(1)(,)(,)(,);(2)(,)(,)(,)f k k k f k f f k k k f k f αββαβαβααβαβαβ+=++=+这里121212,,,,,;,V k k αααβββ∈∈F . 我们称(,)f αβ是V 上一个双线性函数.注：将V 中一个变元固定时的映射 :,(,)f V f αβαβ→a F 和:,(,)V αϕβϕβα→a F都是V 上的线性函数, 就是说,f ααϕ都是V 的对偶空间*V 中的向量.2．定理（双线性函数的形式）设在数域F 上的线性空间V 上定义了双线性函数f ,12,,,n εεεL 是V 的任意一组基.则任意,V αβ∈在f 下的值(,)f αβ可以由,αβ在该基下的坐标,X Y 按下列公式计算: (,)Tf X AY αβ=，其中()ij n n A a ×=由(,)ij i j a f εε=组成, 称为双线性函数f 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵.3．简单性质设,f g 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵分别是,A B , 则（1）f g +在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是A B +；（2）kf 在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是kA 。

双线性函数和二次型

双线性函数和二次型双线性函数中有两个特例，即对称双线性函数和反对称双线性函数，而二次型又是对称双线性函数的特例.二次型在数学和物理中的应用极其广泛，如线性二次型的最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法；在动力学中遇到的许多问题都是由两个实二次型描述的等许多应用.因此，研究双线性函数和二次型是非常重要的，具有极高的应用价值.1 双线性函数1.1 双线性函数的定义定义1.1.1[]()4061P V 是数域P 上一个线性空间，()βα,f 是上一个二元函数，即对V中任意两个向量α,β ,根据f 都唯一地对应于P 中一个数()βα,f .如果()βα,f 有下列性质：（1）()()()22112211,,,βαβαββαf k f k k k f +=+ （2）()()()βαβαβαα,,,22112211f k f k k k f +=+其中α,1α，2α，β，1β，2β是V 中任意向量，1k ，2k 是P 中任意数，则称()βα,f 为V 上一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数()βα,f ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.如欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.1.2 度量矩阵取V 上的一组基n εεε,,,21Λ,设'X =(n x x x ,,,21Λ),Y '=(n y y y ,,21Λ),再设α= (n εεε,,,21Λ)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x M 21 = (n εεε,,,21Λ) X ,β= (n εεε,,,21Λ)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y M 21 = (n εεε,,,21Λ) Y,则 ()βα,f =f (∑=n i ii x 1ε,∑=nj jjy 1ε)=()j in i nj jiyx f ∑∑==11,εε (1)令ij a =()j i f εε,, i,j=1,2, …,n,A=111n n1nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M O M L , 则（1）就成为()Y X ,f ＝∑∑==n i nj j i ijy x a11（2）也可以表示为()Y X ,f =AY X ' （3）则（2）或（3）式实际上就是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数()βα,f 的一般形式.即()Y X ,f 是nP 上的一个双线性函数.定义1.2.1[]()4081P 设()βα,f 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 叫做()βα,f 在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.经过上面的讨论，取定V 的一组基后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。

高等代数第十章双线性代数

一组基，f 是 V 上的一个线性函数，已知
f ( 1 3 ) 1, f ( 2 2 3 ) 1, f ( 1 2 ) 3
求 f ( x1 1 x2 2 x3 3 ). 解： f ( ) f ( ) 1 f ( ) 4 1 3 1 f ( 2 ) 2 f ( 3 ) 1 f ( 2 ) 7 f ( 3 ) 3 f ( 1 ) f ( 2 ) 3
n g( i ) f i ( ) i 1
g g ( i ) f i g ( 1 ) f1 g( 2 ) f 2 g( n ) f n
i 1 n
综合②与③即得
定理2 取定线性空间V的一组基 1 , 2 ,, n ,
b1 j a1i b2 j a2 i bnj ani 1, i j . 0, i j
所以， B ' A E .
1 1 1 B ' A B ( A )' ( A ') . 即或

因此有下述定理
定理3 设 1 , 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为线性
i 1,2,, n
则
pi (a j ) 1, 0,

ji ji
i 1,2,, n
且 p1 ( x ), p2 ( x ),, pn ( x ) 为 P[ x ]n 的一组基.
这是因为:
① p1 ( x ) p2 ( x ) pn ( x ) 线性无关. 事实上，若有
c1 p1 ( x ) c2 p2 ( x ) cn pn ( x ) 0.
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f ( k ) kf ( )

双线性函数

定理10.2.2设V是F上n维向量空间，f是V上的一个双线性函数，f在基α1，…，αn下的度量矩阵为A，则f是非退化的充分且必要条件为A是可逆矩阵．
证先证rad 满秩．设α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y，则f(α,β)=XAY．从而
radLV=0
由f(α,β)=0，β∈V，可推出α=
由XAY=0，Y∈Fn，可推出X=0
由XA=0可推出X=0
由AX=0可推出X=0
N(A)=0
rankA=nrankA=n．
同理可证：radRV=0A满秩．因此，f非退化A可逆．
推论10.2.2设f是F上有限维向量空间V上的一个双线性函数，则f的左根等于零子空间当且仅当f的右根等于零子空间．
2.4对称、反对称情形
．(5)
(5)右端的表达式
(6)
称为x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型．(5)表明，任一双线性函数能够用坐标x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型表示．
请注意，双线性型指的是表达式(6)，而双线性函数指的是V×V到F的映射．
下面讨论V上的同一个双线性函数f在V的不同基下的度量矩阵之间的关系．
二次函数q()在基1,…,n下的表达式(13)的矩阵A也称为二次函数q在基1,…,n下的矩阵．
课外作业：
P518：1；2；P525：1；2．
T2(V)=S2(V)2(V)．(9)
考虑有限维向量空间中对称(或反对称)双线性函数的度量矩阵，设f是F上n维向量空间V的一个双线性函数．在V中取一个基α1，…，αn，设f在这个基下的度量矩阵为A．
若f是对称的，则
f(αi,αj)=f(αj,αi)，i，j=1，…，n．
因此A是对称矩阵．反之，若A是对称矩阵，则对于V中任意两个向量α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y，有

双线性插值算法及其并行实现

计算机工程应用技术本栏目责任编辑：梁书双线性插值算法及其并行实现白香君（北京航空航天大学数学与系统科学学院计算数学系，北京100191)摘要：双线性插值算法是放大图像的一种有效算法，但是随着图像放大比例的增加，该算法的处理速度比较慢，所以基于这种现状，该文提出了双线性插值算法的一种并行实现方法，为高效快速的放大图像提供了解决方案。

实验结果表明，并行后的算法能够有效的提高处理图像的速度和效率。

关键词：双线性插值；并行；提高；速度和效率中图分类号：TP393文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2014)27-6494-03Bilinear Interpolation Algorithm and Its Parallel ImplementationBAI Xiang-jun(School of Mathematics and Systems Science,Beihang University ,Beijing 100191，China)Abstract:Bilinear interpolation algorithm is an efficient algorithm of enlarging image.But with the increase of image magnifica⁃tion,the processing speed of this algorithm is relatively slow.So based on this situation,this paper presents a parallel implementa⁃tion of bilinear interpolation algorithm.It provides a solution for fast and efficient enlarging image.Experimental results show that the parallel algorithm can effectively improve the image processing speed and efficiency.Key words:bilinear interpolation;parallel;improve;speed and efficiency图像是人类获取和交换信息的主要来源，所以，图像处理必然贯穿人类生活和工作的方方面面，如航空航天技术、生物医学工程、军事公安等领域。

第十章双线性函数与正交空间、辛空间

课程：高等代数第10.1.1页第十章双线性函数与正交空间、辛空间引言本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．§1 对偶空间教学目的通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．教学内容本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．1.1 线性函数设V 是数域F 上的一个向量空间．定义1 设f ∈Hom(V ，F )，即∀α，β∈V ，∀k ∈F ，都有f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)，则称f 为V 上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．由于f ∈Hom(V ，F )，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数,并⎰ba dx x f )(且满足．⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a ba b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )nn 对应F 中的一个元素,并且有∑=n i ii a 1Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ．所以矩阵的迹是M n (F )上的一个线性函数．例3 在数域F 上的一元多项式环F [x ]中，未定元x 用F 中的一个元素t 代入，它把每一个多项式f (x )对应F 中的元素f (t )．由于未定课程：高等代数第10.1.2页元x 用t 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用t (t ∈F )代入是向量空间F [x ]上的一个线性函数．例4 给定F 中的n 个元素a 1，a 2，…，a n ，∀()∈n x x x ，，， 21F n ，规定， (1)n n n x a x a x a x x x f +++= 221121),,,(容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f 是F n 上的一个线性函数．请注意，在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n 的n 元函数g 叫做线性函数．若b ≠0，则g 不保持加法运算，b x a n n +也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F n ααα,,,21 的一个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基上的作n ααα,,,21 用所决定．即只要知道，就可以知道V 中任一)(,),(),(21n f f f ααα 向量在f 作用下的象∑==ni i i x 1αβ． (2)∑==ni i i f x f 1)()(αβ(2)就是线性函数f 在基α1，…，αn 下的表达式．它表明，f 在β上的函数值f (β)是β的坐标x 1，…，x n 的一次齐次多项式．进而考虑数域F 上n 维向量空间V 上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见定理10.1.1 设V 是F 上一个n 维向量空间，α1，α2，…，αn 是V 的一个基，a 1，a 2，…，a n 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一确定的线性函数f ，使得f (αi )=a i ， i =1，2，…，n ． (3)因此，∈V ，则β在f 下的象为．∑==∀n i i i x 1αβ∑==ni i i a x f 1)(β1.2 对偶空间课程：高等代数第10.1.3页设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的线性函数空间，也记作T1(V)．以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有dimHom(V，F)=dim F n⨯1=n．这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了．由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)= …=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存2在V上唯一的线性函数f n，使得f n(αn)=1，f n(αj)=0，j≠n．这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，f n，其中f i(1≤i≤n)在基向量上的函数值为f i(αj)=δij，(4)这里δij是Kronecker记号．现在我们断言f1，f2，…，f n是线性无关的．设k1 f1+k2 f2+…+k n f n=0，(5)并作用αj，则得k1f1(αj)+k2 f2(αj)+…+k n f n(αj)=0．于是由(4)推得k j=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，f n线性无关．综上所述，f1，f2，…，f n是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V．若在V中取一个基α1，α2，…，αn，则由(4)确定的线性函数f1，f2，…，f n是V*的一个基，叫做α1，α2，…，αn的对偶基．设α1，α2，…，αn是V的一个基，f1，f2，…，f n∈V*是α1，α，…，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，…，α2下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1，f2，…，f nn课程：高等代数第10.1.4页下的坐标．设，由(4)得∑==n j j j x 1αβ， (6)i nj j i j i x f x f ==∑=1)()(αβ即β在基α1，…，αn 下的坐标的第i 个分量等于f i (β)．因此． (7)∑==ni i i f 1)(αββV *中任取一个向量，比较左右两边的函数在αj 上的函数值∑==ni i i f c f 1得． (8)j j n i i i j c f c f ==∑=)()(1αα这表明f 在基f 1，f 2，…，f n 下的坐标的第j 个分量等于f (αj )．因此． (9)∑==n j j j f f f 1)(α例5 设V =M 2(F )，在V 中取一个基E 11，E 12，E 21，E 22，求它的对偶基f 11，f 12，f 21，f 22，并求V 上任一线性函数f 的表达式．解从(4)得f 11(E 11)=1，f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0，f 12(E 12)=1，f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0，f 21(E 21)=1，f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0，f 22(E 22)=1，f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0．任取A =(a ij )22∈M 2(F )，由于，所以f 11(A )=a 11，f 12(A )=a 12，∑∑===2121i j ij ij E a A f 21(A )=a 21，f 22(A )=a 22．于是，对于V 上的任意一个线性函数f ,设f (E ij )=c ij ，i ，j =1，2，则由(9)得)()()()()(2222212112121111A f c A f c A f c A f c A f +++=． (10)2222212112121111a c a c a c a c +++=例6 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R [x ]n ．对任意取定的n 个不同实数a 1，a 2，…，a n ，根据Lagrange 插值公式，得到n 个多项式，i =1,2,…,n ． )())(()()())(()()(111111n i i i i i i n i i i a a a a a a a a a x a x a x a x x p --------=+-+- 它们满足p i (a j )=δij ，因此p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )线性无关．因为由c 1 p 1(x )+x 2 p 2(x )+…+c n p n (x )=0，用a i 代入，即得课程：高等代数第10.1.5页，i =1，2，…，n ． 0)()(1===∑=i nk i i i i k k c a p c a p c 又V 是n 维的，所以p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )是V 的一组基．设L i ∈V *(i =1，2，…，n )是在a i 点的取值函数：L i (p (x ))=p (a i ) p (x )∈V ，i =1，2，…，n ，则线性函数L i 满足L i ( p j (x ))=p j (a i )=δij ．因此，L 1，L 2，…，L n 是的对偶基． )()()(21x p x p x p n ，，， V 中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是定理10.1.3 设V 是数域F 上n 维向量空间，α1，…，αn 与β1，…，βn 是V 的两个基．设它们的对偶基分别是f 1，…，f n 与g 1，…，g n ．若V 中基α1，…，αn 到基β1，…，βn 的过渡矩阵是A =(a ij )nn ，则V *中基f 1，…，f n 到基g 1，…，g n 的过渡矩阵为．)(1'-A 证由已知条件，有(β1，…，βn )=(α1，…，αn )A (11)于是． (12) ∑==nk k ki i a 1αβ设f 1，…，f n 到g 1，…，g n 的过渡矩阵为B =(b ij )nn ，则(g 1，…，g n )=( f 1，…，f n )B (13)于是．将此式的两边作用于βi ，并注意到，∑==n k k kj j f b g 1ki i k a f =)(β则得． (14)∑∑=====n k n k ki kj i k kj i j ij a b f b g 11)()(ββδ因此，A 'B =I n ．故B =( A ')－1=( A －1)'．1.3 双重对偶空间考察V 到V *的一个同构映射．因为V 和V *都是n 维的，所以它们都与F n 同构．我们知道，在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射．于是，在V 中取一个基α1，α2，…，αn ，而f 1，f 2，…，f n ∈V *是α1，α2，…，αn 的对偶基，则有V 到F n 的一个同构映射σ1：．),,,()(2111n ni i i a a a a =∑=ασ又有F n 到V *的一个同构映射σ2：课程：高等代数第10.1.6页．∑==ni i i n f a a a a 1212),,,( σ从而有V 到V *的一个同构映射σ=σ2σ1：． (15)∑∑===ni i i n i i i f a a 11)(ασ设，记σ(α)=，则由(15)得∑==ni i i a 1αααf ． (16)∑==ni i i f a f 1α对于V 中任一向量，由(16)、(15)得∑==ni i i b 1αβ． (17)∑∑====ni i i n i i i b a f a f 11)()(ββα因此，α在上述同构映射下的象在β上的函数值(β)等于α与βαf αf 的坐标的对应分量乘积之和．以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的．因此对于F 上n 维向量空间V ，我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V *，F )(也记成T 1(V *))，它是V *的对偶空间，简记成V **．据定理10.1.2得，dim V **=dim V *=dim V ．因此V ≌V **． (18)V **叫做V 的双重对偶空间．进而求V 到V **的一个同构映射，在V 中取一个基α1，…，αn ，设它的对偶基是f 1，…，f n ．任取V 中一个向量，则由上讨∑==ni i i a 1αα论有V 到V *的一个同构映射σ1，它把α映成f α．对V *，有V *到V **的一个同构映射σ2，它把f α映成α**，其中α**( f )等于f α与f 在基f 1，…，f n 下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有．因此∑∑====ni i i n i i i f f f f a f 11)(αα，． (19)∑∑==**===n i ni i i i i f a f f a f 11)()()()(αααα这样，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V 中向量α映成V **中元素α**，其中α**( f )=f (α)，f ∈V * ． (20)∀因此证得定理10.1.4 设V 是F 上的n 维向量空间，V **是V 的双重对偶空课程：高等代数第10.1.7页间，则V ≌V **；并且V 到V **的一个同构映射是σ：αα**，其中α**( f )如(20)所示．必须指出，V 到V **的上述同构映射不依赖于V 中基的选择．因为上面在V 中取定一个基α1，…，αn ，我们找到了V 至V **的一个同构映射σ：αα**，其中α**( f )=f (α)，∀f ∈V *，即σ(α) f =f (α)，∀f ∈V *．又在V 中另取一个基β1,…,βn ，设它的对偶基是g 1,…,g n ．则类似地有V 到V *的一个同构映射τ1,它把V 中向量映成g α；∑==n i i i b 1βα且有V *到V **的同构映射τ2，它把g α映成τ2(g α)，其中τ2(g α) f 等于g α与f 在基g 1，…，g n 下的坐标的对应分量乘积之和．因为，并且f =，所以∑==n i i i g b g 1α∑=n i i i g f 1)(β (21) ∑∑=*=∈∀===n i ni i i i i V f f b f f b f g 112),()()()(αββτα于是得到V 到V **的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V 中向量α映成τ(α)，其中τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2 (g α) f =f (α)，∀f ∈V *．因此σ(α) f =τ(α) f ，∀f ∈V *．由此得出σ(α)=τ(α)，∀α∈V ．故σ=τ．这就证明了V 到V **的同构映射：αα**，其中α**( f )=f (α)不依赖于V 中基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．由于V 到V **存在自然同构，因此我们可以把V **与V 等同，从而可以把V 看成V *的对偶空间，这样V 与V *就互为对偶空间．这就是为什么把V *称为V 的对偶空间的原因．由于V 可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间．课外作业：P513：2、1)；3；4；5。

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