3.3 衍射的角谱理论

α
β
y0 孔径平面
cos α cos β A0 , λ λ
x U ( x, y )
cos α cos β A , λ λ
γ
y
观察平面
z
基尔霍夫理论中，有 基尔霍夫理论中，
U (x, y ) = U0 (x, y ) ∗ h(x, y )
角谱理论中， 角谱理论中，
λ

简而言之，衍射孔径使入射光波在空间受到限制， 简而言之，衍射孔径使入射光波在空间受到限制，其 效果是展宽了衍射光波。 效果是展宽了衍射光波。
（五）如何表示单位振幅的单色平面波？ 如何表示单位振幅的单色平面波？ （1）平面上的光波分布可以看作以 exp j 2π f x x + f y y ） 作为基元函数的线性组合， 作为基元函数的线性组合，即
f (x, y ) =
[ (
)]
)]
∫∫ F ( f
x
, f y exp j 2π f x x + f y y df x df y
) [
(
其中指数基元 exp j 2π f x x + f y y 代表一个传播方 向余弦为 cos α = λ f x ， cos β = λ f y 的单位振幅 的单色平面波。 的单色平面波。 （2）一般地， ）一般地，
点源的集合（ 孔径平面上的光 点源的集合（或 不同方向传播的 场 U 0 (P ) 球面波的线性叠 平面波的线性组 合 加）
如何求解观察平面 点源发出的球面 上的光波分布U (Q ) 子波的相干叠加 计算公式
U (x, y ) = U 0 (x, y ) ∗ h(x, y )
上述平面波分量 的相干叠加
因为 cos α = f x
cos β
λ
所以有
A f x , f y = A0 f x , f y H f x , f y
(
)
λ
= fy
(
) (
)
系统的传递函数
（四）孔径对角谱的影响
前
U i (x0 , y 0 )
cos α cos β Ai , λ λ
后
U 0 ( x0 , y 0 )
x
α
β
观察平面
γ
y
z
y0
（1）将孔径平面上的光场分布看作是不同方向传播 ） 的线性组合。 的平面波的线性组合。 （2）观察平面上的光场分布就等于这些平面波传递 ） 点时的相干叠加。 到Q点时的相干叠加。 点时的相干叠加
（二）比较基尔霍夫理论与角谱理论 比较基尔霍夫理论与角谱理论
基尔霍夫理论 角谱理论 讨论光的传播 空间域 频谱域
？？？
（三） 角谱的传播 若孔径平面的光场分布为 U 0 ( x0 , y0 ) 观察平面的光场分布为 U ( x , y ) 则它们相应的角谱分别为
cos α cos β cos α cos β A0 , , A λ λ λ λ
x0
U 0 ( x 0 , y0 )
t (x0 , y 0 )
Σ
cos α cos β A0 , λ λ
孔径平面
根据衍射屏透过率的定义， 根据衍射屏透过率的定义，有 U 0 ( x 0 , y 0 ) = U i ( x 0 , y 0 )t ( x 0 , y 0 ) 或者 其中
cos α cos β cos α cos β cos α cos β A0 , , , = Ai ∗T λ λ λ λ λ λ
cos α cos β cos α cos β A0 , , 与 A λ λ λ λ
具有什么关系？ 具有什么关系？
cos α cos β , A λ λ
cos α cos β , = A0 λ λ
cos α cos β , H λ λ
cos α cos β T , λ λ
= FT {t ( x 0 , y 0 )}
对于单位振幅的单色平面波垂直照射孔径的情况， 对于单位振幅的单色平面波垂直照射孔径的情况，有 单位振幅的单色平面波垂直照射孔径的情况
Ui ( x0 , y0 ) = 1
所以
cosα cos β cosα cos β Ai , , =δ λ λ λ λ
[
]
cos α = λf x , cos β = λf y 的单色平面波。 的单色平面波。
所以， 所以，复振幅分布 U ( x , y ) 可以看作是不同方 向传播的单色平面波的线性叠加。 向传播的单色平面波的线性叠加。
x0
孔径平面
x
α
β
观察平面
γ
y
z
y0
相对应。 这些平面波分量的传播方向和频率 ( f x , f y ) 相对应。
作业 117页 3.1题 页 题
f ( x , y , z ) = ∫∫ F f x , f y , f z exp j 2π f x x + f y y + f z z df x df y df z
[ (
)]
(
) [ (
)]ห้องสมุดไป่ตู้
则 exp[ j 2π ( f x x + f y y + f z z )] 代表一个单位振幅的 单色平面波。 单色平面波。
因此， 因此，
cosα cos β cosα cos β cosα cos β , , , A0 = Ai ∗T λ λ λ λ λ λ cosα cos β cosα cos β , , =δ ∗T λ λ λ λ cosα cos β , = T λ λ
3.3 衍射的角谱理论
（一）复振幅分布的空间频谱
见教材P74 见教材
对位于单色光场中xy平面上的复振幅 对位于单色光场中 平面上的复振幅 U ( x , y ) 进行傅立 叶分析，有 叶分析，
U ( x , y ) = ∫∫ A f x , f y exp j 2π f x x + f y y df x df y
结论： 结论：
孔径的透过率函数 t ( x 0 , y 0 ) 影响着孔径后的光场， 影响着孔径后的光场， cos α cos β 孔径越小，其傅立叶变换 T λ , λ 越宽，孔径后 孔径越小， 越宽， 越宽。 的角谱 A cos α , cos β 越宽。
0
λ
λ λ cos β cos α cos β cos α , x+ y dxdy ∴ A = U ( x , y ) exp − j 2π λ λ ∫∫ λ λ
称为复振幅分布的角谱
Q fx =
cos α
, fy =
cos β
x0
孔径平面
这里把平面上的复振幅分布看作是频率不同的复指 数分量的线性组合，频率分量的权重是： 数分量的线性组合，频率分量的权重是：
(
) [ (
)]
A f x , f y = ∫∫ U ( x , y ) exp − j 2π f x x + f y y dxdy
其中
(
)
[
(
)]
exp j 2π ( f x x + f y y ) 代表传播方向余弦为