2016届福建省福州三中高三最后模拟理科数学试卷
福建省福州第三中学高三数学模拟考试(最后一卷)试题 文
福州三中2016届高中毕业生校模拟考试卷文科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合}2,1{=A ,}02|{=-=mx x B ，若A B ⊆，则实数m = A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或1或2 (2) 设复数i z +=1 (i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则|)1(|z z ⋅+= A. 10 B.2 C. 2 D. 1(3) 有两枚正四面体骰子，各个面分别标有数字1，2，3，4，若同时抛掷两枚骰子，则两枚骰子底面2个数之差的绝对值为2的概率是 A.16 B. 14 C. 13 D. 12(4) 命题“02,>∈∀x R x ”的否定是A. 02,≤∈∀x R xB. ∃,0R x ∈020>xC. ∃,0R x ∈02≤x D. R x ∈∀0,020≤x(5) 椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为2,1F F ，过2F 作直线l 垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若0190=∠B AF ，则椭圆C 的离心率为A. 21-B. 212-C. 22-D. 22(6) 在等比数列{}n a 中，8,20453==+a a a ，则26a a +=A. 18B. 24C. 32D. 34(7) 若如下框图所给的程序运行结果为28=S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A. 8=kB. 7≤kC. 7<kD. 7>k (8) 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于A. 6B. 8C. 10D. 12(9)已知双曲线122=-ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线y x 82=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为A.3x±y＝0B. x±3y ＝0C. x±2y＝0D. 2x±y＝0 (10) 函数xx y -=sin 1的一段大致图象是(11) 在ABC △中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin =CB， bc c a 322=-，则角A= A. 0150B. 0120C. 060D. 030(12) 设函数)(x f 的定义域为R ，⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤--=10,1301,)(x x x x f x ，且对任意的 R x ∈都有)(1)1(x f x f -=+，若在区间]1,5[-上函数m mx x f x g +-=)()(恰有5个不同零点，则实数m 的取值范围是A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡--61,41 B. ⎥⎦⎤⎝⎛--41,21 C. ]0,61(- D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛--61,21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州三中届高三校模拟数学(理)试题
数学（理）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1、已知复数iia +在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上，则实数=a （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、22、如果()k a ,1=，()4,k b =，那么“b a //”是“2-=k ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、已知),0(~2a N ξ，且)02(≤≤-ξP =0.4，则=>)2(ξP （ ）A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 4、对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（ ） A 、若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B 、若m αα∥,n ∥,则m ∥nC 、若,m n αα⊂∥,则m ∥nD 、若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差 ()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式： 13V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式 24S R =π，343V R =π 其中R 为球的半径5、从5名男生和5名女生中任选3人参加某集体项目的比赛，其中至少有一名男生入选的组队方案数为（ ）A 、90B 、100C 、110D 、120 6、由曲线23x y -=和x y 2=围成的图形的面积为（ ）A 、322 B 、332 C 、316 D 、328 7、若1()nx x+展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中常数项的值等于（ ）A 、8B 、16C 、80D 、708、已知y x ,满足条件5003x y x y x -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 42+=的最小值为（ ）A 、6B 、-6C 、5D 、-59、设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点()()1,1g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A 、2 B 、41-C 、4D 、21- 10、已知集合{}332210333⨯+⨯+⨯+==a a a a x x A ，其中{}2,1,0∈i a ()3,2,1,0=i 且03≠a ，则A 中所有元素之和等于（ ）A 、3240B 、3120C 、2997D 、2889 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11、已知函数⎩⎨⎧<-≥=,1,,1,2)(x x x x f x 若4)(=x f ，则=x12、阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填 的是 13、以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形有一个内角为︒60，则双曲线C 的离心率为______14、已知i 、j 、k 为两两垂直的单位向量，非零向量)R ,,(321321∈++=a a a k a j a i a a ，若向量a 与向量i 、j 、k 的夹角分别为α、β、γ，则=++γβα222cos cos cos15、已知函数()⎩⎨⎧∈∈=QC x Qx x f R ,0,1,给出下列结论：（1）()()03=ff ； （2）函数()f x 是偶函数； （3）函数()f x 是周期函数；（4）存在()3,2,1=∈i R x i ,使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形；其中，所有正确的结论是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，3sin 3B =（Ⅰ）求cos A 及sin C 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积. 17．（本小题满分13分）某汽车驾驶学校在学员结业前，要对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。
2016年福州市普通高中毕业班综合测试理科数学参考答案(word 版)
2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C（7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π（15）（16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················· 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅ ，所以2232c b bc ++=，① ······································································ 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，=，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==··············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． ·································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率． ······································································ 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ·························································································· 9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分 （19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A = ， 所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分因为EC =DF 又因为4AB =，所以2AD =，所以22,AP AF ==所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A = ，所以PO ⊥平面ABCD ． ········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，1(,2E ，所以(1,0,PD =-，(1,2,PC =-，3(,0,2EC =- ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,20,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1z =，则(=n ， ································································ 10分 设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin |cos ,|2EC α=<>==n ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ·············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ··························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ························································ 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ······································ 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ·············································· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ········ 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =λ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ， 所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ． 将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ·············································· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ········ 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以 =BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ·············································因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AF AE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=． ········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩ ·································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。
2016届福建省福州三中高三最后模拟数学(理)试题(解析版)
2016届福建省福州三中高三最后模拟数学（理）试题一、选择题1．若复数i2i2-+=a z 为纯虚数，则实数a 的值为( ) （A ）2 （B ）1- （C ）0 （D ）1【答案】D【解析】试题分析：()()()()()()2i 2i 224i2i 2i 2i 2i 5a a a a z ++-+++===--+ 为纯虚数，所以2201a a -=∴=，故选D.【考点】复数的四则运算.2．已知集合}054{2<--∈=x x x A |N ,},4|{A x x y y B ∈-==，则B A 等于( )（A ）}4,3,2,1,0{ （B ）}5,4,3,2,1{ （C ）}3,2,1,0,1{- （D ）}4,3,2,1,1{- 【答案】A 【解析】试题分析：2{450}{|15}{0,1,2,3,4}A x x x x N x =∈--<=∈-<<=N | ,{4,3,2,1,0}B =，所以{0,1,2,3,4}A B = .【考点】集合的并集运算.3．执行右面的程序框图，如果输入的x 的值为1，则输出的x 的值为( )（A ）4 （B ）13 （C ）40 （D ）121 【答案】C【解析】试题分析：当输入1x =时，第一次循环后的结果是4,2x n ==；第二次循环后的结果是13,3x n ==；第三次循环后的结果是40,4x n ==；此时43>，所以结果为40，故答案为C.【考点】循环结构.4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( )（A ）6斤 （B ）9斤 （C ）10斤 （D ）12斤 【答案】B【解析】试题分析：此问题是一个等差数列{}n a ，设首项为2，则54a =，∴中间3尺的重量为15324333922a a a ++=⨯=⨯=斤．故选：B ． 【考点】等差数列的通项公式． 5．已知534sin )3πsin(-=++αα，)0,2π(-∈α，则)3π2cos(+α等于( ) （A ）54-（B ）53- （C ）53（D ）54【答案】D【解析】试题分析：π34sin()sin sin sin 32665ππαααααα⎛⎫⎛⎫++==+=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π362ππαα⎛⎫⎛⎫+-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π4cos cos sin 32665πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【考点】1.诱导公式；2.三角恒等变换.6．若命题21:(0,),log ()1p x x x∀∈+∞+≥ ，命题2000:,10q x x x ∃∈-+≤R ，则下列命题为真命题的是( )（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()p q ⌝∨ （D ）()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】试题分析：211(0,),2log ()1x x x x x∀∈+∞∴+≥∴+≥ ，所以命题p 是真命题；命题210140x x -+=∴∆=-< ，所以210x x -+>对任意的x R ∈恒成立，所以命题q 是假命题，所以p q ∨为真命题.【考点】命题的真假判断；2.逻辑连词.7．为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆A 的条件下，场馆A 有两名志愿者的概率为( ) （A ）61 （B ）31 （C ）21（D ）65 【答案】C【解析】试题分析：甲被分配到场馆A 的条件下，场馆A 有两名志愿者的安排种数有12326C A =种，场馆A 有一名志愿者的安排种数有22326C A =种，所以甲被分配到场馆A 的条件下，其他志愿者安排的情况共有6612+=种；故在甲被分配到场馆A 的条件下，场馆A 有两名志愿者的概率为61662P ==+. 【考点】1.排列组合；2.古典概型.8．已知实数x ，y 满足60,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩若目标函数z ax y =+的最大值为93+a ，最小值为33-a ，则实数a 的取值范围是（ ）．（A ）1≥a （B ）1-≤a （C ）1≥a 或1-≤a （D ）11≤≤-a 【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由目标函数z ax y =+得y ax z =-+，则直线的截距最大，z 最大，直线的截距最小，z 最小．∵目标函数z ax y =+的最大值为93+a ，最小值为33-a ，∴当目标函数经过点()39，时，取得最大，当经过点()3,3-时，取得最小值，∴目标函数z ax y =+的目标函数的斜率a 满足比0x y -=的斜率小，比0x y +=的斜率大，即11m -≤≤，故选D.【考点】简单线性规划．【方法点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数z Ax By =+，首先，作直线A y x B =-，并将其在可行区域内进行平移；当0B >时，直线Ay x B=-在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当0B <时，直线Ay x B=-在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.9．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )俯视图侧视图正视图11（A ）38 （B ）2 （C ）34 （D ）32【答案】B【解析】试题分析：该三视图的直观图，如下图所示，四棱锥E ABCD -，其中底面ABCD 是直角梯形，由此可知该几何体的体积为()12212232+⨯⨯⨯=，故选B.【考点】空间几何体的三视图.10．在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠= ，1=AB，AD =P 为平行四边形内一点，23=AP ，若AP AB AD λμ=+ （R ∈μλ,），则μλ3+的最大值为( )（A ）1 （B ）34（C ）2 （D ）34【答案】A【解析】试题分析：∵AP AB AD λμ=+，∴22()AP AB AD λμ=+ ，即222222AB AD AB AD λμλμ=++⎝⎭，又1360A B A D B A D==∠=︒，，∴cos60AB AD AB AD ⋅=︒=，∴22334λμ=++，∴22334(41)()λλ=+≤+，∴2)1(λ≤，∴λ的最大值为1，当且仅当612λμ==， 【考点】平面向量数量积的运算．11．已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球O 的体积为36π，则O ，P 两点间的距离为( )（A ）（B ）（C ）3 （D ）6【答案】B【解析】试题分析：连接OP 交平面ABC 于'O ，由题意可得：ABC ∆和PAB ∆为正三角形，所以'3O A ==．因为'AO PO OA PA ⊥⊥，，所以OP APOA AO ='，所以APOP OA AO =⋅='．又因为球的体积为36π，所以半径3OA =，所以OP =【考点】点、线、面间的距离计算．【思路点睛】连接OP 交平面ABC 于'O ，由题意可得：'3O A ==．由'AO PO OA PA ⊥⊥，可得OP APOA AO ='，根据球的体积可得半径3OA =，进而求出答案．12．已知点12F F 、是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12122,3F F OP PF PF =≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) （A ）),25[+∞ （B ）),210[+∞ （C ）]210,1( （D ）]25,1(【答案】C【解析】试题分析：由12|2|F F OP = ，可得OP c = ，即有12PF F 为直角三角形，且12PF PF ⊥，可得2221212||||||PF PF F F += ，由双曲线定义可得12||2PF PF a -= ，又123||PF PF ≥ ，可得2||PF a ≤，即有()22222||||24PF a PF c ++= ，化为()2222||2PF a c a +=-，即有22224c a a -≤ ，可得2c ≤，由ce a=可得1?2e < ，故选：C ． 【考点】双曲线的简单性质．【思路点睛】由直角三角形的判定定理可得12PF F 为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，运用双曲线的定义，可得12||2PF PF a -=，又123||PF PF ≥ ，可得2||PF a ≤ ，再由勾股定理，即可得到2c a ≤，运用离心率公式，即可得到所求范围．二、填空题13．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=--，且当(0,2)x ∈时，()2x f x =，则2(log 80)f =__________． 【答案】54-【解析】试题分析：(1)(1)(2)()f x f x f x f x +=--∴+=- (4)()f x f x ∴+=，又(1)(1)f x f x +=-- ，可得()(f x f x =--，若(2,4)x x ∈∴-∈()()2()22,2,4x f x f x x -∴=--=-，又2(log 80)f = 422(log 2log 5)f =+225log log 524225(4log 5)(log 5)224f f -=+==-=-=-.【考点】1.函数的周期性；2.对数的运算.14．过抛物线x y 42=上任意一点P 向圆2)4(22=+-y x 作切线，切点为A ，则PA 的最小值等于__________．【解析】试题分析：设()222424y P y x y ⎛⎫ ⎪-+=⎝⎭，， 圆心()40C ，，半径 2r =．∴2222222214||()2810141()06y PA PC r y y =-=-+-=-+≥ ，当且仅当y =±(2P ±， 时，取等号．故PA ．【考点】抛物线的简单性质．15．在数列{}n a 中，已知23=a ，前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭(2≥n )，则当3≥n 时，n S =___________． 【答案】125n - 【解析】试题分析：当2n ≥ 时，1n nn a S S-=-，∴22111111()()222n n n n n n n n n S S S S S S S S S ---=--=--+ ，∴112n n n n S S S S ---= ，∴1112n n S S --= ，即数列{1}nS 为等差数列，又323322S S a S S -=-= ()()32121212211S a S a a a a a ∴=+++=-∴+=-，又222212S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()212a a +()21221223a a a a ⎛⎫=+-⇒=-⎪⎝⎭，可得113a =-，又()111121251n n n S S S a =+-=∴-=，所以当3≥n 时，125n S n =-. 【考点】1.数列的递推公式；2.等差数列. 【思路点睛】运用1n n n a S S -=- ，代入化简得出：1112n n S S --=，2n ≥ ，即数列{1}nS 为等差数列，又323322S S a S S -=-=得121a a +=-，又222212S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得()212a a +()21212a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得223a =-，进而求出113a =-，再根据等差数列的通项公式即可求出结果.16．已知函数()e (e )x x f x x a =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：'()e (12e )x xf x x a =+- ，由题可知，'()0f x =有两个根，所以12e 0xx a +-=有两根，即()1e 12x x a=+有两根，即函数x y e =与函数()112y x a =+的图像有两个交点，由于函数()112y x a=+必过点()1,0-，设过点()1,0-且与函数x y e =相切的直线l 的切点坐标为(),m m e ，所以切线l 的方程为()m m y e x m e =-+，所以0(1)0m m e m e m =--+⇒=，故切线方程为1y x =+，此时直线l 斜率为1，故1110,22a a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭. 【考点】函数的极值.【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．三、解答题17．如图，点P 在ABC ∆内，2==CP AB ，3=BC ，π=∠+∠APC ABC ，设α=∠ABC ．PCB A（Ⅰ）用α表示AP 的长；（Ⅱ）求四边形ABCP 面积的最大值，并求出此时α的值． 【答案】（Ⅰ）34cos AP α=- ；（Ⅱ）2【解析】试题分析：(1)在三角形ABC 中，由AB BC ，及cos B ，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC 中，由AP PC ，及cos P ，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC ，得到关于AP 的方程，整理后可用α表示AP 的长；(2)由三角形的面积公式表示出三角形ABC 及三角形APC 的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP 的面积，整理后将表示出的AP 代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP 的面积的最大值，以及此时α 的值． 试题解析：解：（Ⅰ）在中，，，由余弦定理得：， 2分在中，，，设，由余弦定理得：， 3分所以， 4分 所以，解得. 6分（Ⅱ）四边形的面积，因为， 7分， 9分所以， 10分所以当，即时， 11分四边形的面积的最大值为． 12分.【考点】余弦定理．18．某商家每年都参加为期5天的商品展销会，在该展销会上商品的日销售量与是否下雨有关．经统计，2015年该商家的商品日销售情况如下表：以2015年雨天和非雨天的日平均销售量估计相应天气的销售量．若2016年5天的展销会中每天下雨的概率均为%06，且每天下雨与否相互独立． （Ⅰ）估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数； （Ⅱ）该商品成本价为90元/件，销售价为110元/件．（ⅰ）将销售利润X （单位：元）表示为2016年5天的展销会中下雨天数t 的函数； （ⅱ）由于2016年参展总费用上涨到2500元，商家决定若最终获利大于8000元的概率超过0.6才继续参展，请你为商家是否参展作出决策，并说明理由．【答案】（Ⅰ）550；（Ⅱ）（ⅰ）12500500,N X t t =-∈；（ⅱ）商家应决定参加2016年的展销会【解析】试题分析：（Ⅰ）由该商家的商品日销售情况表可知：2015年雨天的日平均销售量为件，非雨天的日平均销售量为件，可设2016年5天的展销会中下雨的天数为，则，据此即可求出结果；（Ⅱ）（ⅰ）依题意得，销售利润=由此即可求出结果；（ⅱ）设商家最终获利为，则，若最终获利大于8000元，则，解得，所以，又因为，所以最终获利大于8000元的概率为：．试题解析：解：（Ⅰ）由2015年该商家的商品日销售情况表可知： 2015年雨天的日平均销售量为件，非雨天的日平均销售量为件，设2016年5天的展销会中下雨的天数为，则，所以， 4分所以估计2016年5天的展销会有3天下雨，2天不下雨， 所以估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数为（件）. 5分（Ⅱ）（ⅰ）依题意得，销售利润==，．（ⅱ）设商家最终获利为，则， 若最终获利大于8000元，则，解得，所以，又因为，所以最终获利大于8000元的概率为：9分．所以商家应决定参加2016年的展销会． 注：本小题也可用对立事件的概率计算．．所以商家应决定参加2016年的展销会．【考点】1.古典概型及其概率计算公式；2.数学期望和方差.19．如图，正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ，且⊥AE 平面CDE ．ABCDE（Ⅰ）求证：平面⊥ABCD 平面ADE ；（Ⅱ）若2=CD ，1=AE ，求二面角B DE A --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）因为平面，平面，所以，在正方形中，，又因为，所以平面， 再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（Ⅱ）在平面内，过作，由（Ⅰ）知平面，所以，所以，又平面，所以两两垂直．以，，分别为轴，建立空间直角坐标系，然后再利用空间向量即可求出结果.试题解析：解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以， 2分在正方形中，，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面（Ⅱ）在平面内，过作，由（Ⅰ）知平面，所以，所以，又平面，所以两两垂直．以，，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，因为，所以，又，所以，所以，，，，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，所以由，得，令，则， 10分所以，设二面角为，所以．【考点】1.线面垂直的判定定理；2.面面垂直的判定定理；3，,空间向量；4.二面角. 【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中1212cos ||||n n n n ω⋅=⋅.20．1F 、2F 分别是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，M是E 上任意一点，N 是线段M F 1的中点．已知O NF 1∆的周长为3，面积的最大值为43． （Ⅰ）求E 的标准方程；（Ⅱ）过1F 作直线l 交E 于B A ,两点，)0,5(-P ，以PB PA ,为邻边作平行四边形PAQB ，求四边形PAQB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，，周长为，可得，……①又面积，可得，……②，由即可求出椭圆方程；（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，，， 9分设，则，，然后再利用基本不等式即可求出结果.试题解析：解：（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，，周长为，即，……① 2分又面积，所以当时，最大，所以，……② 4分由解得，所以的标准方程为．（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，，，设，则，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，四边形面积的取值范围．【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.21．已知a ∈R ，函数()ln()f x x a x =+-，曲线()y f x =与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数m 使得)e 1()(x m xx f ->恒成立？若存在，求实数m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减．；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）设切点为，，依题意解得 所以，，即可求出结果．（Ⅱ）等价于或令，，则，，然后再对m进行分类讨论，即可求出结果.试题解析：解：（Ⅰ）设切点为，，依题意即解得 3分所以，．当变化时，与的变化情况如下表：所以在上单调递增，在上单调递减． 5分（Ⅱ）存在，理由如下： 6分等价于或令，，则，，①若，当时，，，所以；当时，，，所以，所以在单调递减区间为，单调递增为， 又，所以，当且仅当时，，从而在上单调递增，又，所以或即成立． 9分②若，因为，，所以存在，使得，因为在单调递增，所以当时，，在上递增，又，所以当时，， 从而在上递减，又，所以当时，，此时不恒成立； 11分③若，同理可得不恒成立．综上所述，存在实数． 12分.【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.分类讨论. 22．选修4-1：平面几何选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆O 于点F ，且AB CF //．G（Ⅰ）证明： BC CD =；（Ⅱ）过点C 作圆O 的切线交AB 的延长线于点G ，若=BC 6，2=BD ，求CG的长．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD，而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，即可证明结果.（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以∽，所以，因为，，又由（Ⅰ）知，，可得，因为是圆的切线，所以根据切割线定理可得：，即可求出结果.试题解析：解：（Ⅰ）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，所以CD＝BC. 5分（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以∽，所以，因为，，又由（Ⅰ）知，，所以，所以，因为是圆的切线，所以根据切割线定理可得：，所以． 10分.【考点】与圆有关的线段问题.【一题多解】（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以，因为A ，B ，C ，F 四点共圆，所以，所以∽，所以，过点C 作CMAB 于M ，由（Ⅰ）知：，所以M 是BD 中点，又因为所以，由（Ⅰ）知：，所以，，所以，所以，所以．23．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=OM ：3π=θ与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2【解析】试题分析：（Ⅰ）把22cos sin 1ϕϕ+= 代入圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+=⎧⎨⎩(ϕ为参数)，消去参数化为普通方程，把cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩代入可得圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）设11()P ρθ， ，联立2c o s 3ρθπθ==⎧⎪⎨⎪⎩，解得11ρθ， ；设22()Q ρθ， ，联立()23sin ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22ρθ， ，可得PQ ． 试题解析：解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即． 5分（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．在的极坐标方程中令，得，所以．所以． 10分【考点】1.参数方程化成普通方程；2.简单曲线的极坐标方程． 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数122)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式2)(-≥x f 的解集M ；（Ⅱ）对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ），当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以；进而求出结果；（Ⅱ）令，当直线经过点时，，所以当即时成立；当即时，令，得，所以，即，即可求出结果.试题解析：解：（Ⅰ），当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以；综上，不等式的解集为． 5分（Ⅱ）令，当直线经过点时，，所以当即时成立；当即时，令，得，所以，即，综上或． 10分【考点】绝对值不等式.【一题多解】（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设因为对任意，都有成立，所以．①当时，，所以所以，符合．②当时，，所以所以，符合．综上，实数的取值范围是．。
【福建省(福州一中、福州三中、福安二中)】2016届高三基地校总复习综合卷数学(理)试卷
x
3．已知命题 p：x R ，e1 ；命题 q：x0 R ， xx0202 l o g ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． pq B． pq C． pq D． pq
4． (12)(1)xx34展开式中 x 项的系数为（ ）
A．10 B． 10 C．2 D． 2
5．《张丘建算经》是我国古代数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今
A．13 B．6 C．7 D． 13
- 1 - / 5
9．已知正三棱锥 PABC 中，E，F 分别是 AC，PC 的中点，若 EFBF ， AB 2 ，则三棱锥 PABC 的
A． B． 31 C． D． 5
3 2
8．在△ABC 中， CBCA 6 ， BCBA 7 ，那么 BC （ ）
外接球的表面积为（ ）
A． 4π B． 6π C．8π D．12π
π π
福建省（福州一中、福州三中、福安二中）
2016 届高三基地校总复习综合卷数学(理)试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
xy22
7．设 F1 ， F2 分右支上存在一点 P，使得
10．已知函数 fxx()sin(2) ，其中 为实数，若 f( x ) | f ( ) | 对 xR 恒成立，且 ff()( π) ，则 fx()
6 2
A．0.55 尺 B．0.53 尺 C．0.52 尺 D．0.50 尺
6．某程序框图如下图所示，若输出的 S 57 ，则判断框内为（ ）
A． k 4？ B． k 5？ C． k 6？ D． k 7？
福建省福州第三中学高三数学模拟考试试题 理
数学（理）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1、已知复数iia +在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上，则实数=a （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、22、如果()k ,1=，()4,k =，那么“b a //”是“2-=k ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、已知),0(~2a N ξ，且)02(≤≤-ξP =0.4，则=>)2(ξP （ ）A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 4、对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（ ） A 、若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B 、若m αα∥,n ∥,则m ∥nC 、若,m n αα⊂∥,则m ∥nD 、若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5、从5名男生和5名女生中任选3人参加某集体项目的比赛，其中至少有一名男生入选的组队方案数为（ ）A 、90B 、100C 、110D 、120 6、由曲线23x y -=和x y 2=围成的图形的面积为（ ），，(nx x ++-A 、322 B 、332 C 、316 D 、328 7、若1()nx x展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中常数项的值等于（ ）A 、8B 、16C 、80D 、708、已知y x ,满足条件5003x y x y x -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 42+=的最小值为（ ）A 、6B 、-6C 、5D 、-59、设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点()()1,1g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A 、2 B 、41-C 、4D 、21- 10、已知集合{}332210333⨯+⨯+⨯+==a a a a x x A ，其中{}2,1,0∈i a ()3,2,1,0=i 且03≠a ，则A 中所有元素之和等于（ ）A 、3240B 、3120C 、2997D 、2889 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11、已知函数⎩⎨⎧<-≥=,1,,1,2)(x x x x f x 若4)(=x f ，则=x12、阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填 的是13、以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形有一个内角为︒60，则双曲线C 的离心率为______14、已知、、为两两垂直的单位向量，非零向量)R ,,(321321∈++=a a a a a a ，若向量a 与向量i 、、k 的夹角分别为α、β、γ，则=++γβα222cos cos cos 15、已知函数()⎩⎨⎧∈∈=QC x Qx x f R ,0,1,给出下列结论：（1）()()03=ff ； （2）函数fx 是偶函数； （3）函数f x 是周期函数；（4）存在()3,2,1=∈i R x i ,使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i 为顶点的三角形是等腰直角三角形；其中，所有正确的结论是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =（Ⅰ）求cos A 及sin C 的值； （Ⅱ）若2b ，求ABC ∆的面积.17．（本小题满分13分）某汽车驾驶学校在学员结业前，要对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。
2016年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2 C． D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2 C．3+2 D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A． B． C． D．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12 C．18 D．3611．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A． B． +1 C． D．12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2 C． D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），∴cos（α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）=﹣，则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．故选：D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示；∴它的表面积为S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++．故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．3D ．4【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x 2的系数可求．【解答】解：（1﹣x ）6（1+x ）4 =（1﹣2x +x 2）（1﹣x 2）4=（1﹣2x +x 2）．∴（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是．故选：B ．8．已知抛物线C ：y 2=8x 与直线y=k （x +2）（k ＞0）相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，根据|FA |=2|FB |，推断出|AM |=2|BN |，点B 为AP 的中点、连接OB ，可知|OB |=|AF |，推断出|OB |=|BF |，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12 C．18 D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A． B． +1 C． D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF2的中点A，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴c=|PF2|，∴e===故选B12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，∴﹣2016＜x＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin （2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O 的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 31C 42种不同的选法；（2）A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 32C 41种不同的选法． ∴根据分类计数原理知不同的选法共有C 31C 42+C 32C 41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P （1＜x ＜2）=0.5﹣0．=4， 则在（2，3）内取值的概率P （2＜x ＜3）=P （1＜x ＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，且a=3，则△ABC 面积的最大值为 ．【考点】正弦定理．【分析】由（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3，利用正弦定理可得（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ，化简利用余弦定理可得A ，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∵（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3，∴（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ，∴b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴cosA==，∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号．∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式； （ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，②①﹣②得：a n =a n ﹣a n ﹣1，即：a n =3a n ﹣1（n ≥2），又∵a 1=1，a 2=3，∴对n ∈N *都成立，故{a n}是等比数列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的分布列为X 02 31PX的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．。
福建省福州第三中学高三数学模拟考试(最后一卷)试题
福建省福州第三中学2016届高三数学模拟考试（最后一卷）试题 文（含解析）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合}2,1{=A ,}02|{=-=mx x B ，若A B ⊆，则实数m =（ ） A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或1或2 【答案】D考点：集合之间的关系.(2) 设复数i z +=1 (i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则|)1(|z z ⋅+=（ ） A. 10 B.2 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】试题分析：(1)z z +⋅()()213+10i i i-+==考点：复数的运算.(3) 有两枚正四面体骰子，各个面分别标有数字1，2，3，4，若同时抛掷两枚骰子，则两枚骰子底面2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A.16 B. 14 C. 13 D. 12【答案】B 【解析】试题分析：若同时抛掷两枚骰子，则共有4416⨯=种可能，则两枚骰子底面2个数之差的绝对值为2的有()()()()1,3,3,1,2,4,4,2，共有4种，故同时抛掷两枚骰子，则两枚骰子底面2个数之差的绝对值为2的概率是41164=. 考点：古典概型.(4) 命题“02,>∈∀x R x ”的否定是（ ） A. 02,≤∈∀x R x B. ∃,0R x ∈020>xC. ∃,0R x ∈020≤x D. R x ∈∀0,020≤x【答案】C 【解析】试题分析：命题“02,>∈∀x R x ”的否定是∃,0R x ∈020≤x .考点：命题的否定.(5) 椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为2,1F F ，过2F 作直线l 垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若若1F AB V 为等腰直角三角形，且0190=∠B AF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A. 21-B. 212-C. 22-D. 22【答案】A考点：椭圆的简单性质．【思路点睛】由于2AF x ⊥轴，可得2b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．由于1F AB V 为等腰直角三角形，可得122||F F AF = ，于是22b c a =，再利用222cb ac e a=-=， 即可得出．(6) 在等比数列{}n a 中，8,20453==+a a a ，则26a a +=（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 34【答案】D考点：等比数列的性质.(7) 若如下框图所给的程序运行结果为28=S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A. 8=kB. 7≤kC. 7<kD. 7>k 【答案】D 【解析】试题分析：模拟算法：初始值：10,1k S ==，判断条件成立；11011,1019S k =+==-=，判断条件成立；11920,918S k =+==-=，判断条件成立；20828,817S k =+==-=，判断条件成立；28735,716S k =+==-=，判断条件不成立，输出35S =，结束算法．由此可得判断框中应填6k >，故选D ． 考点：程序构图．(8) 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 【答案】C考点：三视图.(9) 已知双曲线122=-ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线y x 82=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为（ ）30x y ±＝ B. 30x ±= C.20x y ±＝ D. 20x y ±＝ 【答案】B 【解析】试题分析：因为抛物线y x 82=的焦点为()2,0，所以4m n +=，又双曲线122=-ny m x 的离心率为2，所以41,3m nm n m+=⇒==，所以双曲线的渐近线方程为30x ±=. 考点：1.双曲线的性质；2抛物线的性质. (10) 函数xx y -=sin 1的一段大致图象是（ ）【答案】A【解析】试题分析：∵1sinyx x=-，∴11()()sin sinf x f xx x x x-==-=--+-，∴函数()f x为奇函数，所以排除B，C答案，当x→+∞时，sinx x-→+∞，∴0y→，∴排除D，所以选A.考点：函数图象.(11) 在ABC△中，内角A,B,C的对边分别是,,a b c,若2sinsin=CB，bcca322=-，则角A=（）A. 0150 B. 0120 C. 060 D. 030【答案】B考点：1.正弦定理；2余弦定理.【思路点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题，熟练掌握公式是解决此类问题的关键.首先根据正弦定理可知2b c=，然后再根据bcca322=-，可得227a c=，然后再利用角A的余弦定理的推论，即可求出角A的余弦值，再根据()0,180A∈︒，即可求出结果.(12) 设函数)(xf的定义域为R，⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤--=10,131,)(xxxxfx，且对任意的Rx∈都有)(1)1(x f x f -=+，若在区间]1,5[-上函数m mx x f x g +-=)()(恰有5个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡--61,41 B. ⎥⎦⎤⎝⎛--41,21 C. ]0,61(- D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛--61,21【答案】A考点：1.函数的零点；2.函数的周期性.【思路点睛】首先根据题意，：设函数()(1)h x m x =-，可知()h x 必过点()1,0；再根据)(1)1(x f x f -=+，可知函数()f x 是周期为2的周期函数，再根据函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤--=10,1301,)(x x x x f x 即可作出函数()f x 的图像；由在区间]1,5[-上函数m mx x f x g +-=)()(恰有5个不同零点，等价于()f x 与()h x 的函数图像有5个不同的交点；据此即可求出结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州三中高三数学理科模拟考试卷
福建省福州三中高三数学理科模拟考试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么A P (·)()A P B =·)(B P如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk nn P P C k P --=)1()( 球的表面积公式24R S π=球，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=球，其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果全集,{|24},{3,4},U R A x x B ==<≤=则U A C B ⋂等于 （ ）A ．)4,3()3,2(B ．（2，4）C ．]4,3()3,2(D ．]4,2(2.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(om P --，且54cos -=α，则m 的值是（ ） A 、21-B 、23-C 、23D 、213．如果向量 (,1)a k =与(4,)b k =共线且方向相反，则k = （ ）A ．±2B ．-2C ．2D ．04．若不等式|2x －3|>4与不等式x 2+px+q>0的解集相同，则qp= （ ） A 、127 B 、712- C 、712 D 、43- 5．设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时， ( ) A 、乙是丙的充分而不必要条件 B 、乙是丙的必要而不充分条件C 、乙是丙的充分且必要条件D 、乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 6．函数lg(10)y x x =-的图象大致形状是 （ ）xOy1Oxy 1 Oxy1 Oxy1A. B. C. D.7．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是 （ ）A ． 25310C CB ．25310A AC ．25410C CD ．2539C C8.若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过（m ，n ）的直线与椭圆14922=+y x 的 交点个数为（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 9．数列n n S a a ,1,}{1=中是其前n 项的和，当2n ≥时，n n S a 3=，则=-++∞→31lim1n n n S S （ ）A ．31-B ．92 C ．75-D ．54-10.已知函数f(x)是偶函数，且当[0,)x ∈+∞时，f(x)＝x －1，则不等式f(x-1)＜0的解集为（ ）A.（－1,0）B. （－∞，0）∪（1,2）C.（0,2）D.（1,2）11．如图，建筑工地有一用细砂堆成的多面体，其上下两个底面平行且都是矩形，上底面矩形的两边分别为6米与3米，下底面矩形的 长边为10米，若此多面体的四个侧面与底 面所成的二面角都相等，则其下底面的短边 边长为（ ）A ．7米B ．6米C ．5米D ．4米12．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()xf x f x '>-恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. ()()af b bf a > B. ()()af a bf b > C. ()()af a bf b < D. ()()af b bf a <第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．设72)1(,11)1(z iii z +-+-+=则展开式中的第4项是 . 14．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为?m3m6m15.已知实数x,y 满足约束条件1020()1xay xy aR x，目标函数3zxy 只有当10xy时取得最大值，则a 的取值范围是 . 16．“神六”上天并顺利返回，让越来越多的青少 年对航天技术发生了兴趣。
2016年福州市普通高中毕业班综合测试理科数学
2016年福州市普通高中毕业班综合测试理科数学D（1）（2） {}12x x - （3） 复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （4） 函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数 （C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数 （5） 在ABC ∆中，5AB AC ⋅=,4BA BC ⋅=，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （6） 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.5 （7） 若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最降水量X100X < 100200X < 200300X < 300X 工期延误天数0 5 15 30 0.40.20.10.3小值等于 （A ）2- （B ）32- （C ）12- （D ）12（8） 执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34 （D ）55 （9）512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60 （C ）90 （D ）120 （10）正项等比数列{}na 满足11a =,2635a a a a+=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a aa ++ （B ）n ∃∈*N ，212nn n aa a +++= （C ）n ∀∈*N ，1nn Sa +< （D ）n ∃∈*N ，312nn n n aa a a ++++=+（11）双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E 左支上一点，112PFF F =，直线2PF 与圆222xy a +=相切，则E 的离心率为（A ）54（B 3（C ）53 （D 23（12） 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（A ）2 （B 42 （C 43（D ）3 （13）设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x 成立，则m =（A ）15 （B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．（14） 已知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ． （15） 所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ． （16） 抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ． （17） 数列{}na 的前n 项和为nS ．已知12a =,1(1)2nn nS S n ++-=，俯视图2122则100S=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（18）（本小题满分12分）ABC∆的内角A,B,C所对的边分别为,,a b c，已知tan21tanA cB b+=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若BC边上的中线22AM=，高线3AH=，求ABC∆的面积．（19）（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；附：优分非优分总计男))()()((2d b c a d c b a K ++++=（20） （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． （21） （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值． （22） （本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． （23） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是BAC 的中点，∠BAC 的平()2P K k0.100 0.050 0.010 0.001 kOFECB AE DCBA P分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线； （Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值． （24） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系． （Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． （25） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C（7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）1（14）8π（15）32（16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， 2分 即sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠， 所以1cos 2A =， ······························· 4分 又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ··············· 5分 （Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+， 即2221(2)4AMAB AC AB AC =++⋅，所以2232c b bc ++=，① ······················· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅， 33a =，即2bc a =，② ·················· 9分又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ · 10分联立①②③，得2()3222bc bc =-， 解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A == ······· 12分 （18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：·············································· 2分假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121)3.125n ad bc k -⨯-⨯===，优分 非优分 总计男因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． ······ 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率． ················································ 7分设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ，9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ············································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··············· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥． 又因为AP AB A =， 所以DF ⊥平面PAB ． ······················· 3分 因为点E 是PB 中点， 所以//EF AB ，且2AB EF =． ·················· 4分 又因为//AB CD ，且2AB CD =， 所以//EF CD ，且EF CD =，所以四边形EFDC 为平行四边形， 所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ········ 6分（Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ··············· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =， 所以222222232,AP AF AD DF ==-=-= 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =，所以PO ⊥平面ABCD ． · 8分 故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)2E ， 所以(1,0,3)PD =--，(1,2,3)PC =--，33(,0,)2EC =--，9分 设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ····················· 10分 设EC 与平面PDC 所成的角为α， 则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n ， ················· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=， 所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6．12分 （20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2APyk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BPykx =-（2x ≠）． ················· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ················· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）．4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()0,P x y （02x ≠±），则2214x y +=． ········ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062My yx =+； ····················································· 6分 直线BP 的方程为()022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022Ny yx =-；····················································· 7分 设在点P 处的切线方程为()0y y k x x -=-， 由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 8分 由0∆=，得()()()222264161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦， 整理得2222214y kx y k x k -+=+．将()22220001,414x y x y =-=-代入上式并整理得2202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-，····················································· 9分 所以切线方程为()04x y y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Qx x x y x x x yy y y y y ---+-=-===．···················································· 10分设MQ QN =λ，所以()Q M N Qy y y y -=-λ，所以000162122x y y x y x x y⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ····················· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将2214x y =-代入上式，02+(2+)22x x -=-λ，解得1=λ，即1MQ NQ=． ···························· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设()0,P x y （02x ≠±），则22014x y+=． ········ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062My yx =+； ····················································· 6分 直线BP 的方程为()022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022Ny yx =-；····················································· 7分 设在点P 处的切线方程为()0y y k x x -=-， 由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 8分 由0∆=，得()()()222264161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦， 整理得2222214y kx y k x k -+=+．将()22220001,414x y x y =-=-代入上式并整理得2202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-，····················································· 9分 所以切线方程为()04x y y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Qx x x y x x x yy y y y y ---+-=-===．···················································· 10分所以()()00228181621222244MNQx y x y yy xy y y x x x y y---+=+====+---，11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ········· 12分 （21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）()1e xf x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ······ 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩····································· 3分 所以()1e 1xf x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ······················································ 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x --'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ············ 6分（ⅰ）若12m，因为当1x >时，1e1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>， 所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立．9分 （ⅱ）若12m >， 可得1211()e()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减， 又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立． 纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ···· 12分 请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． （22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ，则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， 2分 所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线．5分 （Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ······················· 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-， 所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····················· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C xy x +-=， ··································· 2分G O'ECODBA将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ····· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ··············· 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=， 所以3C 的方程为221x y +=． ························ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =． 又π||4cos 23OA ==， 所以||||||1AB OA OB =-=． ······························ 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩或3,321,x x x >-⎧⎨+<+⎩····························· 2分 解得2x >．依题意2m =． ······································ 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭时取等号， ··············· 7分 因为关于x 的方程1||||2x t x t -++=（0t ≠）有实数根， 所以12t t+． ······································ 8分另一方面，12t t+，所以12t t +=， ······································ 9分 所以1t =或1t =-． ·································· 10分。
福建省福州第三中学2016届高三模拟考试(最后一卷)理科综合试题 含答案
福州三中2016年高三校模拟考理综试卷全卷满分300分。
考试用时150分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ge 72.6 Ag 108第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞的结构与功能相匹配的一组是2．下列有关实验叙述正确的是A．将新鲜梨汁与斐林试剂混合后会出现砖红色B．提取菠菜叶片中的色素需用70%的酒精C．用花生子叶为实验材料进行脂肪鉴定时，需用50%盐酸溶液洗去浮色D ．在探究培养液中酵母菌数量动态变化实验中,无需设置空白对照组3．下图是细胞内发生的可遗传变异示意图，下列叙述正确的是A ．该变异属于基因重组B ．该变异可发生在减数分裂过程中C ．该变异使基因种类和数目增加D ．该变异是引起镰刀型细胞贫血症的根本原因4．多巴胺是兴奋性神经递质,正常情况下发挥作用后的多巴胺会被突触前膜回收.下列相关叙述正确的是A ．多巴胺可使突触后膜钾离子通透性增加B ．突触前膜以主动运输方式释放多巴胺C ．多巴胺与受体结合实现了电信号到化学信号的转换D ．抑制突触前膜上的多巴胺载体会导致突触后膜持续兴奋 5．注射乙肝疫苗,可预防乙型肝炎.下列说法正确的是 A ．疫苗可以直接与乙肝病毒结合来清除病毒 B ．疫苗可刺激浆细胞产生淋巴因子C ．疫苗可刺激B 细胞增殖分化成记忆细胞D ．当乙肝病毒进入人体，记忆细胞能快速产生抗体 6．下列关于植物生长素的叙述，正确的是A ．生长素是由色氨酸转化形成的蛋白质,在体内含量极少B ．植物的顶端优势现象说明生长素的生理作用具有两重性C ．用生长素处理已受粉的雌蕊柱头可以获得无籽番茄D. 抑制细胞的呼吸不会影响生长素的极性运输7．化学与人类生产、生活密切相关，下列说法正确的是A．蚕丝和棉花的组成元素相同，结构不同，因而性质不同B．汽车尾气中含有的氮氧化物,是汽油不完全燃烧造成的C．古代的陶瓷、砖瓦、现代的玻璃、水泥等，都是硅酸盐产品D．工业上通过电解熔融的氯化物制取Na、Mg、Al三种金属8．用N A表示阿伏加德罗常数的值，则下列叙述正确的是A．常温常压下，46g有机物C2H6O中含有C—H键的数目一定为6N AB．同温同压下，5。
福州市2016届5月高三综合质量数学理科试题含答案(WORD版)
WORD 完整版----可编辑----教育资料分享2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=,4BA BC ⋅=，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于 （A ）2-（B ）32-降水量X 100X <100200X <200300X <300X工期延误天数Y 0 5 15 30 概率P0.40.20.10.3WORD 完整版----可编辑----教育资料分享 （C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++（B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x 成立，则m = （A ）15（B ）25（C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．15、抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．正视图 侧视图俯视图2122三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点()2P K kk优分 非优分 总计 男生 女生总计 50EDCB A P21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．F3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15） （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················· 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，=，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC的面积1sin 2S bc A == ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， 因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． ·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率． ··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =， 所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-= 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =，所以PO ⊥平面ABCD ． ········································· 8分 故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--，(1,2,3)PC =--，33(,0,)22EC =--，··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ， 则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分 设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ·············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则 直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ··························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ························································ 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ······································ 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ·············································· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M y y x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N y y x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分 设MQ QN =λ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ·············································· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M y y x =+； ······ 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N y y x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ·················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m ，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减， 又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分 所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ·······················································因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AF AE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=． ········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推。
福建省福州市高考数学模拟试卷(理科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2C．3+2D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4B．12C．18D．3611．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin （）cos （α）=sin （α﹣），∴cos （α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin （）=﹣，则cos2α=sin （）=2sin （）cos （α）=2×．故选：D ．5．若实数x ，y 满足不等式组目标函数t=x ﹣2y 的最大值为2，则实数a 的值是（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．2 【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x ﹣2y 的最大值为2，确定约束条件中a 的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A （2，0）是最优解，直线x +2y ﹣a=0，过点A （2，0）， 所以a=2， 故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++ 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来． 【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示； ∴它的表面积为 S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++． 故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3 C ．3 D ．4 【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x 2的系数可求． 【解答】解：（1﹣x ）6（1+x ）4 =（1﹣2x +x 2）（1﹣x 2）4=（1﹣2x +x 2）．∴（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是．故选：B ．8．已知抛物线C ：y 2=8x 与直线y=k （x +2）（k ＞0）相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4B．12C．18D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF 2的中点A ，利用=2，可得⊥，从而可得PF 1⊥PF 2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF 2的中点A ，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O 是F 1F 2的中点 ∴OA ∥PF 1， ∴PF 1⊥PF 2，∵|PF 1|=|PF 2|，∴2a=|PF 1|﹣|PF 2|=（﹣1）|PF 2|，∵|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， ∴c=|PF 2|，∴e===故选B12．已知偶函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′（x ），当x ＜0时有2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，C ，则不等式（x +2014）2f （x +2014）﹣4f （﹣2）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2012） B ．（﹣2016，﹣2012） C ．（﹣∞，﹣2016） D ．（﹣2016，0） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x ，∵x ＜0，∴会得到2xf （x ）+x 2f ′（x ）＜x 3，而这时不等式的左边是（x 2f （x ））′，所以构造函数F （x ）=x 2f （x ），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f （x ）的奇偶性，得到F （x ）是偶函数，发现不等式（x +2014）2f （x +2014）﹣4f （﹣2）＜0可以变成F （x +2014）＜F （﹣2）=F （2），从而|x +2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，（x ＜0）； 得：2xf （x ）+x 2f ′（x ）＜x 3 即[x 2f （x ）]′＜x 3＜0； 令F （x ）=x 2f （x ）；则当x ＜0时，F'（x ）＜0，即F （x ）在（﹣∞，0）上是减函数； ∴F （x +2014）=（x +2014）2f （x +2014），F （﹣2）=4f （﹣2）； 即不等式等价为F （x +2014）﹣F （﹣2）＜0； ∵F （x ）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，f （﹣x ）=f （x ）， ∴F （﹣x ）=F （x ），F （x ）在（0，+∞）递增，∴由F （x +2014）＜F （﹣2）=F （2）得，|x +2014|＜2， ∴﹣2016＜x ＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）． 故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】由（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化简利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∵（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，∴（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号．∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式；（ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得：a n =a n ﹣a n ﹣1， 即：a n =3a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=1，a 2=3，∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列，∴．（ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的分布列为2 3X 01PX的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．2016年10月6日。
2016年福建省数学基地校总复习综合试卷(福州一中、福州三中、福安二中理科)
2016届高三数学（理科）模拟试卷（完卷时间120分钟 满分150分） 福州一中（执笔） 福州三中 福安二中注意事项： （满分：150分 考试时间120分钟）1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若复数12a iz i+=-（a R ∈，是虚数单位）是纯虚数，则2a i +等于（ ） （A ） 2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 （2）已知集合}06|{2≤--∈=x x x XZ ，},1|{2R ∈-==x x y y Y ，则X Y =（ ）（A ）{3,2,1,0}--- （B ）{2,1,0}--（C ）{3,2,1,0,1}---（D ）{2,1,0,1}--（3）已知命题R ∈∀x p :，1e >x ；命题R ∈∃0:x q ，020log 2x x >-，则下列命题中为真命题的是（ ） （A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝（C ）q p ⌝∧（D ）q p ⌝∧⌝（4）()()34121x x +-展开式中x 项的系数为（ ）（A ）10（B ）10- （C ）2（D ）2-（5）《张丘建算经》是我国古代数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺，问：每天多织多少布？”已知匹=4丈，丈=10尺，估算出每天多织的布约有（ ） （A ）055.尺 （B ）053.尺 （C ）052.尺 （D ）050.尺 （6）某程序框图如下图所示，若输出的57S =，则判断框内为( )（A ）4?k > （B ）5?k > （C ）6?k > （D ）7?k >（7）（7）设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=(a ﹥0,b ﹥0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()022=⋅+P F OF OP ，其中O 为坐标原点，且122PF PF =，则该双曲线的离心率为( )结束是输出 S 否11S ,k ==1k k =+2S S k=+开始A.233 B.31+ C.52D.5 （8）在ABC ∆中，6=⋅CA CB ，7=⋅BA BC ，那么=BC （ ） （A ）13（B ）6 （C ）7（D ）13（9）已知正三棱锥P －ABC 中，E ，F 分别是AC ，PC 的中点，若EF ⊥BF ，2=AB ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为（ ）（A ）4π （B ）6π （C ）8π （D ）12π （10）已知函数()()2f x sin x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（ ）（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（C ）()263k ,k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ （11）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线和虚线画出的是某四面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）（A ）52（B ）24（C ）6（D ）34（12）已知定义在()0,+∞上的函数()y f x =满足：()()xxf x f x xe '-=(e 为自然对数的底数)且()13f =-，()20f =，则函数()y f x =（ ） （A ）有极小值，无极大值 （B ）有极大值，无极小值 （C ）既有极小值又有极大值 （D ）既无极小值，又无极大值EDCBA第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2016届福建省福州三中高三最后模拟理科数学试卷学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A．B．C．D．
2. 已知集合,，则等于( )
A．B．C．D．
3. 执行右面的程序框图，如果输入的的值为1，则输出的的值为( )
A．4 B．13 C．40 D．121
4. (数学文卷·2017届辽宁省铁岭市协作体高三上学期第四次联考第4题) 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间3尺的重量为（）
A．6斤B．9斤C．10斤D．12斤
5. 已知，，则等于( ) A．B．C．D．
6. 若命题，命题，则下列命题为真命题的是( )
A．B．C．D．
7. 为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆的条件下，场馆
有两名志愿者的概率为( )
A．B．C．D．
8. 已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（）．
A．B．C．或D．
9. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )
A．B．
C．D．
10. 在平行四边形中，，，，为平行四边形
内一点，，若（），则的最大值为( )
A．1
B．C．
D．
11. 已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为( ) A．B．C．3 D．
12. 已知点是双曲线：（，）的左、右焦点，
为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知函数满足，且当时，，则
__________．
14. 过抛物线上任意一点向圆作切线，切点为，则
的最小值等于__________．
15. 在数列中，已知，前项和满足()，则当时，___________．
16. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是
____________．
三、解答题
17. 如图，点在内，，，，设
．
（Ⅰ）用表示的长；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值，并求出此时的值．
18. 某商家每年都参加为期5天的商品展销会，在该展销会上商品的日销售量
日期6月18
日6月19
日
6月20
日
6月21
日
6月22
日
天气小雨小雨多云多云晴
日销售量
（单位：
件）
97 103 120 130 125
以2015年雨天和非雨天的日平均销售量估计相应天气的销售量．若2016年5天的展销会中每天下雨的概率均为，且每天下雨与否相互独立．
（Ⅰ）估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数；
（Ⅱ）该商品成本价为90元/件，销售价为110元/件．
（ⅰ）将销售利润（单位：元）表示为2016年5天的展销会中下雨天数的函数；
（ⅱ）由于2016年参展总费用上涨到2500元，商家决定若最终获利大于8000元的概率超过0.6才继续参展，请你为商家是否参展作出决策，并说明理由．
19. 如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
20. 、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点．已知的周长为，面积
的最大值为．
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交于两点，，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围．
21. 已知，函数，曲线与轴相切．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
22. 选修4-1：平面几何选讲
如图，，分别为边，的中点，直线交的外接圆
于点，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）过点作圆的切线交的延长线于点，若，，求的长．
23. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程是．记射线：与圆分别交于点，，与直线交于点，求线段的长．
24. 选修4-5；不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．。