2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷(一模)

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2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷(一模)

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x|1x +<2}，集合B ＝{y|y ＝（13）x ，x ∈R}，则A ∩B ＝（）A.(−1, 3)B.(0, 3)C.[0, 3)D.[−1, 3)2.设i 是虚数单位，复数z 1＝i 2021，复数z 2＝4343ii-+，则z 1+z 2在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知α＝2ln3，β＝13e -，γ＝ln 13，则α，β，γ的大小关系是（）A.α<β<γB.β<α<γC.γ<β<αD.β<γ<α4.如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A.5π+2 B.(51)π++4 C.(51)π++2 D.5π+4 5.已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l ⊥α的是（） A.l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α B.l ⊥m ，m // α C.α⊥β，l // βD.l // m ，m ⊥α6.变量x ，y 满足约束条件30040x y x y x y a +-≥⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为12，则实数a ＝（）A.12B.−12C.4D.−47.下列四个叙述中，错误的是（） A.“p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的必要不充分条件 B.命题p ：“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x的值域是(−∞, −2]∪[2, +∞)”，则￢p ：“∃x 0∈R 且x 0≠0，使得001(2,2)x x +∈-” C.已知a ，b ∈R 且ab >0，原命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆命题是“若1a <1b，则a >b ”D.已知函数f(x)＝x 2，函数g(x)＝（12）x−m ，若对任意x 1∈[−1, 3]，存在x 2∈[0, 1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，则m 的范围是[1, +∞)8.已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i 行第j 列的数记为a i,j ，如a 3,1＝7，a 4,3＝15，则a i,j ＝2021时，110(3)j --log 2(i +19)＝（）A.54B.18C.9D.6二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年广东省珠海市高一上学期期末考试数学试卷含详解

C.函数是偶函数D.函数是奇函数
C
【分析】根据奇偶性的定义判断即可；
【详解】解：因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，
对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；
对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；
（2）求出整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.
【小问1详解】
；
函数的最小正周期为，
函数的对称轴方程为；
【小问2详解】，
，
时，函数单调递减，即时，函数在上单调递减；
时，函数在单调递增，即时，函数在上单调递增.
，
函数的值域为 .
21.果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.
【小问1详解】
，
.【小问2详解】
，
.
，
.
.
20.已知函数 .
（1）求函数的最小正周期及函数的对称轴方程；
（2）若，求函数的单调区间和值域.
（1）最小正周期为，对称轴方程为
（2）函数在上单调递减，在上单调递增；值域为
【分析】（1）先通过降幂公式化简成，再按照周期和对称轴方程进行求解；
1.已知集合，下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
B
【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.
【详解】由题设，且，
所以B正确，A、C、D错误.
故选：B
2.已知集合，或，则（）

2021年高考数学模拟试卷(带解析)

2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】此题暂无解析 16. 【答案】【解析】此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)．设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量．由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)．设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元．【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。

2021年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学试题及参考答案

2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（3月份）（一模）一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．707．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题（共4小题）.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n ＝（n2+3n）D．S n ＝（3n+1+2n﹣3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．参考答案一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}解：因为集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，由补集的定义可知，∁R A＝{x|x≤﹣2或x≥1}．故选：C．3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m解：由题意可得“奋斗者”号的实际下潜深度约为：S＝vt＝1450×3＝4350m，故选：B．4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＞b+1能够推出2a＞2b，由2a＞2b能推出a＞b，不能推出a＞b+1，故a＞b+1是2a＞2b的充分不必要条件，故选：A．5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．解：∵f（1）＝1﹣sin1＞0，∴排除选项A和D，又f（）＝（）3﹣sin＝（）3﹣＜0，∴排除选项B，故选：C．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．70解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2、4、6、8，五个阳数即5即奇数：1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的3个数和为奇数，有2种情况，①选出的3个数都是奇数，有C53＝10种选法，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有C42C51＝30种选法，一共有30+10＝40种选法，故选：B．7．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．解：将点A，B代入直线l的方程，可知点A，B均不在直线l上，设P（x，y），则，又|AB|＝，且|PA|+|PB|＝，所以点P的轨迹为线段AB，因为线段AB的方程为，即y＝2x+2，x∈[﹣1，0]，联立方程组，解得，直线l的斜率为k＝，设l的倾斜角为α，则，因为﹣1≤x≤0，所以，即﹣1≤tanα≤1，α∈（0，π），解得α∈．故选：D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：已知e≈2.71828是自然对数的底数，a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，设f（x）＝﹣，则f′（x）＝﹣，当0≤x≤时，f′（x）＞0，函数f（x）在0≤x≤上是增函数，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）在x＞上是减函数，a＝f（3），b＝f（2），而＜2＜3，所以b＞a，又因为e x＞x+1，x≠1，为常用不等式，可得，令g（x）＝﹣lnx，g′（x）＝﹣，当x＜e时，g′（x）＜0，函数g（x）在x＜e上是减函数，故g（2）＞g（e）＝0，则＞ln2，即﹣＜﹣ln2，则c＞b，故：a＜b＜c故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4﹣4+1＝﹣7，对于A：|AB|＝＝＝8，故A正确；对于B：•＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝﹣7+（﹣4）＝﹣11≠0，故B不正确；对于C：点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝•|AB|•d＝•8•＝2，故C正确；对于D：线段AB的中点坐标为（，），即（3，2），所以线段AB的中点到直线x＝0的距离为2，故D正确．故选：AC．10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增解：f（x）＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+1＝（sin2x+cos2x）+1＝sin（2x+）+1，A：∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）的最大值为+1，∴A不正确．B：当x＝时，f（）＝sin+1＝+1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称，∴B正确．C：当x＝﹣时，f（﹣）＝sin0+1＝1，∴f（x）的图象关于点（﹣，1）对称，∴C正确．D：∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]上先增后减，∴D不正确．故选：BC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量解：对于A，当P与点D1重合时，PQ⊥EF，故选项A错误；对于B，由于点P是棱C1D1上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即平面ABC1D1，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（2，0，4），A（4，0，0），B（4，4，0），所以，平面QEF即平面QAB，设平面QAB的法向量为，则，即，令z＝1，则，同理可求得平面ABC1D1的法向量为，设二面角P﹣EF﹣Q为θ，所以，故，故选项B正确；对于C，由于AB⊥平面BB1CC1，又BC1⊂平面BB1CC1，所以AB⊥BC1，所以BC1⊥EF，所以BC1是△PEF的高，所以，故选项C正确；对于D，由于C1D1∥EF，且C1D1⊄平面QEF，EF⊂平面QEF，所以C1D1∥平面QEF，又点P在C1D1上，所以点P到平面QEF的距离为常量，故选项D正确．故选：BCD．12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n＝（n2+3n）D．S n＝（3n+1+2n﹣3）解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，，…，a n＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，…，故a n有2n+1项．故C错误；所以k+2＝2n+1，即k+1＝2n，故A正确；由a n ＝，可得a n+1＝＝3a n﹣3，故B正确；由S n＝a1+a2+…+a n ＝（32+33+34+…+3n+1）+＝•+＝（3n+1+2n﹣3），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝﹣1．解：∵向量＝（1，m ），＝（2，1）．m 实数，∴2+＝（4，2m+1），∵•（2+）＝7，∴•（2+）＝8+2m+1＝7，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为68．解：由题意可知：＝＝30，＝＝，回归直线方程为＝0.67x+54.9经过样本中心，所以＝0.67×30+54.9，解得a＝68．故答案为：68．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．解：双曲线C的渐近线的方程为y＝±x，由题意可知MN⊥x轴，PQ⊥x轴，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），Q（x2，﹣y2），联立，k＝，得（1+k2）x2﹣2x﹣3＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，又因为|MN|＝2|PQ|，所以△MON∽△POQ，相似比为2：1，所以|x1|＝2|x2|，即x1＝﹣2x2，所以x1+x2＝﹣x2＝，x1x2＝﹣2x22＝，所以﹣2（）2＝，解得k2＝，所以e＝＝＝＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．解：设O为△ABC外接圆的圆心，因为ABC是边长为6的等边三角形，所以，因为OP2+OA2＝PA2，解得OP＝3，设球O1的半径为r，球O2的半径为R，由等体积法可得，＝＝＝，所以＝1，所以球O1的体积为；作截面图如图所示，可知O1O＝O1N＝1，则PN＝1，PO1＝2，PO2＝1﹣R，因为△PO2E∽△PO1F，则，即，解得，所以球O2的表面积为＝．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．解：（1）因为cos2B＝cos（A+C），所以2cos2B﹣1＝﹣cos B，解得，cos B＝或cos B＝﹣1（舍），由B为三角形内角得B＝，（2）因为a sin A+c sin C＝6sin B，由正弦定理得，a2+c2＝6b＝18，因为cos B＝＝＝，故ac＝9，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝18+18＝36，故a+c＝6，所以△ABC的周长a+b+c＝9．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．解：（1）由a2是a1，a5的等比中项，可得a22＝a1a5，即为（a1+d）2＝a1（a1+4d），化为d＝2a1，由S5＝25，可得5a1+10d＝25，即a1+2d＝5，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，b n+b n+1＝S n＝n2，①可得b n+1+b n+2＝（n+1）2，②②﹣①可得b n+2﹣b n＝2n+1，则b20＝b2+（b4﹣b2）+（b6﹣b4）+…+（b20﹣b18）＝b2+5+9+…+37＝b2+×9×（5+37）＝b2+189，所以b2﹣b20＝﹣189．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥A1E，又BE∩A1E＝E，BE、A1E⊂平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，∵DE⊂平面BCDE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．（2）解：由（1）知，平面A1BE⊥平面BCDE，∵A1E⊥BE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，∴A1E⊥平面BCDE，以E为原点，ED，EB，EA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），C（，2，0），D（，0，0），E（0，0，0），∴＝（，2，0），＝（，0，﹣1），＝（0，﹣2，0），设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝0，z＝，∴＝（1，0，），设直线CE与平面A1CD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线CE与平面A1CD所成角的正弦值为．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．解：（1）甲在A区每次投篮得分的期望为2×＝，在B区每次投篮得分的期望为3×＝，设甲选择在A区投篮的球数为x个，则x+（5﹣x）≥7，解得x≤3，所以甲选择在A区投篮的球数最多是3个．（2）甲在B区投中0个，在A区投中1，2，3个的概率为[1﹣]×＝，甲在B区投中1个，在A区投中2个或3个的概率（×××+××）×＝，甲在B区投中2个得6分，此时在A区投篮得分不可能高于B区，故甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为+＝．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．解：（1）由已知得，圆O1的圆心为O1（﹣1，0），半径r＝|BO1|＝4，点A（1，0），因为线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，所以|CA|＝|CB|，所以|CA|+|CO1|＝|CB|+|CO1|＝|BO1|＝4＞|O1A|，所以点C的轨迹是以O1，A为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线E的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由题意可得直线l1，l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＝（8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（1+k2）＞0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|MN|＝|x1﹣x2|＝＝＝•＝，由于直线l2过圆O1的圆心，则|PO1|＝|QO1|＝4，且P，Q两点到直线MN的距离相等，设直线l2的倾斜角为θ，则tan（π﹣θ）＝k，即tanθ＝﹣k，又点P到直线MN的距离d＝|PO1||sin2θ|＝4||＝4×＝，则四边形MPNQ的面积S＝2S△PMN＝d×|MN|＝，由于四边形MPNQ的面积为8，则＝8，解得k＝±，所以直线l1的方程为y＝±（x+1）．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．【解答】证明：（1）f′（x）＝xlnx﹣ax2+x＝lnx+1﹣2ax+1＝lnx﹣2ax+2，f′（1）＝2﹣2a，又f（1）＝1﹣a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（1﹣a）＝（2﹣2a）（x﹣1），即y＝2（1﹣a）（x﹣），当x＝时，y＝0，故直线l过定点（，0）；（2）∵x1，x2是f（x）的两个零点，且x2＞2x1，∴，可得，∴＝＝，令t＝（t＞2），∴lnx1x2+2＝＝，构造函数g（t）＝，g′（t）＝，令h（t）＝t﹣，则h′（t）＝＞0，则h（t）在（2，+∞）上单调递增，而h（2）＝2﹣＝＞0，∴g′（t）＞0，则g（t）在（2，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（2）＝3ln2，可得ln（x1x2）+2＞3ln2，则ln（x1x2）＞，即x1x2＞，则＞＞．。

2021年高考数学真题逐题解析与以例及类(新高考)第6题利用同角三角函数基本关系式求值(含解析)

2021年高考数学真题逐题解析与以例及类（新高考）第6题利用同角三角函数基本关系式求值一、原题呈现【原题】若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】解法一：()()()2sin 1sin 2sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选C ．解法二：因为sin tan 2cos θθθ==-,所以sin 2cos θθ=-,所以()sin 1sin 2sin cos θθθθ++=()()()222sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθ+=++()()()2222cos 2cos cos 2cos cos 4cos cos θθθθθθθ--+=-++332cos 5cos θθ-=-25=．故选C ．【就题论题】本题主要考查利用同角三角函数基本关系式求值,常规求解思路是把所给式子化为关于sin ,cos θθ的齐次分数,再进一步转化为关于tan θ的分式,然后代入求值,本题解法思路容易,但运算量稍大,也有一定的技巧,难度较前几题有所增加.二、考题揭秘【命题意图】本题考查同角三角函数关系式在求值中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质,难度一般为容易或中等偏易.【得分秘籍】利用同角三角函数关系式求值主要有以下4种类型：已知一个角的一种三角函数值,求该角的其他三角函数值；关于sin ,cos αα的齐次分式求值；利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±求值；利用方程思想求值.(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系,再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式．已知tan α求()sin cos αα可利用222sin tan cos ααα=来求.(2)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以分式中cos α的最高次幂转化为关于tan α的式子后再求值．注意有时为了拼凑分子分母齐次,需要灵活地进行“1”的代换,由1＝sin 2α＋cos 2α代换后,再构造出关于tan α的代数式．(3)对于sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α,可以知一求二．(4)求某个式子的值,有时可已知条件构造关于该式子的方程,再通过解方程求值,如已知tan cos θθ=,求sin θ,可通过切化弦转化为sin cos cos θθθ=,再转化为关于sin θ的一元二次方程求值.【易错警示】(1)利用sin α=或cos α=,要注意根号前面的正负号的取舍(2)如果已知三角函数值,但没有指定角在哪个象限,或所给的三角函数值是由字母给出的,且没有确定角在哪个象限,那么就需要进行讨论．(3)等式两边同时约去一个式子,要判断该式子的值是否可能为零,若有可能为零,要分2种情况讨论三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -,(),2B b ,且cos 3sin 0θθ+=,则3a b -=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．72．（2021湖南省高三下学期5月三轮联考）已知()tan 2x π+=,则sin cos 2sin cos x xx x+=-（）A ．1B ．15C ．14-D ．15-3．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知7cos 25θ=-,(,0)θπ∈-,则sin cos 22θθ+=（）A ．75-B ．15-C ．15D ．754．（2021福建省漳州市高三下学期第一次质量检测）已知3sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2tan θθ=（）A ．23B ．43C ．3D ．35．（2021广东省汕头市高三一模）已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α的值是（）A ．B ．7C ．-D ．7-6．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin cos 5αα+=,则tan α=（）A ．2-B ．2C ．211D ．211-7．（2021河北省邯郸市高三一模）已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A ．513B ．113-C ．513-D ．1138．（2021江苏省连云港市高三下学期高考考前一模）已知ππ(,22α∈-,且3cos 28sin 5αα-=,则cos α的值为（）A ．13-B ．13C ．3D ．239．（2021江苏省扬州中学2021届高三下学期最后一模）已知3cos 5θ=,tan 0θ<,则sin(2)πθ-=（）A ．2425-B ．1225-C ．45-D ．242510．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）在ABC 中,若31,5,sin 5AB AC A ===,则AB AC ⋅=（）A ．3B ．3±C ．4D ．4±11．（2021江苏省南通市高三上学期期末）若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈,则1tan 1tan αα+=-（）A ．17B ．1717-C ．15D ．1515-二、多选题12．（2021湖北省十一校考试联盟高三联考）在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢,记作sin ver θ,定义1sin θ-为角θ的余矢,记作cov sin er θ,则下列命题中正确的是（）A ．函数cov sin sin y er x ver x =-在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．若cov sin 12sin 1er x ver x -=-,则7cov sin 2sin 25er x ver x -=-C ．函数()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最大值2+D ．sin cov sin 2ver er πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭三、填空题13．（2021福建省厦门外国语学校高三1月阶段性检测）已知(0,)απ∈,且有12sin 2cos 2αα-=,则cos α=___________.14．（2021广东省高州市高三二模）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2cos 2sin 1αα=-,则tan α=_________________．15．（2021北省邯郸市高三二模）当04x π<<时,函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．第6题利用同角三角函数基本关系式求值一、原题呈现【原题】若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】解法一：()()()2sin 1sin 2sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选C ．解法二：因为sin tan 2cos θθθ==-,所以sin 2cos θθ=-,所以()sin 1sin 2sin cos θθθθ++=()()()222sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθ+=++()()()2222cos 2cos cos 2cos cos 4cos cos θθθθθθθ--+=-++332cos 5cos θθ-=-25=．故选C ．【就题论题】本题主要考查利用同角三角函数基本关系式求值,常规求解思路是把所给式子化为关于sin ,cos θθ的齐次分数,再进一步转化为关于tan θ的分式,然后代入求值,本题解法思路容易,但运算量稍大,也有一定的技巧,难度较前几题有所增加.二、考题揭秘【命题意图】本题考查同角三角函数关系式在求值中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质,难度一般为容易或中等偏易.【得分秘籍】利用同角三角函数关系式求值主要有以下4种类型：已知一个角的一种三角函数值,求该角的其他三角函数值；关于sin ,cos αα的齐次分式求值；利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±求值；利用方程思想求值.(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系,再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式．已知tan α求()sin cos αα可利用222sin tan cos ααα=来求.(2)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以分式中cos α的最高次幂转化为关于tan α的式子后再求值．注意有时为了拼凑分子分母齐次,需要灵活地进行“1”的代换,由1＝sin 2α＋cos 2α代换后,再构造出关于tan α的代数式．(3)对于sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α,可以知一求二．(4)求某个式子的值,有时可已知条件构造关于该式子的方程,再通过解方程求值,如已知tan cos θθ=,求sin θ,可通过切化弦转化为sin cos cos θθθ=,再转化为关于sin θ的一元二次方程求值.【易错警示】(1)利用sin α=或cos α=,要注意根号前面的正负号的取舍(2)如果已知三角函数值,但没有指定角在哪个象限,或所给的三角函数值是由字母给出的,且没有确定角在哪个象限,那么就需要进行讨论．(3)等式两边同时约去一个式子,要判断该式子的值是否可能为零,若有可能为零,要分2种情况讨论三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -,(),2B b ,且cos 3sin 0θθ+=,则3a b -=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．7【答案】D【解析】由cos 3sin 0θθ+=得：sin 1tan cos 3θθθ==-,由三角函数定义知：21tan 3a b θ=-==-,解得：13a =,6b =-,3167a b -=+=∴.故选D.2．（2021湖南省高三下学期5月三轮联考）已知()tan 2x π+=,则sin cos 2sin cos x xx x+=-（）A ．1B ．15C ．14-D ．15-【答案】A【解析】()tan tan 2π+==x x ,所以sin cos tan 12112sin cos 2tan 1221+++===--⨯-x x x x x x .故选A.3．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知7cos 25θ=-,(,0)θπ∈-,则sin cos 22θθ+=（）A ．75-B ．15-C ．15D ．75【答案】B【解析】因为7cos 25θ=-,且(),0θπ∈-,所以24sin 25θ=-,,022θπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,7cos cos sin cos sin 0222225θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中cos sin 022θθ->,所以cossin 022θθ+<,两边平方得2411sin 12525θ+=-=,所以1cos sin 225θθ+=-.故选B.4．（2021福建省漳州市高三下学期第一次质量检测）已知3sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2tan θθ=（）A ．23B ．43C ．3D ．3【答案】B【解析】由33sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos 3θ=,则22sin cos sin sin 2tan 2sin cos θθθθθθθ==()221cos 142133θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=-,故选B .5．（2021广东省汕头市高三一模）已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α的值是（）A．B．7C．-D．7-【答案】D【解析】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,即1331sin 3sin 2222a a a a 琪-=-+琪桫,整理得2sin αα=,tan 2α∴=-,因此,22223222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 171ααααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=====-++⎛+ ⎝⎭.故选D.6．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin cos 5αα+=,则tan α=（）A ．2-B ．2C ．211D ．211-【答案】A【解析】22222224sin cos 4sin cos (2sin cos )4sin cos 4sin cos sin cos αααααααααααα+++=++==+224tan 14tan 9tan 15ααα++=+,所以211tan 20tan 40αα+-=,解得tan 2α=-或2tan 11α=,又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 2α=-.故选A7．（2021河北省邯郸市高三一模）已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭,则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A ．513B ．113-C ．513-D ．113【答案】B【解析】由2sin()3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭,得2sin 3cos αα=,所以3tan 2α=从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++．故选B8．（2021江苏省连云港市高三下学期高考考前一模）已知ππ(,22α∈-,且3cos 28sin 5αα-=,则cos α的值为（）A ．13-B ．13C ．223D ．23【答案】C【解析】由3cos 28sin 5αα-=,可得23sin 4sin 10αα++=,解得1sin 3α=-或sin 1α=-,因为ππ(,22α∈-,所以1sin 3α=-,可得cos 3α==.故选C.9．（2021江苏省扬州中学2021届高三下学期最后一模）已知3cos 5θ=,tan 0θ<,则sin(2)πθ-=（）A ．2425-B ．1225-C ．45-D ．2425【答案】A【解析】由3cos 5θ=,tan 0θ<,则4sin 5θ==-,所以24sin(2)sin 22sin cos 25πθθθθ-===-.故选A10．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）在ABC 中,若31,5,sin 5AB AC A ===,则AB AC ⋅=（）A ．3B ．3±C ．4D ．4±【答案】D【解析】由于3sin 5A =,所以4cos 5A ==±,所以cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=± .故选D11．（2021江苏省南通市高三上学期期末）若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈,则1tan 1tan αα+=-（）A ．1717B ．1717-C ．1515D ．1515-【答案】B【解析】由1sin cos 3αα+=,可得21(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=,解得82sin cos 09αα=-<,即sin α与cos α异号,又因为()0,απ∈,所以sin 0,cos 0αα><,又由217(sin cos )12sin cos 9αααα-=-=,所以sin cos 3αα-=,又因为sin 111tan sin cos cos 3sin 1tan cos sin 111c 377os αααααααααα+++====----.故选B.二、多选题12．（2021湖北省十一校考试联盟高三联考）在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢,记作sin ver θ,定义1sin θ-为角θ的余矢,记作cov sin er θ,则下列命题中正确的是（）A ．函数cov sin sin y er x ver x =-在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．若cov sin 12sin 1er x ver x -=-,则7cov sin 2sin 25er x ver x -=-C ．函数()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x的最大值2+D ．sin cov sin 2ver er πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】由正矢和余矢的定义可得：对于选项A ：()()cov sin sin 1sin 1cos y er x ver x x x =-=---cos sin 4x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭所以在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,故选项A 错误；对于选项B ：因为cov sin 11sin 1tan 2sin 11cos 1er x x x ver x x ---===---,则2222cos sin 2sin cos cov sin 2sin 2cos 2sin 2cos sin x x x xer x ver x x x x x ---=-=+22221tan 2tan 122271tan 125x x x ----⨯==-++,所以B 正确；对于选项C ：()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 202036x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 202022sin 20206266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以则()f x 的最大值4,故选项C 不正确,对于选项D ：sin 1cos 1sin cov sin 22ver er ππθθθθ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确；故选BD 三、填空题13．（2021福建省厦门外国语学校高三1月阶段性检测）已知(0,)απ∈,且有12sin 2cos 2αα-=,则cos α=___________.【答案】5【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=,因为(0,)απ∈,所以sin 0α≠,因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈,而22sin cos 1(1)αα+=,把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±,而(0,)2πα∈,因此cos 5α=.14．（2021广东省高州市高三二模）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2cos 2sin 1αα=-,则tan α=_________________．【答案】7-【解析】由2cos 2sin 1αα=-得224sin sin 1αα-=-,∴24sin sin 30αα+-=,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得3sin 4α=,∴cos 4α==,即tan 7α=-．15．（2021北省邯郸市高三二模）当04x π<<时,函数22cos ()sin cos sin x f x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos xx f x x x x x x=-所以21()tan tan f x x x =-,当04x π<<时,0tan 1x <<,设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---,所以当12t =时,函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．。

2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

（共8题；共40分）1. ( 5分) 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}2. ( 5分) 已知z=2-i，则( =（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i3. ( 5分) 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 44. ( 5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin( )单调递增的区间是（）A. (0, )B. ( , )C. ( , )D. ( , )5. ( 5分) 已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 66. ( 5分) 若tan =-2,则 =（）A. B. C. D.7. ( 5分) 若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8. ( 5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题。

2021珠海一模(理数)含答案--全WORD--精心排版

2021珠海一模（理数）含答案--全WORD--精心排版珠海市2021--2021学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.x1．已知全集U?R，集合A?yy?2,x?R，则CUA＝（）??A．? B．(0，＋∞) C． (－∞，0] D．R 2．已知a,b是实数，则“??a?2”是“a?b?5”的（）?b?3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线l,m和平面?，则下列命题正确的是（）A．若l//m,m??，则l//? B．若l//?,m??，则l//m C．若l?m,l??，则m//? D．若l??,m??，则l?m 5．已知是虚数单位，复数i＝（） 3?i13131313A．?i B．??i C．??i D．??i8810101010886．函数y?sin?2x? A．向左平移?????的图象可由函数y?sin2x的图象（）4?ππ个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到88ππ C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到44?x?y?5?0?7．若实数x,y满足不等式组?x?y?0 则2x?4y的最小值是（）?x?3?A．6 B．4 C．?2 D．?68．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=x1?x2?y1?y2，给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D.3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题）19．函数y?sinx的导函数y?? ． x10．在递增等比数列?an?中，a2?2,a4?a3?4，则公比q＝．11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：合唱社粤曲社武术社a 45 30 高一15 10 20 高二学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知C＝?3，b?3，若△ABC的面积为33 ，则c= ． 2x2y213．如图，F1，F2是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，过F1ab的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：??x?t?2(t为参数）与曲线C2：?y?1?2t?x?3cos?（?为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的长为 . ?y?3sin??15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5， AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．??16．（本小题满分12分）设向量a??2,sin??,b??1,cos??，?为锐角．??13b?，求sin??cos?的值；（1）若a?6?????（2）若a//b，求sin?2???的值．3??17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）求证：BC//平面C1B1N；2（2）求证：BN?平面C1B1N；（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP//平面CNB1，并求BP的值. PCx2y219．(本题满分14分) 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b)，ab?AF1F2为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|?|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．12ax?2x，g(x)?lnx. 2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围；g(x)1（2）是否存在实数a?0，使得方程?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根？若xe存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数f(x)?21．（本题满分14分）已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1的值及数列?an?的通项公式；an(an?2)* (n?N). 411115(n?N*)； ??????3333a1a2a3an32?an?11111（3）是否存在非零整数?，使不等式?(1?)(1?)???(1?)cos对一切n?N*都成立？?a1a2an2an?1（2）求证：若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.珠海市2021~2021学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：CABD AADB 二、填空题：9、三、解答题：xcosx?sinx 10、2 11、150 12、x27 13、13 14、 4 15、 63??131b?2?sin?cos??，?sin?cos??…………… 3分 16．解：（1）因为?a?66??sin??cos???1?2sin?cos??2423，又??为锐角，?sin??cos??．………… 6分33??2sin?cos?2tan?4??（2）解法一：?a//b，?tan??2…… 8分，?sin2??2sin?cos??，sin2??cos2?tan2??15cos2??sin2?1?tan2?3cos2??cos??sin?????………… 10分sin2??cos2?tan2??1522??13143?3?4?33? (12)分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10???255解法二：?a//b，?tan??2 (8)分，?sin??， ,cos??55?sin2??2sin?cos??4322，cos2??cos??sin???…………… 10分55??13143?3?4?33?………… 12分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10?17. 解：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=4?4?4?64 …… 3分222C4C3A22?3?3?29??………… 7分(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为P2?4?4?41643(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为?，则?＝0,1,2,3113C3?32273?C3C3332791P(?＝0)＝3?，P(?＝1)＝，P(＝2)＝，P(＝3)＝ (9)分 ?????464436443644364?的分布列是2727913?1??2??3?? ………… 12分 64646464418. 解：（1）证明：E??0? 4?该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，?BA,BC,BB1两两互相垂直。

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷(一模)

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A＝{x|<2}，集合B＝{y|y＝（）x，x∈R}，则A∩B＝（）A.(−1, 3)B.(0, 3)C.[0, 3)D.[−1, 3)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2. 设i是虚数单位，复数z1＝i2021，复数z2＝，则z1+z2在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3. 已知α＝2ln3，β＝，γ＝ln，则α，β，γ的大小关系是（）A.α<β<γB.β<α<γC.γ<β<αD.β<γ<α【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4. 如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.+2B.+4C.+2D.+4【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是（）A.l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂αB.l⊥m，m // αC.α⊥β，l // βD.l // m，m⊥α【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】对于A，l与α相交、平行或l⊂α；对于B, l与α相交、平行或l⊂α；对于C，l与α相交、平行或l⊂α；对于D，由线面垂直的判定定理得l⊥α．【解答】由α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，知：对于A，l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对于B, l⊥m，m // α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；对于C，α⊥β，l // β，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误；对于D，l // m，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥α，故D正确．6. 变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+2y的最大值为12，则实数a＝（）A.12B.−12C.4D.−4【答案】B【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7. 下列四个叙述中，错误的是（）A.“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件B.命题p：“∀x∈R且x≠0，x+的值域是(−∞, −2]∪[2, +∞)”，则￢p：“∃x0∈R且x0≠0，使得x0+∈(−2, 2)”C.已知a，b∈R且ab>0，原命题“若a>b，则<”的逆命题是“若<，则a> b”D.已知函数f(x)＝x2，函数g(x)＝（）x−m，若对任意x1∈[−1, 3]，存在x2∈[0, 1]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则m的范围是[1, +∞)【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记(i+19)＝（）为a i,j，如a3,1＝7，a4,3＝15，则a i,j＝2021时，log2A.54B.18C.9D.6【答案】A【考点】归纳推理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省新2021年高考数学试卷和答案解析(新课标Ⅰ)

2021年广东省新高考数学试卷（新课标Ⅰ）1.设集合，，则()A. B.C. D.2.已知，则()A. B.C. D.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.C.4D.4.下列区间中，函数单调递增的区间是()A. B.C. D.5.已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则的最大值为()A.13B.12C.9D.66.若，则()A. B.C.D.7.若过点可以作曲线的两条切线，则()A. B. C. D.8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立9.有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中为非零常数，则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点，，，，则()A. B.C.D.11.已知点P 在圆上，点，，则()A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当最小时，D.当最大时，12.在正三棱柱中，，点P 满足，其中，，则()A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点P，使得D.当时，有且仅有一个点P，使得平面13.已知函数是偶函数，则__________.14.已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为______.15.函数的最小值为__________.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么__________17.已知数列满足，记，写出，，并求数列的通项公式；求的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上，证明：；若，求20.如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．证明：；若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记M的轨迹为求C的方程；设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22.已知函数讨论的单调性；设a，b为两个不相等的正数，且，证明：答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．直接利用交集运算可得答案．【解答】解：，，故选：2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，故选：3.【答案】B 【解析】解：由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为故选：设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数单调性，是简单题．本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．【解答】解：令，则，当时，，，故选：5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用．【解答】解：，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于基础题．由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值．【解答】解：由题意可得：故选7.【答案】D【解析】解：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即取得坐标在x轴上方，如果在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在x轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知故选：画出函数的图象，判断与函数的图象的位置关系，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．【解答】解：由题意可知，两次取出的球的数字之和是8的所有可能为：，，，，，两次取出的球的数字之和是7的所有可能为，，，，，，甲，乙，丙，丁，A：甲丙甲丙，B：甲丁甲丁，C：乙丙乙丙，D：丙丁丙丁，故选：9.【答案】CD 【解析】【分析】本题考查平均数、中位数、标准差、极差，是基础题．利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，设原样本数据的样本方差和标准差分别为，，新数据的样本方差和标准差分别为，，因为…，，，，即，两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，…，，c为非零常数，原数据组的样本极差为，新数据组的样本极差为，两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，是中档题．由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．【解答】解：，，，，，，，，，，则，，则，故A正确；，，不能恒成立，故B错误；，，，故C正确；，，不能恒成立，故D错误．故选：11.【答案】ACD【解析】【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点P到直线AB的距离范围，判断A与B；画出图形，由图可知，当过B的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得判断C与本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．【解答】解：，，过A、B的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点P到直线AB的距离的范围为，，，，点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大，此时，，故CD正确．故选：12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于拔高题．判断当时，点P在线段上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点P在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，取线段BC，的中点分别为M，，连结，则点P在线段上，分别取点P在，M处，得到均满足，即可判断选项C；当时，取的中点，的中点D，则点P在线的上，证明当点P在点处时，平面，利用过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项【解答】解：对于A，当时，，即，所以，故点P在线段上，此时的周长为，当点P为的中点时，的周长为，当点P在点处时，的周长为，故周长不为定值，故选项A错误；对于B，当时，，即，所以，故点P在线段上，因为平面，所以直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项B正确；对于C，当时，取线段BC，的中点分别为M，，连结，因为，即，所以，则点P在线段上，当点P在处时，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，当点P在M处，，故选项C错误；对于D，当时，取的中点，的中点D，因为，即，所以，则点P在线的上，当点P在点处时，取AC的中点E，连结，BE，因为平面，又平面，所以，在正方形中，，又，BE，平面，故平面，又平面，所以，在正方体形中，，又，，平面，所以平面，因为过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P，使得平面，故选项D正确．故答案选：13.【答案】1【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题．根据题意，可得也为R上的奇函数，即可得解.【解答】解：函数是偶函数，为R上的奇函数，故也为R上的奇函数，所以时，，所以，经检验，满足题意，故答案为：14.【答案】【解析】解：由题意，不妨设P在第一象限，则，，所以，所以PQ的方程为：，时，，，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：故答案为：求出点P的坐标，推出PQ方程，然后求解Q的坐标，利用，求解p，然后求解准线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用及求抛物线的标准方程，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．求出函数定义域，对x分段去绝对值，当时，直接利用单调性求最值；当时，利用导数求最值，进一步得到的最小值．【解答】解：函数的定义域为，当时，，此时函数在上为减函数，所以；当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时取得最小值，为，，函数的最小值为故答案为：16.【答案】5【解析】【分析】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．依题意，对折4次共可以得到5种不同规格图形；对折k次共有种规格，且每个面积为，则，，然后再转化求解即可．【解答】解：易知有，，共5种规格；由题可知，对折k次共有种规格，且每个面积为，故，则，记，则，，，故答案为：5；17.【答案】解：因为，，所以，，，所以，，，所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，所以由可得，，则，，当时，也适合上式，所以，，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为……【解析】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．由数列的通项公式可求得，，从而可得求得，，由可得数列是等差数列，从而可求得数列的通项公式；由数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．18.【答案】解：由已知可得，X 的所有可能取值为0，20，100，则，，所以X 的分布列为：X 020100P 由可知小明先回答A 类问题累计得分的期望为，若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100，，，，则Y的期望为，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；由可得，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得，比较与的大小，即可得出结论．19.【答案】解：证明：由正弦定理知，，，，，，即，；由知，，，，在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，，，即，得，，，或，在中，由余弦定理知，，当时，舍；当时，；综上所述，【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大．利用正弦定理求解；要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解．20.【答案】解：证明：因为，O为BD的中点，所以，又平面平面BCD，平面平面，平面ABD，所以平面BCD，又平面BCD，所以；方法一：取OD的中点F，因为为正三角形，所以，过O作与BC交于点M，则，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，因为平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，设平面BCE的法向量为，又，所以由，得，令，则，，故，因为二面角的大小为，所以，解得，所以，又，所以，故方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，由题意可知，，又平面BCD所以平面BCD，又平面BCD，所以，又，，FG、平面EFG，所以平面EFG，又平面EFG，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以【解析】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．利用等腰三角形中线就是高，得到，然后利用面面垂直的性质，得到平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明；方法一：建立合适的空间直角坐标系，设，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，求出，，然后利用锥体的体积公式求解即可．21.【答案】解：由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为，根据题意，解得，的方程为；设，设直线AB的方程为，，，由，得，整理得，，，，设，同理可得，由，得，，，，，【解析】的轨迹C是双曲线的右支，根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可求得C的方程；设出直线AB的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得，同理求得，再根据，即可得出答案．本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由函数的解析式可得，，，单调递增，，，单调递减，则在单调递增，在单调递减．证明：由，得，即，由在单调递增，在单调递减，所以，且，令，，则，为的两根，其中不妨令，，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以，故函数在单调递增，，，得证．同理，要证，即证，根据中单调性，即证，令，，则，令，，，单调递增，，，单调递减，又，，且，故，，，恒成立，得证，则【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．。

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。

2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{2,3\}$。

C。

$\varnothing$。

D。

$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。

$6-2i$。

B。

$4-2i$。

C。

$6+2i$。

D。

$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2.B。

2$\sqrt{2}$。

C。

4.D。

4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。

$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。

B。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。

C。

$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。

D。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。

广东省珠海市2021届高三数学上学期期末考试(一模考试)试题理(含解析).doc

广东省珠海市2021届高三数学上学期期末考试（一模考试）试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1.已知集合{}ln 0A x x =>，{}240B x x =-≤，则A B =（）A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2 D. ()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】解出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B .【详解】{}()ln 01,A x x =>=+∞，{}[]2402,2B x x =-≤=-，因此，(]1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知函数()2f x x bx c =++，b 、R c ∈，则“0c <”是“函数()f x 有零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用>0∆推出充分条件成立，取特殊值推出必要条件不成立，从而得出结论.【详解】若0c <，则240b c ∆=->，此时，函数()f x 有零点，则“0c <”⇒“函数()f x 有零点”；取2b =，1c =，则()()22211f x x x x =++=+，此时，函数()f x 有零点，但0c >.则“函数()f x 有零点”⇒“0c <”.因此，“0c <”是“函数()f x 有零点”的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了二次函数的零点，考查推理能力，属于中等题.4.一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何体的表面积为（）A. 13B. 28C. 38D. 46【答案】D 【解析】【分析】根据题意作出组成几何体的正方体个数最多时几何体的实物图，然后计算出其表面积即可. 【详解】当组成几何体的正方体个数最多时，几何体的实物图如下图所示：小正方体每个面的面积为211=，由实物图可知，该几何体的表面积为2341355446+⨯⨯++⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查组合体表面积的计算，解题的关键就是结合三视图作出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.5.已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若46S =，818S =，则12S =（） A. 24 B. 30 C. 42 D. 48【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列片断和的性质可得知4S 、84S S -、128S S -成等比数列，由此可计算出12S 的值. 【详解】由题意可知，4S 、84S S -、128S S -成等比数列，即()()2844128S S S S S -=-，即()21212618S =⨯-，解得1242S =.故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A. 21π-B.2πC.22πD. 221π-【答案】A 【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率. 【详解】1S ππ=⨯=矩形，又()00sin cos |cos cos02dx x πππ=-=--=⎰，2S π∴=-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为221πππ-=-. 故选A.【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A. 2B. 2-C. 12-D.12【答案】C 【解析】【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.8.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（）A. 0.4B. 0.5C. 0.75D. 0.9【答案】A 【解析】【分析】由题意可知，输出的S 值为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和，然后赋值可得出结果.【详解】第一次循环，011i =+=，112S =⨯，1n ≥不成立；第二次循环，112i =+=，111223S =+⨯⨯，2n ≥不成立；依次类推，()11i n n =-+=，()11112231S n n =+++⨯⨯+，n n ≥成立.输出()1111111111112231223111n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当1n =时，1=0.52S =；当3n =时，30.754S ==；当9n =时，90.910S ==. 令215n S n ==+，解得23n N *=∉. 因此，输出的S 的值不可能是0.4. 故选：A.【点睛】本题考查利用算法程序框图计算输出的结果，同时也考查了裂项求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9.已知0x >，0y >，0z >，且911y z x+=+，则x y z ++的最小值为（） A. 8 B. 9C. 12D. 16【答案】D 【解析】【分析】将代数式x y z ++与91y z x++相乘，展开后利用基本不等式可求出x y z ++的最小值. 【详解】0x ，0y >，0z >，0x y ∴+>且911y z x+=+，所以，()199101016x y z x y z x y z x y z y z x ⎛⎫+++=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，当且仅当9x y zy z x+=+时，即当3y z x +=时，等号成立，因此，x y z ++的最小值为16. 故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，同时也考查了1的妙用，考查计算能力，属于基础题.10.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(),x y ，则2z x y =+的最大值与最小值之差是（）A. 25+B. 225+C. 235+D. 245+【答案】C 【解析】【分析】平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+与圆224x y +=切于第三象限的点B 时，该直线在x 轴上的截距最小，当直线2z x y =+与圆()2211x y +-=相切于第一象限的点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出对应的z 值，即可得出所求结果. 【详解】如下图所示：当直线2z x y =+与圆224x y +=切于第三象限的点B 时，该直线在x 轴上的截距最小，此时0z <22212z =+，解得25z =-，此时min 25z =-当直线2z x y =+与圆()2211x y +-=相切于第一象限的点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时0z >1=，解得2z =max 2z =.因此，2z x y =+的最大值与最小值之差是(22+-=+故选：C.【点睛】本题考查非线性规划中线性目标函数的最值问题，同时也考查了直线与圆相切问题的处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11.定义在R 上的函数()f x 满足'()()2(xf x f x e e -<为自然对数的底数），其中'()f x 为()f x 的导函数，若2(2)4f e =，则()2x f x xe >的解集为（） A. (),1-∞ B. ()1,+∞C. (),2-∞D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由()2xf x xe ＞，以及()()2xf x f x e -'＜，联想到构造函数()()2x f x g x x e=-，所以()2x f x xe ＞等价为()(2)g x g >，通过导数求()g x 的单调性，由单调性定义即可得出结果．【详解】设()()2x f x g x x e =-，()2x f x xe ＞等价为()(2)g x g >， ()()()20xf x f xg x e'-'=-<，故()g x 在R 上单调递减，所以()(2)g x g >，解得2x <，故选C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的问题，利用单调性定义解不等式，如何构造函数是解题关键，意在考查学生数学建模能力．12.已知球O 的半径为2，A 、B是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（） A. []1,3- B. []2,6- C. []0,1 D. []0,3【答案】B【分析】作出图形，取线段AB 的中点M ，利用向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MA =-，可得出2223PA PB PM MA PM ⋅=-=-，求出PM 的最大值和最小值，即可得出PA PB ⋅的取值范围.【详解】作出图形，取线段AB 的中点M ，连接OP 、OA 、OB 、OM 、PM ，可知OM AB ⊥，由勾股定理可得221OM OA AM=-=，且有MB MA =-，由向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MB PM MA =+=-，()()222223PA PB PM MA PM MA PM MA PM MA PM ∴⋅=+-=-=-=-.PM PO OM =+，由向量的三角不等式可得PO OM PM PO OM -≤≤+，13PM ∴≤≤，所以，[]232,6PA PB PM ⋅=-∈-.因此，PA PB ⋅的取值范围是[]2,6-. 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【解析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 14.已知(]0,πx ∈，关于x 的方程π2sin 3x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()3,2【解析】【分析】在同一坐标中，做出函数1π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(]0,πx ∈，2y a =的图象，利用数形结合根据交点个数即可求解【详解】令1π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(]0,πx ∈，2y a =，作出1y 的图象如图所示.若 π2sin 3x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]0,π上有两个不同的实数解，则1y 与2y 应有两个不同的交点，所以32a <<.答案：)3,2【点睛】本题主要考查了函数与方程，正弦型函数图象，数形结合的思想方法，属于中档题.15.已知1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______. 【答案】15 【解析】【分析】令1x =，可以求出n ，利用二项展开式的通项公式，求出常数项．【详解】已知1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项的系数和为64，令1x =，得2646n n =⇒=，二项展开式的通项公式为36621661()()rrr r r r T C x C x x--+=⋅=，令36042r r -=⇒=，所以常数项为4615C =．【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式．重点考查了二项展开式中的常数项．16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =，则双曲线C 的离心率为______. 【答案】53【解析】【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形2MPF 中，化简求值即可【详解】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =，又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=，又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=解得53e =双曲线的离心率为53【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形2MPF 中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2【解析】【分析】（1）由m n ⊥得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案. 【详解】（1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，113sin 4322ABC S bc A ∆∴=≤⨯⨯=，因此，ABC ∆面积的最大值为3.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18.如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与CDE ∆折起，使得平面BAE 及平面CDE 都与平面DAE 垂直．（1）求证：//BC 平面DAE ；（2）求二面角A BE C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33-【解析】【分析】（1）过点B 作BM AE ⊥于M ，过点C 作CN ED ⊥于N ，连接MN ，利用面面垂直的性质定理证明CN ⊥平面ADE ，BM ⊥平面ADE ，可得出//BM CN ，并证明出BM CN =，可证明出四边形BCNM 为平行四边形，于是有//BC MN ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//BC 平面ADE ；（2）以E 为原点，ED 为x 轴，EA 为y 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法可计算出二面角A BE C--的余弦值．【详解】（1）过点B 作BM AE ⊥于M ，过点C 作CN ED ⊥于N ，连接MN .平面BAE 及平面CDE 都与平面DAE 垂直，平面BAE平面DAE AE =，BM AE ⊥，BM ⊂平面BAE ，BM ∴⊥平面DAE ，同理可证CN ⊥平面DAE ，//BM CN ∴.矩形ABCD 中，BAE ∆与CDE ∆全等，BM CN ∴=.∴四边形BCNM 是平行四边形，//BC MN ∴.又BC ⊄平面DAE ，MN ⊂平面DAE ，//BC ∴平面DAE ；（2）矩形ABCD 中，AE DE ⊥，以E 为原点，ED 为x 轴，EA 为y 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E 、(2,2B 、2,0,2C，(2,2EB ∴=，(2,0,2EC =，设平面CBE 的法向量为(),,n x y z =，则00n EB n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220z x z +=+=，令1z =，得1x y ==-，则()1,1,1n =--，易得平面ABE 的法向量为()1,0,0m =，3cos ,31m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，因此，二面角A BE C --的余弦值为3【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直性质定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 19.已知F 为抛物线C ：y 2=2px （P ＞0）的焦点，过F 垂直于x 轴的直线被C 截得的弦的长度为4．（1）求抛物线C 的方程．（2）过点（m ，0），且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为AB ，若点F 在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围．【答案】（1）y 2=4x （2）1m -3＜＜．【解析】【分析】（1）抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把2p x =代入22y px =，截得的弦的长度为2p ，解得p 即可；（2）由题意得直线方程为y x m =-，联立24y x y x m⎧=⎨=-⎩，得：()22240x m x m -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，且抛物线C 的()1,0F ，将问题转化为()()212122110x x FA FB x m x m ⋅=-++++<，利用韦达定理将2121224,x mx x m x +=+=代入解得m 即可.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把2p x =代入22y px =，得y p =±，所以24p =，因此抛物线方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，过点()0m ,，且斜率为1的直线方程为y x m =-，联立24y x y x m ⎧=⎨=-⎩ ,消去y 得：()22240x m x m -++=()2212212Δ2440124m m m x x m x x m ⎧=+->⇒>-⎪+=+⎨⎪=⎩，易知抛物线C 的()1,0F ，点F 在以AB 为直径的圆内等价于0FA FB ⋅<，()()()11221212121,1,1FA FB y y x x x x y y x x ⋅=-⋅-=-+++()()()1212121x x m m x x x x =-+++-- ()()21212211x x x m x m =-++++()()2221241m m m m =-++++2630m m =--<解得：33m -<<+，符合1m >-.综上：m 的范围是(3-+. 【点睛】本题考查了抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，向量数量积坐标的运算，韦达定理的应用，属于中档题. 20.某游戏棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤；（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）分布列见解析，数学期望92；（2）见解析；（3）游戏不公平. 【解析】【分析】（1）由题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，求出相应的概率，由此可得出随机变量X 的分布列，并计算出随机变量X 的数学期望；（2）棋子要到第()1n +站，分两种情况讨论：一是由第n 站跳1站得到，二是由第()1n -站跳2站得到，可得出111122n n n P P P +-=+，变形后可得出结论；（3）根据（2）中的{}n P 的递推公式得出100P 和99P 的大小关系，从而得出结论.【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()13319345688882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ；可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -. 所以，111122n n n P P P +-=+. 同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为9998971122P P P =+，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009812P P =. 所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，同时也考查了数列递推公式的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数()ln 1af x x x=+-，a R ∈. （1）若关于x 的不等式()1f x x >-+对[1,)x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （2）设函数()()f x g x x=，在（1）的条件下，试判断()g x 在区间2[1,e ]上是否存在极值.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(1,)+∞；（Ⅱ）当2e a ≥时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值；当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上存在极值，且极值均为正．【解析】【分析】（1）不等式恒成立问题，一般先利用变量分离转化为对应函数最值问题：212a x nx x x >--+的最大值，利用导数研究函数2()12m x x nx x x =--+最值，易得()m x 在[1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1m x m ==，因此1a >，（2）即研究()g x 导函数的零点情况，先求导数，确定研究对象为()212h x x x nx a =--，再求目标函数导数，确定单调性：先增后减，两个端点值都小于零，讨论最大值是否大于零，最后结合零点存在定理确定极值点个数. 【详解】解：（Ⅰ）由()1f x x >-+，得111anx x x+->-+．即212a x nx x x >--+在[1,)+∞上恒成立．设函数2()12m x x nx x x =--+，1x ≥．则'()121m x x nx x =--+．∵[1,)x ∈+∞，∴10,210nx x -≤-+<． ∴当[1,)x ∈+∞时，'()1210m x nx x =--+<． ∴()m x 在[1,)+∞上单调递减．∴当[1,)x ∈+∞时，max ()()(1)1m x m x m ≤==． ∴1a >，即a 的取值范围是(1,)+∞．（Ⅱ）211()nx ag x x x x=-+，2[1,]x e ∈． ∴22111'()nx g x x x -=+332212a x x nx ax x---=．设()212h x x x nx a =--，则'()2(11)11h x nx nx =-+=-．由'()0h x =，得x e =．当1x e ≤<时，'()0h x >；当2e x e <≤时，'()0h x <．∴()h x 在[1,e)上单调递增，在2(e,e ]上单调递减．且(1)22h a =-，()2h e e a =-，2()2h e a =-．据（Ⅰ），可知2()(1)0h e h <<．（ⅰ）当()20h e e a =-≤，即2ea ≥时，()0≤h x 即'()0g x ≤． ∴()g x 在2[1,e ]上单调递减．∴当2e a ≥时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值．（ⅱ）当()0h e >，即12ea <<时，则必定212,[1,]x x e ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121x e x e <<<<．当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：∴当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值为12(),()g x g x ，且12()()<g x g x ． ∵11211111()nx a g x x x x =+-111211x nx x ax -+=．设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12ea <<，1x e ≤<． ∵()'10x nx ϕ=≥，∴()x ϕ在[)1,e 上单调递增，()(1)10x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．∵11x e <<，∴1()0g x >． ∴当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值21()()0g x g x >>．综上所述：当2e a ≥时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值；当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上存在极值，且极值均为正．注：也可由'()0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在2[1,e ]上的极值问题．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.（二）选考题：共10分.请考生在第22~23题中任选一题作答. 如果多做，那么按照所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线14cos :4sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12后得到曲线2C ；以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()M -，设直线l 与曲线2C 交于不同的A 、B 两点，求MA MB ⋅的值.【答案】（1）222:1164x y C +=，:60l y -+=；（2）1613. 【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式将直线l cos sin 60θρθ-+=，由此可将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用伸缩变换可得出曲线2C 的参数方程，消参后可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）可知点M 在直线l 上，且该直线的倾斜角为3π，可得出直线l的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），然后将直线l 的参数方程与曲线2C 的直角坐标方程联立，得到关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可求出MA MB ⋅.【详解】（1）直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 60θρθ-+=，60y -+=．将曲线14cos :4sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12后得到曲线2C ，则曲线2C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消参后得221164x y +=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为221164x y +=；（2）由题意知()M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为3π，所以直线l的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入221164x y +=中，得213160t --=．因为M 在2C 内，所以>0∆恒成立，由韦达定理得121613t t =-，所以121613MA MB t t ⋅==．【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.23.设函数()()40f x x a x a =-+-≠．（1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集；（2）若()41f x a ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()3,5；（2）()[),01,-∞+∞．【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；（2）利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值，然后求解关于a 的不等式即可.【详解】（1）当1a =时，()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()f x x <，无解；当14x <<时，()f x x <可得34x <<；当4x ≥时，()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5．（2）()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-，4441a a a a -∴-≥-=．当0a <或4a ≥时，不等式显然成立；当04a <<时，11a ≤，则14a ≤<．故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.。

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷(一模)

题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9．（5 分）已知三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是边长为 3 的等边三角形，侧棱与底面垂直，其
外接球的表面积为16 ，下列说法正确的是 ( )
A．三棱柱
ABC
A1B1C1
的体积是
9
3 2
B．三棱柱 ABC A1B1C1 的表面积是 18
故V 1 3 3 3 2 9 3 ，故 A 正确；
2
2
2
对于
B
:
S表
2
1 2
33
3 3 3 2 9 3 18 ，故 B 错误；
2
2
对于 C ：在三棱柱 ABC A1B1C1 的一侧构造一个完全一样的三棱柱 ABD A1B1D1 ，
所以异面直线 AB1 与直线 A1C1 成角即为 AB1 与直线 D1B1 所成的角，
【分析】对于 A ， l 与相交、平行或 l ；对于 B , l 与相交、平行或 l ；对于 C ， l 与相交、平行或 l ；对于 D ，由线面垂直的判定定理得 l ．【解答】解：由，是两个不同的平面， l ， m ， n 是三条不同的直线，知：
对于 A ， l m ， l n ， m ， n ，则 l 与相交、平行或 l ，故 A 错误；对于 B , l m ， m / / ，则 l 与相交、平行或 l ，故 B 错误；对于 C ，， l / / ，则 l 与相交、平行或 l ，故 C 错误；
“
x0
R
且
x0
0
，使得
x0
1 x0
(2, 2)
，故
B
正确；
对于 C ：已知 a ， b R 且 ab 0 ，原命题“若 a b ，则 1 1 ”的逆命题是“若 1 1 ，则

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2021年(全国新高考1卷)高考数学试卷真题(Word版,含答案解析)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B =A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}2．已知2i z =-，则(i)z z += A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +3A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数π()7sin()6f x x =-单调递增的区间是A ．π(0,)2B ．π(,π)2C ．3π(π,)2D ．3π(,2π)25．已知1F ，2F 是椭圆22194x y C +=：的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为 A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则 A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年广东省春季高考数学模拟试卷(1)(解析版)

2021年广东春季高考数学模拟试卷(1)解析版注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}2,3,4【答案】D【解析】【分析】直接利用交集的定义计算即可.【详解】因为{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =.故故:D.【点睛】本题考查了集合交集的计算，属于基础题.2．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==，故选：C【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.3．的值为（）A．- BC．- D．【答案】A【解析】()()2sin585sin 585720sin 1352=-=-=-. 4．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D【解析】【分析】画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线20x y -=，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.【详解】如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -=当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值所以max 2204z =⨯-=故选：D【点睛】本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解z 的含义，然后简单计算，属基础题.5．设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若537,3a S ==，则6a =( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质得出11473(31)332a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩，解出1,a d ，即可求出6a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d11473(31)332a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩ 解得11,2a d =-=61259a ∴=-+⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x y +的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】【分析】观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出x y 、，相加即可.【详解】因为甲组数据的中位数为17，所以7x =，因为乙组数据的平均数为17.4，所以91616(10)2917.45y +++++=，解得7y =，所以14x y +=.故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题.7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，若(4,3)P 是角θ终边上的一点，则cos θ=（） A ．35 B ．45 C ．43 D ．34【答案】B【解析】【分析】由P 的坐标求得||OP ，再由任意角的三角函数的定义得答案.【详解】由(4,3)P ，得5OP ==，又角θ终边经过(4,3)P ，4cos 5θ∴=. 故选：B .【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，是基础题.8．在ABC 中，10BC =，1sin 3A =，则ABC 的外接圆半径为（）A ．30B ．C ．20D ．15 【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，由正弦定理即可求ABC 的外接圆半径.【详解】若外接圆半径为R ，由正弦定理知：||2sin BC R A=， ∴310152R =⨯=，故选：D【点睛】本题考查了正弦定理，由2sin a R A=结合已知边角求外接圆半径，属于简单题. 9．下列函数为偶函数，且在()0,∞+单调递增的是（）A ．1y x =B ．2y x x =+C ．22y x =-D ．2y x =-【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，先判断函数的定义域，然后计算根据奇偶性以及单调性的判断方法可得结果.【详解】对A ：令()1==y f x x，定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ()()11-===-f x f x x x，所以函数为偶函数，但该函数在()0,∞+单调递减，故A 错对B ：令()2==+y f x x x ，定义域为R ()()2-=-≠f x x x f x ，所以该函数不是偶函数，故B 错对C ：令()22==-y f x x ，定义域为R ()()22-=-=f x x f x ，所以函数为偶函数且在()0,∞+单调递减，故C 错对D ：令()2==-y f x x ，定义域为R()()2-=-=f x x f x 所以函数为偶函数且在()0,∞+单调递增，故D 正确故选：D【点睛】本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.10．设053a =．，30.5b =，3log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵00.51333<<，∴0.5131<<，即13a <<，∵3000.80.8<<，∴300.81<<，即01b <<，∵3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.51<，∴33log 0.5log 10<=，即0c <∴a b c >>，故选：A ．【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题11．函数()x f =的定义域为（）A ．[)()1,22,-⋃+∞B ．()1,-+∞C ．[)1,2-D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】【分析】根据题意可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域.【详解】对于函数()x f =，有1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠.因此，函数()x f =的定义域为[)()1,22,-⋃+∞.故选：A.【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.12．已知函数()()()21020x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()10f a =，则a 的值是（）A ．3-或5B ．3或3-C ．3-D ．3或3-或5【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，结合题中条件，即可求出结果.【详解】若0a ≤，则()2110f a a =+=，∴3a =-（3a =舍去），若0a >，则()210f a a ==，∴5a =，综上可得，5a =或3a =-.故选：A ．【点睛】本题主要考查由分段函数值求参数，属于基础题型.13．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（）A ．900斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛【答案】B【解析】【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺），所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺），因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）. 故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 14．已知直线l 过点(0,2)-，当直线l 与圆222x y y +=相交时，其斜率k 的取值范围是（） A．(- B．(,)-∞-⋃+∞C．44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．,44⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得1d =<，即可得解.【详解】圆222x y y +=的方程可变为()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，因为直线l 过点(0,2)-，且斜率为k ，所以直线l 的方程为2y kx +=即20kx y --=，若要使直线l 与圆相交，则圆心到直线l的距离1d =<，解得((),k ∈-∞-⋃+∞.故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15．已知x ，y 的几组对应数据如下表：根据上表求得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ 2.2b =，那么ˆa =（） A ．2B ．1.6C ．1.2D ．11.2-【答案】B【解析】【分析】求出样本点的中心，再代入回归直线的方程，从而求得ˆa的值. 【详解】∵012342369102,655x y ++++++++====， ∴样本点的中心()2,6，∴ˆˆ6 2.22 1.6aa =⨯+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查利用样本点的中心求回归直线方程的截距，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题16．已知平面向量()2,2a =-，()1,b m =-，若a b ⊥，则b =______.【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算列关系求参数即可.【详解】解：∵a b ⊥，∴220a b m ⋅=--=，解得1m =-，()1,1b ∴=--，∴2b =..【点睛】本题考查了利用向量坐标运算求参数，属于基础题.17．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a ⋅= ．【答案】2【解析】试题分析：由222822828log log 1log 12a a a a a a +=⇒⋅=⇒⋅= ，又数列{}n a 是等比数列，所以37282a a a a ⋅=⋅=考点：本题考查等比数列的性质，对数式的运算点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质18．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_____.【答案】4π 【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积之比即可得到结果．【详解】设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则2112()124P A ππ⨯==⨯. 故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查了几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，属于基础题． 19．已知234a b +=，则48a b +的最小值为______.【答案】8【解析】【分析】由232428a a b b +=+，利用基本不等式即可求解.【详解】由234a b +=，则2322848a b a b =+≥===+，当且仅当232a b ==，即21,3a b ==时取等号，故答案为：8【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.三、解答题20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,，已知35a =，39S =.（I ）求首项1a 和公差d 的值；（II ）若100n S =，求n 的值.【答案】（I ）11a =；2d =；（II ）10n =【解析】【分析】（I ）利用()13332a a S +=求得11a =；根据等差数列通项公式可求得d ；（II ）利用等差数列前n 项和公式可构造出关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】（I ）由题意得：()()1313335922a a a S ++===，解得：11a = 则公差3151222a a d --===（II ）由（I ）知：()2112n n n S na d n -=+= 若100n S =，即2100n =又*n N ∈，解得：10n =【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和的基本量的求解，涉及到等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.21．已知函数()2sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 的单调减区间.【答案】（1）π，最大值为2；（2）3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先化简得()sin 21f x x =+，即得函数的最小正周期和最大值；（2）解不等式3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即得解. 【详解】（1）()2sin()cos()12cos sin 12sin cos 122f x x x x x x x ππ=+-+=+=+ sin 21x =+ 所以函数的最小正周期为22T ππ==，当sin 21x =时最大值为2；（2）令3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111B C CC ⊥，点E ，F 分别是BC ，11A B 的中点，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ．（1）求证：111B C AC ⊥；（2）求证：EF //平面11AC CA ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，可得11B C ⊥平面11ACC A ，可得结果.（2）取11A C 的中点G ，根据 EC //FG ，且EC FG =，可得平行四边形FECG 是平行四边形，然后根据EF //GC ，以及线面平行的判定定理，可得结果.【详解】（1）因为111B C C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，平面11AC CA ⋂平面111BCC B C C =，11B C ⊂平面11BCC B ，则11B C ⊥平面11ACC A ．又因为1AC ⊂平面11AC CA ，所以111B C AC ⊥．（2）取11A C 的中点G ，连接FG ，GC ．在111A B C △中，因为F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点，所以FG //11B C ，且1112FG B C =．在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点，所以EC //11B C ，且1112EC B C =，所以EC //FG ，且EC FG =在平行四边形FECG 是平行四边形，所以EF //GC ．又因为EF ⊄平面11AC CA ，GC ⊂平面11AC CA ，所以EF //平面11AC CA ．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.。

2021年高考数学一模试卷 (12)(含答案解析)

2021年高考数学一模试卷 (19)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1,2，3}，B={−1,3}，则A∪B=()A. {−1,1，2，3}B. {3}C. {−1,2，3}D. {−1,1，2}2.已知双曲线x2m2+16−y24m−3=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为()A. ±54B. ±45C. ±53D. ±353.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<14.复数z=a+i4+3i为纯虚数，则实数a的值为()A. 34B. −34C. 43D. −435.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A. f(x)=2ln x+x−1B. f(x)=2ln x−x+1C. f(x)=2xln xD. f(x)=2lnxx6.设l，m，n为空间的三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题，其中错误的命题为()A. 若l⊥α内的一条直线，则l⊥α内的无数条直线B. 若l//m，l//α，则m与α不垂直C. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，m//n，则l⊥αD. 若l//m，m//α，n//α，则l，m所在的平面与α平行或相交7.《九章算术》有这样一个问题：蒲生河畔，夏善长，某10日，某棵蒲日增等高，该蒲第3日与第5日高之和3尺2寸，前4日高之和为5尺2寸，则该棵蒲第10日高为()A. 2尺4寸B. 2尺6寸C. 2尺8寸D. 3尺8.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗−2b⃗ =0⃗，(a⃗−b⃗ )·b⃗ =2，则|b⃗ |=()A. 12B. 1C. √2D. 29.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()A. f(−x)+f(x)=0B. f(−x)−f(x)=−2f(x)C. f(x)⋅f(−x)≤0D. f(x)f(−x)=−110.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若a1<0，S12=S6，下列说法正确的是()A. d<0B. S19<0C. 当n=9时S n取最小值D. S10>0二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.设随机变量X服从二项分布B(4,13)，则D(X)=______．12.若变量x，y满足约束条件{y≤2x+12x+y≤4y+2≥0，则z=x−2y的最大值为__________________．13.若(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=_________．14.已知点M(0,2)，过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF=π2，则点B坐标为______．15.将编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入三个不同的盒子，其中两个盒子各有2个球，另一个盒子有1个球，则不同的放球方案有____种(用数字作答)。

2021年高考数学一模试卷 (34)(含答案解析)

2021年高考数学一模试卷 (34)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x−12<0}，B={x|log2x<2}，则()A. A⫋BB. B⫋AC. A∩B=(−2,4)D. A∪B=(4,+∞)2.设z=21+i+2i，则z−的虚部是()A. 2B. 1C. −2D. −13.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √74.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且x∈[0,+∞)时，f′(x)<0.若a=−f(ln12)，b=f(ln(1e−1e2)),c=f(e0.1)，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. b<c<aC. c<a<bD. a<c<b5.数学活动小组由5名同学组成，现将5名同学分配到三个不同课题进行研究，若每个课题至少安排1名同学，则不同的分配方案种数为()A. 60B. 90C. 150D. 3006.已知下列说法：①如果数据x1，x2，…，x n的平均数是x−，方差是s2，则2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的平均数和方差分别是2x−+3和2s2+3；②若事件A、B互为对立事件，则事件A、B满足P(A)+P(B)=1；③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；④至少有一个样本点落在回归直线ŷ=b̂x+â上；⑤对于回归方程ŷ=2020−4x，变量x增加一个单位，y^大约减少4个单位．其中错误的结论有几个()A. 1B. 2C. 3D. 47.设数列{na n}是等差数列，且a1=1，a2=2，记数列{(3−a n)⋅(3−a n+1)}的前n项的和为S n，则满足不等式S n>5−12n的最大数n为()A. 10B. 9C. 8D. 78. 已知点P 是椭圆x 236+y 224=1(x ≠0,y ≠0)上的动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|OM|的取值范围是( )A. (0,2√3]B. (0,2√3)C. [2√3,3)D. [0,4]9. 四面体ABCD 的外接球为O ，AD ⊥平面ABC ，AD =2，∠ACB =30°，AB =√3，则球O 的表面积为( )A. 32πB. 16πC. 12πD.223π10. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a =3，b =5，设命题p ：，C 为钝角．关于命题p 有以下四个判断： ①p 为真命题；为，C 不是钝角； ③p 为假命题；为，C 不是钝角．其中判断正确的序号是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④11. 过点M (2 , 4)的直线与圆x 2+y 2=4相切，则该直线的方程是( )A. 3x −4y +10=0B. 4x −3y +4=0C. 3x −4y +10=0或x −2=0D. 4x −3y +4=0或x −2=012. 设函数f(x)=lnx x，若关于x 的不等式f(x)>ax 有且只有一个整数解，则实数a 的取值范围为( )A. (ln39,ln24] B. [ln39,ln24)C. (ln24,12e ]D. [ln24,12e )二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若(x −4x )n 的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为______． 14. 曲线y =−lnx 在点(1,0)处的切线斜率为______ ．15. 已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边．若b 2+c 2−a 2=√2bc ，则A =______三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知底面边长为1，侧棱长为√2的正四棱柱的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 (1) ，体积为 (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=2，AC=AD=DE=4，F为CD的中点．(Ⅰ)求证：AF//平面BCE；(Ⅱ)若∠CAD=60°，求二面角F−BE−D的余弦值．18.已知数列{a n}中．a1=2，且a n=2a n−1−n+2(n≥2,n∈N∗).(Ⅰ)求a2，a3并证明{a n−n}是等比数列；(Ⅱ)设b n=a n，求数列{b n}的前n项和S n．2n−119.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，圆O：x2+y2=32与C交于M，N两点，且△OMN的面积为16，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若点R(−1,t)在直线l上，且A(1,2)，求证：k AR=k AP+k AQ，其中k AR，k AP，k AQ分别表示直2线AR，AP，AQ的斜率20.为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间．为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N(μ,σ2).在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图．(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，σ2的值；(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．(参考数据：√19.2≈4.38，√21.4≈4.63，√26.6≈5.16，0.84137≈0.2898，0.84136≈0.3546，0.15873≈0.0040，0.15874≈0.0006，P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9973)21.已知函数f(x)=lnx+1，g(x)=ax2+x+1．x(Ⅰ)当a>0时，求函数ℎ(x)=e x⋅g(x)的极值点；(Ⅱ)证明：当a≤−1时，g(x)≤f(x)对∀x∈(0,+∞)恒成立．x22.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+(y−4)2=4.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)求圆心C的极坐标；(Ⅱ)从原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−1|(1)解不等式f(x−2)+f(x+2)≥8)．(2)若|a|<1，|b|<1，a≠0.求证：f(ab)>|a|f(ba【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查了集合间的关系，求出集合A，B，根据集合判断即可得到结果．解：由题意可知，A={x|x2−4x−12<0}={x|−2<x<6}，B={x|log2x<2}={x|0<x<4}，故B⫋A，故选B．2.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．4.答案：C解析：本题考查函数性质的综合应用，考查函数单调性及利用导数研究函数单调性，考查比较大小，属于中档题．依题意得f(x)在R 上单调递减，而e0.1>1,0<ln2<1,ln(e−1)−2<0，即可比较a，b，c的大小．解：因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且x∈[0,+∞)时，f′(x)<0．得f(x)在R 上单调递减，a=−f(ln12)=f(−ln12)=f(ln2)，b=f(ln(1e −1e2))=f(ln(e−1)−2)又e0.1>1,0<ln2<1,ln(e−1)−2<0，所以c<a<b．故选C．5.答案：C解析：本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分组，再进行排列．根据题意，分2步进行分析：①，将5名同学分成3组，按2种分组方法讨论，相加可得分组方法数目，②，将分好的3组全排列，对应三个不同课题，由分步计数原理计算可得答案．解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将5名同学分成3组，若按3、1、1分组，有C53=10种分组方法，若按2、2、1分组，有C52C322=15种分组方法，则一共有10+15=25种分组方法，②，将分好的3组全排列，对应三个不同课题，有A33=6种情况，则不同的分配方案有25×6=150种；故选：C．6.答案：C解析：解：对于①如果数据x1，x2，…，x n的平均数是x−，方差是s2，则2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的平均数和方差分别是2x−+3和4s2，故①错误；对于②若事件A、B互为对立事件，则事件A、B满足P(A)+P(B)=1，故②正确；对于③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故③错误；对于④样本中心(x−,y−)一定在回归直线ŷ=b̂x+â上，但是样本点不一定落在回归直线ŷ=b̂x+â上，故④错误；对于⑤回归方程ŷ=2020−4x，变量x增加一个单位，y^大约减少4个单位，故⑤正确．故结论错误的有3个，故选：C．根据平均数，方差判断①，根据对立事件和互斥事件判断②③，根据线性回归方程判断④⑤．本题考查了命题的真假判断，关键掌握平均数方差，对立事件和互斥事件判断，线性回归方程，属于中档题．7.答案：C解析：解：数列{na n}是公差为d的等差数列，且a1=1，a2=2，可得d=2a2−a1=4−1=3，则na n=1+3(n−1)=3n−2，即a n=3−2n，(3−a n)⋅(3−a n+1)=2n ⋅2n+1=4(1n−1n+1)，前n项的和为S n=4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=4−4n+1，不等式S n>5−12n ，即为4−4n+1>5−12n，即n(n−7)<12，显然n=1，2，…，8成立，n=9，10，..，不成立，则n的最大值为8．故选：C．设数列{na n}是公差为d的等差数列，求得公差d，可得a n=3−2n，由数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，通过列举法，即可得到所求最大值．本题考查等差数列的通项公式和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式的解法，以及运算能力，属于中档题．8.答案：B解析：解：由题意得c=2√3，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与O重合，|OM|取得最小值等于0．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2√3．由于xy≠0，故|OM|的取值范围是(0,2√3)，故选B．结合椭圆的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0；当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2√3，由此能够得到|OM|的取值范围．本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．9.答案：B解析：解：由题意，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径为12×√312=√3，∵AD⊥平面ABC，AD=2，∴四面体ABCD的外接球的半径为√1+3=2，∴球O的表面积为4π×4=16π．故选：B．由正弦定理可得△ABC外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD的外接球的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球的半径是关键．10.答案：A解析：解：由于a=3，b=5，要使△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则34=a2+b2<c2，所以当c=7，6时成立，故p为真命题．故①正确，②￢p为∀c∈N∗，C不是钝角；正确，③错误，④￢p为∃c∈N∗，C不是钝角．错误．故选：A．直接利用三角形形状的判定，特称命题和全称命题，命题的否定的应用判定①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角形形状的判定，特称命题和全称命题，命题的否定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.答案：C解析：本题主要考查圆的切线方程的求法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．当斜率不存在时，根据直线和圆相切求得切线方程；当斜率存在时，根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率k的值，从而求得切线l的方程．解：当切线的斜率不存在时，圆x2+y2=4的切线l的方程是x=2，即x−2=0，当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−2)，即kx−y+4−2k=0，=2，由圆心到切线的距离等于半径可得2求得k=3，故圆的切线方程为3x−4y+10=0，4综上可得，圆的切线方程为x−2=0或3x−4y+10=0，故选C．12.答案：B解析：本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题．根据不等式f(x)>ax.分离参数，数形结合即可求解．解：∵f(x)>ax只有一个整数解，即a<lnxx2只有一个整数解，令g(x)=lnxx2，则g(x)的图象在直线y=a的上方只有一个整数解．作出g(x)的图象，由图象可知a的取值范围为g(3)≤a<g(2)即ln39≤a<ln24，故选：B．13.答案：96解析：解：在(x−4x)n中，令x=1可得，其展开式中各项系数和为(−3)n，结合题意可得(−3)n=81，解得n=4．∴(x−4x )n的展开式的通项公式为：T r+1=C4r x4−r(−4x)r=(−4)r⋅C4r⋅x4−2r，令4−2r=0，解得r=2．∴常数项为C42×(−4)2=96．故答案为：96．由已知可得n的值，写出二项式(x−4x)n的通项，令x的指数为0，可得r的值，则答案可求．本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．14.答案：−1解析：解：由y=−lnx，得y′=−1x，∴y′|x=1=−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，然后直接取x=1得曲线y=−lnx在点(1,0)处的导数值，即切线的斜率．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．15.答案：π4解析：本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．由题意利用余弦定理，求得cos A的值，可得A的值．解：△ABC中，若b2+c2−a2=√2bc，则cosA=b2+c2−a22bc =√22，∵A是△ABC的内角，∴A=π4，故答案为：π4．16.答案：4π43π解析：解：∵正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，∴正四棱柱的外接球的直径2R=√12+12+(√2)2=2，则R=1．∴球的表面积为4π×12=4π；体积为43π×13=43π．故答案为：4π；43π．由已知求出正四棱柱外接球的半径，则球的表面积和体积可求．本题考查多面体外接球的表面积与体积，考查计算能力，是基础题．17.答案：证明：(Ⅰ)证法一：如图(1)，取DE的中点M，连接AM，FM，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//DE．又∵AB=EM=12DE，∴四边形ABEM是平行四边形，∴AM//BE又∵AM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AM//平面BCE．∵CF=FD，DM=ME，∴MF//CE，又∵MF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，∴MF//平面BCE，又∵AM∩MF=M，∴平面AMF//平面BCE，∵AF⊂平面AMF，∴AF//平面BCE．证法二：如图(2)，取CE的中点N，连接FN，BN，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//DE，∵CF=FD，CN=NE，∴NF//DE，NF=12DE，又AB=12DE，∴AB//NF，AB=NF，∴四边形ABNF是平行四边形，∴AF//BN，又∵AF⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，∴AF//平面BCE．(Ⅱ)解法一：如图(3)过F 作PF ⊥AD 交AD 于点P ，作PG ⊥BE ，连接FG ．∵AB ⊥平面ACD ，AB ⊂平面ABED ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，∴PF ⊥平面ABED ，∴FG ⊥BE(三垂线定理)．所以，∠PGF 就是二面角F −BE −D 的平面角．由AC =AD ，∠CAD =60°，知△ACD 是正三角形，在Rt △DPF 中，PD =DFcos60°=1，PF =√3，∴PA =3， ∴S △PBE =S 梯形ABED −S △ABP −S △PDE =12−3−2=7，∵BE =√16+4=2√5，∴PG =14BE =7√5∴在Rt △PGF 中，由勾股定理，得FG =√5，∴cos∠PGF =78，即二面角F −BE −D 的余弦值为78．解法二：以A 为原点，分别以AC ，AB 为x 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系A −xyz ，如图(4)所示，则A(0,0，0)，B(0,0，2)，E(2,2√3,4)，F(3,√3,0)，于是，有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,−2)，设平面BEF 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{2x 1+2√3y 1+2z 1=03x 1+√3y 1−2z 1=0令y 1=√3，可得，n 1⃗⃗⃗⃗ =(−95,√3,−65)设平面ABED 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{2z 2=02x 2+2√3y 2+2z 2=0y 2=√3，可得，n 2⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,0)∴cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=78所以，所求的二面角F −BE −D 的余弦值为78．解析：本题考查用线面平行的判定定理证明线面平行，以及求二面角的平面角，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．(Ⅰ)证法一：取DE 的中点M ，连接AM ，FM ，根据线段的长度关系可得：AM//BE ，再根据中位线可得：MF//CE，进而结合线面平行于面面平行的判定定理可得答案．证法二：取CE的中点N，连接FN，BN，根据线段的长度关系与平行关系可得：AB//NF，AB=NF，进而得到AF//BN，然后根据线面平行的判定定理证明线面平行．(Ⅱ)解法一：过F作PF⊥AD交AD于点P，作PG⊥BE，连接FG.根据三垂线定理可得：PGF就是二面角F−BE−D的平面角．再结合特征的条件把角放入三角形中，利用解三角形的有关知识解决问题．解法二：建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量借助于向量的有关计算，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．18.答案：解：(Ⅰ)由a n=2a n−1−n+2(n≥2,n∈N∗)，且a1=2，得a2=2a1−2+2=4，a3=2a2−3+2=2×4−3+2=7．再由a n=2a n−1−n+2，得a n−n=2a n−1−2n+2，即a n−n=2[a n−1−(n−1)]，∵a n−na n−1−(n−1)=2(n≥2,n∈N∗)，∴{a n−n}是以2为公比的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，a n−n=(a1−1)⋅2n−1，即a n=2n−1+n，∴b n=a n2n−1=1+n2n−1，设c n=n2n−1，且其前n项和为T n，∴Tn=1+21+32+⋯+nn−1①1 2T n=121+222+323…+n2n②①−②得：12T n=1+(12−122+123+⋯+12n−1)−n2n=1−1 2n1−12−n2=2−2+n2．∴T n=4−2+n2n−1，则S n=n+4−2+n2n−1．解析：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．(Ⅰ)在已知的数列递推式中分别取n=2，3，结合已知的首项即可求得a2，a3的值，再把递推式两边同时减n即可证明{a n−n}是等比数列；(Ⅱ)由{a n −n}是等比数列求出数列{a n }的通项公式，代入b n =an 2n−1，分组后利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和S n ．19.答案：解：(1)不妨设点M(x 0,y 0)在第一象限，联立方程，{x 02+y 02=32y 02=2px 0x 0y 0=16, 解得x 0=4，y 0=4，2p =4，故抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意得F(1,0)，设直线l:x =my +1(m ≠0)，代入y 2=4x ，得y 2−4my −4 =0，△=(−4m )2+16>0设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2= −4，由題意可解得R(−1,−2m )，k AR =−2m −2−1−1=1m +1，而k AP +k AQ =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=y 1−2my 1+y 2−2my 2=2m −2m (1y 1+1y 2)=2m −2(y 1+y 2)my 1y 2=2m +2，故k AR =k AP +k AQ 2．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．(1)由条件，不妨设点M(x 0,y 0)在第一象限，联立方程，{x 02+y 02=32y 02=2px 0x 0y 0=16即可求解;(2)设直线l:x =my +1(m ≠0)，联立抛物线方程求出y 1+y 2=4m ，y 1y 2= −4，分别求出k AR ，与k AP +k AQ ，即可得证．20.答案：解：(1)μ=0.1×2+0.2×6+0.4×10+0.2×14+0.1×18=10，σ2=s 2=2×(82×0.1+42×0.2)+(10−10)2×0.4=19.2．(2)μ+σ=10+4.38=14.38，设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A ，P(x>14.38)=1−p(μ−σ<X<μ+σ)2=0.1587，P(A)=C103(0.1587)3(0.8413)7≈0.139>0.003，准点率正常．解析：本题主要考查频率分布直方图，正态分布，考查数学建模，数据分析，数学运算的数学素养，属于中档题．(1)直接代入公式求解即可．(2)设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A，求出P(A)，与P(x>14.38)作比较，可得结论．21.答案：解：(Ⅰ)∵g(x)=ax2+x+1，∴ℎ′(x)=e x⋅g(x)+e x⋅g′(x)=e x(ax2+x+1+2ax+1)=e x(ax2+(2a+1)x+2)=e x(ax+1)(x+2)，令ℎ′(x)=0，解得x=−1a或x=−2，即函数的极值点为x=−1a或x−2；(Ⅱ)∵f(x)=lnx+1x，x>0，∴f′(x)=1x −1x2=x−1x2，当f′(x)>0时，解得x>1函数单调递增，当f′(x)<0时，解得0<x<1函数单调递减，∴f(x)min=f(1)=1，要证明：当a≤−1时，g(x)≤f(x)x对∀x∈(0,+∞)恒成立只要证当a≤−1时，xg(x)≤f(x)对∀x∈(0,+∞)恒成立只要证a当a≤−1时，x3+x2+x≤1对∀x∈(0,+∞)恒成立，只要证a≤−x2−x+1x3对于a≤−1时，对∀x∈(0,+∞)恒成立，设m(x)=−x2−x+1x3，则m′(x)=x2+2x−3x4，令m′(x)=0，解得x=1，当m′(x)>0时，即x>1，函数单调递增，当m′(x)<0时，即0<x <1，函数单调递减，∴m(x)min =m(1)=−1，即a ≤−1，故当a ≤−1时，g(x)≤f(x)x 对∀x ∈(0,+∞)恒成立．解析：(Ⅰ)求导，令ℎ′(x)=0，解得即可， (Ⅱ)利用分析法，要证结论成立，只要证明a ≤−x 2−x+1x 3对于a ≤−1时，对∀x ∈(0,+∞)恒成立，构造函数，m(x)=−x 2−x+1x 3，只要求出函数的最小值为−1即可本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，关键时求出函数的最值，属于中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)因为x 2+(y −4)2=4，所以圆心C (0,4)，所以圆心C 的极坐标为(4,π2)．(Ⅱ)根据题意知直线斜率不为0，故设直线为x =my ，联立直线与圆有{x 2+(y −4)2=4x =my，得(m 2+1)y 2−8y +12=0， Δ=64−48(m 2+1)>0⇒−√33<m <√33，所以y 1+y 2=8m 2+1，x 1+x 2=m (y 1+y 2)=8m m 2+1，所以弦的中点的坐标为{x =x 1+x 22=4m m 2+1①y =y 1+y 22=4m 2+1②,−√33<m <√33, ①②得到m =x y ，再代入②得：y =4(x y)2+1化简有x 2y +y =4，将，代入有，化简得：，又因为−√33<m <√33即，所以π3<θ<2π3，所以弦的中点轨迹的极坐标方程为．解析：本题考查直角坐标化极坐标，直线与圆的位置关系，弦中点的轨迹方程，属于中档题． (Ⅰ)先根据圆的标准方程求出其圆心的直角坐标，再将直角坐标化为极坐标．(Ⅱ)根据题意设出直线，联立直线与圆，即可求出弦的中点轨迹的参数方程，再将参数方程化为极坐标方程即可．23.答案：解：(1)函数f(x)=|x −1|那么f(x −2)+f(x +2)=|x −3|+|x +1|≥8，∴{x ≥32x −2≥8或{x ≤−12−2x ≥8或{−1<x <34≥8解得：x ≥5或x ≤−3；∴原不等式的解集为{x|x ≥5或x ≤−3}；(2)要证f(ab)>|a|f(b a )．只要证|ab −1|>|a|⋅|b a −1|.即|ab −1|>|b −a|，只要证|ab −1|2>|b −a|2作差：|ab −1|2−|b −a|2=a 2b 2−2ab +1−b 2+2ab −a 2=a 2b 2+1−b 2−a 2=(a 2−1)(b 2−1)∵|a|<1，|b|<1，∴(a 2−1)(b 2−1)>0即|ab −1|>|b −a|成立故得f(ab)>|a|f(b a )．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和证明．属于中档题．(1)利用零点分段即可求解；(2)由f(ab)>|a|f(b a ).可得|ab −1|>|a|⋅|b a −1|.|ab −1|>|b −a|，平方后作差即可证明；。

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