北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷(文科)-Word版含解析

2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2） D．（﹣1，2）2．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．33．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=log2x D．y=|x|+14．已知向量，满足=0，（）•=2，则||=（）A．B．1 C．D．25．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．96．在△ABC中，“A＜30°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A． B．[，] C． D．[，2]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为．10．已知数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，则a1= ，其前n 项和S n= ．11．已知圆C：x2+y2﹣2x=0，则圆心C 的坐标为，圆C截直线y=x 的弦长为．12．已知x，y满足，则2x+y的最大值为．13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①AD，DB②AC，DB③CD，DB其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为．（写出所有所和要求的条件的序号）14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n﹣n} 的前n 项和为S n，比较S4和S5的大小，并说明理由．16．（13分）已知函数（Ⅰ）求f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）求f（x）在上的单调递增区间．17．（13分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数（Ⅱ）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．19．（13分）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程．20．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在函数f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1＜x2，求证：．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2） D．（﹣1，2）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数i（2﹣i）=2i+1在复平面内对应的点的坐标为（1，2），故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=log2x D．y=|x|+1【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A.是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件．C．y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=|x|+1是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．已知向量，满足=0，（）•=2，则||=（）A．B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得=2，可得||的值．【解答】解：∵向量，满足=0，（）•=﹣=2﹣==2，则||=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．5．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．6．在△ABC中，“A＜30°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由，则0°＜A＜30°或150°＜A＜180°，则A＜30°”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的关系是解决本题的关键．7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，即可求出体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，体积为=，故选B．【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图与直观图的转化，确定直观图的形状是关键．8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A． B．[，] C． D．[，2]【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF 交于线段DD1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选C．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为y=2x或（y=﹣2x）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出a和b 的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：由双曲线C：得到a=1，b=2，则双曲线C 的渐近线方程为y=±2x，故答案为：y=2x或（y=﹣2x）．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．10．已知数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，则a1= ﹣1 ，其前n 项和S n= n2﹣2n ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】推导出数列{a n} 是公差d=2的等差数列，由此能求出首项和前n项和．【解答】解：∵数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，∴数列{a n} 是公差d=2的等差数列，∴a3=a1+2d=a1+4=3，解得a1=﹣1，∴S n==﹣1+=n2﹣2n．故答案为：﹣1，n2﹣2n．【点评】本题考查数列的首项和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．已知圆C：x2+y2﹣2x=0，则圆心C 的坐标为（1，0），圆C截直线y=x 的弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C方程化为标准形式，找出圆C的半径及圆心坐标即可；利用点到直线的距离公式，求直线l与圆心C的距离，即可求出圆C截直线y=x 的弦长．【解答】解：圆C方程x2+y2﹣2x=0化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，则圆C的半径为1，圆心C坐标为（1，0）；圆心C（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离d=，∴圆C截直线y=x 的弦长为2=，故答案为（1，0），．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程与一般方程的转化，考查计算能力．12．已知x，y满足，则2x+y的最大值为10 ．【考点】简单线性规划．【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解【解答】解：令z=2x+y，则y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分做直线2x+y=0，然后把直线2x+y=0向上平移，结合图形可知，当直线平移到B时，z最大由可得B（4，2），此时z=10故答案为：10【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①AD，DB②AC，DB③CD，DB其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为①②③．（写出所有所和要求的条件的序号）【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得，结合余弦定理即可得解．【解答】解：∵∠CAD=30°，∠CDB=50°．∴可得：∠ACD=20°，∴在△ACD中，可得，即给一边，可求另外两边，进而利用正弦定理，余弦定理可求△ABC的各边及角．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是乙．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，即可得出结论．【解答】解：根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，A大学的男女生比例有可能等于B大学的男女生比例，即A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例故答案为乙【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知数列{a n} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n﹣n} 的前n 项和为S n，比较S4和S5的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{a n﹣n} 的前n 项和S n的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n} 的公比为q，由a3+a4=6，可得又a2=1，所以q+q2=6，解得q=2 或q=﹣3，因为a n＞0 （n=1，2，3，…），所以．所以q=2，解得，所以，数列{a n} 的通项．．（Ⅱ）由数列{a n﹣n} 的前n 项和S n的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，所以，所以S5＞S4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知函数（Ⅰ）求f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）求f（x）在上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）根据函数成立的条件，结合三角函数的性质进行求解即可．（Ⅱ）将函数进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由cosx≠0，可得x≠kπ+，k∈Z，所以f（x）的定义域为，.．（Ⅱ）==2sinx+2cosx=，因为，所以．因为函数y=sinx 在上单调递增，所以时，单调递增，此时，所以，函数f（x）在上的单调递增区间为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件将函数进行化简是解决本题的关键．17．（13分）（2016秋•海淀区期末）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数（Ⅱ）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由数据统计表能求出八周诚信水站诚信度的平均数．（Ⅱ）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，由此利用列举法能求出设至少有1个数据出现在第二个周期的概率．（Ⅲ）根据提供的数据，判断该主题教育活动有效．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）八周诚信水站诚信度的平均数为=．（Ⅱ）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，从这5个数据中任取2个共有10种情况：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2．其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况．设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A 则．（Ⅲ）有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况：①第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第二个周期的诚信度平均数87.75%；②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；③第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第一、二个周期的诚信度平均数90.5%；④12周的整体诚信度平均数为91%，高于前两个周期的诚信度的平均数90.5%；【点评】本题考查数据统计表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．（14分）（2016秋•海淀区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，得CD⊥AE．（Ⅱ）由AB∥DC，CD⊥平面PAD，⇒AB⊥平面PAD．又由AB⊂平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD．（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到，这与OB=OD 矛盾．【解答】解：（Ⅰ）因为PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．（Ⅱ）因为AB∥DC，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD．又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，设BD∩AC=O，连结OE，则平面EAC∩平面PDB=OE，又PB⊂平面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有=，由E是PD中点可得，即OB=OD．因为AB∥DC，所以，这与OB=OD 矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行．（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，属于基础题．19．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题设可得，及其a2=b2+c2，解出即可得出．（Ⅱ）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于．由题设可得B（0，1），利用数量积运算性质可得：．又C（x C，y C）在椭圆G 上，可得，解出即可得出．法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x﹣2），与椭圆方程联立可得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．利用根与系数的关系可得：由题设可得以AC为直径的圆经过点B（0，1）等价于．解出即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题设可得，解得，因为a2=b2+c2，所以，所以椭圆G 的标准方程为．．（Ⅱ）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于．由题设可得B（0，1），所以，，所以．又C（x C，y C）在椭圆G 上，所以，由，可得，解得x C=0 或，所以C（0，1）或，所以，直线l 方程为x+2y﹣2=0或3x﹣10y﹣6=0．法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x﹣2），由，可得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．△＞0，，又因为x A=2，所以．由题设可得以AC为直径的圆经过点B（0，1）等价于．所以，即．解得或．所以，直线l 方程为x+2y﹣2=0 或3x﹣10y﹣6=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）（2016秋•海淀区期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在函数f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1＜x2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算切线的斜率，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）根据函数的单调性得到方程f（x）=a 有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，且e﹣1＜x1＜1＜x2，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）=0，得，所以，函数f（x）零点为，由得，所以，所以曲线y=f（x）在零点处的切线方程为，即y=e2x﹣e．（Ⅱ）由函数得定义域为（0，+∞）．令f'（x）=0，得x=1．所以，在区间（0，1）上，f'（x）＞0；在区间（1，+∞）上，f'（x）＜0．故函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f（x）在（0，e﹣1）上f（x）＜0，在（e﹣1，+∞）上f（x）＞0．由（Ⅱ）结论可知，函数f（x）在x=1 处取得极大值f（1）=1，所以，方程f（x）=a 有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，且e﹣1＜x1＜1＜x2，法1：所以，由f（x）在（1，+∞）上单调递减可知，所以；法2：由f（x）=a，可得lnx+1=ax，两个方程同解．设g（x）=lnx+1﹣ax，则，当0＜a＜1 时，由g'（x）=0，得，所以g（x），g'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，，所以．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．- 21 -。