等比数列的判定与证明-定义法ppt课件

512
0
a3 128或a3 4
aa38
128或 4
a3 a8
4 128
∵ 公比 q 为整数
aa83
4 128
q5 128 32 4
q 2
∴ a 10 = a 3×q 10 －3 = －4×(-2) 7 = 512
7
回顾小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前一 概念 从第2项起,每一项与它前一
等比数列的判定与证明-定义法
1
对a概n1念的q(更是深与理n无解关的数或式子,且q 0）
an
(1) 1，3，9，27，…
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，… (4) 1，-1，1，-1，…
解得， a1 5 ， q 2
因此
a4 a1q3 40
答：它的第一项是5，第4项是40.
5
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1 ,公比为 q1;bn 首项为b1 ,公比为q2
那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
1
是,公比 q= 2
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，…
(6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x , x2 , x3, x4 , L (x 0) 是,公比 q= x
a1
q n1 1
b1
q2 n1与a1
q1n
b1
q2 n
即为
a1b1 (q1q2 )n1与a1b1 (q1q2 )n
an1 bn1 an bn
a1b1 (q1q2 ) n a1b1 (q1q2 ) n1
q1q2 .它是一个与n无关的常数，
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 6
3
等比数列通项公式的推导：
an an 1
q n 2
方法一:累乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q
…a3 …
an q an 1
(n-1)个 式子
方法二:迭代法
a2 a1q
a3
a2q a1q
2
(a1q)q
a4 a3q (a1q 2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1q n1
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…
a 0 时,只是等差数列Biblioteka Baidu
而不是等比数列. 2
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2)
4
课堂互动
(1)一个等解比：数设列它的的第第5一项项是是9 4,a公，1 比则是由题13意，得求它的第1项；
a1
(
1 )51 3
4 9
解得， a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解：设它的第一项是 a，1 公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20
项的比等同一个常数
项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零
性质
an a1 • q n1
通项
an am q nm
通项 变形
(n, m N * )
d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
an
am
(n m)d
(n, m N * )
8
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
法公一比：q直为接整列数方，程求组a求10. a 1、q。
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512
a
2 3
124a3