线性代数答案

a13 ⎞⎛ x1 ⎞
(a
11 1
x +a12 x2 +a13 x3
a12 x1 +a2 2 x2 +a23 x3
= a11 x1 + a22 x2 + a33 x3 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3
2 2 2
三、解： 3 AB − 2 A
1× 2+1× ( −2 ) + 1× 5 1 × 3 + 1 × 4 + 1× 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1×1+1× ( -1) +1× 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ 1× 1 + 1× ( −1) + ( −1) × 0 1× 2 + 1× ( −2 ) + ( −1) × 5 1× 3 + 1× 4 + ( −1) × 1⎟ -2 ⎜ 1 1 -1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1× 3+ ( -1) × 4+1× 1 ⎟ ⎝ 1× 1 + ( −1) × ( −1) + 1× 0 1× 2+ ( -1) × ( -2 ) +1× 5 ⎠ ⎝ 1 -1 1 ⎠
，
,再由代数余子式的
所以 7、 ．
.
1 2 3 1 2 0 解：由代数余子式的的定义，及 1 0 3
.
n 0 0 = (2 − n)n! n
1 0 0
可知
∑∑ A
i =1 j =1
n
n
ij
= (1 − (n − 1))n!
8、 ． 解：
1 1 1 1 2 4 1 −2 4 1 x x2
1 8 = 12( x − 1)( x − 2)( x + 2) = 0 −8 x3
1. ⎜
3. 3E 4.
1 ， 9 , 81 3
二、计算下列乘积
⎛ 4 × 7 + 3 × 2 + 1 × 1 ⎞ ⎛ 35 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1) 1 × 7 + ( −2) × 2 + 3 × 1 = 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 × 7 + 7 × 2 + 0 × 1 ⎟ ⎜ 49 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0⎞ ⎟ A2 ⎠
0 1 2 1 − 6 5 − 24
−1
0 0 1 − 3 1 12
A* −1 (4) A = A
⎛ 24 0 0 ⎜ −12 12 0 A = 24 A* = ⎜ ⎜ −12 −4 8 ⎜ ⎝ 3 −5 −2
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 6⎠
⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 4⎠
证：
两边取行列式，得 ， 。
（2）
.
（3）对原行列式加边，得到
用第 1 行乘以-1 加到其他各行上，得到
5、 解：由行列式的定义，行列式展开后每项都是由位于不同行、不同列的 n 个元素的乘积 组成，因此， 中除去有零的项外，只有一项，即
当行标为自然排列时，列标排列的逆序数为 定义有 (i=1,2,…,n) 6、 . 解：
第 1 行乘以-1 加到其余两行，得到 . 3、 解： 将 依第 1 行展开，得到 ,
由此可见 4、
的最高次项次数为 3；其系数为 126.
解： （1） Dn =
1 + x1 y1 1 + x1 y 2 1 + x 2 y1 1 + x 2 y 2 1 + x n y1 1 + x n y 2
1 + x1 y n 1 + x2 yn 1 + xn yn
2
⎛1 0 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
3
0 1⎞ ⎛1 0 n⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0⎟ =⎜0 1 0⎟ ⎜ ⎟ 0 1⎟ ⎠ ⎝0 0 1⎠
五、解：
⎛ 8 2 4 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 9 10 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f ( A ) = A − A + E = ⎜ 11 2 3 ⎟ − ⎜ 3 1 2 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 12 16 4 ⎟ ⎜ −1 0 −1⎟ ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
由行列式的定义可知根的个数为 2. 10、 (1)
解：
.
（2）
.
（4）
.
பைடு நூலகம்
(5)
以此类推，得到：
2
n ( n +1) 2
⎡ 1 ⎞⎤ ⎛ ⎢1 + x ⎜ 2 − 2n ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣
（6）
. 11、 证明：
.
12、
13、
14、 ， 证明：
所以：
.
习题二答案
一、填空 解：
⎛ 3 11 3 ⎞ ⎛ 6 10 −1⎞ ⎟ ，⎜ ⎟ ⎝ 0 8 15 ⎠ ⎝ 0 11 9 ⎠ ⎛ −21 −2 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ −6 −3 ⎞ 2. 10 −4 2 ， ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ 5 −2 ⎠ 4 − 1 ⎝ ⎠
(3) M 31 ＝（
） ，
３、下列行列式中（ ）的值为零，将对应的题号填在前面的括号内 （ ∨）(1)行列式Ｄ中有两行对应元素之和与另一行元素对应成比例。 （ × ）(2) 行列式Ｄ中有一行与另一列对应元素成比例 （ ∨）(3) 行列式Ｄ中有两行对应元素之和为零 （ × ）(4) 行列式Ｄ中有两行含有相同的公因子 （ ∨）(5)互换行列式Ｄ中两行，所得行列式与Ｄ相等 （ ∨）(6)行列式Ｄ的转置行列式 D
a2 b2 D= 2 c d2
2a + 1 2b + 1 2c + 1 2d + 1
2a + 3 2b + 3 2c + 3 2d + 3
2a + 5 2b + 5 2c + 5 2d + 5
。
第 2 列乘-1 加到第 3、4 列，则第 3、4 列成比例，故
8、证：
两边取行列式，得
1 + x1 y1 1 + x 2 y1 1 + x3 y1 1 + x 4 y1
c+a c1 + a1 c2 + a2 a a1 a2
a+b a1 + b1 = a 2 + b2 b b1 = b2
a+b b a1 + b1 = b1 a 2 + b2 b2
a c a1 + c1 a2 c2
10、 解： (1) 1，0，1 ； (2) 1，-1，-1，1 ； (3) 1，2，3，-1； (4) (5) x k = 1、 解：
0 ⎞ ⎟ A2 −1 ⎠
0⎞
(5)
⎛ 1 −2 ⎞ 令A1 = ⎜ ⎟ ⎝ −2 5 ⎠
⎛ 2 −3 ⎞ A2 = ⎜ ⎟ ⎝ −5 8 ⎠
⎛A A=⎜ 1 ⎝0
⎛ A1−1 A =⎜ ⎝ 0
⎛ 1 −2 0 0 ⎞ ⎜ −2 5 0 0 ⎟ ⎟ A−1 = ⎜ ⎜ 0 0 2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 −5 8 ⎠
线性代数参考答案 习题一解答 （A 组） １、判断以下命题是否正确。若正确，在（ ）内划“∨” ；若不正确，在（ ）内划“ × ” (1)（ × ） (2)（ × ） (3) （∨） (4) （ × ） (5) （ × ） (6)（ × ） (7)（∨ ）(8) （ × ） (9)（ × ） (10)（∨ ） (11)（ ∨） ２、将正确答案填在（ ）内。 (1)当 i = (3), j = (6) 时， (2)（ （ ） ）
所以 x = 1, 2, −2 。 9、 ．
x−2 x −1 x − 2 x − 3 x − 2 x −1 x − 2 x − 3 2x − 2 2x − 1 2x − 2 2x − 3 2 1 2 3 解： = = x +1 3x − 3 3x − 2 4 x − 5 3x − 5 3 1 4 x +1 4x 4 x − 3 5x − 7 4x − 3 8 1 9 x − 2 x −1 x − 2 x − 3 −1 x −1 −1 − 2 2 1 2 3 1 1 1 2 =0 = = x +1 x 3 1 4 2 1 3 5 0 0 5 5 0 0 5
9、 证：
1 + x1 y 2 1 + x1 y 3 1 + x2 y 2 1 + x2 y3 1 + x 3 y 2 1 + x3 y 3 1 + x4 y 2 1 + x4 y3
1 + x1 y 4 1 + x2 y4 =0 1 + x3 y 4 1 + x4 y4
b+c b1 + c1 b2 + c 2 b = b1 b2 a = 2 a1 a2
c+a c1 + a1 c2 + a2 c+a c1 + a1 c2 + a2 b b1 b2 c c1 c2
a+b b a1 + b1 = b1 a 2 + b2 a c a1 + c1 a2 c2 a a1 a2 b2
c+a c1 + a1 c2 + a2
a+b c a1 + b1 + c1 a 2 + b2 c c1 c2 c2
(2) (1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 1) = (10)
⎛ 2 × (−1) 2 × 2 ⎞ ⎛ −2 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3) 1 × ( −1) 1 × 2 = −1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 × (−1) 3 × 2 ⎟ ⎜ −3 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(4) 解：
⎛1 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 1 4 0 ⎞ ⎜ 0 −1 2 ⎟ ⎜ 1 −1 3 4 ⎟ ⎜ 1 −3 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 4 0 −2 ⎠
T
= −D 。
4、 5、
解：(1) 12；(2) 5；(3) 负号；(2)负号。
n ( n + 1) ；(4) k 2 。 2
解：
6、
解：
(1) 8；
(2) 0；
(3) 0； (6) 105。
(4) abcd + ab + cd + ad + 1 ；(5) -1080；
7、证：第 3 列乘-1 加到第 4 列，第 2 列乘-1 加到第 3 列，第 1 列乘-1 加到第 2 列，得
A−1 =
⎛ cos θ A = 1 ， A−1 = ⎜ ⎝ − sin θ
⎟；
⎛ 1 0 0 −2 1 0 ⎞ ⎛ −2 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 13 ⎟ 1 13 1 3 − ⎟ (3) ( A E ) → ⎜ 0 1 0 − 3 − ⎟ ； A−1 = ⎜ − 2⎟ ⎜ 2 2⎟ ⎜ 2 ⎜ −16 7 −1 ⎟ ⎜ 0 0 1 −16 7 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎜ 1 ⎜− ⎜ 2 A−1 = ⎜ 1 ⎜− ⎜ 2 ⎜ 1 ⎜ ⎝ 8
2 × 3+1× ( -1) +4 × ( -3) +0 × 0
=⎜
⎛6
⎟ ⎝ 20 −5 −6 ⎠
−7
8⎞
(5) 解：
⎛ a11 ⎜ ( x1 , x2 , x3 ) a12 ⎜ ⎜a ⎝ 13
a12 a22 a23
a23
⎟⎜ x ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎟ a33 ⎟⎜ ⎠⎝ x3 ⎠
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ a13 x1 +a23 x2 +a33 x3 ) ⎜ x2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠
2
六、证明: 已知： A = A
T
则 从而 七、 解： (1)
( BT AB)T = BT ( BT A)T = BT AT B = BT AB
BT AB 也是对称矩阵.
A−1 =
A , A =1； A
A* A
*
⎛ 5 −2 ⎞ A−1 = ⎜ ⎟ ⎝ −2 1 ⎠
sin θ ⎞ cos θ ⎠
(2)
T
四、 解：
⎛1 0 2⎞ ⎜ ⎟ 因为 k=2,3 时有 A = 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 n − 1⎞ ⎜ ⎟ n −1 设 k=n-1 时 A = 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 n-1⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟⎜ n 则 k=n 时 A = 0 1 0 ⎜ ⎟⎜0 ⎜0 0 1 ⎟⎜0 ⎝ ⎠⎝
⎛ −2 13 22 ⎞ ⎜ ⎟ = −2 −17 20 ⎜ ⎟ ⎜ 4 29 −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛1 1 1 ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 0 5 8 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A B =⎜ ⎜1 1 -1⎟ ⎜ -1 -2 4 ⎟ = ⎜ 0 −5 6 ⎟ ⎜1 -1 1 ⎟ ⎜ 0 5 1 ⎟ ⎜ 2 9 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
1507 1145 395 212 ； ,− ,− , 665 665 665 665
15 −k 4
( k = 1,2,3,4,5) 。
B组
= 3 – 17 + 30 – 16 = 0。 2、 解：
第 2， 3 列都加到第 1 列后， 从第 1 列中提出公因子 1000； 第 3 列乘以-1 加到第 2 列后， 从第 2 列中提出公因子 100。即得
=⎜
2 × 1+1× 2+4 × 1+0 × ( -2 ) ⎞ ⎟ ⎝1× 1+ ( -1) × 0+1× 3+4 × 4 1× 3+ ( -1) × ( -1) +3 × ( -3) +4 × 0 1× 1+ ( -1) × 2+3 × 1+4 × ( -2 ) ⎠ ⎛ 2 × 1+1× 0+4 × 1+0 × 4