2021年上海市中考数学考点必杀500题专练12(几何压轴题)(30题)(解析版)

合集下载

2021年中考数学几何专题练习(含解析)

2021年中考数学几何专题课时练及答案一．选择题1．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化二．填空题2．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．3．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为．4．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC 上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．5．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．6．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为．7．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y 轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．8．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．三．解答题9．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．10．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．11．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE ⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．12．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．13．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．答案提示1．【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．2．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．3．【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM ＞135°．【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．4．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案为：．5．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．6．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，解得：x=﹣（负数舍去），即AP=﹣；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即AP=2；故答案为：2或2或﹣．7．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．8．【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9=6，∴空白部分的面积为9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=+3，故答案为： +3．9．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.10．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．11．【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x ﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，∵四边形ABED的面积为24，∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．12．【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．13．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练10(向量大题)(30题)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练10（向量大题）（30道）1．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）8BF =；（2）4b ⃗ ，3b ⃗ −32a ⃗ 【分析】（1）先证△CEG△△CBA ，再证△ECG△△EFD ，然后求解即可；（2）先证22EC BE b ==，CF b =，再证32ED EG CD a =+=，然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可．【详解】解：（1）△AB△GE ，△△B=△DEC ，△△ACB=△ACB ，△△CEG△△CBA ， △1=2AG BE GC CE =， △CE=2BE=4，同理△ECG△△EFD ， △1=2DG FC GE CE =， △CE=2FC=4，△BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；（2）BE b=，由（1）可知BE=CF=12 EC，△22EC BE b==，CF b=，△4BF BE EC CF b=++=，△EG a=，△1122 GD EG a==，△32 ED EG CD a=+=，△23 EF EC CF b b b =+=+=，△332DF EF ED b a =-=-．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCD中，AE平分BAD∠，AE与BD交于点F， 1.2AB=，1.8BC=．（1）求:BF DF的值；（2）设AB a=，BC=b，求向量DF（用向量a、b表示）．【答案】（1）BF:DF=2：3，（2）3355DF a b=-．【分析】（1）先证∆BFE△∆DFA，得出BE BFAD DF=，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到BE ABAD AD=再结合平行四边形的性质即可求得答案．（2）利用第（1）小问的结论，得到DF与DB的数量关系，进而得到DF与DB的关系，根据向量DB= AB AD-即可求解．（1）在ABCD 中，△BC △AD△△BEA =△DAE ，又△△BFE =△DFA ，△∆BFE △∆DFA ， △BE BF AD DF= ，又△AE 平分BAD ∠，△△BAE =△DAE ，△△BAE =△BEA ，△AB =BE ， △BE AB AD AD= 又△ 1.2AB =， 1.8AD BC ==． △1.221.83BF AB DF AD === △BF :DF =2：3（2）△BF :DF =2：3△DF =35DB △35DF DB ==3()5AB AD - △BC △ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，△AD BC b == △333()555DF a b a b =-=-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明∆BFE △∆DFA 并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键．3．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边AD 的中点AC 、BE 相交于点O ．设BA a =，CB b =．（1）试用a 、b 表示BO ；（2）在图中作出CO 在CB 、CD 上的分向量，并直接用a 、b 表示CO ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】（1）2133BO a b =-；（2）见解析，2233CO b a =+ 【分析】（1）首先证明23BO BE =，求出BE 即可求解；（2）证明23CO CA =，求出CA 即可解决问题．【详解】解（1）△//AD BC △12OE AE BO BC == △23BO BE = △()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭；（2）△AE△BC ， △1=2AO AE CO CB =， △23CO CA =， △()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+ 如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值；（2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ．【答案】（1）12；（2）4455b a -．【分析】（1）由平行线的性质得到△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，可得DN NE BM MC ，即DN BM NE MC =，根据13BM BC =可求出DN NE的值；（2）根据23AD DB =可得25AD AD AB AD DB ==+，所以DN =()2255BM BA AM =+，根据DN NE =12，即可得出答案．【详解】解：（1）△//DE BC ，△△AND=△B ，△AND=△AMB ，△ANE=△AMC ，△AEN=△C ，△△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，△DN AN BM AM =，AN NE AM MC =，△DN NE BM MC ， △DN BM NE MC=， △13BM BC =， △12BM MC =， △DN NE =12；（2）△23AD DB =， △25AD AD AB AD DB ==+， △DN =()2255BM BA AM =+=()222555a b b a -+=-， △DN NE =12， △224422=5555NE DN b a b a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，向量等相关知识．熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．【答案】（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由见解析；（2）2a 3b -【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a ，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据向量加法的三角形法则计算即可．【详解】解：（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a ，则BC=a ，=， =，其中BC ＜AB ＜AC如下图所示，连接BM 、AM则=，=，其中AB ＜BM ＜AM△AB BC a ==BM AB ==△AB BC ≠BM AB△ABM 和ABC 不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a ，=，其中AB ＜BN ＜AN△ABBC a ==BN AB ==AN AC ==， △AB BC ＝BN AB =AN AC△NBA △△ABC ；如下图所示，连接BP则=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP△AB BC a ==BP AB == △AB BC ≠BP AB△ABP △和ABC 不相似；如下图所示，连接BQ 、AQ则=，=，其中AB ＜BQ ＜AQ△ABBC ==2BQ AB == △AB BC ≠BQ AB△ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示△22AE AB a==，33ED BC b=-=-△AD=AE＋ED=2a3b-．【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．6．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知向量关系式12(a−x )=b⃗+3x，试用向量a、b表示向量x．【答案】x=17a−27b⃗【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．【详解】解：△12(a−x )=b⃗+3x，△1 2a−12x=b⃗+3x，△7 2x=12a−b⃗，△x=17a−27b⃗．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC中，//DE BC，且DE经过ABC的重心点G，BD a=，BC b=．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析【分析】（1）根据重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=23BC ，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；（2）取AD 的中点J ，延长CB 到I ，使BI=DE ，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，边接BK ，则BK 即是所求作的向量．【详解】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ， AG 2=AF 3∴， DE//BC ，BC b = ADE ABC ∴△△∽，DE AG 2==BC AF 3∴ ， 23b DE BC =＝， 2a 3BE BD DE b ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ， 23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-， △BK 即是所求的求作的向量【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键． 8．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE的长；（2）设BA a=，BC b=．①请直接写出向量AE关于a、b的分解式，AE=________；②连接BE，在图中作出向量BE分别在a、b方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）【答案】（1）83AE=；（2）①1133a b-+；②作图见解析．【分析】（1）先求出AB，再据平行线分线段成比例，写出关于AE、AC、AD、AB的等比式，问题可解．（2）①以AD，DE为边作平行四边形ADEF，，先再求得11,33AD a AF b=-=，据AE AD AF=+问题可解；②以BD、DE为边作平行四边形即可．【详解】解：（1）△//DE BC，△AD AE AB AC=，△83 AE=．（2）①如下图△DE△BC△△ADE=△B，△AED=△C △△ADE△△ABC△2163AD DE AB BC === 又BA a =，BC b = △11,33AD a DE b =-= △四边形ADEF 是平行四边形 △13AF DE b ==△1133AE a b =-+， ②如下图，BD 和BM 是BE 分别在a 、b 方向上的分向量．9．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD =，4DB =，3AE =，6EC =， 3.2DE =（1）求BC 的长（2）联结DC ，如果DE a =，BA b =．试用a 、b 表示向量CD ．【答案】（1）9.6=BC ；（2）233-+a b ．【分析】（1）根据SAS 判定ADE ABC ，再根据相似三角形对应边成立解题即可；（2）根据相似三角形的判定与性质解题即可．【详解】解：（1）2AD =，4DB =，3AE =，6EC =，2131,6393AD AE AB AC ∴==== A A ∠=∠ADEABC ∴13DE BC ∴= 9.6BC ∴=；（2）由（1）中，2233BD BA b ==， 33BE DE a == CD 233CB BD BC BD a b =+=-+=-+．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． E 为OC 的中点，连接BE 并延长，交边CD 于点F ，设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE =__________；（2）填空：向量BF =__________，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量．（注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）3344b a -；（2）13a b +；作图见解析【分析】（1）先求出AE 占AC 得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则计算即可；（2）先根据相似三角形的性质得到CF 占CD 得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则以及平行四边形法则计算并画图即可．【详解】解：（1）△平行四边形ABCD 中 △AO=OC=12AC △OE=EC=12OC=14AC △AE=AO+OC=12AC+14AC=34AC △AC BC BA b a =-=- △()33334444AE AC b a b a ==-=-；故答案为3344b a -；（2）△EC=14AC,AE=34AC △13EC AE = △平行四边形ABCD△AB//CD△△FCE△△BAE△13FC EC AB AE ==,即FC=13AB △AB//FC△13CF BA =,即13CF a = △13BF CF BC a b =++=+ 故答案为：13a b +．【点睛】本题主要考査了平面向量的三角形法则、平行四边形法则等知识，灵活运用向量运算的运算法则成为解答本题的关键．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知抛物线23y x ax =-++与y 轴于点A ，且对称轴是直线1x =．（1）求a 的值与该抛物线顶点Р的坐标﹔（2）已知点B 的坐标为(1,2)-，设,OA a OP b ==，用向量,a b 表示OB ．【答案】（1）a=2，顶点()1,4P ；（2）−2a ⃗ +b ⃗【分析】（1）根据对称轴方程可求出a 值，即可得出抛物线的解析式，化成二次函数的顶点式即可得顶点坐标；（2）根据二次函数解析式可得出A 点坐标，根据B 、P 两点坐标可得PB//OA ，PB=2OA ，可用a 表示出PB ，进而根据OB OP PB =+可表示出OB ．【详解】（1）△对称轴是直线1x =， △12(1)a -=⨯-，解得：a=2，△抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++=()214x --+，△顶点P 坐标为（1，4）．（2）△2y x 2x 3=-++，△当x=0时，y=3，△A （0，3），△OA=3，△P （1，4），B （1，-2），△PB//OA ，PB=6，△PB=2OA ，△22PB AO a ==-，△2OB OP PB a b =+=-+．【点睛】本题考查二次函数的性质及平行向量的计算，熟练掌握二次函数的性质及向量的运算法则是解题关键． 12．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．【答案】（1）2133BG a b =-+；（2）AE = 【分析】（1）由G 是重心，可得 12AD b =，23BG BD = ，因为BD BA AD =+，可得12BD a b =-+，进而求出BG ；（2）根据G 是重心，求出DG=3,因为△AGD 是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=由AD=DC,DC=3DE求出相加即可【详解】解：（1）△BD BA AD =+，△点G 是Rt△ABC 的重心，△AD ＝12AC ， △AB a =，AC b =， △12AD a =， △12BD a b =-+ △221()332BG BD a b ==-+， 2133BG a b =-+ （2）△G 是三角形的重心，△BG=2GD ，AD=DC ，△BG=6，△GD=3，△AG BD ⊥，45GAD ∠=︒，△AG=GD=3，△AD =，△//GE BC ，△13DE GD DC BD ==,△AE=AD+DE=【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．13．（2020·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt△ABC 中，△ABC ＝90°，点G 是Rt△ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE △BC 交边BC 于点 E ．（1）如果AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，a 、b 表示向量BG ；（2）当AB ＝12时，求GE 的长．【答案】（1）BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23b ⃗ +13a ；（2）GE ＝4．【分析】（1）由已知可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ，有BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +12a ，剩余BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(−b ⃗ +12a )=−23b ⃗ +13a ；（2）过点D 作DF △BC ，由GE △DF ，则23GE DF =，再由DF △AB ，D 是AC 的中点，可得DF ＝12AB ，即可求GE ．【详解】解：（1）△BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，△点G 是Rt△ABC 的重心，△AD ＝12AC ， △AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， △AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ， △BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +12a ， △BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(−b ⃗ +12a )=−23b ⃗ +13a ，（2）过点D 作DF △BC ，△GE △DF ， △23GE DF =， △DF △AB ，D 是AC 的中点，△DF＝12 AB，△AB＝12，△DF＝6，△GE＝4．【点睛】本题主要考查了平面向量，比例的性质，掌握平面向量，比例的性质是解题的关键.14．（2020·上海长宁区·）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD△EF△BC，EF与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，AEEB＝23．（1）求EF的长；（2）设AB＝a，BC＝b，那么DB＝，FC＝．（用向量a、b表示）【答案】（1）7；（2）a﹣12b，35a+310b．【分析】（1）由平行线得出25DF AEDC AB==，△BEG△△BAD，△DFG△△DCB，得出35EG AEAD AB==，25GF DFBC DC==，可解得EG＝3，GF＝4，即可得出答案；（2）求出AD＝12BC＝12b，得出DB＝AB+DA＝a﹣12b，得出DC DB BC=+＝＝a﹣12b+b＝a+12b，证出FC＝35DC，得出FC＝35DC得出结果．【详解】解：（1）△AEEB＝23，△AEAB＝25,EBAB=35.△AD△EF△BC，△25DF AEDC AB==，△BEG△△BAD，△DFG△△DCB，△35EG AEAD AB==，25GF DFBC DC==，即355EG=，2105GF=，解得：EG＝3，GF＝4，△EF＝EG+GF＝7；（2）△AD＝5，BC＝10，△AD＝12 BC，△AD△EF△BC，△AD＝12BC＝12b，△DB＝AB+DA＝a﹣12b，△DC DB BC=+＝＝a﹣12b+b＝a+12b，△25DF AEDC AB==，△FCDC=35，△FC＝35 DC，△FC＝35DC＝35（a+12b）＝35a+310b；故答案为：a﹣12b，35a+310b．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平面向量和平行线分线段成比例定理等知识；解答（2）题时，求出AD＝12BC＝12b是解题的关键．15．（2020·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，AE与BD交于点F，DE△EC=2△3．(1)求BF△DF的值；（2）如果AD a=，AB b=，试用a、b表示向量AF．【答案】(1)5△2；（2）5277AF a b =+ 【分析】 (1)根据平行线分线段成比例定理以及比例的性质，即可求得答案；（2）首先根据已知条件，求得57BF BD =，再根据向量的性质即可求得答案．【详解】△四边形ABCD 是平行四边形，△DC//AB ，DC=AB ，△=BF AB DF DE． △DE △EC =2△3，△DC △DE =5△2，△AB △DE =5△2，△BF △DF=5△2．（2）△BF △DF=5△2，△57=BF BD ， △BD AD AB =-，△=-BD a b ， △555777==-BF BD a b ， △=+AF AB BF ，△55527777=+-=+AF b a b a b ．【点睛】本题考查了平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、比例的性质以及平面向量的知识，根据比例的性质进行灵活变形是解题的关键．解题时要注意向量是有方向的．16．（2020·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，45BAD ∠=，2DC =，6AB =，AE BD ⊥，垂足为点F .（1）求DAE ∠的余弦值；（2）设DC a =，BC b =，用向量a 、b 表示AE .【答案】（1（2）334AE a b =+ 【分析】(1)作DM△AB ，垂足为M ，易得：DM=AM=4，BC=DM=4，从而得tan△BAE=12=，设BF=x ，则AF=2x ，根据勾股定理，即可求解；(2)易得：3344BE BC b ==，33AB DC a ==，根据+AE AB BE =，即可求解. 【详解】（1）作DM△AB ，垂足为M ，△在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，△四边形BCDM 是矩形，△BM=CD=2，AM=AB -BM=6-2=4，△45BAD ∠=，△∆AMD 是等腰直角三角形，△DM=AM=4，BC=DM=4， △tan△CBD=2142CD BC ==， △AE BD ⊥，△△BEF+△EBF=90°，△△BEF+△BAE=90°，△△EBF =△BAE ， △tan△BAE=12=，设BF=x ，则AF=2x ，△在Rt∆ABF 中，222BF AF AB +=，△222(2)6x x +=，解得：△DAE ∠的余弦值=AF AD == （2）△AB=6，tan△BAE=12=， △BE=3，△BC=4， △BE=34BC ，即： 3344BE BC b ==， △CD=2，AB=6, //AB CD ，△33AB DC a ==， △3+34AE AB BE a b ==+.【点睛】本题主要考查三角函数得应用和平面向量加法的三角形法则，掌握平面向量加法的三角形法则，是解题的关键.17．（2020·上海崇明区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ， 2BC AD =，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，设AD a =， AB b =.试用a 、b 的式子表示向量 AO . 【答案】1233AO b a =+ 【分析】先根据平行线分线段成比例得到12AO AD OC BC ==，得到13AO AC =，再根据AC AB BC =+即可求解. 【详解】 //,2AD BC BC AD =12AO AD OC BC ∴== 13AO AC ∴=即13AO AC = AD a =， BC 与AD 同向，2BC a ∴=2AC AB BC b a =+=+1233AO b a ∴=+ 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识.18．（2020·上海九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且2AE ED =，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设，,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示，,BE DF ；（2）先化简，再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法，但要写明结论）【答案】（1）23BE a b =+，12DF a =;（2）原式12a b =-，作图见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量，平行向量的概念，性质及向量的运算进行求解；（2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量的运算进行化简，根据化简结果的运算性质作图.【详解】解：（1）△四边形ABCD 是平行四边形，△AB=CD,AB△CD,AD=BC,AD△BC △AB AE DF ED, △AE=2ED, △DF=12AB,AE=23AD, △,BA a BC b ==,△12DF a =,23AE b =， △23BE AB AE a b +==+；（2）32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭3222a b a b =-++-， 21a b =-; 如图，平行四边形ABCD ，取AB 的中点，则12BM a =,CB b =-， △1122CM CB BM b a a b =+=-+=-, △12CM a b =-【点睛】本题考查向量的性质及运算，根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键.19．（2020·上海九年级专题练习）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE△BC ，且DE=23BC ．（1）如果AC=6，求AE 的长；（2）设AB a =，AC b =，求向量DE （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）4；（2）DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ). 【分析】3（1）由平行线截线段成比例求得AE 的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【详解】（1）如图，△DE△BC ，且DE=23BC ， △23AE DE AC BC ==．又AC=6，△AE=4．（2）△AB a =，AC b =，△BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ．又DE△BC ，DE=23BC ， △DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ) 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．20．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F . （1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量,a b 表示向量AF .【答案】（1）9；（2）3354b a +【分析】 (1)过D 作BC 的平行线分别交EF 于M ，AB 于G ，由DE ：AE=2：3，即可求得25DE AD =，然后在梯形ABCD 中，AB△CD ，AB=12，CD=7，根据平行线分线段成比例定理，即可求得EF 的长．(2)根据（1）中的比例关系写出向量即可.【详解】解：(1) 过D 作BC 的平行线分别交EF 于M ，AB 于G ， △23DE AE =,△25DE AD =. 又△EF△AB ，AB△CD ，AB=12，CD=7，△CD=MF=GB=7，△AG=5.2,5EM DE AG AD ==∵ △EM=25AG=2. △EF=EM+MF=9．(2)△ AB a =，AD b =，由（1）知，33,5593,12433==.54AE AD b EF AB a AF AE EF b a ====++∴【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理以及向量的基本知识,解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．21．（2020·上海九年级专题练习）已知：如图，在△ABCD 中，设BA ＝a ，BC ＝b ．（1）填空：CA ＝（用a 、b 的式子表示）（2）在图中求作a +b ．（不要求写出作法，只需写出结论即可）【答案】(1) a -b ;(2) BD【分析】（1）根据三角形法则可知：,CA CB BA =+延长即可解决问题；（2）连接BD ．因为,BD BA AD =+ ,AD BC =即可推出.BD a b =+【详解】解：（1）△,CA CB BA =+ BA ＝a ，BC ＝b△.CA a b =-故答案为a -b ．（2）连接BD ．△,BD BA AD =+ ,AD BC =△.BD a b =+△BD 即为所求；【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（2019·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4cotA 3=，6BC =，点D E 、分别在边AC AB 、上，且//DE BC ，1tan 2DBC ∠=．（1）求AD 的长；（2）如果,AC a AB b ==，用a b 、表示DE ．【答案】（1）5；（2）5588DE b a =-．【分析】（1）解Rt ABC ∆求得8AC =，解Rt BCD ∆得到3CD =，可得5AD AC CD =-=；（2）由平行线截线段成比例求得58DE BC =，由已知可得CB AB AC b a =-=-，即可得5588DE b a =-．【详解】解：（1）△在Rt ABC ∆中，090C ∠=，4cotA ,63BC ==， △463AC AC CB ==，则8AC =．又△在Rt BCD ∆中，1tan 2DBC ∠=， △162DC DC BC ==， △3CD =．△5AD AC CD =-=；（2）△//DE BC ， △58DE AD BC AC ==． △58DE BC =． △,AC a AB b ==，△CB AB AC b a =-=-． △5588DE b a =-．故答案为（1）5；（2）5588DE b a =-. 【点睛】本题考查平面向量，解直角三角形，平行线的性质．注意：向量是有方向的．23．（2019·上海杨浦区·九年级月考）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，CE ＝2BE ，AC 、DE 相交于点F ．（1）求DF ：EF 的值；（2）如果CB =a ，CB =b ，试用a 、b 表示向量EF ．【答案】（1）3=2DFEF；（2）24515EF b a=-.【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则即可解决问题.【详解】（1）△四边形ABCD是平行四边形，△AD＝BC，AD△BC，△DF AD EF EC=，△CE＝2BE，△32 BCEC=，△32 DFEF=．（2）△CE＝2BE，△23CE CB=，△2233CE CB a==，△ED CD CE=-，△23ED b a=-，△32 DFEF=，△25EF ED=，△22224()553515EF ED b a b a ==-=-．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB△EC，设BA＝a，BC＝b．（1）试用a、b表示CD；（2）在图中作出BD在BA、BC上的分向量，并直接用a、b表示BD．【答案】（1）CD=1133a b-；（2）BD=1233a b+.【分析】（1）利用三角形法则求出CA，再根据CD＝13CA求出CD即可解决问题．（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据BD＝BC+CD计算即可．【详解】（1）△BA＝a，BC＝b，△CA＝CB+BA＝﹣b+a，△AD＝2CD，△CD＝13 CA，△CD与CA同向，△CD＝13CA＝13（﹣b+a）＝13a﹣13b；（2）如图BD在BA、BC上的分向量分别为BM，BN．△BD＝BC+CD＝b+13a﹣13b＝13a+23b．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识25．（2019·上海市位育实验学校九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E 为边AB上一点，且BE = 2AE．设AB a=，AD b=．（1）填空：向量DE=；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量EF=，并在图中画出向量EF在向量AB和AD方向上的分向量．注：本题结果用向量a b、的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．【答案】（1）13a b-; （2）53124a b+．【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可解决问题；（2）利用平行线分线段成比例定理、三角形法则计算即可；【详解】解：（1）∵BE = 2AE△AE=13 AB△AB a=，△13AE a=，△DE DA AE=+，DE = 13a b - (2)过F 点作FG△BC 交AB 于G ，△平行四边形ABCD 中，AO=OC ，又△点F 是线段OC 的中点， △34AF AC =, △FG△BC ， △FG AG AF BC AB AC== △FG=34BC ，34AG AB =，由（1）可知△AE=13AB △3154312EG AG AE AB AB AB =-=-= △512EG a =, △53124EF EG FG a b =+=+ ，故答案为（1）13a b -．（2）53124a b +．【点睛】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．26．（2019·上海长宁区·中考模拟）如图，AB 与CD 相交于点E ，AC△BD ，点F 在DB 的延长线上，联结BC ，若BC 平分△ABF ，AE ＝2，BE ＝3．（1）求BD 的长；（2）设EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，用含a 、b ⃗ 的式子表示bc⃗⃗⃗⃗ ．【答案】（1）152（2）−a−23b ⃗ 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质得到AB ＝AC ＝5，然后结合平行线截线段成比例求得BD 的长度．（2）由平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则解答．【详解】（1）△BC 平分△ABF ，△△ABC ＝△CBF ．△AC△BD ，△△CBF ＝△ACB ．△△ABC ＝△ACB ．△AC ＝AB ．△AE ＝2，BE ＝3，△AB ＝AC ＝5．△AC△BD ，△AC BD =AE BE ．△5BD =23．△BD ＝152；（2）△AC△BD ，△EC ED =AE EB =23．△ED⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ， △EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝−23b ⃗ ． △BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝﹣a −23b ⃗ ．【点睛】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大． 27．（2019·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是重心．（1）设AB ＝a ，BC ＝b ，用向量a 、b 表示BG ；（2）如果AB ＝3，AC ＝2，△GAC ＝△GCA ，求BG 的长．【答案】（1）BG =1132a b -+；（2）BG ．【分析】（1）根据已知条件得到12BD b =，由AB a =，得到12AD a b =+，由于G 是重心，得到2233AG AD ==（121233a b a b +=+），于是得到结论；（2）延长BG 交AC 于H ，根据等腰三角形的判定得到GA =GC ，求得AH 12=AC =1，求得BH △AC ，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）△AD 是△ABC 的中线，BC b =，△12BD b =． AB a =，△12AD a b =+． △G 是重心，△2233AG AD ==（121233a b a b +=+），△2132BG AB AG a a b =-+=-++=1132a b -+；（2）延长BG 交AC 于H ． △△GAC =△GCA ，△GA =GC ．△G 是重心，AC =2，△AH 12=AC =1，△BH △AC ．在Rt△ABH 中，△AHB =90°，AB =3，△BH ==△BG 23=BH 3=．【点睛】本题考查了三角形的中线，平面向量，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．（2019·上海普陀区·中考模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，:3:1AG GE=．（1）求:EC BC的值；（2）设BA a=，AO b=，那么EC=____________．【答案】（1）2:3；（2）11 33a b --【解析】【分析】（1）利用三角形相似即可解答.(2)将设BA a＝，AO b＝作为初始向量，利用向量间的关系表示出来即可.【详解】△ △AD△BC，△△BEG△△DAG，△13 BE EG AD GA==△BE：BC＝1:3.△EC：BC＝2：3，△2411,3333 EC a b GB a b =+=--.【点睛】本题考查三角形相似和变量表示，能够找出证明条件是解题关键.29．（2019·上海杨浦区·中考模拟）如图，已知△ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD 的中点，CE 交BD 于点G ．（1）求OG DG的值；（2）如果设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GO ．【答案】(1)12OG DG =.(2) 1()6a b - 【解析】【分析】 (1)根据ABCD 是平行四边形，可以求出ED DG BC GB＝，再根据点E 为边AD 的中点即可求解； (2)先将BD 用a 、16OG b BD 表示，再用＝即可求解. 【详解】解：（1）△□ABCD ，△BO ＝OD ，AD //BC ，AD ＝B C.△ED DG BC GB＝. △点E 为边AD 的中点，△1122ED AD BC ＝＝.△12DG GB ＝. △BO ＝OD ，△12OG DG ＝. （2）△AB a ＝，BC b ＝，△BD BA AD BA BC a b -＝＋＝＋＝＋.△BO ＝OD ，12OG DG ＝，△16OG BD ＝. △()1166GO DB a b ＝＝-. 【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.30．（2018·上海虹口区·中考模拟）如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ．（1）若,AB a AC b ==，用向量a 、b 表示向量AG ；（2）若△B=△ACE ，AB=6，BC=9，求EG 的长．【答案】(1) 11.33AG a b =+(2)EG=3. 【解析】【分析】（1）由点G 是△ABC 的重心，推出23AG AD =，再根据三角形法则求出AD 即可解决问题；（2）想办法证明△AEG△△ABD ，可得21333EG BD BC ===；【详解】(1)△点G 是△ABC 的重心， △23AG AD =， △1111(),2222AD AB BC a b a a b =+=+-=+ △11.33AG a b =+(2)△△B =△ACE ，△CAE =△BAC ，△△ACE △△ABC ，△AE AC AC AB=， △AE =4，此时23AE AG AB AD==，△△EAG=△BAD，△△AEG△△ABD，△213.33EG BD BC===【点睛】考查平面向量的线性运算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.。

专练十二几何压轴题(原卷版)-2022年中考数学双减改革重点题型专练

2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）专练十二、几何压轴题1．在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB＝2，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AP交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．2．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜边AC为腰作等腰△CAD，使AC ＝AD，点E为CD边中点，连接AE．（1）如图1，当A、B、D三点共线时，若AE与BC相交于点F，求证：BF＝BD．（2）如图2，射线BM是∠ABC的外角∠CBG的角平分线，当点D恰好落在射线BM上时，请求出∠CAE的度数．（3）如图3，连接BD，以BD为斜边作Rt△BQD，连接EQ，若AC＝8，请直接写出线段EQ的最大值．3．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在直线BC上．（1）如图1所示，点D在BC上，点E是AC的中点，连接DE．若tan∠EDC＝，DE ＝2，求△ABC的周长；（2）如图2所示，点D在CB的延长线上，连接AD，过点B作CD的垂线交AD于点E．点F在BC上，FG⊥AD于点G，连接CG．若AC＝FG，DF＝CG+AG，求证：DE＝2AG；（3）如图3所示，点D、E在BC边上，连接AD、AE，AD＝AE，点F是AB的中点，连接EF，与AD交于点P．将△BEF沿着EF翻折，点B的对应点是点G，连接AG．若AE＝EF，DP＝，请直接写出△AGE的面积．4．△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN．（1）如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长；（2）如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2；（3）如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值．5．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中点，E为边AC上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．（1）若AB＝6，AE＝，求ED的长；（2）如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD＝BF；（3）如图3，将△BDF沿DF翻折，使得点B落在点P处，连接AP、EP，若AB＝6，当AP+DP最小时，直接写出△AEP的面积．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，点P是直线BC上一动点，连接AP，分别过B、C作直线AP的垂线，垂足分别为点E、F，取BC的中点Q，连接QE、QF．（1）如图1，若点P在BC的延长线上且∠P＝30°，PC＝2，求BC的长；（2）如将2，若P是BC的延长线上任意一点，求证：CE+BF＝QE；（3）如图3，作点C关于直线AP的对称点C'，连接QC'，若AC＝1，请直接写出当QC'取得最大值时PC的长．7．已知等腰直角△ABC与△ADE有公共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝8，AD ＝AE＝4．现将△ADE绕点A旋转．（1）如图①，当点B，A，D在同一直线上时，点F为DE的中点，求BF的长；（2）如图②，连接BE，DC．点G为DC的中点，连接AG交BE于点P，求证：AG⊥BE；（3）如图③，点F为DE的中点，以BF为直角边构造等腰Rt△FBN，连接CN，在△ADE绕点A旋转过程中，当CN最小时，直接写出△BCN的面积．8．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE．连接DE，BE，若，BC ＝6，求CD的长度；（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接CE交AB于F，G为AC边的中点，连接FG，猜想FG与AE存在的关系，并证明你的猜想；（3）如图3，以AC为斜边向AC边右侧作Rt△AEC，连接BE，F为BE上一点，且BF ＝BE，连接DF，若AB＝4，CD＝1，当DF取最小值时，请直接写出△BDF的面积．9．在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D 逆时针旋转90°得ED，连接CE．（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．10．已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为平面内一点．（1）如图1，∠BAP＝45°，∠APB＝75°，若AB＝2，则AP的长为．（2）如图2，将线段P A绕点A顺时针旋转90°，得到线段QA，连接CQ，取CQ的中点M，连接MA，猜想线段BP与线段AM的数量关系并证明．（3）如图3，AB＝2，P为△ABC内一点，∠BP A＝150°，H为线段BC上一动点（不与B、C两点重合），连接PH，是否存在点P、H使2PH+CH值最小，若存在，则2PH+CH的最小值为．11．在△ABC中∠BCA＝90°且AC＝BC．M为平面内一点，把CM绕着C点顺时针旋转90°后得到线段CN，射线AM与BN相交于点D．（1）如图1，M点在线段BC上且AM平分∠BAC，当AB的长为2时，求△BMN的面积．（2）如图2，M为三角形外一点，AM交BC于H，且∠MAC＝15°．求证：CD＝BH．（3）如图3，在△ABC中∠BCA＝90°且AC＝BC＝4，D为动点且∠ADB＝90°，连接CD．把CD绕C点顺时针旋转90°得CE，直接写出AE的最小值．12．如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠BAC＝60°，CE⊥AB 交AB于点E，AE＝AD，点F在线段BD上，连接AF．（1）若AC＝4，求线段BD的长；（2）如图2，若∠DAF＝60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM＝BF+AC；（3）如图3，在（2）的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M 为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC＝4，请直接写出（2MN′﹣D′N′）的最小值．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上任意一点，连接AD，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转90°，点A的对应点是点E，连接AE，取AE的中点F，连接DF．（1）如图1，若∠CAD＝30°，DF＝6，求线段CD的长．（2）如图1，连接CF，求证：AC+CD＝CF；（3）如图2，若AC＝6，BC＝8，点D在线段BC上运动，点G在线段DE上运动，连接AG，取线段AG的中点P，连接BP、BF、PF，当线段PB最大时，直接写出△BPF 的面积．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在CB上截取CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点F．（1）如图1，若D为BC边的中点，且CE＝2，BE＝4，求线段AD的长度；（2）如图2，过点C作CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，连接BG．若∠1＝∠2，求证：CF+BH＝BG．（3）如图3，过点C作CG⊥AD于点G，把△AGC绕点C顺时针旋转，记旋转后的△AGC为△A'G′C，过点A作直线AM∥G′C交直线A′C于点M，连接BM．当AC＝DB＝时，直接写出线段BM的最小值．15．△ABC为等边三角形，将线段CA绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，F为平面内一点．连接BF，作∠ABF的角平分线交CF延长线于点E，连接DE．（1）如图1，连接BD，若点F恰好在线段BD上，CE⊥BC，BC＝2，求EF的长度；（2）如图2，若∠FBC＝2∠ECD，证明：BE+DE＝EC；（3）如图3，当BC＝2，∠ACE＝45°时，以CE为斜边构造直角△PEC，Q为CP中点，连接AQ．当AQ最大时，求△ACQ的面积．16．△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，点G为AB延长线上一点，连接CD，GC．（1）如图1，若BG＝2，AC＝4，求GC的长；（2）如图2，点E是BC反向延长线上一点，连接DE，GE，若∠DCG＝60°，CD＝DE，猜想线段EG，CG，DC的数量关系，并证明；（3）如图3，点M是AC的中点，将△ABC沿直线DM折叠，点A恰好落在CG上的点Q，连接DC，若AC＝4，CD＝，求△CQD的面积．。

专练03(选择题-压轴)(20题)-2021年中考数学考点必杀500题(通用版)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练03（选择题-压轴）（20道）1．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，当PB的最小值为AD的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1．当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12 CE，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP∥P1P2时，PB取得最小值，∴矩形ABCD中，AB∴AD=2∴1，E为AB的中点，∴∥CBE，∥ADE，∥BCP1均为等腰直角三角形，CP1=BC，∴∥ADE=∥CDE=∥CP1B=45°，∥DEC=90°，∴∥DP2P1=90°，∴∥DP1P2=45°，∴∥P2P1B=90°，即BP1∥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2在等腰直角三角形BCP 1中，CP 1=BC ，∴BP 1BC ，又PB 的最小值是，∴AD=BC=3，故选B ．2．（2020·苏州新草桥中学九年级二模）如图，点O 是边长为的等边△ABC 的内心，将△OBC 绕点O 逆时针旋转30°得到△OB 1C 1，B 1C 1交BC 于点D ，B 1C 1交AC 于点E ，则DE ＝（）A ．2B．2 C1 D．3【答案】D 令1OB 与BC 的交点为F ，11B C 与AC 的交点为M ，过点F 作FN OB ⊥于点N ，如图，将∥OBC 绕点O 逆时针旋转30°得到∥OB 1C 1，30BOF ∴∠=︒点O 是边长为∥ABC 的内心，302OBF OB AB ∴∠=︒==，∴∥FOB 为等腰三角形，112BN OB ==cos 3BN BF OF OBF ∴===∠ 11OBF OB D BFO B FD ∠=∠∠=∠，∴∥BFO ∥1B FD11B D B F OB BF∴=1123B F OB OF =-=-12B D ∴=在∥BFO 和∥CMO 中==OBF OCM OB OCBOF COM ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∥BFO ≅∥()CMO ASA12OM BF C M ===- 在∥1C ME 中，160C ME MOC MCO ∠=∠+∠=︒，130C ∠=︒160C EM ∴∠=︒111sin (21C E C M C EM ∴=⋅∠==11112)1)3DE BC B D C E ∴=--=-= 故选：D ．【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 43．（2020·湖北孝感市·九年级其他模拟）如图，点M 是正方形ABCD 内一点，MBC △是等边三角形，连接AM MD 、对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：△150AMD ∠=︒；△2MA MN MC =⋅；△23ADMBMC S S ∆∆=；△3DN BN =( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∥四边形ABCD 是正方形，∥AB=BC=CD=DA ，∥ABC=∥BCD=∥CDA=∥BAD=90°，∥ADB=45°，∥∥BCM 是等边三角形，∥BM=MC=BC ，∥MBC=∥BMC=∥BCM=60°，∥∥ABM=∥DCM=30°，AB=BM=CM=CD ，∥∥BAM=∥CMD=∥CDM=75°，∥∥DAM=∥ADM=15°，∥∥AMD=180°-∥DAM-∥ADM=150°，故∥正确；∥∥DAM=∥ADM=15°，∥AM=MD ，∥∥ADB=45°，∥∥MDN=30°=∥MCD ，∥∥CMD 是公共角，∥∥DMN∥∥CMD ，∥DM ：CM=MN ：DM ，∥DM 2=MN•CM ，∥AM 2=MN•CM ，故∥正确；设BC=CD=2a ，过点M 作EH∥BC 于点H ，交AD 于点E ，∥∥MBC是等边三角形，∥BH=a，，，∥AD=BC，∥1·3213·2ADMBMCAD EMSS BC MH===，故∥错误；过点D作DF∥MC于点F，过点B作BG∥MC于点G，则有，DF=12CD=a，DF//BG，∥∥DFN∥∥BGN，∥DN DFBN BG===，故∥正确，所以正确的结论有∥∥∥，故选：C．4．（2020·广东深圳市·）如图，过坐标原点O的直线AB与两函数()18y xx=>，()2y xx=<的图象分别交于A，B两点，作AH y⊥轴于H，连接BH交x轴于点C，则下列结论：△9AOHS∆=；△3OAOB=；△13OCAH=；△34BOCS=△．其中正确的是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△【答案】B∥根据反比例函数的性质，得到11892AOH S ∆=⨯=，故∥正确；设A 点坐标为（m ，18m ），则H （0，18m ）设直线AB 的解析式为y kx =，代入A 点坐标，得18m km =，解得2=18k m∥直线AB 的解析式为218y x m = 将218y x m =和2y x =联立，求得3mx =-∥B 点坐标为（3m-，6m -）设直线BH 的解析式为()0y kx b k =+≠，代入B 、H 坐标得，6318mk b m b m ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得7218k m b m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∥直线BH 的解析式为7218m y x m =+当y=0时，x=14-∥OC∥AH∥BOC BHA∥相似比为64124m m=∥3OA OB =，14OC AH =，故∥正确，∥错误 ∥1118=3223BOH S OH h m m =⨯⨯⨯⨯=△ ∥3912BAH S =+=△ ∥2131244BOC S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭△，故∥正确故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，对于反比例函数()0k y k x=≠，k 过图像上的点向两坐标轴做垂线，所形成的矩形的面积． 5．（2020·深圳市福田区南华实验学校九年级其他模拟）如图，在正方形ABCD 中，点M 是AB 上一动点，点E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接DE ，DF 给出结论：△DE EF =；△45CDF ∠=︒；△75AM DF =；△若正方形的边长为2，则点M 在射线AB 上运动时，CF 有最小值．其中结论正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B ∥如图，延长AE 交DC 的延长线于点H ，∥点E是CM的中点，∥ME＝EC，∥AB∥CD，∥∥MAE＝∥H，∥AME＝∥HCE，∥∥AME∥∥HCE（AAS），∥AE＝EH，又∥∥ADH＝90°，∥DE＝AE＝EH，∥AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∥AE＝EF，∥AEF＝90°，∥AE＝DE＝EF，故∥正确；∥∥AE＝DE＝EF，∥∥DAE＝∥ADE，∥EDF＝∥EFD，∥∥AEF＋∥DAE＋∥ADE＋∥EDF＋∥EFD＝360°，∥2∥ADE＋2∥EDF＝270°，∥∥ADF＝135°，∥∥CDF＝∥ADF−∥ADC＝135°−90°＝45°，故∥正确；∥∥EP∥AD，AM∥AD，CD∥AD，∥AM∥PE∥CD，∥AP ME=PD EC＝1，∥AP＝PD，∥PE是梯形AMCD的中位线，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8∥PE ＝12（AM ＋CD ）， ∥∥FDC ＝45°，FN∥CD ，∥∥DFG ＝∥FDC ＝45°，∥DG ＝GF ，DF ，∥∥AEP ＋∥FEN ＝90°，∥AEP ＋∥EAP ＝90°，∥∥FEN ＝∥EAP ，又∥AE ＝EF ，∥APE ＝∥ENF ＝90°，∥∥APE∥∥ENF （AAS ），∥AP ＝NE ＝12AD ， ∥PE ＝12（AM ＋CD ）＝NE ＋NP ＝12AD ＋NP ， ∥12AM ＝NP ＝DG ，∥AM ＝2DG ＝DF ，∥AM DF ，故∥错误； ∥如图，连接AC ，过点E 作EP∥AD 于点P ，过点F 作FN∥EP 于N ，交CD 于G ，连接CF ，∥EP∥AD ，FN∥EP ，∥ADC ＝90°，∥四边形PDGN 是矩形，∥PN ＝DG ，∥DGN ＝90°，∥∥CDF ＝45°，∥点F 在DF 上运动，∥当CF∥DF 时，CF 有最小值，∥CD ＝2，∥CDF ＝45°，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∥CF，故∥正确；故选：B ． 6．（2020·湖北武汉市·九年级一模）如图．ABC ∆的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为34，再分别取的11,A C B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去…．利用这一图形．计算出233333···4444n ++++的值是（）A ．11414n n ---B ．414nn - C ．212n n - D ．1212n n --【答案】B∥A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且∥ABC 的面积为1，∥∥A 1B 1C 的面积为114⨯，∥四边形A 1ABB 1的面积=∥ABC 的面积-∥A 1B 1C 的面积=31144=-，∥四边形A 2A 1B 1B 2的面积=∥A 1B 1C 的面积-∥A 2B 2C 的面积=22113444-=，…，∥第n 个四边形的面积1113444n n n --=，故2321333311111···(1)()()444444444n n n -++++=-+-++-114n =-414n n -=．故选：B ．【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．7．（2020·浙江杭州市·九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF△PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（）A B C．D．72 13【答案】A解：连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作DN∥GH于点N，连接EH，过H作HK∥AD，与AD的延长线交于点K，∥∥ABC＝∥PEF＝90°，M是PF的中点，∥BM＝EM，∥无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，∥M点在GH上，当M与N点重合时，DM＝DN的值最小，设EH＝x，∥GH是BE的垂直平分线，∥BH＝EH＝x，∥∥EHG＝∥BHG，∥GD∥BH，∥∥EHG＝∥BHG＝∥G，∥EG＝EH＝x，∥∥ABH＝∥BAK＝∥K＝90°，∥四边形ABHK为矩形，∥AK＝BH＝x，AB＝KH＝6，∥AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3，∥AE＝2，ED＝6，∥EK＝AK﹣AE＝x﹣2，∥EH2﹣EK2＝KH2，∥x2﹣（x﹣2）2＝62，解得，x＝10，∥GE＝x＝10，GD＝EG+DE＝x+6＝10+6＝16，∥OE∥DN，∥∥GEO∥∥GDN，∥105168 EO GEDN GD===，∥DN＝85 EO，∥BE==∥EO＝12BE，∥DN=即线段DM，故选：A．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形、直角三角形的性质及勾股定理等，灵活运用所学的知识点进行分析是解题的关键．8．（2020·东莞市松山湖实验中学九年级一模）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE△AB，AF＝原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！122AE ，FC 交BD 于O ，交AB 于M ，下列说法正确的有（）个△AF ＝BD△△DOC ＝60° △34EFM M S S △△BC△AF 2＝OD•FMA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：连接FB ，∥四边形ABCD 是正方形，∥AB ＝BC ＝AD ，∥ABD ＝∥CBD ＝45°，BDAB ，∥FE∥AB ，AF ＝2AE ，∥sin∥AFE ＝12，∥∥AFE ＝30°，∥∥FAE ＝60°，EF＝2AF ，∥E 是AB 的中点，EF∥AB ，∥AF ＝BF ，∥∥AFB 是等边三角形，∥∥ABF ＝∥FAB ＝60°，AB ＝FB ＝BC ＝AD ＝CD ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14∥AF≠BD ，故∥错误；∥BC ＝BF ，∥∥CFB ＝∥BCF ＝18090602︒-︒-︒＝15°， ∥∥DOC ＝∥DBC+∥BCO ＝45°+15°＝60°，故∥正确；∥EF∥AB ，BC∥AB ，∥EF∥BC ，∥∥EFM∥∥BCM ，∥22324EFMM AF S EF S BC AF ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭△△BC ，故∥正确； ∥∥BCM ＝15°，∥∥DCO ＝75°，∥BMC ＝75°＝∥AMF ，∥∥AMF ＝∥DCO ，又∥∥BAF ＝∥DOC ＝60°，∥∥AFM∥∥ODC ， ∥AF FM OD CD=， ∥AF•CD ＝OD•FM ，又∥AF ＝CD∥AF 2＝OD•FM ，故∥正确；故选：C ．9．（2020·山东济南市·九年级其他模拟）如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠，分别交,BC BD 于点,E P ，连接OE ，ADC 60∠=，112AB BC ==，则下列结论：△30CAD ∠=；△BD =△S 平行四边形ABCD AB AC =；△14OE AD =；△APO S =△（）A．2B．3C．4D．5【答案】C∥∥AE平分BAD∠，∥∥BAE=∥DAE，∥四边形ABCD为平行四边形，∥AD∥BC，∥ABC＝∥ADC=60°，∥∥DAE=∥BEA，∥BAE=∥BEA，∥AB=BE=1，∥∥ABE是等边三角形，∥BC=2，∥EC=1，∥AE=EC，∥∥EAC=∥ACE，∥∥AEB=∥EAC+∥ACE=60°，∥∥ACE=30°，∥AD∥BC，∥∥CAD=∥ACE=30°，故∥正确；∥∥BE=EC，OA＝OC，∥OE=12AB=12，OE∥AB，∥∥EOC=∥BAC=60°+30°=90°，在RT∥EOC中，2OC∥四边形ABCD是平行四边形，∥∥BCD=∥BAD=120°，∥∥ACB=30°，∥∥ACD=90°，在RT∥OCD中，OD，故∥正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16∥由∥知，∥DCA=∥BAC=90°，∥S 平行四边形ABCD AB AC =故∥正确；∥由∥知：OE 是∥ABC 的中位线， ∥OE=12AB ， ∥AB=12BC ， ∥OE=11=44BC AD ，故∥正确；∥∥四边形ABCD 是平行四边形，∥111===222AOE EOC S S OE OC ⨯△△， ∥OE∥AB ，∥EOP∥∥ABP ， ∥12EP OE AP AB ==,∥12POEAOP SS =, ∥2233AOP AOE S S ==△△ 故∥错误；本题正确的有4个，故选择C ．【点睛】本题是一道几何的综合题目，掌握平行四边形的性质及求面积方法、等腰三角形的性质、勾股定理、中位线定理、相似等是解答本题的关键．10．（2020·四川眉山市·九年级其他模拟）已知如图，在正方形ABCD 中AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC上的一点，且△EAF ＝45°，EC ＝1，将△AED 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，过点B 作BM△AG 交AF 于M ，则下面结论：△△AGF△△AEF ；△DE ＋BF ＝EF ；△BF ＝47；△32175MBF S ，其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D解：∥AG ＝AE ，∥FAE ＝∥FAG ＝45°，AF ＝AF ，∥∥AGF∥∥AEF （SAS ），故∥正确，∥EF ＝FG ，∥DE ＝BG ，∥EF ＝FG ＝BG ＋FB ＝DE ＋BF ，故∥正确，∥BC ＝CD ＝AD ＝4，EC ＝1，∥DE ＝3，设BF ＝x ，则EF ＝x ＋3，CF ＝4﹣x ，在Rt∥ECF 中，（x ＋3）2＝（4﹣x ）2＋12，解得x ＝47，∥BF ＝47，故∥正确，∥BM∥AG ，∥∥FBM∥∥FGA ， ∥FBMFGA S S △△＝（FB FG）2，∥S ∥FBM ＝32175，故∥正确，故选：D.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1811．（2020·广东深圳市·九年级三模）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且△EAF ＝45°，BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧BD ．下列结论：△DE ＋BF ＝EF ；△BN 2+DM 2=MN 2；△△AMN△△AFE ；△弧BD 与EF 相切；△EF△MN ．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B解：延长CB 到G ，使BG=DE ，连接AG ．在∥ABG 和∥ADE 中，AD ABADE ABG DE BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥ABG∥∥ADE （SAS ），∥AG=AE ，∥DAE=∥BAG ，又∥∥EAF=45°，∥DAB=90°，∥∥DAE+∥BAF=45°∥∥GAF=∥EAF=45°．在∥AFG 和∥AFE 中，AE AGGAF EAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AFG∥∥AFE （SAS ），∥GF=EF=BG+BF ，又∥DE=BG ，∥EF=DE+BF ；故∥正确；在AG 上截取AH=AM ，连接BH 、HN ，在∥AHB 和∥AMD 中，AD AB HAB MAD AH AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AHB∥∥AMD ，∥BH=DM ，∥ABH=∥ADB=45°，又∥∥ABD=45°，∥∥HBN=90°．∥BH 2+BN 2=HN 2．在∥AHN 和∥AMN 中，AM AH HAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AHN∥∥AMN ，∥MN=HN ．∥BN 2+DM 2=MN 2；故∥正确；∥AB∥CD ，∥∥DEA=∥BAM ．∥∥AEF=∥AED ，∥BAM=180°-∥ABM-∥AMN=180°-∥MAN-∥AMN=∥AND ，∥∥AEF=∥ANM ，又∥MAN=∥FAE ，∥∥AMN∥∥AFE ，故∥正确；过A 作AP∥EF 于P ，∥∥AED=∥AEP ，AD∥DE ，∥AP=AD ，BD ∴与EF 相切；故∥正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∥∥ANM=∥AEF ，而∥ANM 不一定等于∥AMN ，∥∥AMN 不一定等于∥AEF ，∥MN 不一定平行于EF ，故∥错误，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2020·广东汕头市·九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是（﹣1，0）、（2，0）．点C 在函数 k y x= （x ＞0）的图象上，连结AC 、BC ．AC 交y 轴于点D ，现有以下四个结论：△ AC BC 3<+ ；△ ΔOBC ΔOAC S 2S = ；△若△C=90°，点C 的横坐标为1，则k =；△若 AC AD 9⋅= ，则△ABC=△C ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ∥三条边能构成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，所以AC BC 3-<，即AC BC 3<+，故 ∥ 正确；∥ ∥点A 、B 的坐标分别是（﹣1，0）、（2，0），∥OA=1，OB=2，设C （a ，b ），由题意可知：a 0>且b 0>；OBC 1SOB b b 2=⨯⨯=； OAC 11S AO b b 22=⨯⨯=； ΔOBC ΔOAC S 2S =，故∥正确；∥ 由题意可知：C （1，b ），∥C=90°；过点C 作AB 边的高交AB 于一点E ；AE2=；CE b=；AC==EB1=；BC==；根据三角形的面积相等可得：AC BC AB b⨯=⨯；代入数据解得和b=；，故∥正确；∥ 当∥ABC=∥C时，AB=AC=3；∥AC AD9⋅=.解得AD=3.这与题干矛盾，故∥错误；故∥∥∥正确；∥错误；故答案为：C.【点睛】此题考查了反比例函数的图象，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的三边关系，利用数形结合思想处理函数图像的相关问题，同时注意逆推思想的应用.13．（2020·广西钦州市·九年级一模）如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH△DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BHAE的值为（）A．1BCD．2【答案】B如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∥AD=AB，∥DM=BE，∥点A关于直线DE的对称点为F，∥∥ADE∥∥FDE，∥DA=DF=DC，∥DFE=∥A=90°，∥1=∥2，∥∥DFG=90°，在Rt∥DFG和Rt∥DCG中，∥DF DC DG DG ⎧⎨⎩＝＝，∥Rt∥DFG∥Rt∥DCG（HL），∥∥3=∥4，∥∥ADC=90°，∥∥1+∥2+∥3+∥4=90°，∥2∥2+2∥3=90°，∥∥2+∥3=45°，即∥EDG=45°，∥EH∥DE，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22∥∥DEH=90°，∥DEH 是等腰直角三角形，∥∥AED+∥BEH=∥AED+∥1=90°，DE=EH ，∥∥1=∥BEH ，在∥DME 和∥EBH 中，∥1DM BE BEH DE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∥∥DME∥∥EBH （SAS ），∥EM=BH ，Rt∥AEM 中，∥A=90°，AM=AE ，∥EM =，∥BH，即BH AE= 故选：B.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．14．（2020·辽宁沈阳市·九年级其他模拟）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，点A 在（0，0）（-1，0）之间，抛物线与y 轴交于C 点，OA OC =．则由抛物线的特征写出如下结论：△0abc >；△240ac b ->；△0a b c -+>；△10ac b ++=．其中正确的个数是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 观察图象可知，开口向上a >0，对称轴在右侧b <0，与y 轴交于负半轴c <0，∥abc >0，故正确；∥∥抛物线与x 轴有两个交点，∥2b −4ac >0,即4ac −2b <0，故错误；∥当x =−1时y =a −b +c ,由图象知(−1,a −b +c )在第二象限，∥a −b +c >0，故正确∥设C (0,c )，则OC =|c |，∥OA =OC =|c |，∥A (c ,0)代入抛物线得20ac bc c ++=，又c ≠0，∥ac +b +1=0，故正确；故正确的结论有∥∥∥三个，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质为解题关键．15．（2020·山东泰安市·九年级二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，顶点坐标()1,n ，与y 轴的交点在()0,2，()0,3之间（包含端点），则下列结论：△30a b +<；△213a -≤≤-；△对于任意实数m ，2a b am bm +≥+总成立；△关于x 的方程21ax bx c n ++=+有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C∥抛物线的开口向下∥a<0∥对称轴x=−b2a =1∥b=−2a∥3a+b=a∥3a+b<0，故∥正确；∥ A(−1,0)在抛物线上∥a−b+c=0∥3a +c=0∥c=−3a∥c 在2,3之间∥2≤−3a≤3 ∥−1≤a≤−23，故∥正确；∥顶点坐标()1,n ，且当x=1时，y 有最大值，最大值为n∥对于任意实数m ，a+b+c≥am 2+bm+c∥a+b≥am 2+bm ，故∥正确∥顶点坐标()1,n∥y=ax 2+bx+c 与y=n 只有一个交点∥y=ax 2+bx+c 与y=n+1没有交点，故∥错误原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26故选C16．（2020·天津红桥区·九年级二模）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()10A -，，与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点），对称轴为直线2x =．有下列结论： △0abc ＜；△530a b c ++＞；△3255a --＜＜；△若点()19M a y -，，253N a y ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线上，则12y y <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C抛物线的开口向下，且与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点）0a ∴<，23c << 对称轴为22bx a =-=40b a ∴=->0abc ∴<，则结论∥正确由二次函数的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)则当3x =时，0y >即930a b c ++>0a <40a ∴<453053a a b c a b c ∴+++<+++，即9353a b c a b c ++<++53930a b c a b c ∴++>++>，则结论∥正确将点()10A -，代入抛物线得：0a b c -+=，即c b a =-4b a =-45c a a a ∴=--=-又23c <<253a ∴<-< 解得3255a -<<-，则结论∥正确 ()19M a y -，，253N a y ⎛⎫⎪⎝⎭，由结论∥可知，3255a -<<- 1827955a ∴<-<，52133a -<<- 由对称性可知，当543x a =-时，2y y = 52133a -<<- 1454533a ∴<-< 由二次函数的性质可知，当2x ≥时，y 随x 的增大而减小虽然9a -和543a -均大于2，但它们的大小关系不能确定所以1y 与2y 的大小不能确定，则结论∥错误综上，正确结论的个数是3个故选：C ．17．（2020·云南昆明市·九年级二模）如图所示，菱形ABCD 的顶点A 在反比例函数y =5x (x ＞0)的图象上，函数y =k x(k ＞5，x ＞0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点．若AB =2，△DAB =30°，如下结论：△O 、A 、C 三点在同一直线上；△点A ；△点D 的坐标是；△比例系数k 的值为10+( )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B 如图，连接OC 、AC ，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，延长DA ，与x 轴交于点G ，则//AE DF 函数k y x=的图象关于直线AC 对称 ∴O 、A 、C 三点在同一直线上，且45COE ∠=︒，则结论∥正确OA AE ∴=设(0)OE AE a a ==>，则点(,)A a a将(,)A a a 代入函数5y x=得：5a a =解得a =a =A ∴即点A∥不正确四边形ABCD 是菱形，30DAB ∠=︒，2AB =1152OAG DAC DAB ∴∠=∠=∠=︒，2AD = 45COE OAE ︒=∠=∠451530OAE OA EAG G ∠-∠=︒-=︒=∴∠︒在Rt AEG 中，tan EG EAG AE ∠=tan30=︒=解得3EG =23AG EG ∴==23DG AG AD =+=+ //AE DF30EAG FDG ∴=∠=∠︒则在Rt DFG 中，121GF DG =+=，cos DF FDG DG ∠=cos302)DF DG ∴=︒==1133OF OE EF OE GF EG =+=+-=+-=∴点D 的坐标为D ，则结论∥不正确点D 在函数k y x=的图象上=解得1)5k =⨯=+∥不正确综上，不正确的结论是∥∥∥故选：B ．18．（2020·湖北武汉市·九年级其他模拟）如图，反比例函数(0)k y x x=>的图象分别与矩形OABC 的边AB ，BC 相交于点D ，E ，与对角线OB 交于点F ，以下结论：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 △若OAD △与OCE △的面积和为2，则2k =；△若B 点坐标为(4,2)，:1:3AD DB =，则1k =；△图中一定有ADCEBD BE =；△若点F 是OB 的中点，且6k =，则四边形ODBE 的面积为18．其中一定正确个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∥D 、E 均在反比例函数图象上，OAD OCE S S ，又OAD 与OCE ∆的面积和为2，1OAD OCE S S ，2k ∴=；故本选项正确；∥B 点坐标为(4,2)，4AB ∴=，2AO =，:1:3AD DB ，1AD ∴=，2AO =，122k ∴=⨯=；故本选项错误；∥OAD 与OCE ∆的面积相等， ∴1122AD AO OC CE ， ∴OC AO AD CE ， ∴AB CB AD CE ， ∴AB AD CB CEADCE ，∴DB BE AD CE ， ∴AD CE BD BE=，故本选项正确； ∥过F 点作FG OC ⊥交OC 于G 点，过F 点作FHOA 交OA 于H 点， 6k ， 6OGFHS 四边形，又∥点F 是OB 的中点，6424ABCOS 四边形， 1632AOD CEOS S ， 243318ODBE S 四边形，故本选项正确；总上所述，正确的有3个，故选：C ．19．（2020·云南昆明市·九年级二模）如图，在反比例函数3y x=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x=的图象上运动，若tan 2CAB ∠=，则k 的值为（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 A ．12-B ．6-C ．18-D ．24-【答案】A 解：连接OC ，作CM∥x 轴于M ，AN∥x 轴于N ，如图，∥A 、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点，∥点A 、点B 关于原点对称，∥OA=OB ，∥CA=CB ，∥OC∥AB ，在Rt∥AOC 中，tan∥CAO=2CO AO=， ∥∥COM+∥AON=90°，∥AON+∥OAN=90°，∥∥COM=∥OAN ，∥Rt∥OCM∥Rt∥OAN ， ∥2)4(COM OAN S CO S OA ==，而13223OAN S =⨯=， ∥S ∥CMO =6，∥12|k|=6，而k ＜0， ∥k=-12．故选：A ．20．（2020·绵阳市富乐实验中学九年级期中）如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论：△EAB GAD ∠=∠；△AFC AGD ∆∆∽；△22AE AHAC =⋅；△DG AC ⊥．其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 解：∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∥∥EAG=∥BAD=90°又∥∥EAB=90°-∥BAG ，∥GAD=90°-∥BAG∥∥EAB=∥GAD∥∥正确∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∥AD=DC ，AG=FGAD ，AG∥AC AD =，AF AG= 即AC AF AD AG= 又∥∥DAG+∥GAC=∥FAC+∥GAC∥∥DAG=∥CAF∥AFC AGD ∆∆∽∥∥正确∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，AF 、AC 为对角线 ∥∥AFH=∥ACF=45°又∥∥FAH=∥CAF∥∥HAF∥∥FAC ∥AF AC AH AF= 即2·AF AC AH =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 34 又AE∥22AE AH AC =⋅∥∥正确∥由∥知AFC AGD ∆∆∽又∥四边形ABCD 为正方形， AC 为对角线 ∥∥ADG=∥ACF=45°∥DG 在正方形另外一条对角线上 ∥DG∥AC∥∥正确故选：D ．。

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品(上海专版) 专题01 创新题型(教师版含解析)

专题01创新题型模块一：定义应用例1.定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6] = 3，[ 3.6-] = 4-．对于任意实数x ，下列式子错误的是( ) A ．[x ] = x (x 为整数)B ．0[]1x x ≤-<C ．[][][]x y x y +≤+D ．[][]n x n x +=+(n 为整数)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由反例[][3.8 2.7] 6.56+==，[3.8][2.7]325+=+=可知C 错误．【总结】本题考查取整函数[x ]的定义及应用．例 2.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )和Q (x ，'y )，给出如下定义：若()()0'0y x y y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如果点(1-，2-)为点M 的可控变点，则点M 的坐标为___________．【难度】★★ 【答案】(-1，2)【解析】由题意得，当0<x 时，'=-y y ，且x 不变，所以当1x =-，时'2=y ，即点M 坐标为(1-，2)．【总结】把握好“可控变点”的定义，找出'y 与y 两者之间存在的关系．例3.定义一种新运算：2x y x y x +*=，如2212122+⨯*==，则()()421**-=______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】先计算()4224224+⨯*==，再计算()()2122102+-⨯*-==．【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序．例4.已知1m x =+，2n x =-+，若规定()()11m n m n y m n m n ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则y 的最小值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【难度】★★ 【答案】B ．【解析】把1m x =+，2n x =-+代入，得到1221222⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩x x y x x ，当12≥x 时，1≥y ；当12<x 时，1>y ．所以y 的最小值是1，故选B ．【总结】考查分段函数求最值的问题．例5.定义运算“*”：规定x y ax by *=+(其中a 、 b 为常数)，若113*=，()111*-=，12*=______．【难度】★★ 【答案】4．【解析】把113*=，()111*-=代入运算法则，得31+=⎧⎨-=⎩a b a b ，解得：21=⎧⎨=⎩a b ，所以12*=2×1+1×2=4．【总结】根据新运算，求出a 、b 的值是解答本题的关键．例 6.对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m n mn n *=+．如果关于x 的方程()14x a x **=-有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】根据运算法则，()*=+a x ax x ，()()*+=+++x ax x x ax x ax x ，整理得()()211104++++=a x a x ，此方程有两个相等的实数根，则()()210110+≠⎧⎪⎨=+-+=⎪⎩a a a ，解得：1201a a ==-，(舍)，所以a=0．【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行求解，注意二次项系数不能为零．例7.(2020黄浦区一模)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ， △ABD 与△DBC 相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.例8.(2020杨浦区一模).在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF ．如果△DEF 与△ABC 相似(相似比不为1)，那么△DEF 的面积为______．【答案】1；【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABC 和DEF 三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，∵1AB BC ==，，AC∴:?:?AB BC AC =∵DE =2EF =，DF =∴::DE EF DF ==∴:?:?::AB BC AC DE EF DF = ∴~ABC DEF ∴12112DEFS=⨯⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.例9.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt ABC ∆和Rt ACD ∆中，90ACB ACD ∠=∠=︒，点D 在边BC 的延长线上，如果BC = DC = 3，那么ABC ∆和ACD ∆的外心距是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC ∆和ACD ∆ 的外心分别为AB 和AD 的中点，这两个三角形的外心距即∆ABD 的中位线，长度是132=BD ．【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线．例10.定义[a ，b ，c ]为函数2y ax bx c =++的“特征数”．如：函数232y x x =+-的“特征数”是[1，3，2-]，函数4y x =-+的“特征数”是[0，1-，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是__________________．【难度】★★ 【答案】221=+y x ．【解析】由题意得“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为224=+y x ，向下平移3个单位可得新函数的解析式为：221=+y x ．【总结】特征数[a ，b ，c ]即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题．例11.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点'P 为射线CP 上一点，满足2'CP CP r =，则称点'P 为点P 关于C 的反演点．如图为点P 及其关于C 的反演点'P 的示意图．请写出点M (12，0)关于以原点O 为圆心，以1为半径的O 的反演点'M 的坐标．AB D【难度】★★★【答案】(2，0)．【解析】由反演点的定义可得2'=OM OM r ，即21'12=OM ，解得：'2=OM ，又点'M 在x 轴上，所以点'M 的坐标为(2，0)．【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系．例12.如图1，对于平面上不大于90°的MON ∠，我们给出如下定义：如果点P 在MON ∠的内部，作PE OM ⊥，PF ON ⊥，垂足分别为点E 、F ，那么称PE + PF 的值为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为d (P ，MON ∠)．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限内，且点P 的横坐标比纵坐标大1，对于xOy ∠，满足d (P ，xOy ∠)= 5，点P 的坐标是__________．【难度】★★★ 【答案】(3，2)．x yP' CPO ENF OPM 图1yx-11-11O图2【解析】过点P 分别作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴， ∵点P 在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， ∴设PA =a ，则PB =a +1， ∵d (P ，xOy ∠)= 5，可得：PA +PB =5，即a +a +1=5，解得：a =2，所以点P 的坐标为(3,2)．【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标．模块二：阅读理解例1.一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为______．【难度】★ 【答案】8．【解析】由题得，x =1+2=3，y =3+5=8．【总结】本题难度不大，运算也比较简单．例2.四个数a 、b 、c 、d 排列成a b c d，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-．若331233x x x x +-=-+，则x =______．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由运算法则得()()22333333+-=+---+x x x x x x ，整理得：1212=x ，解得：x =1．【总结】由运算法则整理，再解关于x 的方程即可．例3.对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a 、b 中的较大值，如：{max 2，}44=，按照这个规定，方程{max x ，}21x x x+-=的解为( )A ．1B ．2-C ．11D ．11-【难度】★★ 【答案】D ．【解析】当x >0时，{}max x x x -=，，解方程21+=x x x，得：1=±x所以1=+x 当x <0时，{}max x x x -=-，，解方程21x x x+-=，得：121==-x x ，所以1=-x ；综上，1=x 1-，故选D ．【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x 的方程．例4.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______．【难度】★★ 【答案】1或2．45x +，45，则180x =，解得：45x =，此三角形为等腰直角三角形， ∴此三角形的面积=12当顶角为x 时，则4545180x x x ++++=，解得：30x =．如图，2==AB AC ，30A ∠=，作CD ⊥AB ，在Rt ADC ，∵30A ∠=，∴112==CD AC ， 211⨯=．综上所述，该三角形的面积等于1或2．【总结】本题注意分类讨论．根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行面积的求解．例 5.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三D CBA角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt ABC ∆，90C ∠=︒，较短的一条直角边边长为1，如果Rt ABC ∆是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．【难度】★★【解析】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB 上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为BC 边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC 上的中线，如图所示，BC =1，设2BD x =，则CD x =．在Rt BCD 中，勾股定理得1+()222=x x ，解得：xBD =2x．【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论．例6.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为______．【难度】★★ 【答案】8或10．【解析】由题意可知，存在两种情况：(1)一组邻边长分别为3和1，周长=8； (2)一组邻边长分别为3和2，周长=10．【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质．例7.设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将Rr的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是______(结果保留根号)．DCBA【难度】★★【解析】设正六边形的边长为a ，则半径为R=a ，边心距为，所以R r．【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质．例8.将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得431x x --的值是____________．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由210x x --=，得21=+x x ，代入431x x --=()221311+--=-=x x x x ．【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题．例9.在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x 平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为(2-，3)A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为_________．【难度】★★【答案】(0，5)或(-4，1)．【解析】由题意得，连心线所在直线为5=+y x ，因为两圆外切，设另一圆心为圆B ，所以圆心距=AB ，设(),5+B x x ，所以AB 解得：10=x ，24=-x ，所以圆心B 的坐标为(0,5)或(-4,1)．【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系．例10.当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果1O 、2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是___________．【难度】★★ 【答案】23<<d ．【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得24<<d ，当小圆的圆心恰好在大圆上时，3=d ，所以内相交的圆心距d 取值范围是23<<d ．【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义．模块三：规律探究例1.观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )A ．2531B ．3635C ．47D ．6263【难度】★★ 【答案】C ．【解析】根据题意，可知规律为221n n -，故第6个数为：3663，化简为47，故选C ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例2.按一定规律排列的一列数：12，22，32，52，82，132，…．若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜测x 、y 、z 满足的解析式是____________．【难度】★★ 【答案】=xy z ．【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以=xy z ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例3.在平面直角坐标系中，有三个点A (1，1-)、B (1-，1-)、C (0，1)，点P (0，2)关于点A 的对称点为1P ，1P 关于点B 的对称点为2P ，2P 关于点C 的对称点为3P ，按此规律，继续以点A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到点4P ，5P ，6P ，…，则点2017P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(0，2)C ．(2，4-)D ．(4-，2)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由题意得1P (2，-4)、2P (-4，2)、3P (4，0)、4P (-2，-2)、5P (0，0)，6P (0，2)，每6个数形成一个周期，2017÷6=336……1，所以2017P 的坐标和1P 的坐标相同，故选C ．【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理．例4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2017S 的值为_____________．【难度】★★★【答案】20141()2．【解析】由题意得1S =2×2=4=22，2S 12=，3S =111⨯==20，…… 由以上规律，可知2017S =2-201420141()2=．【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用．1.(2020松江二模)如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．2．(2020静安二模)如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．【分析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．【解答】解：作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B＝，∴＝，∴CH＝12a，∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC＝＝13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE＝17+13﹣27＝3，∴EH＝12﹣3＝9，由勾股定理得，EC＝＝15，∴△BCE 的周长＝14+13+15＝42，故答案为：42．3.(2020嘉定二模)定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角【答案】22或215+4.(2020长宁二模)如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是．【分析】先根据题意画出图形，连接BD 、OD ，设AM ＝x ，根据AD 2﹣AM 2＝OD 2﹣OM 2，列出方程，求出x ，再根据OC ＝OA ﹣AM ﹣CM 计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：连接BD ，与AC 交与点M ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AMD ＝∠DMC ＝90°，∠ACD ＝∠ACB ，CD ＝CD ，AM ＝CM ， ∴DM 2＝AD 2﹣AM 2，设AM＝x，则DM2＝(2)2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB(SSS)，∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣(5﹣x)2，∴(2)2﹣x2＝52﹣(5﹣x)2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．5.(2020青浦二模)小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH 分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝．【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x 的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得：BC＝4，∵△BCG∽△DFH，∴＝，已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，∴＝，∴DH＝10﹣2x，∵△BCG∽△DFH，∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，∴∠AGC＝∠DHE，∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，∴∠A＝∠EDH，∴△AGC∽DHE，∴＝，又DE＝4，∴＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．∴AG＝3．故答案为：3．6.(2020杨浦二模) 定义：对于函数y ＝f (x )，如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k (b ﹣a )(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣(﹣9)＝k (3﹣1)，求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，可得：k ＝2，故答案为：2．7.定义：如果二次函数2111y a x b x c =++(10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数)与2222y a x b x c =++(20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数)满足120a a +=，12b b =，120c c +=，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数2423y x mx =-+-与22y x nx n =-+互为“旋转函数”，则()2017m n +=________．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】由“旋转函数”的定义得42320⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩m nn ，解得：32=-⎧⎨=⎩m n ，所以()2017m n +=(-1)2017=-1．【总结】本题考查“旋转函数”的定义．8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，则tan A =_______．【难度】★★【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足；故只能是直角边上的中线等于此直角边的长，如图所示，设BD =2x ，CD =x ，则=BC ，在Rt ABC 中，AC =2x，=BC ．当∠A为较小锐角时，tan A =当∠A为较大锐角时，tan A =．【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论．9.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”．现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm ．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是______cm ．【难度】★★【答案】710．【解析】如图，将两个全等的直角ABC 与DEF 的斜边AC 与DF 重合，拼成凸四边形ABCE ，AC 与BE 交于点O ，M 为AC 的中点．∵△ABC ≌△DEF ，易证AO ⊥BE ．在Rt AOB 中，AO =AB •cos ∠BAO =95，因为1522==AM AC ，所以5972510=-=-=OM AM OA ．即奇异中位线的长是710．【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形．10.如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们将[p ，q ]称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[4-，2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2，3]，将这个函数的图像先DCBA向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为______．【难度】★★ 【答案】[6，8]．【解析】特征数是[2，3]的二次函数为223=++y x x ，即2(1)2=++y x ，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为2(3)1=+-y x ，即268=++y x x ，所以特征数为[6，8]．【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移．11.如图1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r =，则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图2，在Rt ABO ∆中，90B ∠=︒，AB = 2，BO = 4，圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么''A B 的长是______．【难度】★★★【答案】5．【解析】由反演点的定义，可知：2'=OA OA r ，2'=OB OB r ，则'=OA OA 'OB OB ，即''=OA OB OB OA ，又∠=∠O O ，可证''OA B ∽OBA ， ∴'''=OB A B OA AB ，即225''=A B ，解得：''A B =5．【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质．12.正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线y kx b =+(0k >)和x 轴上，已知点1B (1，1)，2B (3，2)，OPP'BOA图1 图2则点6B 的坐标是__________，点n B 的坐标是__________．【难度】★★★【答案】(63，32)，1(212)nn--，．【解析】由1A (0，1)、2A (1，2)，可求得直线解析式为1=+y x ．可求得3A (3，4)、3B (7，4)，4A (7，8)、 4B (15，8)，5A (15，16)、5B (31，16)， 6A (31，32)、6B (63，32)， ……，按照此规律可得n B 1(212)n n --，．【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律．13.对于平面直角坐标系 xOy 中的点P (a ，b )，若点'P 的坐标为(ba k+，ka b +)(其中k 为常数，且0k ≠)，则称点'P 为点P 的“k 属派生点”．例如：P (1，4)的“2属派生点”为'P (412+，214⨯+)，即'P (3，6)．若点P 的“k 属派生点”'P 的坐标为(3，3)，请写出一个符合条件的点P 的坐标：____________．【难度】★★★ 【答案】(2，1)．【解析】由题意得33⎧+⎪=⎨⎪+=⎩b a k ka b ，整理得：33+=⎧⎨+=⎩ka b k ka b ，所以1=k ，只要满足3+=a b 即可，可取点P (2，1)．x yO【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出k 的值，答案不唯一．14.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，…，如此下去，第n 个正方形的边长为__________．【难度】★★★ 【答案】12-n ．【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为2，依次规律，第n 个正方形的边长为12-n ．【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律．A BC D E FGH。

上海市2021年中考数学真题试卷(Word版+答案+解析)

上海市2021年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.下列实数中，有理数是（）A. √12B. √13C. √14D. √152.下列单项式中， a 2b 3 的同类项是（）A. a 3b 2B. 2a 2b 3C. a 2bD. ab 33.将抛物线 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y 随x 的变化情况不变D. 与y 轴的交点不变4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A. 2kg /包B. 3kg /包C. 4kg /包D. 5kg /包5.如图，已知平行四边形ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，E 为 AB 中点，求 12a +b ⃗ = （）A. EC⃗⃗⃗⃗⃗ B. CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. ED ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 6.如图，已知长方形 ABCD 中， AB =4,AD =3 ，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点 C,D 与圆A 的位置关系是（）A. 点C在圆A外，点D在圆A内B. 点C在圆A外，点D在圆A外C. 点C在圆A上，点D在圆A内D. 点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（共12题；共12分）7.计算：x7÷x2=________．8.已知f(x)=6x，那么f(√3)=________．9.已知√x+4=3，则x=________．10.不等式2x−12<0的解集是________．11.70°的余角是________．12.若一元二次方程2x2−3x+c=0无解，则c的取值范围为________．13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为________．14.已知函数y=kx经过二、四象限，且函数不经过(−1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式________．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚________元．16.如图，已知S△ABDS△BCD =12，则S△BOCS△BCD=________．17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积________．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P,OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为________．三、解答题（共7题；共60分）19.计算：912+|1−√2|−2−1×√820.解方程组：{x+y=3x2−4y2=021.已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4，cos∠ABC=45，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．22.现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．23.已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．24.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(3,0),Q(1,4)．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,AD=CD,O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于E．（1）当点E在边CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求AD的值；BC（2）若DE=2,OE=3，求CD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】有理数及其分类【解析】【解答】解：A、√12=√22∵√2是无理数，故√12是无理数B、√13=√33∵√3是无理数，故√13是无理数C、√14=12为有理数D、√15=√55∵√5是无理数，故√15是无理数故答案为：C【分析】先将各项二次根式化为最简二次根式，然后根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.2.【答案】B【考点】同类项【解析】【解答】∵a的指数是3，b的指数是2，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a3b2不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是2，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3一致，∴2a2b3是a2b3的同类项，符合题意；∵a的指数是2，b的指数是1，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a2b不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是1，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴ab3不是a2b3的同类项，不符合题意；故答案为：B【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此逐一判断即可.3.【答案】D【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故答案为：D．【分析】由于抛物线上下平移后形状不变，开口方向不变、对称轴不变、从而可得增减性不变，但与y 轴的交点改变，据此判断即可.4.【答案】A【考点】条形统计图【解析】【解答】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故答案为：A．【分析】最合适的包装即是顾客购买最多的包装，据此判断即可.5.【答案】A【考点】平面向量【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB中点，∴12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗故答案为：A．【分析】根据平行四边形的性质及线段的中点，可得12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，据此判断即可.6.【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】∵圆A与圆B内切，AB=4，圆B的半径为1∴圆A的半径为5∵AD=3<5∴点D在圆A内在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√42+32=5∴点C在圆A上故答案为：C【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.二、填空题7.【答案】x5【考点】同底数幂的除法【解析】【解答】∵x7÷x2=x5,故答案为: x5．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可.8.【答案】2√3【考点】代数式求值【解析】【解答】解：∵f(x)=6x，∴f(√3)==2√3，√3故答案为：2√3．【分析】将x=√3代入，求出函数值即可.9.【答案】5【考点】无理方程【解析】【解答】解：√x+4=3，两边同平方，得x+4=9，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案是：5．【分析】将方程两边同平方，化为一元一次方程，求解并检验即可.10.【答案】x<6【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】2x−12<02x<12x<6故答案为：x<6．【分析】利用移项、系数化为1即可求出解集.11.【答案】20°【考点】余角、补角及其性质【解析】【解答】70°的余角是90°- 70°= 20°故答案为：20°．【分析】互余的两个角的和等于90°，据此解答即可.12.【答案】c>98【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，∵a=2，b=−3，c=c，∴△=b2−4ac=(−3)2−4×2c<0，，解得c>98∴c的取值范围是c>9．8故答案为：c>9．8【分析】由关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，可得△＜0，据此解答即可.13.【答案】38【考点】概率公式【解析】【解答】根据概率公式，得偶数的概率为 38 ，故答案为： 38 ．【分析】直接利用概率公式计算即可.14.【答案】 y =−2x （ k <0 且 k ≠−1 即可）【考点】正比例函数的图象和性质【解析】【解答】解：∵正比例函数 y =kx 经过二、四象限，∴k<0，当 y =kx 经过 (−1,1) 时，k=-1，由题意函数不经过 (−1,1) ，说明k≠-1，故可以写的函数解析式为： y =−2x (本题答案不唯一，只要 k <0 且 k ≠−1 即可)．【分析】正比例函数经过二、四象限，可得k<0，又不经过 (−1,1) ，可得k≠-1，，据此求解即可（答案不唯一）.15.【答案】 33k 5【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为 y =mx +n(5≤x ≤10) ，将（5，4k ），（10，k ）代入关系式：{5m +n =4k 10m +n =k ，解得 {m =−35k n =7k∴ y =−35kx +7k(5≤x ≤10)令 x =8 ，则 y =115k ∴利润= (8−5)×115k =335k【分析】利用待定系数法求出卖出的苹果数量与售价之间的关系式，再求出当售价为8元/千克时卖出的苹果数量，最后利用利润=（售价-进价）×销售量，计算即得.16.【答案】 23【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作AE ⊥BC ，CF ⊥BD∵ S △ABDS △BCD =12 ∴△ABD 和△BCD 等高，高均为AE∴S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴ODOB =ADBC=12∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴S△BOCS△DOC =12OB·CF12OD·CF=OBOD=21∴S△BOCS△BCD =23故答案为：23【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12，利用平行线可证△AOD∽△COB可得ODOB =ADBC=12，从而求出S△BOCS△DOC=12OB·CF12OD·CF=OBOD=21，继而得出结论.17.【答案】3√32．【考点】正多边形的性质【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°，∴BG=DI= FH= 12，∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH = √32，∴AC =AE = CE = √3，∴由勾股定理得：AI= 32，∴S= 3×12×√3×12+12×√3×32=3√32，故答案为：3√32．【分析】如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，利用正六边形的性质可得△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，从而求出∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，继而得出BG=DI= FH= 12，AC =AE = CE = √3，AI= 32，由中间正六边形的面积=3△ABC的面积+△ACE的面积，利用三角形的面积公式计算即可.18.【答案】2−√2≤d≤1【考点】旋转的性质，四边形-动点问题【解析】【解答】解：如图1，设AD的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，OA=√2．∴点O与正方形ABCD边上的所有点的连线中，OE最小，等于1，OA最大，等于√2．∵OP=2，∴点P与正方形ABCD边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E落在OP上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在OP上时，最小值PA=PO−AO=2−√2．∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是2−√2≤d≤1．故答案为：2−√2≤d≤1【分析】由旋转及正方形的性质可得，当点E落在OP上时，最大值为PE的长，当点A落在OP上时，最小值为PA的长，据此分别求出最大值与最小值，即得结论.三、解答题19.【答案】解：912+|1−√2|−2−1×√8，= √9−(1−√2)−12×2√2，= 3+√2−1−√2，=2．【考点】实数的运算【解析】【分析】利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可.20.【答案】解：由题意：{x+y=3⋯(1)x2−4y2=0⋯(2)，由方程(1)得到：x=3−y，再代入方程(2)中：得到： (3−y)2−4y 2=0 ，进一步整理为： 3−y =2y 或 3−y =−2y ，解得 y 1=1 ， y 2=−3 ，再回代方程(1)中，解得对应的 x 1=2 ， x 2=6 ，故方程组的解为： {x =2y =1 和 {x =6y =−3 ．【考点】解二元一次方程组【解析】【分析】利用代入消元法解方程组即可. 21.【答案】（1）∵ AC ⊥BD ， cos ∠ABC =45 ∴ cos ∠ABC =BCAB =45 ∴AB=10∴ AC = √AB 2−BC 2=6 ；（2）过点F 作FG ⊥BD ，∵ BF 为 AD 边上的中线． ∴F 是AD 中点 ∵FG ⊥BD ， AC ⊥BD ∴ FG //AC∴FG 是△ACD 的中位线 ∴FG= 12AC = 3 CG= 12CD =2∴在Rt △BFG 中， tan ∠FBD = FGBG =38+2=310 ．【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）利用 cos ∠ABC =BCAB =45可求出AB 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可；（2）过点F 作FG ⊥BD ，由AC ⊥BD 可得FG ∥AC ，可得FG 是△ACD 的中位线，从而可得= 3， =2 ，在Rt △BFG 中，由tan ∠FBD .22.【答案】（1）3月份的百分比= 1−30%−25%=45%三月份共生产的手机数= 80×45%=36（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，由题意可知：1000x−95−1000x=190解得：x=100检验：当x=100时，x⋅(x−95)≠0∴x=100是原分式方程的解．答：5G手机的下载速度为100 MB/秒．【考点】分式方程的实际应用，扇形统计图【解析】【分析】（1）由扇形统计图求出三月份所占百分比，再乘以总数即得结论；（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，根据“下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒”列出方程，求解并检验即可.23.【答案】（1）证明：连结OM,ON，∵M、N分别是CB和AD的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO=∠GNO=90°，在⊙O中，AB=CD，∴OM=ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，{OM=ONOG=OG，∴RtΔGOM≌RtΔGON(HL)，∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，∴OG⊥MN;（2）设OG 交MN 于E ， ∵RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ， ∴ MG =NG ，∴ ∠GMN =∠GNM ，即 ∠CMN =∠ANM ， ∵CM =12CB =12AD =AN ，在△CMN 和△ANM 中 {CM =AN∠CMN =∠ANM MN =NM ，∴△CMN ≌△ANM ，∴AM =CN,∠AMN =∠CNM ， ∵CN ∥OG ，∴∠CNM =∠GEM =90° ， ∴∠AMN =∠CNM =90° ，∴∠AMN +∠CNM =90°+90°=180° ， ∴AM ∥CN ，∴ACNM 是平行四边形， ∵∠AMN =90° ， ∴四边形ACNM 是矩形．【考点】矩形的判定，圆的综合题【解析】【分析】（1）连结OM,ON ，证明RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ，可得MG=NG ， ∠MGO=∠NGO ， MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，24.【答案】（1）将 P(3,0)、Q(1,4) 两点分别代入 y =ax 2+c ，得 {9a +c =0,a +c =4,解得 a =−12,c =92 ．所以抛物线的解析式是 y =−12x 2+92 ．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ，作 CH ⊥AB 于H ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，∴ △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形， ∴ CH =AH =BH =2 ，∴点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，由 P(3,0)、Q(1,4) ，得 {3k +b =0,k +b =4,解得 {k =−2,b =6,∴直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ，设 A(m,−2m +6) ， ∴ AB =−2m +6 ，所以 CH =BH =AH =−m +3 ．所以 y C =−m +3,x C =−(−m +3−m)=2m −3 ．将点 C(2m −3,−m +3) 代入 y =−12x 2+92 ，得 −m +3=−12(2m −3)2+92 ．整理，得 2m 2−7m +3=0 ．因式分解，得 (2m −1)(m −3)=0 ．解得 m =12 ，或 m =3 （与点B 重合，舍去）．当 m =12 时， 2m −3=1−3=−2,−m +3=−12+3=52 ．所以点C 的坐标是 (−2,52) ．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）将P 、Q 两点坐标代入抛物线解析式中，求出a 、c 的值即可；（2）① 作 CH ⊥AB 于H ．抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ，可得出 △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形，从而得出CH =AH =BH =2 ，继而得出点C 到抛物线的对称轴的距离等于1；②先求出直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ，设A(m,−2m +6) ，可求出点 C(2m −3,−m +3) ，将点C 坐标代入y =−12x 2+92中，可求出m 值，即得点C 坐标.25.【答案】（1）①由 AD =CD ，得 ∠1=∠2 ．由 AD//BC ，得 ∠1=∠3 ．因为 BO 是 Rt △ABC 斜边上的中线，所以 OB =OC ．所以 ∠3=∠4 ．所以 ∠1=∠2=∠3=∠4 ．所以 △DAC ∽△OBC ．②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°．作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．在Rt△DCH中，∠DCH=60°,DC=2m，所以CH=m．所以BC=BH+CH=3m．所以ADBC =2m3m=23．（2）①如图5，当点E在AD上时，由AD//BC,O是AC的中点，可得OB=OE，所以四边形ABCE是平行四边形．又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，已知DE=2，所以AE=x−2．已知OE=3，所以AC=6．在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2，列方程62−(x−2)2=x2−22．解得x=1+√19，或x=1−√19（舍去负值）．②如图6，当点E在CD上时，设AD=CD=x，已知DE=2，所以CE=x−2．设OB=OC=m，已知OE=3，那么EB=m+3．一方面，由△DAC∽△OBC，得DCOC =ACBC，所以xm=2OCBC，所以OCBC=x2m，另一方面，由∠2=∠4，∠BEC是公共角，得△EOC∽△ECB．所以EOEC =ECEB=OCCB，所以3x−2=x−2m+3=OCCB．等量代换，得3x−2=x−2m+3=x2m．由3x−2=x2m，得m=x2−2x6．将m=x2−2x6代入3x−2=x−2m+3，整理，得x2−6x−10=0．解得x=3+√19，或x=3−√19（舍去负值）．【考点】相似三角形的判定与性质，四边形的综合，四边形-动点问题【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠1=∠3，利用直角三角形的性质得出∠3=∠4，即得∠1=∠2=∠3=∠4，根据两角分别相等可证△DAC∽△OBC；② 在Rt△BCE中，得出∠2=∠3=∠4=30°，作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m，从而求出CH=m，继而得出BC=BH+CH=3m，据此即可求出结论；（2）分两种情况：① 当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2建立方程，求出x值即可；② 当点E在CD上时，设AD=CD=x，设OB=OC=m，由△DAC∽△OBC=ACBC ，据此可得xm=2OCBC，证明△EOC∽△ECB，可得EOEC =ECEB=OCCB，据此可得3x−2=x−2m+3=OCCB，从而得出方程，求出x值即可.。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练13(二次函数压轴题)(30题)(原卷版)

2021中考考点必杀500题专练13（二次函数压轴题）（30道）1．（2021·上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++经过点(5,0)A ，顶点为点B ，对称轴为直线3x =，且对称轴与x 轴交于点C ．直线y kx b =+，经过点A ，与线段BC 交于点E ．（1）求抛物线2y x mx n =-++的表达式；（2）联结BO 、EO ．当BOE △的面积为3时，求直线y kx b =+的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D 为y 轴上的一点，联结BD 、AD ，当=BD EO 时，求DAO ∠的余切值．2．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点．（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC 内，求a 的取值范围．3．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式；（3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．4．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点 D ．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果DC BC ⊥，1tan 3DBC ∠=，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果 ACM ∆的面积是258，求点M 的坐标．5．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．连接CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．6．（2021·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，点C 在该抛物线上且在第一象限．()1求该抛物线的表达式；()2将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当13AD BD =时，求m 的值； ()3联结BC ，当2CBA BAO ∠=∠时，求点C 的坐标．7．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．8．（2021·上海九年级专题练习）我们已经知道二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x 轴的正方向看）．已知一个二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图像如图所示．（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．9．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0．（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使MOC △与BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标（不必书写求解过程）．10．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式：（2）若抛物线2y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）．①用含b 的代数式表示a ，并写出1b的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．11．（2021·上海浦东新区·九年级一模）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC⊥AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求⊥BAP 的余切值；（3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标．12．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)2y x m m =-+>与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，⊥OCA =⊥OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．13．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．14．（2021·上海九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．15．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D．①求点C 、D 的坐标；②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．16．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =+-经过点()2,0A 和(1,1)B --与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交x 轴于点D ，23PD DC =．①求P 点坐标；②点Q 在x 轴上，如果QCA PCB ∠=∠，求点Q 的坐标．17．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴的负半轴相交，求m 的取值范围．18．（2021·上海九年级其他模拟）抛物线21y=x +x+m 4的顶点在直线y=x+3上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N 两点（点M 在点N 的左边），MA⊥x 轴于点A ，NB⊥x 轴于点B ．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ；（3）若射线NM 交x 轴于点P ，且PA×PB ＝1009，求点M 的坐标．19．（2020·上海浦东新区·九年级三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A （−3,0）和点B ，与y 轴相交于点C （0,3），抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、AC 、CD ，求⊥DAC 的正切值；（3）如果点P 是原抛物线上的一点，且⊥PAB =⊥DAC ，将原抛物线向右平移m 个单位（m >0），使平移后新抛物线经过点P ，求平移距离．20．（2020·上海宝山区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若⊥ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．21．（2020·上海普陀区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果⊥PBC与⊥BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将⊥CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．22．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；（2）求点P的坐标；（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果⊥QAC＝⊥ABC，求点Q的坐标．23．（2020·上海青浦区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x 轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan⊥CAO＝3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S⊥CDF：S⊥FDP＝2：3时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将⊥PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求OMON的值．（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当⊥EAO与⊥EAF全等时，求点E的纵坐标．25．（2020·上海奉贤区·）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝1 2x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP⊥x轴，求⊥MCP的正弦值．的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA ＝OB ，抛物线的顶点为M ，联结AB 、AM ．（1）求这条抛物线的表达式和点M 的坐标；（2）求sin⊥BAM 的值；（3）如果Q 是线段OB 上一点，满足⊥MAQ ＝45°，求点Q 的坐标．27．（2020·上海嘉定区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知经过点A （﹣3，0）的抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点．（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标；（2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC ．如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F ．当EF ＝2FH 时，求点E 的坐标．28．（2020·上海长宁区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =++经过点()2,2A -，对称轴是直线1x =，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求BCD ∆的面积；（3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，15BQ PQ =，求点P 的坐标．29．（2020·上海崇明区·九年级二模）已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标．30．（2020·上海浦东新区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，对称轴是直线1x =．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN 平行于x 轴，与抛物线交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），且34MN AB =，点C 关于直线MN 的对称点为E ，求线段OE 的长；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP 、EP ，EP 交线段BC 于点F ，当:1:2CPF CEF S S =△△时，求点P 的坐标．。

决胜2021年上海中考数学压轴题全揭秘精解专题25 上海中考预测卷(2)

绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。

2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.方程230x -+=根的情况（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根； C. 无实数根D. 有两个相等的实数根2．若m n >，下列不等式不一定成立的是( ) A ．33m n +>+B ．33m n -<-C ．33m n> D ．22m n >3.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限D. 第三、四象限4．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：下列说法正确的是( )A ．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是25.顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形6．已知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，CD⊥AB，且CD＝1．若以点A为圆心，√3为半径作⊙A，以点B为圆心，1为半径作⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．若2a b=+，则代数式222a ab b-+的值为．8.化简：113a a-=______．9．若一个数的平方等于5，则这个数等于．10.0=的解是_____________.11．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．12．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．13.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为__________；14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图(A．小于5天；.5B天；.6C天；.7D天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是．15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______．16．如图，在ABC中，90C∠=︒，30A∠=︒，BD是ABC∠的平分线，如果AC x=，那么CD =（用x表示）．17．如图，在ABC∆中，30B∠=︒，2AC=，3cos5C=．则AB边的长为．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．三．解答题（共7小题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：1327﹣(12)﹣2+|3．20.（本题满分10分）解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21.(本题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x =，且经过点A （2，3），与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C 在y 轴上，当AC ＝BC 时，求点C 的坐标．22．（本题满分10分）两栋居民楼之间的距离30CD m =，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30︒，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？（参考数1.7≈ 1.4)≈23.已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F. （1）求证：BD ＝CD ：（2）如果AB 2＝AO·AD ，求证：四边形ABDC 是菱形.24.如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a a =--<与x 轴交于A B、两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示）（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.25.已知：如图，在菱形ABCD 中，2AC =，60B ∠=︒．点E 为边BC 上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ．设CE x =，EG y =．（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO 时，求x 的值．绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练09(三角形相似大题)(30题)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练09（三角形相似大题）（30道）1．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在△ABC 中，DE△BC ，AD 2=AE•AC ．求证：（1）△BCD△△CDE ；（2）22CD AD BC AB=．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）由2·AD AE AC =，易证得ADC AED ∆∆∽，即可得ACD ADE =∠∠，又由//DE BC ，易证得ECD B ∠=∠，则可证得BCD CDE ∆∆∽；（2）由BCD CDE ∆∆∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可得CD DE BC CD=，又由//DE BC ，可得ADE ABC ∆∆∽，即可得AD DE AB BC =，继而得到结论．【详解】证明：（1）2·AD AE AC =， ∴AD AC AE AD=， A ∠是公共角，ADC AED ∴∆∆∽，ACD ADE ∴∠=∠，//DE BC ，ADE B ∴∠=∠，BCD CDE ∠=∠，ECD B ∴∠=∠，BCD CDE ∴∆∆∽；（2）BCD CDE ∆∆∽， ∴CD DE BC CD=， 2CD DE BC∴=， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴AD DE AB BC=， ∴22CD AD BC AB=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．（2021·上海九年级其他模拟）如下图，已知在△AB C 中，AD 平分△BAC ，EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E .（1）连接AE ，证明：△EAC =△B .（2）求证：DE 2=BE ·CE .【答案】（1）证明见解析（2）2DE BE CE =⋅【详解】试题分析：（1）由中垂线的性质得，EAD EDA ∠=∠，由三角形的外角定理得出EAD B CAD ∠=∠+∠，故EAC B ∠=∠.（2）由（1）的结论∠EAC =∠B 和共公角，判断出∠EAC∠∠EBA ，根据相似三角形的性质即可得出等积式即可.试题解析：（1）EM 是AD 的中垂线，∴ EA=ED ,EAD EDA ∠=∠,又AD 平分BAC ∠，∴ CAD DAB ∠=∠EAD EAC CAD EDA B DAB∠=∠+∠∴∠=∠+∠ EAD B CAD ∠=∠+∠由上知：EAC B ∠=∠ （2在EAC ∆与EBA ∆中，,AEC BEA EAC B ∠=∠∠=∠∠∠EAC∠∠EBA ∠2,EA CE AE BE CE BE AE=⇒=⋅．即2DE BE CE =⋅点睛：本题的关键是对于几何定理的熟悉程度，可以观察已知条件和图形的关系，第二问根据给出结论，找到要证明的相似三角形即可.3．（2021·上海九年级其他模拟）如图，AB 为△O 的直径，直线CD 切△O 于点M ，BE△CD 于点E ．（1）求证：△BME=△MAB ；（2）求证：BM 2=BE•AB ；（3）若BE=185，sin△BAM=35，求线段AM 的长．【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）8.【详解】试题分析：（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；（2）由（1）得出的结论和直角，判断出∠BME∠∠BAM ，即可得出结论，（3）先在Rt∠BEM 中，用三角函数求出BM ，再在Rt∠ABM 中，用三角函数和勾股定理计算即可．试题解析：（1）如图，连接OM ，∠直线CD切∠O于点M，∠∠OMD=90°，∠∠BME+∠OMB=90°，∠AB为∠O的直径，∠∠AMB=90°．∠∠AMO+∠OMB=90°，∠∠BME=∠AMO，∠OA=OM，∠∠MAB=∠AMO，∠∠BME=∠MAB；（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，∠BE∠CD，∠∠BEM=∠AMB=90°，∠∠BME∠∠BAM，∠BM BE AB BM∠BM2=BE•AB；（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，∠sin∠BAM=35，∠sin∠BME=35，在Rt∠BEM中，BE=185，∠sin∠BME=BEBM=35，∠BM=6，在Rt∠ABM 中，sin∠BAM =35， ∠sin∠BAM =BM AB =35， ∠AB =53BM =10，据勾股定理得，AM =8． 4．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC =，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FD MF=y ，然后结合已知条件得出结果．【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DEBE CE=，故CE²=BE·DE；（2）由题意得∠DCE是等腰三角形，DC=CE，由∠DEC∠∠CEB得BC=BE，同理可得∠DEC∠∠DCA，AD=AC，∠BC=AC，∠BE=AD=BC=AC，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DE CD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF ， ∠FD FD CF MF==y ， ∠BD x BC=，BE=BC ， ∠BD BD x BE BC==， ∠,FD BD y x CF BE==， ∠DE=1x BD x -，CD=1y FD x -， ∠FD DE CD BD =，11y x y x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y -xy=x -xy ，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．5．（2021·上海九年级专题练习）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明ADF CDB △△，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证；（2）根据等腰三角形的三线合一即可得出1B ∠=∠，再证明BCD CAE △△，根据相似三角形的性质得出BC CE BD AC ⋅=⋅，根据等式的性质和等量代换即可得证．【详解】（1）CD BD ⊥，90ADF CDB ∴∠=∠=︒，AF CD BC AD ⋅=⋅,AD CD AF BC∴=, 在ADF 和CDB △中AD BC AF CD ADF CDB⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩， ADF CDB ∴△△，F B ∴∠=∠，FAD EAB ∠=∠，90FDA BEA ∴∠=∠=︒，AE BC ∴⊥；（2）BE CE AE BC =⊥，AB AC ∴=1B ∴∠=∠又90BDC AEC ︒∠=∠=,BCD CAE ∴△△BC BD AC CE∴= BC CE BD AC ∴⋅=⋅22BC CE BD AC ∴⋅=⋅BE CE =∴2BC CE =∠22BC BD AC =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．6．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，6AB =，4BE =，9BC =，连接AC ．（1）求线段CD 的长；（2）如果3AE =，求线段AC 的长．【答案】（1）CD=152；（2）92．【分析】（1）利用线段的和差关系可求出CE 的长，由AB//CD 可得∠ABE∠∠DCE ，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）由AB 、BE 、BC 的长可得BE AB AB BC=，即可证明∠ABE∠∠CBA ，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】∠BC=9，BE=4，∠CE=5，∠AB//CD ，∠∠ABE∠∠DCE ， ∠BE AB CE CD =，即465CD=，解得：CD=152．（2）∠6AB =，4BE =，9BC =， ∠BE AB AB BC ==23， ∠∠B 为∠ABE 和∠CBA 的公共角，∠∠ABE∠∠CBA ， ∠AC BC AE AB =，即936AC =，解得：AC=92．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．7．（2021·上海九年级专题练习）已知△MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，△EBD =△MAN ，且CE △BD ，sin△MAN =35， AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在△MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<．【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EB AB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ．（3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ， ∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ． ∠∠A=∠DBE ， ∠∠A=∠BEC ． ∠∠ABD∠∠ECB ， ∠AD EBAB EC＝． ∠AD DFAB BC=， ∠EB DFEC BC=， ∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD ， ∠∠CEB=∠EBD=∠A ，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CA CB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936 CE==⨯，∠CE=6．∠BD AB CE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，4．==．AD=4．（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．8．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）8BF =；（2）4b ，332b a - 【分析】（1）先证∠CEG∠∠CBA ，再证∠ECG∠∠EFD ，然后求解即可；（2）先证22EC BE b ==，CF b =，再证32ED EG CD a =+=，然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可．【详解】解：（1）∠AB∠GE ， ∠∠B=∠DEC ， ∠∠ACB=∠ACB ， ∠∠CEG∠∠CBA ， ∠1=2AG BE GC CE =， ∠CE=2BE=4，同理∠ECG∠∠EFD ， ∠1=2DG FC GE CE =， ∠CE=2FC=4， ∠FC=2，∠BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；（2）BE b =，由（1）可知BE=CF=12EC ， ∠22EC BE b ==，CF b =， ∠4BF BE EC CF b =++= ， ∠EG a = ，∠1122GD EG a ==， ∠32ED EG CD a =+=，∠23EF EC CF b b b =+=+=， ∠332DF EF ED b a =-=-．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．9．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】（1）由//EG AB 易证∠CGE∠∠CAB ，由性质得CG CE =CA CB 由比例性质得CG CE=AG BE，由已知BF=AG 比例式变为CG CE=BF BE，由已知DB DC =，利用等边对等角得∠FBE=∠GCE ，利用两边成比例夹角相等知BFE CGE △∽△；（2）由//EG AB ，利用性质内错角相等∠BAE=∠AEG ，由已知AEG C ∠=∠，推出∠BAE=∠C ，又∠ABE=∠CBA 共用，可证∠ABE∠∠CBA ，由性质AB BE=BC AB，∠BEA=∠BAC ，把比例变等积得2AB =BC BE ，由（1）BFE CGE △∽△利用性质∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，推出∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，利用等角对等边得AC=BC ，GC=EC ，利用等量代换得AG=BE ，可证2AB =AC AG ．【详解】（1）∠//EG AB ，∠∠CGE=∠CAB ，∠CEG=∠CBA ， ∠∠CGE∠∠CAB ，∠CG CE=CA CB ， ∠CG CE =CA-CG CB-CE 即CG CE=AG BE，∠BF=AG ∠CG CE=BF BE， ∠DB DC =，∠∠DBC=∠DCB ，即∠FBE=∠GCE ， ∠BFE CGE △∽△，（2）∠//EG AB ， ∠∠BAE=∠AEG ，又∠AEG C ∠=∠， ∠∠BAE=∠C ，又∠∠ABE=∠CBA 共用， ∠∠ABE∠∠CBA ， ∠AB BE=BC AB，∠BEA=∠BAC ， ∠2AB =BC BE ，由（1）BFE CGE △∽△，∠∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE，EG AB，∠//∠∠ABC=∠GEC，∠BAC=∠EGC，∠∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC，∠AC=BC，GC=EC，∠AG=BE，2AB=BC BE=AC AG．．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似证角等转化边角关系是解题关键．10．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．ABC的高AH交GF于点I．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）证明,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽，根据相似三角形的性质列出比例关系，整理即可证得结论；（2）要证明11n BC AH EF +=只需证明1nEF EF BC AH +=即1DE EFBC AH+=，证明∠AGF∠∠ABC ，根据相似三角形的性质以及比例的性质即可证明．【详解】解：（1）证明：∠四边形DEFG 为矩形，ABC 的高AH 交GF 于点I ， ∠GD=EF,90GDH GDB FEC FEB AHB AHC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒, 又∠∠B=∠B,∠C=∠C ，∠,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽，∠GD BD BD AH BH BD DH ==+,EF CE CE AH CH CE EH ==+, ∠=BD CEBD DH CE EH++，∠BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）证明：∠四边形DEFG 为矩形，∠,//GF DE GF BC =，90FEB EFG ∠=∠=︒， ∠,AGF B AFG C ∠=∠∠=∠， ∠∠AGF∠∠ABC ， ∠AH 为∠ABC 的高， ∠∠AIF=∠AHC=90°，GF AI BC AH =,即DE AIBC AH=, ∠90FEB EF C G AH ∠=∠=∠=︒， ∠四边形IHEF 为矩形， ∠EF=IH ， ∠DE n EF =⋅，∠1nEF EF DE IH AI IH AI IH AHBC AH BC AH AH AH AH AH ++=+=+===， ∠11n BC AH EF+=．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质和判断．本题中相似三角形有很多，能结合结论判断是需要证明哪组三角形相似是解题关键．11．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠；（2）求证：··BE EF BF AE =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据2CE DE BC =⋅得CE BCED CE=，再由BCE CED ∠=∠，可以证明BCE CED ，即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质结合（1）的结论，证明BFE AEB ∠=∠，即可证明EBF ABE ，就能得到结论．【详解】解：（1）∠2CE DE BC =⋅， ∠CE BCED CE=， ∠四边形ABCD 是平行四边形， ∠//AD BC ， ∠BCE CED ∠=∠， ∠BCECED ，∠EBC DCE ∠=∠；（2）∠四边形ABCD 是平行四边形， ∠//AD BC ，∠AEB EBC ∠=∠， ∠EBC DCE ∠=∠， ∠AEBDCE ，∠//AB CD ， ∠BFE DCE ∠=∠， ∠BFE AEB ∠=∠， ∠EBF ABE ∠=∠， ∠EBF ABE ，∠EF BFAE BE=， ∠BE EF BF AE ⋅=⋅．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．12．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CH△AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE△△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证ACH B ∠=∠，再证AEC ADB ∠=∠，利用相似三角形的判定求解即可；（2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出ACE ACDS AE SAD =和ACD ABDSCDSBD=，再根据∠ACE∠∠ABD ，得出结果．【详解】证明（1）∠∠ACB=90°，CH∠AB ，∠∠CHA=90°=∠ACB ， ∠∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH ， ∠ACH B ∠=∠， ∠CE CD =， ∠CED CDE ∠=∠，∠∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°， ∠AEC ADB ∠=∠， ∠ACE ABD ∽；（2）∠∠ACE 与∠ACD 同高，∠ACE ACDS AESAD=， ∠∠ACD 与∠ABD 同高，∠ACD ABDS CDSBD=， ∠CD=CE ，∠ACD ABDS CESBD=， ∠∠ACE∠∠ABD ， ∠AE CEAD BD = ， ∠ACE ACD ACDABDS S SS=，∠∠ACD 的面积是∠ACE 的面积与∠ABD 的面积的比例中项．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．13．（2021·上海九年级专题练习）Rt ABC 中，△ACB=90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD=CA ，DE△AB ．（1）求证：2CA CE CB =⋅．（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ．求证：CH△AB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明∠DCE∠∠BCD，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；（2）证明∠CAE∠∠CBA，可得∠CEA=∠CAB，由直角三角形的性质可证CM=AM，从而∠CAE=∠ACM，然后由等量代换可证∠CAB+∠ACM=90°，进而可证结论成立．【详解】证明：（1）∠CA=CD，∠∠A=∠CDA．∠∠ACD=90°，∠∠A+∠B=90°．∠DE∠AB，∠∠CDA+∠CDE=90°，∠∠B=∠CDE．∠∠DCE=∠BCD，∠∠DCE∠∠BCD，∠CD CB CE CD=．∠CD=CA，∠CA CB CE CA=，∠2CA CB CE=⋅；（2）∠CA CBCE CA=，∠ACE=∠BCA，∠∠CAE∠∠CBA，∠∠CEA=∠CAB．∠∠ACB=90°，∠∠CEA+∠CAE=90°．∠M 为AE 的中点，∠ACE=90°，∠CM=AM ，∠∠CAE=∠ACM ．∠∠CEA=∠CAB ，∠∠CAB+∠ACM=90°，∠∠AHC=90°，∠CH∠AB ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，8BC =，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE EF FD ==，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．（1）求HD 的长；（2）设BGE △的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）【答案】（1）2HD =；（2）7=2四边形AEFH a S 【分析】（1）由∠ADE∠∠GBE ，可求出BG 的长，再由∠HDF∠∠GBF ，即可求出HD 的长；（2）由∠ADE∠∠GBE ，可求出S ∠ADE =4S ∠BGE =4a ，再由∠HDF∠∠GBF ，即可求出S ∠DHF =14S ∠BGF ，由三角形的面积公式可求出S ∠DHF =14S ∠BGF ，进而可求四边形AEFH 的面积．【详解】解：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD//BC，AD=BC=8，∠∠ADE∠∠GBE，∠AD DE BG BE=．∠BE EF FD==，∠BG=12AD=4．∠AD//BC，∠∠HDF∠∠GBF，∠HD DF BG BF=．∠BE EF FD==，∠HD=12BG=2；（2）∠∠ADE∠∠GBE，BE EF FD==，∠S∠ADE=4S∠BGE=4a．∠∠HDF∠∠GBF，∠S∠DHF=14S∠BGF．∠BE EF=，∠S∠BGF=2S∠BGE，∠S∠DHF=12S∠BGE=12a，∠17=4-=22AEFHaS a a四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．15．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【答案】（1）37；（2）11【分析】（1）根据AD//BE//CF可得DE ABDF AC=，由此计算即可；（2）过点A作AG//DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．【详解】解：（1）∠AD//BE//CF，∠DE AB DF AC=，∠AB=6，BC=8，∠63687 DEDF==+，故DEDF的值为37；（2）如图，过点A作AG//DF交BE于点H，交CF于点G，∠AG//DF，AD//BE//CF，∠AD=HE=GF=5，∠CF=19，∠CG=CF-GF=14，∠BE//CF，∠BH AB CG AC =， ∠3147BH =，解得BH=6，∠BE=BH+HE=11．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．16．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠．（1）求证：2AB BF DE =⋅；（2）若BE DN DE DC=，求证：//EF MN ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）先根据菱形的性质和角的和差可证AED ∆∠FAB ∆，再根据相似的性质得到AD DE BF AB =结合AB AD =即可证明；（2）先根据菱形的性质得到AD BC =、//AD BC ，再根据平行线分线段成比例定理可得BE BM DE AD =，再结合BE DN DE DC =可得BM DN AD DC =即BM DN BC DC=即可证明．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是菱形；∠AB AD =；∠ABD ADB ∠=∠；∠AED ABD BAE ∠=∠+∠，BAF MAN BAE ∠=∠+∠；又∠MAN ABD ∠=∠；∠AED BAF ∠=∠；∠AED ∆∠FAB ∆； ∠AD DE BF AB=，即AD AB BF DE ⋅=⋅； ∠2AB BF DE =⋅；（2）∠四边形ABCD 是菱形；∠AD BC =，//AD BC ； ∠BE BM DE AD=； ∠BE DN DE DC=； ∠BM DN AD DC=， ∠BM DN BC DC =； ∠//MN BD ，即//EF MN ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及菱形的性质，灵活应用相关性质定理成为解答本题的关键．17．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先说明ADE ACB 可得AE AB AD AC =，再说明ADC AEB △△，最后根据相似三角形对应角相等即可证明：（2）先说明EDF EBD △△得到DF EF DE BD DE BE ==，进一步可得2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即可证明．【详解】证明：（1）∠AED ACB ∠=∠，A A ∠=∠，∠ADE ACB ， ∠AE AB AD AC=，又∠A A ∠=∠，∠ADC AEB △△，∠ABE ACD ∠=∠；（2）∠ED EC =，∠EDC ACD ∠=∠，∠ABE ACD ∠=∠∠EDC ABE ∠=∠，又∠DEF DEF ∠=∠，∠EDF EBD △△， ∠DF EF DE BD DE BE==， ∠2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， ∠22DF EF BD EB=．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键． 18．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ACB △中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD AB =，BE CE =，AD 与BE 交于点F ，且AF DF BF EF ⋅=⋅．求证：（1）ADC BEC ∠∠=；（2）AF CD EF AC ⋅=⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意证明∠AFE∠∠BFD ，即可得到∠FDB=∠AEF ，故可求解；（2）根据题意证明∠AEF∠∠CBA ，得到AF AC EF AB =,再得到AB=CD ，故可求解．【详解】证明：（1）∠AF DF BF EF ⋅=⋅ ∠AF EF BF DF= ∠∠BFD=∠AFE∠∠AFE∠∠BFD∠∠FDB=∠AEF ，∠180°-∠FDB=180°-∠AEF ，即ADC BEC ∠∠=（2）∠ADC BEC ∠∠=∠180°-∠ADC -∠C=180°-∠BED -∠C即∠DAC=∠EBC∠BE=CE,∠∠C=∠DAC=∠EBC∠AD=AB ，∠∠ADB=∠ABD∠∠ADB=∠C+∠DAC ，∠ABD=∠ABE+∠EBC ，∠∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC∠∠AEB=∠C+∠EBC∠∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC∠∠AEF∠∠CBA ， ∠AF AC EF AB= ∠AF AB EF AC ⋅=⋅∠∠C=∠DAC∠CD=AD∠AB=AD∠AB=CD∠AF CD EF AC ⋅=⋅．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及相似三角形的判定定理． 19．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=；（2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证ABD △与DCB 相似，再根据相似三角形对应线段成比例再进行证明，问题得证；（2）先证ABD EFD ∽，再证DCB EFD △∽△，最后根据相似三角形对应线段成比例进行证明，问题得证．【详解】证明（1）/AD/BCADB DBC ∠=∠∴ABD C ∠=∠∠ABD DCB △∽△，又∠AE 、DF 分别是ABD △与DCB 对应边上的高，AE BD DF BC∴= （2）如图，连结EF/AD/BC ，DF BC ⊥，∠90ADF ∠=︒，ADB BDF ∠=∠，∠45ADB BDF ∠==︒AE BD ⊥，∠90∠=︒AED ∠cos45DE DF DA DB=︒= ABD EFD ∴△∽△DCB EFD ∴△∽△DC BC EF DF∴= DF DC EF BC ∴⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（2021·上海九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明ACB EDC ∆∆可得∠ACB=∠EDC=∠CAD ，从而可得结论；（2）根据ASA 证明ADF DEC ∆≅∆，得到AF=DC ，再证明FCDDCA ∆∆，得到2FC CA CD =，即可得到结论．【详解】解：（1）∠B DCB ∠=∠，且CE CB AB CD ⋅=⋅，即CE CD AB CB = ∠ACB EDC ∆∆∠ACB CDE ∠=∠∠CDE CAD ∠=∠∠∠ACB=∠CAD∠//AD BC（2）∠//AD BC∠∠ADE=∠CED在∠ADF 和∠DEC 中，FAD EDC AD CEADF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ADF∠∠DEC∠AF=DC又∠∠CDF=∠CAD ，∠FCD=∠ACD∠FCDDCA ∆∆ ∠FC CD CD CA=，即2FC CA CD = ∠2AF CF CA =⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的性质找出比例式．21．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且//DE BC ，AF AE FE EC=.（1）求证：//DF BE ；（2）如果AF ＝2，EF ＝4，AB =DE BE的值．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）由平行线分线段成比例，得到AE AD AF EC BD FE==，即可得到//DF BE ；（2）根据题意，由相似三角形的判定定理，先证明ADE AEB ∽△△，即可求出DE BE的值．【详解】证明：（1）∠//DE BC ， ∠AE AD ECBD =， ∠AF AE FEEC =， ∠AD AF BD FE=， ∠//DF BE ；（2）∠AF ＝2，EF ＝4，AB = ∠2142AD AF BD FE ===，∠AD =BD =AE=AF+EF=6，∠63AD AE ==，3AE AB ==， ∠=AD AE AE AB ，又A A ∠=∠，∠ADE AEB ∽△△，∠DE AE BE AB ==；【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．解题的关键是利用平行线得出相似三角形及比例，从而进行解题．22．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DE BD BE=；（2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）延长AF 交BC 于点G ，可证AD=GC ，由//AF DC ，可证DF CG AD BD BC BC ==，由ADE CBE △△，可证AD DE BC BE=，进而可证结论成立；（2）证明ADE CBE △△，可证2CD BD DE =⋅，由（1）得AD DE BC BE=，即DF BE BD DE ⋅=⋅，进而可证线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【详解】证明：（1）如图，延长AF 交BC 于点G ，∠//AD BC ，//AF DC ，∠四边形AGCD 是平行四边形，∠AD=GC ．∠//AF DC ，∠DF CG AD BD BC BC==，∠//AD BC，∠ADE CBE △△，∠AD DE BC BE=，∠DF DE BD BE=；（2）∠//AD BC，∠CBD ADB ∠=∠．∠ADB ACD ∠=∠，∠CBD ACD ∠=∠，∠CDE BDC ∠=∠，∠CDE BDC，∠CD DE BD CD=，∠2CD BD DE=⋅．∠DF DE BD BE=，∠DF BE BD DE⋅=⋅，∠2CD DF BE=⋅．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．23．（2020·上海宝山区·九年级二模）已知：如图，△O与△P相切于点A，如果过点A的直线BC交△O于点B，交△P点C，OD△AB于点D，PE△AC于点E．（1）求DEBC的值：（2）如果△O和△P的半径比为3:5，求ABAC的值．【答案】（1）12；（2）35【分析】(1)由垂径定理可得AD=12AB、AE=12AC，然后根据线段的和差求得DE和BC并代入DEBC即可解答；（2）连接OP、OB、CP，然后说明一系列角相等，证明OB//PC，然后判定∠BOA∠∠CPA,最后利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∠OD∠AB，PE∠AC，∠AD=12AB，AE=12AC，∠1=2 DE AD AEBC BA AC+=+；（2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP ∠OB=OA，PA=PC∠∠OBA=∠OAB=∠PAC=∠PCA∠OB//PC∠∠BOA∠∠CPA∠3=5 AB OAAC AP=．【点睛】本题考查了垂径定理和相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理和相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．24．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC中，AD是ABC的中线，△DAC=△B，点E在边AD上，CE=CD.（1）求证：AC BD AB AD=；（2）求证：22AC AE AD=⋅.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由CE=CD=BD转化比例式,再证出∠ACE∠∠BAD即可；（2）由（1）中相似可得出，DC2=AD•AE①，再证∠ACD∠∠BCA，得出AC2=BC·CD=2CD2②，结合①②即可得出结果．【详解】证明：（1）∠AD为∠ABC的中线，∠BD=CD，∠CD=CE，∠BD=CD=CE，∠∠CDE=∠CED，∠∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠DAC+∠ACE，∠DAC=∠B，∠∠BAD=∠ACE∠∠ACE∠∠BAD，∠AC EC AB AD=∠AC BD AB AD=；（2）∠∠ACE∠∠BAD，∠AE EC BD AD=，∠BD•CE=AE•AD，∠DC2=AD•AE①．∠∠DAC=∠B，∠ACD=∠ACB，∠∠ACD∠∠BCA，∠AC CD BC AC=∠AC2=BC·CD=2CD2②,∠由①②可得，22AC AE AD=⋅.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解题的关键．25．（2020·上海金山区·九年级二模）如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF与点H．（1）求证：AF=BD；（2）如果AN GMAC GF=，求证：AF EN⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据SAS证明∠ACF∠∠DCB即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到AE=AC，GF=GB，由AN GMAC GF=证得AN GMAE GB=得到∠EAN∠∠BGM，再证明∠MBG∠∠BDC，由∠BDC∠∠FAC，得到∠EAN∠∠ACF，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论.【详解】（1）在正方形ACDE和正方形CBGF中，AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠BCD=90°，∠∠ACF∠∠DCB，∠AF=BD；（2）在正方形ACDE和正方形CBGF中，AE=AC，GF=GB，∠AN GM AC GF=，∠AN GM AE GB=，∠∠EAN=∠G=90°，∠∠EAN∠∠BGM，∠CD∠BG，∠∠CDB=∠MBG，∠∠DCB=∠G=90°，∠∠MBG∠∠BDC，∠∠BDC∠∠FAC，∠∠EAN∠∠ACF，∠∠AEN=∠CAF，∠∠AEN+∠ANE=90°，∠∠CAF+∠ANE=90°，∠∠AHN=90°，∠AF EN⊥.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质.26．（2020·上海大学附属学校九年级三模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD△BC，AB＝DC，过点D 作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．求证：（1）△ABC△△DCB；（2）DE·DC＝AE·BD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据三角形全等的判定条件找到相应的条件：AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，即可证明；（2）根据题意证明∠ADE∠∠CBD ，对应边成比即可求证．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是等腰梯形，∠AC ＝DB ，∠AB ＝DC ，BC ＝CB ，∠∠ABC∠∠BCD ，（2）∠∠ABC∠∠BCD ，∠∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∠AD∠BC ，∠∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC ，∠ED∠AC ，∠∠EDA ＝∠DAC ，∠∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB ，∠∠ADE∠∠CBD ，∠DE ︰BD ＝AE ︰CD ，∠DE·DC ＝AE·BD ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，相似三角形的证明及性质．27．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF 的值．【答案】（1）4；（2）23 【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA ∽，根据相似性质即可求解；（2）先证明DF AG =，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∠AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∠30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∠CD =在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∠BC =∠BD BC CD =-=．∠//DE CA ，∠BDE BCA ∽ ∠23DE BD CA BC ==． ∠4DE =．（2）∠点M 是线段AD 的中点，∠DM AM =．∠//DE CA ，∠DFM AGM △∽△ ∠DF DM AG AM=． ∠DF AG =．∠//DE CA ，∠BEF BAG △∽△ ∠23EF BE BD AG BA BC === ∠23EF DF =．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．28．（2020·上海九年级一模）如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且EB BH BG FH=，DG △AB ，求证：DF ＝BG ．【答案】详见解析【分析】证明∠DFH∠∠EBH ，证出DF‖BC ，可证出四边形BGDF 平行四边形，则DF=BG ．【详解】证明：∠DG ∠AB ， ∠=EB EH BG DH， ∠EB BH BG FH= ， ∠EH BH DH FH =， ∠∠EHB ＝∠DHF ，∠∠DFH ∠∠EBH ，∠∠E ＝∠FDH ，∠四边形BGDF 平行四边形，∠DF ＝BG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．29．（2020·上海长宁区·）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅．（1）求证：AFD AEC ∠=∠；（2）若//EG CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先证∠BAE∠∠CAF ，推出∠AEB ＝∠AFC ，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，推出∠BDC∠∠GCE ，由相似三角形的性质可得出结论．【详解】（1）证明：∠AB•AF ＝AC•AE ， ∠AB AC AE AF=， ∠AE 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠CAE ，∠∠BAE∠∠CAF ，∠∠AEB ＝∠AFC ，∠180°−∠AEB ＝180°−∠AFC ，∠∠AEC ＝∠AFD ；（2）证明：∠∠CFE ＝∠AFD ＝∠CEF ，∠DC∠EG，∠∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∠∠BDC∠∠GCE，∠BD GC GC DC CE CF==，∠CD•CG＝FC•BD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．30．（2020·上海闵行区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE△BC，垂足为E，CE=AB，点F 为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且△DFC=△EGC．（1）求证：CG=DG；（2）求证：2CG GM AG=⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先证明∠ECG∠∠DCF，则有CG=CF，因为CF=12CE，则有CG=12CD，则结论可证；（2）延长AG、BC交于点H，首先证明∠ADG∠∠HCG，则有AG=HG，然后根据直角三角形斜边中线有AG=HG=EG，进而得出∠CDF=∠DAH，进一步可证∠ADG∠∠DMG，则有MG DGDG AG=，即2DG GM AG=⋅，又因为CG=DG即可证明结论．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，CE=AB，∠AB=CD=EC．又∠∠DFC=∠EGC，∠FCD=∠GCE，∠∠ECG∠∠DCF，∠点F为CE的中点，∠CF=12 CE，∠CG=12 CD，即：CG=DG．（2）延长AG、BC交于点H．∠∠ECG∠∠DCF，∠∠CEG=∠CDF，DG=CG．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC，∠∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∠∠ADG∠∠HCG，∠AG=HG．∠AE∠BC，∠∠AEC=90°，∠AG=HG=EG．∠∠CEG=∠H，∠∠CDF=∠DAH．又∠∠AGD=∠DGM，∠∠ADG∠∠DMG．∠MG DG DG AG=，∠2DG GM AG=⋅又∠CG=DG，。

专题4.1 几何图形初步(解析版)

2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）专题4.1 几何图形初步考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．一、选择题（每题4分，共24分）1．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°【答案】C试题分析：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出∠BAO=50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．点睛：本题主要考查的就是方位角的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要能够根据已知的条件得出各个角的度数，从而求出问题中所要求的角的度数．在解决这种类型的题目时，我们还要注意参照物是那个物体，就要以参照物为标注建立方位图，从而得出答案．2．（2018·上海宝山区·中考模拟）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的（）A．俯角30°方向B．俯角60°方向C．仰角30°方向D．仰角60°方向【答案】C分析：根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而分析，求出即可．详解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角30°，∴乙处看甲处为：仰角为30°．故选C．点睛：考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角，正确理解它们的定义是解题关键．3．（2020·上海徐汇区·九年级二模）如果从货船A测得小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（）A．南偏西30°方向500米处B．南偏西60°方向500米处C．南偏西30°方向D．南偏西60°方向【答案】A【分析】分别以货船A和小岛B建立方位角，再根据方位角得出答案．【详解】建立如图所示方位角：∵B在A的北偏东30方向,∴A在B的南偏西30方向又∵B与A相距500米,∴A与B相距500米,故答案选：A【点睛】本题考查方位角，掌握方位角的描述是解题关键．4．（2017·上海徐汇区·九年级二模）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C＝36°，那么∠ABE的大小是（）A．18°B．24°C．36°D．54°．【答案】A【分析】由“AB∥CD”可知∠C=∠ABC=36°，再根据角平分线的定义，即可求出∠ABE【详解】∵AB∥CD，∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，又∵BE平分∠ABC，故选：A．【点睛】本题的关键是掌握平行线的性质与角平分线的定义5．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC．若∠AOC：∠AOB＝4：3，那么∠BOC＝( )A．10°B．40°C．45°D．70°或10°【答案】D试题解析：∵∠AOB=30°，∠AOC：∠AOB=4：3，∴∠AOC=40°当OC在OA的外侧时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=40°+30°=70°；当OC在OB的外侧，∠BOC=∠AOC-∠AOB=40°-30°=10°．故选D．6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A．32°B．58°C．68°D．60°【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（2020·上海奉贤区·九年级二模）如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是_____海里．【答案】40【分析】根据已知方向角得出∠P＝∠PAB＝30°，进而得出对应边关系即可得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠PAB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．【点睛】此题主要考查了方向角及等腰三角形的判定，正确得出∠P＝∠PAB＝30°是解题关键．8．（2020·上海宝山区·九年级一模）点A和点B在同一平面上，如果从A观察B，B在A的北偏东14°方向，那么从B观察A，A在B的_____方向．【答案】南偏西14°．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．【详解】由题意可知，∠1＝14°，∵AC∥BD，∴∠1＝∠2＝14°，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14°方向．故答案为：南偏西14°．【点睛】此题考查的知识点是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，即可解答．9．（2019·上海）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于_____．【答案】130°【分析】根据如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫互为补角计算即可．【详解】解：180°﹣50°＝130°．故这个角的补角等于130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．10．（2018·上海黄浦区·中考模拟）已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方向，且AB=AC=8千米，那么BC=________千米．【答案】8【解析】因为点B位于点A北偏东30°方向,点C位于点A北偏西30°方向,所以∠BAC=60°,因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB=AC=8千米,故答案为:8.11．（2011·上海奉贤区·中考模拟）已知一个角的补角是它余角的3倍，则这个角的度数为_____．【答案】45°【分析】根据互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°用这个角表示出它的余角与补角，然后列方程求解即可．【详解】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，根据题意得，180°-α＝3（90°-α），解得α＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了余角与补角，能分别用这个角表示出它的余角与补角是解题的关键．12．（2020·上海市静安区实验中学）如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，已知∠1=∠2=60°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．那么∠3=_________．【答案】60°【分析】首先根据同位角相等，判定AB∥CD，得出∠3=∠BGM，然后根据补角和角平分线的性质，即可得解.【详解】∵∠1=∠2=60°，∴AB ∥CD ，∠HGB=180°-60°=120°∴∠3=∠BGM,∵GM 平分∠HGB,∴∠BGM=∠HGM=60°∴∠3=60°,故答案为：60°.【点睛】此题主要考查平行线的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.13．（2018·上海市致远中学九年级期末）点C 是线段AB 上的一点，2BC AC =，点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，那么:MN BC 等于_________．【答案】3：4【分析】根据线段之间的关系找到等量关系，把MN,BC 都用AB 表示，即可求解.【详解】∵点C 是线段AB 上的一点，2BC AC =,∴BC=23AB ∵点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，∴MN=12AB ∴MN:BC=3：4,故答案为3：4【点睛】此题主要考查线段和差，解题的关键是根据线段的长短关系求出比例.14．（2019·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）已知ABC 中，AB 6,AC 9,D E ==、分别是直线AC 和AB 上的点，若AD AE AC AB=且AD 3=，则BE =_________．【答案】4或8 【分析】通过比例式，可以确定AE 的长度，点E 是直线AB 上的点，没有限定E 的位置，只限定AE 的长度，以点A 为圆心，AE 长为半径的圆与直线AB 的交点是点E 位置，有两个，要分类求即可．【详解】如图∵AB=6，AC=9，AD=3，AD AE =AC AB，∴AE=AD AB 36=AC 9⨯=2，当E 在AB 上,∴BE=AB-AE=6-2=4,当E 在AB 延长线上，BE=AB+AE=6+2=8,则BE 的长为4或8．故答案为：4或8．【点睛】本题考查比例式下的线段问题，用比例求出的线段只限定长度，要考虑线段的位置，要会分类计算是解题关键．15．（2019·上海九年级期中）钟面上的时刻是8时30分，此时时针和分针所成的角度是___________.【答案】75°【分析】表盘有12个大格，共360°，则每一个大格为30°，当8点30分时，钟表的时针在8点与9点的中间，分针在6点处，共2.5个大格，列式求解即可．【详解】根据题意得，8点30分，钟表的时针在8点与9点的中间，分针在6点处，钟表的时针与分针所夹的角度为：2.5×30°=75°，故答案为：75°.【点睛】本题考查钟面角的计算方法，解题的关键是掌握钟面角的计算基本方法.16．（2019·上海浦东新区·九年级期中）在Rt ABC △中，90,ACB CD AB ∠=⊥于点D ，如果6,3AC BC ==，那么BCD ∠的正切值是____________．【答案】12【分析】根据余角的性质求出∠BCD=∠A，求出∠A的正切值即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，∵AC=6，BC=3，∴tan∠BCD=tan ∠A=31==62 BCAC，故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．17．（2010·上海宝山区·九年级期中）若x是3和6的比例中项，则x=__．【答案】【解析】解：由题意得，，，18．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．【答案】105°【解析】由图a知，∠EFC=155°.图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.故答案为105°.点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（2020·上海九年级专题练习）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【答案】CD= 6.928＞6,船继续向东航行无触礁危险．【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与5海里比较大小即可．【详解】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°，∴∠ACB=∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴CD:AD=BD:CD∵AB=CB=8,∴BD=4，AD=12．∴CD:12=4:CD ,∴CD= 6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．20．（2021·上海九年级专题练习）在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为﹣2.5，点B表示的数为4．（1）求AB的长度；（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化：①此时点A表示的数为，点B表示的数为；②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．【答案】（1）AB＝6.5；（2）①75，120；②﹣10或55【分析】（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可得到AB的长；（2）①点A、点B表示的数也扩大30倍即可得到结果；②根据点A、B表示的数得到线段AB的长，再由点M是线段AB的三等分点，分两种情况确定点M 表示的数．【详解】解：（1）AB＝4－(－2.5)＝6.5；（2）①根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍，则点A表示的数为－2.5×30＝－75，点B表示的数为4×30＝120，故答案为：－75，120；②AB＝120－(－75)＝195，当点M靠近点A时，AM＝13AB＝65，∴点M表示的数为65－75＝－10，当点M靠近点B时，BM＝13AB＝65，∴点M表示的数为120－65＝55，综上所述，点M表示的数为－10或55．【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用距离确定点的坐标，以及三等分点，熟练掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键，做题时注意线段的三等分点有两个，当没有明确是哪一个点时要分两种情况解答，避免遗漏．21．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，B、C、E在同一直线上，AB=BC，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，且AD=CE ，求证：ΔDCE 是等腰三角形．【分析】根据已知AB=BC 得三角形ABC 是等腰三角形，B 是顶角，BD 是平分线，所以AD=DC ，又AD=CE ，所以CD=CE ，所以是等腰三角形．【详解】解：△DCE 是等腰三角形．理由如下：∵AB=BC ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵BD 平分∠ABC ，∴AD=CD ，又AD=CE ，所以CD=CE ，∴△DCE 是等腰三角形．【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质，由等腰三角形和角平分线性质得AD=CD 是关键．22．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）在ABC ∆中，已知50B ∠=︒，60C ∠=°，AE BC ⊥于E ，AD 平分BAC ∠；求DAE ∠的度数．【答案】5°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再由角平分线的定义得出∠CAD 的度数，根据AE ⊥BC 于E 求出∠CAE 的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵在△ABC 中，∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-50°-60°=70°． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=12∠BAC=35°． ∵AE ⊥BC 于E ，∴∠CAE=90°-60°=30°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．23．（2020·上海静安区·九年级期末）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404 1.732．）【答案】（1）167.79；（2）能.理由见解析.【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．由三角函数表示出CD和AD的长，然后列出方程，解方程即可；（2）作∠DMF=30°，交l于点F．利用解直角三角形求出DF的长度，然后得到AF的长度，与AB进行比较，即可得到答案.【详解】解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，∴AD=DM=x，∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，∴100+ x·tan22°=x．∴100100167.785167.79 1tan2210.404x=≈≈≈-︒-（米）．答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．（2）作∠DMF=30°，交l于点F．在Rt△DMF中，有：DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°DM≈1.732167.793≈96.87米．∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．∴该轮船能行至码头靠岸．【点睛】本题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．24．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，BP⊥PQ．（1）求证：△ABP∽△DPQ；（2）写出对应边成比例的式子．【答案】（1）证明见解析；（2）AP AB BP== DQ PD PQ【分析】（1）根据矩形的性质得到∠A=∠D=90º，再由BP⊥PQ及“同角的余角相等”证得∠ABP=∠DPQ，然后利用“两组角相等的两个三角形相似”即可证得结论．（2）根据相似三角形的性质即可解答．【详解】（1）矩形ABCD，BP⊥PQ,∴∠A=∠D=∠BPQ=90°∴∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90,∴∠ABP=∠DPQ ∴△ABP∽△DPQ（2）∵△ABP∽△DPQ，∴AP AB BP==DQ PD PQ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、垂线定义、同（或等）角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．25．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥，测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长是多少？（结果保留根号）933．【分析】本题要求的实际上是C到AB的距离，可通过构建直角三角形来求解．过点C作CD AB⊥于点D．CD就是所求的值．因为CD是直角三角形ACD和BCD的公共直角边，可用CD表示出AD和BD的长，然后根据AB的值来求出CD的长．【详解】解：过点C作CD AB⊥于点D，CD就是连接两岸最短的桥．设CD x=千米．B在C的东北方向，A在C北偏西30°方向，45BCD∴∠=︒，30ACD∠=︒∴在直角三角形BCD中，有BD CD=，∴在直角三角形ACD中，3AD CD ACD x x．tan tan30∵AD DB AB，∴33x x，∴933x（千米）．2【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，然后把条件和问题转化到直角三角形中进行计算．。

2021年上海市中考数学压轴题解析

2021年上海市中考数学压轴题解析这道题是2021年上海市中考数学的压轴题，上海的题目和江苏这边出题风格不一样，同样是几何类的压轴题，江苏喜欢考各种模型，上海就比较朴素了，就是纯几何考法，没有涉及到复杂模型。

几何题如果考模型，那么对于训练过的同学来说，是个好消息，如果没有考模型，那就是靠大家的眼力和基本功了。

第一问证明两个三角形相似这道题很简单，题目告诉我们AD∥BC，AD=DC，点O是直角△ABC的中点，因此OA=OB=OC,所以图中绿色的角全部都相等，这样两个三角形就相似了，说到这边，同学们应该都能推出来了，具体证明过程我就省略了。

第二问让我们求边之比，但是题目中没告诉我们边的具体长度，那么考虑特殊角由于BE⊥DC，又根据外角关系，得到红色角等于两个绿色角之和，所以在△OEC中，红色角和绿色角之和为90°，那么一个绿色角就是30°第三问告诉我们DE和OE的长，让我求CD的长，这就是最普通的问法，直接求一个长度就行了，相比于以前做的压轴题，不是问范围就是问最大最小值，这道题就问法来说还是比较容易看明白的。

这道题的难点就在于，告诉我们的条件不是很容易用上，而且并没有发现明显的模型，这个切入点就比较难找了。

在观察一下题目，发现BO是中线，而E又是在它延长线上，所以先尝试一下倍长中线，毕竟这是比较常见的中线辅助线作法我们倍长BO到G点，然后连接DG，乍一看，ADG应该在一条直线上，得想办法证明，AO=OC,BO=OG,加上对顶角，易证△AOD≌△COB，这样图中绿色角都相等了，所以DG∥BC，又因为AD∥BC，所以ADG在同一条直线上。

其实我们不用这么麻烦，换个说法就行了，我们可以延长BO,AD，交于点G，这样就不用上面那一步证明了。

那这么做用处是啥呢？仔细观察发现红蓝三角形相似，有同学会说，这里面这么多相似三角形，为啥要注意到这两个相似呢？因为这样我们才能用到题目所给的条件DE=2，OE=3，所以三角形相似比为2:3，假设DG=2x，OC=3x，那么AO=OG=OB=OC=3x，假设AD=DC=t，这样两个未知数，我们找出两个方程来就能解了还没结束，这道题还有第二种情况，因为题目说点E有可能在AD 上同样把BO延长交AD于点E，易证△AOE≌△COB，所以AE=BC，又因为AE∥BC，所以四边形ABCE是平行四边形，又因为∠ABC=90°，所以又变成了矩形，这样CE⊥AD，上述就是我们根据条件发掘出的结论1.几何类题目首先要把所有的条件都标注在图上，不然有时候你发现不了2.没告诉我们长度却让我们求长度比值，那么一定是特殊角度3.求定值，可以大胆假设，之后有几个未知数就构建几个方程就行了，这个和在坐标系中的差不多4.最重要的是眼力和敏感度，能看出模型就用模型，看不出就用相似全等，这就需要平时多练多总结。

中考数学专练14(几何压轴大题)(30题)(学生版)

2022中考考点必杀500题专练14（几何压轴大题）（30道）1．（2022·浙江杭州·一模）如图，已知扇形AOB 的半径8OA =，90AOB ∠=︒，点C ，D 分别在半径OA ，OB 上（点C 不与点A 重合），连结CD ．(1)当4sin 5ODC ∠=，BD CD =时，求OC 的长． (2)点P 是弧AB 上一点，PC PD =．①当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求证：PC PD ⊥． ①当4OC =，90PDO ∠=︒时，求PCDOCDS S △△的值． 2．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，点P 在射线AB 的上方，060PAM ︒<∠<︒、4PA =，点M 是射线AB 上的动点（点M 不与点A 重合），现将点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，将点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，连接,,AQ PM PN ，作直线QN ．(1)求证：AM QN =；(2)直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时APN ∠和PAM ∠的关系，若不存在，请说明理由；(3)若50PAB ∠=︒，当以点P 为圆心，PN 长为半径的圆经过点Q 时，直接写出劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积．3．（2022·河北保定外国语学校一模）在ABC 中，10AC BC ==，4sin 5A =，点D 是线段AB 上一点，且不与点A 、点B 重合．(1)当点D为AB中点时，AD的长为__________；(2)如图1，过点D作DM AC⊥于点M，DN BC⊥于点N．DM DN+的值是否为定值．如果是请求出定值；如果不是，请说明理由；(3)将B沿着过点D的直线折叠，使点B落作AC边的点P处（不与点A、C重合），折痕交BC边于点E；①如图2，当点D是AB的中点时，求AP的长度；①如图3，设AD a=，若存在两次不同的折痕，使点B落在AC边上两个不同的位置，直接写出a的取值范围．4．（2022·四川成都·二模）已知在正方形ABCD中，E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，BF交AE于点G，连结DF．(1)如图1，求DFB∠的度数；(2)如图2，过点D作DM BF⊥交BF的延长线于点M，连结,CM CF．若DF CM=，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD，在AG上截取=GT GB，点P，Q分别是,AD BD上的动点．若正方形ABCD的面积为32，直接写出PTQ周长的最小值．5．（2022·安徽芜湖·二模）在△ABC中．①C=90°，点D，E分别在BC边和AC边上，AD，BE相交于点F．(1)图1，若①AEF =①BDF ，求证：CD ACCE BC=； (2)如图2．若D 为BC 的中点，AE =EF ．求证：AC =BF ； (3)如图3．若AE =CD ，BD =AC ．求①AFE 的度数．6．（2022·安徽合肥·二模）已知，在△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ，CD 是AB 边上的中线，点E 为CD 上一点，连接BE ，作FB ①BE ，且FB=EB ，连接FE 和FC ，FE 交BC 于点G ．(1)如图1，若点E 与点D 重合，求证：点G 是BC 的中点； (2)如图2，求证：CF //AB ；(3)如图3，若BE 平分△DBC ，AB =2，求CG ：BC 的值．7．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD 中，12,9AB BC ==．P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），延长CB 到Q ，使1,,2=BQ BP AP DQ 交于点E ，连接BE 并延长交AD 于点F ．(1)若6BP =，求证：ADE PQE ∆∆≌；(2)探究：当点P 运动时，点F 的位置是否发生变化？请说明理由； (3)求C ，E 两点距离的最小值．8．（2022·四川眉山·二模）如图ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)如图1连结BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于点F ，交CD 于点P ，求证： ①ABE ACD △≌△； ①BP CD ⊥(2)如图2把ADE 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连结BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若3BC AD ==， ①求证：BDP CDA △∽△； ①求PDE △的面积．9．（2022·吉林长春·一模）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．例如：在图(1)中，AB AC AD ==，求证：2BAC BDC ∠=∠．(请写出证明过程) 证明：方法运用：如图(1)已知AB AC AD ==，2BAC BDC ∠=∠，44BAC ∠=︒，则①CAD 的度数为______．方法拓展：如图(2)在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将EBF △沿EF所在直线折叠得到EB F '△，连结B D '，则B D '的最小值是______．10．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校一模）阅读材料：如图①，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，90ACB EDF ∠=∠=︒，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连接BF 、CD 、CO ，显然，点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明BOF COD ≌，所以BF CD =．解决问题：（1）将图①中的Rt DEF △绕点O 旋转到图①的位置，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图①，若ABC 与DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系．（3）如图①，若ABC 与DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角ACB EDF α∠=∠=，请直接写出BF 与CD 之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）．11．（2022·浙江嘉兴·一模）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：如图1，在AOB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒．【基础巩固】（1）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°得到DCB （如图2），连结OC ．求证：OC OB =．【思考探究】（2）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到DCB （如图3），使12BC BO =，连结OC ，AD ． ①求证：OBC ABD △△①用等式表示AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到DCB （如图4），使12BC BO =，连结OC ，AC ，AD ．当OC OB =时，求ACAD的值． 12．（2022·山东济南·一模）图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE △叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=______度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____．(2)操作：若将图1中的CDE △，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；①求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE △，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．13．（2022·重庆·一模）在ABC 中，点D 在边AB 上，AE CD ⊥于F 交BC 于E ，AE CD =，2ACD BAE ∠=∠．(1)如图1，若ACE为等边三角形，2CD=，求AB的长；(2)如图2，作EG AB⊥，求证：AD=；(3)如图3，作EG AB⊥，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BFCE的值．14．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）将正方形ABCD绕点A逆时针旋α到正方形AEFG．(1)如图1，当0°＜α＜90°时，EF与CD相交与点H．求证：DH＝EH；(2)如图2，当0°＜α＜90°，点F、D、B正好共线时，①求①AFB度数；①若正方形ABCD的边长为1，求CH的长：(3)连接DE，EC，FC．如图3，正方形AEFG在旋转过程中，是否存在实数m使AE2＝DE2＋mFC2－EC2总成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．15．（2022·安徽六安·一模）如图1，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，CO①BE交AB于F．EF交CB 延长线于G．(1)当E为AD中点时，求证：BC＝2BG；(2)如图2，当BG＝BC时，求证：2=⋅；AE AF AB(3)在（2）的条件下，连接OD，求tan①EOD的值．16．（2022·辽宁沈阳·一模）如图1，在ABC中，AB ACBC=，在ABCAB=，6⊥于点O，5=，AO BC△，点E是线段AO所在直线上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕的外部以AB为边作等边ABD点B顺时针方向旋转60°得到线段BF，连接EF．(1)求AO的长；(2)如图2，当点E在线段AO上，且点F，E，C三点在同一条直线上时，求BF的长；(3)连接DF，若BDF的面积为3，请直接写出BF的长．∠=∠，17．（2022·安徽芜湖·二模）如图．P是菱形ABCD的对角线BD上一点，E是BC边上一点，EAP ABD AE 交BD于点F．(1)求证：∽ABP FBE；(2)过点P 作PH AE ⊥于点H ，若34=AP AD ，求AHBD的值． 18．（2022·广东广州·一模）如图，矩形ABCD 中AB =10，AD =6，点E 为AB 边上的动点（不与A ，B 重合），把△ADE 沿DE 翻折，点A 的对应点为G ，延长EG 交直线DC 于点F ，再把△BEH 沿EH 翻折，使点B 的对应点T 落在EF 上，折痕EH 交直线BC 于点H ．(1)求证：△GDE ①△TEH ；(2)若点G 落在矩形ABCD 的对称轴上，求AE 的长；(3)是否存在点T 落在DC 边上？若存在，求出此时AE 的长度，若不存在，请说明理由． 19．（2022·上海市进才中学一模）已知：AB =5，tan ①ABM =34，点 C 、D 、E 为动点，其中点 C 、D 在射线 BM 上（点 C 在点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线 BA 的两侧，且 AC =AD ，AB =AE ，①CAD =①BAE ．(1)当点 C 与点 B 重合时（如图 1），联结 ED ，求 ED 的长； (2)当 EA BM 时（如图 2），求四边形 AEBD 的面积； (3)联结 CE ，当①ACE 是等腰三角形时，求点 B 、C 间的距离．20．（2022·山东临沂·一模）知识再现：已知，如图1，四边形ABCD 是正方形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，连接AM 、AN 、MN ，且45MAN ∠=︒，延长CB 至G 使BG DN =，连接AG ，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN BM DN =+．(1)知识探究：如图1中，作AH MN ⊥，垂足为点H ，猜想AH 与AB 有什么数量关系？并进行证明． (2)知识运用：如图2，四边形ABCD 是正方形，E 是边BC 的中点，F 为边CD 上一点，2FEC BAE ∠=∠，24AB =，求DF 的长．(3)知识拓展：已知45BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，且2BD =，6AD =，求CD 的长．21．（2022·河南·方城县基础教育教学研究室一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且AE =1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（1）所示．则CF 的长为．（直接写出结果，不说明理由）(2)△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（2）所示．在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E 不与点A 重合时，如图，连结CF ， ①①ABC 、①BEF 都是等边三角形 ①BA=BC ，BE=BF ，△ABC=△EBF =60° ①①△ABE + =△CBF + ； ①△ABE=△CBF ①①ABE ①①CBF ①△BAE=△BCF =60°又△ABC=60°①△BCF=△ABC①①______①______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．①①点F所经过的路径长为．(3)①ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）BC=，22．（2022·河南·淅川县基础教育教学研究室一模）【问题发现】（1）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6E为边DC上的一个点，连接BE，过点C作BE的垂线交AD于点F，试猜想BE与CF的数量关系．BC=，G为边AB上的一个点，E为边CD延长线【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，4AB=，6上的一个点，连接GE交AD于点H，过点C作GE的垂线交AD于点F，试猜想GE与CF的数量关系并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E从点B出发沿射线BC运动，连接AE，过点B作AE 的垂线交射线CD于点F，过点E作BF的平行线，过点F作BC的平行线，两平行线交于点H．当点E运动的路程为8时，请直接写出点H运动的路径长度．23．（2022·广东佛山·二模）如图1，①O的直径为BC，点A在①O上，①BAC的平分线AD与BC交于点E，与①O交于点D，2AB=，BD=(1)求tan ADB∠．(2)求证：AB AC+=．(3)如图2，点F是AB延长线上一点，且CD DE BF CE⋅=⋅．求证：DF是①O的切线，并求线段DF的长．24．（2022·重庆市南岸区教师进修学院一模）在ABC中，2AC BC=，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE并延长至F，且使12EF BE=，连接DF交AC于点G．(1)如图1，连接AF，求证：DF DB=；(2)如图2，若H是CE的中点，连接BH．求证：DF BH=；(3)在（2）的条件下，连接FH，改变ABC∠的大小，当四边形BDFH是正方形时，直接写出BCAB的值．25．（2022·河南新乡·二模）如图1，四边形ABCD为正方形，点E为其边BC上一点，以CE为边在正方形ABCD 右侧作正方形CEFG ．将正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转，记旋转角为α（0°≤α≤360°），连接AF 、BG ，交于点M ．(1)当α=90°时，①AMB =________°；当α=270°时，①AMB =________°；(2)在旋转过程中，①AMB 的度数是否为定值？如果是，请就图2的情况予以证明；如果不是，请说明理由．(3)若BC =3，CE =1，当A 、E 、F 三点在同一条直线上时，请直接写出线段 BM 的长度．26．（2022·山东泰安·一模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，作点E 关于AD 的对称点F ，连接AF ，FD ，延长FD 交BC 的延长线于点N ，交AC 的延长线于点M ．(1)判断AF 与BD 的位置关系并证明；(2)求证：BC CN DE DN ⋅=⋅；(3)若34DF DN =，求CM MD的值． 27．（2022·江苏南通·一模）矩形ABCD 中，AB BC <，6AB =，E 是射线CD 上一点，点C 关于BE 的对称点F 恰好落在射线DA 上．(1)如图，当点E在边CD上时；①若10BC=，DF的长为______；①若9AF DF⋅=时，求DF的长；(2)作①ABF的平分线交射线DA于点M，当12MFBC=时，求DF的长．28．（2022·辽宁沈阳·一模）已知正方形ABCD，在边DC所在的直线上有一动点E，连接AE，一条与射线AE垂直的直线l沿射线AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，交边AD所在直线于点F．(1)如图1所示，当直线l经过正方形ABCD的顶点B时．求证：AF DE=；(2)如图2所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交于点G，连接EG，CG．求证：GE GC=；(3)直线l继续向上平移，当点P恰好落在对角线BD所在的直线上时，交边CB所在的直线于点H，当3AB=，1DE=，请直接写出BH的长．29．（2022·广东广州·一模）如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上的一点，连结CE，过D作DF①CE 于点G，DF交边AB于点F．已知DG＝4，CG＝16．(1)EG的长度是．(2)如图2，以G为圆心，GD为半径的圆与线段DF、CE分别交于M、N两点．①连接CM、BM，若点P为BM的中点，连结CP，求证①BCP＝①MCP．①连接CN、BN，若点Q为BN的中点，连结CQ，求线段CQ的长．30．（2022·河南·模拟预测）如图，在①ABC中，①B=60°，AB=AC，点D为边BC所在直线上任一点，将线段AD能绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE．(1)如图1，若点D在线段BC上，BD与CE的数量关系是________________，①ACE的度数是_______；(2)图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由；(3)点D运动的过程中，若AD与BD的夹角为15°，直接写出CECD的值．。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练04(填空题-基础)(50题)(原卷版)

2021中考考点必杀500题专练04（填空题-基础）（50道）1．（2021·上海九年级其他模拟）两组数据：3，a ，2b ，5与a ，6，b 的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为__________．2．（2021·上海九年级一模）把抛物线2y x =-向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式是__________. 3．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果2a ＝5b （b ≠0），那么a b＝_____． 4．（2021·上海九年级专题练习）如果正比例函数y kx =的图像经过第一、三象限，那么y 的值随着x 的值增大而__________．（填“增大”或“减小”）5．（2021·上海九年级专题练习）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．6．（2021·上海普陀区·九年级一模）已知52x y =，那么x y x y+=-__________． 7．（2021·上海虹口区·九年级一模）计算：()13242a a b --=________． 8．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线()21y k x =+有最高点，那么k 的取值范围是________． 9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果4是a 与8的比例中项，那么a 的值为_______________________．10．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果二次函数2 21y mx x m =++-的图像经过点()1,2P ，那么m 的值为_______________________．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果两个相似三角形的周长之比为1:4,那么这两个三角形对应边上的高之比为_______________________．12．（2021·上海松江区·九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，3cos 4A =，那么AB 的长为__．13．（2021·上海松江区·九年级一模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加()0x x >厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为____．14．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别交直线l 于点A ，B ，C ，交直线l 于点D ，E ，F ，且123////l l l ，4AB =，6AC =，10DF =，则DE =___．15．（2021·上海闵行区·九年级一模）已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为__________．16．（2021·上海九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果cot 2A ∠=，3BC =，那么AC =________________．17．（2021·上海九年级一模）抛物线223y x =-在y 轴左侧的部分是_______________．（填“上升”或“下降”） 18．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为________．19．（2021·上海崇明区·九年级一模）函数2245y x x =+-的图象与y 轴的交点的坐标为_________． 20．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为_________厘米．21．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______． 22．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知二次函数图像经过点()3,4和()7,4，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．23．（2021·上海九年级专题练习）已知某斜坡的坡度1:3,当铅垂高度为3米时，水平宽度为_________________米24．（2021·上海长宁区·九年级一模）计算：()122a b b -+=_______________．25．（2021·上海长宁区·九年级一模）将抛物线221y x =-向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．26．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，////AB CD EF ，如果2AC =，3CE = ， 1.5BD =，那么BF 的长是______．27．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知点P 在线段AB 上，如果2AP AB BP =⋅，4AB =，那么AP 的长是_____．28．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数23()12y a x =+-的图像在直线32x =-的左侧部分是下降的，那么a 的取值范围是_____．29．（2021·上海金山区·九年级一模）正十边形的中心角等于______度．30．（2021·上海九年级二模）43的倒数是________． 31．（2021·上海九年级二模）在实数范围内分解因式：26x -=_______． 32．（2021·上海九年级二模）已知函数()21x f x x =-，那么()3f =________． 33．（2021·上海九年级二模）为了解全区104000个小学生家庭是否有校内课后服务需求，随机调查了4000个小学生家庭，结果发现有2800个小学生家庭有校内课后服务需求，那么估计该区约有________个小学生家庭有校内课后服务需求．34．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 35．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________．36．（2021·上海长宁区·2sin 60︒+︒=_______________．37．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，已知AC ∥EF ∥BD ．如果AE ：EB ＝2：3，CF ＝6．那么CD 的长等于_________．38．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________． 39．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如果:2:3a b =，那么代数式b a a-的值是_____． 40．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB AC 上， //DE BC ，如果AED 和四边形DECB 的面积相等，BC = DE 的长是 _____ ．41．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．42．（2021·上海九年级专题练习）如图，点D 在ABC 的AB 边上，当AD AC=______时，ACD △与ABC 相似．43．（2021·上海九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE ∠=︒，如果:1:2BD DC =，2AD =，那么DE 的长等于__________．44．（2021·上海九年级专题练习）已知()23f x x x =+，那么()2f -=______．45．（2021·上海金山区·九年级一模）计算：322a a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______． 46．（2021·上海金山区·九年级一模）已知∥1O 和∥2O 的半径长分别为3和4，若∥1O 和∥2O 内切，那么圆心距12O O 的长等于______．47．（2021·上海九年级二模）布袋中有五个大小一样的球，分别写有2.2733π，2911这五个实数，从布袋中任意摸出一个球，那么摸出写有无理数的球的概率为_______．48．（2021·上海九年级二模）已知点()11,A x y 和()22,B x y 均在反比例函数()0k y k x=>的图像上，且210x x >>，那么1y ______2y （填＜，＞或＝）49．（2021·上海九年级二模）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E 处，一棵树位于河流南岸的点A 处，从点A 处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD ，且A ，D ，E 三点在一条直线上，在标杆B 处观察塔E ，视线BE 与边DC 相交于点F ，如果测得4FC =米，那么塔与树的距离AE 为_______米．50．（2021·上海九年级二模）二元一次方程组321525x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是________．。

2020中考数学《几何》压轴大题专练(30道)

2020中考数学《几何》压轴大题专练（30道）1．（2019·安徽省中考模拟）已知如图1，在△ABC 中，△ACB ＝90°，BC ＝AC ，点D 在AB 上，DE△AB 交BC 于E ，点F 是AE 的中点（1）写出线段FD 与线段FC 的关系并证明；（2）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果BC ＝4，BE ＝，直接写出线段BF 的范围．2．（2019·山东省中考模拟）正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，（1）将ADE V 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD AB 、重合，得到ABF V ，如图1所示.观察可知：与DE 相等的线段是_______，AFB ∠=∠______.（2）如图2，正方形ABCD 中，P Q 、分别是BC CD 、边上的点，且45PAQ ∠=︒，试通过旋转的方式说明：DQ BP PQ +=（3）在（2）题中，连接BD 分别交{}|2 4 x x ≤≤于M N 、，你还能用旋转的思想说明222BM DN MN +=.3．（2019·内蒙古自治区中考模拟）如图,△ABC 内接于△O ,AB 是△O 的直径,CD 平分△ACB 交△O 于点D ,交AB 于点F ,弦AE △CD 于点H ,连接CE 、OH.(1)延长AB 到圆外一点P ,连接PC ,若PC 2=PB ·PA ,求证:PC 是△O 的切线; (2)求证:CF ·AE=AC ·BC ;(3)若AF BF =32,△O 求tan△AEC 和OH 的长.4．（2017·营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A 、B 重合），另一直角边与△CBM 的平分线BF 相交于点F ．（1）如图1，当点E 在AB 边得中点位置时：△通过测量DE 、EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是；△连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是，请证明你的猜想；（2）如图2，当点E 在AB 边上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 5．（2019·山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝2，△BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，连接BE ，CE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．6．（2019·山东省中考模拟）如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连结DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_______，位置关系是_______；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN 、BD 、CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．7．（2018·河南省中考模拟）已知：在ABC V 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点；过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于F ，连接CF ．()1求证：四边形ADCF 是平行四边形； ()2填空：①当AB AC =时，四边形ADCF 是______形；②当90BAC ∠=o 时，四边形ADCF 是______形.8．（2019·江苏省中考模拟）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 在BC 边的延长线上，连接DE ，过点B 作DE 的垂线，交CD 于点M ，交AD 边的延长线于点N .（1）连接EN ，若BE BD =，求证：四边形BEND 为菱形；（2）在（1）的条件下，求BM 的长；（3）设CE x =，BN y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围.9．（2019·河南省中考模拟）如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE△BC ，垂足为点E ，GF△CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：△求证：四边形CEGF 是正方形； △推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，，则BC= ．10．（2018·山东省中考模拟）如图△，在△ABC 中，△BAC=90°，AB=AC ，点E 在AC 上（且不与点A ，C 重合），在△ABC 的外部作△CED ，使△CED=90°，DE=CE ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．（1）请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；（2）将△CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图△，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；（3）在图△的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图△写出证明过程；若变化，请说明理由．11．（2019·哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，△CDE的平分线交AM延长线于点F．(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE，求AB的长；(2)如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．12．（2017·湖北省中考模拟）如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H(1) 求证：HE＝HG(2) 如图2，当BE＝AB时，过点A作AP△DE于点P连接BP，求PE PAPB的值(3) 在(2)的条件下，若AD＝2，△ADE＝30°，则BP的长为______________13．（2019·陕西省中考模拟）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：△△AEB的度数为；△线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断△AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝2，且△BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．14．（2019·浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（4，6），点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PE△CP交AB于点D，且PE＝PC，过点P 作PF△OP且PF＝PO（点F在第一象限），连结FD、BE、BF，设OP＝t．（1）直接写出点E的坐标（用含t的代数式表示）：；（2）四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；（3）△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，说明理由．15．（2019·江西省中考模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：●操作发现在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图△所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是（填序号即可）△AF＝12BC：△AF△BC；△整个图形是轴对称图形；△DE△BC、●数学思考在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图△所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程●类比探索在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图△所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由．16．（2017·湖北省中考模拟）如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记△BCE=α，连接BE，DE，过点C作CF△DE于F，交直线BE于H．（1）当α=60°时，如图1，则△BHC= ；（2）当45°＜α＜90°，如图2，线段BH、EH、CH之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式：（不需证明）；（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变（如图3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明．17．（2018·山东省中考模拟）矩形ABCD中，DE平分△ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PE＜PD），PM△PD，PM交AD边于点M．（1）若点F是边CD上一点，满足PF△PN，且点N位于AD边上，如图1所示．求证：△PN=PF；DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF△PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．18．（2019·云南省中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE△CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB△△DEC；（2）如图2，△求证：BP=BF；△当AD=25，且AE＜DE时，求cos△PCB的值；△当BP=9时，求BE•EF的值．19．（2018·广东省中考模拟）已知：如图1在Rt△ABC中，△C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动，速度为lcm/s；连接PQ，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当为t何值时，PQ△BC；（2）设△AQP的面积为y（c m2），求y关于t的函数关系式，并求出y的最大值；（3）如图2，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，是否存在某时刻t，使四边形PQP'C 为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．20．（2018·江苏省中考模拟）如图1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作PQ△AC交AD于Q，将△PDQ沿PQ翻折得到△PQE. 设点P的运动时间为t（s）．（1）当点E落在边AB上时，t的值为；（2）设△PQE与△ADC重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式；（3）如图2，以PE为直径作△O．当△O与AC边相切时，求CP的长．21．（2019·山东省中考模拟）△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，△BC与CF的位置关系为：．△BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论△，△是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知，CD=14 BC，请求出GE的长．22．（2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟）如图，四边形ABCD的顶点在△O上，BD是△O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH△CE，垂足为点H，已知△ADE＝△ACB．（1）求证：AH是△O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin△ACB的值；（3）若23DFFO，求证：CD＝DH．23．（2019·浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(3，4)，P 为线段OA 上一动点，过O，P，B 三点的圆交x 轴正半轴于点C，连结AB, PC，BC，设OP=m.（1）求证：当P 与A 重合时，四边形POCB 是矩形.（2）连结PB，求tan△BPC 的值.（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的m 的值.（4）作点O 关于PC 的对称点O'，在点P 的整个运动过程中，当点O'落在△APB 的内部(含边界)时，请写出m 的取值范围.24．（2017·内蒙古自治区中考模拟）如图，AB为△O直径，C、D为△O上不同于A、B的两点，△ABD=2△BAC，连接CD．过点C作CE△DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为△O的切线；（2）当BF=5,3sin5F=时，求BD的长.25．（2019·广西壮族自治区中考模拟）如图，△ABC内接于△O，△CBG=△A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF△BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与△O相切；（2）若EFAC=58，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若△O的半径为8，PD=OD，求OE的长．26．（2019·内蒙古自治区中考模拟）在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，△ABC的平分线BD交AC与点D，DE△DB交AB于点E．（1）设△O是△BDE的外接圆，求证：AC是△O的切线；（2）设△O交BC于点F，连结EF，求EFAC的值．27．（2018·河南省中考模拟）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，△DPC=△A=△B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当△DPC=△A=△B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足△DPC=△A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t 的值．28．（2019·福建省中考模拟）如图，OA是△O的半径，点E为圆内一点，且OA△OE，AB是△O的切线，EB交△O于点F，BQ△AF于点Q．(1)如图1，求证：OE△AB；(2)如图2，若AB＝AO，求AFBQ的值；(3)如图3，连接OF，△EOF的平分线交射线AF于点P，若OA＝2，cos△PAB＝45，求OP的长．29．（2019·江苏省中考模拟）平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，△B＝90°，AC＝2CE ＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且△ECD 始终等于△ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE，则△CDE＝°，CD＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）若m＝10，n＝8，当α＝△ACB时，求线段BD的长；（4）若m＝6，n＝，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．30．（2018·广东省中考模拟）如图，△ABC是△O的内接三角形，点D在»BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC=CE；（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；（3）已知△O的半径为3．△若ABAC=53，求BC的长；△当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？2020中考数学《几何》压轴大题专练（30道）参考答案1．（2019·安徽省中考模拟）已知如图1，在△ABC中，△ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE△AB 交BC于E，点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝，直接写出线段BF的范围．【答案】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由见解析；（2）结论不变．理由见解析；（3≤BF【解析】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由：如图1中，⊥⊥ADE＝⊥ACE＝90°，AF＝FE，⊥DF＝AF＝EF＝CF，⊥⊥F AD＝⊥FDA，⊥F AC＝⊥FC A，⊥⊥DFE＝⊥FDA+⊥F AD＝2⊥F AD，⊥EFC＝⊥F AC+⊥FCA＝2⊥F AC，⊥CA＝CB，⊥ACB＝90°，⊥⊥BAC＝45°，⊥⊥DFC＝⊥EFD+⊥EFC＝2（⊥F AD+⊥F AC）＝90°，⊥DF＝FC，DF⊥FC．（2）结论不变．理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．⊥BC⊥AM，AC＝CM，⊥BA＝BM，同法BE＝BN，⊥⊥ABM＝⊥EBN＝90°，⊥⊥NBA＝⊥EBM，⊥⊥ABN⊥⊥MBE，⊥AN＝EM，⊥⊥BAN＝⊥BME，⊥AF ＝FE ，AC ＝CM ， ⊥CF ＝12EM ，FC ⊥EM ，同法FD ＝12AN ，FD ⊥AN ， ⊥FD ＝FC ，⊥⊥BME +⊥BOM ＝90°，⊥BOM ＝⊥AOH ， ⊥⊥BAN +⊥AOH ＝90°， ⊥⊥AHO ＝90°， ⊥AN ⊥MH ，FD ⊥FC ．（3BF ≤≤当点E 落在AB 上时，BF 取得最大值，如图5所示，⊥4BC =，AC BC =，90ACB ∠=︒，⊥AB = ⊥F 是AE 的中点，⊥()1=2EF AB BE -，又BE =⊥()(1122BF BE EF BE AB BE =+=+-==，即BF 的最大值为图5当点E 落在AB 延长线上时，BF 取得长最小值，如图6所示，⊥4BC =，AC BC =，90ACB ∠=︒，⊥AB = ⊥F 是AE 的中点，⊥()1=2AF AB BE +，又BE =⊥()(1122BF AB AF AB AB BE =-=-+==即BF ．图6BF ≤≤ 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 2．（2019·山东省中考模拟）正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，（1）将ADE V 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD AB 、重合，得到ABF V ，如图1所示.观察可知：与DE 相等的线段是_______，AFB ∠=∠______.（2）如图2，正方形ABCD 中，P Q 、分别是BC CD 、边上的点，且45PAQ ∠=︒，试通过旋转的方式说明：DQ BP PQ +=（3）在（2）题中，连接BD 分别交{}|2 4 x x ≤≤于M N 、，你还能用旋转的思想说明222BM DN MN +=.【答案】（1）BF ，AED ；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】(1)、⊥⊥ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD 、AB 重合，得到⊥ABF ，⊥DE=BF ，⊥AFB=⊥AED ．(2)、将⊥ADQ 绕点A 按顺时针方向旋转90°，则AD 与AB 重合，得到⊥ABE ，如图2，则⊥D=⊥ABE=90°，即点E 、B 、P 共线，⊥EAQ=⊥BAD=90°，AE=AQ ，BE=DQ ， ⊥⊥PAQ=45°， ⊥⊥PAE=45° ⊥⊥PAQ=⊥PAE ， ⊥⊥APE⊥⊥APQ （SAS ）， ⊥PE=PQ ，而PE=PB+BE=PB+DQ ， ⊥DQ+BP=PQ ；(3)、⊥四边形ABCD 为正方形， ⊥⊥ABD=⊥ADB=45°，如图，将⊥ADN 绕点A 按顺时针方向旋转90°，则AD 与AB 重合，得到⊥ABK ，则⊥ABK=⊥ADN=45°，BK=DN ，AK=AN ，与（2）一样可证明⊥AMN⊥⊥AMK ，得到MN=MK ， ⊥⊥MBA+⊥KBA=45°+45°=90°， ⊥⊥BMK 为直角三角形， ⊥BK 2+BM 2=MK 2， ⊥BM 2+DN 2=MN 2．考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质． 3．（2019·内蒙古自治区中考模拟）如图,△ABC 内接于△O ,AB 是△O 的直径,CD 平分△ACB 交△O 于点D ,交AB 于点F ,弦AE △CD 于点H ,连接CE 、OH.(1)延长AB 到圆外一点P ,连接PC ,若PC 2=PB ·PA ,求证:PC 是△O 的切线; (2)求证:CF ·AE=AC ·BC ;(3)若AF BF =32,△O 求tan△AEC 和OH 的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) tan⊥AEC=32，OH =1. 【解析】(1)证明:∵PC 2=PB ·P A ,∵PC PB =PA PC, ∵⊥BPC=⊥APC ,∵⊥PBC ⊥⊥PCA , ∵⊥BAC=⊥PCB ,连接OC ,如图所示,∵AO=OC ,∵⊥ACO=⊥BAC ,∵⊥ACO=⊥PCB. ∵AB 是⊥O 的直径,∵⊥ACB=90°, ∵⊥BCO+⊥ACO=90°,∵⊥BCO+⊥PCB=90°,∵⊥PCO=90°. ∵OC 是半径,∵PC 是⊥O 的切线. (2)证明:∵AB 是⊥O 的直径,∵⊥ACB=90°. ∵CD 平分⊥ACB ,∵⊥ACD=⊥FCB=45°. ∵AE ⊥CD ,∵⊥CAE=45°=⊥FCB. 在⊥ACE 与⊥CFB 中, ⊥CAE=⊥FCB ,⊥AEC=⊥FBC , ∵⊥ACE ⊥⊥CFB ,∵AC CF =AEBC, ∵CF ·AE=AC ·BC.(3)作FM ⊥AC 于M ,FN ⊥BC 于N ,CQ ⊥AB 于Q ,延长AE 、CB 交于点K.∵CD 平分⊥ACB ,∵FM=FN. ∵S ⊥ACF =12AC ·FM=12AF ·CQ , S ⊥BCF =12BC ·FN=12BF ·CQ , ∵ACF BCF S S V V =1·21·2AC FM BC FN =1·21·2CQ AF CQ BF ,∵AF BF =AC BC.∵AB是⊥O的直径,∵⊥ACB=90°且tan⊥ABC=AC BC.∵AFBF=32且⊥AEC=⊥ABC,∵tan⊥AEC=tan⊥ABC=ACBC=32.设AC=3k,BC=2k,∵在Rt⊥ACB中,AB2=AC2+BC2且AB=∵(3k)2+(2k)2=2,∵k=2(k=-2舍去),∵AC=6,BC=4,∵⊥FCB=45°,⊥CHK=90°,∵⊥K=45°=⊥CAE,∵HA=HC=HK,CK=CA=6.∵CB=4,∵BK=6-4=2,∵OA=OB,HA=HK,∵OH是⊥ABK的中位线,∵OH=12BK=1.【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用．4．（2017·营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与△CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：△通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；△连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是，请证明你的猜想；（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）⊥DE=EF；⊥NE=BF；理由见解析；（2）DE=EF，理由见解析．【解析】解：（1）⊥DE=EF；⊥NE=BF；理由如下：⊥四边形ABCD为正方形，⊥AD=AB，⊥DAB=⊥ABC=90°，⊥N，E分别为AD，AB中点，⊥AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，⊥DN=BE，AN=AE，⊥⊥DEF=90°，⊥⊥AED+⊥FEB=90°，又⊥⊥ADE+⊥AED=90°，⊥⊥FEB=⊥ADE，又⊥AN=AE，⊥⊥ANE=⊥AEN，又⊥⊥A=90，⊥⊥ANE=45°，⊥⊥DNE=180°﹣⊥ANE=135°，又⊥⊥CBM=90°，BF平分⊥CBM，⊥⊥CBF=45°，⊥EBF=135°，在⊥DNE和⊥EBF中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DNE⊥⊥EBF（ASA），⊥DE=EF，NE=BF．（2）DE=EF，理由如下：在DA边上截取DN=EB，连接NE，⊥四边形ABCD是正方形，DN=EB，⊥AN=AE，⊥⊥AEN为等腰直角三角形，⊥⊥ANE=45°，⊥⊥DNE=180°﹣45°=135°，⊥BF平分⊥CBM，AN=AE，⊥⊥EBF=90°+45°=135°，⊥⊥DNE=⊥EBF，⊥⊥NDE+⊥DEA=90°，⊥BEF+⊥DEA=90°，⊥⊥NDE=⊥BEF，在⊥DNE和⊥EBF中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DNE⊥⊥EBF（ASA），⊥DE=EF．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明⊥DNE与⊥EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键．5．（2019·山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，△BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．【答案】（1）AF ；（2）无变化；（3﹣1．【解析】解：（1）在Rt⊥ABC 中，AB=AC=2，根据勾股定理得，，点D 为BC 的中点，⊥AD=12，⊥四边形CDEF 是正方形，，⊥BE=AB=2，AF ，故答案为AF ；（2）无变化；如图2，在Rt⊥ABC 中，AB=AC=2，⊥⊥ABC=⊥ACB=45°，⊥sin⊥ABC=CA CB =，在正方形CDEF 中，⊥FEC=12⊥FED=45°，在Rt⊥CEF 中，sin⊥FEC=CF CE = ⊥CFCACE CB =，⊥⊥FCE=⊥ACB=45°，⊥⊥FCE ﹣⊥ACE=⊥ACB ﹣⊥ACE ，⊥⊥FCA=⊥ECB ，⊥⊥ACF⊥⊥BCE ，⊥BECBAF CA = ，AF ，⊥线段BE 与AF 的数量关系无变化；（3）当点E 在线段AF 上时，如图2，由（1）知，，在Rt⊥BCF 中，CF=，，根据勾股定理得，，⊥BE=BF ﹣，由（2）知，AF ，1，当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3，在Rt⊥ABC 中，AB=AC=2，⊥⊥ABC=⊥ACB=45°，⊥sin⊥ABC=CA CB =，在正方形CDEF 中，⊥FEC=12⊥FED=45°，在Rt⊥CEF 中，sin⊥FEC=CF CE =，⊥CF CA CE CB = ， ⊥⊥FCE=⊥ACB=45°，⊥⊥FCB+⊥ACB=⊥FCB+⊥FCE ，⊥⊥FCA=⊥ECB ，⊥⊥ACF⊥⊥BCE ，⊥BE CB AF CA= ，AF ，由（1）知，，在Rt⊥BCF 中，CF=，，根据勾股定理得，，，由（2）知，AF ，．即：当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，线段AF ﹣1．6．（2019·山东省中考模拟）如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连结DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_______，位置关系是_______；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN 、BD 、CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN ∆面积的最大值为492. 【解析】解：（1）⊥点P 、N 是CD 、BC 的中点⊥//PN BD ，12PN BD = ⊥点P 、M 是CD 、DE 的中点⊥//CE PM ，12PM CE = ⊥AB AC =，AD AE =⊥BD CE =⊥PM PN =⊥//PN BD⊥DPN ADC ∠=∠⊥//PM CE⊥DPM DCA ∠=∠⊥90BAC ∠=︒⊥90ADC ACD ∠+∠=︒⊥90MPN DPM DPN DCA ADC ∠=∠+∠=∠+=︒⊥PM PN ⊥（2）结论：PMN V 是等腰直角三角形．证明：由旋转知，BAD CAE ∠=∠⊥AB AC =，AD AE =⊥()ABD ACE SAS △≌△⊥ABD ACE ∠=∠，BD CE =⊥由三角形中位线的性质可知，12PN BD =，12PM CE =⊥PM PN =⊥PMN V 是等腰三角形⊥同（1）的方法得，//PM CE 、DPM DCE ∠=∠同（1）的方法得， //PN BD 、PNC DBC ∠=∠⊥DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠⊥MPN DPM DPN ∠=∠+∠DCE DCB DBC =∠+∠+∠BCE DBC =∠+∠ACB ACE DBC =∠+∠+∠ACB ABD DBC =∠+∠+∠ACB ABC =∠+∠⊥90BAC ∠=︒⊥90ACB ABC ∠+∠=︒⊥90MPN ∠=︒⊥PMN V 是等腰直角三角形；（3）⊥由（2）得，PMN V 是等腰直角三角形，⊥MN 最大时，PMN V 的面积最大⊥//DE BC 且DE 在顶点A 上面时，MN AM AN =+最大值，连接AM ，AN ，如图：⊥在ADE V 中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒⊥AM =⊥在ABC V 中，10AB AC ==，90BAC ∠=︒⊥AN =⊥MN AM AN =+最大值⊥(22211114922242PMN S PM MN ==⋅⋅=⨯=V 最大值．故答案是：（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN V 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN V 面积的最大值为492【点睛】本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强．7．（2018·河南省中考模拟）已知：在ABC V 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点；过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于F ，连接CF ． ()1求证：四边形ADCF 是平行四边形；()2填空：①当AB AC =时，四边形ADCF 是______形；②当90BAC ∠=o 时，四边形ADCF 是______形.【答案】（1）见解析；（2）⊥矩；⊥菱.【解析】证明：//AF BC Q ，.AFE EBD ∴∠=∠在AEF V 和DEB V 中AFE DBE FEA BED AE DE ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ，AEF ∴V ⊥().DEB AAS V.AF BD ∴=AF DC ∴=．又//AF BC Q ，∴四边形ADCF 为平行四边形；()2①当AB AC =时，四边形ADCF 是矩形；②当90BAC ∠=o 时，四边形ADCF 是菱形．故答案为矩，菱．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出AEF V ⊥DEB V 是解题关键． 8．（2019·江苏省中考模拟）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 在BC 边的延长线上，连接DE ，过点B 作DE 的垂线，交CD 于点M ，交AD 边的延长线于点N .（1）连接EN ，若BE BD =，求证：四边形BEND 为菱形；（2）在（1）的条件下，求BM 的长；（3）设CE x =，BN y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）BM =；（3）y x=，902x <<. 【解析】解：（1）证明：⊥BD=BE ，BM⊥DE⊥⊥DBN=⊥EBN⊥四边形ABCD 是矩形，AD⊥BC⊥⊥ DNB=⊥EBN⊥⊥DBN=⊥DNB⊥BD=DN又⊥ BD=BE⊥BE=DN 又⊥AD⊥BC⊥四边形DBEN 是平行四边形又⊥BD=BE ⊥平行四边形DBEN 是菱形（2）由（1）可得，-BC=2⊥在Rt⊥DCE 中，由题意易得⊥MBC=⊥EDC ，又⊥DCE=⊥BCD=90°⊥⊥BCM⊥⊥DCE⊥BC BMDC DE =⊥86=（3）由题意易得⊥BNA=⊥EDC ，⊥A=⊥DCE=90°⊥⊥NAB⊥⊥DCE ⊥BN AB DE CE=6x=0<x<92 【点睛】此题主要考查勾股定理和三角形相似的综合应用9．（2019·河南省中考模拟）如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE△BC ，垂足为点E ，GF△CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：△求证：四边形CEGF 是正方形；△推断：AG BE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，，则BC= ．【答案】（1）⊥四边形CEGF 是正方形；；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为BE ；（3）【解析】（1）⊥⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥BCD=90°，⊥BCA=45°，⊥GE⊥BC 、GF⊥CD ，⊥⊥CEG=⊥CFG=⊥ECF=90°，⊥四边形CEGF 是矩形，⊥CGE=⊥ECG=45°，⊥EG=EC ，⊥四边形CEGF 是正方形；⊥由⊥知四边形CEGF 是正方形，⊥⊥CEG=⊥B=90°，⊥ECG=45°，⊥CG CE，GE⊥AB ，⊥AGCGBE CE ==；（2）连接CG ，由旋转性质知⊥BCE=⊥ACG=α，在Rt⊥CEG 和Rt⊥CBA 中，CE CG 、CB CA ，⊥CG CE =CACB =⊥⊥ACG⊥⊥BCE ，⊥AGCABE CB ==⊥线段AG 与BE 之间的数量关系为BE ；（3）⊥⊥CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，⊥⊥BEC=135°，⊥⊥ACG⊥⊥BCE ，⊥⊥AGC=⊥BEC=135°，⊥⊥AGH=⊥CAH=45°，⊥⊥CHA=⊥AHG ，⊥⊥AHG⊥⊥CHA ， ⊥AG GH AHAC AH CH ==，设BC=CD=AD=a ，则a ，则由AGGHAC AH =得=，⊥AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，3a，⊥由AG AHAC CH=23a=解得：故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 10．（2018·山东省中考模拟）如图△，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C 重合），在△ABC的外部作△CED，使△CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图△，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图△的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图△写出证明过程；若变化，请说明理由．【答案】AE；（2）AE，证明详见解析；（3）结论不变，AE，理由详见解析.【解析】解：（1）如图⊥中，结论：AE ．理由：⊥四边形ABFD 是平行四边形，⊥AB=DF ，⊥AB=AC ，⊥AC=DF ，⊥DE=EC ，⊥AE=EF ，⊥⊥DEC=⊥AEF=90°，⊥⊥AEF 是等腰直角三角形，⊥AF=AE ．（2）如图⊥中，结论：AE ．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．⊥四边形ABFD 是平行四边形，⊥AB⊥DF ，⊥⊥DKE=⊥ABC=45°，⊥EKF=180°﹣⊥DKE=135°，⊥⊥ADE=180°﹣⊥EDC=180°﹣45°=135°，⊥⊥EKF=⊥ADE ，⊥⊥DKC=⊥C ，⊥DK=DC ，⊥DF=AB=AC ，⊥KF=AD ，在⊥EKF 和⊥EDA 中，{EK DKEKF ADE KF AD=∠=∠=，⊥⊥EKF⊥⊥EDA ，⊥EF=EA ，⊥KEF=⊥AED ，⊥⊥FEA=⊥BED=90°，⊥⊥AEF 是等腰直角三角形，⊥AF=AE ．（3）如图⊥中，结论不变，AE ．理由：连接EF ，延长FD 交AC 于K ．⊥⊥EDF=180°﹣⊥KDC ﹣⊥EDC=135°﹣⊥KDC ，⊥ACE=（90°﹣⊥KDC ）+⊥DCE=135°﹣⊥KDC ，⊥⊥EDF=⊥ACE ，⊥DF=AB ，AB=AC ，⊥DF=AC在⊥EDF 和⊥ECA 中，DF AC EDF ACE DE CE =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，⊥⊥EDF⊥⊥ECA ，⊥EF=EA ，⊥FED=⊥AEC ，⊥⊥FEA=⊥DEC=90°，⊥⊥AEF 是等腰直角三角形，⊥AF=AE ．【点睛】本题考查四边形综合题，综合性较强．11．（2019·哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，△CDE 的平分线交AM 延长线于点F ．(1)如图1，若点E 为线段AM 的中点，BM ：CM ＝1：2，BE，求AB 的长；(2)如图2，若DA ＝DE ，求证：BF+DF＝AF ．【答案】(1)AB＝6；(2)证明见解析.【解析】解：(1)设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，⊥BA＝BC，⊥BA＝3x．在Rt⊥ABM中，E为斜边AM中点，⊥AM＝2BE＝．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．⊥AB＝3x＝6．(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．⊥DF平分⊥CDE，⊥⊥1＝⊥2．⊥DE＝DA，DP⊥AF⊥⊥3＝⊥4．⊥⊥1+⊥2+⊥3+⊥4＝90°，⊥⊥2+⊥3＝45°．⊥⊥DFP ＝90°﹣45°＝45°．⊥AH ＝AF ．⊥⊥BAF+⊥DAF ＝90°，⊥HAD+⊥DAF ＝90°，⊥⊥BAF ＝⊥DAH ．又AB ＝AD ，⊥⊥ABF⊥⊥ADH(SAS)．⊥AF ＝AH ，BF ＝DH ．⊥Rt⊥FAH 是等腰直角三角形，⊥HF ．⊥HF ＝DH+DF ＝BF+DF ，⊥BF+DF ＝AF ．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解决问题的关键.12．（2017·湖北省中考模拟）如图1，在矩形ABCD 中，E 是CB 延长线上一个动点，F 、G 分别为AE 、BC 的中点，FG 与ED 相交于点H(1) 求证：HE ＝HG(2) 如图2，当BE ＝AB 时，过点A 作AP △DE 于点P 连接BP ，求PE PA PB-的值 (3) 在(2)的条件下，若AD ＝2，△ADE ＝30°，则BP 的长为______________【答案】（1）证明见解析；（2）PE PA PB -=；（3）BP 【解析】（1）延长BC 至M ，且使CM ＝BE ，连接AM ，⊥⊥ABM⊥⊥DCE （SAS ）⊥⊥DEC ＝⊥AMB⊥EB ＝CM ，BG ＝CG⊥G 为EM 的中点⊥FG 为⊥AEM 的中位线⊥FG⊥AM⊥⊥HGE ＝⊥AMB ＝⊥HEG⊥HE ＝HG(2) 过点B 作BQ⊥BP 交DE 于Q由八字型可得：⊥BEQ ＝⊥BAP⊥⊥BEQ⊥⊥BAP （ASA ）⊥PA ＝QE⊥PE PAPE EQPQPB PB PB --===(3) ⊥⊥ADE ＝⊥CED ＝30°⊥CE⊥BE ＋BC ＝CD ＋2CD ，CD 1⊥DE ＝2CD ＝2⊥⊥ADE ＝30°⊥AP ＝EQ ＝1，DP⊥PQ＝2－11⊥BP＝213．（2019·陕西省中考模拟）（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一条直线上，连接BE ．填空：△△AEB 的度数为；△线段AD 、BE 之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，△ACB ＝△DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断△AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD ＝，若点P 满足PD ＝2，且△BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．【答案】（1）⊥60o ；⊥AD BE =；（2）902AEB AE BE CM ∠==+o ，，理由见解析；（3）点A 到BP．【解析】解：（1）⊥如图1．⊥⊥ACB 和⊥DCE 均为等边三角形，⊥CA =CB ，CD =CE ，⊥ACB =⊥DCE =60°，⊥⊥ACD =⊥BCE ．在⊥ACD 和⊥BCE 中，⊥AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ACD⊥⊥BCE（SAS），⊥⊥ADC=⊥BEC．⊥⊥DCE为等边三角形，⊥⊥CDE=⊥CED=60°．⊥点A，D，E在同一直线上，⊥⊥ADC=120°，⊥⊥BEC=120°，⊥⊥AEB=⊥BEC﹣⊥CED=60°．故答案为60°．⊥⊥⊥ACD⊥⊥BCE，⊥AD=BE．故答案为AD=BE．（2）⊥AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2．⊥⊥ACB和⊥DCE均为等腰直角三角形，⊥CA=CB，CD=CE，⊥ACB=⊥DCE=90°，⊥⊥ACD=⊥BCE．在⊥ACD和⊥BCE中，⊥CA CBACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ACD⊥⊥BCE（SAS），⊥AD=BE，⊥ADC=⊥BEC．⊥⊥DCE为等腰直角三角形，⊥⊥CDE=⊥CED=45°．⊥点A，D，E在同一直线上，⊥⊥ADC=135°，⊥⊥BEC=135°，⊥⊥AEB=⊥BEC﹣⊥CED=90°．⊥CD=CE，CM⊥DE，⊥DM=ME．⊥⊥DCE=90°，⊥DM=ME=CM，⊥AE=AD+DE=BE+2CM．（3）点A到BP的距离为12．理由如下：⊥PD=1，⊥点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．⊥⊥BPD=90°，⊥点P在以BD为直径的圆上，⊥点P是这两圆的交点．⊥当点P在如图3⊥所示位置时，连接PD、PB、P A，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3⊥．⊥四边形ABCD是正方形，⊥⊥ADB=45°．AB=AD=DC=BC，⊥BAD=90°，⊥BD=2．⊥DP=1，⊥BP．⊥⊥BPD=⊥BAD=90°，⊥A、P、D、B在以BD为直径的圆上，。

专题12 反比例函数与一次函数交点类问题(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(原卷版)

专题12 反比例函数与一次函数交点类问题（提优）1．如图，直线y ＝kx +b 与反比例函数y =12x相交于A （﹣2，m ）B （n ，3）．（1）连接OA 、OB ，求△AOB 的面积；（2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12x＞kx +b 的解集．2．如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y =mx （m ≠0）在第一象限的图象交于A （3，4）和B 两点，B 点的纵坐标是2，与x 轴交于点C ．（1）求一次函数的表达式；（2）若点D 在x 轴上，且△ACD 的面积为12，求点D 的坐标．3．如图，反比例函数y =kx （x ＞0）与直线AB ：y =12x −2交于点C （2√3+2，m ），点P 是反比例函数图象上一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，连接OP ，OQ ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 在反比例函数图象上运动，且点P 在Q 的上方，当△POQ 面积最大时，求P 点坐标．4．如图，直线y ＝k 1x +b 与双曲线y =k 2x交于C （4，m ），D 两点，与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B 两点，且OA =√33OB ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点E 与点B 关于x 轴对称，连接DE ，EC ，求△CDE 的面积．5．已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，点A 在x 轴上，∠B ＝90°，点B 的坐标为（1，2）．反比例函数y =kx 的图象经过点C ，一次函数y ＝ax +b 的图象经过A ，C 两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）直接写出不等式组0＜ax +b ≤kx 的解集．6．如图，已知A（﹣3，n），B（2，﹣3）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y=mx的图象的两个交点．（1）写出一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b−mx=0的解；（3）观察图象，直接写出kx+b−mx＜0的解集；（4）求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象交于A、B两点，已知A（1，2），B（m，1）．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）结合图象，当k1x+b＞k2x时，求自变量x的取值范围；（3）若点P是直线AB上的一动点，将直线AB向下平移n个单位长度（0＜n＜3），平移后直线与x轴、y轴分别交于点D、E，当△PED的面积为1时，求n的值．8．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点，与y轴相交于点C．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使|P A﹣PB|的值最大，求满足条件的点P的坐标及△P AB的面积．9．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点（c，p）和（n，q）是反比例函数y=mx图象上任意两点，且满足c＝n+1时，求q−ppq的值．（3）若点M（x1，y1）和N（x2，y2）在直线AB（不与A、B重合）上，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知x1＜﹣3，0＜x2＜1，当x1x2＝﹣3时，判断四边形NFEM的形状．并说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出−12x＞kx的解集；（3）将直线l1：y=−12x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=kx在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．11．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使P A+PB最小．12．如图，一次函数y 1＝﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y 2=k x图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y 2＞y 1时，求x 的取值范围；（3）求点B 到直线OM 的距离．13．如图，反比例函数y =k x与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣2，6）、点B （n ，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．（3）将一次函数y ＝ax +b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位，使平移后的图象与反比例函数y =kx的图象有且只有一个交点，求n 的值．14．如图，已知A （﹣4，12），B （﹣1，m ）是一次函数y ＝kx +b 与反比例函数y =nx 图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ．（1）求m 的值及一次函数解析式；（2）P 是线段AB 上的一点，连接PC 、PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 坐标．15．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y=kx（k≠0）交于点A（4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．16．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=32，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接ED，求△ADE的面积．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b−k1x＞0的解集．18．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于M（﹣3，1），N（1，n）两点．（1）求这两个函数的表达式．（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．19．如图，反比例函数y=−8x的图象与一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值．20．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞k2x的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y=k2x图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．。

2021年中考数学几何专项复习专题12 几何最值之将军饮马巩固练习(提优)(教师版含解析)

几何最值之将军饮马巩固练习(提优)1.如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N 分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为( )A. B. C. 6 D. 3【解答】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’(不同于点M和N)，连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM ＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB＋NM＋BM＝6，故选C.2.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A 刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )A. 12B. 15C. 16D. 18【解答】D【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，∵∠B＋∠C＝150º，∴∠BEC＝30º，∴∠BEF＝60º，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE ，∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.3.如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连接BM、BN，当BM＋BN最小时，∠MBN＝度.【解答】30º【解析】作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，如图所示：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30º，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30º，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN(SAS)，∴BM＝HN，∵BN＋HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM＋BN＝NH＋BN的值最小，当B，N，H共线时，如图所示：∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45º，∵∠ABD＝60º，∴∠DBM＝15º，∴∠MBN＝45º－15º＝30º，当BM＋BN的值最小时，∠MBN＝30º.4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD PC＋PD的最小值为.【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM＝，∵四边形ABC都是矩形，AB//CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∴，∴＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，∴PD＋PC，∴PD＋PC.5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，点D是直线BC上一点.(1)如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD周长的最小值；(2)如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD的长度；若不存在，请说明理由.【解答】(1)△CMD周长的最小值为；(2)存在，详细见解析【解析】(1)如图，作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，△CMD周长的值最小，∵AC＝BC，∠ACB＝90º，∴∠BCE＝45º，连接BE，∴BC＝BE＝2，△CBE是等腰直角三角形，，∴△CMD周长的最小值＝；(2)存在，∵AC＝4，BC＝8，，当AD1＝AB时，△AD1B的等腰三角形，∵AC⊥BC，∴CD1＝BC＝8当BD2＝AB＝时，△AD2B是等腰三角形，，当AD3＝D3B时，△AD3B的等腰三角形，∴BD3＝8－CD3，＝3，解得CD当BD4＝AB＝时，△AD4B的等腰三角形，∴CD4＝8＋，综上所述，以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8－8或3＋8.6.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4 ，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC 上的动点，试求CM＋MN的最小值.【解答】4【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC于N'，则CE即为CM ＋MN的最小值.∵BC，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，，故CM＋MN的最小值为4.7.如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝90º，E、F分别为边AB、CD的中点.(1)求证：四边形DEBF是菱形；(2)若BE＝4，∠DEB＝120º，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF＋PM的最小值.【解答】(1)见解析；【解析】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝90º，∵△ABD中，∠ADB＝90º，E时AB的中点，∴DE＝AB＝AE＝BE，同理，BF＝DF，∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四边形DEBF是菱形；(2)连接BF，如图所示：∵菱形DEBF中，∠DEB＝120º，∴∠EBF＝60º，∴△BEF是等边三角形，∵M是BF的中点，∴EM⊥BF，，即PF＋PM.8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.(1)求证：PE＝EM；(2)用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；(3)过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.【解答】(1)见解析；(2)BP2＋NC2＝PN2；(3)【解析】(1)证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90º，∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90º，∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM(ASA)，∴PE＝EM；(2)三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；③证明：连接BE、CE，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，∴∠A＝∠ABC＝90º，AB＝CD＝AE＝DE，∴∠AEB＝45º，∠DEC＝45º，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∠BEC＝90º，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45º，∴∠EBC＝∠ECD，又∵∠BEC＝∠PEM＝90º，∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM(ASA)，∴BP＝MC，PE＝ME，∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝45º，在△EPN和△EMN中，，∴△EPN≌△EMN(SAS)，∴PN＝MN，在Rt△MNC中有：MC2＋NC2＝MN2，∴BP2＋NC2＝PN2；(3)连接PM，如图所示：由(2)，可得PN ＝MN，PE＝ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，∵K为EM中点，又∵∠D＝90º，，由(2)，可得△PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得，∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，即当ME＝DE＝6时，DK＋GK＋PG有最小值，最小值为.。

专练12(几何证明大题)(30题)-2021年中考数学考点必杀500题(通用版)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练12（几何证明大题）（30道）1．（2021·山东济宁市·九年级一模）在Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF △BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF △△DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析（1）∵//BC AF ，∵AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 的中点，∵AE DE =，在∵AEF 与∵DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()AEF DEB AAS ≌；（2）由（1）可知，AF BD =，∵D 是BC 的中点，∵BD CD =，∵AF CD =，∵//AF CD ，∵四边形ADCF 是平行四边形，又∵∵ABC 为直角三角形，∵DA DC =，∵四边形ADCF 是菱形．2．（2021·湖南娄底市·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD ，若M ，N 是BD 上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∵OA=OC，OB=OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，∵OB-BM=OD-DN，即OM=ON，∵四边形AMCN是平行四边形，∵MN=2OM，∵ AC=2OM，∵MN=AC，∵四边形AMCN是矩形；（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，∵ 四边形ABCD是菱形，∵ AC∵BD，∵AC∵MN，由（1）可知四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是正方形；3．（2021·云南曲靖市·九年级一模）如图，在△ABCD中，△ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若AB ＝2，求BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵BC∵AD ，BC=AD ．∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点 ∵BE=CE=12BC ，AF=12AD ， ∵CE=AF ，CE∵AF ，∵四边形AECF 是平行四边形，∵BC=2AB ，∵AB=BE ，∵∵ABC=60°，∵∵ABE 是等边三角形，∵AE=BE=CE ，∵平行四边形AECF 是菱形；（2）解：作BG∵AD 于G ，如图所示：则∵ABG=90°-∵ABC=30°，∵AG=12AB=1，BG=3AG=3， ∵AD=BC=2AB=4，∵DG=AG+AD=5，∵BD=22BG DG +=()2235+=27．4．（2021·广东深圳市·九年级一模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，AE △BD ，且AE ＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若△ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．（1）证明：∵AE∵BD，AE＝BD，∵四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∵AD∵BC，∵∵ADB＝90°，∵四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∵∵AEB＝90°，∵∵ABE＝30°，AE＝2，∵BE＝，BC＝4，∵EC＝∵AE∵BC，∵∵AEF∵∵BCF，∵12 EF AECF BC，∵EF13EC．5．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，连接AF ，CE（1）求证：△BEC△△DFA ；（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB=CD ，AD=BC.又∵E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∵BE=DF.∵在∵BEC 和∵DFA 中，BC DA{B D BE DF=∠=∠=，∵∵BEC∵∵DFA （SAS ）.（2）由（1）∵BEC∵∵DFA ，∵CE=AF ，∵E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∵AE=CF∵四边形AECF 是平行四边形.6．（2021·福建三明市·九年级一模）如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，△ABC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到△DCE ，（1）求证：DE 垂直平分BC ；（2）F 是DE 中点，连接BF ，CF ，若2AC =，求四边形ACFB 的面积．【答案】（1）见解析；（2）（1）∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∵∵ABC =30°，根据旋转角的定义，得∵ACD =60°，∵∵BCD =30°，∵BCE =60°，∵∵ABC =∵BCD ，∵DB =DC ，∵点D 在线段BC 的垂直平分线上，∵DE 垂直平分BC ；（2）如图，过点D 作DG ∵AC ，垂足为G ，∵CA =CD ，∵A =60°，∵∵ACD 是等边三角形，AD =CD =AC ，∵DE 垂直平分BC ，∵DB =DC ，FB =FC ，∵DB =DC =DA =CA =12AB ，∵F 是DE 中点，∵CF =DF =EF =12DE ， ∵DB =DC =DA =CA = CF =DF =BF ，∵四边形ACFD 是菱形，四边形DCFB 是菱形；∵四边形ACFB 的面积是三角形ACD 面积的3倍，∵AC =AD =2，∵AG =1，DG∵四边形ACFB 的面积：3×12×AC ×DG =3×12 7．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）如图，CE 是O 的直径，BD 切O 于点D ，//DE BO ，CE 的延长线交BD 于点A ．（1）求证：直线BC 是O 的切线；（2）若2AE =，tan DEO ∠=AO 的长．【答案】（1）见解析；（2）3解：（1）连接OD ，∵//DE BO ，∵14∠=∠，23∠∠=，∵OD OE =，∵34∠=∠，∵12∠=∠，在DOB 与COB △中，12OD OC OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()DOB COB SAS ≅△△．∵OCB ODB ∠=∠，∵BD 切O 于点D ，∵90ODB ∠=︒，∵90OCB ∠=︒，∵AC BC ⊥，∵直线BC 是O 的切线．（2）∵2DEO ∠=∠，∵tan tan 2DEO ∠=∠=设OC r =，BC =，由（1）证得DOB COB ≅△△，∵BD BC ==， ∵//DE BO ， ∵=AD AE BD OE2r =∵AD =Rt ∵ADO 中根据勾股定理可得：222AD DO AE +=即222(2)r r +=+，解得：r =1，∵3AO AE EO =+=．8．（2021·河南焦作市·九年级其他模拟）如图，AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上不与A ，B 重合的一动点，AC ＝CD ，连接AC ，CD ，AD ，BC ，延长BC 交AD 于F ，交半圆O 的切线AE 于E ．（1）求证：△AEF 是等腰三角形；（2）填空：△若AE BE ＝5，则BF 的长为；△当△E 的度数为时，四边形OACD 为菱形．【答案】（1）见详解；（2）∵3；∵60°（1）证明：∵AB 为半圆O 的直径，AE 是切线，∵∵ACB =90°，∵EAB =90°，∵∵EAC +∵CAB =∵CAB +∵ABC =90°，∵∵EAC =∵ABC ，∵AC ＝CD ，∵∵ABC =∵CAD ，∵∵EAC =∵CAD ，又∵∵ACE =∵ACF =90°，AC =AC ， ∵ACE ≌ACF ，∵AE =AF ，∵∵AEF 是等腰三角形；（2）∵∵∵AEF 是等腰三角形，AE =AF ，AC ∵BE ，∵点C 是EF 的中点，即:EF =2CE ，∵AE ∵AB ，∵AB == ∵1122AEB S AE AB BE AC =⋅=⋅，∵25AE AB AC BE ⋅===，∵1CE ==，∵EF =2CE =2，∵BF =BE -EF =5-2=3，故答案是：3；∵连接OC ，∵四边形OACD 为菱形，∵OA =OD =CD =AC =OC ， ∵ACO 是等边三角形，∵∵AOC =60°，∵∵ABE =30°，∵∵E =90°-30°=60°．故答案是：60°．9．（2021·西安交通大学附属中学航天学校九年级三模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OB 、OC 上，OE OF =，求证：AE BF =．【答案】见详解．证明：∵四边形ABCD 为正方形，∵OA =OB ，AC ∵BD ，在∵AOE 和∵BOF 中，OA OB AOE BOF OE OF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵AOE ∵∵BOF （SAS ）∵AE =BF ．10．（2020·沙坪坝区·重庆一中九年级一模）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，E 是BC 边上的一点，连接DE ，180A DEC ∠+∠=︒．（1）求证：AD ED =；（2）若120,40DEB C ∠=︒∠=︒，求BDE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）50︒．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，∵ABD EBD ∠=∠．∵180A DEC ∠+∠=︒，180BED DEC ∠+∠=︒，∵A BED ∠=∠．∵在BAD 和BED 中，A BED ABD EBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()BAD BED AAS ≅，∵AD ED =．（2）1204080CDE DEB C ∠=∠-∠=︒-︒=︒，由（1）BAD BED ≅可知BDA BDE ∠=∠，∵180BDA BDE CDE ∠+∠+∠=︒，∵280180BDE ∠+︒=︒，解得：50BDE ∠=︒．11．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，12∠=∠，AD EC =．求证：AB BE CD +=．【答案】见解析证明：∵//AB CD ，∵ABD EDC =∠∠．在ABD △和EDC △中，,12,,ABD EDC AD EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()ABD EDC AAS ≌，∵,AB DE BD CD ==．∵DE BE BD +=，∵AB BE CD +=．12．（2021·云南九年级一模）如图，已知△A ＝△D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt△ABF△Rt△DCE ；（2）OE ＝OF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析证明：（1）∵BE ＝CF ，∵BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∵A ＝∵D ＝90°，∵∵ABF 与∵DCE 都为直角三角形，在Rt∵ABF 和Rt∵DCE 中∵BF CE AB CD=⎧⎨=⎩， ∵Rt∵ABF∵Rt∵DCE （HL ）；（2）∵Rt∵ABF∵Rt∵DCE （已证），∵∵AFB ＝∵DEC ，∵OE ＝OF ．13．（2021·西安交通大学附属中学航天学校九年级三模）如图，已知AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DC DE =；（2）若1BD =，3DE =，求O 的半径长【答案】（1）见解析；（2）4解：（1）如解图，连接OC ， CD 是O 的切线，90OCD ∴∠=︒，90ACO ECD ∴∠+∠=︒，DE AD ⊥，∵90EAD E ∠+∠=︒OA OC =，∵OAC OCA ∠=∠DCE E ∴∠=∠，DC DE ∴=；（2）解：如解图，连接BC ， AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90OCD ∠=︒，ACO BCD ∴∠=∠，OAC ACO ∠=∠，BCD OAC ∴∠=∠，又BDC CDA ∠=∠，BDC CDA ∴∽， ∵=CD BD AD CD ， 2·CD BD AD ∴=，设O 的半径为r ，3,1CD DE BD ===，()23112r ∴=⨯+，解得4r =．O ∴的半径为4．14．（2021·安徽九年级一模）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的△O 交BC 于点D ，过点D 作△O 的切线，交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF△AC ；（2）若FD=5，FB=3，求△O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）半径为83（1）证明：如图，连接OD ，AD ．∵ED 是∵O 的切线，∵OD ∵DE ．∵AB是∵O的直径，∵∵ADB=90°．又∵AB=AC，∵BD=CD，∵OD是∵ABC的中位线，∵OD//AC，∵EF∵AC．（2）解：如图，由（1）OD∵DE，∵∵BDF+∵BDO=∵BDO+∵ADO=90°，∵∵BDF=∵ADO．∵OA=OD，∵∵ODA=∵DAO．∵∵BDF=∵DAO又∵∵F=∵F，∵∵FBD∵∵FDA，∵FB FD FD FA=，∵355FA =，∵F A=253，∵OA=12（F A-FB）=12×（253-3）=83，即∵O的半径为83．15．（2021·陕西九年级三模）如图，在O中，AB为直径，过圆上一点C作切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：BAC BCD ∠=∠；（2）若30BAC ∠=︒，4=AD ，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）CD =．（1）证明：如图，连接OC ，∵CD 与O 相切于点C ，∵OC CD ⊥，∵90OCB BCD ∠+∠=︒∵AB 是O 的直径，∵90ACB ∠=︒，∵90OCB OCA ，∵OCA BCD ∠=∠．∵OA OC =，∵OCA OAC ∠=∠，∵BAC BCD ∠=∠；（2）解：∵CAB BCD ∠=∠，CDA ADC ∵DCB DAC △∽△， ∵CB DC AC DA=．∵AB 是O 的直径，∵90ACB ∠=︒，且 30BAC ∠=︒，∵tan 3CB BAC AC ∠==，∵DC DA = ∵4=AD ，∵CD = 16．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级一模）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的△O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是△O 的切线．（1）求证：△BAC ＝2△CDE ；（2）若CE ＝4，cos△ABC ＝13，求△O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）14．解：（1）如图，连接OD ，AD ，∵AC 是直径，∵∵ADC=90°，∵AD∵BC ，∵AB=AC ，∵∵CAD=∵BAD=12∵BAC，∵DE是∵O的切线，∵OD∵DE，∵∵ODE=90°，∵∵ADC=∵ODE，∵∵CDE=∵ADO，∵OA=OD，∵∵CAD=∵ADO，∵∵CDE=∵CAD，∵∵CAD=12∵BAC，∵∵BAC=2∵CDE；（2）解：∵AB=AC，AD∵BC，∵BD=CD，∵cos∵ABC=13，∵AB=3BD，∵AC=3DC，设DC=x，则AC=3x，x，∵∵CDE=∵CAD，∵DEC=∵AED，∵∵CDE∵∵DAE，∵CE DC DE DE AD AE==，∵434DE DE x==+，x=283，∵AC=3x=28，∵∵O的半径为14．17．（2021·云南九年级其他模拟）如图，AB和CD为△O的直径，AB△CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交△O于点F，连接CF交AB于点G．（1）求证：CE2＝AE•AF；（2）求证：△ACF＝3△BAF；（3）若FG＝2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）解：（1）∵AB和CD为∵O的直径，AB∵CD，∵=AC AD∵∵ACE＝∵AFC，∵∵CAE＝∵F AC，∵∵ACE∵∵AFC，∵AC AE AF AC，∵AC2＝AE•AF，∵AC＝CE，∵CE2＝AE•AF；（2）∵AB∵CD，∵∵AOC＝90°，∵OA＝OC，∵∵ACE＝∵OAC＝45°，∵∵AFC＝12∵AOC＝45°，∵AC＝CE，∵∵CAE＝∵AEC＝12（180°﹣∵ACO）＝67.5°，∵∵BAF＝∵CAF﹣∵OAC＝22.5°，∵∵AEC＝∵AFC+∵DAF＝45°+∵DCF＝67.5°，∵∵DCF＝22.5°，∵∵ACF＝∵OCA+∵DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∵BAF；（3）如图，过点G作GH∵CF交AF于H，∵∵FGH＝90°，∵∵AFC＝45°，∵∵FHG＝45°，∵HG＝FG＝2，∵FH＝∵∵BAF＝22.5°，∵FHG＝45°，∵∵AGH＝∵FHG﹣∵BAF＝22.5°＝∵BAF，∵AH＝HG＝2，∵AF＝AH+FH＝，由（2）知，∵OAE＝∵OCG，∵∵AOE＝∵COG＝90°，OA＝OC，∵∵AOE∵∵COG（SAS），∵OE＝OG，∵AEO＝∵CGO，∵∵OEF＝∵OGF，连接EG，∵OE＝OG，∵∵OEG＝∵OGE＝45°，∵∵FEG＝∵FGE，∵EF＝FG＝2，∵AE＝AF﹣EF＝﹣2＝．18．（2021·西安市·陕西师大附中九年级二模）如图，AB 为O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 与O 相切与点D ，2AE BE =，连接AE ，DE ．（1）求证：ADC E ∠=∠；（2）若1sin 3C =，6BD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 解：（1）连接OD∵AB 为O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 与O 相切与点D ，∵90ODC ADB ∠=∠=︒∵90ADC ODA DAB ABD ∠+∠=∠+∠=︒又∵OD =OA ，ABD AED ∠=∠∵ODA OAD ∠=∠∵ADC AED ∠=∠（2）连接BE ，OE由题意，在Rt ∵COD 中，1sin 3OD C OC == 设OD =x ，则OC =3x ，AC =2x ，BC =4x∵CD=∵ADC AED ∠=∠，ABD AED ∠=∠∵ADC ABD ∠=∠，C C ∠=∠∵ACD DCB ∽∵AD CD BD BC =，即64AD x=，解得：=AD∵在Rt ∵ABD 中，AB =∵2AE BE =，AB 是直径 ∵1602BOE AOE ∠=∠=︒，30BAE ∠=︒∵在Rt ∵ABE 中，cos30AE AB =⋅︒=19．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，4,6AD CD ==，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，F 为线段CE 上一点，且DFE A ∠=∠．（1）求证：DFC CBE ∽．（2）若5DF =，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∵AD∵BC ，CD∵AB ，∵180A B ∠+∠=︒，∵DCE=∵BEC ．∵DFE A ∠=∠，∵180DFE B ∠+∠=︒又∵180DFE DFC ∠+∠=︒，∵DFC B ∠=∠．∵DCF CEB ∠=∠，∵DFC CBE ∽．（2）∵DFC CBE ∽，∵DF DC BC CE =，即654CE=，∵CE =∵CD∵AB ，DE AB ⊥，∵DE DC ⊥，∵90EDC ∠=︒．在DEC Rt △中，3DE ===．20．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，6AB =，4BE =，9BC =，连接AC ．（1）求线段CD 的长；（2）如果3AE =，求线段AC 的长．【答案】（1）CD=152；（2）92． ∵BC=9，BE=4，∵CE=5，∵AB//CD ，∵∵ABE∵∵DCE ， ∵BE AB CE CD =，即465CD=，解得：CD=152．（2）∵6AB =，4BE =，9BC =， ∵BE AB AB BC ==23，∵∵B 为∵ABE 和∵CBA 的公共角，∵∵ABE∵∵CBA ， ∵AC BC AE AB =，即936AC =，解得：AC=92． 21．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．证明：（1）∵AED ACB ∠=∠，A A ∠=∠，∵ADE ACB ， ∵AE AB AD AC=，又∵A A ∠=∠，∵ADC AEB △△，∵ABE ACD ∠=∠；（2）∵ED EC =，∵EDC ACD ∠=∠，∵ABE ACD ∠=∠∵EDC ABE ∠=∠，又∵DEF DEF ∠=∠，∵EDF EBD △△， ∵DF EF DE BD DE BE==， ∵2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， ∵22DF EF BD EB=． 22．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边,AB AC 上，,CD BE 相交于点F ，AD AB AE AC ⋅=⋅．（1）求证：ABE ACD ∽△△．（2）若点E 为AC 中点，6AB =，2AD =，求BF CF的值．【答案】（1）见解析；（2 解：（1）证明：∵AD•AB=AE•AC ，∵AD ：AE=AC ：AB ，∵∵A=∵A ，∵∵ABE∵∵ACD ；（2）∵∵ABE∵∵ACD ， ∵AB AE AC AD=，∵ABE=∵ACD ， ∵AB=6，AD=2，∵BD=AB-AD=4，且62AE AC =， ∵E 为AC 中点，∵2AE=AC ， ∵622AE AE =，，∵∵ABE=∵ACD ，∵DFB=∵EFC ，∵∵BFD∵∵CFE ，∵3BF BD CF CE ===． 23．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知：如图，在ABC 的中，AD 是角平分线，E 是AD 上一点，且::AB AC AE AD =．求证：（1）ABE ACD ∽△△．（2）BDE 是等腰三角形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．证明：（1）∵AD 是角平分线，∵12∠=∠，又∵::AB AC AE AD =，∵ABE ACD ∽△△，（2）∵ABE ACD ∽△△，∵34∠=∠，∵180°-∵3=180°-∵4，即BED BDE ∠=∠，∵BE BD =．即∵BDE 是等腰三角形．24．（2020·陕西九年级其他模拟）如图，直线AM 与△O 相切于点A ，弦BC //AM ，连接BO 并延长，交△O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．（1）求证：CE//OA；（2）若△O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）156 5（1）证明：如图∵BE是∵O的直径，∵CE∵BC，∵BC∵AM，∵CD∵AM，∵AM是∵O的切线，∵OA∵AM，∵CE∵OA；（2）解：∵∵O的半径R＝13，∵OA＝13，BE＝26，∵BC＝24，∵CE＝10，∵BC∵AM，∵∵B＝∵AFO，∵∵C＝∵A＝90°，∵∵BCE∵∵F AO，∵BC CE AF OA=， ∵241013AF = ∵AF ＝1565． 25．（2020·浙江）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若8,CD O =的半径等于5，求线段CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CE=6.4．（1）证明：如图，连结OD ，，∵OD=OB ，∵∵B=∵ODB ，又AB=AC ，∵∵B=∵C ，∵∵C=∵ODB ，∵OD∵AC ，∵DE∵AC ，∵∵CED=90°，∵∵ODE=90°，∵DE∵OD ，∵DE 是 ∵O 的切线；（2）解：如图，连结OD 、AD ，∵AB是直径，∵AB=2×5=10,AD∵DB，∵AC=10，∵CD=8，∵AD=6，∵在RT∵DEC和RT∵ADC中，C CDEC ADC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∵RT∵DEC∵RT∵ADC，∵DC CEAC DC=，∵2286.410DCCEAC===．26．（2020·长沙市雅礼雨花中学九年级一模）如图，AB为△O的直径，点C、D在△O上，AC=3，BC=4，且AC=AD，弦CD交直径AB于点E．（1）求证：△ACE△△ABC；（2）求弦CD的长．【答案】（1）见解析；（2）24 5（1）∵AC=AD，AB是∵O的直径，∵CD∵AB，∵∵AEC=90°，∵AB是∵O的直径，∵∵ACB=90°，∵∵ACE+∵BAC=∵BAC+∵B=90°，∵∵ACE=∵B ，∵∵ACE∵∵ABC ；（2）由（1）可知：AC AB AE AC =， ∵AC 2=AE•AB ，∵AC=3，BC=4，∵由勾股定理可知：=， ∵AE=235=95，∵由勾股定理可知：125==， ∵由垂径定理可知：CD=2CE=245． 27．（2020·河北邯郸市·九年级其他模拟）如图，BD 、CE 为ABC ∆的高，且BD 与CE 交于点O ．（1）求证：~AEC ADB ∆∆；（2）若40A ∠=，求BOC ∠的度数【答案】（1）见解析；（2）140解：（1）证明：BD 、CE 为ABC ∆的高，AEC ADB ∴∠=∠=90°，又A A ∠=∠，~AEC ADB ∴∆∆；（2）40A ∠=，904050ABD ∴∠=-=， CE 为ABC ∆的高，90BEC ∴∠=，5090140BOC ABD BEC ∴∠=∠+∠=+=．28．（2020·广东佛山市·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上．（1）过点E 作BD 的平行线交DC 于点G 、交AD 的延长线于点F ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若12DG GC = ，BE ＝2，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6．解：（1）如图，GF 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AF ∵BC ，∵EF ∵BD ，∵四边形BDFE 是平行四边形，∵BE ＝DF ；∵BE ＝2，∵DF ＝2，∵AF ∵BC ，∵∵DGF ∵∵CGE ，∵DG DFGC EC=，即212EC=∵EC＝4，∵BC＝BE+EC＝2+4＝6．29．（2020·竹溪县实验中学九年级其他模拟）如图，△ABC中，BC＝AC＝10，以BC为直径作△O交AB 于点D，交AC于点G；DF△AC于点F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是△O的切线；（2）若4sin5E=，求CF的值．【答案】（1）详见解析；（2）FC＝9．（1）证明：如图示，连接OD，∵BC＝AC，∵∵ABC＝∵A，∵BO＝DO，∵∵ABC＝∵BDO，∵∵A＝∵BDO，∵DO∵AC，又∵EF∵AC，∵∵EDO＝∵EFC＝90°，∵OD 是∵O 半径，∵EF 是∵O 的切线；（2）解：∵BC ＝10，∵OD ＝OC ＝5在Rt∵EDO 中， ∵4sin 5OD E OE ∠==， ∵545OE =，254OE =， ∵2545544EC OE OC =+=+=， ∵OD ∵AC ，∵∵EDO ∵∵EFC ， ∵OD OE FC EC=， ∵2554454FC =， ∵FC ＝9．30．（2020·湖北武汉市·九年级一模）如图，在△O 中，点D 在直径AB 的延长线上，点C 、E 在△O 上，CE ＝CB ，△BCD ＝△CAE ，延长AE 、BC 交于点F ．(1) 求证：CD 是△O 的切线；(2) 若BD ＝1，CD ，求线段EF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）23（1）连OC ，∵∵OAC ＝∵OCA ，∵AB 为直径，∵∵ACB ＝90°，∵CE ＝CB ，∵CE CB =，∵∵CAE ＝∵OAC ，∵∵BCD ＝∵CAE ，∵∵BCD ＝∵OCA ，∵∵OCD ＝∵BCD ＋∵OCB ＝∵OCA ＋∵OCB ＝90°， ∵OC 是∵O 半径，∵CD 是∵O 的切线；（2）设∵O 的半径为r ，在Rt ∵OCD 中，OC ²＋CD ²＝OD ²，即：r 2＋2＝(r ＋1)2，解得r ＝12，由（1）得，∵CAB ＝∵CAF ，AC ∵BF ， ∵AF ＝AB ＝1，过O 作OH ∵AE 于H ，则AH ＝EH ， ∵CE ＝CB ，CE CB =，∵∵EAB ＝∵COB ，∵90AHO OCD ∠=∠=︒，∵AHO OCD ， ∵AH AO OC OD=，即0.50.50.51AH =+， ∵AH ＝16， ∵AE ＝2AH ＝13， ∵EF ＝AF －AE ＝1－13＝23．。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练07(计算题)(30题)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练07（计算题）（30道）1．（2020·上海黄浦区·123-．【答案】－1 【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝+1＝﹣1＝﹣1．【点睛】本题考查二次根式的性质，分数指数幂．能灵活运用二次根式的性质对二次根式化简是解题关键． 2．（2021·上海九年级一模）计算()01cot 3012sin 60cos60tan 30︒--︒+︒+︒．【分析】根据特殊三角函数值化简即可求解．【详解】()01cot 3012sin 60cos60tan 30︒--︒+︒+︒121-+11-【点睛】此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）计算：225 32sin60 tan301cot301cos4︒︒-+-︒-︒【答案】5 2【分析】根据各个特殊角的三角函数值和实数的运算法则计算即可．【详解】解：225 32sin60 tan301cot301cos4︒︒-+-︒-︒=221⎝⎭-+-⎝⎭=32141132⎛-+-⎝⎭=3312--=52．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．4．（2021·上海九年级其他模拟）计算：＋1）0＋（﹣1）2016sin45°﹣（13）﹣1【答案】0【分析】根据实数的运算顺序，首先计算零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，再进行加减运算即可．【详解】解：原式113=++-11=-+0=．【点睛】本题考查实数的混合运算；掌握零指数幂的运算，乘方，负整数指数幂的运算以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．5．（2021·上海九年级其他模拟）解不等式组：3(x 2)x 4{2x 1>x 13-≥-+-①②并写出它的所有的整数解．【答案】1、2、3 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．最后求出整数解即可．【详解】解：解不等式①得，x≥1，解不等式②得，x ＜4， ∴不等式组的解集是1≤x ＜4． ∴不等式组的所有整数解是1、2、3．【点睛】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解．6．（2021·上海九年级二模）解不等式组：1239173x x x x ⎧≥-⎪⎨⎪+>-⎩．并把解集在数轴上表示出来．【答案】23x -<≤，见解析【分析】先分别求解两个不等式，然后在数轴上表示出来，写出解集即可．【详解】1239173x x x x ⎧≥-⎪⎨⎪+>-⎩①②由①得：223x -≥- ∴3x ≤，由②得：24x >- ∴2x >-，数轴表示，如图：∴不等式组的解集为：23x -<≤．【点睛】本题考查解不等式组以及画数轴表示不等式组的解集，掌握解不等式组的基本方法以及画数轴表示解集的步骤是解题关键．7．（2021·上海九年级专题练习）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+- 【答案】2 【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．【详解】解：原式14122⨯=⨯1= 2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．（2020·上海奉贤区·九年级二模）先化简，再求值：2361693x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中x．【答案】13x +，36- 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】2361693x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭＝2336(3)3x x x x -+-÷++＝2331(3)33-+⋅=+-+x x x x x ，当x =36=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．9．（2020·上海杨浦区·九年级二模）先化简，再求值：（1222a a ++-）÷2322a a a++，其中a ．【答案】2a a -【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：原式＝()()()()22232222a a a a a a a -+++÷+-+ ＝()()()2322232a a a a a a ++⨯+-+＝2aa -．当a【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的除法运算，属于基本题型，熟练掌握分式的混合运算法则和分母有理化方法是解题关键．10．（2020·上海黄浦区·九年级二模）解方程组：22335x y x xy y +=⎧⎨++=⎩．【答案】1141x y =⎧⎨=-⎩，2214x y =-⎧⎨=⎩ 【分析】由①得：y ＝3﹣x ，代入②并整理得：x 2﹣3x ﹣4＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．【详解】解：22335x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①② 由①得：y ＝3﹣x ③，把③代入②得：x 2+3x （3﹣x ）+（3﹣x ）2＝5，整理得：x 2﹣3x ﹣4＝0，解这个方程得，x 1＝4，x 2＝﹣1，把x 的值分别代入③，得y 1＝﹣1，y 2＝4．∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=-⎩，2214x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查解二元二次方程组．理解“消元思想”和“降次思想”，能将二元方程化为一元方程和将二次方程化为一次方程是解题关键．11．（2020·上海长宁区·110221)1)-++【答案】2【分析】本题按照实数的运算法则计算即可．【详解】110221)1)-++11122==+=【点睛】此题考查实数的运算，涉及到根式的运算，零次幂，负指数幂等相关知识．12．（2020·上海静安区·）解方程：21211x x++-＝1．【答案】x＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：x﹣1+2＝x2﹣1，整理得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，经检验：x＝﹣1是增根，舍去；x＝2是原方程的根．∴原方程的根是x＝2．【点睛】本题考查了分式方程的解法和一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．13．（2020·上海奉贤区·九年级二模）计算：120282|2|2020-⨯-+．﹣1【分析】直接利用二次根式的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】1202822|2020-⨯-+＝1(214-+﹣+1＝2﹣1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14．（2020·上海虹口区·九年级二模）先化简，再求值：（1﹣11x -）÷22441x x x -+-，其中x ．【答案】12x x +- 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】（1﹣11x -）÷22441x x x -+- ＝211(2)11(1)(1)x x x x x x --⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭ ＝22(1)(1)1(2)x x x x x -+-⋅-- ＝12x x +-，当x 时，＝55+．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．15．（2020·上海普陀区·九年级二模）解不等式组：3(2)8(6)121123x x x x -≤-+⎧⎪+-⎨<+⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1＜x ≤2，数轴见解析【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：()()3286121123x x x x ⎧--+⎪⎨+-<+⎪⎩①②，解不等式①，得：2x ，解不等式②，得：1x >-，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为12x -<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．16．（2020·上海普陀区·九年级二模）先化简，再求值：22111121x x x x x x --÷+--+，其中x．【答案】11x x -+，3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】解：原式21(1)1(1)(1)1x x x x x x -=-++-- 111x x x =-++11x x -=+，当1x =时，原式=3=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．（2020·上海大学附属学校九年级三模）解方程组：222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩【答案】121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 【分析】将第二个方程进行因式分解得到()(2)0+-=x y x y ，然后令因式2x y -和因式x y +分别为0即可求解. 【详解】解：由题意可知： 222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①② 对方程②进行因式分解得：()(2)0+-=x y x y 即20x y -=或0x y += ∴原方程组化为2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或26x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩ 故原方程组的解为：1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.18．（2020·上海大学附属学校九年级三模）解方程：256022x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭【答案】1125x =，21x = 【分析】先设：2xy x =-得到2560y y --=解出y 的值，再求解x 的值并把结果进行检验即可得到答案；【详解】解：设：2xy x =- ，原方程化为：2560y y --=，运用十字相乘法得到：()()610y y -+=，解得126,1y y ==-，当16y =时62xx =-，解得1125x =，当21y =-时12xx =--，解得21x =，经检验，1125x =和21x =原方程的分母均不为0，故原方程的解为：1125x =或21x =；【点睛】本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键．19．（2020·上海浦东新区·九年级三模）计算：120211+83-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭）．【答案】12【分析】根据二次根式、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的运算法则计算即可．【详解】120211+83-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭）129=++12=+．【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．20．（2020·上海闵行区·23 18-【答案】-3．【分析】首先进行二次根式的化简、去绝对值符号以及二次根式的乘法，然后再合并同类二次根式即可．【详解】2318-124--+=-3．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．21．（2021·上海普陀区·九年级一模）计算：22cos302sin452sin60tan45︒-︒+︒+︒．【答案】22-【分析】根据cos302=°=sin60︒，sin45=2︒，tan451︒=求解即可．【详解】解：原式122=-⨯+112=-+-2=-．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．22．（2021·上海嘉定区·九年级一模）计算：2sin452sin60tan60tan45︒+︒-︒⋅︒【分析】把相应的特殊角的三角函数值代入即可．【详解】原式22122=⨯+⨯==【点睛】本题主要考查了不同特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．23．（2021·上海宝山区·九年级一模）计算：21cos45cot30sin60tan30-︒︒+︒⋅︒．【答案】1 11【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算求解．【详解】解：原式21112121112⎛- -=====．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．24．（2021·上海虹口区·九年级一模）计算：2tan452sin60cot302cos45︒-︒︒-︒．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：原式2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 25．（2021·上海崇明区·九年级一模）计算：22cos30cot 45tan 60sin 452sin 30︒︒-︒︒+︒+．【答案】12【分析】先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可．【详解】解：22cos30cot 45tan 60sin 452sin 30︒︒-︒︒+︒+21121222+=-⨯112=-12=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键． 26．（2021·上海静安区·九年级一模）计算：cot30cos45sin 60tan 45︒-︒︒-︒．6-．【分析】将各三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算．【详解】解：原式6．【点睛】此题考查不同三角函数值的混合运算，二次根式混合运算，熟记各三角函数值是解题的关键．27．（2021·上海杨浦区·九年级一模）计算：22tan602sin30 4cos45cot30+︒-︒．【答案】4-【分析】把各三角函数的值代入式中计算即可．【详解】解：原式=2212242-⨯⎛⎫⨯+⎪⎝⎭=31142-⨯+22=4-．【点睛】本题考查特殊角三角函数值的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．28．（2021·上海徐汇区·九年级一模）计算：sin45cot45tan602cos45cot30︒︒-︒+︒-︒．【答案】．【分析】先计算特殊角的三角函数值，再化简绝对值、计算实数的混合运算即可得．【详解】原式12=，2=，=-2=-．【点睛】本题考查了不同特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．29．（2021·上海九年级专题练习）已知线段x 、y 满足2x y xx y y +=-，求x y的值．【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x xy y--=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∴0y ≠，∴22310x x y y --=，∴x y =．∴x 、y 表示线段， ∴负值不符合题意，∴x y =．【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．30．（2021·上海九年级二模）计算：1122(19|1--+-+-⎝⎭．【答案】0 【分析】根据完全平方公式计算出(21，根据负整数指数幂的意义计算出13-⎛ ⎝⎭，根据分数指数幂与根式的关系计算出129=|1-，即可完成．【详解】1122(19|1-+-+⎝⎭1331=-+0=【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，关键要清楚负整数指数幂的含义、绝对值的含义、分数指数幂与根式的关系．。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练06(填空题-压轴)(30题)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练06（填空题-压轴）（30道）1．（2021·上海九年级专题练习）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为______．【答案】9【分析】连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，由3tan 4B =，10AB =，可得AE=6，BE=8，并求出AC 的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点， 3tan4B =，10AB =， ∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ， ∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又12BC =，∴CE=BC -BE=4，∴AC =作CF AD ⊥交AD 于F 点，90B D ∠+∠=︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴6AF ==，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．2．（2021·上海九年级专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=______．11．【分析】分两种情形：①当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．【详解】解：①如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．∵CE ＝EA ，CF ＝FB ，∵EF ∵AB ，∵AC ＝AB ，∵ACB ＝90°∵∵CEF ＝∵CAB ＝45°，∵PD ＝PA ，∵APD ＝90°∵∵PAD ＝∵PDA ＝45°，∵∵HDC ＝∵PDA ＝45°，∵点E 是边CA 的中点，∵EA ＝EP ＝EC∵∵EPC ＝∵CEP ，∵∵HDC ＝∵DCA+∵DAC ＝45°，∵CEF ＝∵DCA+∵EPC ＝45°，∵∵DAC ＝∵EPC ＝∵ECP ，∵DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC ==,∵)1PC a =∵)1tan 1a PC CAP PA a ∠==②如图3中，当点P 在线段CD 上时，由①可知，EF ∵AB ，∵CAB ＝∵PDA ＝45°，∵∵CAD ＝180°-∵ACD -45°，∵COA ＝180°-∵ACO -45°∵∵CAD ＝∵COA ，∵EF ∵AB ，∵∵CPE ＝∵COA ，∵∵CPE ＝∵CAD ，∵点E 是边CA 的中点，∵EA ＝EP ＝EC∵∵ECP ＝∵CPE ，∵∵ECP ＝∵CAD ，∵DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,∵)1PC a =∵)1tan 1a PC CAP PA a ∠===综上所述，tan CAP ∠11．【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．3．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是BC 的中点，点E 在边AB 上，将BDE 沿直线DE 翻折，使得点B 落在同一平面内的点B '处，线段BD'交边AB 于点F ，联结AB '，当AB F '是直角三角形时，BE 的长为_______．【答案】2或4017【分析】分两种情况讨论，当90AFB '∠=︒时，则90BFD ∠=︒，利用锐角三角函数先求解DF ，BF ，B F '，设=BE x ，再表示,B E EF '，再利用勾股定理求解x 即可得到答案；当90AB F '∠=︒时，如图，连接AD ，过E 作EH BD ⊥于H ，先证明：Rt ADC ADB '≌，再证明90ADE ∠=︒，设5BE x =，利用B 的锐角三角函数可得34,44,EH BH x DH x ===-， 105,AE x =- 利用勾股定理求解x 可得答案．【详解】解：6890AC BC C ==∠=︒，，，10AB ∴=，D 是BC 的中点，4BD CD B D '∴===，当90AFB '∠=︒时，则90BFD ∠=︒，3sin 5AC DF B AB DB ∠===， 125DF ∴=，165BF ∴==， 128455B F '∴=-=，设=,BE x 则B E '=x ，16=5EF BF x x =--， 222816,55x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,x ∴=即： 2.BE =当90AB F '∠=︒时，如图，连接AD ，过E 作EH BD ⊥于H ，同理可得：4CD BD B D '===，AD AD =，90C ∠=︒，()Rt ADC ADB HL '∴≌ADC ADB '∴∠=∠，BDE B DE '∠=∠，90,ADB B DE ADE ''∴∠+∠=︒=∠设5,BE x = 由3sin ,5AC EH B AB BE=== 3,4,EH x BH x ∴==44DH x ∴=-，()()222344,DE x x ∴=+-()22105,AE x =-2226452AD =+=， ()()()22210552344,x x x ∴-=++- 8,17x ∴=40517BE x ∴== 当90B AF '∠=︒，不合题意，舍去．综上：BE 的长为2或4017．故答案为：2或40.17【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论．4．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4,ACB AC BC CD ∠=︒==是ABC ∆的角平分线，将Rt ABC ∆绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，连接ED ，那么AED ∠的正切值为_______________________．【答案】3 7【分析】如图，过点D作DG∵AC于G，可得DG//BC，即可证明∵AGD∵∵ACB，可得34AG ACDG BC==，由CD是角平分线可得∵ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∵CC′A=45°，可得∵CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∵DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．【详解】如图，过点D作DG∵AC于G，∵∵ACB=90°，∵DG//BC，∵∵AGD∵∵ACB，可得34 AG ACDG BC==，∵CD是角平分线，∵∵ACD=45°，∵CG=DG，∵AC=3，AC=AG+CG，∵34DG+CG=3，即74DG=3，解得：DG=127，∵AG=97，157，∵将Rt ABC∆绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，∵AC′=AC ，AE=AB ，∵∵CC′A=∵ACD=45°，∵∵CAC′=90°，∵旋转角为90°，∵∵DAE=90°，∵AC=3，BC=4，∵AB=5，tan AD AD AED AE AB ∠===37．故答案为：37【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．5．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且1BE =，将CBE △沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE 的长为____．【答案】12+【分析】设AE x =，根据折叠的性质和矩形的性质得到1DE DC AB x ===+，证明AEF DEA ~，利用对应边成比例列式求出AE 的长．【详解】解：设AE x =，则1AB x =+，∵折叠，∵1BE EF ==，BEC FEC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∵//AB CD ，∵BEC DCE ∠=∠，∵FEC DCE ∠=∠，∵1DE DC AB x ===+，∵AC DE ⊥，∵90AFE DAE ∠=∠=︒，∵AEF DEA ∠=∠，∵AEF DEA ~， ∵AE EF DE EA=，即2AE DE EF =⋅，∵()211x x =+⋅，解得12x =或12（舍去），∵AE =．．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．6．（2021·上海九年级专题练习）在Rt△ABC 中，△C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么CD A'D 的值为____．【分析】先过C 作CE AB ⊥交AB 于E 点，根据题意求出AC 和BC ，由Rt ABC 面积公式求出CE ，再根据旋转的性质得'B B ∠=∠，'AC A C =，由'CE AA ⊥，则'AE EA =，并求出'A B ，利用对顶角相等得''A DB CDB ∠=∠，则''A DB CDB △△∽，最后根据相似三角形性质可得''''5CD CB CB A D A B A B === 【详解】过C 作CE AB ⊥交AB 于E 点， 2tan 3B =， 23AC BC ∴=，设2AC x =，3BC x =，在Rt ABC 中，13AB ===，x ∴=AC ∴=BC =1122ABC S BC AC AB CE =⋅=⋅， 6BC AC CE AB⋅∴==， 2tan 3CE B EB ==， 9EB ∴=，''Rt A B C 由Rt ABC 旋转而得，'B B ∴∠=∠，'AC A C =，'CE AA ⊥，'AE EA ∴=，1394AE AB EB =-=-=，'4AE EA ∴==，''945A B EB EA =-=-=，又''A DB CDB ∠=∠，''A DB CDB ∴∽，''''CD CB CB A D A B A B ∴==='CD A D ∴=．．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．（2021·上海九年级专题练习）在ABC 中，AB =45B ∠=︒，60C ∠=°．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将ADE 折叠得到'A DE ．连接'AA ，当'A E AC ⊥时，则线段'AA 的长为________．【答案】【分析】求出AC 的长,证明∵ADE∵∵ACB,推出AE AD AB AC=，由此求出AE 即可解决问题．【详解】解：过点A作AM∵BC,在Rt∵ABM中，AM=AB⨯sin45°=2AC= AM÷∵'A E AC⊥，∵AEA´=90°,∵∵ADE∵∵A´DE∵∵AED=∵A´ED=45°,∵∵AED=∵B,∵∵DAE=∵CAB,∵∵ADE∵∵ACB,AE ADAB AC=，=AE==【点睛】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用，翻折变换,全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．8．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若2CE BE=，ABC∆的面积等于15，那么FEC∆的面积等于______．【答案】4【分析】由□ABCD 可得AD=BC 、AD//BC,由2CE BE =可得AD=BC=3BE,过F 作FN∵BC 、FM∵AD,则∵ABC 的高为MN,∵AFD 的高为FM,再说明∵ADF∵∵CEF 和∵ENF∵∵DMF 进而得到53MN FM =,进而求得∵AFD 的面积，最后根据相似三角形的性质求得∵EFC 的面积即可．【详解】解：∵□ABCD∵AD=BC 、AD//BC∵2CE BE =∵AD=BC=CE+BE=3BE如图：过F 作FN∵BC 交BC 于N ，交AD 于M ，∵AD//BC ，∵FM∵AD ，∵∵ADF∵∵CEF ，∵ENF∵∵DMF ∵23EF EC DF AD ==，23FN EF FM DF ==, ∵53MN FM = ∵AD=BC ∵35AFD ABC SS =,即3155AFD S =，解得AFD S △=9 ∵2AFD CEF S AD S EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即2932CEF S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得CEF S △=4 故填：4．．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答本题的关键．9．（2021·上海金山区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于______．【答案】2【分析】根据题意画图，作AH∵CE 于H ，根据1tan tan 2CED BAC ∠==∠得出E BAC ∠=∠，由等边对等角得CGE ECG ∠=∠，根据三角形的内角和可得出AKC ECG ∠=∠，得出AK=AC ，利用等腰三角形三线合一得KH=CH ，再证出AH 为KCD △的中位线，可得出AK ，AD 的长，利用勾股定理求出AB ，AB+AD 即可得BD 的长．【详解】解：如图，作AH∵CE 于H ，∵1tan tan 2CED BAC ∠==∠， ∵E BAC ∠=∠，∵CE GE =，∵CGE ECG ∠=∠，∵AKC ECG ∠=∠，∵AK=AC=2，∵AH∵CE ，90ECD ∠=，∵KH=CH ，//AH CD ，∵AH 为KCD △的中位线，∵A 为DK 的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，∵90ACB ∠=，1BC =，2AC =，=∵BD=AD+AB=2故答案为：2+【点睛】本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．10．（2021·上海九年级二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在ABC 中，AB AC =，4BC =，且ABC 的面积为m ，如果ABC 存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN ，那么m 的取值范围是________．【答案】8≤≤m【分析】由ABC 的面积为m 可得ABC 的高为2m ，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可．【详解】解：∵ABC 的面积为m∵ABC 边BC 上的高为2m 如图：当高取最小值时，ABC 为等边三角形，A 与M 或N 或MN 上一重合重合，如图：过A 作AD ∵BC ，垂足为D∵等边三角形ABC ,BC =4∵∵ABC =60°,BC =4，∵BAD =30°∵BD =2,∵AD∵2m =m如图：当高取最大值时，菱形为正方形，∵A 在MN 中点， ∵42m =，即m =8∵8≤≤m ．故填：8≤≤m ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，3AB =，1tan 2B =，将ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝_________．【答案】3【分析】如图，过点F 作FG∵AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∵D=∵B ，求出2GD x =，23AG x =-，利用FG∵BC ，求得FG=2AG ，由此列得x=2（2x -3），求出FG=2，AG=1，利用勾股定理求出AF ，即可求得答案．【详解】如图，过点F 作FG∵AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∵D=∵B ，∵tan tan D B =， ∵12FG AC DG BC ==， ∵2GD x =，∵AD=AB=3，∵23AG x =-，∵∵FGA=90ACB ︒∠=，∵FG∵BC ，∵∵AFG=∵B ， ∵12AG FG =， ∵FG=2AG ，∵x=2（2x -3）解得x=2∵FG=2，AG=1，∵AF∵3BF =故答案为：3【点睛】此题考查锐角三角函数，勾股定理，旋转的性质，解一元一次方程，解题中运算等角的三角函数值相等是思想解决问题是解题的关键．12．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cot ADB的值为______．【答案】3【分析】先构造以∵ADB为内角的直角三角形，根据余切的定义求解即可．【详解】解：如图，作正方形ABEF关于直线AB对称的正方形ABGH，连接AG，BH，相交于点O；∵正方形ABGH，∵∵AOD=90°，OA=OB=12 AG，∵正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，∵正方形ABGH和正方形BCDE的边长相等，∵AG=BD=2OA，∵OD=OB+BD=3OA，∵在Rt∵AOD 中，cot ADB ∠=3OD OA OA OA==3．故答案为3．【点睛】本题考查了求角的余切值，掌握相关知识是解题的关键．13．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AB =，3BC =，点P 在边AC 上，P 的半径为1，如果P 与边BC 和边AB 都没有公共点，那么线段PC 长的取值范围是___________．【答案】71PC 3<<【分析】根据勾股定理得到AC=4，然后找出P 与边BC 、AB 相切的临界点，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AB =，3BC =，由勾股定理，则4AC =，当P 与边BC 相切时，则点C 恰好为切点，此时1PC =；当P 与边AB 相切时，如图，作PD∵AB ，∵∵A=∵A ，∵C=∵ADP=90°，∵∵ABC∵∵APD ， ∵AB BC AP PD=， ∵531AP =， ∵53AP =， ∵57433PC =-=； ∵线段PC 长的取值范围是713PC <<．故答案为：713PC <<．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 14．（2021·上海九年级专题练习）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC 和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，60B ∠=︒，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．【答案】33【分析】过点A 作AE∵CD ，交BC 于点E ，可证四边形ADCE 是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD 的长，利用“强相似点”的定义可得∵ABQ∵∵DQC ，则由相似三角形的性质可得AQ DC AB DQ=，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ 的方程，求解后即可求出AQ 的长．【详解】解：如图，过点A 作AE∵CD ，交BC 于点E ，∵在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，∵四边形ADCE 是平行四边形，∵AE ＝CD ＝AB ＝2，AD ＝CE ．∵60B ∠=︒，∵∵ABE 是等边三角形．∵BE ＝AE ＝AB ＝2．∵AD ＝BC －BE ＝6．∵点Q 是边AD 上的“强相似点”，∵∵ABQ∵∵DQC ． ∵AQ DC AB DQ=．设AQ ＝x ，则DQ ＝6－x ，即226x x =-．解得135x ，235x ．故答案为：33本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．15．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，点D E 、分别在边AB 、 AC 上，//DE BC ，将ADE沿直线DE 翻折后与 FDE 重合，DF 、EF 分别与边BC 交于点M 、N ，如果 8DE =，23AD AB =，那么MN 的长是 _____ ．【答案】4【分析】设3AB a =，从而可得2,a AD a BD ==，先根据平行线的性质可得,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠，再根据翻折的性质可得,2ADE EDM DF AD a ∠=∠==，从而可得B BMD ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得DM BD a ==，从而可得FM a =，最后根据三角形的中位线定理即可得．【详解】设3AB a =，则2,BD D a A a A AB D =-==，//DE BC ，,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠∴，由翻折的性质得：,2ADE EDM DF AD a ∠=∠==，B BMD ∴∠=∠，DM BD a ∴==，FM DF DM a DM ∴=-==，即点M 是DF 的中点，又//DE BC ，MN ∴是FDE 的中位线，118422MN DE ∴==⨯=，故答案为：4．本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．16．（2021·上海九年级专题练习）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，，84BD CD ∴==，，8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴=//AN BC ，,ANM DEM ∴∽1AN AM DE DM∴==， 8,AN a ∴=-//AN BC ，,ANF CEF ∴∽,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b-=-+- ∴ 10432,b a ab +-=510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴=故答案为：2.【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．17．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在△ABC 中，△B=45º，△C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D的值为______．【分析】由旋转得出∵1BDB =75°，在∵1BDB 中，过点B 作BM∵1B D 于M,设11BB x B D ==,由勾股定理计算出BD 的长，由此解答即可．【详解】解：由题意知1AB AB =，AC∵BB 1，45B =∠°，∵C=60°，∵11CAB ABB AB B ==∠∠∠=75°∵∵11AB C =∵ABC =45°∵∵1BB D =30°，则∵1BDB =75°在∵1BDB 中，过点B 作BM∵1B D 于M,设11BB x B D ==在Rt∵BMB 1中，∵1B =30°∵BM=12x ，1B M x =∵DM x =则x == ∵1BD B D【点睛】本题考查了旋转知识平行线的性质和勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键．18．（2021·上海浦东新区·九年级一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC 中，△C=90°，AC=12，BC=5，AD△AB ，AD=0.4，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF△CE 交DE 于点F ，那么BF=______．【答案】2625【分析】分别过点C 、B 作CH∵AB ，BG∵EF ，垂足分别为点H 、G ，先根据勾股定理得到AB=13，进而可求得CH=6013，再证明FBE∵ACB ，根据相似三角形的性质可得BF BG AC CH=，由此计算即可．【详解】解：如图，分别过点C 、B 作CH∵AB ，BG∵EF ，垂足分别为点H 、G ，∵∵ACB=90°，AC=12，BC=5，13==，∵CH∵AB，∵CH=6013 AC BCAB⋅=，∵DE//AB，BG∵DE，AD∵AB，AD=0.4，∵BG=AD=0.4，∵FEB=∵ABC，∵BF∵CE，∵ACB=90°，∵∵ACB=∵FBE=90°，∵∵FEB=∵ABC，∵ACB=∵FBE=90°，∵FBE∵ACB，又∵CH∵AB，BG∵EF，∵BF BG AC CH=，∵0.460 1213 BF=，解得：2625 BF=，故答案为：26 25．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，根据题意得到BF BGAC CH=是解决本题的关键．19．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，点D 、E 、F 分别位于ABC 的三边上，且//DE BC ，//EF AB ．如果ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，那么四边形BFED 的面积是________．【答案】8【分析】根据平行线的性质可得∵AED=∵C ，∵A=∵CEF ，从而证出∵ADE∵∵EFC ，然后根据相似三角形的性质即可求出AE EC，从而求出AE AC，然后利用平行证出∵ADE∵∵ABC ，根据相似三角形的性质求出ADE ABC S S ，即可求出ABC S ，最后根据S 四边形BFED =ABC S－ADE S －CEF S △即可证出结论．【详解】解：∵//DE BC ，//EF AB∵∵AED=∵C ，∵A=∵CEF ∵∵ADE∵∵EFC∵ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，∵12AE EC ==== ∵31AE AC = ∵//DE BC ∵∵ADE∵∵ABC∵219ADE ABC S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ∵219ABC S =△∵18ABC S =∵S 四边形BFED =ABC S －ADE S －CEF S △=8故答案为：8．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．20．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABCD 中，点E 在边BC 上，将ABE △沿直线AE 翻折得到AFE △，点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上，线段AF 的延长线交边CD 于点G ，如果:3:2BE EC =，那么:AF FG 的值等于__________．【答案】214【分析】由轴对称的性质可得：BEA FEA ∠=∠，BE FE =，ABE AFE ∠=∠，结合平行四边形的性质，结合:3:2BE EC =，设3,BE k =则2EC k =，证明5BC AD DE k ===，再证明ADG DFG ∽△△，可得：5522AD DG AG k DF FG DG k ====，求解：25,52FG DG AG DG ==，从而可得答案．【详解】解： ≌ABE AFEBEA FEA ∴∠=∠，BE FE =，ABE AFE ∠=∠，ABCD//AD BC ∴，AD BC =，B ADC ∠=∠，BEA DAE FEA ∴∠=∠=∠AD DE ∴=:3:2BE EC =∴ 设3,BE k =则2EC k =，5BC AD DE k ∴===，2DF k ∴=，DFG AFE ∠=∠，DFG ADG ∴∠=∠，DGF AGD ∠=∠，ADG DFG △∽△，5522AD DG AG k DF FG DG k ∴====， 25,52FG DG AG DG ∴==， 254AG FG ∴=， 2544AG FG FG --∴=， 214AF FG ∴=，故答案为：21.4 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．21．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果::CF CA a b =，那么:BE AE 的值为____．（用含a 、b 的式子表示）【答案】a b a- 【分析】过点B 作BH∵AC 交EF 于点H ，先证明∵BDH∵∵CDF ，得出BH=CF ，再根据BE BH AE AF =得出=BE BH CF AE AF AF=即可得解．【详解】解：过点B 作BH∵AC 交EF 于点H ， ∵BE BH AE AF=，∵C=∵DBH, ∵点D 是边BC 的中点，∵BD=CD ，∵∵BDH=∵CDF ，∵∵BDH∵∵CDF ，∵BH=CF ， ∵=BEBH CF AEAF AF =， ∵CF a CAb =， ∵CF a AFb a =-， ∵BE a AE b a=-，故答案为： a b a -．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线． 22．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．【答案】2 3【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．【详解】解：如图，延长CG与AB交于点D，过D作DE∵CB于点E，∵G是∵ABC 的重心，∵CG=2GD，∵CG=2，∵GD=1，∵CD=2+1=3，∵∵ACB=90°，∵AC∵CB，∵AC∵DE，∵D是AB中点，∵E是CB中点，∵CE=122CB=，∵cos∵GCB=23CECD=，故答案为23．【点睛】本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键．23．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于_________．【答案】5【分析】由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ∆≅∆，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ∆≅∆，故可得Rt DAB Rt BED ∆=∆，再证明Rt BCDRt CDF ∆∆求得CD=2，在Rt AEF ∆中由勾股定理可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵BED 是由∵BCD 翻折得到，∵Rt BCD Rt BED ∆≅∆，CE BD ⊥，∵4AD BC ==，AB CD ED ==，∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC ，AB=CD ，又BD=DB∵Rt DAB Rt BCD ∆≅∆∵Rt DAB Rt BED ∆≅∆∵AB ED =，ABD EDB ∠=∠∵四边形ABDE 是等腰梯形，∵CE BD ⊥，//AE BD∵CE AE ⊥，∵EAD ADB DBC =∠=∠∵∵90,90DBC FCB FBC FCD ︒︒+∠=∠+∠=∵∵DBC FCD =∠∵Rt BCDRt CDF ∆∆ ∵FD CD CD BC =，即14CD CD = ∵2CD =或-2（舍去）在Rt DCB ∆中，21tan 42CD DBC BC ∠===， ∵∵EAD DBC =∠ ∵1tan 2EAD ∠= 在Rt AEF ∆中，12EF AE =由勾股定理得，222AE AF EF =- 即2221()()2AE AD FD AE =-- ∵2221(41)4AE AE =--解得：AE =．．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．24．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．【答案】6【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt∵CDG 中运用正弦的定义建立方程求解即可．【详解】根据题可知，∵ADE 为等边三角形，即：AD=DE ，根据正方形的性质可知DE=DG ，DG∵BC ，∵C=60°，设AD=x ，则DG=x ，DC=AC -AD=2-x ，∵在Rt∵CDG 中，DG sinC CD=，即：6022DG x sinC sin CD x =︒===-解得：6=x ，经检验6=x 是上述分式方程的解，故答案为：6．【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．25．（2021·上海徐汇区·九年级一模）《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH 面积的13倍，那么ABE ∠的余切值是_____．【答案】32【分析】根据题意可设小正方形EFGH 面积是2a ，则大正方形ABCD 的面积是213a ，则小正方形EFGH 边长是a ，则大正方形ABCD ，设AE=DH=x ，利用勾股定理求出x ，最后利用三角函数即可解答．【详解】设小正方形的面积为2a ，则大正方形的面积为213a ，其中0a >，∵EF a =，AB =，∵∵ADH∵∵BAE ，∵DH AE =，设DH AE x ==，则AH x a =+，则：()22213x a x a ++=，解得：12x a =，23x a =-（舍去），∵2AE a =，3BE a =，∵3322BE a cot ABE AE a ∠===，故答案为：32．【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，以及余切函数的定义，准确根据题意解直角三角形是解题关键． 26．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．【答案】6【分析】过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ，过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF ，再通过解直角三角形求出CH ，即可解得答案．【详解】解；过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ， ∵4sin =5EF ADE ED ∠=，又∵5ED =，∵4EF =，∵3DF ==，又∵114622ECD S CD EF CD =⋅=⋅=， ∵3CD =，6CF =，过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，∵90AHB ∠=︒，又∵120ABC ∠=︒，∵60ABH ∠=︒，∵12AB =， ∵1cos 602BH AB ︒==，sin 60AH AB ︒==AH =在CEF △和ACH 中，tan EF AH ACH CF CH∠==即46=CH =6BC CH BH =-=【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理，解题的关键是根据题意做出辅助线．27．（2021·上海）已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，sin A =，把ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转()0360αα︒<<．将点A 、B 的对应点分别记为点A '、B '，如果AA C '△为直角三角形，那么点A 与点B '的距离为______．【答案】【分析】先解Rt∵ABC 求出BC 和AC ，利用旋转的性质求出'BC BC =='90ACA ∠=︒时，再分B '在AC 上和B '在AC 的延长线上两种情况作出图形，即可求解．解：在Rt∵ABC 中，由题意得，sin 10BC AB A ===AC ===又因为旋转，则'BC BC ==当'90ACA ∠=︒时，有两种情况，（1）如图1，B '在线段AC 上时，''AB AC BC =-==（2）如图2，B '在线段AC 的延长线上时，''AB AC BC =+==故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数和旋转的性质，掌握利用正弦求边长，并且要有一定的空间想像能力是解题关键． 28．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，CD BD =，12CE AB =，AD 与CE 交于点F ，如果6AB =，那么CF 的长等于__________．【答案】2【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得点E 为斜边AB 的中点，推出DE 为Rt ABC △的中位线，通过ACF DEF 可得出最终结果．【详解】解：CD BD =，∴点D 为BC 边的中点， ABC 为直角三角形，12CE AB ==3， ∴点E 为斜边AB 的中点，如图，连接DE ，DE 为Rt ABC △的中位线，则//DE AC 且12DE AC =， ACF DEF ∴，∴12DE EF AC CF ==，已知CE=3，∴CF=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质，还涉及中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，做出辅助线证明相似求解是解决本题的关键．29．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，CD BD =，CE=BE ，AD 与CE 交于点F ，如果6AB =，那么CF 的长等于_________．【答案】2【分析】连接DE ，根据等腰三角形的性质得到DE∵BC ，推出AC∵DE ，证得∵BDE∵∵BCA ，得到12DE BD BE AC BC BA ===，求出CE=BE=AE=3，证明∵ACF∵∵DEF ，得到12DE CF AC EF ==，推出CF=2EF ，由此求出答案．【详解】连接DE ，∵CD BD =，CE=BE ，∵DE∵BC ，∵90ACB ∠=︒，∵AC∵DE ，∵∵BDE∵∵BCA ， ∵12DE BD BE AC BC BA ===， ∵AC=2DE ，AB=2BE ，∵AE=BE ，∵CE=BE=AE=3，∵AC∵DE ，∵∵ACF∵∵DEF ，∵12DE CF AC EF ==, ∵CF=2EF ，∵CF=2，故答案为：2．【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理并熟练应用解决问题，题中证明∵BDE∵∵BCA 求出CE=3是解题的关键．30．（2021·上海九年级二模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，点D 为AB 中点，将ACD △沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，设BC a =，DB b =，那么向量DE 用向量a ，b 表示为________．【答案】2a b +【分析】在Rt ABC 中，点D 为AB 中点，可以推出CD ＝12AB ＝AD ＝BD ，由等边三角形判定推出∵ACD 为等边三角形，由翻折的性质可∵ECD 为等边三角形，∵EDC ＝∵ACD ＝60°，DE ＝AC 且DE //AC ，即=DE AC ，根据向量的加法求出AC 即可．【详解】解：将ACD △沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，如图，在Rt ABC 中，点D 为AB 中点，∵CD ＝12AB ＝AD ＝BD ， ∵60A ∠=︒，∵∵ACD 为等边三角形，∵∵ECD 由∵ACD 沿CD 翻折得，∵∵ECD 为等边三角形，∵DE ＝DC ＝AC ，∵EDC ＝∵ACD ＝60°∵DE //AC ，∵=DE AC∵设BC a =，DB b =，∵=AD DB b =，即2AB b =∵=2AC AB BC b a +=+即DE ＝2a b +，故答案为：2a b +【点睛】本题考查了向量的加法运算，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，翻折的性质，找出=DE AC 是解题的关键．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021中考考点必杀500题专练12（几何压轴题）（30道）1．（2021·上海九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，点P 在边BC 上（点P 与端点B 、C 不重合），以P 为圆心，PB 为半径作圆，圆P 与射线BD 的另一个交点为点E ，直线CE 与射线AD 交于点G ．点M 为线段BE 的中点，联结PM ．设,==BP x BM y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结AP ，当//AP CE 时，求x 的值；（3）如果射线EC 与圆P 的另一个公共点为点F ，当CPF 为直角三角形时，求CPF 的面积．【答案】（1）582⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭y x x ；（2）4；（3）6 【分析】（1）勾股定理求出BD 长，利用三角函数求解析式，根据点P 和点G 的位置确定该函数的定义域； (2) 设4=EH k ，则8,8,==-=BH k PH k x PE x ，根据勾股定理列方程即可；(3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长即可．【详解】解：(1)由勾股定理，BD == ∵点M 为线段BE 的中点， ∵PM ∵BE ，Rt BMP 中，cos=∠=BM CBD BP ，解得5y x =，点P 与端点C 不重合，所以8x <，当直线CE 恰好经过A 点时，BE=12BD=BM =52x =，该函数的定义域为：582x ≤<．（2）过点E 作EH BC ⊥于点H ，若CE //AP ，可知=AB EHBP HC设4=EH k ，则8,8,==-=BH k PH k x PE x由勾股定理，可得222(4)(8)=+-x k k x ，解得5x k =所以44588=-k k k ，解得=k （负根舍去）所以54===-BP x k（3）①若90PFC ∠=︒，由垂径定理，可知E 、F 重合，不符合题意； ②90PCF ∠=︒时，此时E 与D 重合，2224(8)x x =+-，解得5x = 所以13,4,3462====⨯⨯=CPFCP CF CD S③90CPF ∠=︒时，过点E 作EQ BC ⊥，交BC 延长线于点Q43,,,855======-PB PE PF x EQ x PQ x PC x 由//PF EQ ，可得54==CP PF CQ EQ ，所以59=CP PQ 代入数据，53895-=⨯x x ，解得16,6262==⨯⨯=PCFx S 综上，PCF 的面积为6．【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形、圆的有关性质，解题关键是熟练综合运用所学知识，进行推理计算，注意：分类讨论思想的运用．2．（2021·上海九年级专题练习）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，12A O ∠=∠．已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，3tan 4OAC ∠=．（1）求弦AC 的长．（2）当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值．（3）当1OE =时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．【答案】（1）8；（2）1tan 3DCA ∠=；（3）当1OE =时，AD 的长是【分析】（1）如图1，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==，运用勾股定理和3tan 4OAC ∠=可求解出结果；（2）由相似和一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可得到DOE A ∠=∠，//OD AC ，通过相似比可求出AE 的长，作EG AC ⊥垂足为G ，得到//GE OH ，再运用相似比求出EG 和CG 的长，即求出最终结果；（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交∵O 于M ，通过3tan 4OAC ∠=得到AG 和EG ，再通过勾股定理求出CE 的长，通过MDECAE 求出DE 的长，最后在运用勾股定理运算即可；如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，运用同样的方法可求出第二个结果．【详解】（1）解：如图3，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==， ∵在t R OAH ∆中3tan 4OH OAC AH ∠==，设3,4OH x AH x ==， ∵在t R OAH ∆中，可得：222OH AH OA +=，由∵O 的半径为5可得：()()222345x x +=，解得：1x =±，（1x =-舍去）∵3,4OH AH ==， ∵28AC AH ==．(2)∵DEO AEC ∠=∠，∵当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：DOE A ∠=∠或者DOE ACD ∠=∠；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：12ACD DOE ∠=∠， ∵ACD DOE ∠≠∠∵当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在DOE ACD ∠=∠情况． ∵当DOE ∆与AEC ∆相似时，DOE A ∠=∠， ∵//OD AC ，∵OD OEAC AE=； ∵5,8OD OA AC ===，得558AE AE -=，∵4013AE =；）作EG AC ⊥垂足为G ，可得：90AGE AHO ∠=∠=，∵//GE OH ，∵AE EG AGAO OH AH==即4013534EG AG ==， ∵2413EG =，3213AG =，327281313CG =-=，∵在t R CEG ∆中，24113tan 72313EG DCA CG ∠===．（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交∵O 于M ，连接DM ，AD ，EG AC ⊥， OE=1，∴AE=4，ME=6，又3tan 4OAC ∠==EG AG，同（1）中的计算方法，AG=165，125EG =，∴1624855CG =-=，∴CE ==又DME ECA MDE EAC ∠=∠∠=∠，，MDECAE ∴，MD MEAC CE∴=，∴85MD =，∴MD=AD ∴===如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，3tan 4OAC ∠==EG AG， OE=1，AE=6，ME=4，同理可得，AG=245，185EG =，2416855CG ∴=-=，5EC ∴==，同理DMEACE ，ME DMCE AC∴=，85DM，29DM ∴=，29AD ∴===，∴当1OE =时，AD 的长是【点睛】本题考查圆的综合运用，难度比较大，涉及圆的基本性质，相似三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，需要有较强的数形结合能力，根据条件添加适当的辅助线是和解决本题的关键．3．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =，点D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2；（3BP <<【分析】（1）证明∵BPQ∵∵BAC 即可；（2）由∵PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∵B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CDCP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q作QE∵AC 交AC 于E ，则∵QED=∵PDQ=90C ∠=︒，证明∵EQD∵∵CDP ，得到QE EDCD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∵BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，1DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 60CD =︒BP = 【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∵4AB ==，∵BC AB ==，∵2BQ BP =，∵BQ BP =， ∵BQ BCBP AB=， ∵QBP CBA ∠=∠，BPQBAC ∴，∵90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∵ABC中，tan AC B BC ===∵∵B=30，∵9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒，∵2AC =，点D 为边AC 的中点， ∵CD=1，∵tan 30CDCP ︒===，BP BC CP ∴=-=当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∵AC 交AC 于E ，则∵QED=∵PDQ=90C ∠=︒， ∵∵EQD+∵EDQ=∵EDQ+∵CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE EDCD CP∴=，设BP t =，过点Q 作QF∵BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形， ∵∵B=30，∵BQP=90︒， ∵PQ=12t ， ∵60QPB ∠=︒， ∵cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∵1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=6t ∴=或6t =（舍去），综上，BP（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=m ∴=；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∵60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1，∵PC=tan 60CD =︒∵BP =综上：33BP <<．．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．4．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53 【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∵ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∵AOP 和∵OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一：作OG BC ⊥， ∵BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二：连接AC ，∵AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=；（2）∵AO=OP ，∵∵PAO=∵P ， ∵P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPE OPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠， C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠，CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠， AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠，即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∵DH//OP ，∵∵ADH∵∵APO ， ∵23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=， ∵AB=4，∵OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==， ∵DH//OP ，∵∵BOE∵∵BHD ， 28433EO OB EO DH HB ∴===， 1EO ∴=，AHD AOED HOED S S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∵∵ACD∵∵PED ，∵ACB∵∵OEB ，2AD DP =， ∵2CD AC AD DE PE DP===， 2AC EP ∴=，又,AO BO = ∵=2CB AC AB BE OE BO==， 2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∵AO=OP ，∵∵PAO=∵APO ，∵PAO+∵APO=∵EOB=60°，∵30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅ 4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．5．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．【答案】（1）FB =（2）()243604520x y x x +=<<+；（3）94AD =或32或78．【分析】29)(944x x ++ 【详解】（1）在Rt∵ABD 中，AD=1，AB=3，==，∵//AM BC ，∵∵ADF∵∵CBF ， ∵F AD CB DF B ==14， ∵BF=4DF ，∵FB =（2）∵∵ADF∵∵CBF ， ∵4DF BF AF AD x CF CB ===，，∵BF=4x +，DF=4x+，在Rt∵ABC 中，AB=3，BC=4，=5， ∵AF=54x x+， ∵AM∵BC ，∵∵CAD=∵C ，∵DBE C ∠=∠，∵∵CAD=∵DBE ，∵∵AFD=∵BFG ，∵∵ADF∵∵BGF ， ∵F GBF A DF F =， ∵AF FG BF DF ⋅=⋅，∵FG y =，∵5444x y x x x⋅=+++， ∵()243604520x y x x +=<<+；（3）∵∵ADF∵∵BGF ， ∵D GBG A DF F =，∵42054BG x x=++，∵BG = ∵AM∵BC ，∵∵DBE=∵C ，∵DEB=∵CBG ，∵∵BDE∵∵CGB ，∵BE CG BC BD ⋅=⋅，∵4xBE =-，∵GE=BE - ∵AM∵BC ，∵∵DEG∵∵HBG ，∵DE BG BH EG ⋅=⋅， ∵BH=29)(944x x ++，分三种情况：①当BD=BH 时，29()494x x =++78x =； ②当BD=DH 时，则BH=2AD=2x ， ∵29)24(94x x x ++=，解得x=32；③当BH=DH 时，过H 作HP∵BD 于P ，此时BP=12BD =， ∵∵ABD+∵PBH=∵ABD+∵ADB=90︒，∵∵ADB=∵PBH ，∵∵BAD=∵BPH=90︒,∵∵ABD∵∵PHB ，∵BP BD BH AD ⋅=⋅， ∵229)92(449x x x =+++，解得x=94，综上，线段AD 的长为94或32或78．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH 的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH 的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH ，这是此题的难点．6．（2021·上海）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3．【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+，再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系；（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB中，AD =AB ∴==142ADB SDB AC ∴=⋅= 12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==；（2）过E 作EH∵CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒ ∵ACD EHD ．∵AC EH CD DH = 即44EHx x EH=--． ∵()444x EH x -=+ ．∵EH∵CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∵)44x EB x -==+ ，AB =∵)44x AE x -=+∵EF AD ⊥，90C ∠=︒ ∵AFG ADC ∠=∠ ． ∵EDB ADC ∠=∠ ∵AFG EDB ∠=∠． ∵45FAE B ∠=∠=︒ ∵AFEBDE ．∵AF AE DB BE =即)4444x yxx --=-+整理得，()2402y x x =-+<≤；（3）在Rt∵MDB 中，DB=4-x, 所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∵ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan∵DAB=44DM xAM x-=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∵CDF 与∵AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x. 如图，如果∵FDC=∵DAB ，由tan∵FDC=tan∵DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∵CFD=∵DAB ，由tan∵CFD=tan∵DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∵FDC=∵DAB,由44y x x x-=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或（舍去）如果∵CFD=∵DAB, 44x xy x-=+与y=2x -4 整理，得238160.x x -+= 此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．7．（2021·上海九年级专题练习）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQMN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35．【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt∵ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 ∵BCG∵∵DCN ，得到角相等，再由角相等，得∵GMC∵∵NMC ，由DN DC =解答即可；（3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∵CPD=∵CND=∵MNC ，再得∵CPQ∵∵CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC∵4AB AD ==，3CB CD == ∵AC 垂直平分BD ∵∵ACB=∵ACD=12∵BCD=∵MCN 在Rt∵ABC 中，AB=4，AC=35==∵sin MCN ∠=sin∵ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ， ∵CB=CD ∵CBG=∵CBN=90° ∵∵BCG∵∵DCN∵∵G=∵CND ，CN=CG ，∵BCG=∵DCN∵∵MCN=12∵BCD ∵∵MCB+∵NCD=12∵BCD∵∵GCM=∵GCB+∵GCM=12∵BCD=∵MCN∵CM=CM ， ∵G=∵CND, ∵∵GMC∵∵NMC ∵∵G=∵MNC=∵DNC 当DN=NC 时 ∵DNC=∵DCN=45° ∵∵DNC=∵CNM=45°（3）连接NP , ∵∵ADC=∵ADO+∵CDO=90° ∵ADO+∵CDO=90° ∵∵ADO=∵COD=12∵BCD=∵MCN ∵∵NDP=∵NCP∵D 、C 、N 、P 四点共圆， ∵∵NPC+∵NDC=180° ∵∵NDC=90° ∵∵NPC=90° ∵∵CPD=∵CND=∵MNC ∵∵CPQ∵∵CNM ∵PQ CPMN CN= 在Rt∵CPN 中，CPCN =cos∵MCN=cos∵ACB=35∵不会发生变化35PQ MN =【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海九年级专题练习）已知⊙MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，⊙EBD =⊙MAN ，且CE ⊙BD ，sin⊙MAN =35， AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在⊙MAN 外部时，设AD =x ，⊙BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<．【分析】（1）根据CE∵BD ，得出∵CEB=∵DBE ，∵DBA=∵BCE 结合题干证明出∵ABD∵∵ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∵CEB∵∵CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ．（3）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∵ECB∵∵ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∵CE∵BD ， ∵∵CEB=∵DBE ，∵DBA=∵BCE ． ∵∵A=∵DBE ， ∵∵A=∵BEC ． ∵∵ABD∵∵ECB ， ∵AD EBAB EC＝． ∵AD DFAB BC=， ∵EB DFEC BC=， ∵DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．∵CE∵BD ， ∵∵CEB=∵EBD=∵A ，又∵∵BCE=∵ECA ， ∵∵CEB∵∵CAE ， ∵CE CACB CE=， ∵2CE =CB CA ⋅． ∵AB=5，AC=9，∵BC=4，∵24936 CE==⨯，∵CE=6．∵BD AB CE AC=，∵561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∵ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，4．==．AD=4．（3）过点B作BH∵AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∵∵ECB∵∵ABD，∵22EBCADBS BCS BD△△＝．∵1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∵21638252yx xx=-+，∵224825xyx x=-+．定义域为4433x-<<+．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海九年级专题练习）四边形ABCD是菱形，⊙B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊙AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当⊙B=90°时，求ABES与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当⊙AFE=⊙B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =，设,CF a = 再设DH x =，利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==，设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒，∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒， 90BAE BEA ∴∠+∠=︒，,EF AE ⊥90BEA CEF ∴∠+∠=︒，,BAE CEF ∴∠=∠,BEA CFE ∴∽BE ABCF CE ∴=， ,BE CF AB CE∴= 3,EC CF = 3,AB BE ∴=设,,CF a BE b ==3,CE a ∴=3,AB BC b a ∴==+而33,AB BE b ==33,b a b ∴+=3,2b a ∴=9,2AB a ∴=22992.34ABE CEFaS AB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===，设,DH x =22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴=,DH a ∴=1cos ,55DH a D DF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠1cos .5B ∴= （3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠23,CF CE CF ==，6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y ==则2,DC AD x ==+,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ，,//,B D AB CD ∴∠=∠,B ECH ∴∠=∠,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽,EH HF EF DF ADAF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+=即菱形ABCD 的边长为：17.【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．10．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED ED B AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可．（3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1） PD QD ⊥，ED AB ⊥∵A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∵ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△， ∵EQ ED AP AD= 又点D 为斜边AB 的中点， ∵AD BD = ，EQ ED ED AP AD BD== 又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQ B BD AD AP ==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10 D 为AB 中点，∵BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254 AP x =，可得34EQ x =， BQ BE EQ =-，253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD∠====， ∵FPD B ∠=∠，又∵PDF BDQ ∠=∠，∵PDF BDQ △△， ∵PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =，253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．11．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2EAD ∠=．点F 是线段AE 上一点，连接BF ，CF ．（1）如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如果12CF BC =． ①求证：CFE DAE ∠=∠；②求线段EF 的长．【答案】（1）5；（2）①证明见解析；【分析】（1）如图：作FG AB ⊥，设AG k =、FG=2k,然后用k 表示出BG ，在根据AG+BG=AB 求出K 即可完成解答；（2）①作CG EF ⊥，先用矩形的性质和解三角形的相关知识求得EG 、CG 、FG ，最后说明1tan tan 2CFE DAE ∠==∠即可证明； ②直接运用线段的和差计算即可．【详解】解：（1）如图：作FG AB ⊥，设AG k =， ∵1tan 2EAD ∠=∵1tan 2AG GFA FG ∠==,即22FG AG k ==， ∵3tan 4CBF ∠= ∵4tan 3ABF ∠=， ∵43FG BG =，即3342BG FG k == ∵AG+BG=AB∵362k k+=．∵125k=，∵AF====（2）作CG EF⊥，①∵矩形ABCD∵BC=AD=8,CD=AB=6∵12CF BC==4∵1 tan2DEEADAD∠==∵182DE=即DE=4, tan2FED∠=∵CE=CD-DE=6-4=2,∵∵CEG=∵DEA∵tan∵CEG=tan∵DEA=2∵tan∵CEG=2=CG EG设EG=m,则CG=2mCE=,2=，解得∵EG=CG=∵FG===∵1tan tan2CFE DAE∠==∠∵CFE DAE ∠=∠；②EF FG EG =-==．【点睛】本题属于三角函数的综合题，主要考查了解三角形、正切以及勾股定理等内容，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．12．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）x =x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠；（2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x y x x-=+-，故可求解；（3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解．【详解】解：（1）∵90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∵ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDF EAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∵FAD FCD △∽△∵2AB DC ==，1AD =， ∵12DE AD DF CD == ∵1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△ ∵12EA DE AD FC DF CD === ∵22FC EA x ==∵AB //CD∵FCH FBE △∽△， ∵FC CH FB BE= ∵22212x y x x -=+- ∵222(02)21x y x x +=<<+，（3）∵AE x =，DH y =，过点E 作EM∵CD 于M 点，∵四边形AEMD 为矩形∵MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∵2BE x =-，DE =EH =∵AB //CD∵AEG CHG △∽△ ∵EG AE HG CH= ∵EG AE EH AE CH=+ ∵AE EG EH AE CH =⋅+ ∵BEG DHE ∠=∠，若BEG DHE △∽△， ∵BE EG DH HE= ∵BE AE DH AE CH =+ 即22x x y x y-=+- 化简得2240x y +-= ∵22221x y x +=+ ∵222212240x x x +⨯-++= 化简得22508x x +=-解得x =x =若EGB HDE △∽△ ∵BE EG EH HD= ∵2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+ 即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∵22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++= ∵=372-4×26×20=-711＜0，综上，x =x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3．（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据正切可求出AH =2x ，再根据勾股定理解出x 即可．（2）作//DE BC 交AC 于点E ，利用三角形面积公式可求出BF 的长，再利用勾股定理可求出CF ，从而得到AF ．再利用ADE ABC 和DEF GCF 结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明C DQF ∠=∠，所以分两种情况讨论①当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，BE x =，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长②当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，同理设BE x =，解出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长．【详解】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据题意，tan 2AH ABC BH∠==， ∵AH =2x ，在Rt ABH 中，222AB AH BH =+，∵222(2)x x =+解得x =5．∵BH = 5．又∵ABC 是等腰三角形，即H 点为BC 中点，∵BC =2BH =10．（2）根据题意可知1122ABC S AH BC BF AC =⨯⨯=⨯⨯，即1010BF ⨯=⨯∵BF=∵CF===，AF AC CF=-==．作//DE BC交AC于点E，∵ADE ABC，得到：DE AEBC AC=，即10DE=．DEF GCF，得到：DE EFCG CF=．又∵EF AF AE AE=-=∵4DE=由104DEDE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3DE=，AE=．∵//DE BC，ABC是等腰三角形，∵ADE也是等腰三角形，∵AD AE==（3）∵90BQE QBE∠+∠=︒，90C QBE∠+∠=︒，∵BQE C∠=∠，又∵BQE DQF ∠=∠，∵C DQF ∠=∠当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，设BE x =，∵tan tan tan tan 2ABC C BQE DQP ∠=∠=∠=∠=, ∵2x QE =，∵2BQ x ===，∵QF BF BQ =-=，∵124QP PF QF x ===， ∵tan 2DQP ∠=,∵5104DQ x ==-， ∵531010424x DE DQ QE x x =+=-+=-， ∵tan 2DE ABC BE ∠==，即31042x x-=，解得x =4011，经检验是原方程的解，即4011BE =．∵11BD ==．当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，设BE x =，同理2x QE =，2BQ x =，2QF x =， ∵ tan tan 2OQF BQE ∠=∠=,∵142OQ x ==-， ∵28DQ OQ x ==-， ∵8822x x DE DQ QE x =+=-+=+，同理∵tan 2DE ABC BE ∠==，即822x x+=，解得165x =，经检验是原方程的解，165BE =．∵BD == ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论． 14．（2020·上海九年级二模）如图，在O 中，半径O 长为1，弦//BC OA ，射线BO ，射线CA 交于点D ，以点D 为圆心，CD 为半径的D 交BC 延长线于点E ．（1）若85BC =，求O 与D 公共弦的长；（2）当ODA 为等腰三角形时，求BC 的长；（3）设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）4825CM =；（2）BC =（3）22(12)1x x y x x -=<<-．【分析】（1）设CM 是两圆的公共弦，CM 交BD 于N ，交OA 于K ，BD 交O 于G ，连接OC 、CG 交OA 于H ，由题意易得OA CG ⊥，CH HG =，进而可证KON KCH ∠=∠，1425OH BC ==，最后根据勾股定理及相似三角形的性质可求解；（2）当OAD △是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA AD =，则有AOD ADO COA ∠=∠=∠，设AC x =，则有2OC CA CD =⋅，进而求出x ，最后求解即可；（3）作DN CE ⊥于N ，根据题意可证AOC CDE B ∠=∠=∠，进而有BE BD =，则可得BG BC GD CN =，最后进行求解即可．【详解】解：（1）如图1中，设CM 是两圆的公共弦，CM 交BD 于N ，交OA 于K ，BD 交O 于G ，连接OC 、CG 交OA 于H ，∵BG 是直径，∵90BCG ∠=︒，∵//BC OA ，∵90OHG BCG ︒∠=∠=，∵OA CG ⊥，∵CH HG =，∵CM BD ⊥，∵90ONK CHK ︒∠=∠=，∵OKN CKH ∠=∠，∵KON KCH ∠=∠，∵OG OB =，CH HG =， ∵1425OH BC ==， ∵1OC =，∵35CH HG ===， ∵OGH CGN ∠=∠，GCN GOH ∠=∠，∵GCN GOH ∽△△， ∵CN CG OH OG=， ∵65415CN =， ∵2425CN =， ∵48225CM CN ==．（2）如图2中，当OAD △是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA AD =，∵AOD ADO COA ∠=∠=∠，∵OCA OCD ∠=∠，∵OCA DCO ∽△△，设AC x =，则有2OC CA CD =⋅，∵1(1)x x =+，∵12x -=或12--（舍弃），∵CD CA AD =+ ∵//OA BC ，∵AOD B ODA ∠=∠=∠，∵BC CD ==；（3）如图3中，作DN CE ⊥于N ，∵DC DE =，∵DCE E ∠=∠，∵//BC OA ，∵OAC DCE OCA ∠=∠=∠，∵AOC CDE B ∠=∠=∠，∵E BDE ∠=∠，∵BE BD =，∵CG BE ⊥，DN BE ⊥，∵//CG DN ， ∵BG BC GD CN=， ∵22x y DG =， ∵y DG x=， ∵BD BE =， ∵2y x y x+=+， ∵22(12)1x x y x x -=<<-．【点睛】本题主要考查圆的综合运用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2020·上海浦东新区·九年级三模）已知：如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB =90°，BC =3，AC =4．D 是边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点E 作EF ⊙AB ，交边BC 于点F ．联结DE 、DF ，设CE =x ．（1）当x =1时，求⊙DEF 的面积；（2）如果点D 关于EF 的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC 上时，求x 的值；（3）以点A 为圆心，AE 长为半径的圆与以点F 为圆心，EF 长为半径的圆相交，另一个交点H 恰好落在线段DE 上，求x 的值．【答案】(1)9;8DEF S ∆=(2)39;16x = (3)64.41x = 【分析】（1）过点E 作EM AB ⊥，由EF∵AB 得EM 为∵DEF 边EF 上的高，通过计算求出EF 、EM 即可求出∵DEF 面积；（2）过点E 作EN AB ⊥，垂足为点N ，设DD '与EF 相交于点Q ，根据对称性知DD EF '⊥，12QD DD '=，分别在Rt∵AD D’和Rt∵AEN 中解直角三角形即可解得x 值；（3）AF 与DE 相交于点G ，在Rt∵CEF 中，用x 表示出AF ，利用EF∵AB 得AG AD FG EF =，用x 表示出AG ，再用两圆相交的性质知AF∵DE ，进而证得AGE ACF ~即AG AE AC AF =，代入数值即可得关于x 的方程，解之即可解得x 值．【详解】解：（1）如图1，过点E 作EM AB ⊥，垂足为点M .在Rt ACB 中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，5AB ∴=，3sin 5A ∠=. 1CE =，4AC =，3AE ∴=.在Rt AME 中，90AME ∠=，3sin 5A ∠=，3AE =，95EM ∴=. //EF AB ，CE EF CA AB ∴=. 又1CE =，54EF ∴=. EF 11599M 22458D S EF E ∴=⋅=⨯⨯=.。