高中数学竞赛预赛时间
上海闵行区高中奥数竞赛cmo2023
上海闵行区高中奥数竞赛(CMO)是一项为了培养学生数学兴趣和提高数学竞赛水平的重要活动。
本次竞赛将于2023年举行，以下是关于CMO2023的一些重要内容和相关信息：一、竞赛时间和地点1. 时间：CMO2023将于2023年5月举行，具体时间将在竞赛临近时公布。
2. 地点：竞赛地点将在上海闵行区内的高中学校举办，具体地点将在竞赛前公布。
二、竞赛内容1. 题型：CMO2023将包括选择题和非选择题两部分，涵盖数学知识的各个领域，如代数、几何、概率与数理统计等。
2. 难度：竞赛题目难度适中，旨在考察学生的数学思维能力和解题技巧。
三、参赛资格和报名方式1. 参赛资格：本次竞赛面向上海闵行区高中学生，对数学有浓厚兴趣和较强解题能力的学生均可报名参赛。
2. 报名方式：学校将通过线上系统进行报名，具体报名流程将在竞赛通知中公布。
四、竞赛奖项1. 奖项设置：CMO2023将设置一、二、三等奖，并设立优秀组织奖、最佳团队奖等特别奖项。
2. 奖励措施：获奖学生将获得荣誉证书和奖金奖励，同时还将获得一定的数学辅导资源和机会。
五、竞赛宗旨1. 培养兴趣：CMO2023旨在通过数学竞赛活动，激发学生对数学的浓厚兴趣，培养他们对数学的探究精神和兴趣。
2. 提高水平：竞赛将促使学生们在解决数学问题的过程中提高解题能力、逻辑思维和抽象推理能力。
六、竞赛影响1. 学术提升：通过参加CMO2023，学生们将在数学领域得到更广泛、更深入的学术锻炼和提升。
2. 多元发展：竞赛经历不仅能够让学生们感受到数学的魅力，还可以促进他们的多元发展，提高自身的综合素质。
七、竞赛意义1. 推动数学教育：CMO2023作为一项重要的数学竞赛活动，将推动上海闵行区数学教育的发展，培养更多对数学感兴趣的学生。
2. 增强竞争力：参加竞赛将有助于学生们增强自身的竞争力，为未来的学业和职业发展奠定良好基础。
通过CMO2023的举办，上海闵行区的高中学生将有更多的机会接触数学竞赛，培养自己的数学兴趣和竞赛能力，同时也将为数学教育领域的发展贡献力量。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。
2020年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题
2020年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题（4月24日上午 8:30—11:00）第一试一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ）A.B. C. 2D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（ ）A. 1+B. 1C.1- D. 1 4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A. 15 B. 110 C. 319 D. 1385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（ ）A. 3B. 4C.D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（ ）A. πB. 32πC.D. 7、设函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）.若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（ ）A. 16-B. 4-C. 4D. 168、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>的最小值为（ ）A. 2B. 3C.D. A D B G M二、填空题（每小题8分，共32分）9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________.11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-． （1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x=，求sin 22cos A B +的最大值．二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．A B P O Q R1O 2O ⋅⋅⋅四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0，（1）求a 的值； （2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：≥．。
2022年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题 Word版含答案
2022年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题（4月24日上午 8:30—11:00）第一试一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组30320x y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ） A. 3B. 3C. 2D. 33、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（ ） A. 12 B. 12 C. 21 D. 14、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A. 15 B. 110 C. 319 D. 1385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（ ）A. 3B. 4C. 32D. 26、如图，在棱长为1的正四周体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（ ）A. πB. 32πC. 6D. 6 7、设函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（ ） A. 16- B. 4- C. 4 D. 168、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>ab bc ca ） A. 2 B. 3 C. 3 D. 22 二、填空题（每小题8分，共32分） 9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________. 10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________. 11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________. 其次试 一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sin cos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-． （1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x =，求sin 22cos A B +的最大值． ACD B G M二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0， （1）求a 的值； （2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ． 五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：++≥．A BPOQ R1O 2O ⋅⋅⋅。
2022高中数学竞赛决赛时间表
2022高中数学竞赛决赛时间表2022年高中数学竞赛决赛时间表：一、5月28日-29日，西安站：1. 初赛：5月28日上午9:00-12:00；2. 山西赛区晋察冀联赛：5月28日下午13:00-17:00；3. 复赛：5月29日上午9:00-12:00；4. 决赛：5月29日下午13:00-18:00；二、6月4日-5日，宁夏站：1. 初赛：6月4日上午9:00-12:00；2. 宁夏赛区宁夏联赛：6月4日下午13:00-17:00；3. 复赛：6月5日上午9:00-12:00；4. 决赛：6月5日下午13:00-18:00；三、7月2日-3日，江苏站：1. 初赛：7月2日上午9:00-12:00；2. 江苏赛区江苏联赛：7月2日下午13:00-17:00；3. 复赛：7月3日上午9:00-12:00；4. 决赛：7月3日下午13:00-18:00；四、7月10日-11日，北京站：1. 初赛：7月10日上午9:00-12:00；2. 北京赛区北京联赛：7月10日下午13:00-17:00；3. 复赛：7月11日上午9:00-12:00；4. 决赛：7月11日下午13:00-18:00；五、7月24日-25日，四川站：1. 初赛：7月24日上午9:00-12:00；2. 四川赛区川西联赛：7月24日下午13:00-17:00；3. 复赛：7月25日上午9:00-12:00；4. 决赛：7月25日下午13:00-18:00；六、8月7日-8日，山东站：1. 初赛：8月7日上午9:00-12:00；2. 山东赛区山东联赛：8月7日下午13:00-17:00；3. 复赛：8月8日上午9:00-12:00；4. 决赛：8月8日下午13:00-18:00；七、8月21日-22日，四川站：1. 初赛：8月21日上午9:00-12:00；2. 四川赛区川东联赛：8月21日下午13:00-17:00；3. 复赛：8月22日上午9:00-12:00；4. 决赛：8月22日下午13:00-18:00；八、9月4日-5日，上海站：1. 初赛：9月4日上午9:00-12:00；2. 上海赛区上海联赛：9月4日下午13:00-17:00；3. 复赛：9月5日上午9:00-12:00；4. 决赛：9月5日下午13:00-18:00；2022年高中数学竞赛的决赛将包括来自全国八个省、自治区的比赛，吸引了九百多万名学生参加参赛，涉及全国50多个城市。
2023全国高中生数学竞赛成绩
主题：2023全国高中生数学竞赛成绩内容：一、竞赛概况1.1 竞赛时间和地点2023年全国高中生数学竞赛于6月10日在北京举行。
1.2 竞赛规模和参赛人数本次竞赛共有全国各地高中学生参与，总人数达到超过50万人。
1.3 竞赛组织方和赞助商本次竞赛由我国教育部主办，并得到多家企业和机构的赞助支持。
二、竞赛成绩2.1 优秀成绩表现参赛学生中，有不少同学取得了优秀的成绩，其中包括数学奥林匹克金牌和银牌获得者，他们展现出了出色的数学分析和解题能力。
2.2 及格率和优秀率竞赛结果显示，本次竞赛的及格率达到了80，优秀率也有15，整体表现稳定。
三、成绩分析3.1 成绩分布从整体来看，竞赛成绩分布较为均衡，大部分学生处于中等水平，但也有少部分同学成绩突出。
3.2 成绩差异原因分析成绩差异的原因，主要包括学生的数学基础和解题能力、学校教学质量、家庭学习环境等方面的因素。
四、成绩对教育的启示4.1 引导学生注重数学素养培养本次竞赛成绩表明，学生需要在解题能力的培养上下更大的功夫，而不仅仅是死记硬背知识。
4.2 加强数学教师培训教育部以及各地教育机构需要加强对数学教师的培训和指导，帮助他们更好地引导学生学习数学，提高教学质量。
4.3 推动家校合作学校和家庭需要加强合作，共同为学生的数学学习创造良好的环境和条件。
五、未来发展展望5.1 开展数学教育改革针对本次竞赛成绩所反映出的问题，教育部将着手开展数学教育改革，推动教学模式的转变。
5.2 建立数学学科竞赛激励机制继续鼓励和支持学生参与各类数学竞赛，建立多层次、多形式的激励机制。
5.3 深化与国际数学教育交流加强国际间的数学教育交流，借鉴国外先进的数学教育理念和做法，推动我国数学教育的发展。
六、提高数学教学质量6.1 增加数学教育资源投入为了提高数学教学质量，教育部门需要增加数学教育资源的投入，包括教学设备、教材改革和教学研究等方面。
只有充足的资源支持，才能保障数学教学质量的提高。
年全国中学生数学竞赛报名通知
年全国中学生数学竞赛报名通知尊敬的各位学生和家长：大家好！我校即将举办年全国中学生数学竞赛，现将报名通知如下：一、报名时间及方式：报名时间：即日起至月日止。
报名方式：在学校官方网站下载并填写《年全国中学生数学竞赛报名表》，填写完整后提交至本校数学教师办公室。
二、报名条件：本次竞赛仅面向本校全体中学生开放，不限年级。
鼓励广大学生踊跃参加，展示自己在数学方面的才能。
三、竞赛安排：竞赛将分为初赛和决赛两个阶段。
初赛时间：月日，地点为各班级教室。
具体考试时间将另行通知。
决赛地点和时间将根据初赛成绩公布后确定，请参赛同学及时关注学校官方网站的通知。
四、竞赛内容：竞赛题目将涵盖中学数学各个知识点，旨在考察学生的数学思维能力和解题能力。
请参赛同学准备好所需的文具和计算器，并于竞赛当天提前到达考场，按时参加考试。
五、奖励设置：根据竞赛成绩，我校将颁发以下奖项：1. 优秀奖：根据成绩排名评定，获得前10%的同学将获得优秀奖，并颁发荣誉证书。
2. 校级奖项：根据成绩排名评定，获得前三名的同学将获得校级奖项，并颁发奖杯和奖状。
3. 全国级奖项：获得校级奖项的同学将获得参加全国中学生数学竞赛的资格，取得优异成绩的同学有机会获得全国级奖项，并获得奖状和奖金。
六、注意事项：1. 参赛同学要遵守竞赛纪律，禁止抄袭、作弊等违规行为，一经发现，将取消参赛资格并进行严肃处理。
2. 参赛同学请自行准备好竞赛所需的文具和计算器，不得在考试中相互借用。
3. 参赛同学请准时到达考场，不得迟到，迟到超过10分钟将被取消考试资格。
七、报名咨询：如有任何报名和竞赛相关问题，请及时咨询数学教师办公室，联系电话为XXXXXXXX。
希望各位学生能积极参与此次竞赛，展现自己的数学才能。
预祝大家取得优异的成绩！谢谢大家的支持与配合！祝学习进步！XXX学校。