行列式测试题(有答案)解析

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高中数学行列式试题及解析

高中数学行列式试题一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）A．38B．﹣38C．360D．﹣3604．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣118．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1} D．∅二．填空题（共23小题）13．若＝0，则锐角x ＝．14．已知，则λ＝．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}2的第n+j 项，则此行列式的值是．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．17．把表示成一个三阶行列式是18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为．19．行列式的最大值为．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为．21．行列式中x的系数是22．行列式的元素π的代数余子式的值等于．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为．24．若行列式，则m的值是．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．27．函数的最小正周期T＝．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．30．方程组的增广矩阵是．331．若行列式＝0，则x ＝．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是（将你认为的正确命题的序号都填上）．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性（相关、无关）34．规定运算，则＝．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．4参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i【分析】化简行列式，再计算．【解答】解：复数z 满足＝iz+i，则z ＝＝1﹣i．故选：B．【点评】本题考查行列式，复数，属于基础题．2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A ：＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C ：＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选：C．【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）5A．38B．﹣38C．360D．﹣360【分析】根据行列式的展开A32＝﹣（8×7﹣6×3），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素9的代数余子式的A32＝﹣（8×7﹣6×3）＝﹣38，故选：B．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．4．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】函数＝＝2sin（x +），从而y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，由此能出n的最小值．【解答】解：∵，∴函数＝＝2sin（x +），∵f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，∴y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，∴n +＝+kπ，k∈Z，即n＝k，k∈Z，n＞0．∴当k＝1时，n 取最小值．故选：D．【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13＝（﹣1）4＝2×6﹣5×3＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．6．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【分析】由二阶行列式的性质得：f（x ）＝，再由三角函数恒等式和诱导公式得到f（x）＝2cos（2x ﹣），由此利用三角函数图象的平移变换能求出结果．【解答】解：f（x ）＝＝＝2sin（2x ﹣）＝2cos[﹣（2x ﹣）]＝2cos（2x ﹣），∴要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象y＝2cos2x 的图象向右平移个单位．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式、三角恒等式、三角函数图象的平移变换诱导公式等知识的合理运用．7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣1【分析】本题可根据二阶行列式的定义算法进行计算，然后根据三角函数计算公式可得结果．【解答】解：由题意，可知：＝cosθ•cosθ﹣sinθ•（﹣sinθ）＝cos2θ+sin2θ＝1．7故选：C．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算，以及三角函数计算．本题属基础题．8．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．【解答】解：因为，所以＝zi+z＝2．所以z ＝＝＝1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，所以，故可得结论【解答】解：若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．810．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．【解答】解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣9a3b2c1；故正确；对于④故选：C．【点评】本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，＝ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．∅【分析】按照新的运算＝ad﹣bc ，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x ﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．【解答】解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．故选：C．【点评】本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．二．填空题（共23小题）1013．若＝0，则锐角x＝．【分析】直接利用矩阵知识的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：由于＝0，所以2cos2x﹣sin2x＝0，由于x为锐角，所以sin x＝cos x，解得x＝．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：矩阵知识的应用，三角函数关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14．已知，则λ＝3．【分析】由行列式的公式化简求解．【解答】解：＝（λ﹣4）+2λ＝5，解之得λ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查行列式，属于基础题．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，则此行列式的值是0．【分析】根据题意等比关系代入求解．【解答】解：因为元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，所以设等比数列的公比为q，则a n+2＝qa n+1，，，…，，∴＝＝＝0，（两列（或行）相同的行列式值为0），故答案为：0【点评】本题考查行列式，等比数列，属于基础题．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．【分析】先求出代数余子式，再进行化简，求解．【解答】解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：【点评】本题考查代数余子式，属于基础题．17．把表示成一个三阶行列式是【分析】本题根据行列式第一列进行展开的逆运算即可得到结果．【解答】解：根据行列式按第一列展开式，可知：2++3＝2•（﹣1）1+1•+（﹣1）•（﹣1）2+1•+3•（﹣1）3+1•＝．故答案为：．【点评】本题主要考查行列式按列展开的相关概念．本题属基础题．18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【分析】本题先根据行列式代数余子式的定义写出第1行第2列的元素1的代数余子式，然后根据二阶行列式的计算法则进行计算，再化简三角函数，即可得到实数x 的取值集合．【解答】解：由题意，第1行第2列的元素1的代数余子式为：（﹣1）1+2•．（﹣1）1+2•＝﹣1，则＝1，即﹣sin（π+x）﹣cos（﹣x）＝1．sin x﹣（cos cos x+sin sin x）＝1，整理，得：cos x＝﹣1．∴x＝π+2kπ，k∈Z．故答案为：{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【点评】本题主要考查行列式的代数余子式及二阶行列式的定义计算能力，三角函数知识．本题属基础题．19．行列式的最大值为13．【分析】先写出行列式结果，再用三角函数知识求解最大值．【解答】解：原式＝，所以当时，行列式的最大值为13．故答案为：13【点评】本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为10．【分析】直接求代数余子式，求出k，再代入求向量的模．【解答】解：元素﹣3对应的行列式为，∴k＝6，∴，∴，所以向量的模为为10．故答案为：10．【点评】此题考查行列式的代数余子式，向量的模的公式．21．行列式中x的系数是﹣3【分析】利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．【解答】解：行列式＝35﹣2x﹣4﹣7﹣x﹣40＝﹣3x﹣16．∴行列式中x的系数是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．行列式的元素π的代数余子式的值等于7．【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【解答】解：行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1＝﹣（4cos﹣9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为4．【分析】利用代数余子式的定义、行列式的展开法则直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为：（﹣1）1+1＝0﹣（﹣4）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查代数余子式的求法，考查代数余子式、行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．若行列式，则m的值是0.5．【分析】利用行列式展开法则直接求解．【解答】解；∵行列式，∴2﹣1﹣2m＝0，解得m＝0.5．∴m的值为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为6【分析】利用代数余子式的定义直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：（﹣1）3＝﹣（18﹣24）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．函数的最小正周期T＝π．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为6．【分析】由题意，，求出x，y，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴x＝5，y＝1，∴x+y＝6．故答案为6．【点评】本题考查矩阵的加法，考查学生的计算能力，比较基础．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．【分析】通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x＝，再结合x的范围，求出结果即可．【解答】解：因为，所以cos x cos x﹣sin x cos x＝，即×﹣sin2x＝，∴tan2x＝，∵x∈（3，4）∴2x＝，∴x＝故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．30．方程组的增广矩阵是．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．31．若行列式＝0，则x＝1．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵＝0，∴2×2x﹣4＝0，即2x＝2，∴x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是③④（将你认为的正确命题的序号都填上）．【分析】①根据向量夹角的范围和钝角的范围可以判断①的真假；②利用长方体包含正四棱柱，进行判断；③把点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）分别代入x+y﹣2，判断x+y﹣2是否异号；④利用已知定义进行代入计算验证．【解答】解：①当向量夹角为π时，满足，但不是钝角，故①错误；②∵长方体底是长方形，正四棱柱底是正方形，∴A∩B＝A，故②错误；③∵|a|+|a﹣3|＞2，cosα+sinα≤＜2，∴|a|+|a﹣3|﹣2＞0，cosα+sinα﹣2＜0，∴点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧，故③正确；④对2×2数表定义平方运算如下：∴＝＝＝故答案为：③④．，【点评】此题考查的知识点比较多，有向量的计算，正四棱柱和长方体定义，集合之间的关系，以及矩阵的计算．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性相关（相关、无关）【分析】利用矩阵的列向量的性质直接求解．【解答】解：A为3×4矩阵，三行四列矩阵，也就是4个3维列向量，故A的列向量组必线性相关．故答案为：相关．【点评】本题考查A的列向量组是否线性相关的判断，考查矩阵的列向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34．规定运算，则＝1．【分析】根据新运算可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b、c、d的位置．再利用复数的运算法则计算即可．【解答】解：根据题目的新规定知，＝1×2﹣（﹣i）i＝2+i2＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式，解题的关键是根据题目信息列出算式．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．【分析】利用矩阵的加法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵矩阵A＝，B＝，则A+B＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的加法的意义，是一道考查基本运算的基础题．。

矩阵与行列式练习题及解析

矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。

本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。

练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。

解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。

根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。

因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。

练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。

解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。

对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。

根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。

练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。

解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。

带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。

练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。

解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。

首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。

通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。

然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。

求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。

(完整版)行列式习题1附答案.doc

⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。

⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。

；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。

行列式练习题及答案

行列式练习题一、判断题1. 行列式的行数和列数可以相同也可以不同。

（）2. n 阶行列式共有2n 个元素，展开后共有n ！项。

（）3. n 阶行列式展开后的n ！项中，带正号的项和带负号的项各占一半。

（）4. 行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 与其代数余子式ij A 符号相反。

（）5. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。

（）6. 行列式与它的转置行列式符号相反。

（）7. 行列式中有一行的元素全部是零则行列式的值为零。

（）8. 行列式中有两行元素相同，行列式的值为零。

（）9. 行列式中有两行元素成比例，行列式的值为零。

（） 10．互换行列式的两行，行列式的值不变。

（） 11. 行列式中某一行的公因子k 可以提到行列式符号之外。

( ) 12. 行列式中若所有元素均相同，则行列式的值为零。

（） 13. 行列式的值等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积。

（）14. 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和为零。

（） 15. 齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则它仅有零解。

（）二、填空题1.=______x yyx -。

2.sin cos =______cos sin θθθθ-。

3. 123246=______345。

4．2-20310=______450。

5．=______a x xx b x x x c。

6. 211123=0______49x x x =，则。

7.222031,005D =-已知111213=______M M M -+则。

8．=______x y x y y x y x x y x y+++。

9．100110=______011001a b c d---。

10．222=______a b c a b c b c c a a b+++。

11. 已知21341023,15211152D =-则1323432=______A A A ++。

考研数学二(行列式)模拟试卷11(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式）模拟试卷11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．四阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4一b1b2b3b4。

B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。

C．(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。

D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。

正确答案：D解析：根据行列式的按k行(列)展开法则，将此行列式第二、三行(列)展开，得D==(a2a3—b2b3)(a1a4—b1b4)，所以应选D。

知识模块：行列式2．设，且｜A｜=m，则｜B｜=( )A．m。

B．一8m。

C．2m。

D．一2m。

正确答案：D解析：将行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式｜B｜。

由行列式的性质知｜B｜=一2｜A｜=一2m。

知识模块：行列式3．设α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=( )A．m+n。

B．m一n。

C．一(m+n)。

D．n—m。

正确答案：D解析：由行列式运算法则｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜，且｜α3，α2，α1，β2｜=一｜α1，α2，α3，β2｜=｜α1，α2，β2，α3｜=｜B｜=n，故可得｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=一｜A｜+｜B｜=一m+n。

知识模块：行列式4．设A=(α1，α2，α3)是三阶矩阵，则｜A｜=( )A．｜α1一α2，α2一α3，α3一α1｜。

B．｜α1+α2，α2+α3，α3+α1｜。

C．｜α1+2α2，α3，α1+α2｜。

D．｜α1，α2+α3，α1+α2｜。

正确答案：C解析：｜α1+2α2，α3，α1+α2｜=｜α1，α2，α3｜=｜A｜。

线性代数第一章行列式训练题解

线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

行列式测试题有答案

第九讲行列式单元测试题点评一、填空题〔每题2分，总分值20分〕1．全体3阶排列一共有6个，它们是123,132,213,231,312,321；2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列；3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D'=；4. 交换一个行列式的两行〔或两列〕，行列式的值改变符号；5. 如果一个行列式有两行〔或两列〕的对应元素成比例，那么这个行列式等于零；6. 一个行列式中某一行〔列〕所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；7. 把行列式的某一行〔列〕的元素乘以同一数后加到另一行〔列〕的对应元素上，行列式的值不变；8. 行列式的某一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零；9.111212221122; 00nnnnnnaa aa aa a aa=10.当k=22±时，542k kk=。

二、判断题〔每题3分，总分值24分〕1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ππ则若〔∨〕的符号的一般项则设n n j i j i j i nnn n n n a a a a a a a a a a a a D2211D ,.2212222111211=.)1()(21n j j j π-是〔×〕3. 假设n(n>2)阶行列式D=0,那么D 有两行〔列〕元素一样. (×) 4．假设n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，那么D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法那么求解。

〔×〕6．假设行列式D 的一样元素多于2n n -个，那么D=0. (×)7.111213132333212223122223313233112131a a a a a a a a a a a a a a a a a a =(×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。

考研数学二(行列式)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，则A．当m>n时，必有行列式｜AB ｜≠0．B．当m>n时，必有行列式｜AB ｜=0．C．当n>m时，必有行列式｜AB ｜≠0．D．当n>m时，必有行列式｜AB ｜=0．正确答案：B 涉及知识点：行列式2．其次方程组的系数矩阵A，若存在三阶矩阵B≠0，使得AB=0，则______. A．λ=-2且｜B ｜=0．B．λ=-2且｜B ｜≠0．C．λ=1且｜B ｜=0．D．λ=1且｜B ｜≠0．正确答案：C 涉及知识点：行列式3．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y* =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y* =ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：行列式4．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：B 涉及知识点：行列式5．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：行列式6．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：行列式7．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：行列式8．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：行列式9．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：行列式10．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B 涉及知识点：行列式11．当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn 是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=________.A．1B．2C．3D．4正确答案：B 涉及知识点：行列式12．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则A．a=1,b=-1/6B．a=1,b=1/6C．a=-1,b=-1/6D．a=-1,b=1/6正确答案：A 涉及知识点：行列式13．设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且，(φ)≠0，f(x)有间断点，则A．φ[f(x)]必有间断点B．[φ(x)]2必有间断点C．f[φ(x)]必有间断点D．φ(x)/f(x)必有间断点正确答案：D 涉及知识点：行列式填空题14．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：行列式15．设a1，a2，a3均为3维列向量，记矩阵A=(a1，a2，a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3a1+3a2+9a3)．如果｜A｜=1，那么｜B ｜=___________．正确答案：2 涉及知识点：行列式16．设a=(1，0，-1)T，矩阵A=aaT，n为正整数，则｜aE-An｜=___________．正确答案：a2(a-2n) 涉及知识点：行列式17．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式｜2A ｜=-48，则λ=________.正确答案：-1 涉及知识点：行列式18．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：行列式19．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：行列式20．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。

考研数学三(行列式)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学三（行列式）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．方程f(x)==0的根的个数为A．1．B．2．C．3．D．4正确答案：B解析：问方程f(x)=0有几个根，也就是问f(x)是x的几次多项式．为此应先对f(x)作恒等变形．将第1列的-1倍分别加至第2，3，4列得再将第2列加至第4列，行列式的右上角为O．可用拉普拉斯展开式(1．6)，即，从而知应选(B)．知识模块：行列式2．设A为n阶矩阵，对矩阵A作若干次初等变换得到矩阵B，那么必有A．｜A｜=｜B｜．B．如｜A｜=0，则｜B｜=0．C．｜A｜≠｜B｜．D．如｜A｜＞0，则｜B｜＞0．正确答案：B解析：经初等变换矩阵的秩不变．由．故(B)正确．若A=，可知(A)、(D)均不正确．若A=，可知(C)不正确．知识模块：行列式3．设A是n阶矩阵，且｜A｜=0，则A．A中必有两行元素对应成比例．B．A中任一行向量是其余各行向量的线性组合．C．A中必有一列向量可由其余的列向量线性表出．D．方程组Ax=b必有无穷多解．正确答案：C解析：(A)是充分条件．例如A=，虽任两行元素都不成比例，但｜A｜=0；(D)方程组可能无解．例如，且｜A｜=0，但Ax=b无解，故(A)，(D)均错误．由｜A｜=0知A的行(列)向量组线性相关，但线性相关向量组中，只是有向量可由其余向量线性表出，并不是每一个向量都可由其余向量线性表出．故应选(C)．知识模块：行列式填空题4．行列式D==_______．正确答案：1．解析：从第1行开始，依次把每行加至下一行，得知识模块：行列式5．设n阶矩阵A=，则｜A｜=_______．正确答案：-2.(n-2)!解析：把第2行的-1倍分别加至其余各行，再把第1行的2倍加至第2行，得知识模块：行列式6．设n阶矩阵A=，则｜2A｜=_______．正确答案：解析：｜2A｜=2n｜A｜．对于行列式｜A｜，先把每行都加至第一行并提取公因数n-1，然后再把第一行的-1倍分别加至其它各行，由(1．5)有知识模块：行列式7．已知α1，α2，α3，β，γ都是4维列向量，且｜α1，α2，α3，β｜=a，｜β+γ，α3，α2，α1｜=b，则｜2γ，α1，α2，α3｜=________.正确答案：2(a-b)解析：｜β+γ，α3，α2，α1｜中第一列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变形，就有｜β+γ，α3，α2，α1｜=｜β，α3，α2，α1｜+｜γ，α3，α2，α1｜=b，｜β，α1，α2，α1｜=｜α1，α2，α1，β｜=a，又｜γ，α1，α2，α1｜=-｜γ，α1，α2，α3｜，于是｜2γ，α1，α2，α3｜=2(a-b). 知识模块：行列式8．已知A，B，C都是行列式值为2的3阶矩阵，则D==_______．正确答案：解析：由公式(1．6)，(1．9)，(1．12)等，有知识模块：行列式9．已知A为3阶矩阵，且｜A｜=2，那么｜(2A)-1-A*｜=______.正确答案：解析：由于(2A)-1=，又A*=｜A｜A-1，则知识模块：行列式10．设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=________．正确答案：解析：由于｜A｜==3，又AA*=A*A=｜A｜E，则对矩阵方程右乘A得3AB-6B=A，即3(A-2E)B=A．两端取行列式有｜3(A-2E)｜．｜B｜=｜A｜=3，即27｜A-2E｜．｜B｜=3．因为｜A-2E｜= 知识模块：行列式11．设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)，如果｜A｜=1，那么｜B｜=______．正确答案：2解析：利用行列式的性质恒等变形有｜B｜=｜α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3｜=｜α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3｜(先3列-2列，再2列-1列) =｜α1+α2+α1，α2+3α3，2α3｜(3列-2列) =2｜α1+α2+α3，α2+3α3，α3｜(3列提公因式2) =2｜α1+α2+α3，α2，α3｜(2列+3列的-3倍) =2｜｜α1，α2，α3｜=2｜A｜=2．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(完整版)行列式练习题及答案

一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … 2 4 … 的逆序数为)12(-n )2(n ，排列1 3 … …2的逆序数为 .)12(-n )2(n )22(-n 2．在6阶行列式中，这项的符号为 .651456314223a a a a a a 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个.二、选择题1.由定义计算行列式= （）.nn 0000000010020001000 -（A ）（B ）（C ）（D ）!n !)1(2)1(n n n --!)1(2)2)(1(n n n ---!)1()1(n n n --2．在函数中，的系数是（）.xx xx x x f 21123232101)(=3x （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子的项，共有（）个.32a （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式定义式：)det(ij a D =1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于，则此行列式的值等于多少？说明理由.n n -2一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 中2．方程=0的根为___________ .229132513232213211x x --二、计算题1．2．8171160451530169144312-----dc b a10011001101---3．ab b ba b b b aD n =4.111113213211211211211n n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ---+=5．计算n 阶行列式。

考研数学二(行列式)模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式）模拟试卷18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设多项式，则x2的系数和常数项分别为( )A．6，-6B．-6，6C．6，6D．-6，-6正确答案：D解析：本题考查行列式的概念，不需要计算行列式，由定义的一般项的构成可得到要求的结果．由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是x4的项，即x·2x(-x)·3x=-6x4．当x=0时行列式的值就是常数项，经计算f(0)=-6，故选D．知识模块：行列式2．设多项式则方程f(x)=0的根的个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：本题考查行列式的概念、性质、计算公式和代数基本定理，方程的根与次数的关系．不需要计算行列式，根据定义的一般项的构成能看出多项式的次数即可．由于由行列式的定义知f(x)是一个二次多项式，所以f(x)=0的根有两个．故选B．知识模块：行列式3．行列式等于( )A．(ad-bc)2B．-(ad-bc)2C．a2d2-b2c2D．b2c2-a2d2正确答案：B解析：本题考查行列式的性质与计算，所涉及的知识点：是行列式的性质；行列式的计算公式；行列式按一行(列)展开定理、拉普拉斯定理．解法1：用行列式的性质与公式计算行列式：解法2：用行列式的性质与按一行(列)展开定理计算行列式：解法3：用行列式的性质与拉普拉斯定理计算行列式：知识模块：行列式4．设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，且A的秩r(A)=2，Aα=β，Aβ=α，则｜A+3E｜为( )A．0B．6C．18D．24正确答案：D解析：本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式．先用特征值与特征向量的定义和r(A)求出抽象矩阵的特征值，再根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式．由于r(A)=2，所以λ=0是A的一个特征值，由Aα=β，Aβ=α，可得A(α+β)=α+β，A(α-β)=-(α-β)，而α，β线性无关，所以α+β≠0，α-β≠0，所以1，-1是A的另两个特征值，因此A的特征值为0，1，-1，于是A+3E的特征值是3，4，2，故｜A+3E｜=3×4×2=24．知识模块：行列式填空题5．行列式=_____________________________正确答案：x2y2解析：本题考查行列式的性质和按1列(或1行)展开定理．该行列式的特点是主对角线两侧的元素相同，但主对角线上的元素不同．所以不能用叠加法，由行列式的展开定理．将行列式加上1行和1列．使其将该行列式两侧相同的元素消成零，化成“个”字行列式，再用行列式的性质将个字行列式化成三角形行列式可求其值．注意到当x=0或y=0时，D=0，而当xy≠0时，有知识模块：行列式6．设则行列式第1列各元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=_________________．正确答案：0解析：本题主要考查行列式代数余子式的概念．根据行列式代数余子式的定义知：D的第1列元素的代数余子式与第1列元素无关，所以，所求A11+A21+A31+A41的值相当于将行列式D的第1列用I代替而得的行列式的值．根据行列式按1行(列)展开定理得知识模块：行列式7．设A，B均为n阶方阵，且｜A｜=2，｜B｜=-3则=__________________．正确答案：解析：本题考查方阵行列式的有关性质和计算公式．熟练掌握方阵行列式的有关性质、公式和运算是解题的关键．知识模块：行列式8．设α1，α2，α3是3维列向量，令A=(α1，α2，α3)，B=(α3+3α1，α2，4α1)，且｜A｜=-1，则｜B｜=_____________．正确答案：4解析：本题考查行列式的性质、向量组与矩阵的关系和向量组线性组合的概念，灵活运用上述关系计算行列式．解法1：用行列式的性质计算行列式．｜B｜=4｜α3+3α1，α2，α1｜=4｜α3，α2，α1｜=-4｜α1，α2，α3｜=-4×(-1)=4解法2：用向量组线性组合计算行列式．由于两边取行列式知识模块：行列式9．设A为3阶方阵，｜A｜=2，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行和第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________________．正确答案：-8解析：本题考查方阵行列式的计算，涉及的知识点是矩阵初等变换与初等矩阵的关系．要求考生熟练运用矩阵初等变换与初等方阵的关系计算行列式．由于B=E(1，2)A，所以AB*=E(1，2)AA*=｜A｜E(1，2)，故｜BA*｜=｜｜A｜E(1，2)｜=｜A｜3｜E(1，2)｜=-23=-8．知识模块：行列式10．设A，B为3阶方阵，且｜A｜=1，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1｜=__________________．正确答案：1解析：本题考查方阵行列式的计算，涉及的知识点是逆矩阵的有关性质、要求考生运用应用矩阵与其逆矩阵的关系计算行列式．知识模块：行列式11．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT是A 的转置矩阵，若a11，a12，a13是3个相等的正数，则a11=______________________．正确答案：解析：本题考查行列式按行(列)展开定理、矩阵与其伴随矩阵的行列式的关系．要求考生应用行列式的性质，展开定理、矩阵与其伴随矩阵的行列式的关系计算行列式．由｜AT｜=｜A*｜和｜A*｜=｜A｜3-1=｜A｜2，得｜A｜2=｜A｜，即｜A｜(｜A｜-1)=0，从而｜A｜=0或｜A｜=1．将｜A｜按第一行展开，再由A*=AT知aij=Aij得｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a211+a212+a213=3a211＞0，于是得｜A｜=1，即3a211=1，故a11=．知识模块：行列式12．设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式｜B｜=___________________．正确答案：21解析：本题考查用方阵的特征值与特征向量以及相似矩阵的理论计算行列式．所涉及的知识点是：若λ是A的特征值，则φ(λ)是φ(A)的特征值；特征值的积等于该矩阵的行列式的值．设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，而由B=A2-A+E知B的特征值为3，7，1，所以｜B｜=21．故应填21．知识模块：行列式13．设n阶实对称矩阵A满足A2+2A=O，若r(A)=k(0＜k＜n)，则｜A+3E｜=_______________．正确答案：3n-k(0＜k＜n)．解析：本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式．先用特征值与特征向量的定义求出抽象矩阵的特征值，再由r(A)=k(0＜k＜n)确定A的特征值的重数，最后根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式．由A2+2A=O知，A的特征值为-2或0，又r(A)=k(0＜k＜n)，且A是n阶实对称矩阵，则故｜A+3E｜=3n-k．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第一章行列式专项测试题参考答案(1)

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第一章行列式
1. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
(1) 53412
(2)135 (2n −1)246 (2n)
【解析】（1） (53412) = 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 8 ，偶排列；
（2）前 n 个元素135 (2n −1) 相互之间不构成逆序，后 n 个元素 246 (2n) 相互之间也不构成逆序，因此逆序数为前 n 个元素中的每个元素与后 n 个元素所构成的逆序个数之和.
0 b3 a3
0 0 a2 b2
b4 0 0 a4
b4 a4 0 0
0 0 b3 a3
= (a1a4 − b1b4 ) (a2a3 − b2b3 )
（法二）直接按第 1 行（列）展开，过程略.
a1 + b1 12. 计算行列式 D = a2 + b2
a3 + b3
2a1 − b1 2a2 − b2 2a3 − b3
a11 a12 = −3 a21 a22
a31 a32
a13 a23 + 0 = −3M . a33
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x − 2 x −1 x − 2 x −3
2x − 2 2x −1 2x − 2 2x −3
10. 记行列式
为 f (x) ，则方程 f (x) = 0 的根的个数为
3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5
1 2 4 001
2 −5 1 2
−3 7 −1 4
6. 计算行列式 D =
.
5 −9 2 7
4 −6 1 2
【答案】-9
【解析】（化零降阶法）
2 −5 1 2 2 −5 1

第一章行列式练习题参考答案

第一章行列式练习题参考答案一、判断题（ ⨯ ）1．3阶行列式和5阶行列式不可以相加。

（ ⨯ ）2．行列式为零的充要条件是行列式中有两行或两列对应成比例。

（ √ ） 3. 6阶行列式det()ij a 中的项122533465461a a a a a a 的符号为正。

（ √ ） 4. 123326546125a a a a a a 一定不是6阶行列式det()ij a 中的项。

（ √ ） 5. 若行列式中有两列元素完全相同，则行列式为零。

（ √ ） 6. 任意两个行列式都可以相乘。

（ √ ） 7. 任意两个行列式都可以相加。

（ ⨯ ） 8. 系数行列式等于0的非齐次线性方程组一定无解。

（ ⨯ ） 9. 系数行列式等于0的齐次线性方程组只有零解。

（ √ ） 10. 行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

二、填空题1．已知4阶行列式1111111111111111D -=--，则11121314M M M M ++-的值为 0 ，其中M ij为D 的第i 行第j 列元素的余子式。

2．已知4阶行列式1124307115392680D ---=-----，则112131412738A A A A -+-+的值为 0 ，其中A ij 为D 的第i 行第j 列元素的代数余子式。

3．元素为ij a 的5阶行列式的项1445322153a a a a a 应取的符号为正号。

4．设3阶行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则行列式213111223212233313a a a a a a a a a = d 。

5．在n 阶行列式中，关于主对角线与元素ij a 对称的元素是jia 。

6．行列式453175934=D 中元素521=a 的代数余子式=21A 33。

7．设3040222207005322D =--，则第4行各元素的代数余子式之和的值是 0 。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；
5．利用数学归纳法计算行列式；
6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；
8．利用加边法计算行列式；
9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例 1.1 排列 14536287 的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7
+L + a2n xn MMM
=
b2
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
的系数行列式 D
≠
0 ，则方程组有唯一解 x1
=
D1 D
（
i=1，2，…，n），其中 Di 是 D 中第 i
列元素（即 xi 的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．
2．如果线性齐次方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0．同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
）， x 3 的系数为（
）．
3 2x 1

考研数学二(行列式)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．-24C．48D．-48正确答案：D解析：×24×6=-48，选(D)．知识模块：行列式2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)．知识模块：行列式3．设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B．若｜AB｜=0，则A=O或B=OC．｜A-B｜=｜A｜-｜B｜D．｜AB｜=｜A｜｜B｜正确答案：D解析：(A)、(C)显然不对，设A=，显然A，B都是非零矩阵，但AB=O，所以｜AB｜=0，(B)不对，选(D)．知识模块：行列式4．设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α3，α2，α1，β1+β2｜为( )．A．m+nB．m-nC．-(m+n)D．n-m正确答案：D解析：｜α3，α2，α1，β1+β2｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜-｜α1，α2，α3，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜=n-m，选(D)．知识模块：行列式填空题5．设f(x)=，则x2项的系数为_____正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：行列式6．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_______正确答案：1解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=1．知识模块：行列式7．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=，则=_____正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：行列式8．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2-3α3，α3+2α1｜=______正确答案：-33解析：｜α1+2α2，α2-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3｜+2｜α2，-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜-6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜-6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜-12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜-12｜α1，α2，α3｜=-33 知识模块：行列式9．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_______正确答案：63解析：由5A-2B=(5α，5γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得｜5A-2B｜=｜5α-2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α-2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜-2｜β，γ1，γ2｜)=63．知识模块：行列式10．设D=，则A31+A32+A33=_______正确答案：0解析：A31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A35 知识模块：行列式11．设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，则B-1+2E=_______正确答案：60解析：因为｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B-1的特征值为1，2，3，则B-1+2E的特征值为3，4，5，故｜B-1+2E｜=60．知识模块：行列式12．设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B-A｜=-4，则｜E-ABT｜=_____正确答案：-4解析：｜A｜＜0｜A｜=-1．｜E-ABT｜=｜AAT-ABT｜=｜A｜｜｜(A-B)T｜=-｜A-B｜=｜B-A｜=-4．知识模块：行列式13．设A为n阶矩阵，且｜A｜=a≠0，则｜(kA)*｜=_______正确答案：kn(n-1)an-1．解析：因为(kA)*=kn-1A*，且｜A*｜=｜A｜n-1，所以｜(kA)*｜=｜kn-1A*｜=kn(n-1)｜A｜n-1=kn(n-1)an-1．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。