点估计的例子
点-估-计
1 2 2
(x
)2
．
n
L( ， 2 )
i 1
1 2π
exp
1 2
2
( xi
)2
(2π)
n 2
(
2
)
n 2
exp
1 2
2
n
( xi
i 1
)2
，
对似然函数取对数得
ln L( ， 2 ) n ln(2π) 2
n ln 2 2
1 2 2
n
( xi
i 1
)2 ，
参数估计
点估计
1.2 极大似然估计法
参数估计
点估计
1.1 矩估计法
取样本的 i 阶原点矩 Ai 作为总体 i 阶原点矩 i 的
估计量，即
ˆi
Ai
1 n
n j 1
X
i j
，
（6-1）
得方程组
解得
i (1 ，2 ， ，k ) ˆi ，
ˆi ˆi ( X1 ，X 2 ， ，X n ) ， 称ˆi 为i 的矩法估计量，简称矩估计．
参数估计
点估计
1.1 矩估计法
例1
设总体
X 具有概率密度
f
(x)Biblioteka 2 2(x) ，0
x
，参
数
未
知
，
0 ，
其他 ，
X1 ，X2 ， ，Xn 是来自 X 的样本，求 的矩法估计量．
解 总体 X 的数学期望为
E(X )
0
2x
2
(
x)dx
3
．
由式（6-1），令
E(X )
1 n
n i 1
Xi
点估计(PPT 22)
4 16 f 2 (2, 1 ) 1 .
这就是说，罐中黑球多时，出现两个全黑的的概率
比白球多时出现两个全黑的概率大的多,或说使n=2的样
本来自p=1/4的总体的可能性大的多。用到“概率最大
事情最可能出现”原理, 从参数角度，对总体p
有
pˆ 1
3 4
,
两种估计。自然应是选
pˆ 2
1 4
p 大的
pˆ 1
质。例如，在例5中已得到的极大似然估计为
sˆ 2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2.
函数u u(s 2 ) s 2 有单值反函数s 2 u 2 (u 0),
根据上述性质，得到标准差s的极大似然估计为
sˆ sˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X)2 .
•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.3020 .10.30Friday , October 30, 2020
Θ
i 1
这一概率随的取值而变化，它是的函数。 L()称为样
本的似然函数
由Fisher引进的极大似然估计法，就是固定样本观察
值x1, x2 , ····, xn，在 的可能取值的范围Q内 挑选使概率 L(x1, x2 , ····, xn; )达到最大的参数值，作为参数的估 计值 。即取使
L( ) L(x1, x2 ,, xn ;ˆ) max L(x1, x2 ,, xn ; ),
解 直观上可以回答。现以概率的角度考虑。设抽
一球为黑球的概率为p，抽n个而出现x个黑球的概率服
从b(n, p).
fn
(x,
p)
n x
p
x
7-1点估计
第一节点估计一、点估计问题的提法二、估计量的求法三、小结引言生活中的估计一人去算命，算命先生摸骨相面掐算八字后，说，你二十岁恋爱，二十五岁结婚，三十岁生子，一生富贵平安家庭幸福晚年无忧。
此人先惊后怒，道：我今年三十五岁，博士，光棍，木有恋爱。
先生闻言，略微沉思后说：“年轻人，知识改变命运啊。
”引言对于一个未知参数用一个数去估计——点估计.用一个区间去估计——区间估计.例如，甲、乙两人估计武大郎的身高，甲估计武大郎身高是165cm, 乙估计武大郎在160~173cm.甲采用的是点估计, 体现估计的精度,但可靠度较低乙采用的是区间估计，体现可靠度，但精度较差一、点估计问题的提法设总体X 的分布函数形式已知, 但它包含若干个未知参数, 借助于总体X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题..,,,0,,λλλ试估计参数设有以下的样本值为未知参数数的泊松分布为参假设它服从以是一个随机变量次数一天中发生着火现象的在某炸药制造厂>X 例1250126225490756543210=∑kn k k火的天数次着发生着火次数解),(P ~ λX 因为).( X E =λ所以用样本均值来估计总体的均值E (X ).∑∑===6060k k k k n kn x )162564223542901750(2501⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22.1=.22.1)(的估计为故λ=X E点估计问题的一般提法.,,,,,,,,,);(2121为观察值的一个样本是待估参数是未知形式已知的分布函数设总体n n x x x X X X X x F X θθ.),,,,(ˆ),,,,(ˆ2121θθθ来估计未知参数用它的观察值统计量就是要构造一个合适的nnx x x X X X点估计问题.),,,(ˆ21的估计量称为θθn X X X .),,,(ˆ21的估计值称为θθn x x x .ˆ,θ简记为通称估计.,),,,min(ˆ21的估计量最小值用来作为总体构造例如θθX X X X n=由于估计量),,,(ˆ21nX X X θ是随机变量, 因而对不同的样本值, 得到的参数值往往不同.nx x x ,,,21 对于观察值}.,),,,min(ˆ,,,2121的估计值就是得代入样本观察值θθnn x x x x x x =二、估计量的求法常用构造点估计的方法: (两种)1.矩估计法2.极大似然估计法,,,,),,,,;(}{,),,,,;(,212121为待估参数其中其分布律为为离散型随机变量或其概率密度为为连续型随机变量设k k k x p x X P X x f X θθθθθθθθθ ==1.矩估计法总体的原点矩为l EX 样本的原点矩为∑=n i l i X n 11n X X X ,,,21 ).,2,1,(11k l EX X n l P n i l i =→∑=总体矩样本矩矩估计法的理论背景由大数定理知由于样本l nl l X X X ,,,21 独立同分布, 所以也独立同分布.因而当n 充分大时),2,1,(11k l X n EX n i l i l =≈∑=矩估计法用样本矩来估计总体矩.做法:.,,,——21个方程的未知参数构造包含k k θθθ 估计量的分别作为用方程组的解kk θθθθθθ,,,ˆ,,ˆ,ˆ2121 ——矩估计量.),2,1,(11k l X n EX n i l i l ==∑=令基于,11l P n i l i EX X n →∑=即总体“平均”≈样本“平均”11(1,2,,)nl l i i EX X l k n ===∑ 1l =当时11= 1n i i EX X X n ==∑（）2l =当时2211 (2)n i i EX X n ==∑22EX DX EX =+ （）=EX X从而（2）式变为2211 n i i DX X X n =+=∑解之得2211- n i i DX X X n ==∑2211(- n )n i i X X n ==∑211((- )n i i X X n ==∑221=1()ni n i EX XDX X X S n ==-=∑其中0<θ<0.5 是未知参数，利用总体X 的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值.例1（2002年数学一，十二）设总体X 的概率分布为2θ)1(2θθ-2θθ21-X0 1 2 3P )21(32)1(21022θθθθθ-⋅+⋅+-⋅+⋅=EX 而,43X =-θ即43X -=θ令解θ43-=X EX =41ˆ=θ43ˆX -=θ所以θ的矩估计量为θ的矩估计值为.,),,,(,)0(,],0[21的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体θθθθX X X X X n >解EX 因为,2θ=根据矩估计法,,X EX =令.2ˆ 的估计量为所求所以θθX =例2,2X =θ即,2X =θ11,n i i X X n ==∑记解EX 因为⎰-⋅=101dx x x θθ根据矩估计法,,X EX =令例3 设，是来自总体X 的样本，已知总体X 的密度函数为,1X =+θθ即,1X X -=θn X X X ,,,21 ⎩⎨⎧<<=-.,0,10,)(1其他x x x f θθ求未知参数的矩估计.θ,1+=θθ.1ˆXX -=θ所以11,n i i X X n ==∑记.,,),,,(,,,],[21的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体b a X X X X b a b a X n 解2a bX +=22()12n a b S -=例4所以根据矩估计法,=,EX X 2n DX S =其中221111,()n n i n i i i X X S X X n n ====-∑∑解方程组得到a, b 的矩估计量分别为ˆ3n aX S =-ˆ3nb X S =+.,,,,,,0,221222的矩估计量和求一个样本是又设均为未知和但且有都存在和方差的均值设总体σμσμσσμn X X X X >解EX ,μ=2DX σ= 22nX S μσ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 则例5221111,()n n i n i i i X X S X X n n ====-∑∑记由上例得,EX X =DX .)(112∑=-=ni i X X n 11,ni i X X EX n ==∑样本均值为总体均值的矩估计2211().nn i i S X X DX n ==-∑样本方差为总体方差的矩估计即甲、乙、丙三士兵同时向目标射击一次,目标被命中一枪.已知甲士兵兵龄5年、乙士兵兵龄3年、丙士兵为新兵.问估计最有可能是谁命中?2.极(最)大似然估计法设甲、乙、丙三个士兵命中目标的概率分别为P (5)、P (3)、P (0).可以认为,兵龄越长,命中的概率越大，因而P (5)＞P (3)＞P (0).甲似乎最像是真正的命中者——最大似然估计极大似然估计法思想其中0<θ<0.5 是未知参数，总体X 的样本观察值为：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的估计值.引例（2002年数学一，十二）设总体X 的概率分布为2θ)1(2θθ-2θθ21-X0 1 2 3P 分析实际中，我们观察到数组而没有观察到其他的数组，说明数组3,1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 在实际中出现的概率最大.)3,,3,1,3(8321====X X X X P 数组3,1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 出现的概率为3,1, 3, 0, 3, 1, 2, 34222)21()]1(2[θθθθθ-⋅⋅-⋅=426)21()1(4θθθ--=)(θL )3,,3,1,3(8321====X X X X P )3()3()1()3(8321=====X P X P X P X P 独立性代表性记426)21()1(4θθθ--=——称为似然函数数组3,1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 发生的概率最大426)21()1(4)(θθθθ--=L 即讨论的最大值问题)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln θθθθ-+-++=L 426)21()1(4)(θθθθ--=L 求似然函数L (θ)的最大值点，就是最大似然估计.)(ln )(取得最大值的条件相同与基于θθL L θθθθ218126])([ln ----='L 0=12137±=θ解之得由于0<θ<0.5，θ的最大似然估计值12137ˆ-=θ——简化计算,,),;(}{Θθθθ∈==为待估参数设分布律x p k X P ,,,,21的样本是来自总体X X X X n 联合分布律为（1）离散型总体X 似然函数的定义∏==ni i x p 1);(θ),,,(2211n n x X x X x X P === )()()(2211n n x X P x X P x X P ==== 独立n x x x ,,,21 观察值为分布律为个体i X );()(θi i i x p x X P ==∏===n i i i x X P 1)(,,,,,,,2121的概率取到观察值从而n n x x x X X X 发生的概率为即事件”,,,“2211n n x X x X x X === Θ∈====∏=θθ),;(),,,(12211ni i n n x p x X x X x X P 既然该样本值已经出现，而不同的θ,上式对应不同的概率值，)()(1∏===n i i i x X P L θ记——称为似然函数.因而使概率最大的参数的θ值似乎更像真正的参数，就是θ的合理估计.);(1θ∏==ni i x p,,),;(Θθθθ∈为待估参数设概率密度为x f ,,,,21的样本是来自总体X X X X n 的联合密度为n X X X ,,,21 （2）连续型总体X 似然函数的定义.,,,,,,2121的一个样本值为样本n n X X X x x x )()()(21n x f x f x f 独立=),,,(21n x x x f ∏==ni i x f 1);(θ),,,(21n x x x f ∏==ni i x f 1);(θ);(),,,(,,,,12121θ∏==ni i n n x f x x x f x x x 看作固定如果把的函数就是θ——称为似然函数.),;()(1θθ∏==ni i x f L 记作),()(θθ''>'L L 若,)(度上看又是概率密度函数的角从θL 似然函数估计就是使L (θ) 达到最大值的点..,,,21更像真正的参数比因而出现的概率较大使θθθ''''n x x x),,,(ˆ21n x x x θ),,,(ˆ21n X X X θ, 的极大似然估计值参数θ.的极大似然估计量参数θ极大似然估计法的思想的估计值作为未知参数取得最大值的似然函数使θθθˆ)(L ).;,,,(max )ˆ;,,,(2121θθΘθn n x x x L x x x L ∈=即求最大似然估计量的步骤:连续型离散型写出似然函数一)()()()(}{}{}{)( )(2121n n x f x f x f L x X p x X p x X p L =====θθ;);(ln )(ln );(ln )(ln )( )(11θθθθ∑∑====ni i n i i x f L x p L 或目的是使计算过程简化取对数二费舍尔最大似然估计法是由费舍尔引进的.取得最大值的条件相同与)(ln )(θθL L.ˆ,0d )(ln d ,d )(ln d )(θθθθθθθ的最大似然估计值解方程即得未知参数并令求导对三=L L 对于多个未知参数的情形，解对数似然方程组即可.对数似然方程注意有时不能通过微分法来求最大似然估计, 只能从最大似然估计的定义出发求得..,,,,,0)(21似然估计量的最大求的一个样本是来自的泊松分布服从参数为设λλλX X X X X n >解的分布律为因为X ),2,1,0(,e !}{ ===-x x x X P xλλ1122()()()()n n L P X x P X x P X x λ====的似然函数为所以λ例111e!x x λλ-=22e !x x λλ- e !n x n x λλ-en λ-=112!!!nii x n x x x λ=∑ 11!nii x n nii ex λλ=-=∑=∏)(ln λL λλλ∑+-==ni ix n L 1)(ln d d 的最大似然估计值解得λ,11x x n ni i =∑==λ的最大似然估计量为λ11.n i i X X n λ*===∑这一估计量与矩估计量是相同的.0令=()∏=-∑==n i ix n x L ni i1!e)(1λλλ()()11ln ln !n ni i i i n x x λλ===-+-∑∑例2：设总体为指数分布，其概率密度函数为求参数的矩估计和极大似然估计。
点估计的例子
点估计的例子
以下是几个点估计的例子：
1. 假设你想要估计某个城市居民的平均年收入。
你可以通过随机选择一部分居民，并计算他们的年收入，并将这些收入的平均值作为总体平均年收入的估计。
2. 假设你想要估计某种商品的市场需求量。
你可以通过调查一部分消费者，询问他们对该商品的需求，并依据这些调查结果来估计总体的市场需求量。
3. 假设你想要估计某个国家的失业率。
你可以通过在劳动力市场进行调查，记录工作和求职的人数，并将这些数据用于计算失业率的估计。
4. 假设你想要估计某个人口群体中的健康状况。
你可以通过进行健康调查，收集一部分人口的身体健康数据，并将这些数据用于估计整个人口群体的健康状况。
这些都是点估计的例子，因为它们使用某个样本或部分数据来估计整个总体或群体的参数或特征。
点估计概述
(1) 无偏性 衡量统计量的好坏，有三条标准： (2) 有效性 (3) 相合性(一致性) 这里我们重点介绍前面两个标准 .
二、点估计的无偏性与有效性 ˆ ) ， 1．无偏性 若 E (
ˆ是的无偏估计量 则称 . 定义的合理性 我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值 都相等，但可以要求这些估计值的均值与真值相等.
例8 设总体 X 的均值 和方差 都存在, 且有
2
2 0, 但 和 2 均为未知, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是
一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 解 1. EX ,EX 2 DX [ EX ]2 2 2 , X X 2.令 2 解得 2 2 2 2 2 X X ( X )
ab a b (a b) 2 2 , EX DX ( EX ) 解 1. EX 2 12 2 a b 2 X a b 2 X 2.令 即 2 2 2 2 (a b) a b X 2 b a 12 [ X ( X ) ] 12 2
49 1 9 1 )DX DX D( ˆ 2 ) ( 故 ˆ 3最有效. 72 9 16 144 7 1 1 1 27 DX ，D( ˆ 4 ) DX . D( ˆ 3 ) ( ) DX 18 4 9 36 50
1 无偏估计量 才可讨论有效性.
0
1 2 期望的点估计： X Xi n i 1 在无偏估计量中 X 最有效、 X也为相合估计量 .
2
2
解得 a X 3[ X 2 ( X )2 ] ，b X 3[ X 2 ( X )2 ]
点估计的例子
点估计的例子
摘要：
1.引言
2.点估计的定义和作用
3.点估计的例子
4.点估计在实际应用中的重要性
5.结论
正文：
1.引言
在统计学中，点估计是一种对数据集中未知参数的估计方法。
点估计的目标是找到一个最优的参数值，使得该参数值与数据集的误差最小。
本文将通过一些例子来介绍点估计的概念和实际应用。
2.点估计的定义和作用
点估计是指根据样本数据来估计总体的某个未知参数。
它是统计推断的一种方法，通过对样本数据的分析，可以得到总体参数的一个近似值。
点估计在统计学中有着广泛的应用，例如在医学研究中用来估计某种疾病的发病率，工程领域中用来估计某种产品的寿命等。
3.点估计的例子
假设我们有一个袋子里装着若干个红球和蓝球，现在我们想要估计袋子里红球和蓝球的比例。
我们可以从袋子里随机抽取一些球，记录下红球和蓝球的数量，然后根据这个比例来估计袋子里红球和蓝球的比例。
这个例子就是一个点估计的过程。
4.点估计在实际应用中的重要性
点估计在实际应用中具有重要的意义。
它可以帮助我们对未知的总体参数进行估计，从而为我们的决策提供依据。
例如，在医学研究中，通过对病人的样本数据进行点估计，可以估计某种疾病的发病率，从而为预防和控制该疾病提供参考。
5.结论
点估计是一种重要的统计推断方法，它可以帮助我们对未知的总体参数进行估计。
4.5 概率论——点估计方法与估计量的评价
矩估计量
解 X 的概率密度函数为
p( x)
1
0
0 x
其他
已知
EX
2
1
ˆ1 x
ˆ 2ˆ1 2 x
2. 最大似然估计法
最大似然估计(Maximum Likelihood Estimate)简称MLE, 是求估计用得最多的方法,它最早 是由高斯在1821年提出.
但一般将之归功于费歇尔( R. A.Fisher ),因为Fisher 在1922年再次提出了这种想法 ,证明了它的一些性质 ,从而 使得最大似然估计法得 到了广泛的应用.
证 E X θ , E X θ
所以 X 是参数 θ 的无偏估计量 . 而
Z min( X1,K , Xn ) 具有概率密度
fmin x;θ
n enx θ
θ,
x
0,
0 , 其它,
故知 E Z θ , E nZ θ
n 即 nZ 也是参数 θ 的无偏估计量 .
数理统计
2. 有效性（effectiveness）
i 1 n
令 L( ) P( xi ; ), 依照MLE的思想，应选择 ˆ ,
i 1
使得事件 { X1 x1,K , Xn xn } 发生的概率 L( )
在 ˆ 处达到最大， 这样得到的 ˆ 称为 的MLE.
n
L( ) P( xi ; ) ——似然函数
i 1
n
ln L( ) lnP( xi; ) ——对数似然函数
§4.5 点估计(point estimate)方法与估计量的评价
数理统计学的核心———统计推断
统计推断
参数估计
点估计（估计出参数的具体数值）
区间估计 （估计参数的范围及可靠程度）
点估计
设乘客的等车时间服从（0，t）上的均匀分布
1/ t , 0 x t , 解 : 总体的概率密度: f ( x) 0 , 其他.
2.最大似然估计
1 似然函数 L(t ) f ( xi ) n , (0 x1 , x2 , , xn t ) t i 1 当取得定义域中的最小值 似然函数关于t单调递减， Max( x1 , x2 , , xn ) 时， 似然函数达到最大。
估计(estimation)
人们每时每刻都在做估计，例如 根据天色云量等估计今天的天气 根据营业数据等估计公司的业绩 根据历史数据等估计今天的股市行情 统计中的估计就是根据你拥有的信息(数据)来 对现实世界进行某种推断
例1 调查学龄前儿童的身高 总体X：儿童的身高
X N ( , 2 )
为了了解儿童身高(总体)的分布， 就要通过样本数据来估计参数 , 2 例2 调查成年男性肥胖者(体重超过100公斤)的比例 p 总体X：1代表肥胖，0代表不肥 胖 X 1 0
(1) 用样本均值X 估计总体均值E ( X ),
(2) 用样本方差S 2 估计总体方差D( X ),
(3) 用事件出现的频率估计事件出现的概率.
矩估计法的统计思想 (替换原理) 体现: 用已知推断未知, 用部分推断全体.
例4.对某型号的20辆汽车记录其每5升汽油的行 驶里程（千米），观测数据如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 总体X: 该型号汽车每5升汽油的行驶里程， 可用矩估计法估计其均值和标准差
设总体期望 E ( X )
第1节点估计
3)对估计值ˆ x1, x2 xn 可写 ˆ x1, x2 xn 对估计量不能写 ˆ X1, X2 Xn ,因为左边为常数,右边是随机变量, 一般写成 ˆ ˆ X1, X2 Xn
DX
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
1 n
n i 1
Xi
2
1 nຫໍສະໝຸດ n i 1X2 i
X2
1 n n i1
Xi X 2
S*2 .
注:此例说明,EX 与 DX 的矩估计量与 X 的分布无关,而一些常用分布中
的参数都与期望和方差有关,所以对它们的矩估计都可转化为期望或方
P
二.矩估计法(合理性主要是根据大数定理 Al l ,用的是样本原点矩):
参数往往是各阶矩的函数,如 X ~ N , 2 , , 2 未知,而
E X , 2 E X 2 EX 2 ,即 , 2 都是总体的一阶和二阶矩的函数,
只要各阶矩知道了,这些参数也就知道了,但分布函数不知道(有未知参
EX
X
另一面 E
X2
DX
EX 2
1
2
1
2
2
2
A2 ,所以 ˆ
2 A2
或 E
X3
0
x3e xdx
EX a b , DX b a2 它们是参数 a,b 的函数).
2
12
解:
点估计(课件)
估计值.
一般地， 设总体的分布中 有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ, 即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1 , X 2 ,..., X n 相应的一个样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn 构造一个统计量 h( X1 , X 2 ,..., X n )， 用它的观测值 h( x1 , x2 ,..., xn )来估计未知参数θ, 称 h( X1 , X 2 ,..., X n ) 为θ的估计量; h( x1 , x2 ,..., xn ) 为θ的估计值. ˆ ( X , X ,..., X ) 和 ˆ ( x , x ,..., x ) 分别记为 1 2 n 1 2 n
2
2 DX EX , 例 设 X 是任一总体, 存在,
X1 , X 2 ,..., X n 是来自 X 的简单随机样本, 则 2 1 n 2 (3) S0 X i X 不是 DX 2 的无偏估计量. n i 1 即 E ( S02 ) 2 2 n 2 n1 n n1 2 1 1 2 Xi X S 证 S0 X i X n n n 1 i 1 n i 1 n1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 E ( S0 ) E S E( S ) n n n
一、点估计
例 某厂在某月内 生产了一大批灯泡, 设X是 灯泡的寿命, X是随机变量,代表总体. 已知 但平均寿命μ未知, 于是厂家 X ~ N ( , 952 )， 抽出10只灯泡, 进行寿命试验, 得到10只灯泡 的寿命如下:
点估计的例子(一)
点估计的例子(一)点估计：介绍和概念•点估计是统计学中一种基本的参数估计方法，用来估计总体参数的具体数值。
•点估计的目标是通过从一个样本中获得的信息，对总体参数进行估计，得到一个单一的数值作为估计值。
最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)•最大似然估计是一种常用的点估计方法，在模型中通常假设总体的分布，并通过最大化样本观测值出现的概率来估计参数。
•例如，假设我们从一个服从正态分布的总体中抽取了一个样本，并想要估计该总体的均值。
我们可以使用最大似然估计来估计均值的值，使得样本中观测值出现的概率最大化。
•最大似然估计的计算通常需要基于样本观测值的对数似然函数，通过构造似然函数的导数为0的方程，解得参数的估计值。
矩估计(Method of Moments)•矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩和总体矩之间的对应关系进行参数估计。
•例如，假设我们从一个柏松分布的总体中抽取了一个样本，并希望估计该总体的参数λ。
我们可以使用矩估计来估计λ的值，通过令样本的均值等于总体均值来解得参数的估计值。
•矩估计方法常用于没有明确分布假设的情况下，通过基于样本的高阶矩来估计总体参数。
无偏估计(Unbiased Estimation)•无偏估计是指估计值的期望等于被估计参数的真实值。
•例如，对于均值参数的估计，如果估计值的期望等于总体均值，则可以称之为无偏估计。
•无偏估计的性质较好，尤其对于大样本的情况下，它们通常具有较小的方差。
一致性估计(Consistent Estimation)•一致性估计是指当样本大小趋于无穷时，估计值以概率的意义收敛于被估计参数的真实值。
•例如，如果估计值在样本大小增加时趋近于真实参数值，则可以称之为一致性估计。
•一致性估计在大样本情况下通常是具有较好性质的，因为它们可以有效地捕捉到总体分布的特征。
总结点估计是统计学中一种基本的参数估计方法，通过从样本中获得的信息，得到一个单一的数值作为总体参数的估计值。
第五章 1点估计
例 5 已知总体 X 服从以 为参数的泊松分
布, 其中 未知 , 用最大似然法估计 的值.
解 总体 X 的分布律为
P( X k) k e (k 0 , 1 , 2 , )
k!
设 x1, x2 , , xn 为一个样本,
xi
= 0,
解得极大似然估计量：ˆ
n
n
Xi
i 1
1 X
;
例7 设总体X ~ N( , 2), 其中 , 2 均未知, 求 与 2 的极大似然估计量.
解 样本的似然函数为
n
L( , 2) f ( xi ; , 2 )
n
i 1
i 1
1
2
e
i 1
i 1
对 求导, 并令其为零
d ln L 1 n
d i 1 xi n 0
解得 的最大似然估计量
ˆ
1 n
n i 1
xi
x
若 x1, x2 , , xn 为一组样本观察值, 则
ˆ
1 n
n i 1
xi
为 的最大似然估计值.
例6 设总体 X 的密度为
而事件 { 0 Xi ,
i = 1, 2, …, n
}
{
max{
1 in
X
i
}
}
应取 的值尽量地小且满足上述条件
故可取极大似然估计量为 ˆ
max{
1 in
X
i
}
第十章点估计
点分布 B1, ，参数空间 0,1，容易得到统计模型
n
xi
i1
1
n
, n xi i1
0,1
例２ 一批灯管寿命服从指数分布E(λ), λ>0 未知，从中
随机抽取n支， X1, X 2,为, X其n 寿命，则统计模型为
值；试估计参数 λ。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数 nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： EX
令 X ,
m1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
第二节 估计方法
二.极大似然估计法 特点：适用总体的分布类型已知的统计模型
n
f (x1; ) f (x2 ; ) f (xn ; ) f (xi ; ) i 1 n
仍称为似然函数，并记之为 L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; ) . i 1
第二节 估计方法
定义:设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1) 设 (x1, x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值，若似
第二节 估计方法
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 ,...,X n ) ˆ 2 ˆ 2 ( X1, X 2 ,...,X n ) ................................... ˆ k ˆ k ( X1, X 2 ,...,X n )
用上面的解来估计参数θi就是矩法估计.
X
S2
1 2
2
2 1
12
2
点估计与区间估计
则称区间(θ ，θ ) 为置信区间， θ与θ 分别称为置信区间的下限和 上限，1 称为置信系数或置信度，α称为置信水平，是事先给 定的一个很小的正数。
本节仅研究正态总体均值与方差的置信区间的求法。
因为 1 0.95，所以查t分布表得 t (n 1) t0.025 (30) 2.042 3 。
2
s
4.486
t
2
2.042 3 n
1.646 31
x t
2
s 29.52 1.646 27.874 n
x t
2
s 29.52 1.646 31.166 n
所以，该店在置信度为95%时，每天销售杯数的置信区间为 (27.874 ，31.166)
25 28 27 38 37 22 25 28 29 30 35 38 29 27 26 数x
表5-1
由此数据计算出样本平均值为
x
1 n
n i 1
xi
1 31
31 i 1
xi
29.52
样本标准差为
s
1 n 1
i
(xi x )2
4.486
因此，用该数据估算出该分店每天平均销售杯数为29.52杯， 标准差为4.486。这个过程就是点估计过程。
单个正态总体参数的置信区间如表5-2所示（置信水平为 α）。
待估参数
条件
均值
2 已知 2 未知
方差 2
统计量 u X
/ n t X
s/ n
χ2
(n
1)S 2 2
服从分布 N (0 ，1) tn 1
点估计和区间估计的例子
点估计和区间估计的例子以点估计和区间估计为主题，以下是十个例子：1. 假设一家餐馆想要估计每天晚上的客流量，他们可以通过随机抽样，选择几个晚上记录客人的数量，并以此为基础估计整个晚上的客流量。
这个估计就是点估计。
2. 一家电子公司想要估计他们新产品的销售额，他们可以通过随机调查一部分消费者，询问他们是否有兴趣购买该产品以及他们预计的购买数量。
通过统计这些调查结果，他们可以得出一个销售额的点估计。
3. 一家医院想要估计某种疾病的发病率，他们可以通过抽取一部分患者的病历，统计患有该疾病的人数，并以此为基础估计整个人群的发病率。
这个估计也是一个点估计。
4. 一家市场调研公司想要估计某个市场上某种产品的平均价格，他们可以通过抽取一部分商家的价格信息，并计算这些价格的平均值作为估计值。
这个估计就是一个点估计。
5. 一家投资公司想要估计某个股票的未来收益率，他们可以通过研究该股票的历史数据，计算出平均收益率作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
6. 假设一家制造公司想要估计他们生产的某个产品的平均寿命，他们可以随机抽取一些产品，进行寿命测试，并以测试结果的平均值作为估计值。
这个估计就是一个点估计。
7. 一家保险公司想要估计某个年龄段人群的平均医疗费用，他们可以通过抽取一部分被保险人的医疗费用信息，并计算这些费用的平均值作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
8. 假设一家零售商想要估计某个商品的月销售量，他们可以通过随机抽取几个销售点，记录每个销售点的销售量，并以此为基础估计整个销售网络的销售量。
这个估计就是一个点估计。
9. 一家航空公司想要估计某个航班的平均延误时间，他们可以通过抽取一部分乘客的行程信息，记录他们的起飞和到达时间，并计算这些时间差的平均值作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
10. 假设一家汽车制造公司想要估计某个车型的平均燃油效率，他们可以随机抽取一些车辆，测试它们的燃油消耗量，并以测试结果的平均值作为估计值。
7.1 参数的点估计
总体矩，样本矩回顾：
设 X 是总体，X1，X2，…，Xn是来自 X 的一个样本：
则总体 X 的 k 阶原点矩，记作 k E(X k )
总体 X 的 k 阶中心矩，记作 Vk E[X E(X )]k
样本的 k 阶原点矩，记作
Ak
1 n
n i 1
Xik
样本的 k 阶中心矩，记作
ˆ max{ xi }
小结
两种点估计方法:
矩估计法 最大似然估计法
用矩估计法估计参数通常比较方便，便于实 际应用，但所得估计的优良性有时比较差。
最大似然估计法使用时常常要进行比较复杂 的计算，然而得到的估计在许多情况下具有优良 性，它是目前仍然得到广泛使用的一种方法。
7.1.3 点估计标准
要了解这批灯泡的质量就要估计μ 和σ2的值。
例子：某电话交换台在1小时内接到的呼叫次数为Y Y~P(λ )，但 λ 未知. 某人想知道该电话交换台在1小时内呼叫10次 的概率，必须先估计λ 的值。
问题产生背景
在总体分布类型已知的情况下，如何从样本估 计总体分布中的未知参数就成为数理统计的基 本问题之一。
aˆ X 3B2 , bˆ X 3B2
例7.1.4 设总体X的均值μ 及方差σ 2都存在,且 有σ 2 >0，但μ ,σ 2 均未知. X1,X2,…,Xn 是来自总 体X的样本,求μ,σ2的矩估计量.
解 先求总体的一阶和二阶原点矩：
1 E(X ) ,
2 E(X 2 ) D(X ) E(X )2 2 ,
无偏性表示 ˆ 围绕被估参数 而摆动，以 致平均误差为零，即用ˆ 估计 没有系统
性误差。
例7.1.10 若X ~ U [0 , θ], 证明：
点估计怎么算例题
点估计怎么算例题一、点估计的概念点估计就是用样本统计量来估计总体参数。
例如，用样本均值¯x估计总体均值μ，用样本方差s^2估计总体方差σ^2等。
二、例题及解析1. 例题1：- 已知总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，从总体中抽取一个容量为n = 10的样本，样本值为x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4,x_5=5,x_6=6,x_7=7,x_8=8,x_9=9,x_10=10。
求总体均值μ的点估计值。
- 解析：- 对于总体均值μ的点估计，我们通常使用样本均值¯x来估计。
- 样本均值¯x=(1)/(n)∑_i = 1^nx_i。
- 这里n = 10，∑_i=1^10x_i=1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 + 10=((1 +10)×10)/(2)=55（利用等差数列求和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，其中n = 10，a_1=1，a_n = 10）。
- 所以¯x=(1)/(10)×55 = 5.5，则总体均值μ的点估计值为¯x=5.5。
2. 例题2：- 设总体X的概率密度函数为f(x)=<=f t{begin{array}{ll}θ x^θ - 1,0< x<10,text{其他}end{array}right.，其中θ>0为未知参数，X_1,X_2,·s,X_n是来自总体X的一个样本，求θ的矩估计（一种点估计方法）。
- 解析：- 首先求总体的一阶矩（期望）E(X)。
- 根据期望的定义：E(X)=∫_-∞^∞xf(x)dx=∫_0^1x·θ x^θ -1dx=θ∫_0^1x^θdx=(θ)/(θ + 1)。
- 设样本均值为¯X=(1)/(n)∑_i = 1^nX_i。
- 由矩估计的思想，令E(X)=¯X，即(θ)/(θ + 1)=¯X。
第十章 点估计
3. X1，…，Xn是来自（θ 1,θ 2）上的均匀
分布的样本，θ 1和θ 2未知，求θ 1和θ 2的 矩估计。 解：
EX
1 2
2
( 2 1 ) 2 DX E ( X EX ) 2 12
ˆ ˆ 1 2 2
X
ˆ ˆ ( 2 1 ) 2 1 n S 2 ( X i X )2 12 n i 1
2 2
最大似然函数
ln L n ln( 2 )
1 n L( x1 , xn ; , ) ( ) e 2 n
2
1 2 2
( xi ) 2
i 1
n
1
2 2
( xi ) 2
i 1
ln L 1 n 令 1n 1n 0 ˆ ˆ 2 ( xi ) xi x 2 ( xi x )2 S 2 i 1 n i1 n i1 n ln L n 3 ( xi ) 2 令 0 i 1
ˆ ˆ 1 比 2
有效。
相合性
（3）相合性 定义： ˆ 为θ的一个估计量，如果当 ˆ n∞时， 依概率收敛于θ，即对于任 ˆ 意ε >0，有 lim p(| | ) 1 n ˆ 则称 为θ的一致估计，即， ˆ 具有相合 性。 注：估计量具有相合性表示，当样本 ˆ 容量增大时， 与θ越来越接近，以至于 最后完全重合。 back
第十章
一、点估计问题 二、点估计方法
点估计
（1）矩估计方法 （2）最大似然估计法
三、点估计的优良性
（1）无偏性 （2）有效性 （3）相合性
一、点估计问题
设总体X的分布为f(x,θ )，其中θ 为未知参数，称基于样本X1，…，Xn， 估计g(θ )的问题为参数估计。
点估计的例子
点估计的例子
1. 一个人要估计一个房子的面积，可以通过测量房子的长度和宽度，然后将两个数相乘来估计房子的面积。
2. 一个人要估计一辆汽车的行驶速度，可以通过观察汽车行驶一段距离所需的时间来估计行驶速度。
3. 一个人要估计一本书的页数，可以通过翻阅其中几页并计算页码的平均数来估计书籍的总页数。
4. 一个人要估计某个城市的人口数量，可以通过抽样调查一部分居民并计算平均人口密度，然后再根据城市的面积和平均人口密度来估计整个城市的人口数量。
5. 一个人要估计一家公司的年度收入，可以通过查看该公司过去几年的财务报表并计算平均数来估计每年的收入。
5.1+点估计(课件)
X2
1 12
X3
证明 ˆ1 , ˆ2 均是μ的无偏估计量.
证Eˆ1 E
2 5
X1
1 10
X
2
1 2
X3
2 5
EX1
1 10
EX 2
1 2
EX 3
2 1 1
5 10 2
Eˆ2 E
13
1
3 X1 4 X2 12 X3
1 3
EX1
用1147估计μ
10
统计量
X
1 10
10
i 1
X i 称为参数μ的估计量;
统计量 X 估计值.
的观测值
x
1 10
10
i 1
xi
1147 称为参数μ的
一般地，设总体的分布中有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ,即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1, X2 ,..., Xn
的无偏估计量.即 E X
证(1)
E
X
E
1 n
(
X
1
X2
...
X n )
1 n E( X1
X2
...
Xn)
1 n
( EX1
EX 2
...
EXn )
1 ( ... )
n
X
1n
n
i 1
X
i
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点估计的例子
摘要：
1.引言
2.点估计的定义与例子
3.点估计的应用
4.点估计的优缺点
5.结论
正文：
1.引言
在统计学中，点估计是一种对数据集中某个数值的估计方法，也被称为点估计量。
点估计可以用来估计数据集中的某个未知参数，如均值、方差等。
本文将通过一些例子来介绍点估计的概念及其在实际应用中的价值。
2.点估计的定义与例子
点估计指的是用样本统计量来估计总体参数的方法。
其中，样本统计量是基于样本数据计算出来的一个数值，而总体参数是描述整个数据集的统计特征。
例如，假设我们有一个包含n 个数值的样本，我们可以通过求这n 个数值的平均值来估计总体的均值。
这个平均值就是一个点估计量。
另一个例子是方差。
我们可以通过计算样本数据与样本均值的差的平方和来估计总体方差。
这个平方和除以(n-1) 就是一个点估计量，用于估计总体方差。
3.点估计的应用
点估计在实际应用中有广泛的应用，如经济学、社会科学、自然科学等领域。
例如，在市场调查中，我们可以通过抽样调查来估计市场的总体规模。
在这个过程中，点估计可以帮助我们更准确地估计市场的均值和方差，从而为决策提供有力支持。
4.点估计的优缺点
点估计的优点在于，它是一种比较直观、易于理解的估计方法。
通过样本统计量，我们可以对总体参数进行估计，从而为决策提供依据。
然而，点估计也存在一定的局限性。
首先，点估计的准确性受到样本大小的影响。
当样本容量较小时，点估计的误差较大；而当样本容量较大时，点估计的误差较小。
其次，点估计的准确性还受到样本数据的分布影响。
当样本数据分布较为集中时，点估计的准确性较高；而当样本数据分布较为分散时，点估计的准确性较低。
5.结论
点估计是一种常用的统计估计方法，通过对样本数据进行计算，可以对总体参数进行估计。