人教版-7年级-第1讲-有理数的意义-解析版

学员姓名：科目：数学年级：7年级学科老师：授课日期：授课时段：授课时长：家长签字：课题有理数的意义
教学目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
重点、难点有理数相关分类讨论
考点及考试要
求
有理数的意义
教学内容
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、
1
2
-、－584等在正数前面加“－”号
的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
类型一、正数与负数
【例1】若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．
A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km
【答案】D
【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.
反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）
A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．
A．－20m B．－40m C．20m D．40m
【答案】B
【变式4】如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）
A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm
故选：B．
【例2】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）
A．9月11日5时B．9月11日19时
C．9月12日19时D．9月12日21时
【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．
【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．
【变式2-1】（2020秋•和平区期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）
城市时差/h
纽约﹣13
悉尼+2
伦敦﹣8
罗马﹣7
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京
B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼
D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【解答】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；
故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．
故选：A．
【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键．
【变式2-2】（2020秋•清涧县期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟
城市悉尼莫斯科伦敦温哥华
时差（时）+2﹣5﹣8﹣16
如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．
（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？
（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．
【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；
（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．
【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，
∵5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；
17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；
（2）17﹣16＝1，
此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打电话．
【例3】体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）这8名男生有百分之几达到标准？
（2）他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5
100%62.5% 8
⨯=；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
【变式3-1】（2020秋•青羊区校级月考）股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的
价格买进某公司股票10000股，买进或卖出时都得支付交易额的0.5%作为手续费，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：
星期一二三四五
每股涨
﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4+0.5
跌
注：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌．
（1）星期四收盘时，每股多少元？
（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？
若股民小王本周末将该股票全部售出，小王在本次交易中是赚了还是亏了？请你算算，如果是赚了，赚了多少钱？如果亏了，亏了多少钱？
【解答】解：（1）（﹣0.1）+（+0.4）+（﹣0.2）+（﹣0.4）＝（﹣0.1）+（﹣0.2）+（+0.4）+（﹣0.4）＝﹣
0.3（元）
25.20+（﹣0.3）＝24.90（元）
答：星期四收盘时，每股24.90元．
（2）周一的股价：25.20+（﹣0.1）＝25.10（元），
周二的股价：25.10+（+0.5）＝25.50（元），
周三的股价：25.50+（﹣0.2）＝25.30（元），
周四的股价：25.30+（﹣0.4）＝24.90（元），
周五的股价：24.90+（+0.5）＝25.40（元），
∵24.90＜25.10＜25.30＜25.40＜25.50，
∵本周内周二股价最高，是25.50元，
25.20×10000×0.5%＝1260（元），
25.40×10000×0.5%＝1270（元），
1260+1270＝25030（元），
（25.40﹣25.20）×10000＝2000（元），
2000﹣2530＝﹣530（元），
∵小王在本次交易中是亏了，亏了530元．
【变式3-2】（2020秋•盐都区月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量单价（元/度）
不超过50度的部分0.5
超过50度但不超过200度的部分0.6
超过200度的部分0.8
已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）一月份二月份三月份四月份五月份六月份
﹣50+30﹣26﹣45+36+25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小智家用电量最多的是月份，该月份应交纳电费元；
（2）若小智家七月份应交纳的电费204.6元，则他家七月份的用电量是多少？
【分析】（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；
（2）估算出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可．
【解答】解：（1）五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，
应缴纳电费0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8×36＝143.8（元），
故答案为：五，143.8；
（2）∵204.6＞0.5×50+0.6×150，
∵用电量大于200度，
设用电量为x度，
由题意得，0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8（x﹣200）＝204.6，
解得，x＝312，
答：他家七月份的用电量是312度．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）
按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【例4】下面说法中正确的是( )．
A．非负数一定是正数．
B．有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．
a
-一定是负数．
D．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a
-为正数或0，而不是负数；(D)对
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）
（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）
【答案】√，⨯，⨯，⨯
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数
【答案】Ｄ
【例5】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
7
23
-，.
正整数集合:{ …}，负整数集合:{…}，
整数集合:{…}，正分数集合:{…}，
负分数集合:{…}，分数集合:{ …}，
非负数集合：{…}，非正数集合：{ …}.
【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数：-3.88，
7 23 -；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，
7 23 -；
非负数：1,0.0708，3.14159265，0，；
非正数：-700, -3.88, 0,
7 23 -
【变式5-1】（2020秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个．【答案】2.
【变式5-2】（2020秋•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，13
4
，﹣12，5分类．
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【解答】解：如图所示：
类型三、分数化成有限小数
首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数.
【例6】（2020秋•浦东新区期末）在下列分数中，不能化成有限小数的是（）
A．1
8B．3
12
C．5
24
D．2
5
【分析】首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此解答即可．
【解答】解：A、1
8
的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；
B、3
12=1
4
，分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；
C、5
24
的分母中含有质因数3和2，所以不能化成有限小数，故本选项符合题意；
D、2
5
的分母中只含有质因数5，所以能化成有限小数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数，小数与分数的互化，解答此题的关键是熟练掌握小数与分数的互化．
【变式6-1】（2020秋•上海期末）在分数3
8，3
6
，1
9
，3
24
，3
10
中，可化为有限小数的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】首先，要看分数是否是最简分数，不是的，先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此逐项分析后再选择．
【解答】解：3
8
的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，
3 6=1
2
的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，
1
9
的分母中含有质因数3，不能化成有限小数，
3 24=1
8
的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，
3
10
的分母中只含有质因数2与5，能化成有限小数．
故选：C．
【点评】此题主要考查有理数中什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数
就不能化成有限小数．
【变式6-2】（2020秋•松江区期中）分数116，117，118，1
19中，能化成有限小数的有几个？（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．
【解答】解：1
16
是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 117
是最简分数，分母中含有质因数17，不能化成有限小数； 118是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；
1
19
是最简分数，分母中含有质因数19，不能化成有限小数； 所以能化成有限小数的有1个．
故选：B ．
【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5．
类型四、探索规律
【例7】某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，
.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒. 【答案】(12+n )
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，
，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，
，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，
，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：
,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是： 【答案】
90
1
一、选择题
1. 下列语句正确的（ ）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0∵表示没有温度．
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
2. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )
A ．0是整数
B ．0是偶数
C ．0是正整数
D ．0既不是正数也不是负数
3. 如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )
A ．前进-18米的意义是后退18米
B ．收入-4万元的意义是减少4万元
C ．盈利的相反意义是亏损
D ．公元-300年的意义是公元后300年
4. 一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( )
A ．甲站的东边70千米处
B ．甲站的西边20千米处
C ．甲站的东边30千米处
D ．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）
A ．身高增长cm 2.1和体重减轻kg 2.1是一对具有相反意义的量
B ．有最大的数
C ．没有最小的数，也没有最大的数
D ．以上答案都不对
6. 下列各数是正整数的是 （ ）
A ．－1
B ．2
C ．0．5
D ．2
二、填空题
1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．
2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .
4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .
5．是正数而不是整数的有理数是 .
6．是整数而不是正数的有理数是 .
7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .
8．一种零件的长度在图纸上是（03
.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m
2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．甲地海拔高度是40m ，乙地海拔高度为30m ，丙地海拔高度是-20m ，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，...
(2)-1,21,-31,41,51-,61,7
1-, , ,... ,... 【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数，正确；
（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；
（4）0∵表示没有温度，错误．
综上，正确的有（2），共一个．
2.【答案】C
【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.
3. 【答案】D
【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.
4.【答案】C
【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.
5. 【答案】C
【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.
6. 【答案】B
二、填空题
1.【答案】﹣5米
2.【答案】0.5，100，0，
1
1
2
；
1
2
2
，0，-45
【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.
3.【答案】公元前2008年
【解析】正负数表示具有相反意义的量.
4.【答案】0
【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.
5.【答案】正分数
【解析】正数包括正分数和正整数，因为不是整数，所以只能是正分数.
6.【答案】负整数和0
【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.
7.【答案】负分数
【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.
8.【答案】10，10.03，9.98
【解析】03
.002.010+-表示的数的范围为：大于-（100.02），而小于（10+0.03）
，即大于9.98而小于10.03. 三、解答题
1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；
（2）运进-5t 表示运出5t ；
（3）浪费-14元表示节约14元；
（4）上升-2m 表示下降2m ；
(5)向南走-7m 表示向北走7m .
提示：“-”表示相反意义的量.
2．【解析】
3．【解析】甲地海拔高度是40m ，表示甲地在海平面以上40m 处；
乙地海拔高度为30m ，表示乙地在海平面以上30m 处；
丙地海拔高度是-20m ，表示丙地在海平面以下20m 处；
所以，最高是甲地，最低是丙地，最高的地方比最低的地方高：40+20=60 （m ）.
4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…
（2）111,,...,, (892011)
--。