求通项公式练习题

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(完整版)数列专题1递推公式求通项公式(练习)

专题1：递推公式求通项公式1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a n D ．不存在2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅=L ，则35a a +=等于（）A.1661B.925C.1625D.1531 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（） A ．2-=n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112++=n n a n D ．4tan πn a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．数列}{n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n aA ．2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．122-n8．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（）A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 9．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 10．数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=L *()n N ∈，则=n a __________. 11．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

求数列通项公式练习题(有答案)

求数列通项公式练习题(有答案)1. 已知数列 a ₙ中, S ₙ是它的前n 项和。

S ₙ=3ⁿ,a ₙ=;【答案】 a n ={3,n =12×3n−1,n ≥2【解析】【分析】本题考查利用数列的前n 项和的式子求数列的通项公式，利用 a n ={S 1,n =1S n −S n−1n ≥2解决。

属基础题。

【解答】解: S n =3x |M|n =1B i ∗,a 1=S 1=32n ≥2R 1+,a n =S n −S n−1=3n −3n−1=2×3n−1x ₙ₋₁时不满足上式。

所以 a n ={3,n =12×3n−1,n ≥2 故答案为 a n ={3,n =12×3n−1,n ≥22. 若数列(a ₙ)的首项(a ₁=2. 11 a n+1=3a n +2(n ∈N ∗).令人一kg/d ɑ,+1). 则 b n +b 2+b 3++b 300=¯. 【答案】5050【解析】【分析】本题考查数列的选择公司，考查等比数列，等差数列的性质，属于中档题。

推导出 a ₙ+1是首项为3，公比为3的等比数列，从而得 b ₙ=log₂3ⁿ=n,由此能求出 b 1+b 2+b 3+⋯+b 100【解答】解: ∵数列{a ₙ}的首项a ₁=2. 且 a n+1=3a n +2(n ∈N ∗,Aa ₙ₊₁+1=3(a ₙ+1),a₁+1=3−3,a ₙ₊₁A.[a ₙ+1]是首项为3，公比为3的等比数列。

xa ₙ+1=3′,∴b₁₄=log₂₇(a ₙ+1)=log₂₂3¹¹=n!,ab 1+b 2+b 3++b 100=1+2+3++10 =100(100+1)2=505C.故答案为5050.3. 若数列{a ₙ}满足: a 1=12,a n+1=n+12n a n (n ∈N ∗)所[a ₙ]的通项公式 a ₙ=.【答案】:【解析】【分析】本道试题主要是考查了数列的遥推公式的应用，还考查了等比数列的通项公式的应用。

高中数学_数列练习题

数列经典解题思路求通项公式一、观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2),17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1解：（1）110-=nn a （2）;122++=n nn a n （3）;12+=n a n 二、公式法例1. 等差数列{}na 是递减数列，且432a a a⋅⋅=48，432a a a++=12，则数列的通项公式是（ D ） (A) 122-=n a n(B) 42+=n a n(C) 122+-=n an(D) 102+-=n an例2. 已知等比数列{}na 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

)1()1(1+=⋅+=-q q qq q b nn n当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

)(52N n na n ∈+=点评：一般地，对于型如)(1n f a an n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++能进行求和，则宜采用此方法求解。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，na a n n +=+1，求通项n a 。

na =32)1(+-n n四、叠乘法例：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

na n 1=点评：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式，当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、Sn 法利用1--=n n nS S a(n ≥2)例5：已知下列两数列}{na 的前n 项和sn 的公式，求}{na 的通项公式。

通项公式专题练习

数列的通项公式的求法训练题一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)1、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（）A 、a n = 1－(－1)nB 、a n =1＋(－1)n ＋1C 、2sin 22πn a n = D 、a n =(1－cosn π)＋(n －1)(n －2)2、等差数列{a n }中，d 为公差，前n 项和为s n =-n 2则（）A 、a n =2n-1 d=-2B 、 a n =2n-1 d=2C 、 a n = -2n+1 d=-2D 、 a n = -2n+1 d=23、若数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，那么这个数列的前3项为（）A 、-1，1，3B 、2，1，0C 、2、1、3D 、2、1、64、数列{}n a 中，),1(11100≥+++==-n a a a a a n n ，则当1≥n 时，=n a （）A 、n2 B 、)1(21+n n C 、12-n D 、12-n5、数列-1，7，-13，19，…的通项公式（）A 、2n-1B 、-6n+5C 、(-1)n ×6n-5D 、(-1)n(6n-5) 6、数列{n a }满足1a =1, 2a =32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则n a 等于（）． A 、12+n B 、(32)n -1 C 、(32)n D 、22+n7、在等比数列{a n }中．前n 项的和为s n ，且s n =2n -1则a 12+a 22+···+a n 2等于 ( ) A 、 (2n -1)2 B 、31(2n -1)2 C 、 4n -1 D 、31(4n -1) 8、已知数列{n a }中，)(2,211*+∈+==N n n a a a n n ，则100a 的值是（） A 、9900 B 、9902 C 、9904 D 、11000 9、已知数列{a n }中，,21,111nnn a a a a +==+则这个数列的第n 项n a 为（）A 、2n-1B 、2n+1C 、121-n D 、121+n 10、已知数列{a n }中，对任意的*∈N n 满足422++=n n n a a a ,且4,273==a a ，则15a 的值是（）A 、8B 、12C 、16D 、32 11、设函数f 定义如下，数列{x n }满足x 0=5,且对任意自然数均有x n+1=f(x n ),则x 2005的值为（）X 1 2 3 4 5 f(x)41352A 、1B 、2C 、4D 、5 12、把正整数按下图所示的规律排序:1→2 5→6 9→10… ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 3 →4 7→8 11…则从2004到2006的箭头方向依次为( )↓ ↑ 2005→ →2005 A 、2005→ B 、 →2005 C 、 ↓ D 、 ↓一、选择题答题卡（请将选择题的答案直接填入下面的表格中）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分)13、12,311+=-=-n n a a a ，则=n a ________________. 14、设数列{na }是首项为1的正数数列，且),3,2,1(0)1(1221 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项公式是_______________.15、设数列{n a }满足)3)((31,313421121≥-=-==---n a a a a a a n n n n ，，则数列{n a }的通项公式为n a ＝_________________.16、nn n a a a 23,111+==+，则=n a _________________.三、解答题(共24分)17、(12分)写出下列数列的一个通项公式（1）32-，83，154-，245，356-，… （2），，，，17161095421（3）7，77，777，7777， (4)23，45，169，25617,…18已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a .19 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的完整求法,还有例题详解

一．不雅察法例1：依据数列的前4项,写出它的一个通项公式：（1）9,99,999,9999,…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1,102―1,103―1,104―1,……∴通项公式为：110-=n n a（2）;122++=n n n a n（3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n .点评：症结是找出各项与项数n的关系.二.公式法：当已知前提中有a n 和s n 的递推关系时,往往运用公式：a n ＝1*1(1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式. 例1：已知数列{a n }是公役为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x ) = (x －1)2,且a 1 = f (d －1),a 3 = f (d +1),b 1 = f (q +1),b 3 = f (q －1),(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式;解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2,a 3 = f (d +1)= d 2,∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ,∴d =2,∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1);又b 1= f (q +1)= q 2,b 3 =f (q －1)=(q －2)2,∴2213)2(q q b b -==q 2,由q ∈R ,且q ≠1,得q =－2,∴b n =b ·qn －1=4·(－2)n －1例2. 等差数列{}n a 是递减数列,且432a a a ⋅⋅=48,432a a a ++=12,则数列的通项公式是（）(A)122-=n a n (B)42+=n a n (C)122+-=n a n(D)102+-=n a n解析：设等差数列的公役位d,由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ,解得⎩⎨⎧±==243d a ,又{}n a 是递减数列,∴2-=d ,81=a ,∴=--+=)2)(1(8n a n 102+-n ,故选(D).例 3. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10<<q ,设数列{}n b 的通项为21+++=n n na ab ,求数列{}n b 的通项公式.解析：由题意,321++++=n n n a a b ,又{}n a 是等比数列,公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321,故数列{}n b 是等比数列,)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ,∴)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n点评：当已知数列为等差或等比数列时,可直接运用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公役公比.例4: 已知无限数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且*1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项公式？【解析】：1n n S a =-,∴111n n n n n a S S a a +++=-=-,∴112n n a a +=,又112a =, ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.反思：运用相干数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设前提,树立递推关系,是本题求解的症结.{}n a 的前n 项和n S ,知足关系()1lg nS n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列{}n a 是等比数列.例5：已知数列{}n a 前n 项的和为s n ＝23a n －3,求这个数列的通项公式.剖析：用a n 调换s n -s 1-n (n ≥2)得到数列项与项的递推关系来求.解： a 1=23a 1-3, ∴ a 1=6s n ＝23a n －3 （n ∈N *） ① ∴s 1-n ＝23a 1-n －3 (n ≥2且n ∈N *) ②①－ ②得：a n ＝23a n －23a 1-n∴21 a n ＝23a 1-n ,即1-n n a a ＝3(n ≥2且n ∈N *) ∴数列{}na 是以a 1=6,公比q 为3的等比数列. ∴a n＝a 1q 1-n ＝6⨯31-n ＝2⨯3n.例6：已知正项数列{}n a 中,s n ＝21（a n +na 1）,求数列{}n a 的通项公式.剖析：用s n -s 1-n (n ≥2)调换a n 得到数列n s 与1n s -的递推关系来求较易.解 s n ＝21（a n +na 1）,∴a 1=21( a 1+11a )∴ a 1=1又a n ＝ s n －s 1-n (n ≥2且n ∈N *)∴ s n ＝21（s n －s 1-n ＋1n s 1--n s ）∴2s n ＝s n －s 1-n ＋1n s 1--n s∴sn＋s 1-n ＝1n s 1--n s∴ s n2－s 1-n 2＝1 (n ≥2且n ∈N *)∴数列{}2n s 是以a 21=1为首项,公役为1的等差数列. ∴ s n 2＝1＋（n －1）⨯1＝n,即s n＝n ,当n ≥2时,s n －s 1-n ＝a n ＝n －1-n 将n ＝1代入上式得a n ＝n －1-n演习：数列{}n a 前n 项和为n S ,已知n a ＝5n S －3（*n N ∈）,求n a 三.累加法：求形如1n a +=n a ＋f(n)的递推数列的通项公式的根本办法.（个中f(n)能求前n 项和即可）运用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的办法称为累加法.累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的根本办法（()f n 可求前n 项和）.例1.已知数列{}n a 中,1129,21,(2,*)n n a a a n n n N -==+-≥∈,求这个数列的通项公式.剖析：由已知121n n a a n -=+-,得121n n a a n --=-,留意到数列{}n a 的递推公式的情势与等差数列的递推公式相似,因而,可累加法求数列的通项.解：数列{}n a 中,1129,21,(2,*)n n a a a n n n N -==+-≥∈,可得：以上各式相加,将n ＝1代入上式得228n a n =+演习：已知数列{}n a 中,113,2,(*)n n n a a a n N ==+∈＋,求n a例2：已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项. 解易知,121-=--n a a n n ∵,312=-a a ,523=-a a ,734=-a a ……,121-=--n a a n n各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)(52N n n a n ∈+=点评：一般地,对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式,只要)()2()1(n f f f +++ 能进行乞降,则宜采取此办法求解.例3. 若在数列{}n a 中,31=a ,n a a n n +=+1,求通项n a . 解析：由na a n n +=+1得na a n n =-+1,所以11-=--n a a n n ,221-=---n a a n n ,…,112=-a a ,将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ,又31=a 所以n a =32)1(+-n n例4已知无限数列{}n a 的的通项公式是12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若数列{}n b 知足11b =,(1)n ≥,求数列{}n b 的通项公式.【解析】：11b =,112nn n b b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+⋅⋅⋅-=1+12+⋅⋅+112n -⎛⎫⎪⎝⎭=1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭.反思:用累加法求通项公式的症结是将递推公式变形为1()n n a a f n +=+.112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.3.累乘法：求形如1n a +=g(n)n a 的递推数列通项公式的根本办法.（个中g(n)可求前n 项积即可）.运用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的办法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的根本办法(数列()g n 可求前n 项积). 例1.若知足111,(*),1n n a na n N a n +==∈+求这个数列的通项公式. 剖析：由11n na n a n +=+知数列{}n a 不是等比数列,但其递推公式的情势与等比数列递推公式相似,因而,可累加法求数列的通项.解： 111,(*),1n n a na n N a n +==∈+ 以上各式相乘得：11231...234n a n a n -=⨯⨯⨯⨯1n a n∴=(2)n ≥∈*且n N将n ＝1代入上式得1n a n=变式演习：设{}n a 是首项为1的正数构成的数列,且2211(1)0(12)n n n n n a na a a n +++-+==，，…,则它的通项公式为n a =．例2：在数列｛n a ｝中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式.解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ,1a an =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅ 所以n a n 1=例3 已知数列{}n a 中,311=a ,前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a .解析：起首由n n a n n S )12(-=易求的递推公式：1232,)32()12(11+-=∴-=+--n n a a a n a n n n n n 5112521221=--=∴--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：点评：一般地,对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式,当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时,宜采取此办法.例四已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 【解析】：1()n n n a n a a +=-,∴11n n a n a n++=,又有321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥= 1×23n×××12n-1⋅⋅⋅=n ,当1n =时11a =,知足n a n =,∴n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的症结是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.{}n a 知足11a =,123123(1)(2)n n a a a a n a n -=+++⋅⋅⋅+-≥.则{}n a 的通项公式是.4.结构新数列：经由过程变换递推关系,可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的办法.(待定系数法)例题5：已知数列{}n a 中知足11a =,*123()n n a a n N +=-∈,求数列{}n a 的通项公式.剖析：将一阶线性递推关系形如1(0,1)n n a Aa B A B A B +=+≠≠、为常数，可转化为111(),111n n n n Ba B B A a A a A B A A a A +++-+=+=--+-即的一个新的等比数列或消常数项转化为212111()n n n n n n n na aa a A a a A a a ++++++--=-=-，即的一个等比数列.解法1：数列{}n a 中11=a ,321-=+n n a a （n 1≥）∴数列{}331--+n n a a 是以首项231-=-a ,公比为2的等比数列解法2：数列{}n a 中11=a ,321-=+n n a a ① ∴3212-=++n n a a ②②－①得）（＝－n n n n a a a a -++122又 21231a a =-=-∴数列{}1n n a a --是以首项212,a a -=-公比为2的等比数列∴11122,2n n n n n n a a a a ----⨯-=-＝－即,（再运用累加法可求数列的通项公式,以下解法略）可求得()*23n n a n N =-∈＋（倒数法）例题6:已知数列{}n a 中知足11a =,131nn n a a a +=+,求数列的通项n a .剖析：可将形如一阶分式递推公式1nn n Ca a Aa B+=+,(A.B.C 为知足前提的常数),等式双方取倒数得：111.n n B Aa C a C+=+,又可运用求形如1''n n a A a B +=+(A ’.B ’为常数)的办法来求数列的通项.解：数列 {}n a 中, 11a =,131n n n aa a +=+∴1113n n a a +=+,即1113n na a +-= ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111,a =公役为3的等差数列.变式演习：知数列{}n a 中知足11a =,1231nn n a a a +=+,求数列的通项.例题7：已知数列{}n a 中知足11a =,122(n n n a a n N ++=+∈）,求数列{}n a 的通项公式.剖析：形如递推公式1.(1,1)n n n a q a d q d d +=+≠≠、为非零常数，q 可转化为111.n n n n a a q d d d d ++=+,若令nnn a b d =,则转化为形如1.(n n a A a B A B +=+、为常数）的办法来求数列的通项.(提醒：将122(n n n a a n N ++=+∈）转化为111222n n n n a a ++-=,解法略.)别的,数列通项求法还稀有学归纳猜测法,可以先求出数列的前n 项,然后不雅察前n 项的纪律,再进行归纳.猜测出通项,最后予以证实,例如：数列{}n a 知足a 1=4,n a =4－14n a -（n ≥2）,求n a （理科请求,解略）;还有对数变换法,例如：形如1(0,0,01)p n n na Ca a Cpp +=≠且可转化为1lg lg lg n n a p a C +=+问题解决;当然还有特点方程法等等. 六.待定系数法：例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c 1=2,c 2=4,c 3=7,c 4=12,求通项公式c n解：设1)1(-+-+=n n bq d n a c 132211121237242-+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=+∴n n n c a b d q bq d a bq d a bq d a b a 例11.已知数列{}n c 中,b b c +=11,bbc b c n n ++⋅=-11,个中b 是与n 无关的常数,且1±≠b .求出用n 和b 暗示的a n 的关系式.解析：递推公式必定可暗示为)(1λλ-=--n n c b c 的情势.由待定系数法知：bbb ++=1λλ 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21b b c n 是首项为112221-=--b b b b c ,公比为b 的等比数列,故111121211222--=∴-=-=--++-b b b c b b b b b b b c n n n n n点评：用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式,一般地,若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n +=,cn bn s n +=2（b.ｃ为常数）,若数列}{n a 为等比数列,则1-=n n Aq a ,)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n .七.帮助数列法例12：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ,且11=a 求通项n a .解：∵121+=+n n a a ∴)1(211+=++n n a a 令1+=n n a b 则帮助数列}{n b 是公比为2的等比数列∴11-=n n q b b 即n n n q a a 2)1(111=+=+-∴12-=n n a例13：在数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a . 解析：在n n n a a a 313212+=++双方减去1+n a ,得)(31112n n n n a a a a --=-+++ ∴{}n n a a -+1是认为112=-a a 首项,认为31-公比的等比数列,∴11)31(-+-=-n n n a a ,由累加法得na =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+⋅⋅⋅+-+---- =+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=311)31(11+---n =1])31(1[431+---n = 1)31(4347---n 例14：已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈）,,求数列的通项公式.解：∵11+=+n n n a a a ∴11111+=+=+n n n n a a a a , 设nn a b 1=,则11+=+n n b b故｛n b ｝是认为1111==a b 首项,1为公役的等差数列 ∴n n b n =-+=)1(1∴nb a n n 11==点评：这种办法相似于换元法, 重要用于已知递推关系式求通项公式.五结构新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,运用累加法(逐差相加法)求解.例1:已知数列{}n a 知足211=a ,nn a a n n ++=+211,求n a .解：由前提知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分离令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 111-=-211=a ,nn a n 1231121-=-+=∴类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+,运用累乘法(逐商相乘法)求解.例2:已知数列{}n a 知足321=a ,n n a n na 11+=+,求n a . 解：由前提知11+=+n na a n n ,分离令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ,代入上式得)1(-n个等式累乘之,即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ,na n 32=∴ 例3:已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+)1(≥n ,求n a .解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---.变式:（2004,全国I,）已知数列{a n },知足a 1=1,1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 解：由已知,得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32,用此式减去已知式,得当2≥n 时,n n n na a a =-+1,即n n a n a )1(1+=+,又112==a a ,n a a a aa a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1,将以上n 个式子相乘,得2!n a n =)2(≥n 类型3 q pa a n n +=+1（个中p,q 均为常数,)0)1((≠-p pq ）.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+,个中pqt -=1,再运用换元法转化为等比数列求解. 例4:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所所以{}n b 认为41=b 首项,2为公比的等比数列,则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a . 变式:（2006,重庆,文,14）在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）类型 4 n n n q pa a +=+1（个中p,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+,个中p,q, r 均为常数） .解法：一般地,要先在原递推公式双方同除以1+n q ,得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入帮助数列{}n b （个中nnnq a b =）,得：qb q pb n n 11+=+再待定系数法解决.例5:已知数列{}n a 中,651=a ,11)21(31+++=n n n a a ,求n a .解：在11)21(31+++=n n n a a 双方乘以12+n 得：1)2(32211+•=•++n n n n a a令n n n a b •=2,则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )32(23-= 所以nn nn n b a )31(2)21(32-== 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（个中p,q 均为常数）.解 (特点根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特点方程. 若21,x x 是特点方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A.B 的方程组）;当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A.B 的方程组）.例6: 数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求n a 解（特点根法）：的特点方程是：02532=+-x x .32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A .又由b a a a ==21,,于是⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n nb a a b a 演习:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a .1731:()443n n key a -=--. 变式:（2006,福建,文,22）已知数列{}n a 知足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式;（I ）解： 112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式.(或()n n S f a =)解法：运用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解.例7：数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系;（2）求通项公式n a . 解：（1）由2214---=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S于是)2121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S所以11121-+++-=n n n n a a a nnn a a 21211+=⇒+.（2）运用类型4（n n n q pa a +=+1（个中p,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ））的办法,上式双方同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n na 2是以2为首项,2为公役的等差数列,所以n n a n n 2)1(222=-+=12-=⇒n n na归纳法：。

七年级数学上册等比数列的通项综合练习题

七年级数学上册等比数列的通项综合练习题等比数列是数学中常见且重要的概念之一。

在七年级数学上册中，我们学习到了关于等比数列的通项公式和求和公式。

本文将通过综合练习题的方式来巩固对等比数列的理解和运用。

练习题一：已知等比数列的首项为2，公比为3，请求出该等比数列的第5项。

解析：根据等比数列的通项公式An = A1 * q^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示首项，q表示公比。

代入已知条件，可得A5 = 2 * 3^(5-1) = 2 *3^4 = 162。

练习题二：已知等比数列的首项为5，公比为0.5，请求出该等比数列的前8项的和。

解析：根据等比数列的求和公式Sn = (A1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中Sn表示前n项的和。

代入已知条件，可得S8 = (5 * (0.5^8 - 1)) / (0.5 - 1) = (5 * (0.00390625 -1)) / (-0.5) = (5 * (-0.99609375)) / (-0.5) = 9.98046875。

练习题三：已知等比数列的第3项为6，第6项为48，请求出该等比数列的公比和首项。

解析：我们可以利用等比数列的通项公式来解这道题。

由题意可得A3 = A1 * q^(3-1) = A1 * q^2 = 6，A6 = A1 * q^(6-1) = A1 * q^5 = 48。

将两式相除可得(A1 * q^5) / (A1 * q^2) = q^3 = 48 / 6 = 8，从而得到q = 2。

将q的值带入任一等式，如A3 = A1 * q^2 = 6，可得A1 = 6 / 2^2 = 6 / 4 = 1.5。

练习题四：已知等比数列的首项为3，公比为-0.2，请问该等比数列的第7项和第8项的大小关系。

解析：根据等比数列的通项公式可知，随着项数的增加，若公比的绝对值小于1，则等比数列的绝对值逐渐减小。

所以对于本题而言，第7项的绝对值应该比第8项的绝对值更大。

高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案

高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项2. 已知等差数列{a n}，a2=4，a6+a7=6+a9，则公差d=（）A.2B.1C.−2D.−13. 已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12(n∈N∗)，则a99的值为( )A.48B.49C.50D.514. 在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a9−a10的值为( )A.6B.8C.12D.135. 数列{a n}中，若a1=1，a n+1=a n+4，则下列各数中是{a n}中某一项的是()A.2007B.2008C.2009D.20106. 若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则d1d2等于（）A.3 2B.23C.43D.347. 在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N∗)，则a5等于( )A.2 5B.13C.23D.128. 已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，t为常数，则a n=( )A.2n−1B.4n−3C.5n−4D.n9. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸10. 一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A. B. C. D.11. 等差数列{a n}，a1=0，公差d=1，则a8=________．712. 在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则a n=________．13. 等差数列{a n}中，若a3+a5=4，则a4=________．14. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2−9n，则其通项a n=________．15. 已知等差数列{a n}，a n=4n−3，则首项a1为________，公差d为________．16. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．17. “欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n}，则数到2008时对应的指头是________，数列{a n}的通项公式a n=________．（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．18. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字70在表中出现的次数为________19. 已知数列的前n项和为，，，则________．20. 已知数列满足，，若，则数列的前n项和________．21. 数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−a n(n∈N∗)，数列{a n}的通项公式________．22. 在等差数列{a n}中，已知a4+a6=28，a7=20，求a3和公差d．23. 数列{a n}是等差数列，a1=f(x+1)，a2=0，a3=f(x−1)，其中f(x)=x2−4x+2，求通项公式a n．24. 设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)已知数列{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．25. 已知数列{a n},|b n}满足a1=2,b1=1 ,且当n≥2a n=23a n−1+13b n−1+2b n=1 3a n−1+23b n−1+2(1)令c n=a n+b n,d n=a n−b n ,证明：{c n}为等差数列，{d n}为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式及前π项和S n26. 已知公差不为零的等差数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，满足2S2=a2(a2+1)且a1,a2,a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+1⋅2a n，求数列{b n}的前n项和为T n.27. 已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=4，a5是a2与a11的等比中项．(1)求S n；(2)设数列{b n}满足b1=a2, b n+1=b n+3×2a n，求数列{b n}的通项公式．28. 已知递增等差数列{a n}满足a1+a5=4，前3项的积为8，求等差数列{a n}的通项公式．29. 在等差数列{a n}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d，a20，a n．30. 已知数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，是否存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列？这样的整数是否唯一？是否存在最大的整数？31. 在等差数列{a n}中，a2=3，a9=17，求a19+a20+a21的值．32. 在等差数列{a n}中，已知a3=8，且满足a10>21，a12<27，若d∈Z，求公差d的值．33. 已知数列{a n}为等差数列，且a4=9，a9=−6．（1）求通项a n；（2）求a12的值．34. 已知：公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3a4=117，a2+a5= 22．求数列{a n}的通项公式．35. 设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有S k3=(S k)3成立．36. 在等差数列{a n}中，公差d≠0，己知数列a k1，a k2，a k3，…a kn…是等比数列，其中k1=1，k2=7，k3=25．（1）求数列{k n}的通项公式；（2）若a1=9，b n=√a k n6+√k n2，S n=b12+b22+b32...+b n2，T n=1b12+1b22+1b32...+1b n2，试判断{S n+T n}的前100项中有多少项是能被4整除的整数．37. 设正数数列的前项和为，对于任意，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）设，是的前项和，是否存在常数，对任意，使恒成立？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由.38. 记等差数列的前项和，已知.（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围.39. 观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……问：（1）此表第行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？（3）2019是第几行的第几个数？40. 等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，求n及a n．参考答案与试题解析高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列51、47、43，…，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可．【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47−51=−4，首项为51，所以通项a n=51+(n−1)×(−4)=55−4n，所以令55−4n<0解得n>554因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）利用等差数列的性质进行解题即可.【解答】解：已知数列{a n}是等差数列，则a2=a1+d=4，a6+a7=2a1+11d=6+a1+8d，解得d=1 .故选B .3.【答案】D【考点】等差数列的通项公式【解析】的等差数列，由此能求出a99．由已知得数列{a n}是首项为a1=2，公差为a n+1−a n=12【解答】(n∈N∗)，解：∵在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12∴数列{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，2∴a99=2+98×1=51．2故选D．4.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=5(a1+7d)=60，∴a1+7d=12，∴2a9−a10=2(a1+8d)−(a1+9d)=a1+7d=12.故选C.5.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的定义判断，再用通项公式求解即可．【解答】解：∵数列{a n}中有a1=1，a n+1=a n+4，∴数列{a n}为等差数列，且a1=1，公差d=4，即通项公式为：a n=4n−3，∵4n−3=2009，4n=2012，∴n=503且n=503是整数.故选C.6.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由a，x1，x2，b为等差数列，根据等差数列的性质得到b=a+3d1，表示出d1，同理由a，y1，y2，y3，b为等差数列，根据等差数列的性质表示出d2，即可求出d1与d2的比值．【解答】解：∵a，x1，x2，b为等差数列，且公差为d1，∴b=a+3d1，即d1=b−a，3∵a，y1，y2，y3，b也为等差数列，且公差为d2，∴b=a+4d2，即d2=b−a，4则d 1d 2=43．故选C 7.【答案】 B【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由a n+1=2a nan+2，得1a n+1=a n +22a n=1a n+12，又a 1=1，所以数列{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列，所以1a 5=1+4×12=3，所以a 5=13．故选B ． 8. 【答案】 A【考点】等差数列的通项公式【解析】根据数列的递推关系式，先求出t ＝4，即可得到{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1＝4n −3，{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n −1，问题得以解决．【解答】解：由题设2(a n a n+1+1)=tn(1+a n )，即a n a n+1+1=tS n ，可得a n+1a n+2+1=tS n+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n )=ta n+1，所以a n+2−a n =t .由2(a 1a 2+1)=t(1+a 1) 可得a 2=t −1，由a n+2−a n =t 可知a 3=t +1.因为{a n }为等差数列，所以2a 2=a 1+a 3，解得t =4，故a n+2−a n =4，由此可得{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1=4n −3， {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n =4n −1，所以a n =2n −1. 故选A . 9. 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式【解析】从冬至日起各节气日影长设为{a n}，可得{a n}为等差数列，根据已知结合前八项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解．【解答】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n}S n是其前？项和，则尺，所以a5=9.5尺，由题S S=9(a1+a5)24+a7=3a4=31.5所以a4=10.5，所以公差d=a5−a4=−1所以a12=a5+7d=2.5尺．故选：B．10.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n}的公差为|da4=23+5d,a7=23+6d，又：数列前六项均为正数，第七项起为负数，23+5d>0.23+6d<0−235<d<−236，又…数列是公差为整数的等差数列，d=−4，故选C．【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】1【考点】等差数列的通项公式【解析】直接由等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=0，公差d=17，得a8=a1+7d=0+7×17=1．故答案为：1．12.【答案】2n−3【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=1，a4=5，∴{a1+d=1a1+3d=5，解得{a1=−1d=2．∴a n=−1+2(n−1)=2n−3．故答案为2n−3．13.【答案】2【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的定义和性质，结合题意可得2a4=a3+a5=4，由此解得a4的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a5=4，∴2a4=a3+a5=4，解得a4=2，故答案为：2．14.【答案】2n−10【考点】等差数列的通项公式【解析】利用递推关系a n={S1n=1S n−S n−1n≥2可求数列的通项公式【解答】解：∵S n=n2−9n，∴a1=S1=−8n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−9n−(n−1)2+9(n−1)=2n−10 n=1，a1=8适合上式故答案为：2n−1015.【答案】1,4【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的通项公式求出公差d，令n=1求得首项a1．【解答】解：由题意得，等差数列{a n}，a n=4n−3，则公差d=4，令n=1得首项a1=1，故答案为：1、4．16.【答案】429等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】已知数列{a n}为等差数列，其中，a1＝5，a n＝1，S n＝90．，1＝5+(n−1)d，设公差为d，则90=n(5+1)2．解得：d=−42917.【答案】食指,4n−1【考点】等差数列的通项公式【解析】注意到数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，因此数到2008时对应的指头是食指．对应中指的数依次是：3，7，11，15，，因此数列{a n}是3为首项4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可得到答案．【解答】解：∵数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，∴数到2008时对应的指头是食指．∵对应中指的数依次是：3，7，11，15，因此数列{a n}的通项公式是a n=3+(n−1)×4=4n−1．故答案为：食指，4n−118.【答案】4【考点】等差数列的通项公式【解析】第1行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．【解答】第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+(j−1)×1＝j+1，所以第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij＝(j+1)+(i−1)×j＝ij+1．所以ij＝69＝1×69＝3×23＝23×3＝69×1＝81．所以表中的数70共出现54，19.【答案】________、1,2n—1【考点】等差数列的通项公式根据a n−1=S n+1−S n ，代入后等式两边同时除以S n+1S n+1．即可得【解答】因为a n−1=S n+1−S n则a n−1+2S n+1S n =0可化简为S n−1−S n +2S n−1S n =0等式两边同时除以S n−1S n可得1S n −1S n+1+2=0．即1S n−1−1S n =2 所以数列为等差数列，首项1S 1=1a 1=1，公差d =2 所以1S n=1+(n −1)×2=2n −1 即S n =12n−1故答案为：12n−1I =加加】本题考查了数列的综合应用，通项公式与前n 项和公式的关系，等差数列通项公式的求法，属于中档题．20.【答案】s _、4”1−4,3【考点】等差数列的通项公式【解析】a n+1n+1−a n n =2，求得an n 的通项，进而求得a n =2n 2，得b n 通项公式，利用等比数列求和即可．【解答】由题为等差数列，a n n =a 11+n −1×2=2na n =2n 2∴ b n =22n ∴ S n =4(1−42)1−4=4n−1−43，故答案为4n+1−43三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】a n =10−2n【考点】等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列通项公式，由条件 a n+2=2a n+1−a n 可得 a n+2−a n+1=a n+1−a n ，从而{a n }为等差数列，利用 a 1=8， a 4=2 可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式．【解答】解：由题意， a n+2−a n+1=a n+1−a n ，∴ 数列 {a n } 为等差数列，设公差为d ，由a 1=8，a 4=2 ，得8+3d =2 ，解得d =−2，∴ a n =8−2(n −1)=10−2n ．故答案为：a n =10−2n ．22.【答案】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.23.【答案】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．【考点】等差数列的通项公式【解析】题目给出了一个等差数列的前3项，根据等差中项概念列式a 1+a 3=2a 2，然后把a 1和a 3代入得到关于x 的方程，解方程，求出x 后再分别代回a 1=f(x +1)求a 1，则d 也可求，所以通项公式可求．【解答】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．24.【答案】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】（1）判断数列是等比数列，然后求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）利用数列的关系求出公差，然后求解通项公式．【解答】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.25.【答案】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n = 12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2．【考点】由递推关系证明数列是等差数列等差数列与等比数列的综合数列的求和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】由题得到a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，即可得到c n =c n−1+4(n ≥2)，即可知{c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．而a n −b n =13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，即可得d n =13d n−1(n ≥2)，可知{d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1,即可得到a n =12×3+2n −12,再利用分组转换求和法即可得解S n ．【解答】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n =12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2． 26.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4，整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4，整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.27.【答案】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．【考点】等比中项数列递推式等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．28.【答案】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出等差数列{a n }的通项公式．【解答】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．29.【答案】解：解法一：∵ a 5=10，a 12=31，则{a 1+4d =10a 1+11d =31⇒{a 1=−2d =3∴ a n =a 1+(n −1)d =3n −5，a 20=a 1+19d =55解法二：∵ a 12=a 5+7d ⇒31=10+7d ⇒d =3∴ a 20=a 12+8d =55，a n =a 12+(n −12)d =3n −5【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】略30.【答案】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．【考点】等差数列的通项公式【解析】假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，则a n+1−a n=[(n+ 1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．31.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=117【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知结合公式d=a9−a29−2可求d，然后利用等差数列的性质及通项公式即可求解【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=11732.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a3=8，且满足a10>21，a12<27，∴{a1+2d=8a1+9d>21a1+11d<27，∴{8−2d+9d>218−2d+11d<27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2．【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知条件利用等差数列通项公式能求出公差d 的值．【解答】解：∵ 等差数列{a n }中，a 3=8，且满足a 10>21，a 12<27， ∴ {a 1+2d =8a 1+9d >21a 1+11d <27，∴ {8−2d +9d >218−2d +11d <27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2． 33.【答案】解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ．（2）a 12=21−3×12=−15．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出通项a n ．（2）由通项通项a n ，能求出a 12的值．【解答】解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ．（2）a 12=21−3×12=−15． 34.【答案】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13；即{a 1+2d =9a 1+3d =13，解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3．【考点】等差数列的通项公式【解析】根据题意，由a 3+a 4=a 2+a 5，a 3⋅a 4的值求出a 3、a 4；由此求出{a 1=1d =4；即得通项公式a n ．【解答】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13；即{a 1+2d =9a 1+3d =13，解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3． 35.【答案】解：若等差数列{a n }满足S k 3=(S k )3则当k =1时，有s 1=s 13，∴ a 1=0或a 1=1或a 1=−1当k =2时，有s 8=s 23，即8a 1+8×72d =(2a 1+d)3(1)当a 1=0时，代入上式得d =0或d =2√7或d =−2√7 ①当a 1=0，d =0时，a n =0，S n =0 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：0，0，0…②当a 1=0，d =2√7时，a n =2√7(n −1)，S n =2√7n(n−1)2=√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意③当a 1=0，d =−2√7时，a n =−2√7(n −1)，S n =−2√7n(n−1)2=−√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(2)当a 1=1时，代入上式得d =0或d =2或d =−8 ①当a 1=1，d =0时，a n =1，S n =n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，1，1…②当a 1=1，d =2时，a n =2n −1，S n =n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，3，5…③当a 1=1，d =−8时，a n =−8n +9，S n =n(5−4n) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(3)当a 1=−1时，代入上式得d =0或d =−2或d =8 ①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−1，−1…②当a1=−1，d=−2时，a n=−2n+1，S n=−n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−3，−5…③当a1=−1，d=8时，a n=8n−9，S n=n(4n−5)S27≠(S3)3∴不满足题意∴满足题意的等差数列{a n}有：①0，0，0…②1，1，1…③1，3，5…④−1，−1，−1…⑤−1，−3，−5…【考点】等差数列的通项公式【解析】先由k=1，k=2时，确定首项和公差，再验证每一组解是否符合题意，从而可以找到符合题意的数列【解答】解：若等差数列{a n}满足S k3=(S k)3则当k=1时，有s1=s13，∴a1=0或a1=1或a1=−1d=(2a1+d)3当k=2时，有s8=s23，即8a1+8×72(1)当a1=0时，代入上式得d=0或d=2√7或d=−2√7①当a1=0，d=0时，a n=0，S n=0满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：0，0，0…=√7n(n−1)②当a1=0，d=2√7时，a n=2√7(n−1)，S n=2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意=−√7n(n−1)③当a1=0，d=−2√7时，a n=−2√7(n−1)，S n=−2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意(2)当a1=1时，代入上式得d=0或d=2或d=−8①当a1=1，d=0时，a n=1，S n=n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，1，1…②当a1=1，d=2时，a n=2n−1，S n=n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，3，5…③当a1=1，d=−8时，a n=−8n+9，S n=n(5−4n)S27≠(S3)3∴不满足题意(3)当a1=−1时，代入上式得d=0或d=−2或d=8①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−1，−1…②当a 1=−1，d =−2时，a n =−2n +1，S n =−n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−3，−5…③当a 1=−1，d =8时，a n =8n −9，S n =n(4n −5) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意∴ 满足题意的等差数列{a n }有： ①0，0，0… ②1，1，1… ③1，3，5…④−1，−1，−1… ⑤−1，−3，−5… 36.【答案】解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ，又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√kn2=√3n +√3n −2√2，则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)，由题意可求得a 1=3d ，于是可求得a n 的关于d 的表达式，再利用a k 2ak 1=a 7a 1=9d3d =3，可求得其公比，继而可求得akn 的关系式，两者联立即可求得数列{k n }的通项公式k n ．（2）先求出b n ，进一步求出S n +T n 的通项公式，再利用二项式知识解决整除问题【解答】解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ，又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√k n 2=√3n +√3n −2√2，则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数． 37.【答案】（1）a n =n ；（2）存在实数0≤λ<1符合题意．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）根据S n 是a n 2和a n 的等差中项可知2S n =a n 2+a n ，且a n >0，则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1，两式相减并化简即可求解；（2）由（1）知a n =n ，由题意知，T n =1−(12)n，假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ，使恒成立等价于对任意n ∈N ′1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立整理化简，利用分离参数法求解恒成立问题即可．【解答】（1）由S n 是a n 2和a n 的等差中项可知，2S n =a n 2+a n ，且a n >0 则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1两式相减可得，2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1即2a n =a n 2−a n−12+a n −a n+1,a n >0，化简可得，a n −a n−1=1(n ≥2) 所以数列{a n }是以1为首项1为公差的等差数列，所以数列{a n }的通项公式为a n =n（2）由（1）知，a n =n ，因为b n =(12)n，所以数列{b n }的前几项和T n =1−(12)n假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ′，使T n −λ⋅2−a ,√λ恒成立即对任意n ∈N1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立等价于对任意n ∈N ′1+√A <2n 恒成立即1+√2小于2a 的最小值即可．所以0≤λ<1满足对任意n ∈N ，使T n −λ⋅2−a >√λ恒成立．所以存在这样的实数？，对任意n ∈N ′，使恒成立，实数？的取值范围为0≤λ<1 38.【答案】（1）a n =−2n +8（2）{n|1≤n ≤8,n ∈N }【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）由已知可得a 4=0，再根据a 2=4可得a 1,d 的方程组，解得．（2）由（1）可知a 1=−3d ，故可用含d 的式子表示S n 和a n ，列出不等式求解即可．【解答】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1公差为d ；因为等差数列{a n }的前）项和S n 且S 4=S 3．a 4=0，又∵ a 2=4 {a 1+3d =0a 1+d =4，解得{a 1=4d =−2 所以a n =a 2+(n −2)⋅d =−2n +8 （2）因为a 1=−3d >0，所以d <0 所以S n =na 1+n (n−1)2d =−3nd +n (n−1)2da n =a 1+(n −1)⋅d =(n −4)d 因为S n ≥a n ，所以(n 2−n 2−3n)d ≥(n −4)d因为d <0，所以n 2−n2−3n ≤n −4整理得n 2−9n +8≤0，解得1≤n ≤8 所以”的取值范围是{n|1≤n ≤8,n ∈N } 39.【答案】（1）第几行的第一个数是n 2，最后一个数是n 2+2n （2）第八行各个数之和为2n 3+3n 2+n（3）2019是第44行第84个数．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）根据此表的特点可知此表n行的第1个数为n2，第n行共有3+(n−1)×2=2n+ 1个数，依次构成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式解之即可；（2）直接根据等差数列的前n项和公式进行求解；（3）1936=442×2019×452=2025，所以2019在第44行，然后设2019是此数表的第44行的第k个数，而第44行的第1个数为442，可求出k，从而得到结论．【解答】（1）由表可知，每一行都是公差为1的等差数列，第n行第一个数是n2，每一行比上一行多2个数，第一行有3个数，则第n行有3+(n−1)×2=2n+1个数，所以第一行最后一个数是n2+(2n+1−1)×1=n2+2n（当然也可以观察得出第n行最后一个数为(n+1)2−1)（2）由（1）知，第几行各个数之和为(2n+1)(n 2+n2+2n)2=(2n+1)(n2+n)=2n3+3n2+n（3）因为1936=442<2019<452=2025，所以2019在第44行，设2019是第44行第k个数，则2019=442+(k−1)×1，解得k=84，所以2019是第44行第84个数．40.【答案】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的前n项和公式求出n的值，再由通项公式求出a6即可．【解答】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．。

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ．答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ．答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ．解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ．答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ．解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3）易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-．练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-．点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ．答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

数列求和和求通项方法总结(定版)(最新整理)

等差等比数列、数列求和、求通项一、单选题1．已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为{}n a n n S 1514a a +=-927S =-n S n （）．A ．1B ．6C ．7D ．6或72．已知等比数列满足,,则（）{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A ．B ．C ．D ．2112183．设等差数列的前项和为，若，，则的值为( ){}n a n n S 11m a =21121m S -=m A. B. C. D.34564．设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为( ){}n a n n S 3d =68a =10S A.65B.62C.59D.565．等比数列中，若，是方程的两根，则的值为( )．{}n a 1a 10a 220x x --=47a a ⋅A.2B. C. D.12-1-6．已知等差数列的前项和为，且，，则（）{}n a n n S 452a =1015S =7a =A.B.1C.D.212327．公比为的等比数列中，，，则( )q {}n a 134a a ⋅=48a =1a q +=A. B.3或2C. D.3或-3328．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（）A ．31B ．32C ．63D ．649．在各项均为正数的等比数列中，若,则的值为（）{}n a 569a a =3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+A.12 B.10 C.8D.32log 5+10．已知数列满足，且，那么（）{}n a 12n n a a +=+12a =5a =A.8B.9C.10D.1111．已知等差数列中，，，则的值是( ){}n a 7916+=a a 41a =12a A ．15B ．30C ．31D ．6412．在等比数列中，，，则（）{}n a 212a =68a =4a =A.B.C.D.424±2±13．设等比数列的前项和为，若，则( ){}n a n n S 4813S S =816S S =A.B.C.D.19141521514．在等差数列中，，则等于(){}n a 372a a +=9S A.2B.18C.4D.915．在等比数列中，，，，则等于(){}n a 11a =2q =16n a =n A. B. C. D.345616．已知等差数列中，若，，则（）{}n a 21a =-45a =-5S =A. B. C. D.7-13-15-17-17．已知等比数列满足，且，则当时，{}n a 0,1,2,n a n >= 25252(3)nn a a n -⋅=≥1n ≥（）2123221log log log n a a a -+++= A ．B ．C ．D ．(21)n n -2(1)n +2n 2(1)n -18．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，73812则塔的顶层共有灯（）A ．盏B ．盏C ．盏D ．盏123419．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（）{a n }a 2,a 4,a 8{a n }n S n =A ．B ．C ．D ．n(n +1)n(n−1)n(n +1)2n(n−1)220．等差数列的前项和为，若，，则等于（）{}n a n n S 24S =410S =6S A. B. C. D.1218244221．已知等比数列中，，，则（）{}n a 2341a a a =67864a a a =456a a a =A. B.-8C.8D.168±22．一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（）{}n a n 2n 3n A.63B.108C.75D.8323．等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32，则a 6+a 7= ( )A ．9B ．12C ．15D ．16二、填空题24．2与4的等比中项为_________.25．已知是等差数列，是其前项和，若，则的值是_____________.{}n a n S n 75230a a --=17S26．等差数列，的前项和分别为，，且，则______．{}n a {}n b n n S n T 313n n S n T n +=+220715a ab b +=+27．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.n S {}n a n 712a a =-1197S S a =+28．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为{}n a 10091011 3a a =333122019111log log log a a a +++ ____________．29．在等差数列中，已知，则______．{}n a 4816a a +=11S =数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和例题．在等差数列中，已知，．{}n a 15a =59113a a =（1）求数列的前项和的最大值；{}n a n n S （2）若，求数列前项和．n n b a ={}nb n nT练习．已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 35a =-424S =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和的最小值.{}n a n n S 作业．已知数列是公差不为0的等差数列,首项,且成等比数列.{}n a 11a =124,,a a a(1)求数列的通项公式.{}n a (2)设数列满足求数列的前项和为.{}n b 2n an b =，{}n b n n T 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法例：已知数列，求前项和1312--=n n n a n nS 练习．已知的前n 项和，{}n a 243n S n n =-+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和.162n n a +-⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 作业1．设数列满足：，.{}n a 212321111 (333)n n a a a a n -++++=n ∈+N ⑴求；n a ⑵求数列的前项和.{}n a n n S2．设数列是公差为2的等差数列，数列满足，，．{}n a {}n b 11b =22b =()11n n n n a b b n b ++=+（1）求数列、的通项公式； {}n a {}n b （2）求数列的前项和；{}n n a b n n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如，可裂项成，列出前项求和消去一些项)(1k n n a n +=)11(1kn n k a n +-=n ②形如，可裂项成，列出前项求和消去一些项kn n a n ++=1)(1n k n ka n -+=n 例：已知数列，求前项和1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，n nS练习1．等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．{}n a 52a 4a 64a 2434a a =Ⅰ求数列的通项公式；(){}n a Ⅱ设，，求数列的前n 项和．()()()1111n n n n a b a a ++=--*n N ∈{}n b n S 练习2．已知数列满足，且，等比数列中，．{}n a 0n a ≠1133n n n n a a a a ++-={}n b 2146,3,9b a b b ===(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a (2)求数列的前n 项和．{}1n n a a +n S作业1．在等差数列中，为其前项和，且{}n a n S n *()n N ∈335,9.a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和。

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n na a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解：22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=--……2分当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

高中求通项公式练习题

高中求通项公式练习题一、等差数列1. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

2. 已知等差数列的第3项为7，第5项为11，求首项和公差。

3. 已知等差数列的前5项和为35，第5项为15，求首项和公差。

4. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求第8项的值。

5. 已知等差数列的第4项为2，第6项为4，求首项和公差。

二、等比数列1. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第6项的值。

2. 已知等比数列的第3项为8，第5项为32，求首项和公比。

3. 已知等比数列的前4项和为21，第4项为16，求首项和公比。

4. 已知等比数列的首项为4，公比为0.5，求第7项的值。

5. 已知等比数列的第2项为10，第4项为40，求首项和公比。

三、递推数列1. 已知递推数列的通项公式为an = an1 + 2（n≥2），首项为1，求第10项的值。

2. 已知递推数列的通项公式为an = 2an1（n≥2），首项为3，求第6项的值。

3. 已知递推数列的通项公式为an = 3an1 an2（n≥3），首项为1，第二项为2，求第7项的值。

4. 已知递推数列的通项公式为an = an1 + an2（n≥3），首项为1，第二项为1，求第10项的值。

5. 已知递推数列的通项公式为an = 2an1 an2（n≥3），首项为1，第二项为3，求第8项的值。

四、综合题1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

2. 已知数列的前n项和为Sn = 2^n 1，求该数列的通项公式。

3. 已知数列的前n项和为Sn = n(2n+1)，求该数列的通项公式。

4. 已知数列的前n项和为Sn = n^3 + 3n^2 + 2n，求该数列的通项公式。

5. 已知数列的前n项和为Sn = 3^n n^2，求该数列的通项公式。

五、数列的性质与应用1. 已知数列的通项公式为an = n^2 n，求证该数列是递增数列。

2. 已知数列的通项公式为an = 2^n 3，求证该数列是递减数列。

考点20 递推公式求通项(第1课时)——2021年高考数学专题复习真题练习

考点20 递推公式求通项（第一课时）【题组一公式法】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．2．设数列的前n 项乘积为，对任意正整数n 都有，则______． {}n a n T 1n n T a =-n T =3．数列的前项和为，，则它的通项公式为______.{}n a n 23n S n n =+n ∈+N4．若数列的前项和为，且，则______. {}n a n n S 21n n S a =+n a =5．数列的前n 项和，则其通项公式________.{}n a 23nn S =+n a =6．已知数列满足，，则_________________．{}n a ()12323213nn a a a na n ++++=-⋅ N n *∈n a =7．若数列，则_______．}{n a 2*3()n n n N +⋅⋅⋅+=+∈n a =8．已知数列满足：，数列的通项公式。

{}n a 2112313333n n n a a a a -+++⋯+=()*n N ∈{}n a9．设数列满足．数列的通项公式。

{}n a 123232n a a a na n ++++= {}n a10．设数列满足，的通项公式。

{}n a 12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈{}n a11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且{}n a n n S 11a =n a =*n N ∈2n ≥）数列的通项公式。

{}n a12．正项数列前项和为，且，.= 。

{}n a n n S ()214n na S +=()n N*∈na13．已知数列前项和为，若，则__________．{}n a n n S 22nn n S a =-n S =【题组二累加法】1．在数列中：已知，，则数列的通项公式为。

求数列通项公式提升练习题(附答案和方法归纳)

数列11、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

5、已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

6、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

数列2 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项4、已知在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a5、已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

6、已知数列{}n a 中，11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求na7、已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .8、已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a9、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

用构造法求数列的通项公式例题

用构造法求数列的通项公式例题(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1:（06年福建高考题）数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( )A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n 解法1：121+=+n n a a)1(22211+=+=+∴+n n n a a a又211=+a2111=++∴+n n a a {}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。

例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。

解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。

112--=-n n n a a ，（n>1）n>1时1221211222)()()(21112211-=--=++++=+-++-+-=-----n nn n n n n n n a a a a a a a a显然n=1时满足上式∴=n a 12-n 小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。

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求通项公式练习题————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：1. 在数列｛n a ｝中，1a =１, （n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式。

２. 已知数列{}n a 中,311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。

3. 已知数}{n a 的递推关系为4321+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。

4.在数列{}n a 中,11=a ，22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a 。

5.已知数列{n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a (N n ∈），,求数列的通项公式。

6.已知数列{}a n 的前ｎ项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1,公差为2的等差数列．求数列{}a n 的通项公式；7．已知等差数列{a n }的首项a 1 = 1，公差ｄ > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛b n ｝的第二项、第三项、第四项.求数列{a ｎ}与｛b n }的通项公式； 8.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式；9.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…,n ∈*N . 求数列{}n a 的通项; 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a ;11.已知数列{}n a 和{}n b 满足:11a =，22a =，0n a >,1n n n b a a +=（*n ∈N ),且{}n b 是以q 为公比的等比数列. Ｉ）证明:22n n a a q +=;（II ）若2122n n n c a a -=+,证明数列{}n c 是等比数列； 12.设数列｛a n ｝的前项的和S ｎ=31（ａn -1) (n *∈N ). （Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列｛a n }为等比数列.13.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-,数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上. 求数列{}n a 的通项公式;14.已知数列{}n a 的前n 项和Ｓｎ满足2(1),1nn n S a n =+-≥．(Ⅰ)写出数列{}n a 的前3项;,,321a a a (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式． 15．已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

16.已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

１7.已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，,求数列}a {n 的通项公式。

１8.已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，,求数列}a {n 的通项公式。

19 已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

20. 已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

２1．已知数列}a {n 满足413n n a a +=,7a 1=,求数列}a {n 的通项公式。

在数列｛n a ｝中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

已知数列{}n a 中,311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-=试求通项公式n a 。

已知数}{n a 的递推关系为4321+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。

在数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a 。

已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a (N n ∈),,求数列的通项公式。

已知数列{}a n 的前ｎ项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为１,公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式；已知等差数列｛ａn }的首项a 1 ＝１，公差d > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项．求数列{ａn ｝与{b n }的通项公式;已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n .求数列}{n a 的通项公式；设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…,n ∈*N .求数列{}n a 的通项; 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a ;已知数列{}n a 和{}n b 满足:11a =,22a =，0n a >，1n n n b a a +=,且{}n b 是以q 为公比的等比数列．证明：22n n a a q +=;若2122n n n c a a -=+,证明数列{}n c 是等比数列;设数列{a ｎ}的前项的和Ｓn =31(ａn -1) (ｎ*∈N ).(Ⅰ）求ａ１;a 2; 求证数列｛ａn }为等比数列. 已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点,其导函数为'()62f x x =-,数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;已知数列{}n a 的前n 项和S ｎ满足2(1),1nn n S a n =+-≥．(Ⅰ)写出数列{}n a 的前3项;,,321a a a (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式．8. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+,2a 1=,求数列}a {n 的通项公式。

已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，,求数列}a {n 的通项公式。

已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，,求数列}a {n 的通项公式。

14. 已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =⋅+=+，,求数列}a {n 的通项公式。

1７. 已知数列}a {n 满足413n n a a +=,7a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

答案：1. 解: (Ⅰ）由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ，即)1(31221-=+a a a ，得412=a .(Ⅱ）当n >１时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-，公比为21-的等比数列．2. 解:⑴当ｎ=１时,有:Ｓ1=a 1=2a 1＋(-1)⇒ a 1=1;当ｎ=2时,有:S 2＝a 1+a 2＝2ａ2＋（－1)２⇒a ２=0；当n =3时,有：S ３＝a 1+a 2+a 3=２ａ3+(-１)3⇒ａ3=2；综上可知a 1＝1,a 2=0,ａ3=２;⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得:1122(1)n n n a a --=+-上式可化为:1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-｝是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列.故121(1)233nn n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n n n a --=--=--数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n nn a -=--.3. 解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=a ｘ2+bx (a ≠0) ,则ｆ`(x ）=２ax+ｂ,由于ｆ｀（x)=６x-2,得a=3 , b=-2, 所以 f(x)＝３ｘ2-2x.又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3ｎ2-2n.当ｎ≥2时,a n =S n -S n －1=(3n 2－2n)－[])1(2)132---n n （=6ｎ-5．当n ＝１时,ａ1=S １＝3×１2－2=6×１－５，所以,a n ＝6ｎ－5 (n N *∈）．6. 方法(1）:构造公比为—2的等比数列{}nn a 3⋅+λ，用待定系数法可知51-=λ.方法(2)：构造差型数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a )2(，即两边同时除以n)2(- 得：nn n n n a a )23(31)2()2(11-⋅+-=---，从而可以用累加的方法处理. 方法(3):直接用迭代的方法处理：12221221133)2()2(3)32(232--------+-+-=++--=+-=n n n n n n n n n a a a a 12233233)2()32()2(----+-++--=n n n n a =+-+-+-=----12323333)2(3)2()2(n n n n a1232231201033)2(3)2(3)2(3)2(3)2()2(------+-+-+-+-+-+-=n n n n n n n a 52)1(3)2(10nn n na ⋅-++-=-.７. 分析:.1,)1(2≥-+=n a S nn n -① 由,12111-==a S a 得.11=a ﻩ-② 由2=n 得,12221+=+a a a ,得02=a-③由3=n 得，123321-=++a a a a ,得23=a -④用1-n 代n 得 111)1(2----+=n n n a S ﻩﻩ-⑤①—⑤：nn n n n n a a S S a )1(22211-+-=-=-- 即nn n a a )1(221--=-ﻩﻩ--⑥[]nn n n n n n n n a a a a )1(2)1(22)1(2)1(222)1(221222121----=----=--=-----n n n n a )1(2)1(2)1(2222111------==--- []12)1(232---+=n n ﻩ8. 解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+,得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n =-++, 故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)21n 23(a -=。