概率论与数理统计总复习

概率论与数理统计总复习

1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。 随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定

性，但在大量重复试验中结果又具有统计规

律性的现象。

2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=

3、逆事件或对立事件：

φ=⋂=⋃B A S B A 且

4、德∙摩根律：

B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂

5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。

6、概率的性质

（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；

（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有

∑==n

i i n A P A A P 1

1)()...(

（4）()0P φ=；

（5）单调不减性：

若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，

()()()P B A P B P AB -=-

（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：

P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

)()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃

7、古典概型中的概率: ()

()()

N A P A N S =

①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。例：从甲、乙两班各选一个代表。

②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。 例：从甲、乙两班中选出一个代表。 8、条件概率

()

(A|B)()

P AB P P B =

（定义） P(AB)=P(A)P(B|A)（乘法定理）

9、设S 为试验E 的样本空间, B 1,B 2,...,B n 为E 的一组事件, 若 (1) B i B j =φ, i ≠j, i,j=1,2,...,n;

(2) B 1⋃B 2⋃...⋃B n =S,

则称B 1,B 2,...,B n 为样本空间的一个划分. 10、全概率公式与贝叶斯公式

(A)(|)()(|)()P P A B P B P A B P B =+(|)()

(|A)(|)()(|)()

P A B P B P B P A B P B P A B P B =

+11、独立性：

P(AB)=P(A)P(B) 两个事件

(AB)()()()()()

()()()()()()()

P P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C =⎧⎪=⎪

⎨

=⎪⎪=⎩三个事件

12、常用的离散型分布： ~(1,)X b p ：(0-1)分布

P{X=k}=p k (1-p)1-k , k=0,1 (0

{}1)k k

n k n P X k C p p -==⋅-（(0

E(X)=np, D(X)=np(1-p) ~()X P λ：泊松分布 {}(0)!

k e P X k k λ

λλ-==

>

E(X)=λ, D(X)=λ

一般地，当20n ≥,0.05n p ≤时，用泊松分布（参数n np λ=）作为二项分布的近似时效果颇佳。

13、分布函数：(){}F x P X x =≤ ()0,()1F F -∞=∞= 14、概率密度函数： 21

12121221(1)()0.(2)()1.

(3),,(),{}()().()(4)()()().

x x f x f x dx x x x x P x X x F x F x f x dx

f x x F x f x ∞-∞

≥=≤<≤=-='=⎰

⎰

对于任意实数若在点处连续，则有

15、常用的连续型随机变量： X~U(a,b)：均匀分布 1

,()=0,a x b f x b a

⎧<<⎪

-⎨⎪⎩

其它 ()2a b E X +=, 2

()()12

b a D X -=

X~E (λ)：指数分布（λ>0）：

,0()=0,x

e x

f x λλ-⎧>⎪⎨⎪⎩

其它

1

()E X λ

=

, 2

1

()D X λ=

X~N(μ,2

σ)：正态分布

22

()2(,(,)x f x x μσ--

∈-∞∞

()E X μ=, 2()D X σ=

16、随机变量的函数()Y g X =的分布 ①确定Y 的可能取值范围； ②求Y 的分布函数

()=P{Y y}=P{g(X)y}Y F y ≤≤

通过不等式等价变换,最终将其表示为X F 的函数的形式

③将F Y (y)关于y 求导数, 即得Y 的概率密度。注意标注y 的取值范围。 17、二维随机变量的分布函数：(,){,}F x y P X x Y y =≤≤ F X (x)=F(x,∞) (,)0,(,)0

(,)0,(,)1

F F F F -∞-∞=∞-∞=-∞∞=∞∞=

18、二维随机变量的概率密度: （1）f(x,y)≥0. （2）(,)1f x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=⎰

⎰

.

（3）若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有

(,)

(,)F x y f x y x y

∂=∂∂ （4）()(,)X f x f x y dy ∞

-∞=⎰（注意取值范围）

（5）|(,)

(|)()

X Y Y f x y f x y f y =

(条件概率密度只用于计算概率密度，不能用于计算概率)

19、随机变量的独立性 若对所有x,y 有

P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y} 即F(x,y)=F X (x)F Y (y)

则称随机变量X 和Y 是相互独立的。 等价命题有

f(x,y)=f X (x)f Y (y)（连续型）

P{X=x i ,Y=y j }=P{X=x i }P{Y=y j }（离散型）