关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

正项级数指的是所有项都是正数的级数。求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。

1. 通项公式法

如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为

$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。但如果通项公式不容易明

确表示出来，就需要采用其他方法。

2. 比较判别法

当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比

较判别法。若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}

b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。其中，$a_n$和$b_n$都是正数。

3. 极限比值法

极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比

值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；

如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。此外，当无法计算极限时，也可

以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。

将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。若存在一个$a>0$，使得函数

$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性

相同。

5. 积分判别法的变形

以上就是正项级数敛散性判定方法的总结比较。不同的方法适用于不同类型的正项级数，选择合适的方法能够有效地解决敛散性问题。