结构力学课后答案第10章结构动力学
《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(1)-11.20修改解析
ky
方向产生自由振动,在任一时刻 t
动力计算涉及到内外各方面的因素: 1)确定动力荷载(外部因素,即干扰力);
2)确定结构的动力特性(内部因素,如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等);
3)计算动位移及其幅值;计算动内力及其幅值。
2、动力荷载分类
按变化规律及其作用特点可分为: ⑴ 周期荷载:
荷载随时间作周期性变化。最简单也是最重要的一种称为简谐荷载,荷 载FP (t )随时间t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示,如转动电机的偏心力。 其他的周期荷载可称为非简谐性的周期荷载。
第 10 章
结构动力计算基础
高耸结构
结构特点
•风荷载起控制作用; •无围护结构,构件的维护保养很重要; •施工技术:
•对于钢结构,分段制作、高空吊装和拼接技术; •对于钢筋混凝土结构,模板提升、混凝土垂直运输技术; •与周围环境协调,比如可能需安装航空障碍标志; •主要承受的风荷载、地震荷载有动力性质,需考虑结构振动特性; •基础不同于一般结构,会出现拔力甚至起控制作用。
义坐标的一种特殊应用。将结 构分成若干个单元。单元的结 点位移作为基本未知量(广义
m l/5
m l/5
m l/5
m l/5
0
1
2
3
4
5
l/5
l/5
l/5
l/5
l/5
0
1y1 = 1 2
3
4
5
坐标)。整个结构的位移曲线
φ1(x)
则借助于给定的形状函数叠加 0
θ1 = 1 2
3
4
5
而得。
1 φ2(x)
如图10-9a中,梁分为5个单元,取结点位移参数(挠度y 和转角θ)作为
结构力学:第十章结构动力学6
1 x2 12; 2 x3 2 6x
精确解:m1
3.516 EI l 2
EI m
xl2
22.03 l2
EI m
l
代入: kij 0 EIi jdx,
l
mij 0 mi jdx
说求代明2得:入故)R1k频第a)i由jy,二率le于i频g方mφh率—i1程j、:不Rφ:[i准t2kz均法。]近所似得6于4结EE第果IIl一仍l2振然1型6偏2E,E高I由I,ll2它3其们原, 组因合[同m的瑞]第利二法 振mm。65型ll 65自然mm很76ll差76 ,
§10-7 近似法求自振频率
1、能量法求第一频率——Rayleigh法
根据能量守恒定律,当不考虑阻尼自由振动时,振动体系在任何时刻的动 能T 和应变能U 之和应等于常数。 ※根据简谐振动的特点可知:在体系通过静力平衡位置的瞬间,速度最大(动 能具有最大值),动位移为零(应变能为零);当体系达到最大振幅的瞬间 (变形能最大),速度为零(动能为零)。对这两个特定时刻,根据能量守恒
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例 试求等截面简支梁的第一频率。
1)假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2)假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
越准。
5
例 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解:悬臂梁的位移边界条件为:
结构力学课后习题答案
习题及参考答案【习题2】【习题3】【习题4】【习题5】【习题6】【习题8】【习题9】【习题10】【习题11】【习题12】【习题13】【习题14】【参考答案】习题22-1~2-14试对图示体系进行几何组成分析,如果是具有多余联系的几何不变体系,则应指出多余联系的数目。
题2-1图题2-2图题2-3图题2-4图题2-5图题2-6图题2-7图题2-8图题2-9图题2-10图题2-11图题2-12图 题2-13图 题2-14图习题33-1 试作图示多跨静定梁的M 及Q 图。
(b)(a)20kN40kN20kN/m40kN题3-1图3-2 试不计算反力而绘出梁的M 图。
(b)5kN/m40kN(a)题3-2图习题44-1 作图示刚架的M 、Q 、N 图。
(c)(b)(a)20kN /m2kN /m题4-1图4-2 作图示刚架的M 图。
P(e)(d)(a)(b)(c)20k N /m4kN题4-2图4-3 作图示三铰刚架的M 图。
(b)(a)题4-3图4-4 作图示刚架的M 图。
(a)题4-4图4-5 已知结构的M 图,试绘出荷载。
(b)(a)题4-5图4-6 检查下列刚架的M 图,并予以改正。
(e)(g)(h)P(d)(c)(a)(b)(f)题4-6图习题55-1 图示抛物线三铰拱轴线方程x x l lfy )(42-=,试求D 截面的内力。
题5-1图5-2 带拉杆拱,拱轴线方程x x l lfy )(42-=,求截面K 的弯矩。
C题5-2图 题5-3图5-3 试求图示带拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。
习题66-1 判定图示桁架中的零杆。
(c)(b)题6-1图6-2 用结点法计算图示桁架中各杆内力。
(b)题6-2 图6-3 用截面法计算图示桁架中指定各杆的内力。
(b)题6-3图6-4 试求图示组合结构中各链杆的轴力并作受弯杆件的M 、Q 图。
(a)题6-4图6-5 用适宜方法求桁架中指定杆内力。
(c)(b)(a)题6-6图习题88-1 试作图示悬臂梁的反力V B 、M B 及内力Q C 、M C 的影响线。
《结构力学》_龙驭球_10_动力学(3)
例9-3-1 图示单自由度体系,已知FP0 = 5kN, m = 800 kg,EI = 4.5×107 kN· cm2,θ= 35(1/s),g = 9.8 m / s2。在平稳阶段,求C截面的最大位移和B截面 的最大弯矩。 解: 求柔度系数δ 1)
FP0 sin t
EI m 2m C
1 1 2 [ 2 2 2 EI 2 3 1 2 1 4 2 ( 2 1) 2 3 3 1 8 20 ( 4) EI 3 3EI 20 1 3 4.5 10 7 103 10 4 1.48 10 6 m / N
FP (t) P0
tr
t
这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel 积分来求解:
y st sint 当t t r t , tr y (t ) y st 1 1 {sint sin (t t r )}, 当t t r t r
β 2 1 1/6
ymax yst 2sin
u
2
动力系数反应谱
(β与T和u之间的关系曲线)
u u 1 2 sin T , 当 T 2 2, 当 u 1 T 2
1/2
u T
⑶ 线性渐增荷载
FP 0t t , 当 0 t tr FP (t ) r F , 当 t tr P0
对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其 动力系数的反应谱如下:
2.0 1.8 1.6
β
动力系数反应谱
FP0
tr
1.4
1.2 1.0 0
tr 4.0 T
1.0
2.0
3.0
《结构力学》-龙驭球-10-动力学(6)
当 m1 = m2 = m,k1 = k2 = k
Y1
FP
(k
D0
2m)
D0 (2k m 2 )(k m 2 ) k 2
Y2
FP k D0
D0
k2k11k2k22132 mk2m1kmk2222k1m2k22mm 24
2 mD214 FPk1 2k22 2m2 m2D(2mk22 FP32 mkk11 2 2m41)
m1
m2
同作用下的位移。
Y1
Y2
y1(t) m1 y1(t)11 m2 y2 (t)12 1p sin t
y2 (t) m1 y1(t)21 m2 y2 (t)22 2 p sin t
m1 y1(t)11 m2 y2 (t)12 Y1 1p sin t
m1 y1(t)21 m2 y2 (t)22 Y2 2 p sin t
由此可得位移的幅值为
Y1
D1 D0
Y2
D2 D0
D0
(m1
2 11
1)
m1 221
m2
2 12
(m2
2 22
1)
D1
1P 2P
m2
2 12
(m2
2 22
1)
D2
(m1
2 11
1)
m1 221
1P 2P
如图示对称结构在对称荷载作用下。
k11 k22 , k12 k21
l/3 与ω2相应的振型是
Psinθt m
荷载幅值: FP1 = FP , FP2 = 0 。
Y1
D1 D0
FP1
k22 2m2
D0
k12FP2 FP (k2 2m2 )
D0
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题:结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下,结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载,其惯性力与外荷比很小,分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关,而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学课后答案第10章结构动力学
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2,材料密度 =0.0025kg/cm3;柱子的横截面面积A1=100cm2,惯性矩I1=833.33cm4;梁的横截面面积A2=150cm2,惯性矩I2=2812.50cm4。
解:
若 为静力荷载,弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构,具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程:
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用,试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2,t1=0.1s,FP0=8×104N。
则同样有: 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ,A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ,C、E处弹簧的刚度系数为k,B处阻尼器的阻尼系数为c,试建立体系自由振动时的运动方程。
解:
取DF隔离体, :
取AE隔离体:
将R代入,整理得:
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解:(1)以支座B处转角作为坐标,绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布,方向与运动方向相反。
解:
图 图
(1)求结构运动方程
如所示弯矩图,图乘后,
其中 ,稳态解:
所示结构的运动方程为 ,C点最大动位移幅值为
(2)求B点的动位移反应
,
B点的动位移幅值为
(3)绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性,弹簧的刚度系数为k。
解:
结构力学 第10章 (四川大学)解析
三、动力计算中体系的自由度
结构动力分析是以质点的位移为基 本未知量。
动力自由度定义为: 在振动过程的任一时刻,确定体系全 部质量位置所需的独立几何参数数目,称 为该体系的动力自由度。
集中质量法
由于实际结构的质量都是连续分布的,因此任何一 个实际结构都可以说具有无限个自由度体系。
将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个 或某些位置上,从而将无限自由度体系简化为有限自 由度体系。
(2) 取隔离体如图所示。
FS
Fb
m
FI
FP (t)
图中惯性力、阻尼力和
第二,这里考虑的是瞬时的平衡,荷载、 内力等都是时间的函数。
二、 动力荷载的分类
(1) 周期荷载:这类荷载随时间作周期性变化, 如图所示。例如船舶中螺旋桨产生的作用于船体 的推力就是一种周期荷载。显然,简谐荷载也属 于周期荷载。
(2)冲击荷载:其特点是荷载值在短时间内急 剧增大或者是荷载值急剧减小,如各种爆炸荷 载。
(3)采用集中质量法和广义坐标法都可使无限 自由度体系简化为有限自由度体系,它们所采用 的手法是不同的。
集中质量法:将结构的分布质量按一定规则集
中到结构的某个或某些位置上,认为其他地方没 有质量。质量集中后,结构杆件仍具有可变形性 质,称为“无重杆”。
10.2 单自由度体系运动方程的建立
研究单自由度的目的: 单自由度体系的动力分析虽然比较简单,但 非常重要。这是因为: (1) 很多实际的动力问题常可按单自由度 体系进行计算,或进行初步的估算。 (2)单自由度体系的动力分析是多自由度 体系动力分析的基础。
体系的运动方程
根据达朗贝尔原理
引入惯性力
建立瞬时平衡方程
从平衡的角度
《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(4)解析
忽略阻尼影响时所得结果 能大不体能上 反映实际结构的振动规律。
忽略阻尼的振动规律
考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性,与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。
自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
τ
d
t
t
可视为以 v0 = FP dt / m,y0= 0 为初始条件的自
由振动:
y
e-t
FP dt
mr
sin rt
③ 将荷载FP (t) 的加载过程 看作 一系列瞬时冲量:
dy
FP ( )d mr
e- (t - )
sin r (t
- )
④ 总反应
y(t)
t 0
FP ( )e-(t- ) mr
sin r (t
- )d
e -
t
y0
cos r t
v0
y0 r
sin r t
⑴ 突加荷载FP0
y(t)
FP 0
m 2
[1 -
e-t
(cos
r
t
-
r
sin
r
t
)]
ys
t
0π
具有阻尼的体系在 突加荷载作用下,最初 所引起的最大位移接近 于静位移 yst =FP0 / mω2 的两倍, 然后逐渐衰 减,最后停留在静力平 衡位置。
设 yk 和 yk+n 是相隔 n 个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此方法测定阻尼
一般钢混结构 0.05,钢结构 (0.02~0.03)。
结构力学:第十章结构动力学2
m
m
m
l/2
l/2
解:1)求δ
1
l3 48EI
l/2 3l/16
l/2
P=1
l/2
2
7l 3 768EI
5l/32
P=1
l/2
l/2
3
l3 192EI
1
1
m1
48EI ml3
21
E1Im1l622(2
l 2
y
e
t
y0
cos
r
t
v0
y0 r
sin
r
t
y et asin(rt )
y
a
y02
(v0
2 r
y0
)2
tg y0r v0 y0
①阻尼对自振频率的影响.
r 1 2 , 随 而 y
当ξ<0.2,则存 在0.96<ωr/ω<1。在 工程结构问题中, 若0.01<ξ<0.1,可近 似取:
r , Tr T
例:已知m=300kg,EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1
求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。
Psinθt
解:1)求ω
1
2
l3 48EI
1 2
1 2k
m
k
EI
l3 l 3 5l3
2m
2m
48EI 192EI 192EI
2)求β
1
m
192 EI 5ml 3
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
《结构力学》课后习题答案__重庆大学出版社
第1章 绪论(无习题)第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零,则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0,则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W <0,则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后,剩余部分为简支刚架,所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后,成为习题2.1(6) (b)图,故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后,成为习题2.1(6) (c)图,故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)AEBFCD习题 2.1(6)图【解】(1)正确。
(2)错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
(3)错误。
(4)错误。
只有当三个铰不共线时,该题的结论才是正确的。
(5)错误。
CEF 不是二元体。
(6)错误。
ABC 不是二元体。
(7)错误。
EDF 不是二元体。
习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系,有_________个多余约束。
结构力学第10章 结构动力计算基础0710
5. 动力自由度
动力自由度(简称自由度)就是指在振动过程中任一时刻确定结构全部质量位
置所需的独立几何(位移)参数的数目。 结构动力自由度是指体系中全部质量的运动自由度,又称为弹性体系自由度;
而体系几何组成分析中的自由度是研究体系整体运动情况的,不考虑杆件本身
的微小变形,因而又称为刚体体系自由度。二者不是同一个概念。 实际结构都是由变形体构成,质量连续分布,属于无限自由度体系。所有
y ( x, t ) Ak (t )k ( x)
k 1
n
(3)有限单元法 用有限单元法分析动力问题,以结点位移来表达结构上各点的位移状态。先将整 个结构离散成有限个单元,单元之间以结点相连,结点的位移就是作为广义坐标。 与广义坐标法相比,有限单元法采用了位移函数(形状函数)的概念,但不同于 广义坐标法在整个体系上定义位移函数,而是采用了分段定义的位移函数,因此,位 移函数的形状相对简单。有限单元法中的广义坐标是结点位移,有明显的几何意义, 与集中质量法一样,也是真实直观的物理量。
2. 动荷载的概念及其分类 引起结构静力响应和动力响应不同的原因是荷载的不同。根据作用 性质的不同,荷载分为静荷载和动荷载。 静荷载的大小、方向和位置不随时间变化或变化相对缓慢,不会使 结构产生明显的加速度,计算过程中可忽略惯性力的影响。结构的恒载 都是静荷载。只考虑位置改变,不考虑动力效应的移动荷载也是静荷载, 如绘制影响线中的移动荷载等。
而惯性力对结构的响应又会产生重要影响。计算中必须考虑惯性力的影响,这
也是动力问题与静力问题的根本区别。 此外,动荷载的变化规律、阻尼参数等也是动力计算时需要考虑的重要因 素,这是结构静力计算时所不需要的。 4.动力特性和动力响应 结构的动力特性是指与结构自身质量、刚度分布和能量耗散等有关的物理量, 如自振频率(周期)、振型和阻尼等参数结构的动力响应是指结构在动荷载作用下 产生的动内力、动位移、速度和加速度等参数,它们都是时间的函数,与结构本身 的动力特性和动荷载作用规律密切相关。
结构力学课后习题答案
结构力学课后习题答案(总23页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题及参考答案【习题2】【习题3】【习题4】【习题5】【习题6】【习题8】【习题9】【习题10】【习题11】【习题12】【习题13】【习题14】【参考答案】习题22-1~2-14试对图示体系进行几何组成分析,如果是具有多余联系的几何不变体系,则应指出多余联系的数目。
题2-1图题2-2图题2-3图题2-4图题2-5图题2-6图题2-7图题2-8图题2-9图题2-10图题2-11图题2-12图 题2-13图 题2-14图习题33-1 试作图示多跨静定梁的M 及Q 图。
(b)(a)20kN10kN40kN20kN/m40kN题3-1图3-2 试不计算反力而绘出梁的M 图。
(b)5kN/m40kN(a)题3-2图习题44-1 作图示刚架的M 、Q 、N 图。
(c)(b)(a)/20kN /m2kN /m题4-1图4-2 作图示刚架的M 图。
P(e)(d)(a)(b)(c)20k N /m4kN题4-2图4-3 作图示三铰刚架的M 图。
(b)(a)题4-3图4-4 作图示刚架的M 图。
(a)题4-4图4-5 已知结构的M 图,试绘出荷载。
(b)(a)题4-5图4-6 检查下列刚架的M 图,并予以改正。
(e)(g)(h)P(d)(c)(a)(b)(f)题4-6图习题55-1 图示抛物线三铰拱轴线方程x x l lfy )(42-=,试求D 截面的内力。
题5-1图5-2 带拉杆拱,拱轴线方程x x l lf y )(42-=,求截面K 的弯矩。
C题5-2图 题5-3图5-3 试求图示带拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。
习题66-1 判定图示桁架中的零杆。
(c)(b)题6-1图6-2 用结点法计算图示桁架中各杆内力。
(b)题6-2 图6-3 用截面法计算图示桁架中指定各杆的内力。
(b)题6-3图6-4 试求图示组合结构中各链杆的轴力并作受弯杆件的M 、Q 图。
10结构动力学概论
当 FP (t)为简谐荷载时,其解的形式为
第十章 结构动力学简介
y(t)
y0
cos ωt
ν0 ω
sin ωt
F
θ sin ωt
F
sin θt
m(ω2 θ 2 ) ω
m(ω2 θ 2 )
前两项为初始条件引起的自由振动;第三项为荷载(干扰力)引起的自由振 动,称为伴生自由振动。实际上,由于阻尼的存在,自由振动部分都很快 衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。第四项为按荷载频率 进行的振动,此阶段为振动的平稳阶段,称为纯受迫振动或稳态振动。
2、平衡方程的建立
平衡方程的建立有两种方法:一是刚度法;一是柔度法。
my
y k
k
m
刚度法:根据达兰贝尔原理,沿位移正向,在质点上加上惯性力,列动态平 衡方程
ky my
k y ——总是与位移方向相反,指向平衡位置
平m衡y 方—程—与加速m度y方向相k反y 0
第十章 结构动力学简介
柔度法:在惯性力作用下,质点的位移等于实际位移
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十章 结构动力学简介
§10-1 概述
一、动力计算的内容
动力计算的内容:研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素: 1)确定动力荷载(外部因素,即干扰力); 2)确定结构的动力特性(内部因素,如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等),类似静力学中的I、S等; 计算动位移及其幅值;计算动内力及其幅值。
纯受迫振动解的讨论请同学们课下自学完成!
第十章 结构动力学简介
三、阻尼对振动的影响
§10-3 单自由度体系的振动分析
结构力学第10章-结构动力计算基础
t m y y ( t ) 的方 质点位移y(t)的方向相反;惯性力F ,它与质点加速度 I=
向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上,则质点
重量的影响不必考虑。
对于无阻尼自由振动,质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于
(a)二质点三自由度结构
(b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3)结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出:
① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目;
② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关;
③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1)运动微分方程的建立
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2)简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移,其最大动位移(即振幅)为
F 1 F A 2 2 2 2 m m ( ) 1 2
由于
1 11 m 2
,代入上式,有
1 1 F A F y 1 1 2 2 st 1 2 1 2
m y ( t ) + ky t ) = 0 动力平衡状态,则有 F ,此式可改写为 F 1 1( I+ s =0,即
(t)+ y k 1 1 y(t) =0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程,这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后,梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
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解:
若 为静力荷载,弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构,具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程:
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用,试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2,t1=,FP0=8×104N。
(a)
则同样有: 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ,A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ,C、E处弹簧的刚度系数为k,B处阻尼器的阻尼系数为c,试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解:
取DF隔离体, :
取AE隔离体:
将R代入,整理得:
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解:(1)以支座B处转角作为坐标,绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布,方向与运动方向相反。
图 图
(1)求结构运动方程
如所示弯矩图,图乘后,
其中 ,稳态解:
所示结构的运动方程为 ,C点最大动位移幅值为
(2)求B点的动位移反应
,
!
B点的动位移幅值为
(3)绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性,弹簧的刚度系数为k。
(2)画出 和 图(在B点处作用一附加约束)
…
(3)列出刚度法方程
, ,
代入 、 的值,整理得:
(b)
解:
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
由图乘法:
,
惯性力矩为 ,
经整理得,体系运动方程为: 。
10-11试求图示各结构的自振频率,忽略杆件自身的质量。
(a)解:在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。
第一阶段( ):
}
求T的过程。
图
, ,
第二阶段( )
因为不受外力作用,所以横梁以 时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
(b)
10-23设题10-22图a所示刚架m=4000kg,h=4m,刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ=。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5%,试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。
将 代入方程组(*)中得: ,即
振型图如下:
第一振型 第二振型
10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程(10-66)和(10-71)时,对动力荷载的性质、特点和作用位置分别有何要求
10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上,按静力学方法计算体系的动内力幅值。
<
10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移 ,并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷载频率 ,B点处弹性支座的刚度系数 ,忽略阻尼的影响。
第十章
10-5试确定图示各体系的动力自由度,忽略弹性杆自身的质量。
(a)
(b)
^
分布质量的刚度为无穷大,由广义坐标法可知,体系仅有两个振动自由度y, 。
(c)
<
(d)
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。
10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量 ,B处有一弹性支座(刚度系数为k),C处有一阻尼器(阻尼系数为c),梁上受三角形分布动力荷载作用,试用不同的方法建立体系的运动方程。
-
设 ,
;
使 ,则
(2)
设
如果使速度响应最大,则 最大,设 ,显然要求 最小。使: 得 。
(3)
令 显然要求 最小。
则 解的:
10-26试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
(a)
:
解:
¥
图 图
(1)
,
(2)振型方程
令 ,频率方程为:
(3)振型图如下
[
第一振型第二振型
(b)
`
解:
体系具有两个自由度。先求柔度系数,做出单位弯矩图,由图乘法可得:
得振型方程:
)
,令
,由频率方程D=0
解得: ,
,
(c)
解:
图 图
(1) , ,
(2)振型方程
。
令 ,频率方程为:
(3)当 时,设
当 时,设
绘出振型图如下:
第一振型 第二振型
(d)
解:
#
图 图
频率方程为:
取 代入整理得:
其中
~
振型方程为:
将 代入(a)式中的第一个方程中,得:
绘出振型图如下:
第一振型 第二振型
水平支杆中力为 ,即 。,
(e)忽略水平位移
(
解:
图
(f)
》
解:
图 图 M图
10-15设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm,试求该结构的阻尼比ξ。解:
10-16设有阻尼比ξ=的单自由度结构受简谐荷载FP(t)=F 作用,且有 。若阻尼比降低至ξ=,试问要使动位移幅值不变,简谐荷载的幅值应调整到多大
;
(e)
!
解:
图 图
图
(1) , ,
(2)振型方程
]
令 ,频率方程为:
振型图如下:
第一振型 第二振型
第三振型
(f)
}
解:
图 图 图
(2)振型方程为:
:
令 ,频率方程为:
\
10-27试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
(a)
解:
图 图
,
,
振型图如下:
\
第一振型 第二振型
(b)
…
解:
图 图
}
M图
\
10-32图示刚架各横梁为无限刚性,试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知m=100t,l=5m,EI=5×105kNm2;简谐荷载幅值F=30 kN,每分钟振动240次;忽略阻尼的影响。
—
解:
层间刚度设为k,
F=30KN l=5m
动位移幅值方程为:
将具体数值代入,解得:
)
底柱柱端弯矩幅值:
(
解:
图 图
画 图
-
列出方程得:
解得:
根据公式 画出最大动力弯矩图。
M图
10-31图示结构在B点处有水平简谐荷载 作用,试求集中质量处的最大水平位移和竖向位移,并绘制最大动力弯矩图。设 ,忽略阻尼的影响。
】
解:作出 图
图 图 图
,
,
,代入惯性力幅值方程:
解得: ,
将以上求得最大惯性力 、 和动力荷载,同时作用于结构,可得最大动力弯矩图:
解:
刚度矩阵 质量矩阵
得:
正则坐标 应满足方程:
其稳态响应为:
同理可得:
于是
(竖直方向)
(水平方向)
10-38试用基于能量原理的近似法求图示梁的基本频率。
(a) (b)
题10-38图
10-39试用瑞利-里兹法求图示变截面悬臂梁的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知梁的截面厚度为b;高度按直线规律变化,为 ;设梁单位面积范围内的质量为 。设振型函数为 。
对于CD杆件,相当于在中点作用一集中力
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想,这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解:
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得:
则 应满足方程
其稳态响应为:
同理:
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时,质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1=ξ2=。
中柱柱端弯矩幅值
顶柱柱端弯矩幅值:
10-33试求图示结构两质量处的最大竖向动位移,并绘制最大动力弯矩图。设m1=m2=m, 。
—
解:该结构有两个自由度,使用刚度法。
的求解过程:
的求解过程:
—
左构件
将上述刚度系数,质量值及荷载幅值代入位移幅值方程,并计
解得:
最大动力弯矩图
求解过程:
对于AB杆件,相当于在中点作用一集中力
解:
|
已知 从降低至. , ,A不变。
F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。
10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值,并绘制最大动力弯矩图。设 。
(a)
解:由力法可知,单位荷载作用在B点引起 位移。
,
%
即幅值为
当幅值最大时,弯矩也最大。
图
(b)
解:
(
振型方程:
令 ,频率方程为:
(c)
解:
图 图
作出附加连杆移动单位位移的弯矩图
?
, ,
列出频率方程:
解得: 结构自振频率分别为:
求第一振型:令 得
求第二振型:令 得
结构的振型向量形式为:
振型图如下:
第一振型 第二振型
?
(d)
>
解:
图 图
, ,
列振型方程: 其中
列频率方程并求解:
,
求振型
将 代入方程组(*)中得: ,即
解:1)刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A截面转角a为坐标顺时针为正,此时作用于分布质量 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为 。
取A点隔离体,A结点力矩为:
由动力荷载引起的力矩为:
:
由弹性恢复力所引起的弯矩为: