结构力学课后答案第10章结构动力学
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图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
-
；
(e)
！
解：
图 图
图
（1） ， ，
（2）振型方程
]
令 ，频率方程为：
振型图如下：
第一振型 第二振型
第三振型
(f)
}
解：
图 图 图
（2）振型方程为：
：
令 ，频率方程为：
\
10-27试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
(a)
解：
图 图
，
，
振型图如下：
\
第一振型 第二振型
(b)
…
解：
图 图
}
(a)
解：
图
—
图乘得：
(b)
#
解：此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为 。
由此根据弯矩平衡可求得 。
。
(c)
#
解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。
上简支梁柔度系数为 下简支梁柔度系数为
于是两者并联的柔度系数为 ，
(d)
、
解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。
第十章
10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。
(a)
(b)
^
分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y， 。
(c)
<
(d)
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。
10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量 ，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
由图乘法：
，
惯性力矩为 ，
经整理得，体系运动方程为： 。
10-11试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。
中柱柱端弯矩幅值
顶柱柱端弯矩幅值：
10-33试求图示结构两质量处的最大竖向动位移，并绘制最大动力弯矩图。设m1＝m2＝m， 。
—
解：该结构有两个自由度，使用刚度法。
的求解过程：
的求解过程：
—
左构件
将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计
解得：
最大动力弯矩图
求解过程：
对于AB杆件，相当于在中点作用一集中力
对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
解：1）刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为 。
取A点隔离体，A结点力矩为：
由动力荷载引起的力矩为：
:
由弹性恢复力所引起的弯矩为：
根据A结点力矩平衡条件 可得：
整理得：
2）力法
解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移 。根据几何关系，虚功方程为：
解：（1）求周期数。
>
（2）求k：
两柱并联
10-24 设某单自由度体系在简谐荷载FP(t)=F 作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率 分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大
解：在简谐荷载FP(t)=F 作用下，稳态位移响应可表示为
其中：源自文库
（1）使动位移最大，即使 最大，从而得出 最小。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
得：
正则坐标 应满足方程：
其稳态响应为：
同理可得：
于是
（竖直方向）
（水平方向）
10-38试用基于能量原理的近似法求图示梁的基本频率。
(a) (b)
题10-38图
10-39试用瑞利－里兹法求图示变截面悬臂梁的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知梁的截面厚度为b；高度按直线规律变化，为 ；设梁单位面积范围内的质量为 。设振型函数为 。
(a)解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。
第一阶段（ ）：
}
求T的过程。
图
， ，
第二阶段（ ）
因为不受外力作用，所以横梁以 时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
(b)
10-23设题10-22图a所示刚架m＝4000kg，h＝4m，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
10-26试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
(a)
：
解：
￥
图 图
（1）
，
（2）振型方程
令 ，频率方程为：
（3）振型图如下
[
第一振型第二振型
(b)
`
解：
体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：
将 代入方程组（*）中得： ，即
振型图如下：
第一振型 第二振型
10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性质、特点和作用位置分别有何要求
10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。
<
10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移 ，并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷载频率 ，B点处弹性支座的刚度系数 ，忽略阻尼的影响。
解：
|
已知 从降低至. ， ，A不变。
F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。
10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设 。
(a)
解：由力法可知，单位荷载作用在B点引起 位移。
，
%
即幅值为
当幅值最大时，弯矩也最大。
图
(b)
解：
(
振型方程：
令 ，频率方程为：
(c)
解：
图 图
作出附加连杆移动单位位移的弯矩图
?
， ，
列出频率方程：
解得： 结构自振频率分别为：
求第一振型：令 得
求第二振型：令 得
结构的振型向量形式为：
振型图如下：
第一振型 第二振型
?
(d)
>
解：
图 图
， ，
列振型方程： 其中
列频率方程并求解：
，
求振型
将 代入方程组（*）中得： ，即
解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。
可将排架柱视为三个并联的弹簧。
边柱刚度柔数 中柱 ，
：
， 数值很小
所以认为当 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：
再根据势能守恒得：
，
10-22设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。
M图
\
10-32图示刚架各横梁为无限刚性，试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知m＝100t，l＝5m，EI=5×105kNm2；简谐荷载幅值F＝30 kN，每分钟振动240次；忽略阻尼的影响。
—
解：
层间刚度设为k，
F=30KN l=5m
动位移幅值方程为：
将具体数值代入，解得：
)
底柱柱端弯矩幅值：
题10-39图 题10-40图
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度 ＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
（
解：
图 图
画 图
-
列出方程得：
解得：
根据公式 画出最大动力弯矩图。
M图
10-31图示结构在B点处有水平简谐荷载 作用，试求集中质量处的最大水平位移和竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。设 ，忽略阻尼的影响。
】
解：作出 图
图 图 图
，
，
，代入惯性力幅值方程：
解得： ，
将以上求得最大惯性力 、 和动力荷载，同时作用于结构，可得最大动力弯矩图：
水平支杆中力为 ，即 。，
(e)忽略水平位移
(
解：
图
(f)
》
解：
图 图 M图
10-15设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼比ξ。解：
10-16设有阻尼比ξ＝的单自由度结构受简谐荷载FP(t)=F 作用，且有 。若阻尼比降低至ξ＝，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
-
；
(e)
！
解：
图 图
图
（1） ， ，
（2）振型方程
]
令 ，频率方程为：
振型图如下：
第一振型 第二振型
第三振型
(f)
}
解：
图 图 图
（2）振型方程为：
：
令 ，频率方程为：
\
10-27试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
(a)
解：
图 图
，
，
振型图如下：
\
第一振型 第二振型
(b)
…
解：
图 图
}
(a)
解：
图
—
图乘得：
(b)
#
解：此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为 。
由此根据弯矩平衡可求得 。
。
(c)
#
解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。
上简支梁柔度系数为 下简支梁柔度系数为
于是两者并联的柔度系数为 ，
(d)
、
解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。
第十章
10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。
(a)
(b)
^
分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y， 。
(c)
<
(d)
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。
10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量 ，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
由图乘法：
，
惯性力矩为 ，
经整理得，体系运动方程为： 。
10-11试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。
中柱柱端弯矩幅值
顶柱柱端弯矩幅值：
10-33试求图示结构两质量处的最大竖向动位移，并绘制最大动力弯矩图。设m1＝m2＝m， 。
—
解：该结构有两个自由度，使用刚度法。
的求解过程：
的求解过程：
—
左构件
将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计
解得：
最大动力弯矩图
求解过程：
对于AB杆件，相当于在中点作用一集中力
对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
解：1）刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为 。
取A点隔离体，A结点力矩为：
由动力荷载引起的力矩为：
:
由弹性恢复力所引起的弯矩为：
根据A结点力矩平衡条件 可得：
整理得：
2）力法
解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移 。根据几何关系，虚功方程为：
解：（1）求周期数。
>
（2）求k：
两柱并联
10-24 设某单自由度体系在简谐荷载FP(t)=F 作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率 分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大
解：在简谐荷载FP(t)=F 作用下，稳态位移响应可表示为
其中：源自文库
（1）使动位移最大，即使 最大，从而得出 最小。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
得：
正则坐标 应满足方程：
其稳态响应为：
同理可得：
于是
（竖直方向）
（水平方向）
10-38试用基于能量原理的近似法求图示梁的基本频率。
(a) (b)
题10-38图
10-39试用瑞利－里兹法求图示变截面悬臂梁的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知梁的截面厚度为b；高度按直线规律变化，为 ；设梁单位面积范围内的质量为 。设振型函数为 。
(a)解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。
第一阶段（ ）：
}
求T的过程。
图
， ，
第二阶段（ ）
因为不受外力作用，所以横梁以 时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
(b)
10-23设题10-22图a所示刚架m＝4000kg，h＝4m，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
10-26试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
(a)
：
解：
￥
图 图
（1）
，
（2）振型方程
令 ，频率方程为：
（3）振型图如下
[
第一振型第二振型
(b)
`
解：
体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：
将 代入方程组（*）中得： ，即
振型图如下：
第一振型 第二振型
10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性质、特点和作用位置分别有何要求
10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。
<
10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移 ，并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷载频率 ，B点处弹性支座的刚度系数 ，忽略阻尼的影响。
解：
|
已知 从降低至. ， ，A不变。
F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。
10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设 。
(a)
解：由力法可知，单位荷载作用在B点引起 位移。
，
%
即幅值为
当幅值最大时，弯矩也最大。
图
(b)
解：
(
振型方程：
令 ，频率方程为：
(c)
解：
图 图
作出附加连杆移动单位位移的弯矩图
?
， ，
列出频率方程：
解得： 结构自振频率分别为：
求第一振型：令 得
求第二振型：令 得
结构的振型向量形式为：
振型图如下：
第一振型 第二振型
?
(d)
>
解：
图 图
， ，
列振型方程： 其中
列频率方程并求解：
，
求振型
将 代入方程组（*）中得： ，即
解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。
可将排架柱视为三个并联的弹簧。
边柱刚度柔数 中柱 ，
：
， 数值很小
所以认为当 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：
再根据势能守恒得：
，
10-22设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。
M图
\
10-32图示刚架各横梁为无限刚性，试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知m＝100t，l＝5m，EI=5×105kNm2；简谐荷载幅值F＝30 kN，每分钟振动240次；忽略阻尼的影响。
—
解：
层间刚度设为k，
F=30KN l=5m
动位移幅值方程为：
将具体数值代入，解得：
)
底柱柱端弯矩幅值：
题10-39图 题10-40图
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度 ＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
（
解：
图 图
画 图
-
列出方程得：
解得：
根据公式 画出最大动力弯矩图。
M图
10-31图示结构在B点处有水平简谐荷载 作用，试求集中质量处的最大水平位移和竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。设 ，忽略阻尼的影响。
】
解：作出 图
图 图 图
，
，
，代入惯性力幅值方程：
解得： ，
将以上求得最大惯性力 、 和动力荷载，同时作用于结构，可得最大动力弯矩图：
水平支杆中力为 ，即 。，
(e)忽略水平位移
(
解：
图
(f)
》
解：
图 图 M图
10-15设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼比ξ。解：
10-16设有阻尼比ξ＝的单自由度结构受简谐荷载FP(t)=F 作用，且有 。若阻尼比降低至ξ＝，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大