二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法二阶常微分方程是微积分中的一个重要概念，涉及到求解具有两个未知函数的微分方程。
本文将介绍二阶常微分方程的一些解法方法。
一、可分离变量法对于形如f''(x) = g(x)的二阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求解。
首先将方程进行变形，得到f''(x)-g(x) = 0。
然后令y=f'(x)，将方程转化为一阶方程y'-g(x)=0，再次进行变形得到dy/dx=g(x)。
接下来，对方程两边进行积分，得到y的表达式，再次积分即可得到f(x)的解。
二、特征方程法对于形如f''(x) + a1f'(x) + a0f(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，其中r为待求解的常数。
代入原方程，得到特征方程r^2 + a1r + a0 = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2，然后f(x)的解可以表示为f(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
三、常系数齐次线性微分方程法对于形如f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过常系数齐次线性微分方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，代入原方程，得到特征方程r^2 + ar + b = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2。
根据根的不同情况，可以得到不同的解形式。
1）当r1和r2是不相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) =C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
2）当r1和r2是相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) = (C1x +C2)e^(r1x)，其中C1和C2为待定常数。
3）当r1和r2是共轭复数根时，f(x)的解可以表示为f(x) =e^(ax)[C1cos(bx) + C2sin(bx)]，其中C1和C2为待定常数。
二阶常微分方程的求解方法和应用
二阶常微分方程的求解方法和应用二阶常微分方程是指包含了二阶导数或者二次项的一类微分方程。
解决这类微分方程是理应掌握的技能，因为它们在许多自然科学和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二阶常微分方程的求解方法以及它们的常见应用。
一、二阶常微分方程的基本形式二阶微分方程的一般形式是：$f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=g(x)$其中，函数f是要求解的未知函数，x是自变量，p(x)和q(x)是已知函数，g(x)是已知的函数或常数。
通常，二阶微分方程左侧的三项可以看作是二阶导数f''(x)、一阶导数f'(x)和f(x)对自变量x的线性组合。
这个线性组合中的系数p(x)和q(x)通常是自变量x的函数。
二、二阶微分方程的解法1.特解法特解法适用于在右侧有特殊类型函数的情况下，比如方程右侧是常数、指数函数、三角函数等。
因为这种情况下函数在取微分后与自身的形式变化不大，因此我们可以借助类似的解来猜测：如果右侧的g(x)是Acos(ax)+Bsin(ax)，那么我们可以尝试将函数f(x)猜测为Ccos(ax)+Dsin(ax)的形式，其中C和D是待求解的常数。
特解法的主要优点是简单易懂，特别是对于初学者而言。
但是，它有一个缺点：并不能解决更复杂的情况，比如右侧是分段函数的情况，因此需要用到其他解法。
2.变量分离法变量分离法是二阶微分方程求解的一种另类方法，它将原方程转换成一个含有单个未知函数但双变量的方程。
比如：$y''+y=0$方程左边的两项y''和y可以看作是函数y和y'的函数。
将方程拆开成两个修正的一阶方程，使用变量分离法来解决，得到：$\frac{dy}{dx}=u$$\frac{du}{dx}=-y$求解上述方程后，我们可以得到原始二阶微分方程的一般解：$y=Acos(x)+Bsin(x)$在实际应用中，变量分离法非常实用，例如在电工电子工程学里，它被用于模拟LC振荡器、无源滤波器等等。
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第四节 二阶常系数线性微分圆程之阳早格格创做一、二阶常系数线形微分圆程的观念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)p 、q 均为真数,)(x f 为已知的连绝函数.如果0)(≡x f ,则圆程式 (1)形成0=+'+''qy y p y (2)咱们把圆程(2)喊干二阶常系数齐次线性圆程,把圆程式(1)喊干二阶常系数非齐次线性圆程. 本节咱们将计划其解法.二、二阶常系数齐次线性微分圆程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的二个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任性常数.道明 果为1y 与2y 是圆程(2)的解,所以有 将2211y C y C y +=代进圆程(2)的左边,得=0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是圆程(2)的解.定理1道明齐次线性圆程的解具备叠加性. 叠加起去的解从形式瞅含有21,C C 二个任性常数,但是它纷歧定是圆程式(2)的通解.2.线性相闭、线性无闭的观念设,,,,21n y y y 为定义正在区间I 内的n 个函数,若存留没有齐为整的常数,,,,21n k k k 使恰当正在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称那n 个函数正在区间I 内线性相闭,可则称线性无闭.比圆 x x 22sin ,cos ,1正在真数范畴内是线性相闭的,果为又如2,,1x x 正在所有区间(a,b)内是线性无闭的,果为正在该区间内要使必须0321===k k k .对于二个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相闭,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无闭. 3.二阶常系数齐次微分圆程的解法定理2 如果1y 与2y 是圆程式(2)的二个线性无闭的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任性常数)是圆程式(2)的通解.比圆,0=+''y y 是二阶齐次线性圆程,x y x y cos ,sin 21==是它的二个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无闭, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= (21,C C 是任性常数)是圆程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)战它的各阶导数皆只好一个常数果子, 根据指数函数的那个特性,咱们用rx e y =去试着瞅是可采用适合的常数r ,使rx e y =谦脚圆程(2).将rx e y =供导,得把y y y ''',,代进圆程(2),得果为0≠rx e , 所以惟有 02=++q pr r (3)只消r 谦脚圆程式(3),rx e y =便是圆程式(2)的解.咱们把圆程式(3)喊干圆程式(2)的特性圆程,特性圆程是一个代数圆程,其中r r ,2的系数及常数项恰佳依次是圆程(2)y y y ,,'''的系数.特性圆程(3)的二个根为 2422,1q p p r -±-=, 果此圆程式(2)的通解有下列三种分歧的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是二个没有相等的真根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= xr x r e y e y 2121,==是圆程(2)的二个特解,而且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y ,得圆程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是二个相等的真根.221pr r -==,那时只可得到圆程(2)的一个特解x r e y 11=,还需要出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代进圆程(2), 得 整治,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 果为1r 是特性圆程(3)的二沉根, 所以进而有 0=''u果为咱们只需一个没有为常数的解,无妨与x u =,可得到圆程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,圆程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特性圆程(3)有一对于共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧推公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 21,y y 之间成共轭闭系,与-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, 圆程(2)的解具备叠加性,所以-1y ,-2y 仍旧圆程(2)的解,而且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以圆程(2)的通解为综上所述,供二阶常系数线性齐次圆程通解的步调如下:(1)写出圆程(2)的特性圆程(2)供特性圆程的二个根21,r r(3)根据21,r r 的分歧情形,按下表写出圆程(2)的通解.例1供圆程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给圆程的特性圆程为所供通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 供圆程0222=++S dt dS dt S d 谦脚初初条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给圆程的特性圆程为通解为 t e t C C S -+=)(21将初初条件40==t S 代进,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对于其供导得将初初条件20-='=t S 代进上式,得所供特解为例3供圆程032=-'+''y y y 的通解.解 所给圆程的特性圆程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以本圆程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次圆程的解法1.解的结构定理3 设*y 是圆程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对于应的齐次圆程式(2)的通解,则*+=y Y y 是圆程式(1)的通解.道明 把*+=y Y y 代进圆程(1)的左端:=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使圆程(1)的二端恒等,所以*+=y Y y 是圆程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性圆程(1)的左端)(x f 是几个函数之战,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+''(4)而*1y 与*2y 分别是圆程 )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 便是圆程(4)的特解, 非齐次线性圆程(1)的特解偶尔可用上述定理去助闲供出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是闭于x 的一个m 次多项式.圆程(1)的左端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为共一典型函数,果此圆程(1)的特解大概为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数. 把 x e x Q y λ)(=*代进圆程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5) 以下分三种分歧的情形,分别计划函数)(x Q 的决定要领:(1) 若λ没有是圆程式(2)的特性圆程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的二端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代进(5)式,并比较二端闭于x 共次幂的系数,便得到闭于已知数m b b b ,,,10 的1+m ),,1,0(m i b i =.进而得到所供圆程的特解为(2) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)创造, 则)(x Q '必须假如m 次多项式函数,于是令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的沉根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式创造,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数.综上所述,若圆程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 共次多项式,k 按λ没有是特性圆程的根,是特性圆程的单根或者是特性圆程的沉根依次与0,1或者2.例4 供圆程x e y y 232-='+''的一个特解.解)(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对于应齐次圆程的特性圆程为 022=+r r ,特性根根为2,021-==r r .λ=-2是特性圆程的单根, 令x e xb y 20-=*,代进本圆程解得故所供特解为 x xe y 223--=* . 例5 供圆程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先供对于应齐次圆程02=+'-''y y y 的通解. 特性圆程为 0122=+-r r , 121==r r齐次圆程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再供所给圆程的特解由于1=λ是特性圆程的二沉根,所以把它代进所给圆程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给圆程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,圆程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+''(7)那种典型的三角函数的导数,仍属共一典型,果此圆程式(7)的特解*y 也应属共一典型,不妨道明式(7)的特解形式为其中b a ,为待定常数.k 为一个整数. 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与0; 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与1; 例6 供圆程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=没有是特性圆程为0322=-+r r 的根，0=k .果此本圆程的特解形式为 于是 x b x a y cos sin +-=*'将*''*'*y y y ,,代进本圆程，得解得 54,52-=-=b a本圆程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 供圆程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解先供对于应的齐次圆程的通解Y .对于应的齐次圆程的特性圆程为再供非齐次圆程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别供出圆程对于应的左端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是本圆程的一个特解. 由于1=λ,ω±i i ±=均没有是特性圆程的根,故特解为代进本圆程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给圆程的一个特解为 所以所供圆程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
第三节_二阶常系数线性微分方程的解法
通解的表达式
y = C1e r1 x + C 2e r2 x
y = (C1 + C 2 x ) e
r1 x
y = eαx (C 1 cos β x + C 2 sin β x )
8
例1 解
的通解. 求微分方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解.
特征方程为 λ 2 − 2λ − 3 = 0 特征根为 λ1 = −1, λ2 = 3 故所求通解为
y = C 1e − x + C 2 e 3 x
例2 解
求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解 .
特征方程为 λ2 + 2λ + 5 = 0
解得
λ1， = −1± 2i , 2
y = e (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x )
9
故所求通解为
−x
ds ds 例3 求微分方程 2 + 2 + s = 0 满足初始条件 dt dt
∗
′′ = Q′′( x )e r x + 2λ Q′( x )e r x + λ2Q( x )e r x (y )
∗
代入方程 y′′ + ay′ + by = f ( x ) ,
整理并约去 e
rx
,得
Q′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x)
(*)
13
(1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； (1)的任意两个解 (1)的解 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； (1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解
二阶常系数微分方程总结
二阶常系数微分方程总结二阶常系数微分方程的求解方法及应用引言：在数学中，微分方程是一个方程，该方程中包含了未知函数的导数，是研究自然界现象变化规律的重要工具。
其中，二阶常系数微分方程是一类常见的微分方程，它具有形如f''(x)+af'(x)+bf(x)=0的形式，其中a和b为常数。
本文将从求解方法和应用两个方面对二阶常系数微分方程进行总结。
一、求解方法：1. 特征方程法：特征方程法是求解二阶常系数微分方程的常用方法。
对于f''(x)+af'(x)+bf(x)=0，我们可以假设f(x)=e^(rx)为其解，代入方程后化简得到特征方程r^2+ar+b=0。
根据特征方程的解的不同情况，可以得到方程的通解。
2. 变量分离法：对于一些特殊的二阶常系数微分方程，可以通过变量分离法求解。
首先，我们将f(x)表示为f(x)=u(x)v(x)，然后将f''(x)+af'(x)+bf(x)=0带入，得到一系列关于u(x)和v(x)的方程，通过求解这些方程可以得到方程的解。
3. 初值问题求解：对于二阶常系数微分方程的初值问题，可以通过给定初始条件来求解。
首先，将方程转化为标准形式，然后代入初始条件进行求解，得到满足初始条件的特解。
二、应用：1. 自由振动：二阶常系数微分方程广泛应用于描述自由振动现象。
例如，弹簧振子的运动可以用二阶常系数微分方程来描述，其中a和b分别代表弹簧的刚度和阻尼系数。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 电路分析：在电路分析中，电感、电容和电阻的组合经常涉及到二阶常系数微分方程。
通过建立电路方程并转化为微分方程，可以求解电路中电流和电压随时间的变化规律，为电路设计和分析提供依据。
3. 指数增长和衰减：二阶常系数微分方程也可以应用于描述指数增长和衰减的过程。
在人口增长、物质衰变等领域中，经常需要通过求解二阶微分方程来预测趋势和变化。
二阶常系数线性微分方程的解法版共11页文档
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+''(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得把y y y ''',,代入方程(2),得因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r(3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 整理,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解那么,方程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为21,y y 之间成共轭关系,取方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得 将初始条件20-='=t S 代入上式,得所求特解为例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根,即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10Λ的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i Λ=.从而得到所求方程的特解为(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i Λ=.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令 用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得故所求特解为 x xe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解. 特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再求所给方程的特解由于1=λ是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为 其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0; 当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1; 例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为于是 x b x a y cos sin +-=*' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则**+=*21y y y 是原方程的一个特解.第 11 页 由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为 代入原方程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为所以所求方程的通解为希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
二阶常系数微分方程的求解与应用
二阶常系数微分方程的求解与应用二阶常系数微分方程是高等数学课程中比较重要的一部分，也是电子工程、物理学等领域中常用的数学工具。
本文将介绍如何求解二阶常系数微分方程以及其在实际应用中的一些例子。
一、二阶常系数微分方程的一般形式二阶常系数微分方程的一般形式为：$$y''+ay'+by=0$$其中，$a$和$b$都是常数。
$y''$表示$y$关于自变量的二阶导数，$y'$表示$y$关于自变量的一阶导数。
二、求解二阶常系数微分方程为了求解二阶常系数微分方程，我们可以考虑从数学分析的角度出发，先求得它的通解，然后再根据具体的边界条件得到特解。
二阶常系数微分方程的通解是由两个解线性组合而成的形式，我们可以根据它的特征方程来求解它的通解。
特征方程是指形如$ax^2+bx+c=0$的二次方程，它的根$x_1$和$x_2$决定了通解的形式：$$y=c_1e^{x_1t}+c_2e^{x_2t}$$其中，$c_1$和$c_2$是两个任意常数。
如果特征方程有一个重根$x_1=x_2$，那么通解的形式变为：$$y=(c_1+c_2t)e^{x_1t}$$在求得通解后，我们可以根据具体的边界条件来求解它的特解，从而得到完整的解。
三、实际应用举例二阶常系数微分方程在实际应用中有很多例子，下面我们将介绍其中的几个。
1. 振动问题当物体在受到一定外力的同时又受到回复力的作用时，它会发生振动。
振动问题可以用二阶常系数微分方程来描述。
例如，简谐振动的运动方程为：$$y''+k^2y=0$$其中，$k$为弹簧的劲度系数。
这个方程的通解为：$$y=A\cos kt+B\sin kt$$其中，$A$和$B$都是常数，代表振动的振幅和初相位。
2. 电路问题当电路中存在电感、电容等元件时，它可以表示为一个二阶常系数微分方程。
电路问题的一般形式为：$$L\dfrac{d^2i}{dt^2}+R\dfrac{di}{dt}+\dfrac{1}{C}i=0$$其中，$L$为电感的自感系数，$R$为电阻的电阻系数，$C$为电容的容量系数。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法二阶常微分方程，听起来是不是有点高深莫测？别担心，今天咱们就来聊聊这玩意儿，让你明白它到底是什么。
想象一下，你在一个万里无云的天空下，悠闲地喝着咖啡，突然你看到一只鸟飞过，心里就想着，哎，这只鸟飞得多快啊！这就是微分方程的灵感来源。
我们要描述的，不就是那种飞行的感觉吗？说到二阶常微分方程，先得明白“二阶”是什么。
别紧张，二阶就是指它的导数有两次，比如说速度和加速度，听起来是不是有点炫酷？简单来说，二阶微分方程能告诉你物体是怎么加速的，像一部悬疑电影，慢慢揭开谜底。
方程的形式嘛，通常是这样的：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)。
看着复杂，其实每个部分都有它的小故事。
咱们来看看常数系数的情况，这个时候方程就简单多了。
就像做菜，配方简单易懂：y'' + ay' + by = 0，这里的a和b都是常数。
你可能会问，什么是齐次方程？其实就像一个小队伍，大家都是一样的，没有外来干扰。
解这个方程的办法，咱们可以使用特征方程，像拆解一个谜团，找出对应的特征根，然后拼出解的组合。
如果你还记得初中数学里那些美丽的公式，恭喜你，这里也有类似的东西。
比如说，特征根是实数的时候，解就像阳光一样明亮；而如果是复数，那就是梦幻般的旋律，给你无尽的想象空间。
搞定了齐次方程，接下来就是非齐次方程。
想象一下，这时候就像你参加了一场舞会，突然来了个新朋友。
我们通常用常数变易法或者待定系数法来找出这个新朋友的身份。
说到常数变易法，其实就是在已有解的基础上，加入一个新的元素。
就像你把冰淇淋放进咖啡里，瞬间变得更加美味。
待定系数法则是通过猜测来找出特解，有点像大侦探福尔摩斯，凭借直觉和经验寻找线索。
找到了特解，整个方程的解就水到渠成，哇，简直爽歪歪！二阶常微分方程的应用可广泛了。
比如说，物理里描述弹簧的运动，简直就是经典！一根弹簧的振动可以通过这些方程优雅地表达出来。
二阶线性常微分方程的解法
二阶线性常微分方程的解法在数学中，二阶线性常微分方程是一个常见且重要的概念。
本文将介绍二阶线性常微分方程的解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、二阶线性常微分方程的定义二阶线性常微分方程是指形如下式的微分方程：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = g(x)其中y(x)是未知函数，p(x)，q(x)和g(x)是已知函数，一般假设其在所考虑的区间上连续。
二、齐次方程的解法首先，我们来研究二阶线性常微分方程的齐次形式，即g(x)为零的情况。
这类方程的解法非常有规律性。
假设y1(x)和y2(x)是二阶线性常微分方程的两个解，那么线性组合c1y1(x) + c2y2(x)也是该方程的解，其中c1和c2是任意常数。
因此，我们可以找到两个解y1(x)和y2(x)，并通过线性组合的方式得到方程的通解。
具体的解法有三种情况。
1. 两个不同实数根当方程的特征方程有两个不同的实数根r1和r2时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(r1x)和y2(x) = e^(r2x)。
2. 重根当方程的特征方程有一个重根r时，对应的两个解分别为y1(x) =e^(rx)和y2(x) = xe^(rx)。
3. 复数根当方程的特征方程有共轭复数根a±bi时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(ax)cos(bx)和y2(x) = e^(ax)sin(bx)。
三、非齐次方程的解法对于非齐次方程，我们需要借助齐次方程的解，通过特解的方法来求解。
假设y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个解，我们可以得到非齐次方程的特解为y(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)，其中u1(x)和u2(x)是待定函数。
具体的求解步骤是：1. 将待求特解y(x)代入原方程，消去齐次方程的项，得到u1'(x)y1(x) + u2'(x)y2(x) = g(x)。
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u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
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3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
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定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
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(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
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故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
一、基本原理
二、求解步骤
1. 解本征方程
方程：$y^{\prime \prime}+Py^{\prime}+Qy=0$
$其中P,Q$分别为常数
首先，把方程化为本征方程：$x^2+Px+Q=0$
解本征方程：$x_{1,2}=-\frac{P}{2}\pm \sqrt{(\frac{P}{2})^2-Q}$，即特征根为：$x_{1,2}＝x_1，x_2$
2. 求通解
根据特征根求通解，$y=c_1e^{x_1t}+c_2e^{x_2t}$
其中$c_1，c_2$为任意常数，$x_1，x_2$为方程的特征根。
3. 求特解
从特征根的性质可以知道：
（1）当$x_1＝x_2$时，此方程有冗余解，即特解形式为：
$y=e^{x_1t}(A+Bt)$
（2）当$x_1＝-x_2$时，此方程有特解形式为：$y=e^{x_1t}(At+B)$（3）当$x_1$及$x_2$不相等时，此方程没有特解
4. 求积分常数
将我们从步骤2和3中得到的解带入原方程，得到
$b_1=\frac{e^{x_1t}}{x_1-x_2}$，$b_2=\frac{e^{x_2t}}{x_2-x_1}$把$b_1,b_2$代入积分常数的公式，$C_1=\frac{y_1(0)-
b_1y_2(0)}{b_1-b_2},C_2=\frac{y_2(0)-b_2y_1(0)}{b_2-b_1}$即可得到积分常数$C_1,C_2$。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧常微分方程是数学中的一个重要的分支，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，二阶常系数常微分方程是最基本的一类常微分方程，其形式如下：$$ a\frac{{d^2y}}{{dt^2}}+b\frac{{dy}}{{dt}}+cy = 0 $$其中，a、b、c是常数，y是未知函数。
一、特征根为实数的情况1.首先，我们将二阶常系数常微分方程变形成特征方程：$$ a\lambda^2+b\lambda+c=0 $$2.求解特征方程得到两个实根，假设为λ1和λ23.根据两个实根求得特解的形式，形式如下：$$ y = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} $$其中，C1和C2是待定常数。
二、特征根为复数的情况1.将二阶常系数常微分方程变形成特征方程。
2.求解特征方程得到两个复根，假设为α±βi。
3.根据两个复根求得特解的形式，形式如下：$$ y = e^{\alpha t}(C_1cos(\beta t) + C_2sin(\beta t)) $$其中，C1和C2是待定常数。
三、待定系数法待定系数法是一种适用于二阶常系数常微分方程有特定形式解的求解方法。
1. 如果方程右侧是其中一个函数的线性组合，我们可以假设原方程的特解为该函数的线性组合形式。
例如，如果方程右侧是常数1和指数函数e^kt的线性组合：$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k是常数。
2.将上述假设代入原方程，得到一个关于A、B和k的代数方程。
3.解代数方程，求得A、B和k的值。
4. 特解为$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k 是常数。
总结：以上是二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧。
通过找到二阶常系数常微分方程的特征根或使用待定系数法，我们可以求得其通解。
这些技巧在解决实际问题中非常有用，例如在振动、电路等领域的应用中常常会遇到二阶常系数常微分方程的求解。
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
1.1）就变成（2.1.2)求关于的一阶导数得令（2.1。
3）得到（2。
1。
4）再求关于的二阶导数得+++（2.1.5)把方程（2.1.4）、(2。
1。
5)带入到方程（1。
1)中可得到2.2特征根法设方程(1。
1）中、都是常数，即L[x］++x=0，(2。
2.1）我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程。
接着我们要求解方程（2。
2。
1)。
那么方程（2。
2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基本解组。
下面是特征根法的具体介绍.由一阶常系数齐次微分方程的通解是x=c,由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解，L[］++=（++)F（),所以F(）=++是的二次多项式.所以上式是方程（2.2。
1）的解得重要条件是F（）=++=0（2。
2。
2）问题转化为求解方程（2.2.2）的解.下面就的不同形式进行讨论.2.2。
1特征根是两个实根我们指出这两个解在a t b≤≤上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组。
事实上,这时W(t）===,，所以, 线性无关，上式得证.所以此方程的通解可表示为x=(其中为任意实数）。
假设特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是，那么另一个特征根是,所以方程有两个复值解=（,=（。
所以,我们可求的方程（2.2。
1）的两个实值解是, .2。
2.2特征根有重根若特征方程（2.2.2)有两个相等的实根，此时＝0，即有=-，于是方程(2.2.2）有一个特解x=,所以方程的另一个特解是=u=u其中u＝u(t)为待定函数，对求一阶，二阶导数得=（)，+，将它们代入方程（2。
2.2）得+＋＋＝0,整理得［++()u］=0，因为，所以=0,有因为所以有2+=0，那么上式变成，，,则是方程（2。
2。
1）的另一个解，并且，所以方程(2。
2.1）的通解是x=(。
2.2.3 解得表的情形方程（2。
2.1）的通解两个不相等的实根（）x=两个相等实根（)x=(x=()一对共轭复根、表12.3比较系数法比较系数法中函数f（t）可以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是最后的通解。
2。
3。
1 f（t)=(t+）函数f（t)=（t+），其中，，是确定的常数.当方程++x=f(t)有形如=(At+B）的特解。
其中A，B是未知的常数,k是由特征方程F（）=0来决定.若是特征根,则k=1；若不是特征根，则k=0.⑴=0，f(t）=t+①当=0不是特征根时,即F（0）不等于0，所以也不等于0，所以方程的特解为=At+B。
把特解带入非齐次线性方程中就可以得到=t+，由此可以得到，可以求出A,B的值，求出特解。
②当=0是特征根时，即F（0)等于0，所以等于0,所以方程的特解为=t（At+B)。
把特解带入非齐次线性方程中就可以得到2A+=t+,由此可以得到,可以求出A,B的值，求出特解.⑵0,引入x=y那么方程++x=（t+就可以变形为++y=t+,其中都是常数.上式微分方程的形式则与(1）中f(t）的形式一样.①当是特征方程的单根时,由（1）的求解方式可以得到该方程有特解=t（t+）,所以方程的特解为=t(t+） ,②当不是特征方程的单根时，F（0）不等于0。
则方程有特解t+,从而得到=(t+）.2。
3.2 f（t)=设f(t)=,其中,是常实数,A(t），B(t)是t的常实数多项式.且.f(t)===++—=（ +） + ( -）= +=（t)+（t），由上式可以看出 = （t)，如果是（t）的解,那么必然就是（t)的解.所以该类方程的解为=D（t） +=，其中D（t）是t的m次多项式，而P(t）=2Re｛D(t)｝，Q（t)=2Im｛D(t）｝.3.常微分方程的简单应用3。
1常数变易法例1。
.解：特征根为=i，=—i。
是两个复根.所以齐次微分方程的通解为x=+,应用常数变易法，则设x=（t）cost+（t）sint,(1.a）x′=′(t)cost+′（t）sint-(t）sint+(t）cost令′（t)cost+′(t)sint=0(1。
b）则x′=（t)cost—(t)sintx″=′(t)cost—（t)sint—(t）cost—′(t）sint（1.c）把（1。
a)（1。
c）带入原方程得-′(t)sint+′（t）cost= . （1.d)联立（1.b）（1.d）就可以求得′(t)=′（t）=1所以，(t）=+,(t)=t+.因此原方程得通解可以表示为X=cost+sint+ tsint+cost，其中为任意常数.例2。
求方程t—x′=在t0上所有的解.解：该方程所对应的齐次微分方程为tx″-x′=0将方程变形为=令=y则=那么很容易得到y=ct继而=ct解得x=+，由此可知该方程所对应的齐次常微分方程的基本解组为,1.我们把原方程进行变形得到x″— x′=t（2.a）利用常数变易法设x=+(t）(2。
b) x′=2t+ +′(t)令+′(t）=0(2.c）则x′=2t（2。
d）x″=2+(2.e）将(2。
d）(2.e）带入（2。
a）得到=t所以=t+(t）=+。
所以原方程的通解为X=++，其中为任意常数。
3.2特征根法例5。
解：所以方程的通解为x=（+t）,这里，是任意常数.例6。
.解：,所以该方程的通解为x=+，这里,是任意常数。
例7.解：特征根为=i,=-i。
是两个复根。
所以方程的通解为x=+，这里，是任意常数。
3。
3比较系数法例8.求方程 + 4 + 4x=的通解.解：,所以齐次方程的通解为x=(+t)，设方程的一个特解为=A+B,,将上式带入原方程，整理得8B—8A=，所以A=0,B=所以原方程的通解为x=(+t）+.4.结束语对于二阶常微分方程的初等解法及求解技巧,除了文中提及的三个方法之外还存在其他的求解技巧，针对不同的问题需要不同的解决方法。
对多数问题而言,解决方法不止一种，同一问题的求解方法也有很多种，同时还需要根据自身对不同解法的熟悉程度选择合适的解题技巧。
如果大家对解题方法还有独特的想法欢迎保持求知欲继续探索新未知。
参考文献［1］王高雄，周之铭,朱思铭，王寿松。
常微分方程（第三版) 北京:高等教育出版社，2006。
7[2]黄赞，罗佩芳.一类二阶微分方程的几种解法[J］.广东:中国科技信息，2009.[3］陈新一。
一类二阶常微分方程的特解[J].兰州：高等教学研究，2010。
[4］熊灿，谢建新.二阶常系数微分方程解法的简化[J］.湖南：南昌工程学院报，2010.［5］周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用—-—-方法、理论、建模、计算机［M］。
北京：科学出版社,2003.［6]朱德刚。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J］.南京：高等数学研究,2010。
[7]（瑞典)L。
戈丁(Lars.Garding）著，胡作玄译.数学概观[M］。
科学出版社，2001：121—1[8]赵慈庚,朱鼎勋主编。
大学数学自学指南[M]。
中国青年出版社，1984:74—91[9］李岚。
一类常系数线性微分方程特解的求法［J］常州工学院学报,2012，6:54—56［10］楼红伟，林伟.常微分方程[M].上海：复旦大学出版社,2007.［11]李岚。
二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法[J］.四川理工学院学报,2013，4：93—96［12］丁同仁,李承治.常微分方程.北京:高等教育出版社，1985［13］黄琳。
稳定性理论。
北京：北京大学出版社.1992［14］同济大学数学教研室.高等数学［M］。
北京:高等教育出版社，1996，(4）：387—394［15］张鹏。
二阶常系数线性微分方程讨论［J］.工科数学，1996，12(2）。
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