二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)

二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)

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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)

二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧

郑燕，王俊霞

太原师范学院数学系，山西晋中，030619

摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。

关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.

1。预备知识

（1.1）

其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。

如果,则方程（1）就变成了

（1.2）

我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。

2.求解方法技巧

2.1常数变易法

常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。

求解过程如下：

设，是方程(1.2)的基本解组，则

(2.1.1）

是方程（1。2）的通解。将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。1.1）就变成

（2.1.2)

求关于的一阶导数得

令（2.1。3）

得到（2。1。4）

再求关于的二阶导数得

+++（2.1.5)把方程（2.1.4）、(2。1。5)带入到方程（1。1)中可得到

2.2特征根法

设方程(1。1）中、都是常数，即

L[x］++x=0，

(2。2.1）

我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程。

接着我们要求解方程（2。2。1)。那么方程（2。2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基本解组。下面是特征根法的具体介绍.

由一阶常系数齐次微分方程

的通解是

x=c,

由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解

，

L[］++

=（++)

F（),

所以F(）=++是的二次多项式.所以上式是方程（2.2。1）的解得重要条件是F（）=++=0

（2。2。2）

问题转化为求解方程（2.2.2）的解.

下面就的不同形式进行讨论.

2.2。1特征根是两个实根

我们指出这两个解在a t b

≤≤上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组。事实上,这时

W(t）=

=

=,

，

所以, 线性无关，上式得证.

所以此方程的通解可表示为

x=(其中为任意实数）。

假设特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是，那么另一个特征根是,所以方程有两个复值解

=（,

=（。

所以,我们可求的方程（2.2。1）的两个实值解是

, .

2。2.2特征根有重根

若特征方程（2.2.2)有两个相等的实根，此时＝0，即

有=-，于是方程(2.2.2）有一个特解x=,所以方程的另一个特解是

=u=u

其中u＝u(t)为待定函数，

对求一阶，二阶导数得

=（)，

+，

将它们代入方程（2。2.2）得

+＋＋＝0,

整理得［++()u］=0，

因为，所以=0,有因为所以有2+=0，那么上式变成，

，,

则是方程（2。2。1）的另一个解，并且，

所以方程(2。2.1）的通解是

x=(。

2.2.3 解得表

的情形方程（2。2.1）的通解

两个不相等的实根（）x=

两个相等实根（)x=(

x=()

一对共轭复根

、

表1

2.3比较系数法

比较系数法中函数f（t）可以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是最后的通解。

2。3。1 f（t)=(t+）

函数f（t)=（t+），其中，，是确定的常数.

当方程++x=f(t)有形如

=(At+B）

的特解。其中A，B是未知的常数,k是由特征方程F（）=0来决定.若是特征根,则k=1；若不是特征根，则k=0.

⑴=0，f(t）=t+

①当=0不是特征根时,即F（0）不等于0，所以也不等于0，所以方程的特解为=At+B。把特解带入非齐次线性方程中就可以得到

=t+，

由此可以得到

，

可以求出A,B的值，求出特解。

②当=0是特征根时，即F（0)等于0，所以等于0,所以方程的特解为=t（At+B)。把特解带入非齐次线性方程中就可以得到