z变换 离散系统分析实验报告

南昌大学实验报告(信号与系统)学生姓名： 学号 专业班级：实验类型：□ 验证 □ 综合 □ 设计 □ 创新 实验日期： 2012、5、24 实验成绩：MATLAB 基础上机训练一八一、实验项目名称: z 变换及离散时间系统的Z 域分析二、实验目的：（1）掌握利用MA TLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MA TLAB 实现方法三、实验原理1）离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()N Miji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M = 为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N = 为()H z 的N 个极点。

系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。

通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； ● 离散系统的频率特性；2）离散系统零极点图及零极点分析1．零极点图的绘制设离散系统的系统函数为()()()B z H z A z =则系统的零极点可用MA TLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。

多项式根的MA TLAB 命令举例如下：A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。

这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

（1）()H z 按z 的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如34322()3221z zH z z z z z +=++++ 其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。

（2）()H z 按1z -的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z =的零点或极点就可能被漏掉。

如11212()11124z H z z z ---+=++其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。

用roots()求得()H z 的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。

下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MA TLAB 实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。

function ljdt(A,B)% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 clf hold onaxis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园 axis('square')plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]')plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题 hold off2．离散系统零极点分析（1）离散系统零极点分布与系统稳定性《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为：● 时域条件：离散系统稳定的充要条件为()n h n ∞=-∞<∞∑，即系统单位样值响应绝对可和；● Z 域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()H z 的所有极点均位于Z 平面的单位圆内。

对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MA TLAB 来实现。

实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。

（2）零极点分布与系统单位样值时域特性的关系从《信号与系统》课程中已经得知，离散系统的系统函数()H z 与单位样值响应()h n 是一对Z 变换对；因而，()H z 必然包含了()h n 的固有特性。

离散系统的系统函数可以写成11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-4）若系统的N 个极点均为单极点，可将()H z 进行部分分式展开为：1()Ni i ik zH z z p ==-∑（8-5） 由Z 逆变换得：1()()()Nn ii i h n kp u n ==∑ （8-6）从式（8-5）和（8-6）可以看出离散系统单位样值响应()h n 的时域特性完全由系统函数()H z 的极点位置决定。

从《信号与系统》的学习中已经得出如下规律：● ()H z 位于Z 平面单位圆内的极点决定了()h n 随时间衰减的信号分量； ● ()H z 位于Z 平面单位圆上的一阶极点决定了()h n 的稳定信号分量；●()H z 位于Z 平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了()h n 的随时间增长的信号分量；3）离散系统频率特性分析1．离散系统的频率响应()j H e ω对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：0()sin()()x n A n u n ω=则，根据《信号与系统》课程给出的结果有，系统的稳态响应为：()()sin[()]()j ss y n A H e n u n ωωϕω=+()()()()j j j j z e H e H z H e e ωωωϕω===定义离散系统的频率响应为其中，()j H e ω——称为离散系统的幅频特性；()ϕω——称为离散系统的相频特性；()j H e ω是以2π为周期的周期函数，只要分析()j H e ω在ωπ≤范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

2．用MA TLAB 实现离散系统的频率特性分析方法 （1）直接法设某因果稳定系统的系统函数()H z ，则系统的频响特性为：()()()()j j j j z e H e H z H e e ωωωϕω===MATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种： ● [H,w]=freqz(B,A,N)B 和A 分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N 为正整数，返回量H 则包含了离散系统频响()j H e ω在0~π范围内N 个频率等分点的值，向量w 则包含0~π范围内N 个频率等分点。

调用中若N 默认，默认值为512。

● [H,w]=freqz(B,A,N,’whole ’)该调用格式将计算离散系统在0~2π范围内N 个频率等分点的频率响应()j H e ω的值。

因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，即可绘制出系统在0~π或0~2π范围内的频响曲线。

2）几何矢量法利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。

jj j j j e q B eψω-=ij j i ie p Ae θω-= 有：1212()1()()1()()M N Mj jj j j j N j ii B eH e H e e Ae ψψψωωϕωθθθ+++=+++===∏∏则系统的幅频特性和相频特性分别为：11()Mjj j N ii BH e Aω===∏∏ （8-7）11()M Nj i j i ϕωψθ===-∑∑ （8-8）根据式（8-7）和（8-8），利用MATLAB 来求解频率响应的过程如下： ● 根据系统函数()H z 定义分子、分母多项式系数向量B 和A ；● 调用前述的ljdt()函数求出()H z 的零极点，并绘出零极点图； ● 定义Z 平面单位圆上的k 个频率分点；● 求出()H z 所有的零点和极点到这些等分点的距离； ● 求出()H z 所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；● 根据式（8-7）和（8-8）求出系统的()j H e ω和()ϕω；● 绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。

有四个参数：k 为用户定义的频率等分点数目；B 和A 分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r 为程序绘制的频率特性曲线的频率范围（0~r π⨯）。

function dplxy(k,r,A,B)%The function to draw the frequency response of discrete system p=roots(A); %求极点 q=roots(B); %求零点 figure(1) ljdt(A,B) %画零极点图 w=0:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w); %定义单位圆上的k 个频率等分点 N=length(p); %求极点个数 M=length(q); %求零点个数 yp=ones(N,1)*y; %定义行数为极点个数的单位圆向量 yq=ones(M,1)*y; %定义行数为零点个数的单位圆向量 vp=yp-p*ones(1,k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量 vq=yq-q*ones(1,k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量 Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模 Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模 Ci=angle(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的相角 Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角 fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应 H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1); %求系统幅频响应 figure(2)plot(w,H); %绘制幅频特性曲线 title('离散系统幅频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('幅度') figure(3)plot(w,fai) title('离散系统的相频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('相位')四、实验说明：例1：绘制如下系统函数的零极点（1）32323510()375z z zH z z z z -+=-+- （2）11210.5()31148z H z z z ----=++例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性例3：已知如下系统的系统函数()H z ，试用MATLAB 分析系统单位样值响应()h n 的时域特性。